习题21·2九年级数学上册沪科版
学年度第一学期沪科版九年级教学数学上册第21、22章节综合测习题有答案
2021-2021 学年度第一学期沪科版九年级数学上册 _第21、22章_综合测试题【有答案】2021-2021学年度第一学期沪科版九年级数学上册第21、22章综合测试题考试总分：120分考试时间：120分钟学校：班级：姓名：考号：__________一、选择题〔共10小题，每题3分，共30分〕1.函数的图象经过点，那么的值为〔〕A. B. C. D.2.在一块底边长为，高为的锐角三角形铁板上，截出一块矩形铁板，使它的一边在底边上，另外两个顶点分别在三角形的另外两边上．假设矩形垂直于三角形底边的那条边长为，矩形的面积为，那么与之间的函数关系式为〔〕A. B.C. D.3.如图，直线与双曲线交于点，将直线向右平移个单位后，与双曲线交于点，与轴交于点，假设点到轴的距离是点到轴的距离的倍，那么的值为〔〕A. B. C. D.假设是二次函数，且开口向下，那么的值为〔〕4.A. B. C. D.正方形的面积与其边长的函数关系用图象表示大致是〔〕5.A. B.C. D.6.如图，中，，，，，那么等于〔〕A. B. C. D.7.二次函数，，为常数，的图象经过点，．以下结论：①；②当时，的值随值的增大而减小；③是方程的一个根；④当时，．其中正确的选项是〔〕A①③B①②④C①③④D②③④8.为了预防“流感〞，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧完后，与成反比例〔如下图〕．现测得药物燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为．研究说明，当空气中每立方米的含药量不低于才有效，那么此次消毒的有效时间是〔〕A. 分钟B.分钟C.分钟D.分钟9.如图，二次函数的图象经过原点，顶点的纵坐标为，假设一元二次方程有实数根，那么的取值范围是〔〕1/6某物体从上午时至下午时的温度是时间〔小时〕的函数：15.〔其中表示中午时，表示下午时〕，那么上午时此物体的温度为________．A. B. C. D.16.如图在抛物线与轴所围图形的内接矩形〔边在轴上〕中，当矩形周长最大时，它的两边长，．如图，点在双曲线上，且，过作轴，垂足为，的垂直平10.分线交于，那么的周长为〔〕17.假设点是线段的黄金分割点，那么．A. B. C. D.18.函数，当时，的值是．二、填空题〔共10小题，每题3分，共30分〕11.如图，二次函数的局部图象，由图象可知关于的一元二次方，假设，，那么．程的两个根分别是．19.如图，20.经市场调查，某种商品的进价为每件元，专卖商店的每日固定本钱为元．当销售价为每件元时，日均销售量为件，单价每降低元，日均销售量增加个．设单价为元时的日均毛利润为元，那么关于的函数解析式为．三、解答题〔共6小题，每题10分，共60分〕假设是二次函数，那么．21.反比例函数的图象经过点．12.二次函数的图象如下图，那么一元二次不等式13.的解是．14.，那么．2021-2021学年度第一学期沪科版九年级数学上册_第21、22章_综合测试题【有答案】求的；画出函数的象；根据象，当，求的取范．如，点是的垂心〔垂心即三角形三条高所在直的交点〕，接交24.有一个：探究函数的象与性：22.的延于点，接交的延于点，接．求：．小宏根据学函数的，函数的象与性行了探究．下面是小宏的探究程，充完整：函数的自量的取范是；下表是与的几⋯⋯23.如，反比例函数的象上有一点■，它的坐被墨水染了，⋯⋯根据意，解答以下．求，的；如，在平面直角坐系中，描出了以上表中各坐的点，根据描出的点，画出函数的象；合函数的象，写出函数的性〔两条即可〕：①________②．求出点的坐；作垂直于，垂足，求的面．3/625.如图，在中，，，动点向点运动，动点从点出发，以∕秒的速度向点存在某一时刻，使得以点、、为顶点的三角形与从点出发，以∕秒的速度运动，假设两点同时运动，是否相似，假设存在，求出的26.如图，二次函数数的图象与抛物线交于，两点．的图象与两坐标轴分别交于，，三点，一次函值；假设不存在，请说明理由．求点，，的坐标；当两函数的函数值都随着的增大而增大，求的取值范围；当自变量满足什么范围时，一次函数值大于二次函数值．2021-2021学年度第一学期沪科版九年级数学上册_第21、22章_综合测试题【有答案】答案由图象可知，当时，那么．22.证明：∵是垂心，∴，∴，同理，∴，11.，在和中12.，13.14.∴，15.∴，16.∴，17.在和中，18.19.∴．20.23.解：∵当时，，21.解：把点代入，得∴；∵，，∴．解得．由知，该反比例函数为，即该反比例函数图象上点的横、24.当时，，纵坐标的乘积为，其图象如下图：当时，．函数图象如下图，5/6时，函数随的增大而增大．时，函数随的增大而增大．解：存在秒或秒，使以点、、为顶点的三角形与相似〔无此过25.程不扣分〕设经过秒时，与相似，此时，，，，当时，，那么，即，解得；当时，，那么，即，解得；故所求的值为秒或秒．26.解：∵令，那么，∴．∵令，那么，解得或，∴，．∵由知，，，∴抛物线的对称轴为直线，∴当∴当时，两函数的函数值都随着的增大而增大；时，一次函数的图象在二次函数的上方，时，一次函数值大于二次函数值．∵由函数图象可知，当。
沪科版九年级数学上册21.2二次函数y=ax2的图象与性质说课稿
本节课的教学内容为沪科版九年级数学上册21.2二次函数y=ax^2的图象与性质。该章节位于初中数学课程中函数学习的重要部分，是在学习了二次函数的概念及其表达式的基础上，进一步研究二次函数的图象与性质。主要知识点包括：
（3）了解二次函数y=ax^2的图象与系数a的关系，能够根据系数a判断图象的开口方向、对称轴等。
2.过程与方法：
（1）通过观察和分析二次函数y=ax^2的图象，培养学生观察、归纳、总结的能力。
（2）运用数学方法，如数形结合、函数变换等，引导学生探究二次函数的性质。
（3）通过实例分析，使学生能够灵活运用二次函数的图象与性质解决实际问题。
1.数形结合法：通过将二次函数的代数表达式与图象相结合，帮助学生直观地理解函数的性质和变化规律。这种方法符合学生的认知特点，有助于抽象概念的形象化，提高学习效果。
2.探究式教学法：引导学生通过观察、猜想、验证、总结的过程来发现二次函数的性质。这种教学方法能够激发学生的好奇心和探究欲，培养他们的创新精神和实践能力。
（2）二次函数y=ax^2的性质，如单调性、最值等。
（3）二次函数y=ax^2的图象与系数a的关系。
2.教学难点：
（1）如何引导学生理解二次函数y=ax^2的图象特征与系数a的关系。
（2）如何让学生掌握二次函数y=ax^2的性质，并能运用这些性质解决实际问题。
（3）如何培养学生运用数形结合、函数变换等数学方法探究二次函数的性质。
3.展示一个有趣的数学问题，如“如何确定一个抛物线拱门的最高点？”通过问题引导学生思考，自然过渡到二次函数的性质。
（二）新知讲授
在新知讲授阶段，我将采取以下步骤引导学生深入理解二次函数的图象与性质：
九年级数学上册 21.1-21.2同步练习 (新版)沪科版
21.1～21.2一、选择题(每小题4分，共40分)1．下列函数是二次函数的是( )A ．y ＝2x 2－3B ．y ＝ax 2C ．y ＝2(x ＋3)2－2x 2D ．y ＝3x2＋22．抛物线y ＝x 2－3x ＋2与y 轴的交点坐标是( ) A ．(0，2) B ．(1，0) C ．(0，－3) D ．(0，0)3．抛物线y ＝x 2＋2x －3的开口方向、顶点坐标分别是( ) A ．开口向上，顶点坐标为(－1，－4) B ．开口向下，顶点坐标为(1，4) C ．开口向上，顶点坐标为(1，4) D ．开口向下，顶点坐标为(－1，－4) 4．抛物线y ＝5x 2，y ＝－5x 2，y ＝15x 2＋1的共有性质是( )A ．开口向上B ．对称轴是y 轴C ．顶点坐标是(0，0)D ．在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大5．二次函数y ＝13(x －4)2＋2的图象可由y ＝13x 2的图象( )A ．向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到B ．向左平移4个单位，再向上平移2个单位得到C ．向右平移4个单位，再向下平移2个单位得到D ．向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到6．现有一根长为50 cm 的铁丝，把它弯成一个矩形，设矩形的面积为y cm 2，一边长为x cm ，则y 与x 之间的函数表达式为( )A ．y ＝x (50－x )B ．y ＝x (50－2x )C ．y ＝x (25－2x )D ．y ＝x (25－x )7．如果抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A (0，－2)，B (－1，1)两点，那么b ，c 的值为( ) A ．b ＝－4，c ＝2 B ．b ＝－4，c ＝－2 C ．b ＝－2，c ＝4 D ．b ＝－2，c ＝－48．二次函数y ＝(x －k )2与一次函数y ＝kx 在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )图1－G －19．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)与x 轴分别交于(－1，0)，(5，0)两点，当x ＝1时，函数值为y1；当x＝3时，函数值为y2.则下列结论正确的是( )A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定10．已知二次函数y＝x2＋(m－1)x＋1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是( )A．m＝－1 B．m＝3 C．m≤－1 D．m≥－1二、填空题(每小题5分，共20分)11．函数y＝(x－1)2＋3的最小值为________．12．若抛物线y＝－3(x＋k)2－k的顶点在直线y＝3x－4上，则k的值为________．13．某厂加工一种产品，现在的年产量是40万件，计划今后两年增加产量．如果每年的增长率都为x，那么两年后这种产品的年产量y(万件)与x之间的函数表达式为__________________(要求化成一般式)．14．［xx·鄂州］已知正方形ABCD中A(1，1)，B(1，2)，C(2，2)，D(2，1)，有一抛物线y＝(x＋1)2向下平移m个单位(m＞0)与正方形ABCD的边(包括四个顶点)有交点，则m的取值范围是________．三、解答题(共40分)15．(8分)已知抛物线y＝a(x－3)2＋2经过点(1，－2)．(1)求a的值；(2)若点A(m，y1)，B(n，y2)(m<n<3)都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．16．(8分)已知抛物线经过点A(2，－2)与点B(－1，－8)，在下列两种情况下，分别求抛物线的函数表达式．(1)当抛物线的顶点在y轴上时；(2)当抛物线的顶点在x轴上时．17．(12分)如图1－G －2，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴相交于两点A (1，0)，B (3，0)，与y 轴相交于点C (0，3)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点D (72，m )是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上的一点，请求出m 的值，并求出此时△ABD的面积．图1－G －218．(12分)如图1－G －3，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，菱形OABC 的顶点A 的坐标为(3，4)，点C 在x 轴的负半轴上，抛物线y ＝－43(x －2)2＋k 过点A .(1)求k 的值；(2)若把抛物线y ＝－43(x －2)2＋k 沿x 轴向左平移m 个单位，使得平移后的抛物线经过菱形OABC 的顶点C .试判断点B 是否落在平移后的抛物线上，并说明理由．图1－G－3教师详答1．A 2. A3．A [解析] ∵二次函数y ＝x 2＋2x －3的二次项系数1＞0， ∴函数图象开口向上．∵y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4，∴抛物线的顶点坐标为(－1，－4)． 故选A . 4．B 5．D 6．D7．B [解析] ∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A(0，－2)，B(－1，1)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－2，－1－b ＋c ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝－2.8．B9．B [解析] 由抛物线与x 轴的交点坐标可知，图象的对称轴是直线x ＝－1＋52＝2，而(1，y 1)，(3，y 2)两点关于直线x ＝2对称，所以y 1＝y 2.故选B .10．D [解析] 抛物线的对称轴为直线x ＝－m －12，∵当x>1时，y 随x 的增大而增大，∴－m －12≤1，解得m≥－1.故选D .11．3 [解析] 根据二次函数的表达式确定其顶点坐标为(1，3)，即当x ＝1时，y 有最小值3，故二次函数的最小值为3.12．－2 [解析] 抛物线y ＝－3(x ＋k)2－k 的顶点坐标是(－k ，－k)． 又∵点(－k ，－k)在直线y ＝3x －4上， ∴－k ＝－3k －4，解得k ＝－2.13．y ＝40x 2＋80x ＋4014．2≤m ≤8 [解析] 设平移后的抛物线的表达式为y ＝(x ＋1)2－m ，由于抛物线的开口向上，对称轴是直线x ＝－1，将B 点的坐标代入，得4－m ＝2，解得m ＝2；将D 点的坐标代入，得9－m ＝1，解得m ＝8.∴2≤m≤8.15．解：(1)∵抛物线y ＝a(x －3)2＋2经过点(1，－2)，∴a ×(1－3)2＋2＝－2，∴a ＝－1.(2)方法一：由(1)知a ＝－1<0，∴抛物线的开口向下，∴在抛物线的对称轴，即直线x ＝3的左侧，y 随x 的增大而增大．∵m<n<3， ∴y 1<y 2.方法二：由(1)得y ＝－(x －3)2＋2，∴当x ＝m 时，y 1＝－(m －3)2＋2，当x ＝n 时，y 2＝－(n －3)2＋2，∴y1－y2＝(n－3)2－(m－3)2＝(n－m)(m＋n－6)．∵m<n<3，∴n －m>0，m ＋n<6， 即m ＋n －6<0，∴(n －m)(m ＋n －6)<0， ∴y 1<y 2. 16．[解析] (1)当抛物线的顶点在y 轴上时，顶点的横坐标为0；(2)当抛物线的顶点在x 轴上时，顶点的纵坐标为0.解：(1)设抛物线的函数表达式为y ＝ax 2＋k ，则⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋k ＝－2，a ＋k ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，k ＝－10，所以函数的表达式为y ＝2x 2－10.(2)设抛物线的函数表达式为y ＝a(x ＋h)2，则⎩⎪⎨⎪⎧a （2＋h ）2＝－2，①a （－1＋h ）2＝－8，② ②÷①，得(h －1)2＝4(h ＋2)2，即h －1＝±2(h ＋2)，解得h 1＝－5，h 2＝－1. 当h ＝－5时，由a×(2－5)2＝－2，解得a ＝－29；当h ＝－1时，由a×(2－1)2＝－2，解得a ＝－2. 所以函数的表达式为y ＝－29(x －5)2或y ＝－2(x －1)2.17．解：(1)抛物线的函数表达式为y ＝x 2－4x ＋3.(2)把D(72，m)代入函数表达式y ＝x 2－4x ＋3，得m ＝(72)2－4×72＋3＝54，所以S △ABD ＝12×(3－1)×54＝54.18．解：(1)∵抛物线y ＝－43(x －2)2＋k 经过点A(3，4)，∴－43×(3－2)2＋k ＝4，解得k ＝163.(2)如图所示，设AB 与y 轴交于点D ，则AD⊥y 轴，AD ＝3，OD ＝4，OA ＝AD 2＋OD 2＝32＋42＝5.∵四边形OABC 是菱形，∴OA ＝AB ＝OC ＝5，BD ＝AB －AD ＝5－3＝2，∴B(－2，4)．令y ＝0，得－43(x －2)2＋163＝0，解得x 1＝0，x 2＝4，∴抛物线y ＝－43(x －2)2＋163与x 轴的交点为O(0，0)和E(4，0)，OE ＝4.4 3(x＋3)2＋163.当m＝OC＝5时，平移后的抛物线为y＝－令x ＝－2，得y ＝－43×(－2＋3)2＋163＝4，∴点B 在平移后的抛物线y ＝－43(x ＋3)2＋163上；当m ＝CE ＝9时，平移后的抛物线为y ＝－43(x ＋7)2＋163，令x ＝－2，得y ＝－43×(－2＋7)2＋163≠4，∴点B 不在平移后的抛物线y ＝－43(x ＋7)2＋163上．综上，当m ＝5时，点B 在平移后的抛物线上；当m ＝9时，点B 不在平移后的抛物线上．欢迎您的下载，资料仅供参考！。
数学沪科版九年级上册21.2 二次函数的图象和性质(3) 同步练习(解析版)
2019-2019学年数学沪科版九年级上册21.2 二次函数的图象和性质（3）同步练习一、选择题1.抛物线的顶点坐标为（）A. （3||，0）B. （-3||，0）C. （0||，3）D. （0||，－3）2.对于函数的图象||，下列说法不正确的是（）A. 开口向下B. 对称轴是C. 最大值为0D. 与y轴不相交3.把抛物线向下平移2个单位||，再向右平移1个单位||，所得到的抛物线是（）A. B. C. D.4.已知二次函数y=a（x﹣2）2+c（a＞0）||，当自变量x分别取、3、0时||，对应的函数值分别为y1、y2、y3||，则y1、y2、y3的大小关系是（）A. y1＞y2＞y3B. y2＞y1＞y3C. y3＞y1＞y2D. y3＞y2＞y15.在一次函数y=kx+b（k≠0）中||，y随x的增大而减小||，则二次函数y=k（x﹣1）2的图象大致是（）A. B. C. D.6.函数的图象可以由函数的图象( )得到A.向左平移3个单位B.向右平移3个单位C.向上平移3个单位D.向下平移3个单位7.要得到抛物线y= （x﹣4）2||，可将抛物线y= x2（）A.向上平移4个单位B.向下平移4个单位C.向右平移4个单位D.向左平移4个单位8.若抛物线的顶点在x轴正半轴上||，则的值为（）A.B.C.或D.9.对于抛物线y=﹣（x+2）2+3||，下列结论中正确结论的个数为（）①抛物线的开口向下；②对称轴是直线x=﹣2；③图象不经过第一象限；④当x＞2时||，y随x的增大而减小．A. 4B. 3C. 2D. 110.已知抛物线y=a（x-2）2+k（a＞0||，a||，k为常数）||，A（-3||，y1）B（3||，y2）C（4||，y3）是抛物线上三点||，则y1||，y2||，y3由小到大依序排列为（）A. y1＜y2＜y3B. y2＜y1＜y3C. y2＜y3＜y1D. y3＜y2＜y1二、填空题11.抛物线经过点（-2||，1）||，则________||。
沪科版九年级数学上册试题 第21章二次函数与反比例函数章节测试卷(含解析)
第21章《二次函数与反比例函数》章节测试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．反比例函数y=k−2x过点(1，2)，则关于一次函数y=kx+k−5说法正确的是（ ）A．不过第一象限 B．y随x的增大而增大C．一次函数过点(2，9) D．一次函数与坐标轴围成的三角形的面积是4 2．一次函数y=cx−b与二次函数y=a x2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A．B．C．D．3．已知抛物线y=x2+(m+1)x−14m2−1（m为整数）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且OA=OB，则m等于（ ）A．2+5B．2−5C．2D．−24．已知点A(a,y1)，B(a+2,y2)，在反比例函数y=|k|+1x的图像上，若y1−y2>0，则a的取值范围为（）A．a<0B．a<−2C．−2<a<0D．a<−2或a>05．已知二次函数y=m x2−2mx+2（m≠0）在−2≤x<2时有最小值−2，则m=（ ）A．−4或−12B．4或−12C．−4或12D．4或126．已知二次函数y=−(x+m−1)(x−m)+1，点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)是图象上两点，下列说法正确的是( )A．若x1+x2>1，则y1>y2B．若x1+x2<1，则y1>y2C．若x1+x2>−1，则y1>y2D．若x1+x2<−1，则y1<y27．如图，点A是反比例函数y=4x图像上的一动点，连接AO并延长交图像的另一支于点B．在点A的运动过程中，若存在点C(m,n)，使得AC⊥BC，AC=BC，则m，n满足（）A．mn=−2B．mn=−4C．n=−2m D．n=−4m8．已知抛物线y=a x2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）经过点A(1，0)和点B(0，−3)，若该抛物线的顶点在第三象限，记m=2a−b+c，则m的取值范围是（ ）A．0<m<3B．−6<m<3C．−3<m<6D．−3<m<09．如图是抛物线y=a x2+bx+c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间，则下列结论：①b=2a；②c−a=n；③抛物线另一个交点(m，0)在−2到−1之间；④当x<0时，a x2+(b+2)x≥0；⑤一元二次方程a x2+(b−12)x+c=0有两个不相等的实数根；其中正确的是（）A．①②③B．①④⑤C．②④⑤D．②③⑤10．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴正半轴上，反比例函数y=kx(k≠0,x>0)的图像同时经过顶点C、D，若点C的横坐标为6，BE=2DE，则k的值为（ ）A ．372B ．725C ．965D ．18二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．如图，抛物线y =a x 2+bx +c 与直线y =kx +ℎ交于A 、B 两点，则关于x 的不等式a x 2+(b −k )x +c >ℎ的解集为 ．12．将二次函数y =4x 2+mx +n （m ，n 为常数）的图像沿与x 轴平行的直线翻折，若翻折后的图像将x 轴截出长为22的线段，则该二次函数图像的顶点的纵坐标为 ．13．抛物线y =−12x 2+x +4与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，点C(2,y)在在这条抛物线上．(1)则点C 的坐标为 ；(2)若点P 为y 轴的正半轴上的一点，且△BCP 为等腰三角形，则点P 的坐标为 ．14．如图，抛物线y =x 2−2x −3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点．点D 是抛物线上的一个点，作DE ∥AB 交抛物线于D 、E 两点，以线段DE 为对角线作菱形DPEQ ，点P 在x 轴上，若PQ =12DE 时，则菱形对角线DE 的长为 ．15．如图，点A 1，A 2，A 3…在反比例函数y =1x(x >0)的图象上，点B 1，B 2，B 3，…B n 在y 轴上，且∠B 1O A 1=∠B 2B 1A 2=∠B 3B 2A 3=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，直线y =x 与双曲线y =1x交于点A 1，B 1A 1⊥OA 1，B 2A 2⊥B 1A 2，B 3A 3⊥B 2A 3…，则B n （n 为正整数）的坐标是 ．16．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，△OAB 是等边三角形，且点B 的坐标为(4，0)，点A 在反比例函数y =kx (k >0)的图象上．（1）反比例函数y =kx的表达式为 ；（2）把△OAB 向右平移a 个单位长度，对应得到△O 1A 1B 1．①若此时另一个反比例函数y =k 1x的图象经过点A 1，则k 和k 1的大小关系是：k k 1（填“<”、“>”或“=”）；②当函数y =kx的图象经△O 1A 1B 1一边的中点时，则a = ．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）如图，一次函数y=x−2与反比例函数y=k(k>0)相交于点A(3，n)，与x轴交于x点B，(1)求反比例函数解析式(2)点P是y轴上一动点，连接PA，PB，当PA+PB的值最小时，求P点坐标；(3)在（2）的条件下，C为直线y=x−2的动点，连接PC，将点C绕点P逆时针旋转90°得到点D，在C运动过程中，求PD的最小值．18．（6分）在平面直角坐标系中，已知二次函数y=−x2+bx+c（b，c是常数）．(1)当b=−2，c=3时，求该函数图象的顶点坐标．(2)设该二次函数图象的顶点坐标是(m,n)，当该函数图象经过点(1,−3)时，求n关于m的函数解析式．(3)已知b=2c+1，当0≤x≤2时，该函数有最大值8，求c的值．19．（8分）如图，抛物线y=a x2+bx−5经过A(−1,0)，B(5,0)两点．2(1)求此拋物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使得PA+PC值最小，求最小值；(3)点M为x轴上一动点，在拋物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．20．（8分）如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为(−3,−10)．运2动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，)，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须运动员在空中最高处A点的坐标为(1,54完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．(1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标；(2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由；(3)在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且EM=212，EN=272，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y=a（x−ℎ）2+k，且顶点C距水面4米，若该运动员出水点D在MN 之间（包括M，N两点），请直接写出a的取值范围．21．（8分）如图，二次函数y1=x2+mx+1的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y2=kx(x<0)的图象相交于点B(−3,1)．(1)求这两个函数的表达式；(2)当y 1随x 的增大而增大，且y 1<y 2时，直接写出x 的取值范围；(3)平行于x 轴的直线l 与函数y 1的图象相交于点C 、D （点C 在点D 的右边），与函数y 2的图象相交于点E ．若△ACE 与△BDE 的面积相等，求点E 的坐标．22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =a x 2+bx −4(a ≠0)的图像与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA=OC =4OB ．(1)求直线CA 的表达式；(2)求该二次函数的解析式，并写出函数值y 随x 的增大而减小时x 的取值范围；(3)点P是抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为n(0<n<4)．当△PCA的面积取最大值时，求点P的坐标；(4)当−1≤x≤m时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请直接写出m的取值范围．23．（8分）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于点C(4,m)，D(−2,−4)．(1)求一次函数和反比例函数表达式；(2)点E为y轴正半轴上一点，当△CDE的面积为9时，求点E的坐标；(3)在（2）的条件下，将直线AB向上平移，平移后的直线交反比例函数图象于点F(2,n)，交y 轴于点G，点H为平面直角坐标系内一点，若以点E、F、G、H为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点H的坐标；并写出求解点H的坐标的其中一种情况的过程．答案解析一．选择题1．B【分析】把点(1，2)代入反比例函数y=k−2x，求出k的值，再把k的值代入一次函数y=kx+k−5，再根据一次函数的性质即可解答．【详解】解：∵反比例函数y=k−2x过点(1，2)，∴2=k−2，解得k=4，∴一次函数y=kx+k−5的解析式为y=4x−1，∴函数图像过一三四象限，不过第二象限，故A错误，不符合题意；∵4＞0，∴y随x的增大而增大，故B正确，符合题意；∵当x=2时，y=4×2−1=7，∴一次函数不过点(2，9)，故C错误，不符合题意；∵y=4x−1与坐标轴的交点为(0，−1)，(14，0)，∴一次函数与坐标轴围成的三角形的面积为12×1×14=18，故D错误，不符合题意．故选：B．2．D【分析】先假设c<0，根据二次函数y=a x2+bx+c图象与y轴交点的位置可判断A，C是否成立；再假设c>0，b<0，判断一次函数y=cx−b的图象位置及增减性，再根据二次函数y=a x2 +bx+c的开口方向及对称轴位置确定B，D是否成立．【详解】解：若c<0，则一次函数y=cx−b图象y随x的增大而减小，此时二次函数y=a x2 +bx+c的图象与y轴的交点在y轴负半轴，故A，C错；若c>0，b<0，则一次函数y=cx−b图象y随x的增大而增大，且图象与y的交点在y轴正半轴上，此时二次函数y=a x2+bx+c的图象与y轴的交点也在y轴正半轴，若a>0，则对称轴x=−b2a >0，故B错；若a<0，则对称轴x=−b2a<0，则D可能成立．故选：D．3．D【分析】当x=0时，可求得B为(0，−14m2−1)，由OA=OB可得A为(−14m2−1，0)或(1 4m2+1，0)，将A的坐标代入y=x2+(m+1)x−14m2−1，进行计算即可得到答案．【详解】解：当x=0时，y=−14m2−1，∴抛物线与y轴的交点B为(0，−14m2−1)，∵OA=OB，∴抛物线与x轴的交点A为(−14m2−1，0)或(14m2+1，0)，∴(−14m2−1)2+(m+1)(−14m2−1)−14m2−1=0或(14m2+1)2+(m+1)(14m2+1)−14m2−1=0，∴(−14m2−1)(−14m2−1+m+1+1)=0或(14m2+1)(14m2+1+m+1−1)=0，∴−14m2−1=0或−14m2−1+m+1+1=0或14m2+1=0或14m2+1+m+1−1=0，解得：m=22+2或m=−22+2或m=−2，∵m为整数，∴m=−2，故选：D．4．D【分析】根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点（a，y1）、（a＋2，y2）在图象的同一分支上时；②当点（a，y1）、（a＋2，y2）在图象的两支上时，分别求解即可．【详解】解：∵|k|+1>0，∴图像在一、三象限，在反比例函数图像的每一支上，y随x的增大而减小，∵y1−y2>0，∴ y1＞y2，①当点（a，y1）、（a＋2，y2）在同一象限时，∵y1＞y2，i.当在第一象限时，∴0<a<a+2，解得a>0；ii.当在第三象限时，∴a<a+2<0，解得a<−2；综上所述：a<−2或a>0；②当点（a，y1）、（a＋2，y2）不在同一象限时，∵y1＞y2，∴a＞0，a＋2＜0，此不等式组无解，因此，本题a的取值范围为a<−2或a>0，故选：D．5．B【分析】先求出二次函数对称轴为直线x=1，再分m>0和m<0两种情况，利用二次函数的性质进行求解即可．【详解】解：∵二次函数y=m x2−2mx+2=m(x−1)2−m+2，∴对称轴为直线x=1，①当m>0，抛物线开口向上，x=1时，有最小值y=−m+2=−2，解得：m=4；②当m＜0，抛物线开口向下，∵对称轴为直线x=1，在−2≤x<2时有最小值−2，∴x=−2时，有最小值y=9m−m+2=−2，解得：m=−12．故选：B．6．A【分析】将函数化为二次函数的一般形式，可以求得对称轴为x=12，然后根据函数图像上点的坐标与对称轴的关系即可得到答案；【详解】解：∵y=−(x+m−1)(x−m)+1=−x2+x+m2−m+1∴函数图像开口向下，对称轴为x=12当x1+x2=1时，A、B两点关于对称轴对称，此时y1=y2；当x1+x2>1时，A、B在对称轴右侧或分别在对称轴两侧且A到对称轴的距离小于B到对称轴的距离，此时y1>y2；当x1+x2<1时，A、B在对称轴左侧或分别在对称轴两侧，且A到对称轴的距离大于B到对称轴的距离，此时y1<y2；由此可判断选项，只有A选项符合，故选A；7．B【分析】连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，根据等腰直角三角形的性质得出OC=OA，通过角的计算找出∠AOE=∠COF，结合“∠AEO=90°，∠CFO=90°”可得出ΔAOE≅ΔCOF，根据全等三角形的性质，可得出A(−m,n)，进而得到−mn=4，进一步得到mn=−4．【详解】解：连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，如图所示：∵由直线AB与反比例函数y=4x的对称性可知A、B点关于O点对称，∴AO=BO，又∵AC⊥BC，AC=BC，∴CO⊥AB，CO=12AB=OA，∵∠AOE+∠AOF=90°，∠AOF+∠COF=90°，∴∠AOE=∠COF，又∵∠AEO=90°，∠CFO=90°，∴ΔAOE≅ΔCOF(AAS)，∴OE=OF，AE=CF，∵点C(m,n)，∴CF=−m，OF=n，∴AE=−m，OE=n，∴A(n,−m)，图像上，∵点A是反比例函数y=4x∴−mn=4，即mn=−4，故选：B．8．B【分析】由顶点在第三象限，经过点A(1，0)和点B(0，−3)，可得出：a>0，−b<0，即可2a得出0<a<3，又由于m=2a−b+c=2a−(3−a)+(−3)=3a−6，求出3a−6的范围即可．【详解】∵抛物线y=a x2+bx+c过点(1,0)和点(0,−3)，∴c=−3，a+b+c=0，即b=3−a，∵顶点在第三象限，经过点A(1，0)和点B(0，−3)，∴a>0，−b<0，2a∴b>0，∴b=3−a>0，∴a<3，∴0<a<3∵m=2a−b+c=2a−(3−a)+(−3)=3a−6，∵0<a<3，∴0<3a<9∴−6<3a−6<3，∴−6<m<3．故选：B．9．D【分析】①根据抛物线的对称轴公式即可求解；②当x等于1时，y等于n，再利用对称轴公式即可求解；③根据抛物线的对称性即可求解；④根据抛物线的平移即可求解；⑤根据一元二次方程的判别式即可求解．【详解】解：①因为抛物线的顶点坐标为(1，n)，则其对称轴为x=1，即−b2a=1，所以b=−2a，所以①错误；②当x=1时，y=n，所以a+b+c=n，因为b=−2a，所以c−a=n，所以②正确；③因为抛物线的对称轴为x=1，且与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间，所以抛物线另一个交点(m，0)在−2到−1之间；所以③正确；④因为a x2+(b+2)x≥0，即a x2+bx≥−2x，根据图象可知：把抛物线y=a x2+bx+c(a≠0)图象向下平移c个单位后图象过原点，即可得抛物线y=a x2+bx(a≠0)的图象，所以当x<0时，a x2+bx<−2x，即a x2+(b+2)x<0．所以④错误；⑤一元二次方程a x2+(b−12)x+c=0，Δ=(b−12)2−4ac，因为根据图象可知：a<0，c>0，所以−4ac>0，所以Δ=(b−12)2−4ac>0，所以一元二次方程a x2+(b−12)x+c=0有两个不相等的实数根．所以⑤正确．综上，正确的有②③⑤，故选：D．10．C【分析】过点D作DF⊥BC于点F，由勾股定理构造方程求出DE=125，BE=DF=245，再根据反比例函数图像同时经过顶点C、D,即可解答．【详解】解：过点D作DF⊥BC于点F，∵点C的横坐标为6，，∴BC=6．∵四边形ABCD是菱形，∴CD=BC=6．C∵BE=2DE，∴设DE=x，则BE=2x．∴DF=BE=2x，BF=DE=x，FC=BC−BF=6−x．在Rt△DCF中，∵D F2+C F2=C D2，∴(2x)2+(6−x)2=62．解得：x1=0（不合题意，舍去），x2=125，∴DE=125，BE=DF=245．设OB=a，则D(125,a+245)，C(6,a)∵反比例函数y=kx(k≠0,x>0)的图像同时经过顶点C，D，∴k=125×(a+245)=6a．解得：a=165．∴k=6a=965．故选C．二．填空题11．x <2或x >4【分析】根据题意得出：当a x 2+bx +c >kx +ℎ时，则a x 2+(b −k )x +c >ℎ，进而结合函数图象得出x 的取值范围．【详解】解：根据题意得出：当a x 2+bx +c >kx +ℎ时，则a x 2+(b −k )x +c >ℎ，由图象可得：关于x 的不等式a x 2+(b −k )x +c >ℎ的解集为：x <2或x >4，故答案为：x <2或x >4．12．−8【分析】设设翻折后图像与x 轴的两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，则x 1+x 2=−m4,x 1x 2=n 4,再进行变形得出(x 1+x 2)2−4x 1x 2=8,再代入可得m 2−1616=8,进而可得出该二次函数图像的顶点的纵坐标【详解】∵二次函数y =4x 2+mx +n （m ，n 为常数）的图像沿与x 轴平行的直线翻折，若翻折后的图像将x 轴截出长为22的线段，∴翻折前两交点间的距离不变，设翻折后图像与x 轴的两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，则x 1+x 2=−m4,x 1x 2=n4,∴|x 1−x 2|=22,∴(x 1−x 2)2=8,∴(x 1+x 2)2−4x 1x 2=8,∴(−m4)2−4×n 4=8,∴m 2−1616=8,又∵y =4x 2+mx +n 的纵坐标为4×4n −m 24×4=16n −m 216，∴16−m 216=−8,即该二次函数图像顶点纵坐标为−8故答案为：−813．(2,4)(0,2)，(0,1)2【分析】（1）将点C(2,y)代入函数解析式即可得出结论；（2）令y=0，求得点B的坐标，依据分类讨论的思想方法，利用△BCP为等腰三角形和等腰三角形的解答即可得出结论．【详解】解：（1）∵点C(2,y)在抛物线y=−1x2+x+4上，2∴y=4，∴C(2,4)，故答案为：(2,4)；（2）令y=0，则−1x2+x+4=0，2解得：x=4或x=−2．∵抛物线y=−1x2+x+4与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，2∴B(4,0)．∵点P为y轴的正半轴上的一点，①当BP=BC时，如图，过点C作CD⊥OB于点D，∵C(2,4)，B(4,0)，∴CD=4，OB=4，OD=2，∴CD=OB．在Rt△BPO和Rt△BCD中，{BP=BCOB=DC，∴Rt△BPO≌Rt△BCD(HL)，∴OP=BD．∵OB=4，OD=2，∴BD=OB−OD=2，∴OP=BD=2，∴P(0,2)；②当BP=PC时，如图，过点C作CE⊥y轴于点E，∵C(2,4)，B(4,0)，∴CE=2，OE=4，OB=4，设点P(0,a)，∵点P为y轴的正半轴上的一点，∴OP=a,EP=4−a，∵BP=PC，∴B P2=P C2，∴E P2+C E2=O P2+O B2，∴(4−a)2+22=a2+42，，解得：a=12)．∴P(0,12综上，当△BCP为等腰三角形，则点P的坐标为(0,2)或(0,1)．2故答案为：(0,2)或(0,1)．214．1+652或−1+652【分析】设菱形DPEQ 对角线的交点为M ，则PQ ⊥DE ，PM= 12PQ ，设点D 的横坐标为t ，由此表示出DE 的长，PM 的长，进而可得PQ 的长，根据PQ = 12DE 建立方程，求解即可．【详解】解：如图，由抛物线的解析式可知，抛物线y =x 2−2x −3的对称轴为直线x =1，设菱形DPEQ 对角线的交点为M ，则PQ ⊥DE ，PM = 12PQ ，∵点D 是抛物线上的一个点，且DE ∥AB ，设点D 的横坐标为t ，∴D (t ，t 2−2t −3)，∵DE ∥AB ，∴点D ，点E 关于对称轴对称，∴点P 和点Q 在对称轴上，∴E(2−t ，t 2−2t −3)，∴DE =(2−2t)，PM=|t 2−2t −3|，∴PQ =2PM =2|t 2−2t −3|，∵PQ =12DE ，∴2|t 2−2t −3|=12(2−2t )，解得t 1= 5−654，t 2= 5+654(舍去)，t 3= 3−654，t 4= 3+654(舍去)，∴DE =2−2t = 1+652或−1+652．故答案为：1+652或−1+652．15．(0,2n )【分析】如图，过A1作A1H⊥y轴于H，求解A1(1,1)，结合题意，△O A1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，想办法求出O B1，O B2，O B3，O B4，…，探究规律，利用规律解决问题即可得出结论．【详解】解：如图，过A1作A1H⊥y轴于H，∵{y=1x y=x，其中x>0，解得：{x=1y=1，即A1(1,1)，∴OH=A1H=1，∴∠A1OH=45°，∵B1A1⊥O A1，∴△O A1B1是等腰直角三角形，∴O B1=2；同理可得：△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，同理设A2(m,m+2)，∴m(2+m)=1，解得m=2−1，（负根舍去）∴O B2=2+22−2=22，同理可得：O B3=23，⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴O Bn=2n，∴Bn(0,2n)．故答案为：(0,2n)．16．y=43x<1或3【分析】（1）如图所示，过点A作AC⊥OB于C，利用等边三角形的性质和勾股定理求出A (2，23)，再利用待定系数法求解即可；（2）求出A1(2+a，23)，由a>0，得到2+a>2，则k1>43=k；（3）分当函数y=kx 的图象经过O1A1的中点时，当函数y=kx的图象经过A1B1的中点时，两种情况利用两点中点坐标公式和待定系数法求解即可．【详解】解：（1）如图所示，过点A作AC⊥OB于C，∵(4，0)，∴OB=4，∵△AOB是等边三角形，∴OC=BC=12OB=2，OA=OB=4，∴AC=O A2−O C2=23，∴A(2，23)，∵点A在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，∴23=k2，∴k=43，∴反比例函数y=kx 的表达式为y=43x，故答案为：y=43x；（2）①∵把△OAB 向右平移a 个单位长度，对应得到△O 1A 1B 1，∴A 1(2+a ，23)，∵反比例函数y =k 1x的图象经过点A 1，∴23=k 12+a，∴k 1=23(2+a )，∵a >0，∴2+a >2，∴k 1>43=k ，故答案为：<；（3）当函数y =kx 的图象经过O 1A 1的中点时，∵O 1(a ，0)，A 1(a +2,23)，∴函数y =kx 的图象经过点(a +a +22，232)，∴3=43a +1，∴a =3；当函数y =kx 的图象经过A 1B 1的中点时，∵B 1(a +4，0)，A 1(a +2,23)，∴函数y =k x 的图象经过点(a +4+a +22，232)，∴3=43a +3，∴a =1，故答案为：1或3．三．解答题17．（1）解：∵点A (3，n )在一次函数y =x −2的图象上，∴n =3−2=1，∴点A (3，1)，∵点A (3，1)在反比例函数y =kx (k >0)的图象上，∴k =3×1=3，∴反比例函数解析式为y =3x ；（2）解：作点B 关于y 轴的对称点B '，连接A B '交y 轴于点P ，此时PA +PB 的值最小，令y =0，则0=x −2，解得x =2，∴点B (2，0)，点B '(−2，0)，设直线A B '的解析式为y =kx +b ，∴{3k +b =1−2k +b =0，解得{k =15b =25，∴直线A B '的解析式为y =15x +25，令x =0，则y =25，∴P 点坐标为(0，25)；（3）解：由旋转的性质知PC =PD ，当PC ⊥AB 时，PC 有最小值，此时PD的值最小，设直线AB交y轴于点E，令x=0，则y=0−2=−2，，点E(0，−2)，∴OE=2，OB=2，∴BE=22+22=22，∵S△PBE =12PE×OB=12BE×PC，∴PC=(25+2)×222=625，∴PD的最小值为625．18．（1）解：当b=−2，c=3时，y=−x2−2x+3=−(x+1)2+4，∴此时该函数图象的顶点坐标为(−1,4)；（2）解：∵该函数图象经过点(1,−3)，∴−1+b+c=−3，则c=−2−b，∵该二次函数图象的顶点坐标是(m,n)，∴m=−b2×(−1)=b2，n=4×(−1)×c−b24×(−1)=4c+b24=c+b24，∴b=2m，c=−2−2m，∴n=−2−2m+4m24，即n=m2−2m−2；（3）解：当b=2c+1时，二次函数y=−x2+(2c+1)x+c的对称轴为直线x=2c+12=c+12，开口向下，∵0≤x≤2，∴当0≤c +12≤2即−12≤c ≤32时，该函数的最大值为4×(−1)×c −(2c +1)24×(−1)=c +(2c +1)24=8，即4c 2+8c −31=0，解得c 1=−1+352（不合题意，舍去），c 2=−1−352（不合题意，舍去）；当c +12<0即c <−12时，0≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小，∴当x =0时，y 有最大值为c =8，不合题意，舍去；当c +12>2即c >32时，0≤x ≤2时，y 随x 的增大而增大，∴当x =2时，y 有最大值为−22+2(2c +1)+c =8，解得c =2，符合题意，综上，满足条件的c 的值为2．19．（1）解：∵抛物线y =a x 2+bx −52经过A (−1,0)，B (5,0)两点，∴{a −b −52=025a +5b −52=0，解得：a =12，b =−2，∴此拋物线的解析式为y =12x 2−2x −52；（2）如图，连接BC ，交对称轴于点P ，∵拋物线的解析式为y =12x 2−2x −52，∴其对称轴为直线x =−b2a =−−22×12=2，当x =0时，y =−52，∴C (0,−52)，又∵B (5,0)，∴设BC 的解析式为y =kx +b (k ≠0)，∴{5k +b =0b =−52，解得：k =12，b =−52，∴ BC 的解析式为y =12x −52，当x =2时，y =2×12−52=−32，∴P (2,−32)，∴PA +PC =(−1−2)2+(32+0)2+(0−2)2+(−52+32)2=552；（3）存在，如图所示：①当点N 在x 轴下方时，∵抛物线的对称轴为x =2，C (0,−52)，∴N 1(4,−52)，②当点N 在x 轴上方时，如图，过点N 2作N 2D ⊥x 轴于点D ，在△A N 2D 和△M 2CO 中，{∠N 2AD =∠C M 2OA N 2=C M 2∠N 2DA =∠CO M 2，∴△A N 2D ≌△M 2CO (ASA )， ∴N 2D =OC =52，即N 2点的纵坐标为52∴12x 2−2x −52=52，解得：x =2+14或x =2−14，∴N 2(2+14,52)，N 3(2−14,52)，综上所述符合条件的N 的坐标有(4,−52)，(2+14,52)，(2−14,52)．20．（1）解：设抛物线的解析式为y =a 0(x −1)2+54将(0,0)代入解析式得：a 0=−54∴抛物线的解析式为y =−54(x −1)2+54令y =−10，则−10=−54(x −1)2+54解得：x 1=−2(舍去),x 2=4∴入水处B 点的坐标(4，−10)（2）解：距点E 的水平距离为5米，对应的横坐标为：x =5−32=72将x =72代入解析式得：y =−54×(72−1)2+54=−10516∵−10516−(−10)=5516<5∴该运动员此次跳水失误了（3）解：∵EM=212，EN =272，点E 的坐标为(−32,−10)∴点M 、N 的坐标分别为：(9,−10),(12,−10)∵该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y =a （x −ℎ）2+k ，顶点C 距水面4米y =a (x −132)2−14，∴当抛物线经过点M时，把点M(9,−10)代入得：a=1625同理，当抛物线经过点N(12,−10)时，a=14由点D在MN之间可得：14≤a≤162521．（1）解：∵二次函数y1=x2+mx+1的图像与反比例函数y2=kx(x>0)的图像相交于点B(−3,1)，∴(−3)2−3m+1=1，k−3=1，解得m=3，k=−3，∴二次函数的解析式为y1=x2+3x+1，反比例函数的解析式为y2=−3x(x>0)．（2）∵二次函数的解析式为y1=x2+3x+1，∴对称轴为直线x=−32，由图象知，当y1随x的增大而增大，且y1<y2时，−32≤x<0（3）由题意作图如下：∵当x=0时，y1=1，∴A(0,1)，∵B(−3,1)，∴△ACE的CE边上的高与△BDE的DE边上的高相等，∵△ACE与△BDE的面积相等，∴CE=DE，即E点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点，当x=−32时，y2=2，∴E(−32,2)．22．（1）解：令x=0，则y=−4，∴C(0，−4)，∴OC=4，∵OA=OC，∴AO=4，∴A(4，0)，设直线AC的解析式为y=kx+b，∴{4k+b=0b=−4，解得{k=1b=−4，∴y=x−4；（2）解：∵OC=4OB，∴OB=1，∴B(−1，0)，将A(4，0)，B(−1，0)代入y=a x2+bx−4，∴{16a+4b−4=0a−b−4=0，解得{a=1b=−3，∴y=x2−3x−4，∵y=x2−3x−4=(x−32)2−254，a=1>0，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=32，∴函数值y随x的增大而减小时x的取值范围为x<32；（3）解：过点P作PQ∥y轴交AC于点Q，∵点P 的横坐标为n ，∴ P (n ，n 2−3n −4)，则Q (n ，n −4)，∴ PQ =n −4−(n 2−3n −4)=−n 2+4n ，由（1）得A (4，0)，C (0，−4)，∴ S △PCA =S △PCQ +S △PAQ=12QP (x P −x C )+12QP (x A −x P )=12QP (x P −x C +x A −x P )=12QP (x A −x C )=12×4×(−n 2+4n )=−2(n −2)2+8，∵ 0<n <4，∴当n =2时，△PCA 的面积有最大值，此时P (2，−6)；（4）解：当32≤m ≤4时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，∵ y =x 2−3x −4=(x −32)2−254，∴抛物线的对称轴为直线x =32，①当−1<m <32时，x =−1，y 有最大值0，x =m ，y 有最小值m 2−3m −4，∴ 0−(m 2−3m −4)=−m 2+3m+4，此时二次函数的最大值与最小值的差随m 的变化而变化；②当32≤m ≤4时，x =32，y 有最小值−254，x =−1，y 有最大值0，∴0−(−254)=254，此时二次函数的最大值与最小值的差是一个定值；③当m>4时，x=32，y有最小值−254，x=m，y有最大值m2−3m−4，∴m2−4m−4+254=m2−3m+94，此时二次函数的最大值与最小值的差随m的变化而变化；综上所述：32≤m≤4时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值．23．（1）∵点C(4,m)，D(−2,−4)在反比例函数图象上，∴4m=(−2)×(−4)，解得m=2，∴C(4,2)，∴反比例函数的解析式为y=8x；设一次函数的解析式为y=kx+b，∴{−2k+b=−44k+b=2，解得{k=1b=−2，∴一次函数的解析式为y=x−2；（2）直线y=x−2与y轴的交点B(0,−2)，设E(0,t)，t>0，∴EB=t+2，∴SΔCDE =12×BE×(4+2)=9，∴3(t+2)=9，解得t=1，∴E(0,1)；（3）设直线AB向上平移后的函数解析式为y=x−2+ℎ，∵F(2,n)在反比例函数图象上，∴n=4，∴F(2,4)，将F点代入y=x−2+ℎ，则ℎ=4，∴平移后的直线解析式为y=x+2，∴G(0,2)，设H(x,y)，①当HE为平行四边形的对角线时，x=2，y+1=6，∴H(2,5)；②当HF为平行四边形的对角线时，x+2=0，y+4=3，∴H(−2,−1)；③当HG为平行四边形的对角线时，x=2，y+2=5，∴H(2,3)；综上所述：H点坐标为(2,5)或(−2,−1)或(2,3)．。
九年级数学上册 第21章 二次函数与反比例函数 单元测试卷(沪科版 2024年秋)
九年级数学上册第21章二次函数与反比例函数单元测试卷（沪科版2024年秋）一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)题序12345678910答案1.下列函数中，一定是二次函数的是()A ．y ＝(x ＋1)(x －1)－x 2B ．y ＝ax 2＋bx ＋c C ．s ＝2t 2＋1D ．y ＝x ＋1x 22．下列对二次函数y ＝－2(x －2)2＋1的叙述错误的是()A ．图象开口向下B ．图象的对称轴是直线x ＝2C ．此函数有最小值1D ．当x >2时，y 随x 的增大而减小3．已知双曲线y ＝k x(k <0)过点(3，y 1)，(1，y 2)，(－2，y 3)，则下列结论正确的是()A ．y 3>y 1>y 2B ．y 3>y 2>y 1C ．y 2>y 1>y 3D ．y 2>y 3>y 14．抛物线y ＝x 2＋6x ＋7可由抛物线y ＝x 2()A ．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到B ．先向左平移6个单位，再向上平移7个单位得到C ．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位得到D ．先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到5．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解为()A ．x 1＝－3，x 2＝0B ．x 1＝－3，x 2＝－1C ．x ＝－3D ．x 1＝－3，x 2＝1(第5题)(第6题)6．如图，直线y ＝ax ＋b 与反比例函数y ＝k x 的图象交于点A (2，3)，B (m ，－2)，则不等式ax ＋b ＞k x的解集是()A ．－3＜x ＜0或x ＞2B ．x ＜－3或0＜x ＜2C ．－2＜x ＜0或x ＞2D ．－3＜x ＜0或x ＞37．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y ＝－6x (x ＜0)的图象与直线y ＝－2x ＋3交于点P (a ，b )，则1a ＋2b ＝()A ．－12 B.12C ．－2D ．2(第7题)(第8题)8．已知反比例函数y ＝k x(k ≠0)在第一象限内的图象与一次函数y ＝－x ＋b 的图象如图所示，则函数y ＝x 2－bx ＋k －1的图象可能为()9．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A (－1，0)，B ，与y 轴交于点C .下列结论：①abc <0；②2a ＋b <0；③4a －2b ＋c >0；④3a ＋c >0.其中正确的有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(第9题)(第10题)10．如图，Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝2，正方形CDEF 的顶点D ，F 分别在AC ，BC 边上．设CD 的长度为x ，Rt △ABC 与正方形CDEF 重叠部分的面积为y ，则下列图象中能表示y 与x 之间的函数关系的是()二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．抛物线y＝x2＋2x－3的顶点坐标是________．12．某飞机着陆后滑行的距离y(m)关于着陆后滑行的时间x(s)的函数表达式是y ＝－2x2＋bx(b为常数)．若该飞机着陆后滑行20s才停下来，则该飞机着陆后的滑行距离是________m.(k＞0)13．如图，▱ABCD的顶点A在x轴上，顶点D在函数y＝kx(第13题)的图象上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E.若S△ABE＝5，则k＝________．(0≤x≤1)．14．已知关于x的二次函数y＝x2－ax＋a2(1)当a＝4时，函数的最大值为________；(2)若函数的最大值为t，则t的最小值为________．三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15.已知y＝y1＋y2，y1与x－1成正比例，y2与x＋1成反比例．当x＝0时，y＝－3，当x＝1时，y＝－1.求y关于x的函数表达式．(k≠0)的图象交于16.如图，直线y＝－x＋3与y轴交于点A，与反比例函数y＝kx点C，过点C作CB⊥x轴于点B，AO＝3BO，求反比例函数的表达式．(第16题)四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17.在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c(b，c都是常数)的图象经过点(－1，6)和(0，2)．(1)求出二次函数的表达式，并直接写出其图象的顶点坐标；(2)已知点P(m，n)在该函数的图象上，且m＋n＝1，则点P的坐标为________．18．如图，已知直线y1＝x＋m与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数(k≠0，x<0)的图象交于C，D两点，且点C的坐标为(－1，2)．y2＝kx(第18题)(1)分别求出直线AB及反比例函数的表达式；(2)求出点D的坐标；(3)利用图象直接写出：当y1>y2时，自变量x的取值范围．五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19.“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图像．水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的，如图，水柱的最高点为P，AB＝2m，BP＝8m，水嘴高AD＝6m.(1)以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的表达式；(2)求水柱落点C与水嘴底部A的距离AC.(第19题)20．某商店十月份销售一种成本价为50元/件的商品，经市场调查发现，该商品每天的销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数，其售价、销售量的两组对应值如下表：售价x/(元/件)5565销售量y/件9070(1)y与x之间的函数表达式为________；(2)十月份销售该商品时，售价定为多少，每天才能获得最大利润？最大利润是多少？六、(本题满分12分)21．如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点B(6，0)，S△ABC＝212.(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)P是直线BC下方抛物线上一动点，连接PB，PC，当△PBC的面积最大时，直接写出点P的坐标．(第21题)七、(本题满分12分)22.淮南油酥烧饼是安徽早餐的特色之一，如图①，它的外边缘线的一半恰好呈抛物线形，如图②是半块烧饼的示意图，以AB的中点为原点建立平面直角坐标系，AB的长度为8cm，抛物线最高点与AB的距离为6cm.(第22题)(1)求图②中抛物线的表达式；(2)如图③，小明想在这半块烧饼上切出一块矩形CDEF，使得矩形的一边EF与AB重合，点C，D在抛物线上，求该矩形周长l的最大值；(3)如图④，小明的妹妹想在这半块烧饼上切出若干块宽为1.5cm的矩形，若切出的所有矩形的长与AB平行，直接写出切出的所有矩形的面积之和．(结果保留根号)八、(本题满分14分)23.如图①，抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(－1，0)，点B(3，0)，与y轴交于点C.在x轴上有一动点E(m，0)(0＜m＜3)，过点E作直线ME⊥x轴，交抛物线于点M.(1)抛物线的表达式为________；(2)当m＝1时，点D是直线ME上的点且在第一象限内，若△ACD是以CA为斜边的直角三角形，求点D的坐标；(3)如图②，连接BC交ME于点F，连接AF，设△ACF和△BFM的面积分别为S1和S2，当S1＝4S2时，求点E的坐标．(第23题)答案一、1.C 2.C3.A4.A5.D6.A 7．A 点拨：将点P (a ，b )的坐标分别代入y ＝－6x ，y ＝－2x ＋3，得b ＝－6a，b ＝－2a ＋3，所以ab ＝－6，2a ＋b ＝3，所以1a ＋2b ＝2a ＋b ab ＝3－6＝－12.8．A 9.B 10.A二、11.(－1，－4)12.80013．10思路点睛：设BC 与x 轴交于点F ，连接DF ，OD ，由平行四边形的性质可得AD ∥BC ，AD ＝BC .所以易得S △ODF ＝S △BCE ，S △ADF ＝S △ABC ，由S △OAD ＝S △ODF －S △ADF ，S △ABE ＝S △BCE －S △ABC ，可得S △OAD ＝S △ABE ＝5.由k 的几何意义可得12|k |＝5.因为k >0，所以k ＝10.14．(1)2(2)12三、15.解：设y 1＝k 1(x －1)，y 2＝k 2x ＋1(k 1，k 2均不为0)，所以y ＝y 1＋y 2＝k 1(x －1)＋k 2x ＋1.因为当x ＝0时，y ＝－3，当x ＝1时，y ＝－1，3＝－k 1＋k 2，1＝12k 2，1＝1，2＝－2，所以y 关于x 的函数表达式为y ＝x －1－2x ＋1.16．解：因为直线y ＝－x ＋3与y 轴交于点A ，所以A (0，3)，即OA ＝3.因为AO ＝3BO ，所以OB ＝1，所以B (－1，0)．因为CB ⊥x 轴于点B ，所以点C 的横坐标为－1.因为点C 在直线y ＝－x ＋3上，所以点C (－1，4)．将点C(－1，4)的坐标代入y＝kx(k≠0)，得4＝k－1，所以k＝－4，所以反比例函数的表达式为y＝－4 x .四、17.解：(1)将点(－1，6)，(0，2)的坐标代入y＝x2＋bx＋c －b＋c＝6，＝2，＝－3，＝2，所以二次函数的表达式为y＝x2－3x＋2，其图象的顶点坐标为(2)(1，0)18．解：(1)因为直线y1＝x＋m经过点C(－1，2)，所以2＝－1＋m，解得m＝3，所以直线AB的表达式为y1＝x＋3.因为点C(－1，2)在反比例函数y2＝kx(k≠0，x<0)的图象上，所以k＝－1×2＝－2，所以反比例函数的表达式为y2＝－2x(x<0)．(2)＝x＋3，＝－2x，＝－1，＝2＝－2，＝1，所以D(－2，1)．(3)由图象可知：当y1>y2时，自变量x的取值范围是－2<x<－1.五、19.解：(1)由题意得P(2，8)，D(0，6)，所以可设抛物线的表达式为y＝a(x－2)2＋8.把点D(0，6)的坐标代入得4a＋8＝6，所以a＝－12，所以y＝－12(x－2)2＋8.(2)令y＝0，则0＝－12(x－2)2＋8，所以(x－2)2＝16，解得x1＝6，x2＝－2，所以点C(6，0)，所以AC＝6m.故水柱落点C与水嘴底部A的距离AC为6m.20．解：(1)y＝－2x＋200(2)设每天获得的利润为W元，则W＝(x－50)(－2x＋200)＝－2x2＋300x－10000＝－2(x－75)2＋1250.因为－2<0，所以当x＝75时，W有最大值，最大值为1250.所以当售价定为75元/件时，每天才能获得最大利润，最大利润是1250元．六、21.解：(1)因为抛物线y＝ax2＋bx－3与y轴交于点C，所以点C的坐标为(0，－3)，所以OC＝3.因为S△ABC＝12AB·OC＝212，所以AB＝7.因为B(6，0)，所以A(－1，0)．将点A(－1，0)，B(6，0)的坐标代入y＝ax2＋bx－3，－b－3＝0，a＋6b－3＝0，＝12，＝－52，所以抛物线对应的函数表达式为y＝12x2－52x－3.(2)当△PBC的面积最大时，点P的坐标为(3，－6)．七、22.解：(1)由题意知，抛物线的顶点坐标为(0，6)，点B的坐标为(4，0)．设抛物线的表达式为y＝ax2＋6，把点B(4，0)的坐标代入，得16a＋6＝0，解得a＝－38，所以抛物线的表达式为y＝－38x2＋6.(2)由题意知CD∥AB，设，－38m2＋m<4)，则易得m，－38m2＋所以CD＝2m cm，DE－38m2＋，所以l＝m－38m2＋＝－34m2＋4m＋12＋523，所以当m ＝83时，l 取最大值，最大值为523.故该矩形周长l 的最大值为523cm.(3)切出的所有矩形的面积之和为(63＋62＋6)cm 2.八、23.解：(1)y ＝－x 2＋2x ＋3(2)对于y ＝－x 2＋2x ＋3，令x ＝0，则y ＝3，所以C (0，3)．当m ＝1时，设D (1，y )，因为△ACD 是以CA 为斜边的直角三角形，所以AD 2＋CD 2＝AC 2，所以22＋y 2＋12＋(3－y )2＝12＋32，解得y 1＝1，y 2＝2，所以点D 的坐标为(1，1)或(1，2)．(3)设直线BC 的表达式为y ＝kx ＋d ，k ＋d ＝0，＝3，＝－1，＝3，所以直线BC 的表达式为y ＝－x ＋3.因为E (m ，0)，ME ⊥x 轴，所以M (m ，－m 2＋2m ＋3)，F (m ，－m ＋3)，所以EF ＝－m ＋3，MF ＝－m 2＋2m ＋3－(－m ＋3)＝－m 2＋3m .因为A (－1，0)，B (3，0)，C (0，3)，所以AB ＝3－(－1)＝4，OC ＝3，BE ＝3－m ，所以S 1＝S △ACF ＝S △ABC －S △ABF ＝12·(OC －EF )＝12×4×[3－(－m ＋3)]＝2m ，S 2＝S △BFM ＝12MF ·BE ＝12(－m 2＋3m )(3－m )．因为S 1＝4S 2，所以2m ＝12(－m 2＋3m )(3－m )×4，化简得m (m 2－6m ＋8)＝0.因为0＜m ＜3，所以m 2－6m ＋8＝0，解得m1＝2，m2＝4(不符合题意，舍去)，所以点E的坐标为(2，0)．。
新沪科版九年级数学上册同步教案：21.2 第1课时 二次函数y=ax^2的图像和性质
21.2 二次函数的图象和性质第1课时 二次函数y=ax 2的图象和性质◇教学目标◇【知识与技能】会用描点法画出函数y=ax 2的图象,理解并掌握抛物线的有关概念及其性质.【过程与方法】经历探索二次函数y=ax 2的图象及性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验,培养学生分析、解决问题的能力.【情感、态度与价值观】培养学生观察、思考、归纳的良好思维品质.◇教学重难点◇【教学重点】理解抛物线的有关概念及性质,会用描点法画出二次函数y=ax 2的图象.【教学难点】用描点法画出二次函数y=ax 2的图象以及探索二次函数的性质.◇教学过程◇一、情境导入从桌面弹射粉笔,从空中平抛粉笔和乒乓球,观察物体在空中的运动路线,思考运动路线有何规律?怎样用数学规律来描述呢?二、合作探究探究点1 二次函数y=ax 2的图象典例1 (1)用描点法在同一坐标系中画出y=12x 2,y=x 2,y=2x 2的图象. (2)比较上述图象,抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数有何关系?(3)根据你的研究结果,请你在上述平面直角坐标系中近似画出函数y=32x 2的图象.[解析] (1)y=12x 2,y=x 2,y=2x 2的图象如图所示.(2)抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系:系数越大,开口越小.(3)平面直角坐标系中近似画出函数y=32x 2的图象如图虚线所示.已知y=(k+2)x k2+k是二次函数.(1)求k的值;(2)画出函数的图象.[解析](1)∵y=(k+2)x k2+k为二次函数,∴{k 2+k=2,k+2≠0,解得k=1.(2)当k=1时,函数的表达式为y=3x2,用描点法画出函数的图象.列表:描点:(-1,3),(-12,34),(0,0),(12,34),(1,3).连线:用光滑的曲线按x从小到大的顺序连接各点,图象如图所示.探究点2二次函数y=ax2的性质典例2已知点(-3,y1),(1,y2),(√2,y3)都在函数y=x2的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是.[解析]方法一:把x=-3,1,√2分别代入y=x2中,得y1=9,y2=1,y3=2,则y1>y3>y2.方法二:如图,作出函数y=x2的图象,把各点依次在函数图象上标出.由图象可知y1>y3>y2.方法三:∵该图象的对称轴为y轴,a>0,∴在对称轴的右边,y随x的增大而增大,而点(-3,y1)关于y轴的对称点为(3,y1).又∵3>√2>1,∴y1>y3>y2.(1)求m的值.(2)当m为何值时,该函数图象的开口向下?(3)当m为何值时,该函数有最小值?(4)试说明函数图象的增减性.[解析] (1)∵函数y=(m+3)x m 2+3m -2是关于x 的二次函数,∴m 2+3m-2=2,m+3≠0,解得m 1=-4,m 2=1.(2)∵函数图象的开口向下,∴m+3<0,∴m<-3,∴当m=-4时,该函数图象的开口向下.(3)∵当m+3>0时,抛物线有最低点,函数有最小值,∴m>-3,∴当m=1时,该函数有最小值.(4)当m=1时,x>0时,y 随x 的增大而增大,x<0时,y 随x 的增大而减小;当m=-4时,x>0时,y 随x 的增大而减小,x<0时,y 随x 的增大而增大.二次函数y=ax 2的最值是图象顶点的纵坐标,当a>0时,函数图象的开口向上,顶点是最低点,三、板书设计二次函数y=ax 2的图象和性质二次函数y=ax 2的图象和性质{ 开口方向顶点坐标:(0,0)对称轴:y 轴最值增减性◇教学反思◇本节课的内容主要是研究二次函数y=ax 2在a 取不同值时的图象,并引出抛物线的有关概念,再根据图象总结抛物线的有关性质.教学过程中,强调学生自主探索和合作交流,在操作中探究二次函数y=ax 2(a>0)的图象与性质,培养学生动手、动脑、探究归纳问题的能力.。
九年级数学上册 21.2.3 二次函数的图象与性质课时练习 (新版)沪科版-(新版)沪科版初中九年级
二次函数y=a(x+h)2的图象和性质一、精心选一选1﹒在平面直角坐标系中，二次函数y＝a(x－h)2（a≠0）的图象可能是（）A. B. C. D.2﹒二次函数y＝3(x－2)2的图象的对称轴是（）A.直线x＝2B.直线x＝－2C.y轴D.x轴3﹒函数y＝a(x－1)2，y＝ax+a的图象在同一坐标系的图象可能是（）A. B. C. D.4﹒与函数y＝2(x－2)2形状相同的抛物线解析式是（）A.y＝x2B.y＝－2x2C.y＝(2x+1)2D.y＝(x－2)25﹒关于二次函数y＝－(x－2)2的图象，下列说法正确的是（）A.该函数图象是中心对称图形B.开口向上C.对称轴是直线x＝－2D.最高点是（2，0）6﹒在下列二次函数中，其图象对称轴为x＝－2的是（）A.y＝(x+2)2B.y＝2x2－2C.y＝－2x2－2D.y＝2(x－2)27﹒将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x+3)2的图象，平移的方法是（）A.向上平移3个单位B.向下平移3个单位C.向左平移3个单位D.向右平移3个单位8﹒二次函数y＝a(x+h)2的图象的位置（）A.只与a有关B.只与h有关C.与a、h都有关D.与a、h都无关9﹒已知抛物线y＝5(x－1)2，下列说法中错误的是（）A.顶点坐标为（1，0）B.对称轴为直线x＝0C.当x＞1时，y随x的增大而增大D.当x＜1时，y随x的增大而增减小y＝a(x+h)2的图象如图所示，下列结论：①a＞0；②h＞0；③y的最小值是0；④x＜0时，y随x的增大而减小.其中正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、细心填一填11.将二次函数y＝x2的图象沿x轴向左平移2个单位，则平移后的抛物线对应的二次函数的表达式为____________________.12.若抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过（－1，4），则a＝______，平移后的抛物线所对应的函数关系式为_______________________.13.抛物线y＝3(x－1)2的图象关于x轴成轴对称的图象的关系式为___________________.14.二次函数y＝－2(x－2)2的图象在对称轴左侧部分是________.（填“上升”或“下降”）15.二次函数y＝－2(x+1)2图象的顶点坐标为___________，函数的最大值为____________.16.抛物线y＝－3(x－5)2的开口方向是___________，对称轴是______________.17.抛物线y＝49(x－3)2与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，则△AOB的面积为_______.18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B.过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，过点A作AD∥y轴，交BC于点D，点P在BC下方的抛物线上（P不与B、C重合），连接PC，PD，则△PCD面积的最大值是___________.三、解答题19.已知二次函数y＝－12(x－2)2.（1）画出函数图角，确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？20.已知：抛物线y＝a(x+h)2的对称轴为直线x＝12，形状、开口方向均与抛物线y＝－3x2相同.（1）试求该抛物线的函数关系式；（2）求出该抛物线与y轴的交点坐标.21.二次函数y＝12(x－h)2的图象如图所示，已知抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，且OA＝OB.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）请直接写出该抛物线关于y轴对称的图象表达式.22.如图，直线y＝－x－2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝a(x+h)2的顶点为A，且经过点B.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）若点C（m，－92）在该抛物线上，求m的值.23.如图，已知抛物线y＝2(x+2)2交y轴于点A，交直线y＝2x+4于点B、C两点，试求△ABC的面积.24.如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，O为坐标原点，边OA在x轴上，OA＝AB＝1个单位长度，，现把△OAB沿x轴的正方向平移1个单位长度后得△AA1B1.（1）求以A为顶点，且经过点B1的抛物线的解析式；（2）若（1）中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点D、C的坐标.二次函数y=a(x+h)2的图象和性质课时练习题参考答案一、精心选一选题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 D B B C D A C B B C1﹒在平面直角坐标系中，二次函数y＝a(x－h)2（a≠0）的图象可能是（）A. B. C. D.解答：抛物线y＝a(x－h)2（a≠0）顶点在x轴上，故D选项符合，故选：D.2﹒二次函数y＝3(x－2)2的图象的对称轴是（）A.直线x＝2B.直线x＝－2C.y轴D.x轴解答：二次函数y＝3(x－2)2的图象的对称轴是直线x＝2，故选：B.3﹒函数y＝a(x－1)2，y＝ax+a的图象在同一坐标系的图象可能是（）A. B. C. D.解答：∵抛物线y＝a(x－1)2的对称轴是x＝1，∴可排除D选项错误；当a＞0时，直线y＝ax+a经一、二、三象限，抛物线y＝a(x－1)2开口向上，故B选项符合要求，故选：B.4﹒与函数y＝2(x－2)2形状相同的抛物线解析式是（）A.y＝x2B.y＝(2x+1)2C.y＝－2x2D.y＝(x－2)2∴它与y＝－2x2的图象形状相同，解答：∵函数y＝2(x－2)2中a＝2，且2＝2故选：C.5﹒关于二次函数y＝－(x－2)2的图象，下列说法正确的是（）A.该函数图象是中心对称图形B.开口向上C.对称轴是直线x＝－2D.最高点是（2，0）解答：A.该函数图象是轴对称图形，故A选项错误；B.抛物线 y＝－(x－2)2的开口向下，故B选项错误；C.对称轴是直线x＝2，故C选项错误；D.抛物线y＝－(x－2)2的最高点是（2，0），故D选项正确，故选：D.6﹒在下列二次函数中，其图象对称轴为x＝－2的是（）A.y＝(x+2)2B.y＝2x2－2C.y＝－2x2－2D.y＝2(x－2)2解答：二次函数y＝(x+2)2的对称轴为x＝－2，故选：A.7﹒将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x+3)2的图象，平移的方法是（）A.向上平移3个单位 B.向下平移3个单位C.向左平移3个单位D.向右平移3个单位解答：二次函数y＝－2x2的图象的顶点坐标为（0，0），二次函数y＝－2(x+3)2的图象的顶点坐标为（－3，0），所以平移的方法是向左平移3个单位，故选：C.8﹒二次函数y＝a(x+h)2的图象的位置（）A.只与a有关B.只与h有关C.与a、h都有关D.与a、h都无关解答：二次函数y＝a(x+h)2中a决定抛物线的开口方向，h决定抛物线的位置，故选：B.9﹒已知抛物线y＝5(x－1)2，下列说法中错误的是（）A.顶点坐标为（1，0）B.对称轴为直线x＝0C.当x＞1时，y随x的增大而增大D.当x＜1时，y随x的增大而增减小解答：抛物线y＝5(x－1)2，其顶点坐标为（1，0），故A选项不合题意；对称轴为直线x＝1，故B 符合题意；当x＞1时，y随x的增大而增大，故C选项不符合题意；当x＜1时，y随x的增大而增减小，故D不符合题意，故选：B.10. 已知二次函数y＝a(x+h)2的图象如图所示，下列结论：①a＞0；②h＞0；③y的最小值是0；④x＜0时，y随x的增大而减小.其中正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个解答：由二次函数图象可知：抛物线开口向上，故①正确；抛物线的对称轴在y轴的左侧，则h＞0，故②正确；抛物线的开口向上，所以顶点是最低点，y有最小值，而顶点在x轴上，所以y的最小值是0，故③正确；x＜0时图象在y轴的左侧，在左侧部分x＜－h时，y随x的增大而减小，－h ＜x＜0时，y随x的增大而增大，故④错误，故3个选项都是正确的，故选：C.二、细心填一填11.y＝(x+2)2； 12. 14，y＝14(x－3)2； 13. y＝－3(x－1)2；14. 上升； 15. （－1，0），0； 16. 向下，直线x＝5；17. 4； 18. 6.y＝x2的图象沿x轴向左平移2个单位，则平移后的抛物线对应的二次函数的表达式为____________________.解答：将二次函数y＝x2的图象沿x轴向左平移2个单位，则平移后的抛物线对应的二次函数的表达式为y＝(x+2)2，故答案为：y＝(x+2)2.y＝ax2向右平移3个单位后经过（－1，4），则a＝______，平移后的抛物线所对应的函数关系式为_______________________.解答：抛物线y＝ax2向右平移3个单位后得到的解析式为y＝a(x－3)2，把（－1，4）代入y＝a(x－3)2得：4＝a(－1－3)2，解得：a＝14，故答案为：14，y＝14(x－3)2.y＝3(x－1)2的图象关于x轴成轴对称的图象的关系式为___________________.解答：抛物线y＝3(x－1)2的图象关于x轴成轴对称的图象的关系式为y＝－3(x－1)2，故答案为：y＝－3(x－1)2.y＝－2(x－2)2的图象在对称轴左侧部分是________.（填“上升”或“下降”）解答：∵a＝－2，∴抛物线开口向下，故在对称轴的左侧部分是上升的，故答案为：上升.y＝－2(x+1)2图象的顶点坐标为___________，函数的最大值为____________.解答：二次函数y＝－2(x+1)2图象的顶点坐标为（－1，0），函数的最大值为0，故答案为：（－1，0），0.y＝－3(x－5)2的开口方向是___________，对称轴是______________.解答：抛物线y＝－3(x－5)2的开口方向是向下，对称轴是直线x＝5，故答案为：向下，直线x＝5.y＝49(x－3)2与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，则△AOB的面积为_______.解答：∵当y＝0时，即49(x－3)2＝0，∴x＝3，∴A（3，0），∵当x＝0时，y＝4，∴B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∴S△AOB＝12×3×4＝6，故答案为：6.18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B.过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，过点A 作AD∥y轴，交BC于点D，点P在BC下方的抛物线上（P不与B、C重合），连接PC，PD，则△PCD面积的最大值是___________.解答：∵抛物线y＝(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A（2，0），B（0，4），∵抛物线y＝(x－2)2的对称轴为x＝2，BC∥x轴，AD∥y轴，∴直线AD就是抛物线y＝(x－2)2的对称轴，∴B、C关于直线BD对称，∴BD＝DC＝2，∵顶点A到直线BC的距离最大，∴点P与A重合时，△PCD面积最大，最大值为：12DC×AD＝12×2×4＝4，故答案为：4.三、解答题y＝－12(x－2)2.（1）画出函数图角，确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？解答：（1）二次函数y＝－12(x－2)2的图象为：抛物线的开口向下、顶点坐标为（2，0），对称轴为直线x＝2；（2）当x＜2时，y随x的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小.20.已知：抛物线y＝a(x+h)2的对称轴为直线x＝12，形状、开口方向均与抛物线y＝－3x2相同.（1）试求该抛物线的函数关系式；（2）求出该抛物线与y轴的交点坐标.解答：（1）∵抛物线y＝a(x+h)2的对称轴为直线x＝12，∴h＝－12，则y＝a(x－12)2，又∵抛物线y＝a(x－12)2的形状、开口方向均与抛物线y＝－3x2相同，∴a＝－3，∴该抛物线的函数关系式为：y＝－3(x－12 )；（2）∵当x＝0时，y＝－3(x－12)＝－3×(－12)＝32，∴该抛物线与y轴的交点坐标为（0，32）.y＝12(x－h)2的图象如图所示，已知抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，且OA＝OB.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）请直接写出该抛物线关于y轴对称的图象表达式.解答：（1）∵点A为抛物线y＝12(x－h)2的顶点，∴A（h，0），∴OA＝h，∵OA＝OB，且点B在y轴的正半轴上，∴OB＝h，∴B（0，h），把B（0，h）代入y＝12(x－h)2得：h＝12(0－h)2，解得：h1＝0（不合题意，舍去），h2＝2，∴该抛物线的函数关系式y＝12(x－2)2，（2）由（1）知：OA＝2，∴将该抛物线向左平移4个单位即可得到它的关于y轴对称的图象，∴平移后的抛物线的解析式为：y＝12(x+2)2，故该抛物线关于y轴对称的图象表达式为y＝12(x+2)2.22.如图，直线y＝－x－2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝a(x+h)2的顶点为A，且经过点B.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）若点C（m，－92）在该抛物线上，求m的值.解答：（1）∵直线y＝－x－2交x轴于点A，交y轴于点B，∴A（－2，0），B（0，－2），∵抛物线y＝a(x+h)2的顶点为A，∴h＝2，则y＝a(x+2)2，∵该抛物线经过点B（0，－2），∴a(0+2)2＝－2，解得：a＝－12，∴该抛物线的函数关系式为：y＝－12(x+2)2，（2）∵点C（m，－92）在该抛物线y＝－12(x+2)2上，∴－12(m+2)2＝－92，解得：m1＝1，m2＝－5，即m的值为1或－5.23.如图，已知抛物线y＝2(x+2)2交y轴于点A，交直线y＝2x+4于点B、C两点，试求△ABC的面积.解答：∵当x＝0时，y＝2(x+2)2＝8，∴A（0，8），由22(2)24y xy x⎧=+⎨=+⎩，得：112xy=-⎧⎨=⎩，2212xy=-⎧⎨=⎩，∴B（－2，0），C（－1，2），设直线BC的解析式为y＝kx+b，交y轴于点D，∴202k bk b-+=⎧⎨-+=⎩，解得：24kb=⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y＝2x+4，当x＝0时，y＝4，∴D（0，4），∴AD＝8－4＝4，∴S△ABC＝S△ABD－S△ACD＝12×4×2－12×4×1＝2.24.如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，O为坐标原点，边OA在x轴上，OA＝AB＝1个单位长度，，现把△OAB沿x轴的正方向平移1个单位长度后得△AA1B1.（1）求以A为顶点，且经过点B1的抛物线的解析式；（2）若（1）中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点D、C的坐标.解答：（1）∵OA＝AB＝1，∠OAB＝90°，∴A（1，0），B（1，1），由平称性质得：A1（2，0），B1（2，1），∵抛物线的顶点A（1，0），∴可设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2，把B1（2，1）代入y＝a(x－1)2得：a＝1，∴以A为顶点，且经过点B1的抛物线的解析式为y＝(x－1)2；（2）设直线OB的解析式为y＝kx，把B（1，1）代入得：k＝1，∴直线OB 的解析式为y ＝x ，由2(1)y x y x =⎧⎨=-⎩，得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故点C的坐标为（32-，32-），对于y ＝(x －1)2，当x ＝0时，y ＝1， ∴D （0，1）故C（32，32-），D （0，1）.。
沪科版数学九年级上册21.2.2《二次函数y=a2+b+c的图象和性质》(第5课时)教学设计
沪科版数学九年级上册21.2.2《二次函数y＝a2＋b＋c的图象和性质》（第5课时）教学设计一. 教材分析《二次函数y=a2+b+c的图象和性质》是沪教版数学九年级上册第21章第2节的内容。
这部分内容是在学生已经掌握了二次函数的一般形式y=ax^2+bx+c的基础上，进一步探讨二次函数的图象和性质。
本节课的内容对于学生来说较为抽象，需要通过大量的实例和练习来理解和掌握。
教材中提供了丰富的例题和练习题，以及一些探究活动，帮助学生逐步深入理解二次函数的图象和性质。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的一般形式已经有了一定的了解。
但是，对于二次函数的图象和性质，学生可能还存在一些困惑和疑问。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、分析和推理来理解和掌握二次函数的图象和性质。
同时，学生对于数学的兴趣和积极性也需要教师的激发和引导。
三. 教学目标1.让学生理解二次函数的图象和性质，能够运用二次函数的性质解决一些实际问题。
2.培养学生的观察能力、分析能力和推理能力。
3.激发学生对数学的兴趣和积极性，培养学生的合作意识和探究精神。
四. 教学重难点1.二次函数的图象和性质的理解和运用。
2.二次函数的图象和性质的推导和证明。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、分析和推理来理解和掌握二次函数的图象和性质。
2.运用多媒体教学手段，展示二次函数的图象和性质的实例，帮助学生直观地理解和掌握。
3.学生进行小组讨论和探究活动，培养学生的合作意识和探究精神。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.相关的教学PPT或投影片。
3.练习题和测试题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出二次函数的图象和性质的概念。
2.呈现（10分钟）利用多媒体展示一些二次函数的图象和性质的实例，让学生直观地感受和理解二次函数的图象和性质。
3.操练（10分钟）让学生通过观察和分析，找出二次函数的图象和性质的特点，并进行推理和证明。
新沪科版九年级上册初中数学 21-2-3二次函数表达式的确定 教学课件
D
A.y=x2+2
B.y=(x-2)2+2
C.y=(x-2)2-2 D.y=(x+2)2-2
2. 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过(1,2)
和(-1,-6)两点，则a+c= -．2 3.已知二次函数的图象经过点(4,-3),并且当x=3时有最大值4,则其表达式
为 y=-7(x-3)2+4. .
(2)令y＝0，通过解该பைடு நூலகம்程来求二次函数的图象与x轴
的交点坐标．
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新课讲解
解：(1)∵二次函数的图象的顶点坐标为(1，－4)，
∴设其表达式为y＝a(x－1)2－4.
∵二次函数的图象经过点(0，－2)，
∴－2＝a－4，∴a＝2. ∴二次函数的表达式为y＝2(x－1)2－4. (2)令y＝0，则2(x－1)2－4＝0，
个三元一次方程组；
第三步：解方程组即可求出a，b，c的值；
第四步：写出函数解析式.
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新课讲解
例1 如果一个二次函数的图象经过(－1，10)，(1，4)， (2，7)三点，
试求这个二次函数的解析式.
解：设所求二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c.
由函数图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7)
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当堂小练 4.已知函数图象过已知三点，求出函数的解析式： (1) (1, 1),(0, 2),(1,1); (2) (1, 0),(3, 0),(1, 5). 解：（1）选用一般式求表达式：
（2）选用交点式求表达式：
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拓展与延伸
1.已知抛物线顶点(1,16)，且抛物线与x轴的两交点间的距离为8，求其表
2021-2022学年沪科版九年级数学第一学期期末复习综合练习题1(附答案)
2021-2022学年沪科版九年级数学第一学期期末复习综合练习题1（附答案）1．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列函数中，y随x的增大而减小的是（）A．B．C．D．3．下列命题①垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；②在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等；③在同圆或等圆中如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等；④圆内接四边形的对角互补．其中正确的命题共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个4．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝2，那么tan B的值等于（）A．B．C．D．5．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+1（k≠0）和y＝（k≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．6．如图，已知∠1＝∠2，添加下列条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（）A．＝B．∠B＝∠D C．∠C＝∠AED D．＝7．用min{a，b}表示a，b两数中的最小数，若函数y＝min{x2+1，1﹣x2}，则y的图象为（）A．B．C．D．8．如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y＝在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E．若AB＝4，CE＝2BE，tan∠AOD＝，则k的值为（）A．3B．2C．6D．129．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＜0；②a+b+c＜0；③2a﹣b＝0；④4ac﹣b2＞0；⑤若P（﹣5，y1），Q（m，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，则实数m的取值范围是﹣5＜m＜3．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．410．如图，Rt△ABC中，AB＝BC，点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD，CA于点E，F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，下列结论正确的是（）A．EF＝GF B．∠ADF＝∠CDB C．AF＝AB D．S△ABC＝5S△BDF11．若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是2，则m+n＝．12．如图，圆锥的表面展开图由一扇形和一个圆组成，已知圆的面积为100π，扇形的圆心角为120°，这个扇形的面积为．13．点A，B，C，D都在⊙O上，，D为⊙O上的一点，∠ABC＝∠ODC＝67.5°，CO的延长线交AB于点P，若CD＝2，则BP＝．14．已知抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，已知A（﹣1，0），B （1，1），则a的取值范围是．15．计算：|﹣|+﹣（﹣2）﹣2﹣（3.14﹣π）0﹣4cos30°+|2﹣|．16．先化简，后求值：，其中17．如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C．（1）画出△A1B1C；（2）求在旋转过程中，CA所扫过的面积．18．如图，一次函数y＝x+1与反比例函数y＝的图象相交于点A（2，3）和点B．（1）求反比例函数的解析式；（2）过点B作BC⊥x轴于C，求S△ABC；（3）是否在y轴上存在一点D，使得BD+CD的值最小，并求出D坐标．19．中国“蛟龙”号深潜器目前最大深潜极限为7062.68米．某天该深潜器在海面下1800米处作业（如图），测得正前方海底沉船C的俯角为45°，该深潜器在同一深度向正前方直线航行2000米到B点，此时测得海底沉船C的俯角为60°．请判断沉船C是否在“蛟龙”号深潜极限范围内？并说明理由；（精确到0.01）（参考数据：≈1.414，≈1.732）20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BE．（1）求证：DB＝DE；（2）若过C点的切线与BD的延长线交于点F，已知DE＝，求弧DC、线段DF、CF围成的阴影部分面积．21．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD、AC分别相交于点F、G，AF2＝FG⋅FE．（1）求证：△CAD∽△CBG；（2）联结DG，求证：DG•AE＝AB•AG．22．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且每件的利润率不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y＝﹣x+120．（1）若该服装获得利润为w（元），试写出利润w与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少时，商场可获得利润最大，最大利润是多少元？（2）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的取值范围．23．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝3．（1）求证：∠A＝120°．（2）在（1）的基础上，请画一个三边长均为整数，且一个角的度数也是整数的非直角三角形．（3）以BC为边向下侧作一个等边△BCD，连接AD，那么AD的长是多少？参考答案1．解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；B、是轴对称图形，也是中心对称图形；C、是轴对称图形，不是中心对称图形；D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故选：B．2．解：A、函数y＝x的图象是y随着x增大而增大，故本选项错误；B、函数中的k＜0，y随着x增大而减小，故本选项正确；C、D两个答案考虑其增减性时，需要考虑自变量的取值范围，故C、D错误．故选：B．3．解：①垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，本小题说法是真命题；②在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，本小题说法是真命题；③在同圆或等圆中如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，本小题说法是真命题；④圆内接四边形的对角互补，本小题说法是真命题；故选：A．4．解：如图，由勾股定理得，AC＝＝＝，∴tan B＝＝，故选：C．5．解：①当k＞0时，y＝kx+1过一、二、三象限；y＝过一、三象限；②当k＜0时，y＝kx+1过一、二、四象象限；y＝过二、四象限．观察图形可知，只有C选项符合题意．故选：C．6．解：∵∠1＝∠2，∴∠DAE＝∠BAC，若，∠DAE＝∠BAC，∴△ABC∽△ADE，故A不符合题意；若∠DAE＝∠BAC，∠B＝∠D，∴△ABC∽△ADE，故B不符合题意；若∠C＝∠AED，∠DAE＝∠BAC，∴△ABC∽△ADE，故C不符合题意；∵，∠DAE＝∠BAC，∴无法判断△ABC与△ADE相似，故D符合题意；故选：D．7．解：根据题意，min{x2+1，1﹣x2}表示x2+1与1﹣x2中的最小数，不论x取何值，都有x2+1≥1﹣x2，所以y＝1﹣x2；可知，当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝±1；则函数图象与x轴的交点坐标为（1，0），（﹣1，0）；与y轴的交点坐标为（0，1）．故选：C．8．解：∵tan∠AOD＝＝，∴设AD＝3a、OA＝4a，则BC＝AD＝3a，点D坐标为（4a，3a），∵CE＝2BE，∴BE＝BC＝a，∵AB＝4，∴点E（4+4a，a），∵反比例函数y＝经过点D、E，∴k＝12a2＝（4+4a）a，解得：a＝或a＝0（舍），则k＝12×＝3，9．解：①观察图象可知：a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，∴①正确；②∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣1，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0）关于直线x＝﹣1的对称点（1，0），故当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，∴②错误；③对称轴x＝﹣1，即﹣＝﹣1得b＝2a，∴2a﹣b＝0，∴③正确；④因为抛物线与x轴有两个交点，所以Δ＞0，即b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0．∴④错误；⑤∵（﹣5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标是（3，y1），∴当y1＞y2时，﹣5＜m＜3．∴⑤正确．故选：C．10．解：如图，∵BG⊥CD，∴∠BED＝∠ABC＝90°，∴∠1+∠3＝90°，∠1+∠4＝90°，∴∠3＝∠4．在△ABG与△BCD中，，∴△ABG≌△BCD（ASA），又BD＝AD，∴AG＝AD；在△AFG与△AFD中，，∴△AFG≌△AFD（SAS），∴FG＝FD，∠5＝∠2，在Rt△DEF中，DF＞FE∴GF＞FE，∴EF≠FG，故A选项错误；又∠5+∠3＝∠1+∠3＝90°，∴∠5＝∠1，∴∠1＝∠2，即∠ADF＝∠CDB．故B选项正确；∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝AB，∵△AFG≌△AFD，∴AG＝AD＝AB＝BC，∵△AFG∽△BFC，∴＝，∴FC＝2AF，∴AF＝AC＝AB，故C选项错误；∵AF＝AC，所以S△ABF＝S△ABC；又D为中点，∴S△BDF＝S△ABF，∴S△BDF＝S△ABC，即S△ABC＝6S△BDF．故D选项错误．故选：B．11．解：∵2（n≠0）是关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0的一个根，∴4+2m+2n＝0，∴n+m＝﹣2，故答案为：﹣2．12．解：∵底面圆的面积为100π，∴底面圆的半径为10，∴扇形的弧长等于圆的周长为20π，设扇形的母线长为r，则＝20π，解得：母线长为30，∴扇形的面积为πrl＝π×10×30＝300π，故答案为：300π．13．解：连接AC、OB，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC＝67.5°，∴∠DOC＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，∵，∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°，∴∠A＝45°，∴∠BOC＝90°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴OC＝BC，∵∠BCP＝∠COD＝45°，∠PBC＝∠OCD＝67.5°，∴△CPB∽△ODC，∴，∴，∴PB＝2，故答案为：2．14．解：由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为y＝x+，∵抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，∴令x+＝ax2﹣x+1，则2ax2﹣3x+1＝0，∴△＝9﹣8a＞0，∴a＜；①当a＜0时，此时函数的对称轴在y轴左侧，当抛物线过点A时，为两个函数有两个交点的临界点，将点A的坐标代入抛物线表达式得：a+1+1＝0，解得a＝﹣2，故a≤﹣2；②当a＞0时，此时函数的对称轴在y轴右侧，当抛物线过点B时，为两个函数有两个交点的临界点，将点B的坐标代入抛物线表达式得：a﹣1+1＝1，解得a＝1，即：a≥1∴1≤a＜综上所述：1≤a＜或a≤﹣2．故答案为1≤a＜或a≤﹣2．15．解：原式＝+3﹣﹣1﹣4×+2﹣2＝＝．16．解：＝＝＝，当a＝﹣2+时，原式＝．17．解：（1）则△A1B1C为所求作的图形．（2）∵AC＝，∠ACA1＝90°，∴在旋转过程中，CA所扫过的面积为：S扇形CAA1＝．18．解：（1）∵反比例函数过点A（2，3），∴k＝2×3＝6，∴反比例函数的关系式为；（2）方程组的解为，，又∵A（2，3），∴点B（﹣3，﹣2），又∵BC⊥x轴，∴点C（﹣3，0），BC＝2，∴S△ABC＝×2×（2+3）＝5；（3）存在，理由为：作C关于y轴的对称点C'，连接BC'交y轴于点D，连接CD，此时DB+CD最小，∵C（﹣3，0），∴C'（3，0），设直线BC'的关系式为y＝mx+n，将B（﹣3，﹣2），C'（3，0）代入得，，解得m＝，n＝﹣1，∴一次函数的关系式为y＝x﹣1，当x＝0时，y＝﹣1，∴点D（0，﹣1）．19．解：（1）过点C作CD垂直AB延长线于点D，设CD＝x米，在Rt△ACD中，∵∠DAC＝45°，∴AD＝x，在Rt△BCD中，∵∠CBD＝60°，∴BD＝x，∴AB＝AD﹣BD＝x﹣x＝2000，解得：x≈4732.05，∴船C距离海平面为4732.05+1800＝6532.05米＜7062.68米，∴沉船C在“蛟龙”号深潜极限范围内．20．（1）证明：∵E是△ABC的内心．∴∠BAE＝∠CAE，∠EBA＝∠EBC，∵∠BED＝∠BAE+∠EBA，∠DBE＝∠EBC+∠DBC，∠DBC＝∠EAC，∴∠DBE＝∠DEB，∴DB＝DE．（2）解：连接CD、OD．∵∠BAD＝∠DAC，∴＝，∴BD＝CD，∵BC是直径，∴∠BDC＝90°，∴∠DBC＝∠DCB＝45°，∵FC是切线，∴∠BCF＝90°，∴∠DCF＝45°，∴△CDF是等腰直角三角形，∵DE＝DB＝3，∴OD＝OC＝3，DF＝CD＝BD＝3，∴S阴＝S△CDF﹣（S扇形OCD﹣S△OCD）＝×3×3﹣（﹣×3×3）＝﹣．21．证明：（1）∵AF2＝FG⋅FE．∴，且∠AFG＝∠EF A，∴△F AG∽△FEA，∴∠F AG＝∠E，∵AE∥BC，∴∠E＝∠EBC，∴∠EBC＝∠F AG，且∠ACD＝∠BCG，∴△CAD∽△CBG；（2）∵△CAD∽△CBG，∴，且∠DCG＝∠ACB，∴△CDG∽△CAB，∴，∵AE∥BC，∴∴，∴，∴DG•AE＝AB•AG．22．解：（1）由题意得：w＝（﹣x+120）（x﹣60）＝﹣x2+180x﹣7200＝﹣（x﹣90）2+900，∵二次项系数为负，抛物线开口向下，∴当x≤90时，w随x的增大而增大，∵销售单价不低于成本单价，且每件的利润率不得高于45%，∴60≤x≤45%×60+60，即60≤x≤87，∴当x＝87时，商场可获得最大利润，此时，w＝﹣（87﹣90）2+900＝891（元）．∴利润w与销售单价x之间的关系式为w＝﹣x2+180x﹣7200；销售单价定为87元时，商场可获得利润最大，最大利润是891元．（2）当w＝500时，则有：500＝﹣x2+180x﹣7200，整理得：x2﹣180x+7700＝0，解得：x1＝70，x2＝110，∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝90，∴若该商场获得利润不低于500元，则有70≤x≤110，又∵60≤x≤87，∴销售单价x的取值范围为：70≤x≤87．23．（1）证明：如图，延长BA，过点C作CE⊥BA延长线于点E，设AE＝x，在Rt△BCE中，CE2＝BC2﹣BE2，在Rt△ACE中，CE2＝AC2﹣AE2，∴BC2﹣BE2＝AC2﹣AE2，∴72﹣（5+x）2＝32﹣x2，∴，在Rt△ACE中，AC＝2AE，∴∠ACE＝30°，∴∠EAC＝60°，即∠BAC＝120°；（2）解：如图，以点C为圆心，AC长为半径画弧交BE的延长线于点F，连接CF，则AC＝CF，∵∠EAC＝60°，∴△ACF为等边三角形，∴AF＝CF＝AC＝3，BF＝5+3＝8，又BC＝7，∴△BCF为三边长均为整数，且一个角的度数也是整数的非直角三角形．故△BCF即为所求；（3）解：以BC为边向下作一个等边△BCD，如图所示，由（1）可知：∠BAC＝120°且∠BDC＝60°，∴∠BAC+∠BDC＝180°，∴A、B、D、C四点共圆．∵△BCD是等边三角形，∴BC＝BD＝CD，∴∠1＝∠BCD＝60°，在AD上截取AH＝AC，连接CH，∴△ACH为等边三角形，∴AC＝AH＝HC，∠ACH＝∠BCD，即∠ACH﹣∠BCH＝∠BCD﹣∠BCH，∴∠3＝∠2，∴△ABC≌△CHD（SAS），∴AB＝HD，即AD＝AH+AD＝AC+AB＝8．。
沪科版九年级数学上册课时练习题.docx
九年级上学期数学课时练习题22.2 相似三角形的判定一、精心选一选1﹒下列说法中，不正确的是（）A.直角边长分别是6、4和4.5、3的两个直角三角形相似B.底角为40°的两个等腰三角形相似C.一个锐角为30°的两个直角三角形相似D.有个角为30°的两个等腰三角形相似2﹒如图，点P是平行四边形ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（）A.0对B.1对C.2对D.3对第2题图第3题图第5题图第6题图3﹒如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE不行于BC，则下列条件中不能判断△ABC∽△ADE的是（）A.∠AED＝∠BB.∠ADE＝∠CC.ADAB＝AEACD.ADAE＝ACAB4﹒如图，在下列4×4的正方形（每个小正方形的边长都为1）网格中均有一个三角形，能相似的两个三角形是（）①②③④A.①和②B.②和③C.①和③D.②和④5﹒如图，在△ABC中，DE∥BC，ADDB＝12，DE＝4，则BC的长为（）A.12B.11C.10D.86﹒如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，则EF FC等于（）A.13B.12C.23D.327﹒如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于点E，交BD于点F，DE：EA＝3：4，EF＝3，则CD 的长为（）A.4B.7C.3D.12第7题图第8题图第9题图第10题图8﹒如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，过点C作CE∥AB，P是梯形ABCD内一点，连接BP并延长交CD于点F，交CE于点E，再连接PC.已知BP＝PC，则下列结论错误的是（）A.∠1＝∠2B.∠2＝∠EC.△PFC∽△PCED.△EFC∽△ECB9﹒如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是AB、AC的中点，点G、F在BC边上，四边形DEFG 是正方形.若DE＝2cm，则AC的长为（）A.33cmB.4cmC.23cmD.25cm10.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，点E为AB的中点，给出下列结论：①CE∥AD；②AC2＝AB AD；③△CDF∽△BCE；④AC：AF＝DE：DF，其中正确的有（）A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④二、细心填一填11.如图，有下列条件：①∠B＝∠C；②∠ADB＝∠AEC；③AD AEAC AB=；④AD AEAB AC=；⑤PE BPPD PC=，其中一个条件就能使△BPE∽△CPD的条件有___________个，它们分别是__________________.（只填写序号）第11题图第12题图第13题图12.如图，在边长为1的正方形网格中有点P、A、B、C，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是______________________.13.如图，已知△ABC中，AB＝5，AC＝3，点D在边AB上，且∠ACD＝∠B，则线段AD的长为__________.14. 如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE＝3，DE＝5，BE＝4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于________.第14题图第15题图第16题图15.如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则AO等于__________.16.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，沿直线MN对折，使A，C重合，直线MN交AC于点O，则线段OM＝________.三、解答题17.已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上的一个动点（不与B，C重合），∠ADE＝45°.求证：△ABD∽△DCE.18.在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连接AE.（1）若AB＝AE，求证：∠DAE＝∠D；（2）若点E为BC的中点，连接BD，交AE于F，求EF：F A的值.19.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，F为CA延长线上一点，∠F＝∠C.（1）若BC＝8，求FD的长；（2）若AB＝AC，求证：△ADE∽△DFE.20.如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B.（1）求证：AC CD＝CP BP；（2）若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长.21.已知：如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC、CD于点M、F，BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H.（1）求证：△ABE∽△ECF；（3）若E是BC的中点，BC＝2AB，AB＝2，求EM的长.22.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.（1）求证：△ABM∽△EF A；（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长.23.如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿AB向点B以2cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC向点C以4cm/s的速度运动.如果P、Q分别从A、B同时出发，4秒后停止运动，则在开始运动后第几秒，△BPQ与△BAC相似？22.2《相似三角形的判定》课时练习题参考答案一、精心选一选题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DDCBAABDDC1﹒下列说法中，不正确的是（ ）A .直角边长分别是6、4和4.5、3的两个直角三角形相似B .底角为40°的两个等腰三角形相似C .一个锐角为30°的两个直角三角形相似D .有个角为30°的两个等腰三角形相似解答：A .直角边长分别是6、4和4.5、3的两个直角三角形相似，因为两边对应成比例，且夹角相等，所以这两个直角三角形相似，故A 正确； B .底角为40°的两个等腰三角形相似，因为有两角对应相等，所以这两个等腰三角形相似，故B 正确； C .一个锐角为30°的两个直角三角形相似，因为有两角对应相等，所以这两个等腰三角形相似，故C 正确； D .有个角为30°的两个等腰三角形相似，因为可能一个角为顶点，另一个为底角，所以这两个等腰三角形不相似，故D 错误， 故选：D .2﹒如图，点P 是平行四边形ABCD 边AB 上的一点，射线CP 交DA 的延长线于点E ，则图中相似的三角形有（ ）A .0对B .1对C .2对D .3对 解答：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，AD ∥BC ，∴△EAP ∽△EDC ，△EAP ∽△CPB ， ∴△EDC ∽△CBP ， 故有3对相似三角形． 故选：D ．3﹒如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且DE 不行于BC ，则下列条件中不能判断△ABC ∽△ADE 的是（ ） A .∠AED ＝∠B B .∠ADE ＝∠C C .AD AB ＝AE AC D .AD AE ＝ACAB解答：∵∠DAE ＝∠CAB ，∴当∠AED ＝∠B 或∠ADE ＝∠C 时，△ABC ∽△ADE ， 当AD AE ＝ACAB时，△ABC ∽△ADE ， 故选：C .4﹒如图，在下列4×4的正方形（每个小正方形的边长都为1）网格中均有一个三角形，能相似的两个三角形是（ ）① ② ③ ④A .①与②B .①与③C .②与③D .②与④ 解答：由勾股定理可求出图①中三角形的各边长分别为2，2，10， 图③中三角形的各边长分别为22，2，25，∵222＝22＝1025， ∴图①中三角形与图③中三角形相似，故选：B .5﹒如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD DB ＝12，DE ＝4，则BC 的长为（ ） A .12 B .11 C .10 D .8解答：∵AD DB ＝12，AD +DB ＝AB ，∴AD AB ＝13， ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴DE BC ＝AD AB ，即4BC ＝13， 解得：BC ＝12. 故选：A .6﹒在平行四边形ABCD 中，点E 是边AD 上一点，且AE ＝2ED ，EC 交对角线BD 于点F ，则EFFC等于（ ） A .13 B .12 C .23 D .32解答：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ED ∥BC ，BC ＝AD ， ∴△DEF ∽△BCF ， ∴EF DECF CB =， 设ED ＝k ，则AE ＝2k ，BC ＝3k ， ∴133EF k CF k ==， 故选：A .7﹒如图，在平行四边形ABCD 中，EF ∥AB 交AD 于点E ，交BD 于点F ，DE ：EA ＝3：4，EF ＝3，则CD 的长为（ ）A .4B .7C .3D .12 解答：∵DE ：EA ＝3：4， ∴DE ：DA ＝3：7，∵EF ∥AB ， ∴DE EFDA AB=，∴337AB=， 解得：AB ＝7，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴CD ＝AB ＝7， 故选：B .8﹒如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，过点C 作CE ∥AB ，P 是梯形ABCD 内一点，连接BP 并延长交CD 于点F ，交CE 于点E ，再连接PC .已知BP ＝PC ，则下列结论错误的是（ ） A .∠1＝∠2 B .∠2＝∠E C .△PFC ∽△PCE D .△EFC ∽△ECB 解答：∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴∠ABC ＝∠DCB ， ∵PB ＝PC ，∴∠PBC ＝∠PCB ，∴∠ABC －∠PBC ＝∠DCB －∠PCB ， ∴∠1＝∠2，故A 正确， ∵CE ∥AB ， ∴∠1＝∠E ，∴∠2＝∠E ，故B 正确； ∵∠CPF ＝∠EPC ，∴△PFC ∽△PCE ，故C 正确；由已知条件不能证明△EFC ∽△ECB ， 故选：D .9﹒如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，点G 、F 在BC 边上，四边形DEFG 是正方形.若DE ＝2cm ，则AC 的长为（ ） A .33cm B .4cm C .23cm D .25cm 解答：∵E 是AAC 的中点，∴12AE AC =， ∵四边形DEFG 是正方形，∴DE ∥BC ，∴DE AE BC AC =，∴212BC =，∴BC ＝4cm ，∵AB ＝AC ，且四边形DEFG 是正方形， ∴FC ＝12(4－2)＝1cm ， 由勾股定理得：EC ＝22EF FC +＝5cm ， ∴AC ＝2EC ＝25cm ，故选D .10.如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC ＝∠ACB ＝90°，点E 为AB 的中点，给出下列结论：①CE ∥AD ；②AC 2＝AB AD ；③△CDF ∽△BCE ；④AC ：AF ＝DE ：DF ，其中正确的有（ ） A .①② B .①②③ C .①②④ D .①②③④ 解答：∵∠ACB ＝90°，点E 为AB 的中点，∴AE ＝CE ＝BE ，∵∠DAC ＝∠BAC ， ∴∠ACE ＝∠DAC ， ∴CE ∥AD ，故①正确； ∵∠ADC ＝∠ACB ＝90°，∠DAC ＝∠BAC ， ∴△ADC ∽△ACB ， ∴AC ADAB AC=，即AC 2＝AB AD ，故②正确； ∵CE ∥AD ，∴FC EF AF DF =，∴FC AF EF DFAF DF ++=， ∴AC DE AF DF=，故④正确， ∵△CDF 与△BCE 不具备相似的条件，∴③不正确， 故选：C .二、细心填一填11. 4，①②④⑤； 12. △APB ∽△CP A ； 13. 95； 14. 154； 15. 12； 16. 154；11.如图，有下列条件：①∠B ＝∠C ；②∠ADB ＝∠AEC ；③AD AE AC AB =；④AD AEAB AC=； ⑤PE BP PD PC=，其中一个条件就能使△BPE ∽△CPD 的条件有___________个，它们分别是__________________.（只填写序号） 解答：使△BPE ∽△CPD 的条件有4个，∵∠CPD ＝∠BPE ，∠B ＝∠C ，∴△BPE ∽△CPD ，故①符合； ∵∠ADB ＝∠AEC ，∴∠CDP ＝∠BEP ，∵∠CPD ＝∠BPE ，∴△BPE ∽△CPD ，故②符合 ∵∠A ＝∠A ，AD AEAB AC=， ∴△ACE ∽△ABD ，∴∠ADB ＝∠AEC ，∴∠CDP ＝∠BEP ，∵∠CPD ＝∠BPE ，∴△BPE ∽△CPD ，故④符合； ∵∠CPD ＝∠BPE ，PE BPPD PC=， ∴△BPE ∽△CPD ，故⑤符合， 故答案为：4，①②④⑤.12.如图，在边长为1的正方形网格中有点P 、A 、B 、C ，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是______________________. 解答：∵AP ＝5，PB ＝1，PC ＝5，∴55AP PC =，1555PB AP ==， ∵∠APB ＝∠CP A ，故答案为：△APB ∽△CP A . 13.如图，已知△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，点D 在边AB 上，且∠ACD ＝∠B ，则线段AD 的长为__________.解答：∵∠A ＝∠A ，∠ACD ＝∠B ， ∴△ABC ∽△ACD ， ∴AB ACAC AD=， ∵AB ＝5，AC ＝3，∴533AD=，∴AD ＝95， 故答案为：95．14. 如图，点D 为△ABC 外一点，AD 与BC 边的交点为E ，AE ＝3，DE ＝5，BE ＝4，要使△BDE ∽△ACE ，且点B ，D 的对应点为A ，C ，那么线段CE 的长应等于________. 解答：∵∠AEC ＝∠BED ，∴当BE DEAE CE =时，△BDE ∽△ACE ， 即453CE=， ∴CE ＝154，故答案为：154．15.如图，正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF ⊥DE 于点O ，则AODO等于__________. 解答：∵∠ADO ＝∠ADO ，∠DOA ＝∠DAE ＝90°，∴△AOD ∽△EAD ，∴12AO AE DO AD ==， 故答案为：12.16.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，沿直线MN 对折，使A ，C 重合，直线MN 交AC 于点O ，则线段OM ＝________.解答：在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝10，∴OC ＝5，∵A 与C 关于直线MN 对称， ∴AC ⊥MN ，∴∠COM ＝90°， ∵在矩形ABCD 中，∠B ＝90°， ∴∠COM ＝∠B ＝90°， 又∵∠MCO ＝∠ACB ， ∴△COM ∽△CBA ，∴OC OMBC AB=， ∴OM ＝154，故答案为：15.三、解答题17.已知：如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 是BC 边上的一个动点（不与B ，C 重合），∠ADE ＝45°.求证：△ABD ∽△DCE . 解答：∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ＝45°，∴∠1+∠2＝180°－∠B ＝135°， ∵∠2+∠ADE +∠3＝180°，∠ADE ＝45°， ∴∠2+∠3＝180°－∠ADE ＝135°， ∴∠1＝∠3，∴△ABD ∽△DCE .18.在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上的一点，连接AE . （1）若AB ＝AE ，求证：∠DAE ＝∠D ；（2）若点E 为BC 的中点，连接BD ，交AE 于F ，求EF ：F A 的值. 解答：（1）在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ， ∴∠AEB ＝∠DAE ，∵AE ＝AB ， ∴∠B ＝∠AEB ， ∴∠B ＝∠DAE ， ∵∠B ＝∠D ， ∴∠DAE ＝∠D ；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴△BEF ∽△AFD ， ∴EF BEFA AD=， ∵E 为BC 的中点， ∴BE ＝12BC ＝12AD ，即12BE AD =， ∴EF ：F A ＝1：2．19.如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，F 为CA 延长线上一点， ∠F ＝∠C .（1）若BC ＝8，求FD 的长；（2）若AB ＝AC ，求证：△ADE ∽△DFE . 解答：（1）∵D 、E 分别是边AB 、AC 的中点， ∴DE ＝12BC ＝4，DE ∥BC ． ∴∠AED ＝∠C ． ∵∠F ＝∠C ， ∴∠AED ＝∠F ， ∴FD ＝DE ＝4；（2）∵AB ＝AC ，DE ∥BC ． ∴∠B ＝∠C ＝∠AED ＝∠ADE ， ∵∠AED ＝∠F ， ∴∠ADE ＝∠F ，又∵∠AED ＝∠AED ，20.如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B.（1）求证：AC CD＝CP BP；（2）若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长.解答：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C，∵∠APC＝∠BAP+∠B，∠APC＝∠APD+∠DPC，∴∠BAP＝∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴BP AB CD CP=，∴AB CD＝CP BP，∵AB＝AC，∴AC CD＝CP BP；（2）∵PD∥AB，∴∠APD＝∠BAP．∵∠APD＝∠C，∴∠BAP＝∠C．∵∠B＝∠B，∴△BAP∽△BCA，∴BA BP BC BA=．∵AB＝10，BC＝12，∴101210BP=，∴BP＝253．21.已知：如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC、CD于点M、F，BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H.（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）找出与△ABH相似的三角形，并加以证明；（3）若E是BC的中点，BC＝2AB，AB＝2，求EM的长.解答：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE＝∠ECF＝90°，∵EF⊥AE，∴∠AEB+∠FEC＝90°，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，∴△ABE∽△ECF；（2）△ABH∽△ECM，∵BG⊥AC，∠ABC＝90°，∴∠ABH+∠BAG＝90°，∠ECM+∠BAG＝90°，∴∠ABH＝∠ECM，又∠BAH＝∠CEM，∴△ABH∽△ECM；（3）作MN⊥BC于点N，∵AB＝BE＝EC＝2，MN∥AB，∴12AB MNBC NC==，∠AEB＝45°，∴∠MEN＝45°，NC＝2MN，∴MN＝EN＝12 NC，∵NC +EN ＝EC ＝2，∴MN ＝EN ＝2×13＝23， ∴EM 2＝MN 2+EN 2＝(23)2+(23)2， ∴EM ＝223. 22.如图，正方形ABCD 中，M 为BC 上一点，F 是AM 的中点，EF ⊥AM ，垂足为F ，交AD 的延长线于点E ，交DC 于点N .（1）求证：△ABM ∽△EF A ；（2）若AB ＝12，BM ＝5，求DE 的长.解答：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠B ＝90°，AD ∥BC ，∴∠AMB ＝∠EAF ，又∵EF ⊥AM ，∴∠AFE ＝90°，∴∠B ＝∠AFE ，∴△ABM ∽△EF A ；（2）解：∵∠B ＝90°，AB ＝12，BM ＝5，∴AM ＝22125+＝13，AD ＝12，∵F 是AM 的中点，∴AF ＝12AM ＝6.5， ∵△ABM ∽△EF A ，∴BM AM AF AE =，即5136.5AE =， ∴AE ＝16.9，∴DE ＝AE －AD ＝4.9．23.如图，在△ABC 中，AB ＝8cm ，BC ＝16cm ，点P 从点A 开始沿AB 向点B 以2cm/s 的速度运动，点Q 从点B 开始沿BC 向点C 以4cm/s 的速度运动.如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，4秒后停止运动，则在开始运动后第几秒，△BPQ 与△BAC 相似？解答：设在开始运动后第x 秒，△BPQ 与△BAC 相似，由题意得：AP ＝2x cm ，PB ＝（8﹣2x ）cm ，BQ ＝4x ，分两种情况考虑：当∠BPQ ＝∠C ，∠B ＝∠B 时，△PBQ ∽△CBA ， ∴BP BQ BC AB =，即824168x x -=， 解得：x ＝0.8，当x ＝0.8秒时，△BPQ 与△BAC 相似；当∠BPQ ＝∠A ，∠B ＝∠B 时，△BPQ ∽△BAC ， ∴BP BQ BA BC =，即824816x x -=， 解得：x ＝2，当x ＝2秒时，△BPQ 与△BAC 相似．综上，当x ＝0.8秒或2秒时，△BPQ 与△BAC 相似．初中数学试卷马鸣风萧萧。
数学沪科版九年级上册21.2 二次函数的图象和性质(1) 同步练习 (解析版)
2020-2020数学沪科版九级上册21.2 二次函数的图象和性质（1）同步练习一、选择题1.二次函数的图象的顶点坐标是( )A. B. C. D.2.抛物线的对称轴是( )A. 直线x=1B. 直线x= -1C. 直线x=-2D. 直线x=23.下列各点中，抛物线经过的点是（）A. (0，4)B. (1，)C. ( ，)D. (2，8)4.若二次函数的图像经过点(－1，)，( ，)，则与的大小关系为( )A. >B. =C. <D. 不能确定5.抛物线y= x2-6x+24的顶点坐标是( )A. (-6,-6)B. (-6,6)C. (6,6)D. (6,-6)6.若抛物线y=﹣x2+bx+c经过点（﹣2，3），则2c﹣4b﹣9的值是（）A. 5B. ﹣1C. 4D. 187.下列关于二次函数的说法错误的是（）A. 抛物线y=﹣2x2+3x+1的对称轴是直线,B. 抛物线y=x2﹣2x﹣3，点A（3，0）不在它的图象上C. 二次函数y=（x+2）2﹣2的顶点坐标是（﹣2，﹣2）D. 函数y=2x2+4x﹣3的图象的最低点在（﹣1，﹣5）8.二次函数y=ax2+bx+c满足b2=ac，且x=0时，y=﹣4，则（）A. y最大=﹣4B. y最小=﹣4C. y最大=﹣3D. y最小=﹣39.如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（0，2）、B（1，0）、C（2，1），若二次函数的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b的取值范围是（）A. b≤﹣2B. b＜﹣2C. b≥﹣2D. b＞﹣210.如图，已知二次函数的部分图象与坐标轴交于A（3，0）和C（0，2）两点，对称轴为直线，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是( )A. x＜3B. 0≤x＜3C. －2＜x＜3D. －1＜x＜3二、填空题11.若二次函数的图象经过点（-1,0），（1，-2），当y随x的增大而增大时，x的取值范围是________。
数学沪科版九年级上册21.2 二次函数的图象和性质(1) 同步练习(解析版)
数学沪科版九年级上册21一、选择题1.点〔－1，2〕在二次函数y=ax2的图象上，那么a的值是〔〕A.1B.2C.D.－2.函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(a，8)，那么a的值为〔〕A.±2B.－2C.2D.33.抛物线y= x2，y=4x2，y=－2x2的图像中，启齿最大的是〔〕A. y= x2B. y=4x2C. y=－2x2D. 无法确定4.如图，四个二次函数的图象中，区分对应的是：①；②；③；④，那么的大小关系为( )A. B. C. D.5.抛物线y=3x2的顶点坐标是〔〕A. 〔3，0〕B. 〔0，3〕C. 〔0，0〕D. 〔1，3〕6.假定抛物线经过点P〔1，－3〕，那么此抛物线也经过点〔〕A.PB.PC.P (1，3)D.P7.在同一坐标系中，抛物线，，的共同特点是〔〕A. 关于y轴对称，启齿向上B. 关于y轴对称，y随x增大而减小C. 关于y轴对称，y随x增大而增大D. 关于y轴对称，顶点在原点8.点〔-2，〕，〔0，〕，〔1，〕都在函数的图象上，那么( )A.＞＞B.＞＞C.＞＞D.＞＞9.a<－1，点〔a－1，y1〕，〔a，y2〕，〔a+1，y3〕都在函数y=x2的图象上，那么〔〕A.y1<y2<y3B.y1<y3<y2C.y3<y2<y1D.y2<y1<y310.以下说法中错误的选项是〔 〕 A.在函数 中，当 0=x 时 y 有最大值 0 B.在函数 中，当 0>x 时 y 随 x 的增大而增大 C.抛物线 ，，中，抛物线的启齿最小，抛物线的启齿最大D.不论 a 是正数还是正数，抛物线的顶点都是坐标原点11.如图，在平面直角坐标系中，A 〔1，2〕，B 〔1，－1〕，C 〔2，2〕，抛物线y=ax 2〔a≠0〕经过△ABC 区域〔包括边界〕，那么a 的取值范围是〔 〕A. a≤－1或a≥2B. ≤a≤2C. －1≤a ＜0或1＜a≤D. －1≤a ＜0或0＜a≤2二、填空题12.二次函数的图象启齿向下，那么m 的取值范围是________ ．13.写出一个启齿向上，顶点是坐标原点的二次函数的解析式：________.14.某抛物线有以下性质：①启齿向下；②对称轴是y 轴；③与x 轴不相交；④最高点是原点．其中y=﹣2x 2具有的性质是________．〔填序号〕15.抛物线y ＝2x 2的顶点，坐标为________，对称轴是________．当x________时，y 随x 增大而减小；当x________时，y 随x 增大而增大；当x ＝________时，y 有最________值是________． 16.如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点树立平面直角坐标系，作出函数y= x 2与y=–x 2的图象，那么阴影局部的面积是________．17.假定抛物线y=ax 2经过点A (，－9)，那么其解析式为________。
(精练)沪科版九年级上册数学第21章 二次函数与反比例函数含答案
沪科版九年级上册数学第21章二次函数与反比例函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、，函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（）A. B. C. D.2、已知正比例函数y=k1x（k1≠0）与反比例函数y=（k2≠0）的图象有一个交点的坐标为（﹣2，﹣1），则它的另一个交点的坐标是（）A.（2，1）B.（﹣2，﹣1）C.（﹣2，1） D.（2，﹣1）3、两个反比例函数y＝和y＝在第一象限内的图象如图所示，点P在y＝的图象上，PC⊥x轴于点C，交y＝的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y＝的图象于点B，当点P在y＝的图象上运动时，以下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中一定正确的是（）A.1个B.2个C.3个D.4个4、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+c＜0；④3a+c＜0．其中正确的是（）A.①④B.②④C.①②③D.①②③④5、二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（）.A. B. C. D.6、已知α是锐角，且点A（，a）、B（sin2α＋cos2α，b）、C（－m＋2m －2，c）都在二次函数y＝－x2＋x＋3的图象上，那么a、b、c的大小关系是（）A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.b＜c＜aD.c＜b＜a7、如图，函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于A、B两点，頂点为点M．則下列说法不正确的是（）A.a＜0B.当x=﹣1时，函数y有最小值4C.对称轴是直线=﹣1 D.点B的坐标为（﹣3，0）8、下列函数中,是关于的反比例函数的是( ).A. B. C. D.9、小颖用计算器探索方程ax2+bx+c=0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x=﹣3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（）A.4.4B.3.4C.2.4D.1.410、如图，反比例函数y= （x＜0）的图象经过点A（﹣1，1），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA 的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上，则t的值是（）A. B. C. D.11、如图，抛物线与轴交于、两点，是以点（0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结.则线段的最大值是（）A. B. C. D.12、如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象相交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则△ABC的面积等于（）A.8B.6C.4D.213、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①因为a＞0，所以函数y有最大值；②该函数的图象关于直线x=-1对称；③当x=-2时，函数y的值等于0；④当x=-3或x=1时，函数y的值都等于0．其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.414、二次函数y＝ax2﹣4ax+2（a≠0）的图象与y轴交于点A，且过点B（3，6）若点B关于二次函数对称轴的对称点为点C，那么tan∠CBA的值是（）A. B. C.2 D.15、设b＞0，二次函数y=ax2+bx+a2﹣1的图象为下列之一，则a的值为（）A.﹣1B.1C.D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图是二次函数的图象的一部分且图象过点，对称轴为，给出四个结论：① ；②图像可能过；③ ；④ .其中正确的是________（填序号）17、已知二次函数的图象如图所示，若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________。
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D(1,-4)
故符合条件的 P点有 (3,12)和（5,12 ）
T15
y o
A
y
x
M
B
-2
O
2
x
2014-9-26
T16
y A Oy B M x
解：（ 1 ）y x - 2 x - 3
2
（2）因为A, B关于x 1对称 所以直线BC与x 1的交点 就是所求的M点.
设y BC kx - 3, 把B点 代入得：k 1 所以y BC x 3
把x 1代入yBC x - 3,
o
C
x
x=1
得：y 2, 故P（ 1 ， -2 ）
由勾股定理得： AC PA 2 2，PB 2 ） 2 10 ，
因此AMC的最小周长
2014-9-26
为（ 1 0 3
1 y ( x - 2) 2 3
(3,0)
(0,3 (3,0) )
1 2 y x -3 3
(0,-3)
x=0
T5
2
（ 3 ）y 3x 2 - 2 x 4
1 2 11 y （ 3 x - ） 3 3
（ 1 ）y x 3x 2
3 2 17 y （x ） 2 4 3 3 17 x .( , ) 2 2 4
2
即y - x 2 4 x 5
T14
2
P( x1 , y1 )
解：（ 1 ）y x - 2 x - 3 2 （2）y （ - x -1 ）- 4
C A
T14-1
因为OA为公共底边， B 所以y1 3 4 12
2
即x - 2 x - 3 12, 解得：x1 5或 - 3,
2
得：a 1
A
所以：y - x - 4x
2
故符合条件的P点有(2,4) 或(2 2 - 2,4)或(-2 2 - 2,4)
因为OA 4，所以y1 4 即 - x - 4 x 4, x1 2,
2
或2 2 - 2或 - 2 2 - 2
T13-1
解：（ 1 ）y - x 2 - 4x 5 2 y （ - x 2） 9
2
b 3 3 2a 2 2 4
T6
M
让2 x - 3x 1 0 1 解得; x1 , x2 1 2
2
B
4ac b 2 4 2 (3) 2 1 4a 4 2 8
图像与X轴的交点： 1 （ ， 0）（ 1,0） 2
3 1 顶点：（ ,- ) 4 8 3 对称轴： x 4
九年级数学上册习题21.2
临泉县城关镇汇英中学 闫东 2014.9.22
2014-9-26
T1
y ax 3
y ax
2
T1--1
y ax 3
y ax
2
T1--2
a1
a2
a3
a4
(a,-b)
(-a,b)
T1--3
y x
(b,a ) (a,b )
2
(-a,b)
T2--1
1 1 11 x .( , ) 3 3 3
（2）y 1 - 6 x x 2
2 y （ - x3 ） 10
1 2 （4）y - x - 2 x 2 2
1 2 y - （x 2） 4 2
x 3.(3,10)
2014-9-26
x -2.(-2,4)
y 2x - 3x 1
因为x取相同值时，y相反 故所求的解析式为： - y -x - 4x 5
2
即y x 2 4 x - 5
T13-2
解：（ 1 ）y - x - 4x 5
2
因为x取相反值时， y相同 故所求的解析式为： y （ - - x） - （ 4 - x） 5
2
y （ - x 2） 9
5 y x2 2 3 y x2 2
B
A
2
T2--2
C
5 y x2 2 3 y x2 2
2
D
T3
A
M
y ax2
2 代入 y ax 得; B ( 3,1)
2
( 3 )a 1 a 3
y 3x
2
T4
x=0
1 2 y x 3 3
x=-3
x=3
1 y ( x 2) 2 3
让x 0，y 1
A
图像与轴的交点：（ 0， 1 ） 这就是- - - 三点一线画草图
T8
B
y -x - 4x 5
2
A
2
-4 -3 x1 , y1 )
解：（ 1 ）y ax - 4 x c
2
由图像可知：c 0
把A(4,0)代入y ax 4 x