新疆兵团农二师华山中学2017-2018学年高二上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析
新疆兵团第二师华山中学高二数学上学期期末考试试题 文 新人教B版
数学（文） 试卷命题人：李娟考生注意：本试题满分为150分，考试时间为120分钟。
一．选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的选项中只有一项是符合要求的） 1．下列方程中表示圆的是 （ ） A ． 223470x y x y ++++= B ．2222590x y x y +-++= C ．22223450x y x y +---= D ．224250x y x y ---+=2．数据123,,,...,n a a a a 的方差为2σ，则数据1232,2,2,...,2n a a a a 的方差为（ ）A ．22σB ．2σC ．22σD ．24σ3. 从1,2,3,4中任取2个不相等的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率（ ）A.12B. 13C. 14 D. 164．已知直线b x y +=,]3,2[-∈b ,则直线在y 轴上的截距大于1的概率是 （ ） A.15B.25C.35D.455．双曲线121022=-y x 的焦距为 （ ） A ．22 B ．24 C ．32 D ．34 6. 若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．47.抛物线px y 22=上一点Q ),6(0y 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离是（ ）A ．4B ．8C ．12D ．168．函数()f x 的定义域为开区间(),a b ，导函数'()f x 在区间(),a b 内的图像如图所示，则函数()f x 在开区间(),a b 内的极小值点有（ ） 个。
A ．1 B ．2 C ．3D ．49．函数3223125y x x x =--+在[0,3]上的最大值和最小值依次是（ ）A ．5，－15B ．12，－15C ．5，－4D ．－4，－1510．已知函数32(6)1y x ax a x =+++-有极大值和极小值，则a 的取值范围是（ ） A ．－1<a <2 B ．－3<a <6C ．a <－3或a >6D ．a <－1或a >211.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 （ ） A. 2 B. 3 C.3＋12D.5＋1212.设A 是圆22(1)9x y ++=上的动点，，PA 是圆的切线， 且PA =4，则点P 到点Q(5,8)距离的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．6D ．15二、填空题 （每小题5分，共20分）13．执行下边程序框图，输出的T= 。
新疆兵团农二师华山中学高二数学上学期期末考试试题
2015-2016学年第一学期高二年级期末考试数学 试卷（考试时间 ：120分钟 满分：150分）第I 卷（选择题）一.选择题（每小题5分，共60分）1．设,x y R ∈，则“22x y ≥≥且”是“224x y +≥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现反面朝上的概率是 （ ）A ．9991B ．10001C ．21D ．10009993．直线y kx b =+与曲线31y x ax =++相切于点(2,3)，则b 的值为 ( )A ．－3B ．9C ．－15D ．－74．圆M 的圆心在直线x y 2-=上，经过点)1,2(-A ，且与直线 1=+y x 相切， 则圆M 的方程为 （ ）A.22(1)(2)2x y ++-=B.22(1)(2)2x y +++= C.22(1)(2)2x y -++= D.22(1)(2)2x y -+-= 5．若焦点在x 轴上的椭圆22x +m y 2=1的离心率a c =21,则m 等于( )A.3B.23C.38D.326．若向量),1,1(x a =→, )1,2,1(=→b , )1,1,1(=→c ,满足条件2)2()(-=⋅-→→→b a c ，则x =（ ）A ．21 B ．2 C ．21- D ．―2 7．若='=)2(,cos )(πf x x f 则（ ）A ．1-B ．23C ．0D ．18．在长为6cm 的线段上任取一点P ，使点P 到线段两段点的距离都大于2cm 的概率是( )A. 14B.31C. 12D. 329．命题“0x R ∃∈，3210x x -+>”的否定是 ( ) A ．0x R ∃∈，3210x x -+< B ．0x R ∃∈，3210x x -+≤ C ．x R ∀∈，3210x x -+≤ D ．不存在x R ∈，3210x x -+>10．直线AB 过抛物线x y =2的焦点F ，与抛物线相交于A 、B 两点，且|AB|=3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ） A ．21 B ．1 C ．89 D ．45 11．如果直线0x y m ++=与圆222x y +=交于相异两点,A B O 、是坐标原点，OA OB OA OB +>-u u u r u u u r u u u r u u u r,那么实数m 的取值范围是（ ）.(2,2)A .(2,2)B .(2,2)2,2)C -U .(2,2)D -12．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点C ，过双曲线中心的直线交双曲线于B A ,两点，记直线BCAC ,的斜率分别为21,k k ，当||ln ||ln 22121k k k k ++最小时，双曲线离心率为( ) A ．2 B ．3 C 12.+ D 2.第II 卷（非选择题）二．填空题：（每小题5分，共20分）13．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥.2,)1(,2,23x x x x 若关于x 的方程k x f =)(有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________。
2017-2018学年新疆兵团第二师华山中学高二上学期期末考试数学(文)试题 解析版
2017-2018学年新疆兵团第二师华山中学高二上学期期末考试数学（文）试题解析版一、选择题：（12小题，每题5分，共60分）1. 已知复数z满足iz=2+3i，则z对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】对应的点位于第四象限,选D2. 设命题p：∀x＞0，x-lnx＞0，则￢p为A. ∃x0＞0，x0-lnx0＞0B. ∃x0＞0，x0-lnx0≤0C. ∀x＞0，x-lnx＜0D. ∀x＞0，x-l nx≤0【答案】B【解析】由于全称命题的否定为特称命题，所以命题p：∀x＞0，x-lnx＞0，则￢p为∃x0＞0，x0-lnx0≤0.故选B.3. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b 分别为5，2，则输出的n=A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】由程序框图可得，时，，继续循环；时，，继续循环；时，，继续循环；结束输出.点睛：循环结构的考查是高考热点，有时会问输出结果，或是判断框的条件是什么，这类问题容易错在审题不清，计数变量加错了，没有理解计数变量是在计算结果之前还是计算结果之后，最后循环进来的数是什么等问题，防止出错的最好的办法是按顺序结构写出每一个循环，这样就会很好的防止出错.4. 若a，b∈R，则“a＞0，b＞0”是“a+b＞0”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当“a＞0，b＞0”时，由不等式的性质可知“a+b＞0”，则“a＞0，b＞0”是“a+b＞0”的充分不必要条件，故选A．5. 已知双曲线的一条渐近线为，则实数a的值为A. B. 2 C. D. 4【答案】D【解析】∵双曲线的渐近线为，∴，解得a=4，故选D．6. 下列说法错误的是A. 对分类变量X与Y，随机变量K2的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小B. 在回归直线方程=0.2x+0.8中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位C. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1D. 回归直线过样本点的中心（，）【答案】A【解析】A．对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”可信程度越大，因此不正确；B．在线性回归方程=0.2x+0.8中，当x每增加1个单位时，预报量平均增加0.2个单位，正确；C．两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1，因此正确；D．回归直线过样本点的中心（，），正确．综上可知：只有A不正确．故选：A．7. 函数f（x）=2x2-4lnx的单调减区间为A. （-1，1）B. （1，+∞）C. （0，1）D. [-1，0）【答案】C【解析】f（x）的定义域是（0，+∞），，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故选：C．8. 椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则∠F1PF2的余弦值为A. B. C. D.【答案】B【解析】根据题意，椭圆的标准方程为，其中则，则cos∠F1PF2==.故选：B．9. 若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3-ax2-2bx在x=1处有极值，则的最小值为A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：因为函数在处有极值，所以，即，则（当且仅当且，即时取“=”）；故选C．考点：1．函数的极值；2．基本不等式．10. 《论语》云：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是A. 合情推理B. 归纳推理C. 类比推理D. 演绎推理【答案】A【解析】试题分析：因推理的格式符合三段论的形式,故是演绎推理,故应选D.考点：推理的形式.11. 已知点P在抛物线y2=4x上，点A（5，3），F为该抛物线的焦点，则△PAF周长的最小值为A. 12B. 11C. 10D. 9【答案】B【解析】抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线l：x=-1，点A（5，3）在抛物线内部，．P是抛物线上的动点，PD⊥l交l于D，由抛物线的定义可知|PF|=|PD|.∴要求|P A|+|PF|取得最小值，即求|P A|+|PD|取得最小，当D，P，A三点共线时|P A|+|PD|最小，为5-（-1）=6，则（|P A|+|PF|）min=6．△P AF周长的最小值为：6+5=11．故选B．点睛：求抛物线上一点到抛物线内一点的距离与到焦点的距离的和，应利用抛物线的定义转化为抛物线上的点到已知点的距离与到准线距离的和，当垂足、抛物线内的点、抛物线上的点三点共线时，距离和最小，即为抛物线内的点到准线的距离.12. 函数f（x）的定义域为R，f（1）=3，对任意x∈R，都有f（x）+f'（x）＜2，则不等式e x•f（x）＞2e x+e的解集为A. {x|x＜1}B. {x|x＞1}C. {x|x＜-1或x＞1}D. {x|x＜-1或0＜x＜1}【答案】A【解析】令g（x）=e x f（x）-2e x-e，则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）-2e x=e x[f（x）+f′（x）-2]，∵f（x）+f′（x）＜2，∴f（x）+f′（x）-2＜0，∴g′（x）＜0，即g（x）在R上单调递减，又f（1）=3，∴g（1）=ef（1）-2e-e=0，故当x＜1时，g（x）＞g（1），即e x f（x）-2e x-e＞0，整理得e x f（x）＞2e x+e，∴e x f（x）＞2e x+e的解集为{x|x＜1}．故选：A．点睛：本题主要考查抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题通过观察四个选项，联想到函数g（x）=e x f（x）-2e x-e，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.二、填空题：（4小题，每题5分，共20分）13. 原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”．当时有位父亲，为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗，满七进一，那么孩子已经出生______天．【答案】510【解析】由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为1×73+3×72+2×71+6×70=510．故答案为：510.14. 统计某产品的广告费用x与销售额y的一组数据如表：若根据如表提供的数据用最小二乘法可求得y对x的回归直线方程是=1.1x+4.6，则数据中的m的值应该是______．【答案】8【解析】由题意，，，∵y对x的回归直线方程是=1.1x+4.6，∴7+=4.4+4.6，∴m=8．故答案为：8.点睛：求解回归方程问题的三个易误点：① 易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．② 回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过点，可能所有的样本数据点都不在直线上．③ 利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)．15. 点P是双曲线（b＞0）上一点，F1、F2是双曲线的左、右焦点，|PF1|+|PF2|=6，PF1⊥PF2，则双曲线的离心率为_______________【答案】【解析】根据题意，点P是双曲线（b＞0）上一点，则有||PF1|-|PF2||=2a=2，设|PF1|＞|PF2|，则有|PF1|-|PF2|=2，又由|PF1|+|PF2|=6，解可得：|PF1|=4，|PF2|=2，又由PF1⊥PF2，则有|PF1|2+|PF2|2=4c2=20，则c=，又由a=1，则双曲线的离心率e==故答案为：.16. 若函数y=e x+ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵y=e x+ax，∴y'=e x+a．由题意知e x+a=0有大于0的实根，由e x=-a，得a=-e x，∵x＞0，∴e x＞1．∴a＜-1．故选C.三、解答题：（6小题，共70分）17. 设命题p：实数x满足（x-a）（x-3a）＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足（x-3）（x-2）≤0．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围．（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由p∧q为真，即为p，q均为真命题，解两个不等式求交集即可；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，可得q是p的充分不必要条件，由题意可得P={x|a＜x＜3a}，Q={x|2≤x≤3}，由Q⊊P即可得解.试题解析：（1）由（x-1）（x-3）＜0，得P={x|1＜x＜3}，由（x-3）（x-2）≤0，可得Q={x|2≤x≤3}，由p∧q为真，即为p，q均为真命题，可得x的取值范围是2≤x＜3；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，可得q是p的充分不必要条件，由题意可得P={x|a＜x＜3a}，Q={x|2≤x≤3}，由Q⊊P，可得a＜2且3＜3a，解得1＜a＜2．18. 已知集合A={（x，y）︱x∈[0，2]，y∈[-1，1]}．（1）若x，y∈Z，求x+y≥0的概率；（2）若x，y∈R，求x+y≥0的概率．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）因为x，y∈Z，且x∈[0，2]，y∈[-1，1]，基本事件是有限的，所以为古典概型，这样求得总的基本事件的个数，再求得满足x，y∈Z，x+y≥0的基本事件的个数，然后求比值即为所求的概率；（2）因为x，y∈R，且围成面积，则为几何概型中的面积类型，先求x，y∈Z，求x+y≥0表示的区域的面积，然后求比值即为所求的概率试题解析：(1)设“x＋y≥0，x，y∈Z”为事件A，x，y∈Z，x∈[0，2]，即x＝0，1，2；y∈[－1，1]，即y＝－1，0，1.则基本事件有：(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)，(2，1)共9个.其中满足“x＋y≥0”的基本事件有8个，∴P(A)＝.故x，y∈Z，x＋y≥0的概率为.(2)设“x＋y≥0，x，y∈R”为事件B，∵x∈[0，2]，y∈[－1，1]，则基本事件为如图四边形ABCD区域，事件B包括的区域为其中的阴影部分.∴P(B)＝＝＝＝，故x，y∈R，x＋y≥0的概率为.考点：几何概型中的面积类型和古典概型19. 某公司即将推车一款新型智能手机，为了更好地对产品进行宣传，需预估市民购买该款手机是否与年龄有关，现随机抽取了50名市民进行购买意愿的问卷调查，若得分低于60分，说明购买意愿弱；若得分不低于60分，说明购买意愿强，调查结果用茎叶图表示如图所示．（1）根据茎叶图中的数据完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关？（2）从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样，共抽取5人，从这5人中随机抽取2人进行采访，求这2人都是年龄大于40岁的概率．附：．【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）根据茎叶图可填表格，再由公式计算,并且和比较大小，即可得出结论；（Ⅱ）根据层比为，分别得到年龄在20~40岁的抽取了2人，年龄大于40岁的抽取了3人，分别对这人分类标号，并通过列举法计算所有5人中随机抽取2人的所有可能情况，并计算其概率.试题解析：（Ⅰ）由茎叶图可得：由列联表可得：．所以，没有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关．（Ⅱ）购买意愿弱的市民共有20人，抽样比例为，所以年龄在20~40岁的抽取了2人，记为a，b，年龄大于40岁的抽取了3人，记为A，B，C，从这5人中随机抽取2人，所有可能的情况为（a，b），（a，A），（a，B），（a，C），（b，A），（b，B），（b，C），（A，B），（A，C），（B，C），共10种，其中2人都是年龄大于40岁的有3种情况，所以概率为．20. 正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB中点，F为CD1中点．（1）求证：EF∥平面ADD1A1；（2）求直线EF和平面CDD1C1所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）（1）取DD1中点M，连接MA，MF，易得AEFM是平行四边形，有EF∥AM，【解析】试题分析：从而得证；（2）因为EF∥AM，AD⊥平面CDD1C1，所以∠AMD与直线EF和平面CDD1C1所成角相等，在Rt△AMD中求解即可.试题解析：（1）证明：取DD1中点M，连接MA，MF，有，所以AEFM是平行四边形，所以EF∥AM，又AM⊂平面ADD1A1，EF⊄平面ADD1A1，所以EF∥平面ADD1A1，得证．（2）因为EF∥AM，AD⊥平面CDD1C1，所以∠AMD与直线EF和平面CDD1C1所成角相等，又在Rt△AMD中，有，所以直线EF和平面CDD1C1所成角的正弦值为．点睛：求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.21. 已知点P（0，-2），椭圆E：的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线PF的斜率为2，O为坐标原点．（1）求椭圆E的方程；（2）直线l被圆O：x2+y2=3截得的弦长为3，且与椭圆E交于A、B两点，求△AOB面积的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由直线PF的斜率和离心率列方程组求解即可；（2）当直线l与y轴平行时，易得△AOB面积为，当直线l与y轴不平行时，设直线l 的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），由直线与椭圆联立得（2k2+1）x2+4kmx+2（m2-1）=0，用弦长公式和点到直线距离公式求解面积即可.试题解析：（1）设F（c，0），由已知得，直线PF的斜率k=，得c=1，又，则，b=1，故椭圆E的方程为（2）记点O到直线l的距离为d，则，①当直线l与y轴平行时，直线l的方程为，易求，∴，②当直线l与y轴不平行时，设直线l的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），由已知得，∴，由得（2k2+1）x2+4kmx+2（m2-1）=0，又△=10k2+2＞0，∴，，∴，，，当且仅当k=±1时取等号，综上当k=±1时，△AOB面积的最大值为22. 已知函数f（x）=a--lnx，g（x）=e x-ex+1．（1）若a=2，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）=0恰有一个解，求a的值；（3）若g（x）≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）1；（2）【解析】试题分析：（1）由f'（1）=0得切线斜率为1，进而得切线方程；（2）令m（x）=+ln x，求导得函数单调性和最值，进而得解；（3）由（Ⅱ）知函数的最大值为f（1）=a-1，g（x）=e x-ex+1，求导可得函数g（x）的最小值为g（1）=1，得1≥a-1，进而得解.试题解析：（1）∵a=2，∴，f'（x）=，∴f'（1）=0，∴切线方程为y=1；（2）令m（x）=+ln x，∴m'（x）=-+，∴当x在（0，1）时，m'（x）＞0，m（x）递增，当x在（1，+∞）是，m'（x）＜0，m（x）递减，故m（x）的最大值为m（1）=1，f（x）=0恰有一个解，即y=a，与m（x）只有一个交点，∴a=1；（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数的最大值为f（1）=a-1，g（x）=e x-ex+1．g'（x）=e x-e，∴当x在（0，1）时，g'（x）＜0，g（x）递减，当x在（1，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）递增，∴函数g（x）的最小值为g（1）=1，g（x）≥f（x）恒成立，∴1≥a-1，∴a≤2．点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）.。
新疆兵团第二师华山中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学文试题 含答案 精品
2017-2018学年第一学期高二年级期末考试数学（文科）试卷（考试时间：120分钟，满分：150分）命题教师：陈瑾一、选择题：（12小题，每题5分，共60分）1、已知复数z满足iz=2+3i，则z对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2、设命题p：∀x＞0，x-ln x＞0，则￢p为A. ∃x0＞0，x0-ln x0＞0B. ∃x0＞0，x0-ln x0≤0C. ∀x＞0，x-ln x＜0D. ∀x＞0，x-ln x≤03、宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=A. 2B. 3C. 4D. 54、若a，b∈R，则“a＞0，b＞0”是“a+b＞0”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5、已知双曲线的一条渐近线为，则实数a的值为A. B. 2 C. D. 46、下列说法错误的是A. 对分类变量X与Y，随机变量K2的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小B. 在回归直线方程=0.2x+0.8中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位C. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1D. 回归直线过样本点的中心（x，y）7、函数f（x）=2x2-4ln x的单调减区间为A. （-1，1）B. （1，+∞）C. （0，1）D. [-1，0）8、椭圆+=1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则∠F1PF2的余弦值为A. B. C. D.9、若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3-ax2-2bx在x=1处有极值，则+的最小值为A. B. C. D.10、《论语》云：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是A. 合情推理B. 归纳推理C. 类比推理D. 演绎推理11、已知点P在抛物线y2=4x上，点A（5，3），F为该抛物线的焦点，则△PAF周长的最小值为A.12B. 11C. 10D. 912、函数f（x）的定义域为R，f（1）=3，对任意x∈R，都有f（x）+f'（x）＜2，则不等式e x•f（x）＞2e x+e的解集为A. {x|x＜1}B. {x|x＞1}C. {x|x＜-1或x＞1}D. {x|x＜-1或0＜x＜1}二、填空题：（4小题，每题5分，共20分）13、原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”．当时有位父亲，为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗，满七进一，那么孩子已经出生______天．14、统计某产品的广告费用x与销售额y的一组数据如表：若根据如表提供的数据用最小二乘法可求得y对x的回归直线方程是=1.1x+4.6，则数据中的m的值应该是______．15、点P是双曲线x2-=1（b＞0）上一点，F1、F2是双曲线的左、右焦点，|PF1|+|PF2|=6，PF1⊥PF2，则双曲线的离心率为16、若函数y=e x+ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是（）A. a＞-1B.C. a＜-1D.三、解答题：（6小题，共70分）17（10分）、设命题p：实数x满足（x-a）（x-3a）＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足（x-3）（x-2）≤0．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围．（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18（12分）、已知集合A={（x，y）︱x∈[0，2]，y∈[-1，1]}．（1）若x，y∈Z，求x+y≥0的概率；（2）若x，y∈R，求x+y≥0的概率．19（12分）、某公司即将推车一款新型智能手机，为了更好地对产品进行宣传，需预估市民购买该款手机是否与年龄有关，现随机抽取了50名市民进行购买意愿的问卷调查，若得分低于60分，说明购买意愿弱；若得分不低于60分，说明购买意愿强，调查结果用茎叶图表示如图所示．（1）根据茎叶图中的数据完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关？（2）从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样，共抽取5人，从这5人中随机抽取2人进行采访，求这2人都是年龄大于40岁的概率．附：．20（12分）、正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB中点，F为CD1中点．（1）求证：EF∥平面ADD1A1；（2）求直线EF和平面CDD1C1所成角的正弦值．21（12分）、已知点P（0，-2），椭圆E：的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线PF的斜率为2，O为坐标原点．（1）求椭圆E的方程；（2）直线l被圆O：x2+y2=3截得的弦长为3，且与椭圆E交于A、B两点，求△AOB面积的最大值．22（12分）、已知函数f（x）=a--ln x，g（x）=e x-ex+1．（Ⅰ）若a=2，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）=0恰有一个解，求a的值；（Ⅲ）若g（x）≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．2017-2018高二期末考试数学（文科）试卷答案一、选择题：（12小题，每题5分，共60分）3、解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，故选C．4、解：当“a＞0，b＞0”时，由不等式的性质可知“a+b＞0”，反之若“a+b＞0”，如a=-1，b=2，不满足“a＞0，b＞0”，则“a＞0，b＞0”是“a+b＞0”的充分不必要条件，故选A．5、解：∵双曲线的渐近线为，∴，解得a=4，故选D．6、解：A．对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”可信程度越大，因此不正确；B．在线性回归方程=0.2x+0.8中，当x每增加1个单位时，预报量平均增加0.2个单位，正确；C．两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1，因此正确；D．回归直线过样本点的中心（，），正确．综上可知：只有A不正确．故选：A．7、解：f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=4x-=，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故选：C．8、解：根据题意，椭圆的标准方程为+=1，其中a==3，b=，则c=，则有|F1F2|=2，若a=3，则|PF1|+|PF2|=2a=6，又由|PF1|=4，则|PF2|=6-|PF1|=2，则cos∠F1PF2==；故选：B．9、解：函数f（x）=4x3-ax2-2bx的导数为f′（x）=12x2-2ax-2b，由函数f（x）=4x3-ax2-2bx在x=1处有极值，可得f′（1）=0，即12-2a-2b=0，即为a+b=6，（a，b＞0），则+=（a+b）（+）=（5++）≥•（5+2）=•（5+4）=．当且仅当=，即有a=2b=4时，取得最小值．故选：C．11、解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线l：x=-1，点A（5，3）在抛物线内部，丨FA丨==5．P是抛物线上的动点，PD⊥l交l于D，由抛物线的定义可知|PF|=|PD|；∴要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小，当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，为5-（-1）=6，则（|PA|+|PF|）min=6．△PAF周长的最小值为：6+5=11．故选B．12、解：令g（x）=e x f（x）-2e x-e，则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）-2e x=e x[f（x）+f′（x）-2]，∵f（x）+f′（x）＜2，∴f（x）+f′（x）-2＜0，∴g′（x）＜0，即g（x）在R上单调递减，又f（1）=3，∴g（1）=ef（1）-2e-e=0，故当x＜1时，g（x）＞g（1），即e x f（x）-2e x-e＞0，整理得e x f（x）＞2e x+e，∴e x f（x）＞2e x+e的解集为{x|x＜1}．故选：A．二、填空题：（4小题，每题5分，共20分）13、解：由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为1×73+3×72+2×71+6×70=510．14、解：由题意，=4，=7+，∵y对x的回归直线方程是=1.1x+4.6，∴7+=4.4+4.6，∴m=8．15、解：根据题意，点P是双曲线x2-=1（b＞0）上一点，则有||PF1|-|PF2||=2a=2，设|PF1|＞|PF2|，则有|PF1|-|PF2|=2，又由|PF1|+|PF2|=6，解可得：|PF1|=4，|PF2|=2，又由PF1⊥PF2，则有|PF1|2+|PF2|2=4c2=20，则c=，又由a=1，则双曲线的离心率e==；16、解：∵y=e x+ax，∴y'=e x+a．由题意知e x+a=0有大于0的实根，由e x=-a，得a=-e x，∵x＞0，∴e x＞1．∴a＜-1．三、解答题：（6小题，共70分）17、解：（1）由（x-1）（x-3）＜0，得P={x|1＜x＜3}，由（x-3）（x-2）≤0，可得Q={x|2≤x≤3}，由p∧q为真，即为p，q均为真命题，可得x的取值范围是2≤x＜3；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，可得q是p的充分不必要条件，由题意可得P={x|a＜x＜3a}，Q={x|2≤x≤3}，由Q⊊P，可得a＜2且3＜3a，解得1＜a＜2．18、解：（1）设“x+y≥0，x，y∈Z”为事件A，x，y∈Z，x∈[0，2]，即x=0，1，2；y∈[-1，1]，即y=-1，0，1．则基本事件有：（0，-1），（0，0），（0，1），（1，-1），（1，0），（1，1），（2，-1），（2，0），（2，1）共9个．其中满足“x+y≥0”的基本事件有8个，∴P（A）=．故x，y∈Z，x+y≥0的概率为．（2）设“x+y≥0，x，y∈R”为事件B，∵x∈[0，2]，y∈[-1，1]，则基本事件为如图四边形ABCD区域，事件B包括的区域为其中的阴影部分．基本事件如图四边形ABCD区域S=4，事件B包括的区域如阴影部分S′=S-=∴P（B）==．19、解：（1）由茎叶图可得：由列联表可得：．所以，没有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关．（2）购买意愿弱的市民共有20人，抽样比例为，所以年龄在20～40岁的抽取了2人，记为a，b，年龄大于40岁的抽取了3人，记为A，B，C，从这5人中随机抽取2人，所有可能的情况为（a，b），（a，A），（a，B），（a，C），（b，A），（b，B），（b，C），（A，B），（A，C），（B，C），共10种，其中2人都是年龄大于40岁的有3种情况，所以概率为．20、解：（1）证明：取DD1中点M，连接MA，MF，有，所以AEFM是平行四边形，所以EF∥AM，又AM⊂平面ADD1A1，EF⊄平面ADD1A1，所以EF∥平面ADD1A1，得证．（2）因为EF∥AM，AD⊥平面CDD1C1，所以∠AMD与直线EF和平面CDD1C1所成角相等，又在Rt△AMD中，有，所以直线EF和平面CDD1C1所成角的正弦值为．21、解：（1）设F（c，0），由已知得，直线PF的斜率k=，得c=1，又，则，b=1，故椭圆E的方程为（2）记点O到直线l的距离为d，则，①当直线l与y轴平行时，直线l的方程为，易求，∴，②当直线l与y轴不平行时，设直线l的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），由已知得，∴，由得（2k2+1）x2+4kmx+2（m2-1）=0，又△=10k2+2＞0，∴，，∴，，，当且仅当k=±1时取等号，综上当k=±1时，△AOB面积的最大值为22、解：（Ⅰ）∵a=2，∴f（1）=2-1=1，f'（x）=，∴f'（1）=0，∴切线方程为y=1；（Ⅱ）令m（x）=+ln x，∴m'（x）=-+，∴当x在（0，1）时，m'（x）＞0，m（x）递增，当x在（1，+∞）是，m'（x）＜0，m（x）递减，故m（x）的最大值为m（1）=1，f（x）=0恰有一个解，即y=a，与m（x）只有一个交点，∴a=1；（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数的最大值为f（1）=a-1，g（x）=e x-ex+1．g'（x）=e x-e，∴当x在（0，1）时，g'（x）＜0，g（x）递减，当x在（1，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）递增，∴函数g（x）的最小值为g（1）=1，g（x）≥f（x）恒成立，∴1≥a-1，∴a≤2．。
新疆兵团第二师华山中学2017-2018学年第二学期高二年级期末考试文科数学试卷(含详细答案)
新疆兵团第二师华山中学2017-2018学年第二学期高二年级期末考试数学(文科) 试卷（考试时间：120分钟，满分：150分）一、选择题（每题5分，共计60分。
）1.设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,3,4U A B ===，则=)(B A C U （ ） Ａ.{}2,3 Ｂ.{}1,4,5 Ｃ.{}4,5 Ｄ.{}1,5 2．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A. 1y x =+ B. 2y x =- C. 1y x= D. ||y x x = 3.设命题p ：2,2nn N n ∃∈>，则p ⌝为( ) A.2,2nn N n ∀∈> B.2,2nn N n ∃∈≤ C.2,2nn N n ∀∈≤D.2,=2n n N n ∃∈4.命题:p 所有有理数都是实数，命题:q 正数的对数都是负数，则下列为真命题的是（ ） A ．()p q ⌝∨ B ．p q ∧ C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()()p q ⌝∨⌝5. “sin α=21”是“212cos =α”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知432a =，254b =，1325c =，则（ ）A.b a c <<B.a b c <<C.b c a <<D.c a b <<7.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ） A.sin(2)3y x π=-，x R ∈ B. sin()26x y π=+，x R ∈C.sin(2)3y x π=+，x R ∈D.sin(2)32y x π=+，x R ∈ 8.函数f(x)=xcos2x 在区间[0,2π]上的零点个数为( ) A. 2 B. 3 C.4 D.59.定义在R 上的函数f （x ）满足f （x+6）=f （x ），当-3≤x ＜-1时，f （x ）=-（x+2）2，当-1≤x ＜3时，f （x ）=x,则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2012）=( ) A.335 B.338 C.1678 D.2012 10. 如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边,BC CD 与DA 运动，记BOP x ∠=.将动点P 到,A B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）。
新疆生产建设兵团二中2017-2018学年高三上学期第一次月考数学试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年新疆生产建设兵团二中高三（上）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B2．要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平移单位D．向右平移单位3．已知幂函数f（x）的图象过点（4，），则f（8）的值为（）A．B．64 C．2D．4．“a≤﹣2”是“函数f（x）=|x﹣a|在[﹣1，+∞）上单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知函数f（x）=lnx，则函数g（x）=f（x）﹣f′（x）的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）6．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则•的值为（）A．﹣B．C．D．7．设a=20.3，b=0.32，c=log x（x2+0.3）（x＞1），则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a8．函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．49．一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°方向上，与灯塔S相距20nmile，随后货轮按北偏西30°的方向航行3h后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（）A．nmile/h B．nmile/hC．nmile/h D．nmile/h10．若函数f（x）=x2+ax+在（，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，+∞）C．[0，3]D．[3，+∞）11．已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x+4）+f（x）=0且在区间[0，2]上是增函数，若函数y=f（x）﹣k（k＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=（）A．4 B．8 C．﹣4 D．﹣812．已知函数f（x）是R上的增函数，且f（sinω）+f（﹣cosω）＞f（﹣sinω）+f（cosω），其中ω是锐角，并且使得g（x）=sin（ωx+）在（，π）上单调递减，则ω的取值范围是（）A．（，]B．[，）C．[，）D．[，]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量=（1，m），=（3，﹣2）且（+）⊥，则m=．14．设函数f（x）=，则f（f（3））=．15．已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＜5的解集是．16．已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，B={x|（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）≤0，x∈R，m ∈R}．（1）若A∩B={x|0≤x≤3}，求实数m的值；（2）若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．18．已知p：函数y=lg（ax2﹣ax+1）的定义域为R，q：函数在x∈（0，+∞）上是减函数，若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．19．已知函数f（x）=﹣sin（2x+）+6sinxcosx﹣2cos2x+1，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．20．已知向量=（sinA，）与=（3，sinA+）共线，其中A是△ABC的内角．（1）求角A的大小；（2）若BC=2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状．21．设函数f（x）=﹣x3+x2+（m2﹣1）x，（x∈R），其中m＞0．（1）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数的单调区间与极值；（3）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x1，x2，且x1＜x2．若对∀x∈[x1，x2]，f （x）＞f（1）恒成立，求实数m的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]|22．如图，在△ABC中，DC⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE交DC于点F，若BF=FC=3，DF=FE=2．（1）求证：AD•AB=AE•AC；（2）求线段BC的长度．[选修4-4：坐标系与参数方程]|23．在极坐标系中，已知曲线C：ρ=sin（θ﹣），P为曲线C上的动点，定点Q（1，）．（Ⅰ）将曲线C的方程化成直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（Ⅱ）求P、Q两点的最短距离．[选修4-5：不等式选讲]|24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）∀x∈R，使f（x）≥t2﹣t，求实数t的取值范围．2016-2017学年新疆生产建设兵团二中高三（上）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B【考点】并集及其运算；一元二次不等式的解法．【分析】根据一元二次不等式的解法，求出集合A，再根据的定义求出A∩B和A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，∴A∩B={x|2＜x＜或﹣＜x＜0}，A∪B=R，故选B．2．要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平移单位D．向右平移单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．【解答】解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位．故选：B．3．已知幂函数f（x）的图象过点（4，），则f（8）的值为（）A．B．64 C．2D．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】幂函数f（x）=x a的图象过点（4，），得到α的值，得到函数的解析式，再代入值计算即可．【解答】解：∵幂函数f（x）=x a的图象过点（4，），∴=4α，∴α=﹣，∴f（x）=，∴f（8）==故选：A．4．“a≤﹣2”是“函数f（x）=|x﹣a|在[﹣1，+∞）上单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】从两个方向去判断，先看“a≤﹣2”能否得到“函数f（x）=|x﹣a|在[﹣1，+∞）上单调递增”：这个容易判断能得到；再看“函数f（x）=|x﹣a|在[﹣1，+∞）上单调递增”能否得到“a≤﹣2”：根据f（x）解析式知道f（x）在[a，+∞）上单调递增，从而a≤﹣1，并得不到a≤﹣2，综合以上情况即可得出答案．【解答】解：（1）若a≤﹣2，x∈[﹣1，+∞）时，f（x）=x﹣a；∴此时f（x）在[﹣1，+∞）上单调递增；∴“a≤﹣2”是“函数f（x）=|x﹣a|在[﹣1，+∞）上单调递增”的充分条件；（2）若“函数f（x）=|x﹣a|在[﹣1，+∞）上单调递增”，则：x≥a在[﹣1，+∞）上恒成立；∴﹣1≥a；即a≤﹣1；∴得不到a≤﹣2；∴“a≤﹣2”不是“函数f（x）=|x﹣a|在[﹣1，+∞）上单调递增”的必要条件；∴综上得“a≤﹣2”是“函数f（x）=|x﹣a|在[﹣1，+∞）上单调递增”的充分不必要条件．故选A．5．已知函数f（x）=lnx，则函数g（x）=f（x）﹣f′（x）的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】导数的运算；函数零点的判定定理．【分析】求出函数f（x）的导函数，把f（x）及其导函数代入函数g（x）中，对函数g（x）求导可知函数g（x）是单调函数，且g（1）＜0，g（2）＞0，则函数g（x）的零点所在的区间可求．【解答】解：由f（x）=lnx，则，则g（x）=f（x）﹣f′（x）=lnx﹣．函数g（x）的定义域为（0，+∞），＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，所以函数g（x）在（0，+∞）上为增函数，而g（1）=ln1﹣1=﹣1＜0，g（2）=ln2﹣=ln2﹣ln＞0．所以函数g（x）在区间（1，2）上有唯一零点．故选B．6．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则•的值为（）A．﹣B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案．【解答】解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE=2EF，∴•========．故选：B．7．设a=20.3，b=0.32，c=log x（x2+0.3）（x＞1），则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a【考点】指数函数单调性的应用．【分析】利用指数函数y=a x和对数函数的单调性，比较大小【解答】解：∵a=20.3＜21=2且a=20.3＞20=1，∴1＜a＜2，又∵b=0.32＜0.30=1，∵x＞1，∴c=log x（x2+0.3）＞log x x2=2，∴c＞a＞b．故选B8．函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】通过令f（x）=0，将方程的解转化为函数图象的交点问题，从而判断函数的零点个数．【解答】解：函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1，令f（x）=0，在同一坐标系中作出y=（）x．与y=|log0.5x|，如图，由图可得零点的个数为2．故选B．9．一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°方向上，与灯塔S相距20nmile，随后货轮按北偏西30°的方向航行3h后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（）A．nmile/h B．nmile/hC．nmile/h D．nmile/h【考点】解三角形的实际应用．【分析】根据题意画出相应的图形．在三角形PMN中，利用正弦定理，根据sin∠MPN与sin∠PNM的值，以及PM的长，求出MN的长，即可确定出速度．【解答】解：由题意知SM=20海里，∠SMB=15°，∠BMN=30°，∠SNC=45°，∴∠NMS=45°∠MNA=90°﹣∠BMN=60°，∴∠SNM=105°，∴∠MSN=30°，∵sin105°=sin（60°+45°）=sin60°cos45°+cos60°sin45°=，∴在△MNS中利用正弦定理可得，=，解得：MN=10（﹣）海里，∴货轮航行的速度v=nmile|h，故选：B．10．若函数f （x ）=x 2+ax +在（，+∞）上是增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．[﹣1，0] B ．[﹣1，+∞） C ．[0，3]D ．[3，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；二次函数的性质．【分析】求出函数f （x ）的导函数，由导函数在（，+∞）大于等于0恒成立解答案【解答】解：由f （x ）=x 2+ax +，得f ′（x ）=2x +a ﹣=，令g （x ）=2x 3+ax 2﹣1，要使函数f （x ）=x 2+ax +在（，+∞）是增函数，则g （x ）=2x 3+ax 2﹣1在x ∈（，+∞）大于等于0恒成立， g ′（x ）=6x 2+2ax=2x （3x +a ），当a=0时，g ′（x ）≥0，g （x ）在R 上为增函数，则有g （）≥0，解得+﹣1≥0，a ≥3（舍）；当a ＞0时，g （x ）在（0，+∞）上为增函数，则g （）≥0，解得+﹣1≥0，a ≥3；当a ＜0时，同理分析可知，满足函数f （x ）=x 2+ax +在（，+∞）是增函数的a 的取值范围是a ≥3（舍）． 故选：D ．11．已知定义在R 上的奇函数f （x ），满足f （x +4）+f （x ）=0且在区间[0，2]上是增函数，若函数y=f （x ）﹣k （k ＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1+x 2+x 3+x 4=（ ） A ．4 B ．8 C ．﹣4 D ．﹣8 【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数的条件，判断函数的周期，利用函数的奇偶性和周期性即可得到结论． 【解答】解：∵f （x +4）=﹣f （x ）， ∴f （x +8）=﹣f （x +4）=f （x ）， 即函数的周期是8，且f （x +4）=﹣f （x ）=f （﹣x ），则函数的对称轴为=2，作出函数f （x ）的 简图，若方程f （x ）=m （m ＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4， 则四个根分别关于x=2和x=﹣6对称， 不妨设x 1＜x 2＜x 3＜x 4， 则x 1+x 2=﹣12，x 3+x 4=4， 则x 1+x 2+x 3+x 4=﹣12+4=﹣8，故选：D．12．已知函数f（x）是R上的增函数，且f（sinω）+f（﹣cosω）＞f（﹣sinω）+f（cosω），其中ω是锐角，并且使得g（x）=sin（ωx+）在（，π）上单调递减，则ω的取值范围是（）A．（，]B．[，）C．[，）D．[，]【考点】正弦函数的图象．【分析】根据函数的基本性质，sinω与cosω的关系要么sinω＞cosω，要么sinω≤cosω，根据已知条件容易判断出sinω＞cosω，由ω为锐角便得到＜ω＜，而由g（x）在（，π）单调递减便得到g′（x）=ωcos（ωx+）≤0在（，π）内恒成立，所以得到cos（ωx+））≤0在（，π）内恒成立，所以函数cos（ωx+）的周期，所以，根据此时的ω范围可得到ω只需再满足πω+，即可得到ω的范围．【解答】解：①若sinω＞cosω，则﹣cosω＞﹣sinω；∵f（x）是R上的增函数；∴f（sinω）＞f（cosω），f（﹣cosω）＞f（﹣sinω）；∴符合f（sinω）+f（﹣cosω）＞f（cosω）+f（﹣sinω）；∵ω是锐角；∴＜ω＜；②若sinω≤cosω，则﹣cosω≤﹣sinω；∴f（sinω）+f（﹣cosω）≤f（cosω）+f（﹣sinω），显然与已知矛盾，即这种情况不存在；由g′（x）=ωcos（ωx+）；∴由已知条件知，cos（ωx+）≤0在x∈（，π）上恒成立；∴函数cos（ωx+）的周期；∴ω≤2；∴＜ω≤2；由得，，联立：解得：．∴．∴ω的取值范围为（]．故选择A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量=（1，m），=（3，﹣2）且（+）⊥，则m=8．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量垂直的等价条件转化为向量数量积为0进行求解即可．【解答】解：∵（+）⊥，∴（+）•=0，即（4，m﹣2）•（3，﹣2）=0．即12﹣2（m﹣2）=0，得m=8，故答案为：8．14．设函数f（x）=，则f（f（3））=．【考点】函数的值．【分析】根据分段函数的定义域先求出f（3），再求出f（f（3）），注意定义域；【解答】解：∵函数，3＞1∴f（3）=，∴f（）=（）2+1=+1=，故答案为；15．已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＜5的解集是（﹣5，5）．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由偶函数性质得：f（|x|）=f（x），则f（x）＜5可变为f（|x|）＜5，代入已知表达式可表示出不等式，先解出|x|的范围，再求x范围．【解答】解：因为f（x）为偶函数，所以f（|x|）=f（x），则f（x）＜5可化为f（|x|）＜5，即|x|2﹣4|x|＜5，（|x|+1）（|x|﹣5）＜0，所以|x|＜5，解得﹣5＜x＜5，所以不等式f（x）＜5的解集是（﹣5，5），故答案为：（﹣5，5）．16．已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是（3，+∞）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】作出函数f（x）=的图象，依题意，可得4m﹣m2＜m（m ＞0），解之即可．【解答】解：当m＞0时，函数f（x）=的图象如下：∵x＞m时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，必须4m﹣m2＜m（m＞0），即m2＞3m（m＞0），解得m＞3，∴m的取值范围是（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．三、解答题（本大题共5小题，共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，B={x|（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）≤0，x∈R，m ∈R}．（1）若A∩B={x|0≤x≤3}，求实数m的值；（2）若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．【考点】交集及其运算；集合的包含关系判断及应用．【分析】（1）先化简集合A，再根据A∩B=[0，3]，即可求得m的值．（2）先求C R B，再根据A⊆C R B，即可求得m的取值范围．【解答】解：（1）∵A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，∴A={x|﹣1≤x≤3，x∈R}，∵A∩B=[0，3]，∴m﹣2=0，即m=2，此时B={x|0≤x≤4}，满足条件A∩B=[0，3]．（2）∵B={x|m﹣2≤x≤m+2}．∴∁R B={x|x＞m+2或x＜m﹣2}，要使A⊆∁R B，则3＜m﹣2或﹣1＞m+2，解得m＞5或m＜﹣3，即实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）．18．已知p：函数y=lg（ax2﹣ax+1）的定义域为R，q：函数在x∈（0，+∞）上是减函数，若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．【考点】复合的真假．【分析】先求出p，q为真的等价条件，然后利用“p∨q”为真，“p∧q”为假，确定实数a的取值范围．【解答】解：p：a=0或，∴0≤a＜4；q：a2﹣2a﹣3＜0，∴﹣1＜a＜3；由题意知p，q有且只有一个是真，当p为真，q为假时，，当p为假，q为真时，，综上可得，﹣1＜a＜0或3≤a＜4．19．已知函数f（x）=﹣sin（2x+）+6sinxcosx﹣2cos2x+1，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．【分析】（I）利用两角和的正弦公式将sin（2x+）展开，结合二倍角的正余弦公式化简合并，得f（x）=2sin2x﹣2cos2x，再利用辅助角公式化简得f（x）=2sin（2x﹣），最后利用正弦函数的周期公式即可算出f（x）的最小正周期；（II）根据x∈，得﹣≤2x﹣≤．再由正弦函数在区间[﹣，]上的图象与性质，可得f（x）在区间上的最大值为与最小值．【解答】解：（I）∵sinxcosx=sin2x，cos2x=（1+cos2x）∴f（x）=﹣sin（2x+）+6sinxcosx﹣2cos2x+1=﹣sin2x﹣cos2x+3sin2x﹣（1+cos2x）+1=2sin2x﹣2cos2x=2sin（2x﹣）因此，f（x）的最小正周期T==π；（II）∵0≤x≤，∴﹣≤2x﹣≤∴当x=0时，sin（2x﹣）取得最小值﹣；当x=时，sin（2x﹣）取得最大值1由此可得，f（x）在区间上的最大值为f（）=2；最小值为f（0）=﹣2．20．已知向量=（sinA，）与=（3，sinA+）共线，其中A是△ABC的内角．（1）求角A的大小；（2）若BC=2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状．【考点】向量的共线定理；基本不等式；两角和与差的正弦函数；正弦定理．【分析】（1）根据向量平行得出角2A的等式，然后根据两角和差的正弦公式和A为三角形内角这个条件得到A．（2）根据余弦定理代入三角形的面积公式，判断等号成立的条件．【解答】解：（1）因为∥，所以；所以，即，即．因为A∈（0，π），所以．故，；（2）由余弦定理，得4=b2+c2﹣bc．又，而b2+c2≥2bc⇒bc+4≥2bc⇒bc≤4，（当且仅当b=c时等号成立）所以；当△ABC的面积取最大值时，b=c．又；故此时△ABC为等边三角形．21．设函数f（x）=﹣x3+x2+（m2﹣1）x，（x∈R），其中m＞0．（1）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数的单调区间与极值；（3）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x1，x2，且x1＜x2．若对∀x∈[x1，x2]，f （x）＞f（1）恒成立，求实数m的取值范围．【考点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1），易得函数在所求点的斜率．（2）当f′（x）≥0，函数单增，f′（x）≤0时单减，令f′（x）=0的点为极值点．（3）由题意属于区间[x1，x2]的点的函数值均大于f（1），由此计算m的范围．【解答】解：（1）当，故f'（1）=﹣1+2=1，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1．（2）f'（x）=﹣x2+2x+m2﹣1，令f'（x）=0，解得x=1﹣m或x=1+m．函数f（x）在x=1﹣m处取得极小值f（1﹣m），且f（1﹣m）=，函数f（x）在x=1+m处取得极大值f（1+m），且f（1+m）=．（3）由题设，，∴方程有两个相异的实根x1，x2，故，∵m＞0解得m，∵x1＜x2，所以2x2＞x1+x2=3，故x2＞．①当x1≤1＜x2时，f（1）=﹣（1﹣x1）（1﹣x2）≥0，而f（x1）=0，不符合题意，②当1＜x1＜x2时，对任意的x∈[x1，x2]，都有x＞0，x﹣x1≥0，x﹣x2≤0，则，又f（x1）=0，所以f（x）在[x1，x2]上的最小值为0，于是对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立的充要条件是f（1）=m2﹣＜0，解得，∵由上m，综上，m的取值范围是（，）．[选修4-1：几何证明选讲]|22．如图，在△ABC中，DC⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE交DC于点F，若BF=FC=3，DF=FE=2．（1）求证：AD•AB=AE•AC；（2）求线段BC的长度．【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．【分析】（1）推导出B，C，D，E四点在以BC为直径的圆上，由割线定理能证明AD•AB=AE•AC．（2）过点F作FG⊥BC于点G，推导出B，G，F，D四点共圆，F，G，C，E四点共圆，由此利用割线定理能求出BC的长．【解答】证明：（1）由已知∠BDC=∠BEC=90°，所以B，C，D，E四点在以BC为直径的圆上，由割线定理知：AD•AB=AE•AC．…解：（2）如图，过点F作FG⊥BC于点G，由已知，∠BDC=90°，又因为FG⊥BC，所以B，G，F，D四点共圆，所以由割线定理知：CG•CB=CF•CD，①…同理，F，G，C，E四点共圆，由割线定理知：BF•BE=BG•BC，②…①+②得：CG•CB+BG•BC=CF•CD+BF•BE，即BC2=CF•CD+BF•BE=3×5+3×5=30，…所以BC=．…[选修4-4：坐标系与参数方程]|23．在极坐标系中，已知曲线C：ρ=sin（θ﹣），P为曲线C上的动点，定点Q（1，）．（Ⅰ）将曲线C的方程化成直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（Ⅱ）求P、Q两点的最短距离．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）运用两角差的正弦公式和极坐标与直角坐标的关系：x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，化简即可得到所求方程及轨迹；（Ⅱ）求得Q的直角坐标，以及Q到圆心的距离，由最小值d﹣r，即可得到所求值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C：ρ=sin（θ﹣）=2（sinθ﹣cosθ）=2sinθ﹣2cosθ，即有ρ2=2ρsinθ﹣2ρcosθ，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，可得曲线C：x2+y2+2x﹣2y=0，即为以（﹣1，1）为圆心，为半径的圆；（Ⅱ）Q（1，），即为Q（cos，sin），即Q（，），Q到圆心的距离为d==，即有PQ的最短距离为d﹣r=﹣．[选修4-5：不等式选讲]|24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）∀x∈R，使f（x）≥t2﹣t，求实数t的取值范围．【考点】一元二次不等式的应用；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）根据绝对值的代数意义，去掉函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|中的绝对值符号，求解不等式f（x）＞2，（2）由（1）得出函数f（x）的最小值，若∀x∈R，恒成立，只须即可，求出实数t的取值范围．【解答】解：（1）当，∴x＜﹣5当，∴1＜x＜2当x≥2，x+3＞2，x＞﹣1，∴x≥2综上所述{x|x＞1或x＜﹣5}．（2）由（1）得，若∀x∈R，恒成立，则只需，综上所述．2016年10月17日。
数学---新疆兵团农二师华山中学2016-2017学年上学期期末考试试卷(解析版)
新疆兵团农二师华山中学2016-2017学年上学期期末考试高一数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜2} B．{x|﹣1＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|﹣1＜x＜2}2．下列函数为奇函数的是（）A．y=x+1 B．y=e x C．y=x2+x D．y=x33．2log510+log50.25=（）A．0 B．1 C．2 D．44．sin（π﹣α）cos（﹣α）=（）A．B．C．sin2αD．cos2α5．已知函数，那么f[f（）]的值为（）A．9 B．C．﹣9 D．﹣6．若点（a，9）在函数y=3x的图象上，则tan的值为（）A．0 B．C．1 D．7．设a=（）0.5，b=0.30.5，c=log0.30.2，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．a＜c＜b8．要得到函数y=sin2x的图象，只要将函数y=sin（2x﹣）的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平移单位D．向右平移单位9．已知函数y=f（x+3）是偶函数，则函数y=f（x）图象的对称轴为直线（）A．x=﹣3 B．x=0 C．x=3 D．x=610．△ABC的三个内角分别记为A，B，C，若tan A tan B=tan A+tan B+1，则cosC的值是（）A．﹣B．C．D．﹣11．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=，且f（x）在[﹣3，﹣2]上是减函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则（）A．f（sinα）＞f（sinβ）B．f（cosα）＞f（cosβ）C．f（sinα）＞f（cosβ）D．f（sinα）＜f（cosβ）12．已知x1，x2是函数f（x）=e﹣x﹣|ln x|的两个不同零点，则x1x2的取值范围是（）A．（0，）B．（，1] C．（1，e）D．（，1）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设A={（x，y）|y=2x+3}，B={（x，y）|y=x+1}，则A∩B=．14．函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图象如图所示，则函数y=f （x）对应的解析式为．15．函数y=﹣的定义域是（用区间表示）16．若f（sin2x）=5sin x﹣5cos x﹣6（0＜x＜π），则f（﹣）=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知tanα=3，计算：（Ⅰ）；（Ⅱ）sinα•cosα．18．已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和值域；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明．19．已知函数f（x）=cos x（sin x+cos x）．（Ⅰ）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．20．设函数f（x）=（Ⅰ）当时，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的减函数，求实数a的取值范围．21．如图所示，已知点A（1，0），D（﹣1，0），点B，C在单位圆O上，且∠BOC=．（Ⅰ）若点B（，），求cos∠AOC的值；（Ⅱ）设∠AOB=x（0＜x＜），四边形ABCD的周长为y，将y表示成x的函数，并求出y的最大值．22．已知函数f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若x，y∈[﹣1，1]，x+y≠0有（x+y）•[f（x）+f（y）]＞0．（1）判断f（x）的单调性，并加以证明；（2）解不等式；（3）若f（x）≤m2﹣2am+1对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立．求实数m的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．A2．D3．C4．A【解析】解：∵，∴==﹣2，而﹣2＜0，∴f（﹣2）=3﹣2=．∴=．故选B．6．D【解析】将（a，9）代入到y=3x中，得3a=9，解得a=2．∴=．故选D．7．C【解析】∵幂函数y=x0.5来判断，在（0，+∞）上为增函数，∴1＞＞0.30.5＞0 ∴0＜b＜a＜1又∵对数函数y=log0.3x在（0，+∞）上为减函数∴log0.30.2＞log0.30.3＞1 ∴c＞a＞b故选C．8．C9．C【解析】函数y=f（x+3）是偶函数，其图象关于y轴，即直线x=0对称，函数y=f（x）图象由函数y=f（x+3）的图象向右平移3个单位得到，故函数y=f（x）图象关于直线x=3对称，故选：C．10．B【解析】∵tan A tan B=tan A+tan B+1，∴tanA+tan B=﹣1+tan A tan B，∵tan（A+B）==﹣1=tan（π﹣C）=tan C，∴tan C=1，∵C为三角形的内角∴C=，∴cos C=，故选：B．11．C【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由条件f（x+1）=得到f（x）是周期为2的周期函数，由f（x）是定义在R 上的偶函数，在[﹣3，﹣2]上是减函数，得到f（x）在[2，3]上是增函数，在[0，1]上是增函数，再由α，β是锐角三角形的两个内角，得到α＞90°﹣β，且sinα、cosβ都在区间[0，1]上，从而得到f（sinα）＞f（cosβ）．【解析】∵f（x+1）=，∴f（x+2）=f（x），f（x）是周期为2的周期函数．∵y=f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∵f（x）在[﹣3，﹣2]上是减函数，∴在[2，3]上是增函数，∴在[0，1]上是增函数，∵α，β是锐角三角形的两个内角．∴α+β＞90°，α＞90°﹣β，两边同取正弦得：sinα＞sin（90°﹣β）=cosβ，且sinα、cosβ都在区间[0，1]上，∴f（sinα）＞f（cosβ），故选：C．12．D【解析】令f（x）=0得e﹣x=|ln x|，作出y=e﹣x和y=|ln x|的函数图象如图所示：由图象可知，1＜x2＜e，∴x1x2＞，又|ln x1|＞|ln x2|，即﹣ln x1＞ln x2，∴ln x1+ln x2＜0，∴ln x1x2＜0，∴x1x2＜1．故选D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．{（﹣2，﹣1）}【解析】联立得：，解得：，则A∩B={（﹣2，﹣1）}，故答案为：{（﹣2，﹣1）}14．f（x）=sin（2x+）．【考点】由y=A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由y=A sin（ωx+φ）的部分图象可求得A=1，T=π，从而可得ω，再由f（）=sin （2×+φ）=1，|φ|可求得φ，从而可得答案．【解答】解：∵T= •=﹣=，∴ω=2；又A=1，f（）=sin（2×+φ）=1，∴+φ=kπ+，k∈Z．∴φ=kπ+（k∈Z），又|φ|，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+）．故答案为：f（x）=sin（2x+）．15．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由函数y的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：∵函数y=﹣，∴，即，解得；即0＜x＜，＜x≤3；∴f（x）的定义域是（0，）∪（，3]．故答案为：．16．1【解析】令sin2x=，得，∵0＜x＜π，∴，则sin x﹣cos x＞0，∴sin x﹣cosx==∴f（﹣）=f（sin2x）=5（sin x﹣cos x）﹣6=5×．故答案为：1．三、解答题（共6小题，满分70分）17．【解析】（Ⅰ）分子、分母同除以cosα，利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．（Ⅱ）将分母看成1，即两弦值的平方和，由已知，利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵tanα=3，∴===．…（Ⅱ）∵tanα=3，∴sinα•cosα====．…18．【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法；函数的值域．【解析】（Ⅰ）由1﹣3x≠0得x≠0，求得函数f（x）的定义域，由3x=＞0，求得f （x）的范围，可得f（x）的值域．（Ⅱ）因为函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足f（﹣x）=﹣f（x），可得f（x）为奇函数．【解答】解：（Ⅰ）由1﹣3x≠0得x≠0，故函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）．由f（x）=，可得3x=＞0，求得f（x）＞1，或f（x）＜﹣1，f（x）的值域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．（Ⅱ）f（x）为奇函数，理由如下：因为函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且，所以，f（x）为奇函数．19．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）根据同角的三角函数关系，求出sinα、cosα的值，再计算f（α）的值；（Ⅱ）化函数f（x）为正弦型函数，即可求出f（x）的最小正周期和单调减区间．【解答】解：（Ⅰ）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）=××（+）=；…（Ⅱ）函数f（x）=cos x（sin x+cos x）=（cos x sin x+cos2x）=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，…∴f（x）的最小正周期为π；令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴函数f（x）的单调减区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z．…20．【考点】二次函数的性质；函数单调性的性质；函数的值．【分析】（Ⅰ）a=时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=x2﹣3x是减函数，可求此时函数f（x）的值域；同理可求得当x≥1时，减函数f（x）=的值域；（Ⅱ）函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的减函数，三个条件需同时成立，①≥1，②0＜a ＜1，③12﹣（4a+1）•1﹣8a+4≥0，从而可解得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）a=时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=x2﹣3x是减函数，所以f（x）＞f（1）=﹣2，即x＜1时，f（x）的值域是（﹣2，+∞）．当x≥1时，f（x）=是减函数，所以f（x）≤f（1）=0，即x≥1时，f（x）的值域是（﹣∞，0]．于是函数f（x）的值域是（﹣∞，0]∪（﹣2，+∞）=R．（Ⅱ）若函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的减函数，则下列①②③三个条件同时成立：①当x＜1，f（x）=x2﹣（4a+1）x﹣8a+4是减函数，于是≥1，则a≥．②x≥1时，f（x）=是减函数，则0＜a＜1．③12﹣（4a+1）•1﹣8a+4≥0，则a≤．于是实数a的取值范围是[，]．21．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．【分析】（Ⅰ）由三角函数的定义，写出cos∠AOB与sin∠AOB的值，再计算cos∠AOC的值；（Ⅱ）根据等腰三角形的知识，求出|AB|、|CD|的值，再写出函数y的解析式，求出y的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）∵B（，），∴cos∠AOB=，sin∠AOB=；∴cos∠AOC=cos（∠AOB+∠BOC）=cos∠AOB cos∠BOC﹣sin∠AOB sin∠BOC=×﹣×=；…（Ⅱ）等腰三角形AOB中，求得|AB|=2|OB|sin=2sin，等腰三角形COD中，求得|CD|=2|OC|sin=2sin（﹣）；…∴y=|AB|+|BC|+|CD|+|DA|=3+2sin+2sin（﹣）=3+2sin（+）；…由0＜x＜得，当+=，即x=时，y取得最大值5．…22 【考点】函数恒成立问题；奇偶性与单调性的综合．【分析】（1）设x1，x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，则x1﹣x2＜0，利用x，y∈[﹣1，1]，x+y≠0有（x+y）•[f（x）+f（y）]＞0，可得f（x1）+f（﹣x2）＜0，根据函数f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，即可得函数f（x）在[﹣1，1]上单调增；（2）由（1）知，，解之即可；（3）先确定函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值为f（1）=1，将f（x）≤m2﹣2am+1对所有x ∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立转化为：0≤m2﹣2am对所有a∈[﹣1，1]恒成立，从而可求实数m的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）在[﹣1，1]上单调增，证明如下由题意，设x1，x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2则x1﹣x2＜0∵x，y∈[﹣1，1]，x+y≠0有（x+y）•[f（x）+f（y）]＞0．令x=x1，y=﹣x2，∴f（x1）+f（﹣x2）＜0∵函数f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数∴f（x1）﹣f（x2）＜0∴函数f（x）在[﹣1，1]上单调增；（2）由（1）知，，解得：（3）由于函数f（x）在[﹣1，1]上单调增，∴函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值为f（1）=1∴f（x）≤m2﹣2am+1对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立可转化为：0≤m2﹣2am对所有a∈[﹣1，1]恒成立∴，解得m≥2或m≤﹣2或m=0。
2017-2018年新疆兵团农二师华山中学高二上学期数学期中试卷带答案
2017-2018学年新疆兵团农二师华山中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（单选题每题5分）1．（5分）抛物线x=﹣2y2的准线方程是（）A．B．C．D．2．（5分）设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=20y的焦点重合，且其渐近线方程为3x±4y=0，则该双曲线的标准方程为（）A．=1 B．=1 C．D．=14．（5分）若框图所给的程序运行结果为S=20，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）A．k＞8？B．k≤8？C．k＜8？D．k=9？5．（5分）将参加数学竞赛决赛的500名同学编号为：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽的号码为003，这500名学生分别在三个考点考试，从001到200在第一考点，从201到355在第二考点，从356到500在第三考点，则第二考点被抽中的人数为（）A．14 B．15 C．16 D．176．（5分）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件A={两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为2}，则P（A）=（）A．B．C．D．7．（5分）将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为（）A． B．C．36 D．8．（5分）已知动点P（x，y）满足5=|3x+4y﹣1|，则点P的轨迹是（）A．直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆9．（5分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），A是双曲线的左顶点，点P（﹣，y p）在双曲线的一条渐近线上，M为线段F1P的中点，且F1P⊥AM，则该双曲线C的渐近线为（）A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±x10．（5分）已知x，y取值如表：从散点图可知：y与x线性相关，且=0.95x+a，则当x=10时，y的预测值为（）A．10.8 B．10.95 C．11.15 D．11.311．（5分）抛物线y2=2px（p＞0）焦点为F，点N在x轴上且在点F右侧，线段FN的垂直平分线l与抛物线在第一象限的交点为M，直线MN的倾斜角为135°，O为坐标原点，则直线OM的斜率为（）A．3﹣4 B．﹣1 C．2﹣1 D．2﹣212．（5分）已知椭圆的焦点为F1、F2，在长轴A1A2上任取一点M，过M作垂直于A1A2的直线交椭圆于P，则使得的M点的概率为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分）13．（5分）已知双曲线y2﹣4x2=16上一点m到一个焦点的距离等于2，则点m 到另一个焦点距离为．14．（5分）某路公交车站早上在6：30，7：00，7：30准点发车，小明同学在6：50至7：30之间到达该车站乘车，且到达该站的时刻是随机的，则他等车时间不超过8分钟的概率是．15．（5分）满足条件AB=2，AC=2BC的三角形ABC的面积最大值是．16．（5分）设椭圆C的两个焦点是F1、F2，过F1的直线与椭圆C交于P、Q，若|PF2|=|F1F2|，且5|PF1|=6|F1Q|，则椭圆的离心率为．三、解答题（共70分，10+12+12+12+12+12）17．（10分）已知命题p：t2﹣t﹣6≤0，命题q：∃x∈R，．（Ⅰ）写出命题q的否定￢q；（Ⅱ）若￢p∧q为真命题，求实数t的取值范围．18．（12分）华山中学从高二年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的政治成绩（均为整数）分成六段：[40，[50，60），[60，70），…[90，100]后得到如下频率分布直方图．50）（1）根据频率分布直方图，估计我校高二年级学生期中考试政治成绩的中位数（精确到0.1）、众数、平均数；（2）用分层抽样的方法抽取一个容量为20的样本，求各分数段抽取的人数．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=，a=2．（Ⅰ）若b=2，求sinB的值；（Ⅱ）若b+c=6，求△ABC的面积．20．（12分）已知平面上动点M到直线y=﹣2的距离比它到点F（0，1）的距离多1．（Ⅰ）求动点M的轨迹方程；（Ⅱ）设动点M形成的曲线为E，过点P（0，﹣1）的直线l交曲线E于A，B 两点，若直线OA和直线OB的斜率之和为2（其中O为坐标原点），求直线l的方程．21．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且{a n}的首项与公差相同，且S 4=20（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式以及前n项和S n的表达式；（Ⅱ）若b n=a1n+，求数列{b n}的前n项和T n．22．（12分）已知椭圆E：=1与y轴的正半轴相交于点M，且椭圆E上相异两点A、B满足直线MA，MB的斜率之积为．（Ⅰ）证明直线AB恒过定点，并求定点的坐标；（Ⅱ）求△ABM的面积的最大值．2017-2018学年新疆兵团农二师华山中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（单选题每题5分）1．（5分）抛物线x=﹣2y2的准线方程是（）A．B．C．D．【解答】解：∵抛物线x=﹣2y2的标准方程为y2=﹣x故2p=﹣即p=则抛物线x=﹣2y2的准线方程是故选：D．2．（5分）设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由2x2+x﹣1＞0，可知x＜﹣1或x＞；所以当“x＞”⇒“2x2+x﹣1＞0”；但是“2x2+x﹣1＞0”推不出“x＞”．所以“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的充分而不必要条件．故选：A．3．（5分）已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=20y的焦点重合，且其渐近线方程为3x±4y=0，则该双曲线的标准方程为（）A．=1 B．=1 C．D．=1【解答】解：∵抛物线x2=20y中，2p=20，=5，∴抛物线的焦点为F（0，5），设双曲线的方程为﹣=1，∵双曲线的一个焦点为F（0，5），且渐近线的方程为3x±4y=0即y=x，∴，解得a=3，b=4（舍负），可得该双曲线的标准方程为：=1．．故选：B．4．（5分）若框图所给的程序运行结果为S=20，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）A．k＞8？B．k≤8？C．k＜8？D．k=9？【解答】解：由题意可知输出结果为S=20，第1次循环，S=11，K=9，第2次循环，S=20，K=8，此时S满足输出结果，退出循环，所以判断框中的条件为k＞8．故选：A．5．（5分）将参加数学竞赛决赛的500名同学编号为：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽的号码为003，这500名学生分别在三个考点考试，从001到200在第一考点，从201到355在第二考点，从356到500在第三考点，则第二考点被抽中的人数为（）A．14 B．15 C．16 D．17【解答】解：系统抽样的分段间隔为=10，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔10个号抽到一个人，则被抽中的人数构成以3为首项，10为公差的等差数列，故可分别求出在001到200中有20人，在201至355号中共有16人．故选：C．6．（5分）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件A={两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为2}，则P（A）=（）A．B．C．D．【解答】解：抛掷一枚质地均匀的骰子两次，基本事件总数n=6×6=36，记事件A={两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为2}，由事件A包含的基本事件有：（2，4），（4，2），（4，6），（6，4），共4个，∴P（A）=．故选：A．7．（5分）将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为（）A． B．C．36 D．【解答】解：∵由题意知去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的数据是87，90，90，91，91，94，90+x．∴这组数据的平均数是=91，∴x=4．∴这这组数据的方差是（16+1+1+0+0+9+9）=．故选：B．8．（5分）已知动点P（x，y）满足5=|3x+4y﹣1|，则点P的轨迹是（）A．直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆【解答】解：动点P（x，y）满足5=|3x+4y﹣1|，可得：=，表示动点P（x，y）到（1，2）与到直线3x+4y﹣1=0距离相等，又（1，2）不在直线3x+4y﹣1=0上，则点P的轨迹是以（1，2）为焦点以直线3x+4y﹣1=0为准线的抛物线．故选：B．9．（5分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），A是双曲线的左顶点，点P（﹣，y p）在双曲线的一条渐近线上，M为线段F1P的中点，且F1P⊥AM，则该双曲线C的渐近线为（）A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±x【解答】解：双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左顶点A（﹣a，0），F1（﹣c，0），M为线段F1P的中点，且F1P⊥AM，可得|AP|=|AF1|，OP为渐近线方程：y=﹣x，P（﹣，y p）即为P（﹣，），即有=c﹣a，即有a2（c﹣a）2+a2b2=c2（c﹣a）2，（c2﹣a2）（c﹣a）2=a2b2，可得c﹣a=a，即c=2a，b==a，即有双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±x．故选：A．10．（5分）已知x，y取值如表：从散点图可知：y与x线性相关，且=0.95x+a，则当x=10时，y的预测值为（）A．10.8 B．10.95 C．11.15 D．11.3【解答】解：由题意，=×（0+1+4+5+6+8）=4，=×（1.3+1.8+5.6+6.1+7.4+9.3）=5.25；∵y与x线性相关，且=0.95x+a，∴5.25=0.95×4+a，解得a=1.45；从而当x=10时，有=0.95×10+1.45=10.95．故选：B．11．（5分）抛物线y2=2px（p＞0）焦点为F，点N在x轴上且在点F右侧，线段FN的垂直平分线l与抛物线在第一象限的交点为M，直线MN的倾斜角为135°，O为坐标原点，则直线OM的斜率为（）A．3﹣4 B．﹣1 C．2﹣1 D．2﹣2【解答】解：如图，由题意可知，∠MFN=45°，则MF所在直线的斜率为1，则FM：y=x﹣，联立，得4x2﹣12px+p2=0，解得，，则=．故选：D．12．（5分）已知椭圆的焦点为F1、F2，在长轴A1A2上任取一点M，过M作垂直于A1A2的直线交椭圆于P，则使得的M点的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵|A1A2|=2a=4，，设P（x0，y0），∴当∠F1PF2=90°时，，解得，把代入椭圆得．由，得∠F1PF2≥90°．∴结合题设条件可知使得的M点的概率=．故选：C．二、填空题（每题5分）13．（5分）已知双曲线y2﹣4x2=16上一点m到一个焦点的距离等于2，则点m 到另一个焦点距离为10．【解答】解：根据题意，设点m到另一个焦点距离为t，双曲线y2﹣4x2=16的标准方程为﹣=1，双曲线的焦点在y轴上，且a=4，则点m到双曲线的两个焦点距离差的绝对值为2a=8，则有|t﹣2|=8，解可得t=10或﹣6（舍），则点m到另一个焦点距离为10；故答案为：1014．（5分）某路公交车站早上在6：30，7：00，7：30准点发车，小明同学在6：50至7：30之间到达该车站乘车，且到达该站的时刻是随机的，则他等车时间不超过8分钟的概率是．【解答】解：小明在6：50至7：30之间到达发车站乘坐班车，总时长为40分钟，设小明到达时间为y，当y在6：52至7：00，或7：22至7：30时，小明等车时间不超过8分钟的时长为16分钟，由几何概型的公式计算所求的概率为：P==．故答案为：．15．（5分）满足条件AB=2，AC=2BC的三角形ABC的面积最大值是．【解答】解：设BC=x，则AC=2x，由余弦定理可得cosB==．由于三角形ABC的面积为•2•x•sinB=x===．再由三角形任意两边之和大于第三边可得，解得＜x＜2，故＜x2＜4．再利用二次函数的性质可得，当x2=时，函数﹣9x4+40x2+16取得最大值为，故的最大值为，故答案为．16．（5分）设椭圆C的两个焦点是F1、F2，过F1的直线与椭圆C交于P、Q，若|PF2|=|F1F2|，且5|PF1|=6|F1Q|，则椭圆的离心率为．【解答】解：设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0），由5|PF1|=6|F1Q|，设|PF1|=6k，|F1Q|=5k，|PF2|=|F1F2|=2c，过F2做F2D⊥PQ，则丨PD丨=丨DF1丨=3k，由椭圆的定义可得：|PF1|+|PF2|=2a，|QF1|+|QF2|=2a，∴2c+6k=2a，即a﹣c=3k，①，|QF2|=2c﹣5k，由|PF2|2﹣|PD|2=|QF2|2﹣|QD|2，即（2c）2﹣（3k）2=（2c﹣5k）2﹣（8k）2，整理得：6c﹣4a=15k，②解得：a=k，c=k，则e==，故答案为：．三、解答题（共70分，10+12+12+12+12+12）17．（10分）已知命题p：t2﹣t﹣6≤0，命题q：∃x∈R，．（Ⅰ）写出命题q的否定￢q；（Ⅱ）若￢p∧q为真命题，求实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）命题q的否定￢q为：…（4分）（Ⅱ）若p为真命题，则﹣2≤t≤3故￢p为真命题时，得t＜﹣2或t＞3…（7分）若q为真命题时，即成立，∴，即t2﹣3t﹣4≥0，解得：t≥4或t≤﹣1…（9分）∵¬p∧q为真命题，∴命题¬p和q都是真命题…（10分）∴，解得：t＜﹣2或t≥4…（12分）18．（12分）华山中学从高二年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的政治成绩（均为整数）分成六段：[40，[50，60），[60，70），…[90，100]后得到如下频率分布直方图．50）（1）根据频率分布直方图，估计我校高二年级学生期中考试政治成绩的中位数（精确到0.1）、众数、平均数；（2）用分层抽样的方法抽取一个容量为20的样本，求各分数段抽取的人数．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：（0.010+0.015+0.015+a+0.025+0.005）×10=1，解得a=0.03，（1分）设中位数为x，则根据直方图可知x∈[70，80），∴0.01×10+0.015×10+0.015×10+0.03×10（x﹣70）=0.5，解得x≈70.3，即中位数为70.3，（3分）由图可知众数为75，（4分）平均数为40×0.1+55×0.15+60×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71．（6分）（2）各分数段抽取比例为，各分数段人数分别为6，9，9，18，15，3，∴各分数段抽取人数依次为2人；3人；3人；6人；5人；1人．（12分）19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=，a=2．（Ⅰ）若b=2，求sinB的值；（Ⅱ）若b+c=6，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵A=，a=2，b=2，∴由正弦定理，可得sinB===．（Ⅱ）∵A=，a=2，b+c=6，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：28=b2+c2+bc=（b+c）2﹣bc=36﹣bc，∴解得：bc=8，∴S=bcsinA==2．△ABC20．（12分）已知平面上动点M到直线y=﹣2的距离比它到点F（0，1）的距离多1．（Ⅰ）求动点M的轨迹方程；（Ⅱ）设动点M形成的曲线为E，过点P（0，﹣1）的直线l交曲线E于A，B 两点，若直线OA和直线OB的斜率之和为2（其中O为坐标原点），求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）由动点M到直线y=﹣2的距离比它到点F（0，1）的距离多1，可得动点到点F的距离与它到直线y=﹣1的距离相等，由抛物线的定义可知动点的轨迹是以F为焦点，以y=﹣1为准线的抛物线所以方程为x2=4y．…（4分）（Ⅱ）显然，直线l垂直于x轴不合题意，故可设所求的直线方程为y=kx﹣1，代入抛物线方程化简，得：x2﹣4kx+4=0，…（6分）其中△=4k2+8＞0，x1+x2=﹣4k，x1x2=4…（8分）设点A（x1，y1），B（x2，y2），则有=2，①因为y1=kx1﹣1，y2=kx2﹣1，代入①，整理可得k=2，…（11分）所以直线l的方程为y=2x﹣1．…（12分）21．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且{a n}的首项与公差相同，且S4=20（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式以及前n项和S n的表达式；（Ⅱ）若b n=a1n+，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）依题意得，解得a1=d=2，∴a n=2+2（n﹣1）=2n，S n=n（2+2n）=n2+n；（Ⅱ）依题意得b n=a1n+=2n+=2n+﹣，∴前n项和T n=（2+4+…+2n）+（1﹣+﹣+…+﹣）=+1﹣=2n+1﹣．22．（12分）已知椭圆E：=1与y轴的正半轴相交于点M，且椭圆E上相异两点A、B满足直线MA，MB的斜率之积为．（Ⅰ）证明直线AB恒过定点，并求定点的坐标；（Ⅱ）求△ABM的面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由M（0，），设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知，x1≠0，x2≠0．若直线AB的斜率不存在，则直线AB的方程为x=x1，故y1=﹣y2，因此，k MA•k MB=×=﹣=，与已知不符，因此直线AB的斜率存在．设直线AB：y=kx+m，则，整理得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，则x1+x2=﹣，x1•x2=，又k AM=，k MB=，由k AM•k BM=，整理得4（kx1+m﹣）（kx2+m﹣）=x1x2，即（4k2﹣1）x1x2+4k （m﹣）（x1+x2）+4（m﹣）2=0，∴4（m2﹣3）（4k2﹣1）+4k（m﹣）（﹣8km）+4（m﹣）2•（3+4k2）=0，化简得m2﹣3+6=0，故m=或m=2．结合x1x2≠0知m=2，即直线AB恒过定点N（0，2）．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得由△＞0且m=2，得k＜﹣或k＞，又S △ABM =|S △ANM ﹣S △BNM |=|MN |•|x 2﹣x 1|==×==≤=，当且仅当4k 2﹣9=12，即k=±时，△ABM 的面积最大，最大值为，△ABM 的面积的最大值．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321DA1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DFE-a1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°E-aa B E挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa+b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．E2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求△AMN的周长．ND CABM3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．ABFEDCF。
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新疆兵团农二师华山中学2017-2018学年高二上学期期末数学试卷（文科）一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）设集合M={1，2}，N={a2}，则“a=1”是“N⊆M”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件2．（5分）某校参加舞蹈社团的学生中，2014-2015学年高一年级有40名，2014-2015学年高二年级有30名，现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在2014-2015学年高一年级的学生中抽取了8名，则在2014-2015学年高二年级的学生中应抽取的人数为（）A．12 B．10 C．8D．63．（5分）下列有关的叙述错误的是（）A．对于p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p为：∀x∈R，x2+x+1≥0B．若p∧q为假，则p，q均为假C．“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”D．x2﹣5x+6=0是x=2的必要不充分条件4．（5分）双曲线x2﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（）A．B．C．1D．5．（5分）若函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）C．（﹣3，6）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）6．（5分）抛物线y2=ax的准线方程是x=﹣2，则a的值是（）A．B．﹣C．8D．﹣87．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=2x5﹣3x4+7x3﹣9x2+4x﹣10在x=2时的值时，V3的值为（）A．34 B．22 C．9D．18．（5分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程零件数x个10 20 30 40 50加工时间y（min）62 75 81 89表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（）A．68 B．68.2 C．69 D．759．（5分）若程序框图输出的S是62，则条件①可为（）A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤810．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为AB、BC中点，则异面直线EF与AB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a﹣b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A．B．C．D．12．（5分）f（x）是定义在非零实数集上的函数，f′（x）为其导函数，且x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，记a=，b=，c=，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若曲线y=ax2﹣2lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a=．14．（5分）从等腰直角△ABC的底边BC上任取一点D，则△ABD为锐角三角形的概率为．15．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为﹣1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为﹣2，则该抛物线的准线方程为．16．（5分）方程+=1表示曲线C，给出以下：①曲线C不可能为圆；②若曲线C为双曲线，则t＜1或t＞4；③若1＜t＜4，则曲线C为椭圆；④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜．其中真的序号是（写出所有正确的序号）．三．解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（其中a＞0），q：实数x满足（x﹣3）（x﹣2）＜0（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18．（12分）2014-2015学年高二某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩大于等于14秒且小于16秒规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数．（2）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数和中位数（精确到0.01）．（3）设m，n表示该班两个学生的百米测试成绩，已知m，n∈，求事件“|m﹣n|＞2”的概率．19．（12分）在平面直角坐标系中，已知一个双曲线的中心在原点，左焦点为F（﹣2，0），且过点．（1）求该双曲线的标准方程；（2）若P是双曲线上的动点，点A（1，0），求线段PA中点M的轨迹方程．20．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA⊥底面ABC，且侧棱和底面边长均为2，D是BC的中点（1）求证：AD⊥平面BB1CC1；（2）求证：A1B∥平面ADC1；（3）求三棱锥C1﹣ADB1的体积．21．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（3，0），离心率为e．（Ⅰ）若e=，求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y=kx（k＞0）与椭圆相交于A，B两点，若•=0，求k2+的值．22．（12分）已知函数f（x）=mx﹣lnx，（m＞0）．（1）若m=1，求函数f（x）的极值；（2）求函数f（x）在区间上的最小值；（3）若f（x）≤0恒成立，求m的取值范围．新疆兵团农二师华山中学2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）设集合M={1，2}，N={a2}，则“a=1”是“N⊆M”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件考点：集合关系中的参数取值问题．专题：集合．分析：先由a=1判断是否能推出“N⊆M”；再由“N⊆M”判断是否能推出“a=1”，利用充要条件的定义得到结论．解答：解：当a=1时，M={1，2}，N={1}有N⊆M当N⊆M时，a2=1或a2=2有所以“a=1”是“N⊆M”的充分不必要条件．故选A．点评：本题考查利用充要条件的定义判断一个是另一个的条件问题．2．（5分）某校参加舞蹈社团的学生中，2014-2015学年高一年级有40名，2014-2015学年高二年级有30名，现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在2014-2015学年高一年级的学生中抽取了8名，则在2014-2015学年高二年级的学生中应抽取的人数为（）A．12 B．10 C．8D．6考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据分层抽样的定义进行求解即可．解答：解：根据分层抽样的定义可得在2014-2015学年高一年级的学生中抽取了8名，则在2014-2015学年高二年级的学生中应抽取的人数为，故选：D．点评：本题主要考查分层抽样的应用，比较基础．3．（5分）下列有关的叙述错误的是（）A．对于p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p为：∀x∈R，x2+x+1≥0B．若p∧q为假，则p，q均为假C．“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”D．x2﹣5x+6=0是x=2的必要不充分条件考点：的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：A．利用“非”的否定即可得出；B．利用复合的真假判定即可得出；C．利用逆否的定义即可得出；D．x2﹣5x+6=0，解得x=2，3，即可判断出；解答：解：对于A．p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p为：∀x∈R，x2+x+1≥0，正确；对于B．p∧q为假，则p，q至少有一个为假，因此不正确；对于C．“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；正确，对于D．由于x2﹣5x+6=0，解得x=2，3，因此x2﹣5x+6=0是x=2的必要不充分条件，正确．综上可得：只有B不正确．故选：B．点评：本题考查了简易逻辑的判定，考查了推理能力，属于基础题．4．（5分）双曲线x2﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（）A．B．C．1D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：求出双曲线的渐近线方程，顶点坐标，利用点到直线的距离求解即可．解答：解：双曲线x2﹣y2=1的顶点坐标（1，0），其渐近线方程为y=±x，所以所求的距离为=．故选B．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．5．（5分）若函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）C．（﹣3，6）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题；导数的综合应用．分析：由题意求导f′（x）=3x2+2ax+（a+6）；从而化函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值为△=（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0；从而求解．解答：解：∵f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，∴f′（x）=3x2+2ax+（a+6）；又∵函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，∴△=（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0；故a＞6或a＜﹣3；故选B．点评：本题考查了导数的综合应用，属于中档题．6．（5分）抛物线y2=ax的准线方程是x=﹣2，则a的值是（）A．B．﹣C．8D．﹣8考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由抛物线的y2=2px的准线方程为x=﹣，结合题意即可求得a的值．解答：解：∵y2=2px的准线方程为x=﹣，∴由y2=ax的准线方程为x=﹣2得：a=﹣4×（﹣2）=8，∴a=8．故答案为：8．点评：本题考查抛物线的简单性质，掌握y2=2px的准线方程为x=﹣是解决问题的关键，属于基础题．7．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=2x5﹣3x4+7x3﹣9x2+4x﹣10在x=2时的值时，V3的值为（）A．34 B．22 C．9D．1考点：秦九韶算法．专题：计算题；算法和程序框图．分析：所给的多项式写成关于x的一次函数的形式，依次写出，得到最后结果，从里到外进行运算，得到要求的值．解答：解：f（x）=2x5﹣3x4+7x3﹣9x2+4x﹣10=（2x4﹣3x3+7x2﹣9x+4）x﹣10=x+4）x﹣10={x+4}x﹣10={{x+7}x﹣9}x+4}x﹣10∴在x=2时的值时，V3的值为=x+7=9故选：C．点评：本题考查秦九韶算法，本题解题的关键是对多项式进行整理，得到符合条件的形式，不管是求计算结果还是求加法和减法的次数都可以．8．（5分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程零件数x个10 20 30 40 50加工时间y（min）62 75 81 89表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（）A．68 B．68.2 C．69 D．75考点：线性回归方程．专题：应用题．分析：根据表中所给的数据，做出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，根据由最小二乘法求得回归方程，代入样本中心点求出该数据的值，解答：解：设表中有一个模糊看不清数据为m．由表中数据得：=30，=，由于由最小二乘法求得回归方程．将x=30，y=代入回归直线方程，得m=68．故选A．点评：本题考查线性回归方程的应用，解题的关键是正确应用线性回归方程进行预测．9．（5分）若程序框图输出的S是62，则条件①可为（）A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤8考点：程序框图．专题：计算题．分析：由S1=0，（n≥2），可得S n=2n﹣2．令2n﹣2=62，则n=6．进而可推断①的限制条件．解答：解：由S1=0，（n≥2），可得=2n﹣2．令2n﹣2=62，则n=6．故①中可为n≤5．故选A．点评：弄清循环结构的功能及得出S与n的关系式，是解决问题的关键．10．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为AB、BC中点，则异面直线EF与AB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点A，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．解答：解：如图，将EF平移到AC，连结B1C，则∠B1AC为异面直线AB1与EF所成的角，∵三角形B1AC为等边三角形，∴故异面直线AB1与EF所成的角60°，∴cos∠B1AC=．故选A．点评：本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．11．（5分）甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a﹣b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：新定义．分析：本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，其中满足条件的满足|a﹣b|≤1的情形包括6种，列举出所有结果，根据计数原理得到共有的事件数，根据古典概型概率公式得到结果．解答：解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，共有6×6=36种猜字结果，其中满足|a﹣b|≤1的有如下情形：①若a=1，则b=1，2；②若a=2，则b=1，2，3；③若a=3，则b=2，3，4；④若a=4，则b=3，4，5；⑤若a=5，则b=4，5，6；⑥若a=6，则b=5，6，总共16种，∴他们“心有灵犀”的概率为．故选D．点评：本题是古典概型问题，属于2015届高考新增内容，解本题的关键是准确的分类，得到他们“心有灵犀”的各种情形．12．（5分）f（x）是定义在非零实数集上的函数，f′（x）为其导函数，且x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，记a=，b=，c=，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：令g（x）=，得到g（x）在（0，+∞）递减，通过＞20.2＞0.22，从而得出答案．解答：解：令g（x）=，则g′（x）=，∵x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）递减，又＞=2，1＜20.2＜2，0.22=0.04，∴＞20.2＞0.22，∴g（）＜g＜g（0.22），∴c＜a＜b，故选：C．点评：本题考查了函数的单调性问题，考查了导数的应用，考查了指数，对数的性质，是一道中档题．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若曲线y=ax2﹣2lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a=1．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：求出原函数的导函数，得到函数在x=1时的导数，由导数值为0求得a的值．解答：解：由y=ax2﹣2lnx，得，则y′|x=1=2a﹣2，∵曲线y=ax2﹣2lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，∴2a﹣2=1，即a=1．故答案为：1．点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．14．（5分）从等腰直角△ABC的底边BC上任取一点D，则△ABD为锐角三角形的概率为．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据△ABD为锐角三角形，确定D的位置，然后根据几何概型的概率公式即可得到结论．解答：解：∵△ABC是等腰直角三角形，E为BC的中点，∴B=45°，当D位于E时，△ABD为直角三角形，∴当D位于线段EC上时，△ABD为锐角三角形，∴根据几何概型的概率公式可得△ABD为锐角三角形的概率为，故答案为：点评：本题主要考查几何概型的概率公式的计算，利用锐角三角形，确定D的位置是解决本题的关键．15．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为﹣1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为﹣2，则该抛物线的准线方程为x=﹣1．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题设条件知直线AB的方程为x=﹣y+，代入抛物线方程，得y2+2py﹣p2=0，由线段AB的中点的纵坐标为﹣2，推导出y1+y2=﹣2p=﹣4，由此能求出结果．解答：解：∵抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为﹣1的直线交抛物线于A、B两点，∴直线AB的方程为：y=﹣x+，∴x=﹣y+，把x=﹣y+代入抛物线方程，整理得y2+2py﹣p2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣2p，∵线段AB的中点的纵坐标为﹣2，∴y1+y2=﹣4，∴p=2，∴抛物线方程为y2=4x，∴该抛物线的准线方程为x=﹣1．故答案为：x=﹣1．点评：本题考查抛物线的准线方程的求法，是中档题，解题时要熟练掌握抛物线的简单性质．16．（5分）方程+=1表示曲线C，给出以下：①曲线C不可能为圆；②若曲线C为双曲线，则t＜1或t＞4；③若1＜t＜4，则曲线C为椭圆；④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜．其中真的序号是②④（写出所有正确的序号）．考点：圆锥曲线的共同特征．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：①当4﹣t=t﹣1＞0，即t=时，曲线C表示圆；②若曲线C为双曲线，则（4﹣t）（t﹣1）＜0，解出即可判断出；③若4﹣t＞0，t﹣1＞0且4﹣t≠t﹣1，解出即可得出曲线C为椭圆；④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则4﹣t＞t﹣1＞0．解答：解：方程+=1表示曲线C，以下：①当4﹣t=t﹣1＞0，即t=时，曲线C表示圆，因此不正确；②若曲线C为双曲线，则（4﹣t）（t﹣1）＜0，解得t＜1或t＞4，正确；③若4﹣t＞0，t﹣1＞0且4﹣t≠t﹣1，解得1＜t＜4且，则曲线C为椭圆，因此不正确；④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则4﹣t＞t﹣1＞0，解得1＜t＜，正确．综上可得真为：②④．故答案为：②④．点评：本题考查了分类讨论的思想方法，考查了椭圆双曲线圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三．解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（其中a＞0），q：实数x满足（x﹣3）（x﹣2）＜0（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合的真假．专题：简易逻辑．分析：（1）若a=1，求出p，q的等价条件，利用p∧q为真，则p，q为真，即可求实数x的取值范围；（2）求出p，q的等价条件，利用p是q的必要不充分条件，即可求实数a的取值范围．解答：解：（1）若a=1，不等式为x2﹣4x+3＜0，即1＜x＜3，即p：1＜x＜3，由（x﹣3）（x﹣2）＜0则2＜x＜3，即q：2＜x＜3，若p∧q为真，则p，q同时为真，即，解得2＜x＜3，则实数x的取值范围是2＜x＜3；（2）∵x2﹣4ax+3a2＜0，∴（x﹣a）（x﹣3a）＜0，若a＞0，则不等式的解为a＜x＜3a，若a＜0，则不等式的解为3a＜x＜a，∵q：2＜x＜3，∴若p是q的必要不充分条件，则a＞0，且，即1≤a≤2，则实数a的取值范围是．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及不等式的求解，利用不等式的解法时解决本题的关键．18．（12分）2014-2015学年高二某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩大于等于14秒且小于16秒规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数．（2）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数和中位数（精确到0.01）．（3）设m，n表示该班两个学生的百米测试成绩，已知m，n∈，求事件“|m﹣n|＞2”的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）根据频率分布直方图能求出成绩在∴中位数一定落在第三组中，假设中位数是x，则0.22+（x﹣15）×0.38=0.5，解得x=，∴中位数是15.74．（3）成绩在，∴事件“|m﹣n|＞2”的概率p==．点评：本题考查众数、中位数的求法，考查概率的计算，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用．19．（12分）在平面直角坐标系中，已知一个双曲线的中心在原点，左焦点为F（﹣2，0），且过点．（1）求该双曲线的标准方程；（2）若P是双曲线上的动点，点A（1，0），求线段PA中点M的轨迹方程．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设双曲线方程，由题意得c=2，a=，再由a，b，c的关系可得b，进而得到双曲线方程；（2）设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是（x0，y0），运用中点坐标公式和双曲线方程，即可得到轨迹方程．解答：解：（1）设双曲线的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），则由题意得c=2，a=，b==1．则双曲线的标准方程为；（2）设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是（x0，y0），由，得，因为点P在双曲线上，得∴线段PA中点M的轨迹方程是（2x﹣1）2﹣12y2=3．点评：本题考查双曲线方程和性质，考查轨迹方程的求法，考查中点坐标公式，考查运算能力，属于基础题．20．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA⊥底面ABC，且侧棱和底面边长均为2，D是BC的中点（1）求证：AD⊥平面BB1CC1；（2）求证：A1B∥平面ADC1；（3）求三棱锥C1﹣ADB1的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）利用线面垂直的判定与性质定理、等边三角形的性质即可证明；（2）连接A1C交AC1于点O，连接OD，利用三角形的中位线定理与线面平行的判定定理即可得出；（3）由于，利用三棱锥的体积计算公式即可得出．解答：（1）证明：∵CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，∴CC1⊥AD∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，∴BC⊥AD，又BC∩CC1=C，∴AD⊥平面BB1CC1；（2）证明：如图，连接A1C交AC1于点O，连接OD由题得四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点，又D为BC的中点，∴A1B∥OD∵OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1∴A1B∥平面ADC1．（3）解：∵，=，，∴．点评：本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、等边三角形的性质、三角形的中位线定理与线面平行的判定定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（3，0），离心率为e．（Ⅰ）若e=，求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y=kx（k＞0）与椭圆相交于A，B两点，若•=0，求k2+的值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由题意可得，由此可的a，再由a2=b2+c2，可求b2=3．（Ⅱ）由得（b2+a2k2）x2﹣a2b2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据•=0，得．分离得．代入不表示可求结果；解答：解析：（Ⅰ）由题意得，解得．又由a2=b2+c2，解得b2=3．∴椭圆的方程为．（Ⅱ）由得（b2+a2k2）x2﹣a2b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系可知，x1+x2=0，且．又．∴，即．整理得．∴．点评：本题考查椭圆的方程、性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查方程思想，考查学生的运算求解能力，属中档题．22．（12分）已知函数f（x）=mx﹣lnx，（m＞0）．（1）若m=1，求函数f（x）的极值；（2）求函数f（x）在区间上的最小值；（3）若f（x）≤0恒成立，求m的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（1），分别解出f′（x）=0，f′（x）＞0，f′（x）＜0，可得单调性，进而得到极值；（2），分别解出f′（x）=0，f′（x）＞0，令f′（x）＜0，可得其单调性，再对m分类讨论即可得出；（3）由f（x）≥0恒成立，又f（x）定义域为（0，+∞）可得恒成立，设，利用导数研究其单调性极值与最值，即可得出．解答：解：（1），令f′（x）=0得x=1，令f′（x）＞0得x＞1，令令f′（x）＜0得0＜x＜1，∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）的极小值为f（1）=1﹣ln1=1，f（x）无极大值．（2），令f′（x）=0得x=，令f′（x）＞0得x＞，令f′（x）＜0得0＜x＜，∴f（x）在上单调递减，在上单调递增，∵x∈，∴当时，f（x）在单调递增，f（x）的最小值为f（1）=m，当时，f（x）在减，增，f（x）的最小值为．当时，f（x）在减，f（x）的最小值为f（e）=me﹣1．（3）∵f（x）≥0恒成立，即mx﹣lnx≥0恒成立，∴mx≥lnx，又∵f（x）定义域为（0，+∞）∴恒成立，设，∵，∴当x=e时，g′（e）=0．当0＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）为单调增函数．当x＞e时，g′（x）＜0，g（x）为单调减函数，∴，∴当时，f（x）≥0恒成立．点评：本题考查了利用导数研究闭在区间上函数的单调性极值与最值、恒成立问题的等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。