管理运筹学对偶问题

原问题与对偶问题可能出现的情况 （1）两者都有最优解，且最优值相等； （2）一个有可行解，但无界，则另一个无可 行解； （3）两者都无可行解。
15
min w 15 y 24 y 5y
1
2
3
s.t
6y y 2
2
3
对 偶
收
5y 2y y 1 问
1
2
3
购
y ,y ,y 0
1
2
3
厂题
家
原问题
对偶问题
max
s.t
.
z CX AX b
ms.itn.
w Yb YA C
X 0
Y0
一 般
3个约束 2个变量
规 律
C (c1, c2 )
收购方的意愿：
单位产品Ⅰ出租 收入不低于2元
单位产品Ⅱ出租 收入不低于1元
min w 15 y 24 y 5 y
1
2
3
Ⅰ
Ⅱ
D
设备A
0
5
15时
设备B
6
2
24时
调试工序
1
1
5时
利润（元） 2
1
max z 2x1 x2
s.t.
5x2 15
原
6x1 2x2 24
问 题
x1 x2 5 x1, x2 0
－4y1＋ y2 +y3 －3
y1 0, y2自由变量, y3 0
12
性质1 对称性定理：对偶问题的对偶是原问题
max Z=C X
s.t. AX≥b
X ≥0
min W= Y b s.t. YA ≥ C
Y≤0
性质2 弱对偶原理(弱对偶性)：设 和X 0 分别Y是0 问题(P)和
(D)的可行解，则必有
一、对偶问题的提出
例：某家电厂家利用现有资源生产 两种产品， 有关数据如下表：
产品Ⅰ 产品Ⅱ
D
设备A
0
设备B
6
调试工序
1
5
15时
2
24时
1
5时
利润（元） 2
1
x 设 Ⅰ产量––––– 1
x Ⅱ产量––––– 2
如何安排生产， 使获利最多？
max z 2x1 x2
s.t.
5x2 15
6x1 2x2 24
原问题（或对偶问题） 对偶问题（或原问题）
约束条件右端项
目标函数变量的系数
目标函数变量的系数
约束条件右端项
目标函数 max
目标函数 min
约
m个
束
≤
条 件
≥
=
m个
≥0
变
≤0
量
无约束
n个
变
≥0
量
≤0
无约束
n个
约
≥
束
≤
条 件
=
例:
max z 5x1 3x2 2x3 4x4
5x1 x2 x3 8x4 8 s.t2x1 4x2 3x3 2x4 10
x1,x2 0 x3,x4无约束
对偶问题为
min w 8y1 10 y2
5 y1 2 y2 5
s.t.
y1 4 y2 3 y1 3y2 2
8 y1 2 y2 4
y1
0,
y2无约束
写出下列线性规划的对偶问题
maxZ= 5x1+4x2 +6x3
x1 +2x2 2
-3xx11
厂
x1 x2 5
家
x1, x2 0
设：设备A ——y1元／时 设备B ––––y 2元／时
调试工序 ––––y3元／时
付出的代价最小， 且对方能接受。
出让代价应不低于
用同等数量的资源
收
自己生产的利润。
购
厂家能接受的条件：
出 用同让等代6 y数价2量应的不y资低3 源于 2 5 y自1己生2产y的2 利润y3。 1
CX 0 Y 0b
n
m
即： c j x j yibi
j1
i1
推论1: 原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数值 的下届；反之，对偶问题任意可行解的目标函数值是其原问题目 标函数值的上界。
推论2: 在一对对偶问题（P）和（D）中，若其中一个问题可行但 目标函数无界，则另一个问题无可行解；反之不成立。这也是对 偶问题的无界性。
2个约束 3个变量
Y (y1,y2,y3 )
A (aij )
X
x1 x2
b1
b
b2 b3
特点：
1． max min
2．限定向量b 价值向量C
其它形式 的对偶
?
（资源向量）
3．一个约束 一个变量。
4． max z 的LP约束“ ” min z 的
LP是“ ”的约束。
5．变量都是非负限制。
+2x
2
+ x3 +x3
3 -5
x1 -x2 +x3 =1
x1
0,x 2
0,x
无约束
3
解：对偶规划： minW=2y1+3y2 -5y3+y4
y1 + y2 -3y3 +y4 5
2y1 +2y3 -y4 4
y2 +y3 +y4 6
百度文库
y1 0, y2 0, y3 0, y4无约束
11
写出下列线性规划的对偶问题
minZ= 9x1 +6x2 -3x3
2x1 + x2 -4 x3 4
-3x1 -x2 +x3 =-2
2x 1
+2x2 +x3 6
x1, x2 ,x3 0
解：上述问题的对偶规划：
maxW=4y1-2y2 +6y3
2y1 －3 y2＋2y3 9
y1 －y2
+2y3 6