第一章习题

第一章习题
1. 在直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，那么，在反比例函数
x
y 6
=
的图 象上，整点的个数是( ) (A) 2个 (B) 4个 (C) 6个 (D) 8个
2．平面直角坐标系内两点M （3，3）、N （－2，2），在x 轴上求一点P ，使得点P 到M 、N 的距离之和（即PM ＋PN ）最短，则点P 的坐标是（ ） （A ）（－2 ，0） （B ）（0 ，0）
（C ）（1 ，0） （D ）（3 ，0）
3．如图，直线b kx y +=
经过点A （-1，-2）和 点B （-2，0），直线x y 2=过点A ，则不等 式02<+<b kx x 的解集为 (A) x <-2 (B) -2 <x < -1 (C)-2<x <0 (D) -1<x <0
4．如图是一块长、宽、高分别是6cm ，4cm 和3cm 的长方体木块.一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点
B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是 （ ）
（A ）cm 85 （B ） cm 97
（C ） 109cm （D ） cm 9
5. 外侧大正方形的边长是l0cm.如图所示，在里面画两条对角线、一个圆、两
个正方形，阴影部分的面积为26㎝2．请问，最小的正方形的边长为_ __ cm.
（第2题）
（第4题） A
B 6
4
3
（第3题）
（第5题）
6．平面直角坐标系内有五个点A （1，1），B （4，3），C （7，5），D （10，8），E （13，9），其中四个点在同一直线l 上，这五个点中不在直线l 上的点是 ．
7．如图，是甲、乙两地5月下旬的日平均气温统计图，则甲、乙两地这10天
日平均气温的方差大小关系为：2S 甲 2S 乙．
8．一辆汽车从A 地驶往B 地，前1
3
路段为普通公路，其余路段为高速公路．已
知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h ，在高速公路上行驶的速度为100km/h ，汽车从A 地到B 地一共行驶了2.2h ．
请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用二元一次．．．．方程组．．．解决的问题，并写出解答过程．
9．（1）观察与发现
小明将三角形纸片()ABC AB AC 沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD ，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为EF ，展平纸片后得到AEF △（如图②）．小明认为AEF △是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
（第9题①） （第9题②）
（第7题）
（2）实践与运用
将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，折痕为
BE （如图③）；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在BE 上的点D '处，折痕为E G （如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中α∠的大小．
10．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V ）、面数（F ）、棱
数（E ）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察图2几种简单多面体模型，解答下列问题：
（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体 顶点数（V ） 面数（F ） 棱数（E ）
四面体 4 7 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 正十二面
体
20
12
30
你发现顶点数（V ）、面数（F ）、棱数（E ）之间存在的关系式是_______________．
（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是____________．
四面体
长方体
正八面体 正十二面体
（第10题）
③
④
⑤
（第9题）
（3）某个玻璃鉓品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种
多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x 个，八边形的个数为y 个，求y x 的值． 11．正方形ABCD 与正方形CEFG 的位置如图所示，点G 在线段CD 或CD 的
延长线上．分别连接BD 、BF 、FD ，得到△BFD ．
(1)在图①～③中，若正方形CEFG 的边长分别为1、3、4，且正方形ABCD
的边长均为3，请通过计算填写下表：
(2)若正方形CEFG 的边长为a ，正方形ABCD 的边长为b ，猜想S △BFD 的
大小，并结合图③证明你的猜想．
12．问题再现
现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见．在八年级课题学习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题．今天我们把正多边形．．．．的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究.
我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面． 如图中，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O 周围围绕 着4个正方形的内角.
试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着 个
正六边形的内角．
问题提出
O （第12题）
A
B
C D
E
E
F
G
A
B
C
D (G )
F
A
B
C D
E
F
G ① ②
③
（第11题）
如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？
问题解决
猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？
分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决．从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角．
验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x 个正方形和y 个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：
3608
180
)28(90=⨯⨯-+
y x ，整理得：238x y +=， 我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为1
2x y =⎧⎨
=⎩
． 结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．
猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由．
验证2：
结论2： . 上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案．
问题拓广
请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程．
猜想3： .
验证3：
结论3： . 13．已知：把Rt△ABC 和Rt△DEF 按如图①摆放（点C 与点E 重合），点B 、C （E ）、F 在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC = 8 cm ，
BC = 6 cm ，EF = 9 cm ．
如图5，△DEF 从图①的位置出发，以1cm/s 的速度沿CB 向△ABC 匀速移动，在△DEF 移动的同时，点P 从△ABC 的顶点B 出发，以2 cm/s 的速度沿BA 向点
A 匀速移动.当△DEF 的顶点D 移动到AC 边上时，△DEF 停止移动，点P 也随之停止移动．DE 与AC 相交于点Q ，连接PQ ，设移动时间为t （s ）（0＜t ＜4.5）．解答下列问题：
（1）当t 为何值时，点A 在线段PQ 的垂直平分线上？
（2）连接PE ，设四边形APEC 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式；是否存在某一时刻t ，使面积y 最小？若存在，求出y 的最小值；若不存在，说明理由．
（3）是否存在某一时刻t ，使P 、Q 、F 三点在同一条直线上？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由．（图③供同学们做题使用）
14．如图①是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为10cm 的正三角形，三个侧面都是矩形．现将宽为15cm 的彩色矩形纸带AMCN 裁剪成一个平行四边形ABCD(如图6②)，然后用这条平行四边形纸带按如图6③的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满． （1）请在图6②)中，计算裁剪的角度∠BAD ；
②
①
③
（第13题）
（2）计算按图6③方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度．
①
②
③
（第14题）。