运筹学-2对偶问题的性质

合集下载

运筹学基础-对偶线性规划(2)

用单纯形法同时求解原问题和对偶问题
原问题是：
maxZ=2x1 +x2 5x2 ≤15 6x1 + 2x2 ≤ 24 x1 + x2 ≤ 5 x1 , x2 ≥0
5x2 +x3 =15 6x1 + 2x2 +x4 = 24 x1 + x2 +x5 = 5 xi ≥0
原问题的标准型是：maxZ=2x1 +x2+0x3+0x4 +0x5
b
15 24 5 0
x1 0 6 1 2
比值
-
24/6=4
5/1=5
检验数j
对偶问题剩余变量 y4、y5
对偶问题变量 y1、y2 、y3
检验数行的－ (cj-zj)值是其对偶问题的一个基本解yi ；
原问题变量
0 2
原问题松驰变量
1 0 0 0 0 1/6 -1/6 -1/3 0 0 1 0
3
x3 x1
x2 1 检验数j= cj-zj
-1/4 -1/2
对偶问题剩余变量 y4、y5
对偶问题变量 y1、y2 、y3
此时得原问题最优解:X*=(7/2,3/2,15/2,0,0)T，Z*=17/2 则对偶问题最优解:Y*=(0,1/4,1/2,0,0)T，S*=17/2
又例：用单纯形法同时求解原问题和对偶问题
定理6（互补松弛定理）
在线性规划问题的最优解中，如果对应某一约束条件的对偶变量值为非零，则该约束条件取严格等式；反之如果约束条件取严格不等式，则其对应的对偶变量一定为零。
注：证明过程参见教材59页性质5证明
讨论:
互补松弛定理也称松紧定理，它描述了线性规划达到最

运筹学2对偶问题

运筹学2对偶问题运筹学教程运筹学Operations Research Chapter 2 对偶问题Dual Problem1. 线性规划的对偶模型Dual Model of LP2.对偶性质对偶性质3.对偶单纯形法对偶单纯形法4.灵敏度分析灵敏度分析Dual property Dual Simplex Method Sensitivity Analysis 运筹学教程§2.1线性规划的对偶模型线性规划的对偶模型Dual model of LPCh2 Dual Problem2022年11月26日星期五Page 2 of 19在线性规划问题中，存在一个有趣的问题，即每一个线性规划问题都伴随有另一个线性规划问题，称它为对偶线性规划问题。

【例2.1】某企业用四种资源生产三种产品，工艺系数、例资源限量及价值系数如下表：产品资源Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 每件产品利润9 5 8 7 100 8 4 3 6 80 6 7 2 4 70 500 450 300 550 A B C 资源限量建立总收益最大的数学模型。

运筹学教程§2.1线性规划的对偶模型线性规划的对偶模型Dualmodel of LPCh2 Dual Problem2022年11月26日星期五Page 3 of 19 设x1,x2,x3分别为产品A,B,C的产量，则线性规划数学模解型为：m Z = 100x + 80x + 70x ax1 2 39x1 + 8x2 + 6x3 ≤ 500 5x + 4x + 7x ≤ 450 2 3 1 8x1 + 3x2 + 2x3 ≤ 300 7x + 6x + 4x ≤ 550 2 3 1 x1, x2, x3 ≥ 0 现在从另一个角度来考虑企业的决策问题。

假如企业自己不生产产品，而将现有的资源转让或出租给其它企业，那么资源的转让价格是多少才合理？价格太高对方不愿意接受，价格太低本单位收益又太少。

运筹学02对偶理论1线性规划的对偶模型,对偶性质

(x1, x2, x3)T 0
从而对偶问题为
4 min w Yb ( y1, y2 ) 1 4 y1 y2
4 1 －1
YA ( y1, y2 ) 1 －7
5
(4 y1 y2, y1 7 y2， y1 5y2 ) (5, 2, 3)
min Z 4 y1 y2
4 y1 y2 5
min
w
6 y1
8y2
10 y3
约束, 即
5yy1175yy22
y3 3 y3
4
3
yi 0, i 1,2,3
3.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP
线性规划问题的规范形式(Canonical Form 或叫对称形式) ：定义：
目标函数求极大值时，所有约束条件为≤号，变量非负；目标函数求极小值时，所有约束条件为≥号，变量非负。
【例3.2】写出下列线性规划的对偶问题
max Z (5, 2,3)(x1, x2, x3)T
max Z 5x1 2x2 3x3
4x1x1 7
x2 x2
x3 4 5x3 1
x1, x2, x3 0
【解】设Y=(y1，y2 )，则有
4
1
1 7
1
5
x1 x2 x3
4 1
y1y1 7
y2 2 5 y2 3
y1 0, y2 0
3.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP
【例3.3】写出下列线性规划的对偶问题
max Z 4x1 3x2
5x1 x2 6 7x1x1 35x2x2108 x1 0, x2 0
【解】该线性规划的对偶问题是求最小值，有三个变量且非负, 有两个“ ≥”

运筹(第二章对偶与灵敏度分析)(1)

5x2 3x3 30
x1 0, x2无约束，x3 0
2023/2/22
17
解：将原问题模型变形, 令x1 x1
min z 7x1 4x2 3x3
4x1 2x2 6x3 24
3x1 6x2 4x3 15 5x2 3x3 30
y1 y2 y3
x1 0, x2无约束，x3 0
则对偶问题是
max w 24 y1 15y2 30 y3
4 y1 3y2
7
x1
2 y1 6 y2 5 y3 4
x2
6 y1 4 y2 3x3 3
x3
y1, y2 0, x3无约束
2023/2/22
18
小结：对偶问题与原问题的关系：
目标函数：MAX
原约束条件：m个约束
对
问
y1 y2
ym
2023/2/22
12
类似于前面的资源定价问题，每一个约束条件对应一个“ 对偶变量”，它就相当于给各资源的单位定价。于是我们有如下的对偶规划：
min W b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1 a21 y2 am1 ym c1 a12y1 a22y2 am2ymc2 a1n y1 a2n y2 amn ym cn y1, y2 ,, ym 0
分别是原问题和对偶问题的可行解，则恒有
n
m
c j x j bi yi
j 1
i 1
m
n
考虑利用 c j aij yi 及
aij x j bi
i 1
j 1
代入。
2、无界性如果原问题（对偶问题）有无界解，则
其对偶问题(原问题）无可行解。
2023/2/22

运筹学第2章：线性规划的对偶理论

目
标函数求极小时取“≥”号
注：对称形式与线性规划标准型是两种不同的形式，对称形式中约束条件的符号由目标函数决定
从以下方面比较(LP1)与(LP2)：
原问题
对偶问题约束系数矩阵的转臵目标函数中的价格系数向量约束条件的右端项向量 Min w=Y’b A’Y≥C’ Y≥0
A
b C 目标函数约束条件决策变量
非基变量基变量
XB
0 b Xs C j - zj B
XN
N
Xs
I
0
初始单纯形表
非基变量
CB
CN
基变量
最终
单纯形表
CB
XB
XB B-1b Cj - zj
I 0
Xs B-1 N B-1 CN-CBB-1N -CBB-1
XN
若B-1b为最优解，则
CB CB ( B 1B) 0 C N CB B N 0 CB B 1 0
令 y 2 y 2 , y3 y3 y3 ，则
min 2 y1 y2 4 y3
2 y1 3 y2 y3 1 3 y y y 4 1 2 3 s.t. 5 y1 6 y2 y3 3 y1 0, y2 0, y3无约束
n j 1 m j j
C X Y b, 即 c j x j y i bi
j 1 i 1
__
__
n
m
c x ( a
j 1 m i 1 n i i i 1 i 1 j 1
n
m
ij
yi ) x j aij x j yi ( a ji yi c j )
例1

运筹学--第二章线性规划的对偶问题

习题二2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题(1) max z ＝10x1＋x2＋2x3(2) max z ＝2x1＋x2＋3x3＋x4st. x1＋x2＋2 x3≤10 st. x1＋x2＋x3 ＋x4≤54x1＋x2＋x3≤20 2x1－x2＋3x3＝－4x j≥0 （j＝1,2,3）x1－x3＋x4≥1x1，x3≥0，x2，x4无约束(3) min z ＝3x1＋2 x2－3x3＋4x4(4) min z ＝－5 x1－6x2－7x3st. x1－2x2＋3x3＋4x4≤3 st. －x1＋5x2－3x3≥15x2＋3x3＋4x4≥－5 －5x1－6x2＋10x3≤202x1－3x2－7x3 －4x4＝2＝x1－x2－x3＝－5 x1≥0，x4≤0，x2，，x3无约束x1≤0，x2≥0，x3无约束2.2 已知线性规划问题max z＝CX，AX=b，X≥0。

分别说明发生下列情况时，其对偶问题的解的变化：（1）问题的第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）；（2）将第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）后加到第r个约束条件上；（3）目标函数改变为max z＝λCX（λ≠0）；'x代换。

（4）模型中全部x1用312.3 已知线性规划问题min z＝8x1＋6x2＋3x3＋6x4st. x1＋2x2＋x4≥33x1＋x2＋x3＋x4≥6x3 ＋x4＝2x1 ＋x3 ≥2x j≥0（j＝1,2,3,4）(1) 写出其对偶问题；(2) 已知原问题最优解为x*＝（1，1，2，0），试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。

2.4 已知线性规划问题min z＝2x1＋x2＋5x3＋6x4 对偶变量st. 2x1 ＋x3＋x4≤8 y12x1＋2x2＋x3＋2x4≤12 y2x j≥0（j＝1,2,3,4）对偶问题的最优解y1*=4；y2*=1，试对偶问题的性质，求出原问题的最优解。

2.5 考虑线性规划问题max z＝2x1＋4x2＋3x3st. 3x1＋4 x2＋2x3≤602x1＋x2＋2x3≤40x1＋3x2＋2x3≤80x j≥0 （j＝1,2,3）４７４８（1）写出其对偶问题（2）用单纯形法求解原问题，列出每步迭代计算得到的原问题的解与互补的对偶问题的解；（3）用对偶单纯形法求解其对偶问题，并列出每步迭代计算得到的对偶问题解及与其互补的对偶问题的解；（4）比较（2）和（3）计算结果。

运筹学 ( 对偶问题及性质)

（2）竞争性原则。即在上述不吃亏原则下，尽量降低机时总收费，以便争取更多用户。
设A、B、C、D设备的机时价分别为y1、y2、y3、y4，则新的线性规划数学模型为：
min 12 y1 8 y2 16 y3 12 y4
2 y1 y2 4 y3 0 y4 2
s.t 2 y1 2 y2 0 y3 4 y4 3
Y≤0
对偶性质
性质2 (弱对偶性) 设X 0 Y 0和
的可行解，则必有
分别是问题(LP)和(DP)
CX 0 Y 0b
n
m
即： c j x j yibi
j1
i1
推论1: 原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数值的下界；反之，对偶问题任意可行解的目标函数值是其原问题目标函数值的上界。
n
yˆi 0 aij xˆ j bi j 1 n
aij xˆ j bi yˆi 0
j 1
对偶性质
例2.4
已知线性规划
max z 3 x1 4 x2 x3
2xx1 122xx2
x3 2x
10 3 16

x
jபைடு நூலகம்

0,
j

1,2,3
3
x1 x1

x2 4x2
7x3 6x3

3 5
x1 , x2 , x3 0
解：首先将原问题变形为对称形式
max Z 2x1 3 x2 4 x3
2 x 3 x2 5 x3 2

3
x1

x2
7x3
3

x1 4 x2 6 x3

2.2运筹学对偶问题的基本性质

y1*
x
* s1
0
y2*xs2* 0
ym*
x
s
* m
0
若y
* 1
0则x
* s1
0
若x
* s1
0则y
* 1
0
对偶变量不为0 ，原问题相应约束式是等式
原问题约束为
已知线性规划问题
不等式，相应
min 2 x1 3 x2 5 x3 2 x4 3 x5
对偶变量为0
x1 x2 2 x3 x4 3 x5 4
(2)
2 y1 3 y2 5
(3)
y1 y2 2
(4)
3 y1 y2 3
(5)
y1 , y2 0
将
y* 1
,
y* 2
的值代入约束条件，得(2)，(3)，(4)为严格不等式；由互
补松弛性得 x*2 x*3 x4* 0。因 y1，y2 0；原问题的两个约束条
件应取等式，故有
x1* 3 x5* 4
B 1b C B B 1b
与-原原问问问题令题题的Y的的基=检C检解验B验(B差数数-1一对,故比负应较可号对-得-)偶---对- 偶问题YS的2=一CB个B-基1N解-C.N
YS1=0
原问题
对偶问题
变量性质
检验数基解
变量性质
基变量
非基变量
XB 0
-YS2 非基变量
XN
XS
CN-CBB-1N -CBB-1
机械设备
甲 1
原材料A 4
影子价格
原材料B 0
经济意义பைடு நூலகம் 在其它条件不变的情况下，单位资源变化所引起的目标函数的最优值的变化。

运筹学第2章-线性规划的对偶理论

❖ 影子价格不是市场价格，而是在现有技术和管理条件下，新增单位资源所能够创造的价值，是特定企业的一种边际价格；不同企业或同一企业不同时期，同种资源的影子价格可能不同；当市场价格高于影子价格，可以卖出；相反，则应买进，以获取更大收益
Ma例x：Z （ 2第x一1 章3例x22）
2 x1 2 x2 12
当原问题和对偶问题都取得最优解时，这一对线性规划对应的目标函数值是相等的：
Zmax=Wmin
二、原问题和对偶问题的关系
1、对称形式的对偶关系
（1）定义：若原问题是
MaxZ c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t.a21
x1
a22
二、手工进行灵敏度分析的基本原则 1、在最优表格的基础上进行； 2、尽量减少附加计算工作量；
5y3 3
，y
2
3
0
（用于生产第i种产品的资源转让收益不小于生产该种产品时获得的利润）
对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材料的单位定价；
若工厂自己不生产产品A、B和C，将现有的工时及原材料转而接受外来加工时，那么上述的价格系统能保证不亏本又最富有竞争力（包工及原材料的总价格最低）
内，使得产品的总利润最大。
MaxZ 2x1 3x 2
2x1 2x2 12
s.t.54xx12
16 15
x1, x 2 0
它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了劳动力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统最具有竞争力：
MinW 12y1 16y2 15y3
2y1 4y2
2
s.t.2y1y，1y
y1, y2, , ym 0

运筹学概论第2章线性规划的对偶理论

第二章线性规划的对偶理论
线性规划的对偶问题对偶问题的基本性质影子价格
2020/4/29
第一节线性规划的对偶问题
窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船对偶是一种普遍现象
2020/4/
一、对偶问题的提出
例1 美佳公司计划制造甲、乙两种家电产品，已知制造一件甲需占用B 设备5小时，调试工序1小时；制造一件乙需占用A设备6小时，B设备2 小时，调试工序1小时； A设备每天可用15小时， B设备可用24小时，调试工序每天可用5小时。已知售出一件甲获利2元，售出一件乙获利1 元，问该公司每天应制造两种家电各多少件，使获取的利润最大？
x1,x2,x3,x4 0
假设有商人要向厂方购买资源A和B，问他们谈判原料价格的模型是怎样的？
2020/4/29
●设A、B资源的出售价格分别为 y1 和 y2 ●显然商人希望总的收购价越小越好(目标) ●工厂希望出售资源后所得不应比生产产品所得少（约束）
2020/4/29
maxZ x1 2x2 3x3 4x4
(2)
3y1 5y1
y2 y3 y3 4 6y2 y3 y3 3
(3) (4)
5y1 6y2 y3 y3 3
(5)
y1, y2 , y3, y3 0
(6)
y2=-y2’；y3=y3’-y3’’；（3）式两端乘“-1”，（4）、（5）合并。
A’YC’
决策变量
X 0
Y 0
2020/4/29
min w Y 'b A 'Y C ' Y 0
max w ' Y 'b - A 'Y C ' Y 0
min z ' CX - AX b X 0

运筹学第2章对偶理论01-对偶问题及影子价格、对偶单纯形法

第2章对偶理论及灵敏度分析主要内容对偶理论⏹线性规划对偶问题⏹对偶问题的基本性质⏹影子价格⏹对偶单纯形法灵敏度分析⏹灵敏度问题及其图解法⏹灵敏度分析⏹参数线性规划线性规划的对偶问题⏹对偶问题的提出⏹原问题与对偶问题的数学模型⏹原问题与对偶问题的对应关系实例：某家电厂家利用现有资源生产两种产品，有关数据如下表：设备A设备B 调试工序利润（元）612521115时24时5时产品Ⅰ产品ⅡD一、对偶问题的提出如何安排生产，使获利最多？厂家设Ⅰ产量–––––Ⅱ产量–––––1x 2x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+=052426155 2max 212121221x x x x x x x s.t.x x z ,设设备A ——元／时设备B ––––元／时调试工序––––元／时1y 2y 3y 收购付出的代价最小，且对方能接受。

出让代价应不低于用同等数量的资源自己生产的利润。

设备A 设备B 调试工序利润（元）0612521115时24时5时ⅠⅡD ⏹厂家能接受的条件：⏹收购方的意愿：32152415min yy y w ++=单位产品Ⅰ出租收入不低于2元单位产品Ⅱ出租收入不低于1元出让代价应不低于用同等数量的资源自己生产的利润。

1252632132≥++≥+y y y y y52426155 2212121221⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+=x x x x x x x s.t.x x z ,max ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++≥+++=0y 125265241532132132321y y y y y y y t s y y y w ,,.min 对偶问题原问题收购厂家一对对偶问题⎩⎨⎧≥≥=⇒⎩⎨⎧≥≤=00bY C YA s.t.Yb w X AX t s CX z min ..max ),(21c c C =⎪⎪⎫ ⎛=1x x X )(ij a A =()321,y ,y y Y =⎪⎪⎪⎫ ⎛=321b b b b 3个约束2个变量2个约束3个变量原问题对偶问题其它形式的对偶问题?特点：1.原问题的约束个数（不包含非负约束）等于对偶问题变量的个数；2.原问题的价值系数对应于对偶问题右端项；3.原问题右端项对应于对偶问题的价值系数；4.原问题约束矩阵转置就是对偶问题约束矩阵；5.原问题为求最大，对偶问题是求最小问题；6.原问题不等约束符号为“≤”，对偶问题不等式约束符号为“≥”;二、原问题与对偶问题的数学模型1．对称形式的对偶当原问题对偶问题只含有不等式约束时，称为对称形式的对偶。

《管理运筹学》02-5对偶原理

THANKS
感谢观看
《管理运筹学》025对偶原理
目录
• 对偶理论概述 • 对偶理论的基本概念 • 对偶理论的应用 • 对偶理论的局限性 • 对偶理论的展望
01
对偶理论概述
对偶问题的定义
对偶问题
对于原问题中的目标函数和约束条件，将它们进行适当的变换，得到与原问题等价的新问题。
对偶问题的特点
对偶问题的目标函数和约束条件与原问题相反，但最优解相同。
线性规划问题可以通过使用单纯形法、对偶法等求解方法求解。
原问题与对偶问题
原问题是给定的线性规划问题，对偶问题是通过引入新的变量和约束条件，将原问题的约束条件转化为等价的不等式约束条件，同时目标函数也相应地转化为对偶问题的目标函数。
对偶问题与原问题之间的关系是：当原问题的最优解存在时，对偶问题的最优解也一定存在，并且它们的目标函数值相等。
对偶定理
01
对偶定理是线性规划中的一个基本定理，它表明原问题和对偶问题的最优解是等价的。
02
对偶定理的证明基于互补松弛定理和最优解的性质。
03
对偶定理的应用包括在求解线性规划问题时，通过求解对偶问题来获得原问题的最优解，以及在确定原问题和对偶问题的解是否为最优解时，使用对偶定理进行验证。
03
生产、管理、运输等领域的问题。
实际问题验证
02
通过对偶理论的应用，可以验证实际问题的解决方案是否可行，
并优化解决方案。
实际应用拓展
03
通过对偶理论的深入研究，可以拓展其在实际问题中的应用范
围，提高解决问题的效率和质量。
05
对偶理论的展望
对偶理论的未来发展方向
深化理论体系

运筹学第2章对偶理论

写出对偶问题
2 y1 3 y2 y3 2 3 y1 y2 4 y3 3 5 y1 7 y2 6 y3 4 y , y , y 0 1 2 3
原—对偶问题的相互变换形式
原问题（或对偶问题）目标函数 max 约束条件变量 m个 ≤ ≥ = n个 ≥0 ≤0 无约束约束条件右端项目标函数变量的系数对偶问题（或原问题）目标函数 min m个 ≥0 ≤0 无约束 n个 ≥ ≤ = 目标函数变量的系数约束条件右端项变量约束条件
设y1 , y2 , y3分别为三种资源的收费单价，所以有下式： 5 y1 2 y2 y3 10 2 y1 3 y2 5 y3 18 y1 , y2 , y3 0 就目标而言，用下式可以表达： 170 y1 100 y2 150 y3 W
一般而言，W 越小越好，但因需双方满意，故
变为对称形式
m axZ 2 x1 3 x 2 4 x 3 2 x 3 x 2 5 x 3 2 3 x1 x 2 7 x 3 3 x1 4 x 2 6 x 3 5 x1 , x 2 , x 3 0
min W 2 y1 3 y2 5 y3
B
1 0
M-1
-2
最终表
cj cB 3 -1 -1 xB x1 x2 x3 检验数 b 4 1 9
3 x1 1 0 0 0
-1 x2
-1 x3 0 0 1 0
0 x4 1/3 0 2/3 -1/3
I
0 1 0 0
-1/3 1/3-M 2/3- M
所以， X*=（4 , 1 , 9），Z = 2
初始表

《运筹学》第二章对偶问题

3 x1 2 x2
7x4 4
2 x1 3 x2 4 x3 x4 6
x1 0, x2 , x3 0, x4无约束
解：原问题的对偶问题为
mi nW 5 y1 4 y2 6 y3
4 y1 3 y2 2 y3 2

20
一组互为对偶的线性规划问题的解之间只有下列三种情况:
(1)两个规划问题都有可行解(此时,两个规划问题都有最优解,且最优值相等);
(2)两个规划问题都不可行; (3) 一个规划问题不可行,另一个规划问题有可行解,且具有
无界解。
21
（4）互补松弛性：在线性规划问题的最优解中，
则 aij xj * = bi ；
bi , 则 y i* = 0 (4)’ 互补松弛性：
在线性规划问题的最优解中，则 aij yi * = cj ；
>cj , 则 xj* = 0
n
若 y i * >0,
j=1 n
若 a ij xj * <
j=1
m
若 x j * >0,
i=1 m
若 a ij yi*
i=1 22
m
= 证b：i y∵i*
y1 3 y1

2 y2
3 y3 4 y3
3 5

2 y1 7 y2 y3 1
y1

0,
y2

0,
y
无
3
约
束
对偶问题的对偶还是原问题
14
• 练习写出下列线性规划问题的对偶问题.
max Z 4x1 3x2 2x3
4x1

运筹学及其应用4.2 对偶问题的基本性质和基本定理

§2 对偶问题的基本性质和基本定理
1、对称性定理对偶问题的对偶为原问题.
原问题：maxz = CX AX ≤ b X ≥ 0
(1)
对偶问题：minw = Yb YA ≥ C Y ≥ 0 (2)
1
2.弱对偶性
原 max z = CX AX ≤ b X ≥0
min w = Yb YA ≥ C Y ≥0
是对偶问题的一个最优解。
例：书P25
CB = (8, 3)
B −1
=

1 −2
0 1
Y = CB B−1 = ( 2, 3) 为对偶问题的最优解。
6
• 对偶问题中，解的情况有： • 1.都有有限最优解 • 2.都无可行解 • 3.一个有无界解，另一个无可行解
7
6、对偶问题的经济含义——影子价格
设X 为原问题的可行解,Y 为对偶问题的可行解,
则存在
CX ≤ Yb
推论： (1)max问题任一可行解的目标值为min问题目标值的一个下界； (2)min问题任一可行解的目标值为max问题目标值的一个上界。
2
原 max z = CX AX ≤ b X ≥0
min w = Yb YA ≥ C Y ≥0
最优情况：z*=
∂z* ∂ bi
=
yi*
w*= b1y1*+··· +biyi*+··· +bmym* 称y*i 为bi的影子价格.即对偶问题最优解为其相应资源的影子价格。
x2
[例7]maxz=2x1+3x2
x1&#Q2’
Q2
Q2（4，2） z =14
Q2”
x1,x2≥ 0
x1
b1： 8 9 Q2’(4，2.5)

运筹学-对偶问题

对偶问题的应用场景
资源分配问题
在资源有限的情况下，如何合理分配资源以达到最优目标。
运输问题
如何制定运输计划，使得运输成本最低且满足运输需求。
生产计划问题
如何制定生产计划，使得生产成本最低且满足市场需求。
投资组合优化问题
如何选择投资组合，使得投资收益最大且风险最小。
02
对偶问题在运筹学中的重要性
对偶问题的理论完善与深化
对偶理论的数学基础
进一步深入研究对偶理论的数学基础，包括对偶映射、对偶函数、对偶不等式等，为解决对偶问题提供更坚实的理论基础。
对偶问题的转化与求解
研究如何将复杂的对偶问题转化为更容易求解的形式，或者设计有效的求解方法，以提高对偶问题的求解效率。
对偶理论与实际应用的结合
在对偶理论不断完善的基础上，进一步探索如何将其应用于实际问题中，以解决实际问题的优化问题，提高决策的科学性和效率。
在整数规划中，对偶问题通常是指将原问题的约束条件或目标函数进行一些变换，使得原问题与对偶问题在结构上存在一定的对称性。
对偶问题的性质
02
01
03
对偶问题的最优解与原问题的最优解具有密切关系。
在线性规划中，如果原问题是最大化问题，则对偶问题是最小化问题，反之亦然。
在整数规划中，对偶问题的约束条件和目标函数通常与原问题存在一定的对称性。
02 求解步骤
03 1. 定义原问题和对偶问题。
04
2. 利用状态转移方程和最优子结构性质，求解对偶问题。
05 3. 利用对偶问题的解，求解原问题。
博弈论中的对偶策略
1. 定义博弈中的策略空间和支付函数。
求解步骤
2. 构造对偶问题。

运筹学第2章线性规划的对偶问题

第2章线性规划的对偶理论与灵敏度分析
§2.1 线性规划的对偶问题
随着线性规划应用的逐步加深，人们发现每一个线性规划问题都存在一个与之对应的、具有密切关联的线性规划问题，其中一个称为原问题，另一个称为对偶问题（Dual linear programming，DLP）。对偶问题不仅具有优良的数理性质，而且还有着重要的实际意义，尤其在生产运营管理中有明显的经济含义。对偶理论充分显示出线性规划理论逻辑上的严谨性和结构上的对称性，使线性规划理论更加丰富，应用领域更为广泛。
yi 0 (i 1,2,3)
则得如下的线性规划模型：
min w 48 y1 20 y2 8 y3 8 y1 4 y2 2 y3 600 6 y 2 y2 1.5 y3 300 s.t. 1 y1 1.5 y2 0.5 y3 200 y , y , y 0 1 2 3
max z 2 y1 5 y2 9 y3 y1 3 y2 2 y3 3 2 y y 2 y 1 1 2 3 5 y1 y2 3 y3 1 y1无约束,y2 0, y3 0,
max z 600 x1 300 x2 200 x3 8 x1 6 x2 x3 48 4 x1 2 x2 1.5 x3 20 s.t 2 x1 1.5 x2 0.5 x3 8 x , x , x 0 1 2 3
x1 2, x2 0, x3 8
（2.1.6）
设 yi (i 1,2,, m) 表示第i种资源的定价，则其对偶问题的形式为：
min w b1 y1 b2 y2 ... bm ym a11 y1 a21 y2 ... am1 ym c1 a y a y ... a y c 12 1 22 2 m2 m 2 s.t. a y a y ... a y c mn m n 1n 1 2 n 2 y1 , y2 , , ym 0