第08章 λ-矩阵

当 m = 0,1时，结论显然， M(λ) = M0 = (λE −B)0 +M0 ， M1λ + M 0 = (λ E − B) M1 + BM1 + M0 设命题对 < m 次矩阵多项式成立 M ( λ) − ( λ E − B)( M m λ m −1) = ( λ E − B)Q1 (λ ) + R ∴ M (λ ) = (λ E − B)( M mλ m− 1 + Q1 (λ )) + R 令 Q(λ ) = M mλ m−1 + Q1 (λ )
注：① diag {d 1 (λ ), ⋯,d r (λ ),0, ⋯,0} 为 A( λ) 的（相抵）标准形。 ②称 r 为 A( λ) 的秩。 ③ r = n ⇒ A (λ )可逆。 ④ A( λ ) 可逆 ⇔ A ≅ E 。 ⑤任一可逆 λ -矩阵可表示为初等 λ -矩阵的乘积。 ⑥ λ E − A ≅ diag{1, ⋯,1, d1 ( λ ), ⋯, d r ( λ )} 。
B (λ ) ≅ diag {d 2 (λ ),⋯ , d r (λ ), 0,⋯ , 0} P( λ ) B (λ )Q (λ ) = diag {d 2 (λ ),⋯ , d r (λ ),0,⋯ ,0}
0 ⎞ ⎛ b11 (λ ) A (λ ) ≅ ⎜ ⎟ ≅ diag {d1 ( λ), d 2 (λ ),⋯ , d r (λ ), 0,⋯ , 0} 0 B ( λ )⎠ ⎝ d 1 ( λ ) = c −1b11 ( λ )， d i ( λ ) | d i+1 (λ )， i = 2,⋯ , r 例 设 A =⎜ 3 ⎜
⎛0 ⎜ −1 ⎝ 1 −2 1 −1⎞ ，求 0⎟ ⎟ ⎟ −1⎠
A 的特征矩阵的标准形。
−1 1 ⎞ −1 λ +1 ⎞ (3)+ (− λ )(1) ⎛ 1 −1 λ +1 ⎞ ⎛λ ⎛1 解： ⎜ −3 λ + 2 0 ⎟ ⎯⎯⎯→ ⎜ −3 λ + 2 ⎟ ⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 λ −1 (1) ↔(3) (2)+ 3 ⋅ (1) 0 3 λ +3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎜ 1 ⎜λ ⎜ 0 λ −1 −λ − λ +1 ⎟ − 1 λ + 1⎟ −1 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 0 0 0 0 ⎛1 0 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎜1 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ → ⎜ 0 λ −1 6 6 0 0 ⎟ →⎜0 ⎟ →⎜ 0 1 ⎟ 3 2 ⎜ 0 λ − 1 −λ 2 − 4λ + 4 ⎟ ⎜ 0 −λ 2 − 4λ + 4 λ 3 + 3λ 2 − 2λ − 2 ⎟ 0 0 λ +3 λ −2 λ −2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ( λ−1)( λ2 +4 λ +2) ⎝ ⎠
A(λ ) ≅ B (λ ) ⇔ B (λ ) = M ( λ) A( λ) N ( λ) 六、 λ —矩阵的带余除法 引理：设 M (λ ), N (λ ) 为 n 阶 λ —矩阵，且都不为 0，又设 B 为 n 阶数字矩阵，则必存在 λ —矩 阵， Q( λ) 与 S ( λ) 和数字矩阵 k 和 T ，使得 M (λ) = ( λE − B)Q( λ) + R, N ( λ) = S ( λ)( λE − B) + T 。 证明：设 M (λ ) = M m λ m + ⋯ + M 1λ + M 0 对 m 进行归纳证明
第八章 相似标准形
§1 λ —矩阵 一、 λ —矩阵 二、 λ —矩阵的运算 三、 λ —矩阵的初等变换 四、 λ —矩阵的相抵 五、可逆 λ —矩阵 六、 λ —矩阵的带余除法 七、本节主要定理 §2 λ -矩阵的（相抵）标准形 §3 不变因子 一、行列式因子 二、不变因子 三、矩阵相似的完全不变量 §4 有理标准形 §5 初等因子 §6 Jordan 标准形（ C ） §7 Jordan 标准形的进一步讨论 一、空间第二分解定理 二、空间第一分解定理 三、特征子空间 四、 Zi 的不可分解性
二、 λ —矩阵的运算 相等： A(λ ) = B(λ ), aij (λ ) = bij (λ )
加法： A( λ ) m×n + B ( λ ) m×n = ( a ij ( λ ) + bij ( λ ) ) 数乘： cA(λ) = ( caij ( λ) )
n 乘法： A(λ) m× n B( λ) n× s = ⎛ ∑ aik ( λ) bkj ( λ) ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ k =1 ⎠ m×s λ —矩阵的行列式、伴随矩阵与数字矩阵相同。 m×n
0 ⎞ ⎛ f (λ ) ⎛ f (λ ) ⎜ ⎟→ ⎜ 0 g ( λ) ⎠ ⎝ f (λ) u( λ) ⎝
0 ⎞ ⎛ f (λ) 0 ⎞ ⎛ f (λ ) 0 ⎞ ⎟→ ⎟ →⎜ g( λ) ⎠ ⎜ f ( λ ) u ( λ ) + g ( λ ) v ( λ ) g ( λ ) 1 g ( λ) ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Pij = −1, Pi (c ) = c , Pji ( f (λ )) = 1
3、定理：对 A(λ) 进行行初等变换等价于左乘相应的初等 λ —矩阵。 证明：利用数学归纳法
四、 λ —矩阵的相抵
定义：若 A(λ) 经有限次初等变换变为 B (λ ) ，称 A(λ ) 与 B(λ) 相抵，记为 A (λ ) ≅ B (λ )。 相抵是一种等价关系 （1）自反性： A (λ ) ≅ A (λ ) ；（2）对称性： A (λ ) ≅ B (λ ), B (λ ) ≅ A (λ ) ；（3）传递性： A (λ ) ≅ B (λ ), B (λ ) ≅ C ( λ) ，则 A (λ ) ≅ C (λ ) 。 命题：设 A(λ ) ≅ diag {d1 (λ ),⋯ ,d s (λ )},B (λ )≅ { ，则 A (λ ) ≅ B (λ ) 。（ i1, ⋯ , is 为 d i1 (λ ),⋯ ,d is (λ )} 1,⋯ , s 的任一排列）
第七、八章 目标：寻找相似标准形 研究方法：（一）从几何观点处理：用线性变换来处理，将线性空间进行直和分解。 Step1：将线性空间分解为根子空间直和 V = ⊕ Ker ( Α − λi ε )
i =1 s
Step2：将根子空间分解为循环子空间直和 Wi = Z i 1 ⊕ ⋯ ⊕ Z is （二）从代数观点处理：用 λ —矩阵（多项式矩阵）处理。
七、本节主要定理 定理： A, B ∈M n (K ) ，则 A ~ B ⇔ λ E − A ≅ λ E − B 。 证明：“ ⇒ ” ∵ A ~ B ∴存在可逆矩阵 P ，使 B = P −1 AP P −1 ( λ E − B) P = λE − P −1BP = λE − A ∴ λ E − A = λ E − B “ ⇐ ” ∵ λ E − A ≅ λ E − B ∴λ E − B = M (λ )(λ E − A) N (λ ) 其中 M (λ ), N (λ ) 可逆 λ —矩阵 M (λ )( λ E − A) = ( λ E − B) N −1 ( λ) ， M (λ ) = (λ E − B) Q( λ ) + R (λ E − B )Q (λ )(λ E − A) + R( λ E − A) = ( λ E − B) N −1( λ) R (λ E − A ) = (λ E − B )[N −1 (λ ) − Q (λ )(λ E − A )] 比较两端的次数可知 N −1 ( λ )Q( λ )( λ E − A) = P （ P 为数字矩阵） R( λ E − A) = ( λ E − B) P ， λ R − RA = λ P − BP ， λ ( P − P) = RA − BP
再次比较两端的次数可得 R = P ，即 RA = BP 即 PA = BP
N −1 (λ ) − Q (λ )(λ E − A) = P E = Q( λ )( λ E − A) N ( λ ) + PN ( λ ) = Q (λ )M −1 (λ )(λE − B ) + PN (λ ) N (λ ) = S ( λ)( λ E − B) + T ， [ PS (λ ) + Q(λ ) M − 1 (λ )](λ E − B ) + PT = E ∴ DT = E ∴ A = P −1BP ∴ A ~ B
⎛ 0 f (λ)g (λ) ⎞ ⎛ 0 f (λ ) g (λ ) ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ →⎜ ⎟→⎜ ⎟ → ⎜ 0 f (λ ⎠ ⎝ ⎠ §2 λ -矩阵的（相抵）标准形 引理：设 A( λ) 为 n 阶矩阵，则 A( λ) 必相抵于这样一个 λ -矩阵 B ( λ ) = (b ij ( λ )) ，其中
§3 不变因子
一、行列式因子 定义：设 A( λ) 为 n 阶 λ -矩阵，若 A( λ) 的所有 k 阶子式的最大公因式不等于 0，称最大公因 式为 A( λ) 的 k 阶行列式因子，记作 Dk (λ ) 。
三、 λ —矩阵的初等变换 1、定义： λ —矩阵 A(λ) 施行以下三种变换，称为 A(λ) 的行初等变换：（1）互换变换：交换 A( λ ) 两行；（2）数乘变换：用非零常数乘以某一行；（3）消去变换：用多项式 f (λ) 乘以某
一行加到另一行上。 2、定义：称以下三种矩阵为初等 λ —矩阵 用 c乘 以 i行 用f ( λ ) ⋅i + j 交 换i, j行 （1） En ⎯⎯⎯⎯ ；（3） En ⎯⎯⎯⎯ →Pij ；（2） En ⎯⎯⎯⎯ →P → Pji ( f (λ ))。 i (c )
§1 λ —矩阵
一、 λ —矩阵
定义：多项式矩阵（ λ —矩阵）： A(λ) = ⎜ ⋮ ⎜
⎛ a11 (λ ) ⋯ a1 n (λ ) ⎞ ，其中 aij (λ) ∈ K [λ]，矩阵多项式 ⋮ ⎟ ⎟ ⎜a (λ ) ⋯ a (λ )⎟ ⎝ m1 mn ⎠m×n