北理研究生数值分析---第九章课件

若以
y n 1 y n hf ( x n 1 , y n 1 ) y 0 y (a ) ( n 0 ,1, , N 1 )
求数值解，称为向后Euler法，这是隐式公式， 一般需用迭代法求解。
1.2
若
Euler方法的误差估计
yn y ( xn ) , 称 R n 1 y ( x n 1 ) y n 1 为局部截断误差
h 2
12
x n x n 1n , y ( x n )) y ( x n )
f ( xn , yn )
f ( x n 1 , y n 1 )
h
3
y ( )
12
求解公式
y n( 0)1 y n hf ( x n , y n ) ( k 1) h (k ) y n 1 y n f ( x n , y n ) f ( x n 1 , y n 1 ) 2
f ( x n 1 , y n 1 )
（3）用Taylor多项式近似
y ( x n 1 ) y ( x n h ) y ( x n ) h y ( x n ) y ( x n ) hf ( x n , y ( x n ))
y n 1 y n hf ( x n , y n )
（2）用数值积分方法

xn 1 xn
y ( x ) dx y ( x n 1 ) y ( x n )

xn 1
f ( x , y ( x )) dx
xn
对积分用点
xn
处的矩形公式得
y ( x n 1 ) y ( x n ) f ( x n , y ( x n )( x n 1 x n )
Euler
方法是 1阶方法 .
§2
改进Euler方法
y n 1 y n h 2
2.1 梯形公式
f (xn , yn )
h
f ( x n 1 , y n 1 )
3
R n 1 y ( x n 1 ) y n 1
R n 1 y ( x n )
y ( )
y 1 0 . 005 , y 2 0 . 0095 0 . 905 0 . 005 0 . 005 0 . 019025
计算结果表明，改进Euler法的精度高于Euler法， 可以证明，改进Euler法是二阶方法。
§3
Runge—Kutta法
3.1 基本思想
以函数 f ( x , y ) 在若干点上的函数值的线性组合构造近似公式， 组合系数与点的选取要使近似公式在 ( x n , y n ) 处的 Taylor 展式 与解 y ( x ) 在 x n 的 Taylor 展式的前 p 1 项重合， 从而得到 p 阶公式。
2
x n x n 1
记： y n 1 y ( x n ) hf ( x n , y ( x n )) e n 1 y ( x n 1 ) y n 1 y ( x n 1 ) y n 1 y n 1 y n 1 R n 1 y ( x n ) y n h f ( x n , y ( x n )) f ( x n , y n ) R n 1 y ( x n ) y n hL y ( x n ) y n R n 1 (1 hL ) e n
解
y p y n 0 . 1( x n , y n ) 0 . 1 x n 0 . 9 y n
y q y n 0 . 1( x n 0 . 1 y p ) 0 . 09 x n 0 . 91 y n 0 . 01 y n 1 1 2 ( y p y q ) 0 . 095 x n 0 . 905 y n 0 . 005
k
hL 2
( )
k p 1
hL 2
)
k
] y n 1 y n 1
(1 ) (0)
1
hL 2
y n 1 y n 1 0
(1 ) (0)
2.2 改进Euler法
y n 1 y n hf ( x n , y n ) h y n 1 y n f ( x n , y n ) f ( x n 1 , y n 1 ) 2 预测 校正
y x y y (0) 0 0 x 1
的数值解。 解：Euler公式为
y n 1 y n h ( x n y n ) ( n 0 ,1, )
若取
h 0 . 1 ，则有
y 1 y 0 0 . 1( x 0 y 0 ) 0 y 2 y 1 0 . 1 ( x 1 y 1 ) 0 . 1 0 . 1 0 . 01
0 x 1
y x y y (0 ) 0
的数值解，取 h 0 . 1, N 10 。
y p y n hf ( x n , y n ) y q y n hf ( x n 1 , y p ) 1 y ( y p yq ) n 1 2
y ( x n 1 ) y ( x n ) h
y ( x n 1 )
y ( x n 1 ) y ( x n ) hf ( x n 1 , y ( x n 1 ))
y n 1 y n hf ( x n 1 , y n 1 ) y 0 y (a )
1. RK方法的构造 RK公式的一般形式为
p y n 1 y n h c i K i i 1 K 1 f (xn , yn ) i 1 K i f ( x n a i h , y n h b ij K j ) j 1
( i 2 ,3 , , p )


( k 0 ,1, 2 , )

y n 1 y n 1
(k )
( k 1)
h 2
f ( x n 1 , y n 1 ) f ( x n 1 , y n 1 )
(k )
( k 1 )

hL 2 hL 2
y n 1 )
k
( k 1)
y n 1
(k ) (0)
hL )
1

ba hM h (1 hL ) 1 2L 2L
L (b a )
1 O (h)

结论：
定义 : 若某种数值方法的局部 则称该方法是 p 截断误差为 阶方法 . O (h
P 1
),
当
h 0 时,
Euler
方法收敛
, 整体截断误差与
h 同阶 .
其中
a i , b ij , c i
为待定系数
.
p 2,
RK
公式为
y n 1 y n h ( c 1 K 1 c 2 K 2 ) K 1 f (xn , yn ) K f ( x a h , y hb K ) n 2 n 21 1 2
y n 1 y n h c 1 f ( x n , y n ) c 2 f ( x n a 2 h , y n hb 21 f ( x n , y n ))
§1 Euler方法
1.Euler方法 以差分方程初值问题
y n 1 y n hf ( x n , y n ) y 0 y (a ) n 0 ,1, , N 1
的解作为微分方程初值问题的数值解，即
y(xn ) yn
称为Euler方法。
1.用Euler方法求初值问题
h2 M (1 hL ) M (1 hL ) e n 1 2 2
2

h
M 1 (1 hL ) (1 hL )
2
2 h M

2
(1 hL )
n 1
n

(1 hL ) hL
n 1
1

hM 2L
2 hM
(1 e
约定：不加特别说明，必有 （1） f ( x , y ) 连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条件，由此保证初始问题的解存在唯一。 （2）步长 h n x n 1 x n ( n 0 ,1, , N 1 ) 为常量 h 。
微分方程离散化的方法
(1) 用差商近似导数
y ( x n ) y ( x n 1 ) y ( x n ) h
2 y n h c 1 f ( x n , y n ) c 2 f ( x n , y n ) a 2 h f x ( x n , y n ) b 21 hf ( x n , y n ) f y ( x n , y n ) O ( h ) 2 3 y n ( c 1 c 2 ) hf ( x n , y n ) c 2 a 2 f x ( x n , y n ) b 21 f ( x n , y n ) f y ( x n , y n ) h O ( h )
第九章 常微分方程数值解决
问题：求一阶常微分方程初值问题
y f ( x, y ) y (a ) y 0
a x b
的数值解， 即给定节点 a x 0 x 1 x 2 x N b ， 求上述问题的解
y ( x ) 在 x n ( n 1, 2 , , N ) 处的近似值 y n 。
若
f ( x , y ) 充分光滑 , 使得
y(x) C
(2)
a , b ,
则 M 0,
y ( x ) M
x a , b