四川省南充市2018届第三次诊断考试理数试题

南充市高2017-2018学年第三次高考适应性考试数学试题（理第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合,则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，那么，故选B.2. 若,则的共轭复数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，故选B.3. 若角的终边经过点,则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故选A.4. 若某程序框图如图所示，则输出的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】第一次循环,第二次循环,第三次循环,第四次循环,故选C.5. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后再生产产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程为那么表中的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由上表中的数据可知所以，故选A。

考点：回归直线方程。

6. 已知是上的增函数，那么的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】若分段函数在上是单调递增函数，需满足，解得：，故选D.7. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“已知甲，乙，丙，丁，戊五人分五钱，甲，乙两人所得与丙，丁，戊三人所得相同，且甲，乙，丙，丁，戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位），这个问题中，甲所得为（）A.钱B.钱C.钱D.钱【答案】D【解析】设甲，乙，丙，丁，戊依次是，成等差数列，设公差为，根据题意可得，那么，解得，所以甲所得为钱，故选D.8. 已知向量，且，若实数满足不等式组，则的最大值为（）A. B. C. D. 21【答案】A【解析】，整理为，如图画出可行域，，目标函数的斜率时-2，当目标函数过点时，函数取得最大值，所以，故选A.【点睛】线性规划中求最值的几种题型包含（1）的最值，可转化为的形式，斜率当时，，那么可将的最值问题转化为直线的纵截距的最值问题；（2）表示可行域内的点与点间距离平方的最值；（3）表示可行域内的点与点连线斜率的最值；（4）可先变形为,而表示可行域内的点到直线距离的最值.9. 如图，正方形的边长为为的中点，射线从出发，绕着点顺时针方向旋转至,在旋转的过程中，记为所经过的在正方形内的区域（阴影部分）的面积，那么对于函数有以下三个结论，其中不正确的是（）①②函数在上为减函数；③任意都有A. ①B. ③C. ②D. ①②③【答案】C...【解析】①项,当,即射线与有交点时,,又因为,正确; ②项,根据题意可知, 射线从出发，绕着点顺时针方向旋转至的过程中,所经过的在正方形内的区域的面积在逐渐增大,即逐渐增大,错误; ③项,根据题意可知,时,表示射线未经过正方形的面积,又因为正方形的面积为,则,正确;综上可知,应选C.10. 某几何体的三视图如图所示，若该几何体的顶点都在球的表面上，则球的体积是A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图知,该几何体为在长方体中截取的三棱锥,其中,所以该三棱锥的外接球即为长方体的外接球,直径为,所以球的体积为,故选D.点睛:本题考查几何体的三视图以及柱锥台体的外接球问题,属于中档题目. 三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．11. 如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，交其准线于点,若,且,则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，如图：设|BF|=a，则由已知得：|BC|=a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=45°，在直角三角形ACE中，∵|AE|=4+2∴|AC|=4+4，因为：，所以，从而，即p=2.故选B．考点：抛物线的定义．12. 设函数在上有定义，对于任一给定的正数，定义函数，则称函数为的“界函数”，若给定函数，则下列结论不正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，若或，所以，A.，，所以A成立；B.，，所以B成立；C.，，所以C不成立；D.，，所以D成立，故选C.【点睛】本题的出题背景是新定义，是一道创新能力题，本质是考查复合函数求值，只要能正确求解，那选项里的每一项就迎刃而解了，所以这类型新定义的习题，审题要清楚，读懂题意，根据定义，代入数值，转化为熟悉的数学知识解决....第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若的二项展开式中各项的二项式系数的和是,则__________．【答案】【解析】，解得： .14. 已知圆的方程是，则经过圆上一点的切线方程是__________．【答案】【解析】直线的斜率是，所以切线的斜率时-1，那么切线方程是，整理为： .15. 已知数列满足，若首项，则数列的前项和__________．【答案】【解析】，所以，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，，求得，那么数列的前项和分为的前项和，数列的前项和是，所以. 【点睛】本题考查了根据数列的递推公式求数列的通项公式，考查了通过构造数列，转化为等比数列求通项，形如：型，可采用累加法求通项；（2）形如的形式，可采用累乘法求通项；（3）形如，（本题形式）可转化为，其中，构造等比数列求通项；（4）形如，可通过两边取倒数，然后再按(3)的形式构造等比数列，（5），而本题方法不太常见，注意是如何构成辅助数列求通项.16. 设是定义在上的偶函数，对任意的,都有,且当时,若关于的方程在区间内恰有三个不同的实根，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】根据题意,即,函数周期为4,函数图象如图所示,若方程在区间内恰有三个不同的实根,则函数和在区间内恰有三个不同的交点,根据图象可知:且,解得,故填.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知在中，角所对的边分别为已知（Ⅰ）求的值（Ⅱ）若,求的面积【答案】（Ⅰ）；(Ⅱ) .【解析】试题分析: （Ⅰ）根据正弦定理化简已知等式,利用两角和与差的展开式以及内角和为即可求出;(Ⅱ)分别求出,可得为直角三角形,进而求出三角形的面积.试题解析:（Ⅰ）因为所以所以又故,故,由正弦定理可得(Ⅱ)由（Ⅰ）可得，联立,解得.由，得为直角三角形,所以18. 某市举行“中学生诗词大赛”海选，规定：成绩大于或等于分的具有参赛资格，某校有名学生参加了海选，所有学生的成绩均在区间内，其频率分布直方图如图：（Ⅰ）求获得参赛资格的人数；（Ⅱ）若大赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有次选题答题的机会，累计答对题或答错题即终止，答对题者方可参加复赛，已知参赛者即答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为，求甲在初赛中答题个数的分布列及数学期望【答案】（Ⅰ）520；(Ⅱ)见解析....【解析】试题分析：（Ⅰ）首先求分数在的频率，频率就是获得参赛资格的人数；（Ⅱ）设答对每题的概率为，根据条件求，，根据随机变量的不同取值求其概率，列分布列求数学期望.试题解析：（Ⅰ）由题意知之间的频率为故获得参赛资格的人数为（Ⅱ）设甲答对每一个问题的概率为,则解得甲在初赛中答题个数的所有值为故的分布列为数学期望19. 如图，已知垂直于以为直径的圆所在平面，点在线段上，点为圆上一点，且(Ⅰ) 求证：(Ⅱ) 求二面角余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；(Ⅱ) .【解析】试题分析：（Ⅰ）要证明线线垂直，转化为证明线面垂直，根据条件可证明，即证明平面，所以；（Ⅱ）以点为原点，为轴建立空间直角坐标系，求两个平面的法向量，求的值.试题解析：（Ⅰ）证明：由知点为的中点，连接,因为所以为等边三角形又点为的中点，所以因为平面平面所以又平面平面所以平面,又平面,所以（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，三线两两垂直，以为原点，以所在的直线分别为轴，轴,轴建立空间直角坐标系，则...所以设平面与平面的法向量分别为显然平面的一个法向量为设,由得解得令则所以所以，二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了立体几何中垂直的证明，以及向量法中面面角的求法，垂直关系的证明是线面关系的重点也是难点，一般证明线线垂直，转化为证明线面垂直，或是转化为相交直线后，可根据三边证明满足勾股定理；若要证明线面垂直，可根据判断定理证明，即线与平面内的两条相交直线垂直，则线与面垂直；若要证明面面垂直，则根据判断定理，转化为证明线面垂直，总之，在证明垂直关系时，“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在.20. 已知椭圆的中心为原点，离心率,其中一个焦点的坐标为（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）当点在椭圆上运动时，设动点的运动轨迹为若点满足:其中是上的点.直线的斜率之积为,试说明:是否存在两个定点,使得为定值?若存在,求的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（Ⅰ）；(Ⅱ) 存在两个定点且为椭圆的两个焦点，使得为定值.其坐标分别为.【解析】试题分析: (Ⅰ)根据离心率和焦点坐标以及求出椭圆的标准方程;(Ⅱ)由于点在曲线上运动时,动点的轨迹的方程为,通过可建立点T和点M,N坐标之间的关系式,通过直线的斜率之积为定值,又得到另外一个关系式,且点M,N的坐标满足椭圆的方程,均为二次,因此给两等式分别平方,再对应系数比为1:2,相加即可得到关于x,y的方程,即点T的轨迹为椭圆,两个定点为焦点.试题解析:(Ⅰ)由题意知,所以所以故椭圆的方程为(Ⅱ)设则因为点在椭圆上运动，所以故动点的轨迹的方程为由得设分别为直线的斜率，由已知条件知,所以因为点在椭圆上，所以故从而知点是椭圆上的点，所以，存在两个定点且为椭圆的两个焦点，使得为定值.其坐标分别为21. 已知函数(是自然对数的底数,是函数在的导数).(Ⅰ)求函数在处的切线方程；（Ⅱ）若，解关于的不等式...【答案】（Ⅰ）；(Ⅱ) .【解析】试题分析：（Ⅰ）先求，当时，代入求，再求，这样求得函数，再求，代入切线方程，求得切线方程；（Ⅱ）不等式等价于，设，求其导数，再求其导数，分析得到函数，所以函数是单调递增函数，，所以根据函数单调递增可得，求得不等式的解集.试题解析：（Ⅰ）由得所以得又得所以所以函数在处的切线方程为即（Ⅱ）由（Ⅰ）知所以等价于令则令则当时，单调递增当时，单调递减，所以，即恒成立.所以在定义域内单调递增.又当时，，当时，所以的解集为.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知直线与椭圆的极坐标方程分别为(Ⅰ)求直线与椭圆的直角坐标方程；（Ⅱ）若是直线上的动点，是椭圆上的动点，求的最小值.【答案】（Ⅰ）的直角坐标方程为；椭圆的直角坐标方程为；(Ⅱ) .【解析】试题分析: （Ⅰ）根据极坐标与直角坐标系的公式互化即可;（Ⅱ）设椭圆上任意一点,根据点到直线的距离公式求出距离d,利用两角和与差公式化简关于的函数,进而求出最值.试题解析:（Ⅰ）及直线的直角坐标方程为,即椭圆的直角坐标方程为...（Ⅱ）因为椭圆的参数方程为（为参数）所以可设因此点到直线的距离,所以当时，取最小值，所以的最小值为23. 选修4-5：不等式选讲已知函数(Ⅰ)已知常数解关于的不等式；（Ⅱ）若函数的图象恒在函数图象的上方，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；(Ⅱ) .【解析】试题分析: （Ⅰ）去掉绝对值结合即可求出不等式的解集;（Ⅱ）函数的图像恒在函数图像的上方，转化为恒成立,分离参变量,利用绝对值不等式求出函数的最值,进而求得参数的范围.试题解析:（Ⅰ）由得,所以或所以或,故不等式解集为（Ⅱ）因为函数的图像恒在函数图像的上方，所以恒成立，则恒成立，因为,所以的取值范围是点睛:本题考查解不等式以及由恒成立问题转化的含绝对值函数的最值问题,属于基础题目. 对绝对值三角不等式:|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.(1)当ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|.(2)该定理可以推广为|a＋b＋c|≤|a|＋|b|＋|c|，也可强化为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它们经常用于含绝对值的不等式的推证．。