2018秋八年级数学上册第一章勾股定理1.2一定是直角三角形吗习题课件新版北师大版20180825180
北师大版八年级数学上册课件：1-2一定是直角三角形吗
直角三角形的两个锐角互为余角．
什么是勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、
b,斜边为c，那么
a
a2b2 c2
即 直角三角形两直角边的平方和等 勾 于斜边的平方。
c
b 弦
股
新课导入
古埃及人曾用下面的方法得到直角:
用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段, 一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结,两 个助手分别握住第4个结和第8个结,拉紧绳子就 得到一个直角三角形,其直角在第4个结处.
BD
C
A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形
7.将直角三角形的三边同时扩大相同的倍数
后，得到的三角形是（ A）.
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定5.
8.如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则
△ABC是 （A ）
A.直角三角形 B.锐角三角形
∴ ∠C=∠C1=90° .
5∶12∶13 D.
① 5,12,13满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形;
AC=250海里;在△ABC中
古埃及人曾用下面的方法得到直角：
∴ ∠C=∠C1=90° . 直角三角形的两个锐角互为余角．
再见！
在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=CD2，所以△BCD是
港口2小时后，则两船相距（ ）
试说明△ABC 为直角三角形.
直角三角形的两个锐角互为余角．
2
2
A．90° B．60° C．45° D．30°
③ 8,15,17满足a +b =c ,可以构成直角三角形. 2 2 2 已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开
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北师大版数学八年级上册教材最新目录第一章勾股定理
1、索勾股定理
2、一定是直角三角形吗
3、勾股定理的应用
第二章实数
1、认识无理数
2、平方根
3、立方根
4、估算
5、用计算器开方
6、实数
7、二次根式
第三章位置与坐标
1、确定位置
2、平面直角坐标系
3、轴对称与坐标变换
第四章一次函数
1、函数
2、一次函数与正比例函数
3、一次函数的图像
4、一次函数的应用
第五章二元一次方程组
1、认识二元一次方程组
2、求解二元一次方程组
3、应用二元一次方程组——鸡兔同笼
4、应用二元一次方程组——增收节支
5、应用二元一次方程组——里程碑上的数
6、二元一次方程与一次函数
7、用二元一次方程组确定一次函数表达式
8、三元一次方程组
第六章数据的分析
1、平均数
2、中位数与众数
3、从统计图分析数据的集中趋势
4、数据的离散程度
第七章平行线的证明
1、为什么要证明
2、定义与命题
3、平行线的判定
4、平行线的性质
5、三角形内角和定理。
1.2 一定是直角三角形吗 北师大版数学八年级上册同步练习(含解析)
1.2 一定是直角三角形吗一、单选题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．本题共8个小题）1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．B．C．D．2．在三角形中，，，的对边分别为，，，且满足，则这个三角形中互余的一对角是（）A．与B．与C．与D．以上都不正确3．在中，若，，，则（）A．B．C．D．4．在△ABC中，AB﹦12，BC﹦16，AC﹦20，则△ABC的面积是（ ）A．120B．160C．216D．965．三角形的三边长a、b、c满足，则此三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形6．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（）①a，b，c②a=6，∠A=45°；③∠A=32°，∠B=58°；④a=7，b=24，c=25⑤a=2，b=2，c=4．A．2个B．3个C．4个D．5个7．如果△ABC的三边分别为m2－1，2 m，m2+1(m＞1)那么（）A．△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1B．△ABC是直角三角形，且斜边长为2mC．△ABC是直角三角形，但斜边长需由m的大小确定D．△ABC不是直角三角形8．如图所示，在的正方形网格中，的顶点，，均在格点上，则是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形二、填空题9．一个三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形中最短边上的高为______．10．在没有直角工具之前，聪明的古埃及人用如图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中5这条边所对的角便是直角．依据是____．10题图 11题图 14题图11．如图是单位长度为1的网格图，A、B、C、D是4个网格线的交点，以其中两点为端点的线段中，任意取3条，能够组成_________个直角三角形．12．若一个三角形的三边长分别为m+1,m+2,m+3,那么当m=____时,这个三角形是直角三角形.13．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是______．14．三国时期吴国赵爽创制了“勾股圆方图”（如图）证明了勾股定理．在这幅“勾股圆方图”中，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形EFGH组成的．已知小正方形的边长是2，每个直角三角形的短直角边长是6，则大正方形ABCD的面积是________．15．小白兔每跳一次为1米，先沿直线跳12次后左拐，再沿直线向前跳5次后左拐，最后沿直线向前跳13次正好回到原来的地方，则小白兔第一次左拐的角度是______________．16．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；，，.根据你的发现，与之间的关系是_______，_______.三、解答题17．如图：在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．18．在中，D是边上的点，，，，．（1）求证：是直角三角形；（2）求的长．19．如图，在△ABC中，AD=15，AC=12，DC=9，点B是CD延长线上一点，连接AB，若AB=20．求：△ABD的面积．20．已知a，b，c为△ABC三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.21．星期天，两组同学从学校出发去郊游.分组后，第一组同学以1.8千米/时的速度向正北方向直线前进，第二组同学以2.4千米/时的速度向另一个方向直线前进半小时后，两组同学同时停了下来，此时他们相距1.5千米，试回答下面的问题：（1）第二组同学行走的方向如何?（2）如果接下来两组同学以原来的速度相向而行，多长时间后相遇?22．观察下列勾股数：6，8，10；8，15，17；10，24，26；…；，，.根据你的发现，求出当时，，的值.参考答案1．C【思路点拨】运用勾股定理的逆定理逐一判断即可．【详细解答】∵,,,∴4,6,8不能组成直角三角形．,故A不符合题意;∵,,,∴6,8,9不能组成直角三角形,故B不符合题意;∵,,,∴5,12,13能组成直角三角形,故C符合题意;∵,,,∴5,11,12不能组成直角三角形,故D不符合题意;故选:C．【方法总结】本题考查了勾股定理的逆定理,熟记勾股定理的逆定理是解决本题的关键．2．B【思路点拨】先由勾股定理的逆定理得出∠B=90°，再根据直角三角形两锐角互余即可求解．【详细解答】解：∵b2-a2=c2，∴b2=a2+c2，∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°，∴∠C与∠A互余．故选：B．【方法总结】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形，且最长边所对的角是直角．同时考查了直角三角形两锐角互余的性质．3．C【思路点拨】根据勾股定理的逆定理即可求解．【详细解答】解：∵在△ABC中，BC2+AC2=32+42=25，AB2=52=25，∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，∠C=90°．故选：C．【方法总结】本题考查了勾股定理的逆定理，解答本题的关键是掌握勾股定理的逆定理．【详细解答】.①，故不是成为直角三角形的必要条件，故=58°，∠C=180°－∠A－【思路点拨】首先依据勾股定理，结合图中每个小方格的边长，求得AC2，AB2，BC2的值；接下来，依据勾股定理的逆定理可判断出△ABC的形状.【详细解答】∵BC2=42+22=20，AB2=22+12=5，AC2=32+42=25，∴BC2 +AB2= AC2，∴△ABC是直角三角形.故选B.【方法总结】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理和勾股定理的逆定理. 9．4【思路点拨】根据勾股定理的逆定理，可以判断题目中三角形的形状，然后即可得到这个三角形中最短边上的高的长度，本题得意解决．【详细解答】解：，三边长分别为3，4，5的三角形是直角三角形，这个三角形中最短边上的高为4，故答案为：4．【方法总结】本题考查勾股定理的逆定理，会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状是解答本题的关键．10．如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形【思路点拨】根据勾股定理的逆定理即可判断．【详细解答】解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m，∵（3m）2+（4m）2=（5m）2，∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）故答案为：如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．【方法总结】此题考查了勾股定理的逆定理，属于基础题，注意仔细阅读题目所给内容，得到解题需要的信息，比较简单．11．2【详细解答】试题分析：根据小正方形的边长可分别求，，，，，，根据勾股定理的逆定理，由知△ADB是直角三角形，由知△ABC是直角三角形．共2个．考点：勾股定理的逆定理，化简得：，m=2,，或（舍去）．【思路点拨】设这个三角形的三边长分别为，再根据周长可求出边长，然后利用勾股定理的逆定理可得这个三角形是直角三角形，最后利用直角三角形的面积公式即可【详细解答】由题意，设这个三角形的三边长分别为则解得则这个三角形的三边长分别为又这个三角形是直角三角形，且两直角边长分别为则它的面积是故答案为：．【方法总结】本题考查了勾股定理的逆定理的应用等知识点，依据勾股定理的逆定理判定出这个三角形为【详细解答】因为大正方形ABCD中4个直角三角形全等,根据全等三角形的性质可得:BE=AH=DG=CF=3,又因为小正方形的边长是1,所以BF=AE=DH=CG=3+1=4,根据勾股定理可得:AB=AD=CD=BC==5,所以大正方形ABCD的面积是25,故答案为25.15．【详细解答】由题意得：小白兔第一次跳12米，第二次跳5米，第三次跳13米；∵米，而13 ²=169，刚好符合直角三角形中勾股定理的逆定理，且第一次和第二次跳的距离为直角边．故小白兔第一次左拐的角度是90°.16．【解析】【思路点拨】仔细观察可发现给出的勾股数中，斜边与较大的直角边的差是1，通过代入3，4，5；5，12，13；7，24，25计算可得.【详细解答】观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c−b=1；通过代入3，4，5；5，12，13；7，24，25计算可得52-42=32,132-122=52,252-242=72，即可得到.【方法总结】本题考查勾股数、规律和勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理.17．四边形ABCD的面积是36【思路点拨】根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理逆定理计算出，然后根据四边形ABCD的面积的面积+的面积，列式进行计算即可得解．【详细解答】解：连接，∵AB=3，BC=4，，∴在Rt△ABC中，根据勾股定理得：AC===5．=AB+AC =×3×4+×5×12=36ABCD的面积是36==9【方法总结】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，属于基础题，解答本题的关键是判断出BC===16=×7×12=42勾股定理的逆定理即可判断△ABC的形状．由已知得(a2－10a+25)+(b2－24b+144)+(c2－26c+169)=0(a－5)2+(b－12)2+(c－13)2=0由于(a－5)2≥0，(b－12)2≥0，(c－13)2≥0.所以a－5=0，得a=5；b－12=0，得b=12；c－13=0，得c=13.又因为132=52+122，即a2+b2=c2所以△ABC是直角三角形.考点：本题考查的是勾股定理的逆定理，非负数的性质点评：解答本题的关键是熟记勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形.21．（1）正东或正西；（2）小时.【解析】【思路点拨】对于（1），先分别求出两个小组走的路程，再根据勾股定理的逆定理即可作出判断；对于（2），根据“路程和÷速度和=相遇的时间”列式计算即可求解.【详细解答】（1）因为，所以两组同学行走的方向成直角.因此，第二组同学行走的方向为正东或正西.（2）根据题意，得（小时）.即两组同学经过小时后相遇.【方法总结】此题考查勾股定理的逆定理的运用，牢记定理是解题的关键.22．，.【思路点拨】n=3时，a=2×3=6，b=32-1=8，c=32+1=10；n=4时，a=2×4=8，b=42-1=15，c=42+1=17…得出a=2n，b=n2-1，c=n2+1（n≥3，n为正整数），满足勾股数．【详细解答】∵n=3时,a=2×3=6,b=32−1=8,c=32+1=10，n=4时,a=2×4=8,b=42−1=15,c=42+1=17，故答案为，.【方法总结】本题考查勾股数、规律和勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理，由题意得到规律。
第17课第一章勾股定理2一定是直角三角形吗
※7.赖老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n
2
3
4
5
„
a„
b
4
6
8
10
„
c
22+1
32+1
42+1
52+1
„
（1）请你分别观察 a，b，c 与 n 之间的关系，并用含自然数 n（n＞1）的代数式表示：
三角形．
① 2 ， 3 ， 5 ； ②1，1，2；③5，12，13；④6，7，8；⑤3，4，5
其中能作为直角三角形三边长的是：
（填序号）．
6.如图，哪些是直角三角形，说说你的理由？
解：直角三角形有④，__________。
① ②
③
（1）由勾股定理可得三角形④的三边长的平方分
别为 10，10，20，得到 10+10＝20，即三角形的两 ④
△勾股定理的逆定理： 如果三角形的两边的平方和等于第三边的______，那么这个三角形是直角三角形。
几何表达：∵������������������ + ������������������＝������������������ ∴△ABC 是直角三角形（或∠C＝90°）
△满足������������ + ������������ = ������������的三个正整数，称为勾股数。 常见的勾股数有：①3，4，5；②6，8，10；③9，12，15；④5，12，13；⑤10，24，
66
三、巩固练习
8. 因为0.32 + 0.42＝0.52，所以以 0.3、0.4、0.5 为边长的三角形是直角三角形。
1.2 一定是直角三角形吗课件2021-2022学年八年级数学上册(北师大版)
1.2 一定是直角三角形吗
……
D
B'
A'
A
B
情景导入
•古埃及人曾用下面的方法得到直角：
用13个等距的结,把一根绳子分成 等长的12段,然后以3个结，4个结， 5个结的长度为边长，用木桩钉成 一个三角形，其中一个角便是直角。
按照这种做法真能得到一个直角三角 形吗？
5 3
∴ ∠C=∠C1=90°， ∴ △ABC是直角三角形.
B1 M
定理
勾股数
常见勾股数： 3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9， 40，41；10，24，26等等.
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数k，得到一组新数，这组数同样 是勾股数.
勾股数拓展性质的证明：
13
C
D
45
12
A 3B
解：在△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2， 所以△ABD是直角三角形，∠A是直角.
同理，△BCD是直角三角形，∠DBC是直角. 因此，这个零件符合要求.
13
C
D
45
12
A 3B
例2 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个 角是直角？ (1) a=15 ， b=8 ，c=17;
__是___
_____ ; ∠__B_=_9_00; _∠_C_=_9_00;
拓展练
1.如图，在四边形ABCD中，AB=3， BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°.求四 边形ABCD的面积.
解：如图，连接BD.在Rt△ABD中，
BD AB2 AD2 32 42 5. 在△BCD中， BD2+BC2=52+122=132=CD2.
秋八年级数学上册第一章勾股定理1.2一定是直角三角形吗同步练习课件新版北师大版
2 一定是直角三角形吗
10．如图 1－2－3，在 B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东 60°方向以每小时 12 海里的速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小 时 16 海里的速度前进，2 小时后甲船到 M 岛，乙船到 P 岛，两岛相 距 40 海里，你知道乙船沿哪个方向航行吗？
图 1－2－3
2 一定是直角三角形吗
2 一定是直角三角形吗
9．观察以下几组勾股数，并寻找规律：①4，3，5；②6，8， 10；③8，15，17；④10，24，26；…，根据以上规律，第⑦组勾 股数是_1_6_，__6_3_，__6_5__．
[解析] 根据题目给出的前几组数的规律可得：这组数中的第一个数是 2(n＋1)， 第二个数是 n(n＋2)，第三个数是(n＋1)2＋1，故可得第⑦组勾股数是 16，63，65.
2 一定是直角三角形吗
8．教材习题 1.3 第 4 题变式如图 1－2－2，正方形 ABCD 是由 9 个边长为 1 的小正方形组成的，每个小正方形的顶点都叫格点， 连接 AE，AF，则∠EAF＝__4_5_____°.
图 1－2－2
[解析] 如图，连接 EF.根据勾股定理可以得到：AE2＝EF2 ＝5，AF2＝10.因为 5＋5＝10，所以 AE2＋EF2＝AF2，所以△AEF 是等腰直角三角形，所以∠EAF＝45°.
2．教材习题 1.3 第 2 题变式在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对
边分别为 a，b，c，且 a2－b2＝c2，则下列说法正确的是( C )
A．∠C 是直角
B．∠B 是直角
C．∠A 是直角
D．∠A 是锐角
[解析] 由 a2－b2＝c2 可得 a2＝c2＋b2，可知△ABC 是直角三角形，且 a 的对 角是直角，即∠A 是直角．
北师大版八年级数学上册：1.2《一定是直角三角形吗》说课稿
北师大版八年级数学上册：1.2《一定是直角三角形吗》说课稿一. 教材分析《一定是直角三角形吗》这一节的内容位于北师大版八年级数学上册第一章《三角形的认识》的第二节。
在这一节课中，学生将学习如何通过判定一个三角形的三个角是否为90度来确定一个三角形是否为直角三角形。
这一节的内容是学生在学习了三角形的分类和性质之后，进一步深化对三角形认识的重要一环。
通过对直角三角形的探究，学生能够更好地理解三角形的性质，为后续学习勾股定理和三角形的相关应用打下坚实的基础。
二. 学情分析在进入这一节的学习之前，学生已经学习了三角形的分类，对等腰三角形和等边三角形有了初步的认识。
同时，学生也学习了三角形的内角和定理，对三角形三个角的和为180度有了深入的理解。
然而，对于直角三角形的定义和性质，学生可能还不是很清晰。
因此，在这一节课中，我需要引导学生通过实践活动，加深对直角三角形的认识，从而能够独立判断一个三角形是否为直角三角形。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解直角三角形的定义，掌握判断一个三角形是否为直角三角形的方法。
2.过程与方法：通过观察、操作、交流等活动，学生能够自主探索直角三角形的性质，培养空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：学生能够体验到数学与生活的紧密联系，增强对数学的兴趣和信心。
四. 说教学重难点1.重点：直角三角形的定义和性质。
2.难点：如何引导学生自主探索并发现直角三角形的性质，以及如何判断一个三角形是否为直角三角形。
五. 说教学方法与手段在这一节课中，我将采用问题驱动的教学方法，引导学生通过自主探索、合作交流的方式来学习直角三角形的性质。
同时，我会利用多媒体课件和实物模型等教学手段，帮助学生更好地理解和掌握直角三角形的性质。
六. 说教学过程1.导入：通过复习三角形的分类，引导学生回顾等腰三角形和等边三角形的性质，为新课的学习做好铺垫。
2.自主探索：学生分组讨论，每组尝试找出一种方法来判断一个三角形是否为直角三角形。
八年级数学上册第一章勾股定理2一定是直角三角形吗拓展素材北师大版课件
1第一章第二节1、古埃及人曾用三角形三边关系作出了直角，下面我们再现一下当时的情境。
这儿有一根绳子，上面有13个等距的结，把这根绳子分成等长的12段。
一位同学同时握住绳子的第1个结和第13个结。
另两位同学分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子。
大家发现了什么？很快地，得到一个直角三角形，其直角在第4个结处。
我们再来看在第1个结到第4个结是3个单位长度，即AC ＝b ＝3；同理BC ＝a ＝4，AB ＝c ＝5，而32+42＝52，所以a 2+b 2=c 2。
那么是不是三角形的三边满足a 2+b 2=c 2，就可以得到一个直角三角形呢？我们不妨再找几组数试一试。
答案略2、勾股数如果三个正整数满足于勾股定理逆定理，那么就称这三个数为一组勾股数．3、4、5是最简 单的一组勾股数，因为它们满足：32＋42＝52．勾股数是一种重要的数组，那么什么样的数才能组成勾股数呢?看下面一些简单的勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…观察这些勾股数组成的规律，发现：第一个数是奇数，第二个数是第一个数的平方减1再除以2，第三个数是第二个数加1，也就是第一个数的平方加1再除以2．结论：如果n 是一个奇数，且n ≥3，那么n 、212-n 、212+n 就是一组勾股数． 证明：∵n 2＋(212-n )2＝n 2＋,)21(41244122224224+=+-+=+-n n n n n n ， ∴n 、212-n 、212+n 是一组勾股数．这样，我们任意给出一个奇数(如11，13，…)，同学们就可以写出各组勾股数来． 再看一些简单的勾股数：4，3，5；6，8，10；8，15，17；10，24，26；…观察这些勾股数组成的规律，发现：第一个数是偶数，第二个数是第一个数的一半的平方减1，第三个数是第一个数一半的平方加1．结论：如果m 是一个偶数，且m ≥4，那么m 、(2m )2－1、(2m )2＋1就是一组勾股数．2证明：∵m 2＋［(2m)2－1］2＝m 2＋(42m )2－22m ＋1＝m 2＋21624m m -＋1＝1616824++m m ,]1)2[()44(222+=+=m m∴m 、(2m )2－1、(2m )2＋1是一组勾股数．这样，我们任意给出一个偶数(如10，12，…)，同学们就可以写出各组勾股数来． 3、勾股定理的证明方法【证法1】图1 图2如图所示，作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即abc ab b a 214214222⨯+=⨯++， 整理得 222c b a =+.【证法2】以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这四个直角三角形拼成如图2所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上. 四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形. 它的面积等于c 2. 四边形ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +.∴()22214c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+. 【证法3】以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21.把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2. EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于()2a b -.∴ ()22214c a b ab =-+⨯.∴ 222c b a =+3图3 图4 【证法4】以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. 则 ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于221c. ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()221b a +.∴ ()222121221c ab b a +⨯=+∴ 222c b a =+. 【证法5】对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转90°得图5，该图是旋转90°得到的，所以∠BAE=90°，且四边形ACFD 是一个正方形，它的面积和四边形ABFE 面积相等，而四边形ABFE 面积等于Rt ⊿BAE 和Rt ⊿BFE 的面积之和，所以：S 正方形ACFD =S ⊿BAE +S ⊿BFE即：()()a b a b 21c 21b 22-++=. 整理：()()a b a b c 2b 22-++=∴a 2+b 2=c 2.图5 图6 【证法6】对任意的符合条件的两个全等的Rt ⊿BEA 和Rt ⊿ACD 拼成图6(此图也可以看成Rt ⊿BEA 绕其直角顶点顺时针旋转90°，再向下平移得到)。
北师大版八年级上册 1.2 《一定是直角三角形吗》
《一定是直角三角形吗》◆教材分析本节课是学生在学习了勾股定理的内容和验证的基础上，提出相反的问题，引发对勾股定理逆定理的思考，进而进行验证，本节内容为今后学习直角三角形的判定起着很好的作用。
◆教学目标【知识与能力目标】1．理解勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念；2．能根据所给三角形三边的条件判断三角形是否是直角三角形；【过程与方法目标】经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力、归纳能力；【情感态度价值观目标】体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣；◆教学重难点【教学重点】理解勾股定理逆定理的具体内容。
【教学难点】理解勾股定理逆定理的具体内容。
◆教学过程一、创设情境，引出课题课件展示：同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗?用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段,一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结,两个助手分别握住第4个结和第9个结,拉紧绳子就得到一个直角三角形, 其直角在第1个结处.二、探索新知内容1：探究下面有三组数，分别是一个三角形的三边长c b a ,,，①5，12，13；②7，24，25；③8，15，17；并回答这样两个问题：1．这三组数都满足222a b c +=吗？2．分别以每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？学生分为４人活动小组，每个小组可以任选其中的一组数。
意图：通过学生的合作探究，得出“若一个三角形的三边长c b a ,,，满足222a b c +=，则这个三角形是直角三角形”这一结论；在活动中体验出数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程，同时遵循由“特殊→一般→特殊”的发展规律。
效果：经过学生充分讨论后，汇总各小组实验结果发现：①5，12，13满足222a b c +=，可以构成直角三角形；②7，24，25满足222c b a =+，可以构成直角三角形；③8，15，17满足222c b a =+，可以构成直角三角形。
北师大版八年级数学上册第一章《一定是直角三角形吗》课件
例3 下面四组数中是勾股数的一组是( D )
A．6，7，8
B．5，8，13
C．1.5，2，2.5
D．21，28，35
解：勾股数的定义：满足a2＋b2＝c2的三个正整数a，b， c称为勾股数． A．62＋72≠82，不是勾股数，故错误； B．52＋82≠132，不是勾股数，故错误； C．1.5和2.5不是正整数，所以不是勾股数，故错 误； D．212＋282＝352，是勾股数，故正确．
而且都满足a2+b2=c2：3,4,5；5,12,13；8,15,17； 7,24,25.
分别以每组数为三边长画出三角形，它们都是 直角三角形吗？你是怎么想的？与同伴进行交流.
1. 直角三角形的判定： 如果三角形的三边a，b，c 满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
2．利用边的关系判定直角三角形的步骤： (1)“找”：找 出三角形三边中的最长边． (2)“算”：计算其他两边的平方和与最长边的平方. (3)“判”：若两者相等，则这个三角形是直角三角形，
总结
确定勾股数的方法： 首先看这三个数是否是正整数；然后看较小
的两个数的平方和是否等于最大数的平方．记住 常见的勾股数(3，4，5；5，12，13；8，15，17；) 可以提高解题速度．
例4 观察下面的表格中给出的三个数a，b，c，其中a＜b＜c.
3，4，5
32＋42＝52
5，12，13
52＋122＝132
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
知识点 2 勾股数
1. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数． 勾股数必须同时满足两个条件： （1）三个数都是正整数； （2）两个较小数的平方和等于最大数的平方.
北师大版八年级数学上册-第一章勾股定理(同步+复习)精品讲义课件
2.
① ②
变式：
a2=c2- b2 ； b2=c2-a2 a=√ c2- b2 b=√c2-a2 c= √a2+b2
3.
注：
① ② ③
定理用途：三边知二求一；搭建需要的方程。 a,b,c是相对的，运用公式时要特别认准斜边。 斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边的长。
【例1】△ABC中，∠C=90°
① 若a=3 ,b=4，求c。 ② 若C=41，b=40，求a。 ③ 若一条直角边a=5,斜边比另外一条直角边大1， 求斜边的长。 ④ 折叠长方形ABCD, 使点D落在BC边上的点F 处，折痕为AE，AB=8，BC=10，求EC的长
A D E B F C
【练习1】
二．勾股定理的证明
1. 2. 拼正方形法： 拼梯形法：
【例题】
【习题1】
【习题2】
【习题3】
【习题4】
【习题5】
【习题6】
下课了!
结束寄语
•悟性 •取决于有无悟心
看 一 看
探索-发现： 回答问题
（1）观察图2-1 正方形1中含有 9 个 小方格，即它的面积是 9 个单位面积。
3 1 2
图2-1
3 1 2
图2-2
正方形2的面积是 9 个单位面积。 正方形3的面积是 18 个单位面积。
（图中每个小方格代表一个单位面积）
一．勾股定理
1. 定理：
① 文直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 ② 符如果a,b是直角边，c是斜边，则：a2+b2=c2
4.
5.
【例1】
1. 给定三边直接判定是否直角三角形。 2. 试一试：
二．勾股数
1. 定义：满足a 2 +b2=c2 的三个正整数，叫做 勾股数。 本质：以这三个数的长度为边的三角形是直 角三角形；知道直角三角形的两边是勾股数 之二，直接写出第三边。 每组勾股数的倍数还是勾股数。 构造公式：a为大于1的奇数：a与其平方分 别加减1除以2所得的数为一组勾股数；a为 大于1的偶数， a 与其一半的平方分别加减1 所得的数为一组勾股数。 常见的勾股数：3、4、5；6、8、10；8、 15、17；5、12、13；9、12、15。熟记。
北师大版八年级数学上册第一章全部课件
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－练
1 用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如
（来自《典中点》）
知2－导
知识点 2 勾股定理的应用
例2 我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一 辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得 汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m,你能 帮小王计算敌方汽车的速度吗？
分析：根据题意，可以画出右图， 其中点A表示小王所在位置， 点C、点B表示两个时刻敌方 汽车的位置.
弦 勾
股 图1
北师大版八年级数学上册
C A
B C
图2-1
A
B
图2-2
(图中每个小方格代表一个单位面积)
知1－导
(1)观察图2-1 正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积 是 9 个单位面积. 正方形B的面积是 9 个单位面积.
正方形C的面积是 18 个单位面积.
北师大版八年级数学上册
C A
B C
（来自《点拨》）
知1－讲
总结
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－讲
1 课堂讲解 2 课时流程
北师大版八年级数学上册 (一定是直角三角形吗)勾股定理课件教学
13
C
D 4 5 12
A 3B
变式： 四边形ABCD中已知AB=3，AD=4，BC=12， CD=13，且∠A=900，求这个四边形的面积．
随堂演练
1、如果三条线段a、b、c满a2=b2-c2 那么这三条线段组成的三角形是直角三角形吗？
2、下列哪几组数据能作为直角三角形的三边长？请说明理由. ①9，12，15； ②15，36，39； ③0.3,0.4,0.5 ； ④12,18,22
加减消元
归纳总结
审：弄清题意和题目中的数量关系，找出题目中的等量关系； 设：用字母表示题目中的两个未知数； 列：根据找出的等量关系列出方程组； 解：解方程组，求得未知数的值； 验：检验所得的解是否是方程组的解，并且要检验其是否符 合实际问题的意义，不符合要舍去； 答：写出答案，包括单位名称.
典例精析
.
4.用一根绳子围绕一个大树，若环绕大树3周，则绳子还多4尺；若环绕大树4周，
则绳子又少了3尺。这根绳子有多长？环绕大树一周需要多少尺？
列方程组
.
课堂练习
5.100匹马恰好拉了100片瓦，已知一匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉一片瓦， 问有多少匹大马、多少匹小马？
答：有25匹大马，75匹小马。
课堂总结
情境导入
“鸡兔同笼”题为: 今有鸡兔同笼, 上有三十五头, 下有九十四足, 问鸡兔各几何?
“上有三十五头”的意思是什么? “下有九十四足”的意思是什么?
你能算出鸡兔各几只吗？
新知讲解
（1）“上有三十五头”的意思是什么？“下有九十四足”呢？
鸡兔一共有35个头，94只脚.
（2）题中有哪些等量关系?你能列出方程组吗？
应用二元一次方程组——鸡兔同笼
八年级数学上册 第一章 勾股定理 1.2 一定是直角三角形吗教学课件
位置关系，并说明理由．
CB，
解：AF⊥EF.设正方形的边长为4a,
则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.
在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2. 在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2. 在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2. 在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2， ∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边．
第三页，共二股定理的逆定理
探究：下面有三组数分别是一个三角形的三边(sān 长a, biān) b, c:
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17. 回答下列问题:
1.这三组数都满足 a2+b2=c2吗？
2.分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角 三角形吗？
归纳 根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边 长的平方和是否等于最大边长的平方.
12/13/2021
第十三页，共二十六页。
变式1： 已知△ABC，AB=n²-1，BC=2n，AC=n²+1(n为
大于1的正整数).试问(shìwèn)△ABC是直角三角形吗？若是，
哪一条边所对的角是直角？请说明理由
计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.
12/13/2021
第十九页，共二十六页。
当堂(dānɡ tánɡ)练习
1.如果线段(xiànduàn)a,b,c能组成直角三角形,则它们的比可以是 ( )
A.3:4:7 B B.5:12:13 C.1:2:4
D.1:3:5
2. 将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到
解：∵AB²+BC²=(n²-1)²+(2n)² =n4 -2n²+1+4n² =n4 +2n²+1
初中数学北师大版八年级上册 第一章 1.2 一定是直角三角形吗 同步练习(解析版)
初中数学北师大版八年级上学期第一章 1.2 一定是直角三角形吗一、单选题1.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )A. 4，5，6B. 2，3，4C. 1，1，D. 1，，32.已知以下三个数, 不能组成直角三角形的是( )A. 9、12、15B. 、3、2C. 0.3、0.4、0.5；D.3.a、b、c为△ABC三边，满足下列条件的三角形不是直角三角形的是（）A. ∠C=∠A-∠BB. a:b:c = 1 : :C. ∠A∶∠B∶∠C＝5∶4∶3D. ，4.如图，在边长为1的正方形组成的网格图中标有、、、四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，二、填空题5.如图，正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为25、9、16，△AEH、△BDC、△GFI的面积分别为S1、S2、S3，则S1+S2+S3=________.6.如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1cm，△ABC为格点三角形．（1）△ABC的面积=________cm2；（2）判断△ABC的形状，并说明理由．三、解答题7.在△ABC中，,试判断△ABC的形状，并说明理由。
8.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任一点，且2AD2=BD2+CD2.求证：△ABC是直角三角形.9.一个零件的形状如图，按规定这个零件的∠A与∠BDC都要是直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3，DC=12，BC=13，BD=5．这个零件符合要求吗？四、作图题10.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．（1）在图①中，求线段AB的长度；若在图中画出以C为直角顶点的Rt△ABC，使点C在格点上，请在图中画出所有点C；（2）在图②中，以格点为顶点，请先用无刻度的直尺画正方形ABCD，使它的面积为13;再画一条直线PQ（不与正方形对角线重合），使PQ恰好将正方形ABCD的面积二等分(保留作图痕迹）.11.图a．图b均为边长等于1的正方形组成的网格．（1）在图a空白的方格中，画出阴影部分的图形沿虚线AB翻折后的图形，并算出原来阴影部分的面积．（直接写出答案）（2）在图b空白的方格中，画出阴影部分的图形向右平移2个单位，再向上平移1个单位后的图形，并判断原来阴影部分的图形是什么三角形？（直接写出答案）答案解析部分一、单选题1. C解析：A.，∴选项不符合题意；B.，∴选项不符合题意；C.，∴选项符合题意；D.，∴选项不符合题意；故答案为：C。
北师大版数学八年级上册 第1章 勾股定理 一定是直角三角形吗 习题课件
解 ：小利的解答不正确．正确的解答过程如下： 这个三角形是直角三角形．理由如下： 5 3 因为 >2> ， 2 2 所以b是这个三角形的最长边． 25 32 5 2 25 2 2 2 2 因为a ＋c ＝ ＋2 ＝ ，b ＝ ＝ ， 4 4 2 2 所以a2＋c2＝b2.
①∠A＝∠B－∠C；
②∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5； ③a2＝(b＋c)(b－c)； ④a∶b∶c＝5∶12∶13.
其中能判定△ABC是直角三角形的有( C )
A． 1个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个
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8．(中考•达州)如图，在5×5的正方形网格中，从在格点 上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰 好是直角三角形的概率为( D )
两条水渠分别到试验田A，B；
乙方案：过点 C 作 AB 的垂线，垂足为 H ，先从水源 地C修筑一条水渠到线段AB上的H处，再从H分别向 试验田A，B修筑水渠． (1)请判断△ABC的形状(要求写出推理过程)． (2) 两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过 计算说明．
解：(1)因为AC2＋BC2＝1602＋1202＝40 000， AB2＝2002＝40 000， 所以AC2＋BC2＝AB2.
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5．已知△ABC的三边长分别为5，12，13，则△ABC的 面积为( A ) A．30 C．78 B．60 D．无法确定
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6．(中考•眉山)如图，每个小正方形的边长均为1，A，B， C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为( C )
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
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7．△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件：
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八年级数学上册 第一章 勾股定理 2 一定是直角三角形吗例题与讲解素材 北师大版(2021年整理)
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2 一定是直角三角形吗1．勾股定理的逆定理（1)勾股定理的逆定理的内容：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．(2)勾股定理的逆定理的释疑：不少的同学对知道三角形三边满足a2＋b2＝c2能得到直角三角形这样的一种结论持有怀疑的态度，其实通过三角形的全等可以很简单地证明出来．比如：如果在△ABC中，AB＝c，BC＝a，CA＝b，并且满足a2＋b2＝c2（如图所示),那么∠C＝90°。
作△A1B1C1，使∠C1＝90°，B1C1＝a，C1A1＝b，则A1B错误!＝a2＋b2。
∵a2＋b2＝c2，∴A1B1＝c(A1B1＞0）．在△ABC和△A1B1C1中，∵BC＝a＝B1C1，CA＝b＝C1A1，AB＝c＝A1B1，∴△ABC≌△A1B1C1.∴∠C＝∠C1＝90°。
辨误区勾股定理的逆定理的条件（1)不能说成在直角三角形中，因为还没有确定直角三角形,当然也不能说“斜边"和“直角边”．（2)当满足a2＋b2＝c2时,c是斜边，∠C是直角．利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的思路是：先确定最长边，算出最长边的平方及另两边的平方和,如果最长边的平方与另两边的平方和相等，则此三角形为直角三角形．对啊！到目前为止判定直角三角形的方法有：①说明三角形中有一个直角;②说明三角形中有两边互相垂直;③勾股定理的逆定理.【例1】如图所示,∠C＝90°，AC＝3,BC＝4,AD＝12,BD＝13,问：AD⊥AB吗?试说明理由．解：AD⊥AB。
八年级数学上册 第一章 勾股定理 2 一定是直角三角形吗 如何运用边的关系确定三角形的形状？素材
八年级数学上册第一章勾股定理２一定是直角三角形吗如何运用边的关系确定三角形的形状？素材（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(八年级数学上册第一章勾股定理 2 一定是直角三角形吗如何运用边的关系确定三角形的形状？素材（新版)北师大版)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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如何运用边的关系确定三角形的形状?难易度:★★★关键词：确定三角形的形状答案：由已知的关系式得出三边的关系，是否满足a２＋b２＝c2,若满足，则为直角三角形,若不满足再考虑其它特殊三角形。
【举一反三】典题:若△ABＣ得三边a,b,ｃ满足关系式+（b－4）2+∣c—5∣=0，则△ＡＢC为＿_三角形。
思路导引:根据题意,得出三者的和为0,则每项都为0，即a-3=0，b—4=0,c-５=０，得a=3,b=4,c=５，所以ａ2+b2=ｃ2，△ＡBＣ为直角三角形。
标准答案：直角。
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高尔基说过：“书是人类进步的阶梯。
”我希望各位朋友能借助这个阶梯不断进步。
物质生活极大丰富，科学技术飞速发展,这一切逐渐改变了人们的学习和休闲的方式。
很多人已经不再如饥似渴地追逐一篇文档了，但只要你依然有着这样一份小小的坚持,你就会不断成长进步,当纷繁复杂的世界牵引着我们疲于向外追逐的时候，阅读一文或者做一道题却让我们静下心来,回归自我。
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