八年级秋季班-第10讲：函数的概念及表示法

合集下载

【初二上册数学】八年级秋季班-第10讲：函数的概念及表示法

函数是描述变化过程中的数量关系的工具，我们本章将以研究数量问题为起点，以正比例函数和反比例函数为载体，学习函数的初步知识．本节课的主要内容是对函数和正比例函数的概念进行讲解，重点是函数及正比例的概念理解，难点是正比例函数的图象和性质．1、函数的概念（1）在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量；（2）在某个变化过程中有两个变量，设为x和y，如果在变量x允许的取值范围内，变量y随着x变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫做自变量.函数用记号()y f x=表示，()f a表示x a=时的函数值；（3）表示两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式．函数的概念正比例函数知识结构模块一：函数的概念知识精讲内容分析2.函数的定义域和函数值（1）函数自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域．（2）函数自变量取遍定义中的所有值，对应的函数值的全体叫做这个函数的值域．【例1】（1）在正方形的周长公式4l a =中，a 是自变量，_______是_________的函数，______是常量；（2）面积是2()S cm 的正方形地砖边长为a （cm ），S 与a 之间的函数关系式是_________，其中自变量是____________．（3）圆的周长C 与半径r 之间的函数关系是______________，其中常量是__________，变量是____________．【例2】在匀速运动中，若用s 表示路程，v 表示速度，t 表示时间，那么式子s vt =，下列说法中正确的是（） A ．s 、v 、t 三个量都是变量B ．s 与v 是变量，t 是常量C ．v 与t 是变量，s 是常量D ．s 与t 是变量，v 是常量【例3】下列各式中，x 是自变量，y 表示对应的值，判断y 是否是x 的函数？为什么？（1）2y x =；（2）|3|y x =；（3）（4）（例题解析 x 1 2 3 4y 1 1 2 2 y 1 2 3 4 x 1 1 2 2【例4】下列各式中，不是函数关系式的是（）A ．y =B ．y =C ．y =D ．y =【例5】判断下列变量之间是不是函数关系，如果是，写出函数关系式，如果不是，说明理由：（1）长方形的宽a （cm ）固定，其面积S 与长b ；（2）长方形的长a 固定，面积S 与周长c ；（3）三角形一边上的高为4，三角形的面积y 与这边长x ；（4）等腰三角形顶角的度数x 与底角的度数y ．【例6】填空：（1）函数232y x =-+，当x =___________，函数y 的值等于0；（2）若函数y =x 的取值范围是一切实数，则c 的取值范围是________．【例7】求下列函数的定义域：（1）1||4y x =- （2）22x y x =；（3）y ；（4）y =．【例8】将2132y x y -=+写成()y f x =的形式，并求13(0)(3)()(0)2f f f a a a -≠≠，，，， 1(1)3f a a +≠-（）的值．【例9】 A 、B 两地路程为160千米，若汽车以50千米/小时的速度从A 地驶向B 地，写出汽车距离B 地的路程S （千米）与行驶的时间t （小时）之间的函数关系式．【例10】已知水池的容量为1003m ，每小时灌水量为Q 3m ，灌满水池所需时间t 小时，求t 关于Q 的函数关系式，当每小时的灌水量为53m 时，灌满水池需多少时间?【例11】如图，△ABC 与正方形BDEF ，其中∠C =90°，AC=BC =BD =8，且BC 与BD 均在直线L 上，将△ABC 沿直线以2个单位/秒向右平移，设移动的时间为t ，△ABC 与正方形BDEF 在移动的过程中重叠部分的面积为s ，求s 与t 的函数关系式，并写出定义域?【例12】已知等腰三角形周长为24cm ，（1）若腰长为x ，底边长为y ，求y 关于x 的函数关系式及定义域；（2）若底边长为x ，腰长为y ，求y 关于x 的函数关系式及定义域．A CB D E F【例13】如图，在△ABC中，BC = AC = 12，∠C = 90°，D、E分别是边BC、BA上的动点（不与端点重合），且DE⊥BC，设BD = x，将△BDE沿DE进行折叠后与梯形ACDE 重叠部分的面积是y：（1）求y和x的函数关系式，并写出定义域；（2）当x为何值时，重叠部分的面积是△ABC面积的14．ABC DEABC备用图ABC备用图ABC备用图1．正比例函数的概念(1)如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量x 、y 成正比例，就是y k x=，或表示为y kx =（x 不等于0），k 是不等于零的常数.(2)解析式形如y kx =（k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数k 叫做比例系数.正比例函数y kx =的定义域是一切实数.确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式2.正比例函数的图象(1)一般地，正比例函数y kx =(k 是常数, 0k ≠)的图象是经过(00)，，(1)k ，这两点的一条直线，我们把正比例函数y kx =的图象叫做直线y kx =；(2)图像画法：列表、描点、连线．3．正比例函数的性质(1)当0k >时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值也随着逐渐增大．(2)当0k <时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值则随着逐渐减小．【例14】下列各变量成正比例函数关系的是（） A ．圆的面积与它的半径B ．长方形的面积一定时，长与宽C ．正方形的周长与边长D ．三角形面积和高【例15】下列函数中，是正比例函数的是（）A ．3(0)y k k=≠ B ．(2)(2)y k x k =+≠- C ．1(0)y k kx =≠ D ．2(0)y kx k =≠例题解析知识精讲模块二正比例函数【例16】（1）已知函数23(2)m y m x -=-是正比例函数，则m =_________；（2）当a _________时，函数(1)y a x =+是正比例函数．【例17】（1）已知函数y 与x 成正比例关系，且当122x y =-=时，，当3x y ==时， _________；（2）已知13y x -与成正比例，且当14x y =-=时，，则y 与x 之间的函数关系式是__________．【例18】（1）若点B （b ，-9）在函数 3y x =的图像上，则b = _________；（2）若将点P （5，3）向下平移1个单位后，落在直线(0)y kx k =≠的图像上，则k =_________．【例19】（1）如果正比例函数21x y m =-的图像经过第二、四象限，那么m 的取值范围是_________；（2）函数(1)y k x =-的图像经过第一、三象限，那么k 的取值范围_________．【例20】（1）已知y 与x 之间的函数关系式是21y x =-，那么y 与x___________（填“是”或“不是”）正比例关系；（2）已知39y x =-，y 与_____________成正比例关系，k =___________．【例21】（1）已知2345y x -+与　成正比例，且当115x y ==时，，求y 与x 的函数关系式；（2）已知2(2)6y k x k k =-++-为正比例函数，求k 的值及函数解析式．【例22】若431(23)t y t x +=-是正比例函数，又2712y x =-，当x 取何值时12y y >．【例23】已知y是x的正比例函数，且当3x=时，1y=-：（1）求出这个函数的解析式；（2）在直角坐标平面内，画出这个函数的图像；（3）如果点P（a，4）在这个函数图像上，求a的值；（4）试问：点(62)A-，关于原点对称的点B是否在这个图像上?【例24】已知正比例函数的图像过第四象限且过(23)a，两点，求此正比例函数-，和(6)a-的解析式．【例25】点燃的蜡烛，缩短的长度按照与时间成正比例缩短，一支长15cm的蜡烛，点燃3分钟后，缩短1.2cm，设蜡烛点燃x分钟后，剩余长度ycm，求y与x的函数解析式及x的取值范围．【例26】已知三角形ABC的底边AB的长为3，AB边上的高为x，面积为y，（1）写出y和x之间的函数关系式；（2）画出函数的图像．【例27】（1）已知直线y ax =在实数范围内有意义，求a 的取值范围；（2）已知函数(21)y m x =+的值随x 的增大而减小，且函数(13)y m x =-的值随着x 的增大而增大，求m 的取值范围．【例28】正比例函数的解析式为2(1)y k x =-，（1）当11k -<<时，y 的值随x 值的增大是增大还是减小？（2）若正比例函数的图像经过第一、三象限，k 的取值范围是什么？【例29】已知正比例函数的自变量增加4时，对应的函数值增加6，（1）求这个函数解析式；（2）当6x =时，求y 的值；（3）当4y =时，求x 的值；（4）当24x -≤≤时，求y 的取值范围；（5）当66y -≤≤时，求x 的取值范围．x【例30】 m 取何值时，y 关于x 的函数21(3)4m y m x x +=++是正比例函数．【例31】已知直角三角形ABC 中，∠C =90°AC =6，AB =12，点D 、E 、F 分别在边BC 、AC 、AB 上（点E 、F 与三角形ABC 顶点不重合），AD 平分∠CAB ，EF ⊥AD ，垂足为点H ，设CE=x ，BF=y ，求y 与x 之间的函数关系式．【例32】已知一正比例函数y mx =图像上的一点P 的纵坐标是3，作PQ ⊥y 轴，垂足为点Q ，三角形OPQ 的面积是12，求此正比例函数的解析式．【例33】如图，在直角坐标系中，OA = 6，OB =8，直线OP 与线段AB 相交于点P ，（1）若直线OP 将△ABO 的面积等分，求直线OP 的解析式；（2）若点P 是直线OP 与线段AB 的交点，是否存在点P ，使△AOP 与△BOP 中，一个面积是另一个面积的3倍？若存在，求直线OP 的解析式；若不存在，请说明理由．【习题1】下列图像中，是函数图像的是（）．【习题2】在函数y=x的取值范围是（）．A．0x≥B．0x≤C．0x=D．任意实数【习题3】下列各点，不在函数23y x=-图像上的是（）．A．（1，23-）B．（3，-2）C．(23-，13) D．（-6，4）【习题4】（1）若函数22()my m m x=-是正比例函数，则m的值是_________________；（2）已知y kx=是正比例函数，且当x=2时y=3，则比例系数是_____________．【习题5】求下列函数的定义域：（1）23xyx=-；（2）y=（3）12y x=+；（4）y=．随堂检测A B C D【习题6】若211y x y +=-，用含x 的式子表示y ；若()y f x =，试求(1)f ，(0)f ，(1)(3)f a a -≠，()(2)f x x -≠-的值．【习题7】已知正比例函数23(1)ky k x -=-的值随自变量x 的增大而减小，求k 的值及函数解析式．【习题8】（1）已知32y x -+与成正比例，当x =3时，y =7，求y =9时，x 的值；（2）正比例函数(0)y kx k =≠的图像过A （1，a ）、B （a +1，6），求函数的解析式．【习题9】已知122y y y =-，21y x 与成正比例，231y x +与成正比例．且当15x y ==时，当13x y =-=时，求y 关于x 的函数关系式．【习题10】已知正比例函数的图像过点(．（1）若点(a ，，)b 在图像上，求a 、b 的值；（2）过图像上一点P 作y 轴的垂线，垂足为Q (0，，试求三角形OPQ 的面积．【习题11】在直角三角形ABC 中，AC =12，BC =16，AB =20，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，在CD 上取一点P （不与C 、D 重合），设三角形APB 的面积是y ，CP 的长为x ，求y 和x 的函数关系式，并写出函数的定义域．【习题12】如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CD =5，AD =7，BC =13，40ABCD S =梯，P 是一动点，沿AD 、DC 由A 经D 点向C 点移动，设P 点移动的路程是x ．（1）当P 在AD 上运动的时候，设PAB S y ∆=，求y 与x 之间的函数关系式及定义域，并画出函数图像；（2）当点P 继续沿DC 向C 移动时，设PAB S y ∆=，求y 与x 之间的函数关系式．ABCDPPABCD【作业1】三角形ABC 中∠A =90°，AB =4，BC =5，P 是AC 边上一动点，点P 不与A 、C重合，则该图中线段____________是常量，线段_______________是变量；若AP=x ，设BPC S y ∆=，写出y 关于x 的函数关系式______________，自变量x 的取值范围是______________．【作业2】下列变量之间的变化是函数关系的是______________（只填序号）．（1）正方形的面积和它的周长；（2）长方形的面积和它的周长；（3）0)y x =≥；（4）||y x =；（5）0)y x <【作业3】（1）已知()2(2)6f x x f a =-=，，则a 的值是_____________；（2）已知2231()21()2(1)()()42f x xg x x f g =-=-+-+=，，则___________．【作业4】（1）函数|3|y x =+的定义域为______________；（2）函数0y =的定义域为______________；（3）函数0y =的定义域为________________．【作业5】 23y x -与成正比例，当x =2时，y =11，求y 与x 之间的函数关系．【作业6】（1）已知直线22(3)9k y m x m =++-是正比例函数，求mk 的值；课后作业（2）已知2215(4)my m m x -=-是正比例函数，求m 的值；（3）已知直线2(2)5y k x k k =-+-经过原点，且y 的值随x 的值的增大而减小，求k 的值．【作业7】等腰钝角三角形ABC 中，底边长为8，面积是S ，底边上高AD 为h ，试求出S与h 的函数关系式及函数的定义域，并画出函数的图像．【作业8】（1）某同学用20元钱买水笔，其单价为3.5元，求买水笔余下的钱y 与买水笔的数量x 之间的函数关系式；（2）靠墙（墙长为18cm ）的地方围成一个矩形的养鸡场，另三边用篱笆围成，如果竹篱笆总长为35cm ，求养鸡场的一边长为y （cm ）与另一边长x （cm ）之间的函数关系式，并写出函数的定义域．ABCDxy墙【作业9】已知直线y kx =过点（12- ，3），A 为y kx =图像上的一点，过点A 向x 轴引垂线，垂足为点B ，5AOB S ∆= （1）求函数的解析式；（2）在平面直角坐标系内画出函数的图像；（3）求点A 、B 的坐标．【作业10】过正比例函数图像上的一点Q (35)a a --，在第二象限，（1（2）若a 的值是整数，求正比例函数的解析式，并判断点()k k -，在不在函数图像上．【作业11】已知正比例函数过点A （4，-2），点P 在正比例函数图像上，B （0，4）且10ABP S ∆=，求点P 的坐标．。

八年级函数及其图像知识点

八年级函数及其图像知识点
函数是数学中的一个重要概念，可以描述两个变量之间的关系。

在八年级学习函数和图像的过程中，需要掌握以下知识点：
一、函数的概念
函数可以看作是输入和输出之间的一个规律或者关系，其中输
入称为自变量，输出称为函数值或因变量。

在函数的定义中，每
一个自变量会产生唯一的函数值，这也是函数的一条重要特征。

二、函数的表达式
函数可以通过表达式来表示，例如 y = 2x + 1 就是一个函数表
达式，其中 x 是自变量，y 是函数值。

在函数表达式中，可以用符号表示函数的性质，例如 y = f(x) 中的 f(x) 就表示函数名。

三、函数的性质
函数有很多相关的性质，包括奇偶性、单调性、周期性等。

其中奇偶性表示函数的对称性，单调性表示函数的增减变化趋势，周期性表示函数的周期规律。

四、函数的图像
函数的图像也是非常重要的，可以通过图象的形状和位置来描述函数的性质。

例如 y = sin x 的图像呈现出一条波浪形，表示函数的周期性特征。

图像的位置和斜率还可以表示函数的变化趋势和变化速率。

五、函数的应用
函数在数学和现实生活中都有广泛的应用。

例如在数学中，函数可以用于描述各种变化规律，例如物理运动、生物生长等。

在现实生活中，函数可以用于分析各种数据，例如统计数据、金融数据等。

八年级函数及其图像的知识点虽然较多，但只要认真学习，多
加练习，就能够掌握其中的精髓。

希望同学们能够善于发现问题，多思考，多探索，不断提升自己的数学能力。

函数的概念及其表示课件

复合函数及其运算
复合函数的概念
复合函数是由两个或多个基本函数通过嵌套方式组合而成的新函数。内部函数的值作为外部函数的自变量，形成一个新的函数关系。
复合函数的运算
对复合函数进行运算时，需要遵循从内到外的顺序，先计算内部函数的值，再将结果代入外部函数进行计算。
函数在实际问题中的应用举例
01
经济学领域应用
函数的性质
包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。这些性质帮助我们更深入地理解函数
的行为和特征。
02
函数的表示方法
表格法
定义
通过列表格的方式来表示函数关系，列出输入值与对应输出值的
一种表示方法。
优点
表格法简单明了，能够直观地展示函数输入输出之间的关系，方便查找特定输入值对应的输出值。
函数关于y轴对称。
函数的奇偶性是函数的另一种重要性质，它与函数的对称性有关，可以帮助我们更好地理解函数
的图像和性质。
04
函数的运算与应用
函数的加减乘除运算
函数加减运算
当两个函数的定义域相同时，可以进行加减运算，将对应自变量上的函数值相加或相减得到新的函数。
函数乘除运算
函数乘除运算也是基于相同的定义域进行的，将对应自变量上的函数值相乘或相除得到新的函数。需要注意的是，函数除法运算中，除数函数不能为0。
在生物学研究中，函数可以描述生物种群数量随时间的变化关系，通过函数的建模和分析，可以揭示生态系统中种群的动态平衡规律，为生态保护提供科学依据。
Tห้องสมุดไป่ตู้ANK YOU
感谢观看
图象法
定义
通过画图的方式来表示函数关系，将函数的输入值作为自变量，输出值作为因变量，在坐标系中描点并连成曲线表示函数关系的方法。

八年级函数基础知识点总结

八年级函数基础知识点总结一、函数的概念1. 什么是函数？函数是一种特殊的数学关系，它将每个自变量（输入值）映射到唯一的因变量（输出值）。

通俗地讲，函数就是一个“机器”，它能够将一个数映射成另一个数。

2. 函数的表示方法函数可以用各种不同的表示方法来表达，比如代数式、图形、表格、文字描述等。

3. 函数的符号表示用数学符号表示函数的一般形式为：f(x) = y。

其中，f(x)表示函数名，x表示自变量，y 表示因变量。

二、函数的图象1. 函数的图象函数的图象是函数在平面直角坐标系中的几何表现，通常用曲线来表示。

横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。

2. 函数的性质函数的图象具有一些特定的性质，比如单调性、奇偶性、周期性等。

这些性质可以通过函数的图象来进行判断和分析。

三、函数的运算1. 函数的四则运算函数之间可以进行加、减、乘、除等四则运算，这些运算的结果仍然是一个函数。

2. 复合函数复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，进行组合运算得到一个新的函数。

3. 反函数如果函数f将x映射为y，那么反函数f^(-1)将y映射为x。

反函数是原函数的逆运算。

四、函数的性质1. 函数的值域和定义域函数的值域是函数所有可能的输出值的集合，定义域是函数所有可能的输入值的集合。

2. 奇偶性函数f(x)的奇偶性是指当x为某个数时，函数f(-x)与f(x)的关系。

如果f(-x) = f(x)，则函数f(x)是偶函数；如果f(-x) = -f(x)，则函数f(x)是奇函数。

3. 单调性如果函数在定义域上的任意两个数x1、x2，若有x1 < x2，则f(x1)与f(x2)的关系。

如果f(x1) < f(x2)，则函数f(x)是增函数；如果f(x1) > f(x2)，则函数f(x)是减函数。

4. 周期性函数f(x)的周期是一个正数T，如果对于任意x，f(x+T) = f(x)。

五、函数的应用1. 实际问题中的函数函数在各个行业和领域中有着广泛的应用，比如物理学中的运动学函数、经济学中的收益函数、生物学中的生长函数等。

八年级(人教版)函数知识点总结

八年级(人教版)函数知识点总结1. 函数的概念1.1 函数的定义- 函数是一种具有特定输入和输出的关系。

1.2 函数的表示方法- 显式函数表达式- 隐式函数表达式- 函数图像2. 函数的性质2.1 奇偶性- 如果对于任何$x$，都满足$f(-x) = f(x)$，则称函数为偶函数。

- 如果对于任何$x$，都满足$f(-x) = -f(x)$，则称函数为奇函数。

2.2 周期性- 如果对于任何$x$，都满足$f(x+T) = f(x)$，则称函数为周期函数。

2.3 单调性- 如果对于$x_1 < x_2$，都满足$f(x_1) < f(x_2)$，则称函数为单调递增。

- 如果对于$x_1 < x_2$，都满足$f(x_1) > f(x_2)$，则称函数为单调递减。

3. 函数的基本图像与简单变形3.1 常函数$f(x) = C$3.2 一次函数$f(x) = kx + b$3.3 二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a\neq 0$ 3.4 绝对值函数$f(x) = |x|$3.5 倒数函数$f(x) = \frac{1}{x}$3.6 反比例函数$f(x) = \frac{k}{x}$，其中$k\neq 0$ 4. 函数的运算4.1 函数的和、差、积、商- 设$f(x)$和$g(x)$是定义域为$D$的函数，则：- 和函数：$(f+g)(x) = f(x)+g(x)$，$D_{f+g} = D_f \cap D_g$ - 差函数：$(f-g)(x) = f(x)-g(x)$，$D_{f-g} = D_f \cap D_g$- 积函数：$(f\times g)(x) = f(x)\times g(x)$，$D_{f\times g} = D_f \cap D_g$- 商函数：$\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$，$D_{\frac{f}{g}} = \{x\in D_f \cap D_g|g(x)\neq 0\}$4.2 复合函数- 设$f(x)$和$g(x)$是定义域为$D$的函数，则：- $(f\circ g)(x) = f(g(x))$，$D_{f\circ g} = \{x\in D_g|g(x)\in D_f\}$5. 函数的应用5.1 解方程- 通过函数图像的交点来求解方程。

初二数学(秋季)讲义第10讲一次函数

无★代表普通高中、★代表重点高中、★★代表四大名校y=kx ＋b （k ，b 为常数，k ≠0）叫做x 的一次函数,其中x 是自变量，y 是因变量。

正比例函数：函数y=kx （k 为常数，且（k ≠0）），此时b=0， y 叫做x 的正比例函数。

2.函数的三种表示方法：列表法图像法解析式法 3.作一次函数的图像：列表，描点，连线（1）作正比例函数y ＝kx 的图像常取点（0，0）和（1，k ）；（2）作一次函数)0(≠+=b b kx y 的图像常取（b ,0）和（0,k b-）两点，这两点是直线与坐标轴的交点。

4.一次函数y=kx+b 的图像和性质： y 随增大而_________随x 增大而_________例1．（1）下列函数关系中表示一次函数的有（）①12+=x y ②xy 1=③x x y -+=21④t s 60=⑤x y 25100-=A.1个B.2个C.3个D.4个（2）已知3m22x )2m m (y -+=，如果y 是x 的正比例函数,则m 的值为( )A.2B.-2 C 2,-2 D.0初二数学（秋季）讲义第十讲一次函数变式练习1-1. 已知函数(1)3my m x =-+是一次函数，则m=＿＿＿变式练习1-2. 已知函数y=(2m-1)x+1-3m ，m 为何值时， ①这个函数是一次函数？ ②这个函数为正比例函数？例2. 已知y 与x-3成正比例，且x=2时，y=7。

（1）写出y 与x 之间的函数关系式（2）当x=4时，求y 的值（3）当y=4时，求x 的值变式练习2. 已知y-2与4x 成正比例，且当x=3时，y=6，写出y 与x 的函数关系式。

例3．已知等腰三角形的周长为6，底边为y 表示，腰长为x（1）写出用x 表示y 的函数关系式（2）在坐标系中画出函数图像(3)求它的图象与x 轴、y 轴所围成图形的面积;变式练习3. 在同一坐标系中作出， y=2x+1，x y 3=，的图像例4. 函数25+-=x y 与x 轴的交点是，与y 轴的交点是 ,与两坐标轴围成的三角形面积是。

函数的概念及其表示法

时，有x=f^(-1)(y)，则称x=f^(-1)(y)为y=f(x)的反函数。
性质
02
原函数和反函数在相应的区间上单调性相同。
求导法则
03
原函数的导数等于反函数的导数的倒数。
05 函数的实际应用
一次函数的应用
01
02
03
线性回归分析
一次函数是线性回归分析的基础，通过拟合数据点，可以预测因变量的变化趋势。
函数的概念及其表示法
目录
• 函数的基本概念 • 函数的表示法 • 函数的定义域和值域 • 函数的运算 • 函数的实际应用
01 函数的基本概念
函数的定义
01
函数是一种特殊的对应关系，它使得集合A中的每一个元素都能通过某种法则对应到集合B中的唯一一个元素。
02
函数通常用大写字母表示，如f(x)， g(x)等，其中x是自变量，f(x)是因变量。
初等函数
由代数函数和三角函数经过有限次四则运算得到的函数。
三角函数
与三角学相关的函数，如正弦函数、余弦函数等。
超越函数
不能表示为有限次四则运算的初等函数的函数，如自然对数函数、正切函数等。
02 函数的表示法
解析法
解析法
使用数学表达式来表示函数，如 $f(x) = x^2 + 2x + 1$。解析法精确地描述了函数与自变量之间的数学关系，适用于需要精确计算的情况。
表格法
01 02
表格法
列出自变量和因变量的若干组对应数值，以表格的形式表示函数。适用于已知部分函数值的情况，可以通过插值或拟合的方法确定其他点的函数值。
优点
简单、直观，能够提供一定程度的近似值。

八年级函数的知识点总结

八年级函数的知识点总结函数是数学中的一种常见概念，也是数学中应用较为广泛的概念之一。

在八年级的数学学习中，学生们需要了解和掌握函数的相关知识。

本文将为大家总结八年级函数的知识点。

一、函数的概念函数是一种特殊的关系，对于定义域中的每一个元素，都有且只有一个值与之对应。

一般用f(x)来表示函数，其中x是自变量，f(x)是函数值。

例如，f(x) = x + 1就是一个简单的函数。

二、函数的图象函数的图象是函数在平面直角坐标系上的表示。

一般来说，如果一个点(x, y)属于函数的图象，那么y就是函数在x处的函数值。

函数的图象可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点，如函数的单调性、奇偶性等。

三、一次函数中k和b都是常数。

一次函数的图象为一条直线，具有方程y = kx + b。

四、二次函数二次函数是函数的另一种特殊形式，其表达式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a≠0，a、b、c都是常数。

二次函数的图象为一条开口朝上或朝下的抛物线，其轴对称线为x = -b/2a。

五、幂函数幂函数是函数的一种特殊形式，其表达式为f(x) = x^a，其中a 是常数。

当a>0时，幂函数的图象为上凸曲线；当a<0时，幂函数的图象为下凸曲线。

当a为偶数时，幂函数的图象会关于y轴对称。

六、指数函数a>0且a≠1。

指数函数的图象为单调递增或单调递减的曲线。

当a>1时，指数函数的图象上升；当0<a<1时，指数函数的图象下降。

七、对数函数对数函数是指满足f(x) = loga(x)(a>0且a≠1)的函数。

对数函数的图象为单调递增或单调递减的曲线。

当a>1时，对数函数的图象上升；当0<a<1时，对数函数的图象下降。

八、函数的运算函数之间可以进行运算，常见的函数运算包括函数加减、函数乘除、函数复合等。

函数的运算结果也是一个函数。

函数作为数学中较为重要的概念之一，可以应用到数学各个领域，如代数、微积分等。

八年级数学函数的相关概念知识点总结

八年级数学函数的相关概念知识点总结一、函数的概念：1、函数的定义：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量 x 和 y，并且对于变量 X 的每一个值，变量 y 都有唯一的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的函数 (function)，其中 x 是自变量。

例如某天的气温随时间变化的曲线如下图所示：从这条曲线可以看出温度是随时间变化的，也就是可以知道不同时间对应的温度和同一温度对应的未使用时间。

2、函数的表示法：可以用三种方法来表示函数: ① 图象法、② 列表法、③ 关系式法。

3、函数值：对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 a , 函数有唯一确定的对应值,这个对应值称为当自变量等于 a 时的函数值。

二、理解函数概念时应注意的几点：① 在某一变化过程中有两个变量x与y；② 这两个变量互相联系,当变量x取一个确定的值时,变量y 的值就随之确定；③ 对于变量 x 的每一个值,变量 y 都有唯一的一个值与它对应。

如在关系式y^2 = x(x>0)中,当 x=9 时,y 对应的值为 3 或-3,不唯一 ,则 y不是 x的函数。

三、函数的应用：1、判别是否为函数关系；2、确定自变量的取值范围；3、确定实际背景下的函数关系式；4、由自变量的值求函数值；5.探究具体问题中的数量关系和变化规律。

四、典例讲解：例题1、下列各图像中，y 是 x 的函数的图像是（ D ）例题2、在函数变量为x , y，常量为 5 ，-3 ，自变量为x ，当 x = -1 时，函数值为 2 。

例题3、一名老师带领 x 名学生到动物园参观。

已知成人票每张 30 元，学生票每张 10 元。

若设门票的总费用为 y 元，则 y 与 x 的函数关系式为（A ）例题4、下面的表格列出了一个实验的统计数据，给出的是皮球从高处落下时弹跳高度 b 与下降高度 d 的关系。

下列能表示这种关系的式子是（ C）例题5、已知两个变量 x , y 满足 2x^2 - 3y + 5 = 0 , 试问：① y 是 x 的函数吗？② x 是 y 的函数吗？若是，写出 y 与 x 的关系式；若不是，请说明理由。

函数概念及表示法教案

(1) 理解函数的定义；(2) 理解函数值的概念及表示；(3) 理解函数的三种表示方法；.(4) 掌握利用“描点法”作函数图像的方法(1) 通过函数概念的学习，培养学生的数学思维能力；(2) 通过函数值的学习，培养学生的计算能力和计算工具使用技能；.(3) 会利用“描点法”作简单函数的图像，培养学生的观察能力和数学思维能力( 1) 函数的概念；.(2) 利用“描点法”描绘函数图像( 1) 对函数的概念及记号y f(x) 的理解；.(2) 利用“描点法”描绘函数图像（1）从复习初中学习过的函数知识入手，做好衔接；（2）抓住两个要素，突出特点，提升对函数概念的理解水平；（3）抓住函数值的理解与计算，为绘图奠定基础；（4）学习“描点法”作图的步骤，通过实践培养技能；.（5）重视学生独立思考与交流合作的能力培养教学课件2 课时．(90 分钟用的字母无关．如函数 y = x 与 s = t 表示的是同一个函数.求下列函数的定义域： f (x ) =； (2) f (x ) =.如果函数的对应法则是用代数式表示的，那么函数的定义域就是使得这个代数式有意义的自变量的取值集合.(1) 由 x + 1 产 0 ，得 x 产 - 1 .因此函数的定义域为 {x | x 产 -1} ，用区间表示为 (-伪, - 1) u (- 1, +伪) .(2) 由1 - 2x 0 ，得 x .因此函数的定义域为(|（-伪, | .归纳代数式中含有分式，使得代数式有意义的条件是分母不等于零；代数式中含有二次根式，使得代数式有意义的条件是被开方式大于或等于零. 2 设f (x ) =，求f (0) ， f (2) ， f (-5) ， f (b ) . 本题是求自变量 x = x 0 时对应的函数值，方法是将 x 0 代入函数表达式求值.f (0) = 2 根30- 1 = - ，f (2) =2 根32- 1= 1 ， f (-5) =2 根 ( 5) - 1 = - ， f (b ) = 2 根3b- 1= . 3 指出下列各函数中，哪个与函数 y = x 是同一个函数：） y = ；( x , x … 0, ．但是它们的对应法则不同，因此不是同*3.1.11 ．求下列函数的定义域：（1） f (x ) = x ) =2 ．已知 f (x ) = 3x - 2 ，求 f (0) ， f (1) ， f (a ) .3 ．判定下列各组函数是否为同一个函数：（1）f (x ) = x ， f (x ) = ；（2）f (x ) = x +1 ，f (x ) =.*= x =〈l -x ,x x < 0.曲线形象地反映出气温T （。

函数的基本概念和表示方法

函数的概念及其表示方法【知识点一】函数的概念1．函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域.2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.3．区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示．区间表示：{x|a≤x≤b}=[a，b]；；；.【知识点二】函数的表示法1．函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值.2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．【知识点三】映射与函数1.映射定义：设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a 叫做b的原象.注意：(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a的象记为f(a).2.函数：设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).注意：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合.规律方法指导1.函数定义域的求法(1)当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.(2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.(3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.2.如何确定象与原象对于给出原象要求象的问题，只需将原象代入对应关系中，即可求出象.对于给出象，要求原象的问题，可先假设原象，再代入对应关系中得已知的象，从而求出原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象.3.函数值域的求法实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的"最高点"和"最低点"，观察求得函数的值域；配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些"分式"函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.经典例题透析类型一、函数概念1.下列各组函数是否表示同一个函数？(1)(2)(3)(4)思路点拨：对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成立.解：(1)，对应关系不同，因此是不同的函数；(2)的定义域不同，因此是不同的函数；(3)的定义域相同，对应关系相同，因此是相同的函数；(4)定义域相同，对应关系相同，自变量用不同字面表示，仍为同一函数.总结升华：函数概念含有三个要素，即定义域，值域和对应法则，其中核心是对应法则，它是函数关系的本质特征.只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是：(1)定义域不同，两个函数也就不同；(2)对应法则不同，两个函数也是不同的.(3)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.举一反三：【变式1】判断下列命题的真假(1)y=x-1与是同一函数；(2)与y=|x|是同一函数；(3)是同一函数；(4)与g(x)=x2-|x|是同一函数.答：从函数的定义及三要素入手判断是否是同一函数，有(1)、(3)是假命题，(2)、(4)是真命题.2.求下列函数的定义域(用区间表示).(1)；(2)；(3).思路点拨：由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围.解：(1)的定义域为x2-2≠0，；(2)；(3).总结升华：使解析式有意义的常见形式有①分式分母不为零；②偶次根式中，被开方数非负.当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解.举一反三：【变式1】求下列函数的定义域：(1)；(2)；(3).思路点拨：(1)中有分式，只要分母不为0即可；(2)中既有分式又有二次根式，需使分式和根式都有意义；(3)只要使得两个根式都有意义即可．解：(1)当|x-2|-3=0，即x=-1或x=5时，无意义，当|x-2|-3≠0，即x≠-1且x≠5时，分式有意义，所以函数的定义域是(-∞，-1)∪(-1，5)∪(5，+∞)；(2)要使函数有意义，须使，所以函数的定义域是；(3)要使函数有意义，须使，所以函数的定义域为{-2}.总结升华：小结几类函数的定义域：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；(即求各集合的交集)(5)满足实际问题有意义.3.已知函数f(x)=3x2+5x-2，求f(3)，，f(a)，f(a+1).思路点拨：由函数f(x)符号的含义，f(3)表示在x=3时，f(x)表达式的函数值.解：f(3)=3×32+5×3-2=27+15-2=40；；；.举一反三：【变式1】已知函数.(1)求函数的定义域；(2)求f(-3)，的值；(3)当a＞0时，求f(a)×f(a-1)的值.解：(1)由；(2)；；(3)当a＞0时，.【变式2】已知f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求：(1)f(2)，g(2)；(2)f(g(2))，g(f(2))；(3)f(g(x))，g(f(x))思路点拨：根据函数符号的意义，可以知道f(g(2))表示的是函数f(x)在x=g(2)处的函数值，其它同理可得．解：(1)f(2)=2×22-3×2-25=-23；g(2)=2×2-5=-1；(2)f(g(2))=f(-1)=2×(-1)2-3×(-1)-25=-20；g(f(2))=g(-23)=2×(-23)-5=-51；(3)f(g(x))=f(2x-5)=2×(2x-5)2-3×(2x-5)-25=8x2-46x+40；g(f(x))=g(2x2-3x-25)=2×(2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55.总结升华：求函数值时，遇到本例题中(2)(3)(这种类型的函数称为复合函数，一般有里层函数与外层函数之分，如f(g(x))，里层函数就是g(x)，外层函数就是f(x)，其对应关系可以理解为，类似的g(f(x))为，类似的函数，需要先求出最里层的函数值，再求出倒数第二层，直到最后求出最终结果.4. 求值域(用区间表示)：(1)y=x2-2x+4；.思路点拨：求函数的值域必须合理利用旧知识，把现有问题进行转化.解：(1)y=x2-2x+4=(x-1)2+3≥3，∴值域为[3，+∞)；(2)；(3)；(4)，∴函数的值域为(-∞，1)∪(1，+∞).类型二、映射与函数5. 下列对应关系中，哪些是从A到B的映射，哪些不是?如果不是映射，如何修改可以使其成为映射?(1)A=R，B=R，对应法则f：取倒数；(2)A={平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则f：作三角形的外接圆；(3)A={平面内的圆}，B={平面内的三角形}，对应法则f：作圆的内接三角形．思路点拨：根据定义分析是否满足“A中任意”和“B中唯一”．解：(1)不是映射，集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应，不满足“A中任意”；若把A改为A={x|x≠0}或者把对应法则改为“加1”等就可成为映射；(2)是映射，集合A中的任意一个元素(三角形)，在集合B中都有唯一的元素(该三角形的外接圆)与之对应，这是因为不共线的三点可以确定一个圆；(3)不是映射，集合A中的任意一个元素(圆)，在集合B中有无穷多个元素(该圆的内接三角形有无数个)与之对应，不满足“B中唯一”的限制；若将对应法则改为：以该圆上某定点为顶点作正三角形便可成为映射．总结升华：将不是映射的对应改为映射可以从出发集A、终止集B和对应法则f三个角度入手．举一反三：【变式1】判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？①A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则②A=N*，B={0，1}，对应法则f:x→x除以2得的余数；③A=N，B={0，1，2}，f：x→x被3除所得的余数；④设X={0，1，2，3，4}，思路点拨：判断是否构成映射应注意：①A中元素的剩余；②“多对一”“一对一”构成，而“一对多”不构成映射.解：①构成映射，②构成映射，③构成映射，④不构成映射，0没有象.【变式2】已知映射f：A→B，在f的作用下，判断下列说法是否正确？(1)任取x∈A，都有唯一的y∈B与x对应；(2)A中的某个元素在B中可以没有象；(3)A中的某个元素在B中可以有两个以上的象；(4)A中的不同的元素在B中有不同的象；(5)B中的元素在A中都有原象；(6)B中的元素在A中可以有两个或两个以上的原象.答：(1)、(6)的说法是正确的，(2)、(3)、(4)、(5)说法不正确.【变式3】下列对应哪些是从A到B的映射？是从A到B的一一映射吗？是从A到B的函数吗？(1)A=N，B={1，-1}，f：x→y=(-1)x；(2)A=N，B=N+，f：x→y=|x-3|；(3)A=R，B=R，(4)A=Z，B=N，f：x→y=|x|；(5)A=N，B=Z，f：x→y=|x|；(6)A=N，B=N，f：x→y=|x|.答：(1)、(4)、(5)、(6)是从A到B的映射也是从A到B的函数，但只有(6)是从A到B的一一映射；(2)、(3)不是从A到B的映射也不是从A到B的函数.6. 已知A=R，B={(x，y)|x，y R}，f：A→B是从集合A到集合B的映射，f：x→(x+1，x2+1)，求A中的元素的象，B中元素的原象.解：∴A中元素的象为故.举一反三：【变式1】设f：A→B是集合A到集合B的映射，其中(1)A={x|x＞0}，B=R，f：x→x2-2x-1，则A中元素的象及B中元素-1的原象分别为什么？(2)A=B={(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(x-y，x+y)，则A中元素(1，3)的象及B中元素(1，3)的原象分别为什么？解：(1)由已知f：x→x2-2x-1，所以A中元素的象为；又因为x2-2x-1=-1有x=0或x=2，因为A={x|x＞0}，所以B中元素-1的原象为2；(2)由已知f:(x，y)→(x-y，x+y)，所以A中元素(1，3)的象为(1-3，1+3)，即(-2，4)；又因为由有x=2，y=1，所以B中元素(1，3)的原象为(2，1).类型三、函数的表示方法7. 求函数的解析式(1)若f(2x-1)=x2，求f(x)；(2)若f(x+1)=2x2+1，求f(x).思路点拨：求函数的表达式可由两种途径.解：(1)∵f(2x-1)=x2，∴令t=2x-1，则；(2)f(x+1)=2x2+1，由对应法则特征可得：f(x)=2(x-1)2+1即：f(x)=2x2-4x+3.举一反三：【变式1】(1) 已知f(x+1)=x2+4x+2，求f(x)；(2)已知：，求f[f(-1)].解：(1)(法1)f(x+1)=x2+4x+2=(x+1)2+2(x+1)-1∴f(x)=x2+2x-1；(法2)令x+1=t，∴x=t-1，∴f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t2+2t-1∴f(x)=x2+2x-1；(法3)设f(x)=ax2+bx+c则f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c∴a(x+1)2+b(x+1)+c=x2+4x+2；(2)∵-1＜0，∴f(-1)=2·(-1)+6=4f[f(-1)]=f(4)=16.总结升华：求函数解析式常用方法：(1)换元法；(2)配凑法；(3)定义法；(4)待定系数法等.注意：用换元法解求对应法则问题时，要关注新变元的范围.8.作出下列函数的图象.(1)；(2)；(3)；(4).思路点拨：(1)直接画出图象上孤立的点；(2)(3)先去掉绝对值符号化为分段函数.解：(1)，∴图象为一条直线上5个孤立的点；(2)为分段函数，图象是两条射线；(3)为分段函数，图象是去掉端点的两条射线；(4)图象是抛物线.所作函数图象分别如图所示：类型四、分段函数9. 已知，求f(0)，f[f(-1)]的值.思路点拨：分段函数求值，必须注意自变量在不同范围内取值时的不同对应关系.解：f(0)=2×02+1=1f[f(-1)]=f[2×(-1)+3]=f(1)=2×12+1=3.举一反三：【变式1】已知，作出f(x)的图象，求f(1)，f(-1)，f(0)，f{f[f(-1)+1]}的值.解：由分段函数特点，作出f(x)图象如下：∴如图，可得：f(1)=2；f(-1)=-1；f(0)=；f{f[f(-1)+1]}=f{f[-1+1]}=f{f(0)}=f()=+1.10. 某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：(1)乘坐汽车5公里以内，票价2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按5公里计算)，已知两个相邻的公共汽车站间相并画出函数的图象.解：设票价为y元，里程为x公里，由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示：举一反三：【变式1】移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元，若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1，y2(元)，Ⅰ. 写出y1，y2与x之间的函数关系式？Ⅱ. 一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？Ⅲ. 若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？解：Ⅰ：y1=50+0.4x，y2=0.6x；Ⅱ：当y1=y2时，50+0.4x=0.6x，∴0.2x=50，x=250∴当一个月内通话250分钟时，两种通讯方式费用相同；Ⅲ：若某人预计月付资费200元，采用第一种方式：200=50+0.4x，0.4x=150 ∴x=375（分钟）采用第二种方式：200=0.6x，∴应采用第一种(全球通)方式.一、选择题1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( )⑴，；⑵，；⑶，；⑷，；⑸，．A．⑴、⑵B．⑵、⑶C．⑷D．⑶、⑸2．函数y=的定义域是()A．-1≤x≤1B．x≤-1或x≥1 C．0≤x≤1 D．{-1，1}3．函数的值域是( )A．(-∞，)∪(，+∞)B．(-∞，)∪(，+∞)C．R D．(-∞，)∪(，+∞)4．下列从集合A到集合B的对应中：①A=R，B=(0，+∞)，f:x→y=x2；②③④A=[-2，1]，B=[2，5]，f:x→y=x2+1；⑤A=[-3，3]，B=[1，3]，f:x→y=|x|其中，不是从集合A到集合B的映射的个数是( )A．1 B． 2 C． 3 D．45．已知映射f:A→B，在f的作用下，下列说法中不正确的是( )A．A中每个元素必有象，但B中元素不一定有原象B．B中元素可以有两个原象6．点(x，y)在映射f下的象是(2x-y，2x+y)，求点(4，6)在f下的原象( )A．(，1)B．(1，3) C．(2，6)D．(-1，-3)7．已知集合P={x|0≤x≤4}，Q={y|0≤y≤2}，下列各表达式中不表示从P到Q的映射的是( )A．y=B．y=C．y=x D．y=x28．下列图象能够成为某个函数图象的是( )9．函数的图象与直线的公共点数目是( )A．B．C．或D．或10．已知集合，且，使中元素和中的元素对应，则的值分别为( )A．B．C．D．11．已知，若，则的值是( )A．B．或C．，或D．12．为了得到函数的图象，可以把函数的图象适当平移，这个平移是( )A．沿轴向右平移个单位B．沿轴向右平移个单位C．沿轴向左平移个单位D．沿轴向左平移个单位二、填空题1．设函数则实数的取值范围是_______________．2．函数的定义域_______________．3．函数f(x)=3x-5在区间上的值域是_________．4．若二次函数的图象与x轴交于，且函数的最大值为，则这个二次函数的表达式是_______________．5．函数的定义域是_____________________．6．函数的最小值是_________________．三、解答题1．求函数的定义域．2．求函数的值域．3．根据下列条件，求函数的解析式：(1)已知f(x)是二次函数，且f(2)=-3，f(-2)=-7,f(0)=-3，求f(x)；(2)已知f(x-3)=x2+2x+1，求f(x+3)；(3)已知；一、选择题1．设函数，则的表达式是( )A．B．C．D．2．函数满足则常数等于( )A．3 B．-3 C．D．3．已知，那么等于( )A．15 B．1 C．3 D．304．已知函数定义域是，则的定义域是( )A．B．C．D．5．函数的值域是( )A．B．C．D．6．已知，则的解析式为( )A．B．C．D．二、填空题1．若函数，则=_______________．2．若函数，则=_______________．3．函数的值域是_______________．4．已知，则不等式的解集是_______________．5．设函数，当时，的值有正有负，则实数的范围_______________．三、解答题1．设是方程的两实根，当为何值时，有最小值?求出这个最小值．2．求下列函数的定义域(1)；(2)．3．求下列函数的值域(1)；(2)．综合探究1．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程.在下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，如图四个图象中较符合该学生走法的是( )2.如图所表示的函数解析式是( )A. B.C. D. 3．函数的图象是( )。

八年级(人教版)函数知识点总结

八年级(人教版)函数知识点总结
1. 函数的定义和特点
- 函数是指两个变量之间的一种特殊关系。

通常用符号“y=f(x)”表示。

- 函数的特点包括单值性、对应性和确定性。

2. 函数的表示方法
- 表达法：y=f(x)
- 函数图像法：用图像表示函数的变化规律
- 函数表格法：通过表格列出函数的输入和输出值
3. 函数的分类
- 一次函数：y=ax+b，其中a和b为常数，a不等于0
- 二次函数：y=ax^2+bx+c，其中a、b和c为常数，a不等于0 - 反比例函数：y=k/x，其中k不等于0
- 正比例函数：y=kx，其中k不等于0
4. 函数的图像和性质
- 一次函数的图像为一条直线，斜率决定了函数的增减性。

- 二次函数的图像为一条抛物线，开口方向和开口大小由二次项的系数决定。

- 反比例函数的图像为一条曲线，通过原点，并且随着x的增大，y的值逐渐减小。

- 正比例函数的图像为一条经过原点且与x轴平行的直线。

5. 函数的应用
- 函数广泛应用于数学和实际生活中的问题求解。

- 函数可以描述物体的运动规律、变化趋势、关系等。

以上是八年级(人教版)函数知识点的简要总结，希望对您有所帮助。

八年级函数知识点总结

八年级函数知识点总结函数是数学中的一种重要概念，也是数学研究中的一个重要分支，十分重要。

函数是一些数之间的对应关系。

在初中数学中，函数是一个比较重要的知识点，通常在初中数学的后半年学习。

下面，我们来总结一下八年级函数的相关知识。

一、函数的定义函数是数学中一个广泛的概念，也是一种数学工具，它描述了一组值（输入）与另一组值（输出）之间的对应关系。

函数通常用f(x)或y来表示。

表示为f(x):x→y。

二、函数的概念1. 定义域：定义域是指所有可输入的实数的集合。

2. 值域：值域是指所有输出的实数的集合。

3. 对于每个输入，函数有唯一的输出。

4. 函数可以用图像来表示。

三、函数的表示方法1. 求解表达式中x的值，并求f(x)。

2. 给定x和f(x)的值，画出点来表示函数。

3. 求解函数的图像，通过图像来描述函数。

四、函数的性质1. 奇偶性：若f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数，如正弦函数；若f(-x) = f(x)，则函数为偶函数，如余弦函数；若f(-x) ！= f(x)，则函数为既非奇函数也不是偶函数，如二次函数。

2. 增减性：若f’(x) > 0，则函数是在区间上增加的；若f’(x) < 0，则函数是在区间上减少的；则函数是在区间上保持不变的。

3. 零点：函数在x=a处的零点是指f(a)=0的点。

五、函数的种类1. 常函数：常函数是一种特殊的函数，它的输出值不随输入值的变化而变化，如f(x) = c，其中c是一个常数。

2. 一次函数：一次函数是函数的一种，如f(x) = kx+b，其中k 是斜率，b是截距，直线的斜率为 k，截辅为 b。

3. 二次函数：二次函数是一种函数，如f(x) = ax²+bx+c。

其中a 不为零。

4. 三次函数：三次函数是一种函数，如f(x) = ax³+bx²+cx+d。

其中a不为零。

5. 绝对值函数：绝对值函数是一种函数，如f(x) =｜x｜，当x>0时，f(x) = x，当x<0时，f(x) = -x。

八年级函数知识点总结

八年级函数知识点总结一、函数的概念函数是数学中的一个重要概念，它描述了两个变量之间的对应关系。

通常用f(x) 表示函数，其中 x 表示自变量，f(x) 表示因变量。

函数可以表示为一个关系：对于任意一个 x，函数f(x) 都有对应的唯一值。

函数可以用图像、表格或公式来表示。

在数学中，函数是一个非常重要的工具，它可以描述各种现象和问题，从而使得人们能够更好地理解和解决问题。

二、函数的表示函数可以通过图像、表格或公式来表示。

其中，图像表示是最直观的方式，可以通过画图来展示函数的变化规律。

表格表示则是将自变量和因变量的对应关系列成表格，方便进行计算和分析。

而公式表示则是将函数的规律用数学符号和运算符号来表示，方便进行推导和计算。

三、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是指自变量的取值范围，值域是指因变量的取值范围。

通过分析函数的定义域和值域可以了解函数的变化规律和特点。

2. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数在原点对称的性质。

奇函数的图像关于原点对称，而偶函数的图像关于 y 轴对称。

3. 单调性：函数的单调性是指函数在定义域上的增减规律。

如果在定义域内，对于任意的x1 和 x2，若 x1<x2，则 f(x1)<f(x2)，则函数 f(x) 是增函数。

反之，如果 f(x1)>f(x2)，则函数 f(x) 是减函数。

4. 周期性：周期函数是指对于任意的 x，若 x+a 属于定义域，则 f(x+a)=f(x)。

即函数在固定的周期内，具有相同的函数值。

四、函数的运算1. 函数的加减法：如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，则它们的和函数 h(x)=f(x)+g(x)，差函数h(x)=f(x)-g(x)。

2. 函数的乘法：如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，则它们的乘积函数 h(x)=f(x)·g(x)。

3. 函数的复合：如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，则它们的复合函数 h(x)=f(g(x))。

八年级函数人教版知识点

八年级函数人教版知识点函数在数学中是一个重要的概念，也是数学中的一个基础性概念。

八年级数学中学习的函数主要包括函数概念、函数的表示方法、函数的应用等基础知识。

下面我们就来详细了解一下八年级函数人教版知识点。

一、函数的概念函数就是一种数学关系，它将某个数集内的每一个数对应到另一个数集内唯一的一个数上。

可以通俗的理解为：输入一个值，输出一个值。

在数学中我们用以下方式表示函数：y = f(x)其中，y是函数的值，x是自变量，f(x)就是一个函数。

二、函数的表示方法函数可以用各种方式来表示，如表格、图像、解析式等。

在八年级数学中，我们主要学习以下几种函数表示方法。

1. 表格法表格法是一种简单但直观的表示方法，如下图所示。

x 1 2 3 4y 3 6 9 122. 图像法图像法是以图形的形式来表示函数，如下图所示。

其中，横坐标表示自变量x，纵坐标表示函数值y。

3. 解析式解析式是一种常用的表示方法，如下所示：y = 2x + 1其中，2是函数的斜率，1是函数的截距。

三、函数的应用在数学中，函数具有广泛的应用，比如在物理学中，函数用来描述物体的运动规律；在经济学中，函数用来表示产量与成本之间的关系等等。

在八年级函数中，我们主要学习函数的应用于函数图像的分析。

函数图像的分析是指找出函数图像上的关键点，并对这些点进行分析。

例如，可以通过这些关键点的位置和变化趋势得出函数的符号、单调性、最值等特征。

总之，八年级函数人教版知识点涵盖了函数的概念、表示方法和应用等方面，掌握了这些知识点，对于我们理解更高层次的数学知识如导数，积分等会有很大帮助。

八年级数学函数知识点

数学函数是数学中重要的概念之一，在八年级数学学习中也是一个重要的知识点。

本文将详细介绍八年级数学函数的相关知识。

一、函数的基本概念函数是一种数学关系，它把一个集合中的每个元素与另一个集合中的唯一元素对应起来。

函数常用字母y表示。

一个函数可以用一个数学式表示，例如y=2x+1，其中x是函数的自变量，y是函数的因变量。

1.函数的定义域和值域函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围。

函数的值域是函数的因变量的取值范围。

例如，对于函数y=2x+1，其定义域可以是全体实数集，值域可以是全体实数集。

2.函数的图像函数的图像是自变量和因变量之间的对应关系在平面直角坐标系上的表示。

可以通过画出自变量和因变量的对应关系确定函数的图像。

3.幂函数幂函数是一种具有形式f(x) = ax^b的函数，其中a和b为常数，且b为有理数。

4.反函数若函数f(x)和g(x)满足f(g(x))=x，且g(f(x))=x，则称g(x)是f(x)的反函数，f(x)是g(x)的反函数。

反函数可以通过交换自变量和因变量得到。

二、一次函数一次函数是一种具有形式f(x) = kx + b的函数，其中k和b为常数。

1.斜率一次函数的斜率表示函数图像的倾斜程度，用字母k表示。

斜率为正表示函数图像呈上升趋势，斜率为负表示函数图像呈下降趋势。

2.常数项一次函数的常数项表示函数图像在y轴上与原点的距离，用字母b表示。

当b为正时，函数图像在y轴上的截距大于0，当b为负时，函数图像在y轴上的截距小于0。

3.函数图像的性质一次函数的图像是直线，斜率k决定了直线的倾斜程度，常数项b决定了直线与y轴的交点位置。

4.直线的性质两个平行的直线具有相同的斜率，两个垂直的直线的斜率乘积为-1三、二次函数二次函数是一种具有形式f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c为常数，且a不等于0。

1.顶点二次函数的顶点是函数图像的最高点或最低点，即函数的极值点。

八年级数学函数概念及表示方法

八年级数学函数概念及表示方法一、函数相关概念及表示方式1、变量与常量在某一变化过程中；可以取不同数值的量叫做变量；数值保持不变的量叫做常量。

一般地；在某一变化过程中有两个变量x与y；如果对于x的每一个值；y都有唯一确定的值与它对应；那么就说x是自变量；y是x的函数。

例1：2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。

使函数有意义的自变量的取值的全体；叫做自变量的取值范围。

注：确定函数自变量的取值范围有两点；第一是要使含有自变量的式子有意义；第二是要使实际问题有意义。

例2：例3：例4：已知等腰三角形的周长为20；设底边长为y；腰长为x；则y与x的函数关系式为________；自变量的取值范围是_________例5：的取值范围是（）3、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析式法/关系式法两个变量间的函数关系；有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示；这种表示法叫做解析法。

（2）列表法把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系；这种表示法叫做列表法。

（3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。

例6：用解析式表示下列函数关系．（1）某种苹果的单价是1.6元/kg；当购买x（kg）苹果时；花费y（元）；y（元）与x （kg）之间的函数关系．______；（2）汽车的速度为20km/h；汽车所走的路程s（km）和时间t（h）之间的关系．______．例7：均匀的向如图的容器中注满水；能反映在注水过程中水面高度h随时间t变化的函数图像是（）例8：小明400米/分的速度匀速汽车5分钟；在原地休息了6分钟；然后以500米/分的速度骑回出发地；下列函数图像能表达这一过程的是（）例9：小明骑自行车上学；开始以正常的速度匀速行驶；但行至中途自行车出了故障；只好停下来修车；车修好后；因怕耽误课；加快汽车速度；下面是小明离家后他到学校剩下的路程s关于时间t的函数图像；那么符合小明行驶情况的图像大致是（）例10：甲、乙两人在操场上赛跑；他们赛跑的路程S（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示；则下列说法错误的是（）4、由函数解析式画其图像的一般步骤a.列表：列表给出自变量与函数的一些对应值b.描点：以表中每对对应值为坐标；在坐标平面内描出相应的点c.连线：按照自变量由小到大的顺序；把所描各点用平滑的曲线连接起来。

初二数学函数知识点

初二数学函数知识点函数是初二数学中的重要内容，它为我们理解和解决各种数学问题提供了有力的工具。

下面让我们一起来深入了解初二数学中函数的相关知识点。

一、函数的定义在一个变化过程中，如果有两个变量 x 和 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数。

例如，汽车以 60 千米/小时的速度匀速行驶，行驶时间为 x 小时，行驶路程为 y 千米。

我们可以得出 y ＝ 60x，这里对于每一个确定的 x 值（时间），都有唯一确定的 y 值（路程）与之对应，所以路程 y 是时间 x 的函数。

二、函数的表示方法1、解析式法用数学式子表示两个变量之间的函数关系，如 y ＝ 2x ＋ 1。

2、列表法通过列出表格来表示两个变量之间的函数关系。

例如，某商店出售的某种商品，其价格为每件 5 元，我们可以列出购买数量 x 和总价 y 的关系表。

3、图象法用图象来表示两个变量之间的函数关系。

比如，画出一个正比例函数 y ＝ x 的图象，是一条经过原点的直线。

三、函数的图象1、函数图象的意义把一个函数的自变量 x 与对应的因变量 y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。

2、画函数图象的步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值。

（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点。

（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

四、正比例函数1、定义形如 y ＝ kx（k 是常数，k ≠ 0）的函数叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数。

2、图象正比例函数的图象是一条经过原点的直线。

当 k ＞ 0 时，直线经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大；当 k ＜ 0 时，直线经过第二、四象限，y 随 x 的增大而减小。

3、性质（1）当 k ＞ 0 时，图象从左到右上升，函数值 y 随自变量 x 的增大而增大。

初二函数知识点总结

初二函数知识点总结一、函数的概念及性质1. 函数是一种特殊的关系，它将每个自变量对应到唯一的因变量。

2. 函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

3. 函数可以用表格、图像或公式来表示。

4. 函数可以是线性的或非线性的。

二、函数的表示方法1. 表格法：将函数的自变量和因变量的对应关系以表格的形式呈现。

2. 图像法：通过绘制函数的图像来表示函数。

3. 公式法：用公式来表示函数，如y = 2x + 1。

三、函数的性质1. 定义域：函数有效的自变量的取值范围。

2. 值域：函数所有可能的因变量的取值范围。

3. 奇偶性：若函数满足f(x) = f(-x)，则函数为偶函数；若函数满足f(x) = -f(-x)，则函数为奇函数。

4. 单调性：函数整体是否呈现上升或下降的趋势。

5. 极值：函数在某个区间内的最大值或最小值。

6. 零点：函数取零值的自变量。

四、线性函数1. 线性函数的图像是一条直线，表达式为y = kx + b。

2. 斜率k表示线性函数的变化速率，截距b表示函数在x轴上的截距。

3. 线性函数的图像可以通过截距和斜率来确定。

五、二次函数1. 二次函数的图像是一个U形曲线，表达式为y = ax^2 + bx + c。

2. a决定了曲线开口的方向，正数则开口向上，负数则开口向下。

3. 顶点是二次函数的最值点。

六、指数函数1. 指数函数的图像是一条递增或递减的曲线，表达式为y = a^x。

2. a决定了曲线的增长速度，a大于1时曲线递增，0<a<1时曲线递减。

3. 指数函数的图像必过点(0,1)。

七、对数函数1. 对数函数是指数函数的反函数，表达式为y = loga(x)。

2. a决定了函数的增长速度，a大于1时曲线递增，0<a<1时曲线递减。

3. 对数函数的定义域为正实数。

八、常量函数1. 常量函数的图像是一条水平线，表达式为y = c。

2. 无论自变量的取值如何，常量函数的因变量始终为常数。

八年级秋季班-第10讲：函数的概念及表示法

【初二上册数学】八年级秋季班-第10讲：函数的概念及表示法

八年级函数及其图像知识点

函数的概念及其表示课件

八年级函数基础知识点总结

八年级(人教版)函数知识点总结

初二数学(秋季)讲义第10讲一次函数

函数的概念及其表示法

八年级函数的知识点总结

八年级数学函数的相关概念知识点总结

函数概念及表示法教案

函数的基本概念和表示方法

八年级(人教版)函数知识点总结

八年级函数知识点总结

八年级函数知识点总结

八年级函数人教版知识点

八年级数学函数知识点

八年级数学 函数概念及表示方法

初二数学函数知识点

初二函数知识点总结

八年级数学函数概念及表示方法