高数 矩阵的概念及运算
矩阵的基本概念和运算
矩阵的基本概念和运算矩阵是线性代数中的基本概念之一，广泛应用于数学、工程学、计算机科学和物理学等领域。
它是一个由数字排列成的矩形阵列，其中的数字称为矩阵的元素。
本文将详细介绍矩阵的基本概念和运算。
一、矩阵的基本概念矩阵由m行n列的数字排列组成，可以表示为一个m×n的矩阵。
其中，m为矩阵的行数，n为矩阵的列数。
每个元素可以用下标表示，例如矩阵A的第i行第j列的元素可以用A(i,j)表示。
二、矩阵的表示和分类矩阵可以用方括号表示，例如A = [aij]，其中aij表示矩阵A的第i 行第j列的元素。
矩阵还可以分为不同的类型，如行矩阵、列矩阵、方阵等。
行矩阵是只有一行的矩阵，可以表示为A = [a1, a2, ..., an]，其中ai 为矩阵A的第i个元素。
列矩阵是只有一列的矩阵，可以表示为A = [a1; a2; ...; an]，其中ai 为矩阵A的第i个元素。
方阵是行数和列数相等的矩阵，可以表示为A = [aij]，其中i和j都从1到n。
三、矩阵的运算1. 矩阵的加法对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的加法可以定义为A + B = [aij+ bij]，其中aij和bij分别为矩阵A和B的对应元素。
2. 矩阵的减法对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的减法可以定义为A - B = [aij- bij]，其中aij和bij分别为矩阵A和B的对应元素。
3. 矩阵的数乘对于一个矩阵A和一个实数k，它们的数乘可以定义为kA = [kaij]，其中aij为矩阵A的元素。
4. 矩阵的乘法对于两个矩阵A和B，它们的乘法可以定义为C = AB，其中C的第i行第j列的元素可以表示为C(i,j) = ∑(ai,k * bk,j)，其中k从1到n，n为矩阵A和B的列数。
四、矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
例如，若A = [aij]为一个m×n的矩阵，它的转置矩阵记作AT，即AT = [aji]，其中a ji为矩阵A的第j行第i列的元素。
高等数学教材 矩阵
高等数学教材矩阵矩阵作为高等数学中的重要概念，广泛应用于各个领域的数学问题中。
它不仅在线性代数中起着重要的作用，还在其他数学分支以及工程、物理等应用科学中扮演着重要角色。
本文将对矩阵的定义、运算和性质进行详细讲解，并探讨其在实际问题中的应用。
1. 矩阵的定义在数学中，矩阵是按照长方阵列排列的数的集合。
矩阵通常用大写字母表示，如A、B，其元素用小写字母表示，如a_ij，其中i表示行数，j表示列数。
矩阵的维度由行数和列数确定。
2. 矩阵的运算矩阵的运算包括加法、减法和乘法。
矩阵加法和减法遵循矩阵对应元素相加和相减的原则，要求两个矩阵具有相同的维度。
矩阵乘法是将矩阵A的每个元素与矩阵B的每列元素进行相乘，再将结果相加得到新矩阵的元素。
3. 矩阵的性质矩阵具有许多有用的性质。
比如，矩阵的转置可以通过将矩阵的行和列互换得到；矩阵的逆可以用来解线性方程组；矩阵的迹是指主对角线上元素的和；矩阵的秩可以用来判断矩阵的线性相关性。
4. 矩阵的应用矩阵在实际问题中有广泛的应用。
例如，在工程领域，矩阵可以用来描述力和力矩的关系，从而帮助解决结构力学问题。
在图像处理中，矩阵可以用来表示图像的像素点，进行图像的缩放、旋转等操作。
在机器学习中，矩阵被广泛应用于数据挖掘和模式识别等领域。
总结：高等数学教材中的矩阵是一门重要的数学概念，通过对矩阵的定义、运算和性质进行深入理解，我们可以更好地应用矩阵解决实际问题。
无论是在线性代数还是其他领域，矩阵都扮演着重要的角色，为问题的建模和求解提供了有效的工具。
希望本文的介绍能帮助读者更好地掌握矩阵的知识，提高数学应用能力。
数学矩阵的基本知识点总结
数学矩阵的基本知识点总结一、矩阵的定义矩阵可以看作是一个二维数组，其中的每个元素都可以用一个变量表示。
一般来说，矩阵用大写字母表示，比如A、B、C等，而矩阵中的元素用小写字母表示，比如a、b、c等。
一个矩阵可以表示为一个m×n的矩阵，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数，矩阵记作A=(aij)m×n。
例如，一个3×2的矩阵可以表示为：A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{bmatrix}其中a_{11}、a_{12}、a_{21}、a_{22}、a_{31}、a_{32}分别表示矩阵A的元素。
二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法矩阵的加法定义为：若A=(aij)m×n和B=(bij)m×n是两个m×n的矩阵，则它们的和记作A+B，其元素为：(A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}即两个矩阵的对应元素相加得到的矩阵。
例如：A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \\ 6 & 5 \end{bmatrix}则A+B=\begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 7 & 7 \\ 11 & 11 \end{bmatrix}2. 矩阵的数乘矩阵的数乘定义为：若A=(aij)m×n是一个m×n的矩阵，k是一个数，则kA记作数k与矩阵A的乘积，其元素为：(kA)_{ij} = k⋅a_{ij}即数k乘以矩阵A的每一个元素得到的矩阵。
例如：A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}k=2则kA=\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix}3. 矩阵的乘法矩阵的乘法定义为：若A=(aij)m×n和B=(bij)n×p是一个m×n的矩阵和一个n×p的矩阵，则它们的乘积记作AB，其元素为：(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}即第i行的每个元素与第j列的对应元素相乘再相加得到的矩阵。
高等数学教材矩阵
高等数学教材矩阵在高等数学教材中，矩阵是一个重要的概念。
矩阵具有广泛的应用，并在许多领域中起着关键作用，如线性代数、概率论、计算机图形学等等。
本文将详细介绍矩阵的定义、基本运算、特殊矩阵等内容，以帮助读者更好地理解和应用矩阵。
一、矩阵的定义矩阵是一个由m行n列元素排列成的矩形阵列。
其中，m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
矩阵中的每个元素可以是任意的数值，可以是实数或复数。
我们用大写字母A、B等来表示矩阵。
二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法：对于两个行数和列数相同的矩阵A和B，它们的和记作A + B，即A和B的对应元素相加得到新的矩阵。
2. 矩阵的数乘：将一个矩阵A的每个元素都乘以一个常数k，得到新的矩阵kA。
3. 矩阵的乘法：对于一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B，它们的乘积记作AB，即A的行与B的列相乘，得到一个新的m行p列的矩阵。
三、特殊矩阵1. 零矩阵：所有元素均为零的矩阵称为零矩阵，用0表示。
2. 单位矩阵：主对角线上的元素均为1，其余元素均为0的矩阵称为单位矩阵，用I表示。
3. 对角矩阵：除了主对角线上的元素外，其余元素都为0的矩阵称为对角矩阵。
4. 转置矩阵：将矩阵A的行和列对调得到的新矩阵称为A的转置矩阵，记作A^T。
四、矩阵的性质与定理1. 矩阵的加法具有交换律和结合律。
2. 数乘与矩阵的加法满足分配律。
3. 矩阵的乘法具有结合律，但一般不满足交换律。
4. 矩阵的转置满足转置的转置法则，即(A^T)^T = A。
五、矩阵的应用1. 线性方程组的求解：矩阵可用于解决线性方程组，通过矩阵的运算，可以转化为求解矩阵的逆或行列式等问题。
2. 矩阵的特征值与特征向量：通过矩阵的特征值和特征向量，可以研究矩阵的稳定性、振动问题等。
3. 矩阵在图像处理中的应用：计算机图形学中，矩阵可以用于表示和处理图像，如图像的旋转、缩放、平移等操作。
总结：矩阵是高等数学中的重要概念，具有广泛的应用。
矩阵的运算知识点总结
矩阵的运算知识点总结一、矩阵的定义在开始讨论矩阵的运算知识点之前，首先需要了解矩阵的定义。
矩阵是由数个数按矩形排列组成的数组。
一般地，我们定义一个m×n矩阵A为一个m行n列的数组，其中每个元素aij（i行j列的元素）都是一个实数。
数学上通常用大写字母A、B、C、...表示矩阵。
例如，一个3×2矩阵可以表示为：A = [a11 a12a21 a22a31 a32]其中，a11、a12、a21、a22、a31、a32是矩阵的元素。
二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法当两个矩阵具有相同的行数和列数时，它们可以相加。
矩阵相加是将对应位置的元素相加得到新的矩阵。
例如，对于矩阵A和矩阵B相加，结果矩阵C的第i行第j列元素为：cij = aij + bij。
2. 矩阵的减法矩阵的减法定义与加法类似，对应位置的元素相减得到新的矩阵。
例如，对于矩阵A和矩阵B相减，结果矩阵C的第i行第j列元素为：cij = aij - bij。
3. 矩阵的数量乘法矩阵与一个实数相乘，是将矩阵的每个元素都乘以该实数。
例如，对于矩阵A和实数k相乘，结果矩阵B的元素为：bij = k * aij。
4. 矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行列互换得到新的矩阵。
例如，对于矩阵A的转置矩阵AT，有AT 的第i行第j列元素为A的第j行第i列元素。
5. 矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵运算中最重要的部分。
两个矩阵的乘法只有在满足第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时才能进行。
如果A是一个m×p的矩阵，B是一个p×n的矩阵，它们的乘积为一个m×n的矩阵C。
矩阵的乘法运算过程中，结果矩阵C的第i行第j列元素为：cij = a(i,1)b(1,j) + a(i,2)b(2,j) + ... + a(i,p)b(p,j)。
以上就是矩阵的基本运算，矩阵运算的内容很广泛，包括了基本运算，特殊矩阵运算和矩阵运算的性质定理等。
矩阵的概念及其基本运算
第二讲 矩 阵一、矩阵的概念及其基本运算 1. 矩阵及其表示 ()()ij ijm n m na A a A ⨯⨯或或或基本矩阵:行矩阵 ()12,,,n A a a a =列矩阵 12n a a A a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭零矩阵 000000000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭负矩阵 111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ∆---⎛⎫⎪---⎪=- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭方阵()ij n nA a ⨯=⊃()()()()()()0 00 1, ij ij ij ii ii ij jia i j a i j a i j a a i a i a a i j =∀>=∀<=∀≠⊃=∀⊃=∀=∀上三角矩阵下三角矩阵对角矩阵数量矩阵单位矩阵对称矩阵 (),ij ji a a i j ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=-∀⎪⎩反对称矩阵 特殊矩阵:可交换矩阵 AB BA =例如: 数量矩阵与任何同阶方阵都是可交换矩阵, 即()()kE A A kE =秩1矩阵 例如: 不为零的行矩阵和列矩阵21ni i a αα='=∑2112122122212n n n n n a a a a a a aa a a a a a a a αα⎛⎫⎪ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 其中()12,,,TT n a a a αο=≠2. 基本运算及其运算规律 相等 (1,2,,,1,2,,)ij ij a b i m j n ===A B B A =⇔= (交换律）, A B B C A C ==⇒= (传递律）加法 ()()()ijij ij ij m nm nm na b a b ⨯⨯⨯+=+A B B A +=+ (交换律）()()A B C A B C ++=++(结合律)()A O A A A O+=+-= (零矩阵的作用)数乘法 ()()ijij m nm nk a ka ⨯⨯=()()()()1A Akl A k lA k l A kA lA k A B kA lA==+=++=+（分配律）乘法 ()()()ijijij m pp nm na b c ⨯⨯⨯= （其中1pij ik kjk c a b==∑）()()AB C A BC =（结合律）()()()k AB kA B A kB ==（结合律） ()A B C AB AC +=+（左分配律）()A B C AC BC +=+（右分配律）m n n m m n m n A E E A A ⨯⨯⨯==（单位矩阵的乘法作用）m n n p m p p m m n p n A O O O A O ⨯⨯⨯⨯⨯⨯== (零矩阵的乘法作用)()()1 ,k k k l k llk kl kk k A A A A A A A A AB BA AB A B k l -+=====方阵的幂的性质)若则(以上与皆为正整数)(矩阵的转置 ()()T ijji m nn mA a A a ⨯⨯=⇒=()()()()TT TT T TTT TA AA B A B kA kA AB B A =+=+'==* 相等与加法运算的条件 * 乘法运算的条件* 乘法没有交换律 (例2.3, 例2.4, 例2.5)消去律 (例2.7)幂零律 (例如: 211,11A A O ⎛⎫==⎪--⎝⎭)3. 矩阵应用用矩阵表示线性变换 Y AX = 用矩阵表示线性方程组 AX B =二、逆矩阵1. 方阵行列式及其性质 方阵行列式 A A ⇒运算性质 TA A =11(0)n A AA A AAB BA A Bμμ--=≠===⋅2. 伴随矩阵及其性质伴随矩阵 1112121222*12Tn n n n nn A A A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⇒⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭运算性质 **AA A A A E ==()()()()()***1*****2*1*(0)T T n n n A A kA k A k AB B A A AAA A---==≠===3. 逆矩阵及其性质若存在矩阵B , 使得AB BA E ==, 则称矩阵A 可逆, 称B 为A 的逆, 并记1B A -=.性质: 1)逆矩阵唯一.2)若,A B 是同阶可逆矩阵, 则AB 也是可逆矩阵, 且()111AB B A ---=.3)矩阵A 可逆的充要条件是0A ≠.且当0A ≠时, 11AA A-*=. 4)若A 可逆,数0k ≠, 则1*,,,T A A A kA -都可逆, 且()()()()()()11111**11111TT A A A A A A A AkA A k--------=====5)若A 可逆, 则()()()011(,)kk k k l k llk klA EA A A A A A A A k l ---+=====以上皆为整数4. 判定矩阵可逆的几个条件 (1)矩阵A 可逆的充要条件是0A ≠.(2)矩阵A 可逆的充要条件是, 存在矩阵B , 使得AB E BA E ==或. 5. 逆矩阵的计算方法(1)伴随矩阵法 当0A ≠时, 11AA A-*=. (2)初等变换法 ()()1 A E E A -→三、初等变换初等变换 P39初等矩阵 对单位矩阵实施一次初等变换后的矩阵 P39 初等矩阵有三种类型 []()(), P i j P i k P i j k +⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 初等矩阵是可逆矩阵 []()(),= 1 = 1P i j P i k k P i j k -+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦初等矩阵的逆矩阵分别为[][]()()()1111,=, = P i j P i j P i k P i P i j k P i j k k ---⎡⎤⎛⎫+=+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦初等变换的性质:定理1(P41 定理2.7)[],i j r r A B P i j A B ↔→⇔= （[],i jc c A B AP i j B ↔→⇔=）()()0i r kk A B P i k A B ⨯≠→⇔=⎡⎤⎣⎦ （()()0i c kk A B AP i k B ⨯≠→⇔=⎡⎤⎣⎦） (),i j r kr A B P i j k A B +→⇔=⎡⎤⎣⎦ （(),i jc kc A B AP i j k B +→⇔=⎡⎤⎣⎦）定理2(P44 定理 2.10) 任何矩阵A 都与形如rE O O O ⎛⎫⎪⎝⎭的矩阵等价（其中r 由A 唯一决定）. r E O O O ⎛⎫⎪⎝⎭称为矩阵A 的等价标准形. 推论（P44 定理2.12） 对于任意矩阵A , 一定存在可逆矩阵P Q 和, 使得r E O PAQ O O ⎛⎫=⎪⎝⎭. 推论（P44 定理2.11） 可逆矩阵的等价标准形是单位矩阵, 即可逆矩阵等于初等矩阵之积.6. 逆矩阵应用利用逆矩阵解线性方程组 01A AXB X A B ≠-==()()1A B E A B -→利用逆矩阵求逆线性变换 01A Y AX X A Y ≠-== 四、分块矩阵分块对角阵 12n A A A A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 其中(1,2,,)iA i n =是方阵分块对角阵的性质: (1) 12n A A A A =⋅;(2) 若0(1,2,,)i A i n ≠=, 则111121n A A A A ----⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 五、习题解答 1. P49 8. 提示: ()()()()()()112242222A E AE A E A E A E A E --+-=++-=-=()()()()()11122222442A E AE A E A E E E A E ---+-=++-=-+=2. P49 10.提示: 11010143100010143100100201001100201001001120010001120010X ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪=-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭010100100,001001010⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是第一种初等矩阵, 其逆是自己. 由定理2.7易得X . 3. P49 11.提示: ()()()()()111AB A B A E B A B A E A A E A E E E A E ---=+⇒-=⇒=-=--+=+-4. P50 13. 提示: ()()()()11111111nn P AP PAP P AP P AP P APP APP AP P A P --------===5. P49 12.提示: 运用P50 13.的结果：()1nP AP -=1n P A P -.6. P50 16.提示: 0***1A n n AA A E A A A A a ≠-=⇒== 7. P50 17. 提示: 设()ijn nA a ⨯=, 则0*210,1,,A nTTij j AA AA A E AA O a i n =====⇒==∑,A 是实数矩阵0,ij a ij A O ⇒=∀⇒=. 产生矛盾, 故0A ≠.8. P50 18. 证明: E A -可逆, 并求其逆. 提示: 方法一 验证法方法二 构造法假设E A -可逆, D 是其逆, 则()E A D E -=, 于是2232111k k k k D AD E AD A D A A D A D A A D A D A D E A A ----=-=-=+-==+++因此, E A -可逆, 且()11k E A E A A ---=+++.9. P50 19. 证明: E BA +可逆, 并求其逆. 提示: 方法一 验证法方法二 构造法假设E A -可逆, D 是其逆, 则()E A D E -=, 于是2232111k k k k D AD E AD A D A A D A D A A D A D A D E A A ----=-=-=+-==+++因此, E A -可逆, 且()11k E A E A A ---=+++.10. P50 22.结论: 与对角阵可交换的矩阵一定是对角阵. 11. P50 4结论: 上（下）三角矩阵的积是上（下）三角矩阵；对角矩阵的积是对角矩阵. 12. P51 5.提示: (1)一方面 12 =c c Amm nnn m m E B E BA B AE OE E E BA E BA --==⋅--另一方面 21 c c Bmm nn n E B E O AE AE AB E AB-=-=-(2)m n nE BE AB AE λλ-=121011() c c Am n n m n m m E BABOE E E BA E BAλλλλλλλλ-≠--=⋅-=-分块对角阵性质＝13. P51 6. 提示:()()()()()111211211211111111*********D CA B r A r r r r A Br A B E O EA B A O C D O E O D CA B CA E E O A A B D CA B CA D CA B CA O E D CA B CA D CA B -----------------------⎛⎫⎛⎫→→ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫+--- ⎪⎪ ⎪--⎝⎭六、知识扩展 1. 已知()11123,123αβ⎛⎫== ⎪⎝⎭, 设A αβ'=, 求n A . 提示: ()()1nn nA αβαβαβ-'''==11111232332133312n n αβ--⎛⎫ ⎪⎪ ⎪'== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2. 设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭, E 为2阶单位矩阵, 矩阵B 满足2BA B E =+, 求B . （2006 数四）提示: ()22BA B E B A E E =+⇒-=()111111221111B A E ---⎛⎫⎛⎫⇒=-== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭3. 设101020101A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 而(2)n ≥为正整数, 求12n n A A --. （1999 数三 四） (答案: O )（可试着推测结果）提示:22020402202A A ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭()12222n n n A A A A A O --⇒-=-=4. 设010100001A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, 1B P AP -=, 其中P 为三阶可逆矩阵, 求200422B A -. (2004 数四) 提示: 24111A A E -⎛⎫⎪=-⇒=⇒ ⎪ ⎪⎝⎭200421200421232223.1B A P A P A P P A --⎛⎫⎪-=-=-= ⎪ ⎪-⎝⎭5. 设,,A B C 均为n 阶矩阵, 若,B E AB =+C A CA =+, 求B C -. （2005 数四） 提示: ()(),B E A E C E A A -=-=()() E A B C E A E A B C E-⎧⇒⎨--=-⎩⇒-=可逆 6. 设,,A B C 均为n 阶矩阵, 2,3A B ==-, 求*12A B-. （1998 数四） (答案: 2123n --)提示: 1*1*11222n n n A BA B AB---=⋅=. 7. 设矩阵211,3223A B A A E -⎡⎤==-+⎢⎥⎣⎦, 求1B -. （2002 数四）提示: 方法一 先求出B , 再计算1B -方法二 由232B A A E =-+()()()()11122B A E A E B A E A E ---⇒=--⇒=--8. 设A 是任一(3)n n ≥阶方阵, k 为常数, 求()*kA . （1998 数二）提示: 方法一 因为kA 的余子式1n ij ij A k A -=, 故()*1*n kA k A -=.方法二 加强条件法 如果是选择题, 可设A 可逆, 0k ≠, 则()()*111*1n n kA kA kA k A A k A k---==⋅=. 9. 已知n 阶矩阵,A B 满足1()()B E A E A -=+-,证明: E B +可逆, 并求其逆. 若1000230004500067A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦, 求1()E B -+. （2000 数二） 提示: 方法一 1()()B E A E A -=+-,()()()22B AB E A E A B E A E E A E B E⇒+=-⇒+++=⇒++= 故E B +可逆, 且()()112E B E A -+=+. 方法二 1()()B E A E A -=+-,()111()(2)2()2()B E A E E A B E A E B E E A ---⇒=+-+⇒=+-⇒+=+故E B +可逆, 且()()112E B E A -+=+. 10. 已知矩阵,A B 满足124A B B E -=-, 证明矩阵2A E -可逆. 若120120002B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 求矩阵A .（2000 数二）提示: 由124A B B E -=-()()()()242428248AB B AA EB A E E A E B E E⇒-=⇒-=-+⇒--= 故2A E -可逆. 且()1284A E B E -=+-=11. 设矩阵X 满足*12,A X A X -=+ 求矩阵X . （1999 数二）提示: 由*12,A X A X -=+()()1222A X E AX A E A X E X A E A -⇒=+⇒-=⇒=- 12. 设矩阵A 的伴随矩阵*100001001010038A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 且113,ABA BA E --=+ 求矩阵B . (2000 数一) 提示: 113,ABA BA E --=+()()()()1*11**33333()n AB B A A E B A E A B E A E A B A E B A A E A A A---⇒-=⇒-=⇒-=⇒-=⇒=-=13. 矩阵X 满足AXA BXB AXB BXA E +=++, 矩阵100011110,101111110A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 求X . （2001数二）14. 已知n 阶矩阵,A B 满足条件AB B A -=, 求A . (若120210002B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦) (1999 数四） 提示: 由AB B A -=()()()1A EB E E A E B E -⇒--⇒=+-=15. 设矩阵,A B 满足关系式2AB A B =+, 求矩阵B . (若423110123A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 求B ) （1987 数三 四）16. 设矩阵,A B 满足*28A BA BA E =-, 求B .(若100020001A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 求B ) （1998 数三 四）提示: 方法一*28A BA BA E =-,()()()**128(2,)2882A E BA E A E A B A E A BA A B A E A -⇒-=--⇒-=-⇒=--故，可逆方法二 若A 已知, 则A 必是可逆矩阵（方法一）, 则()()*11128282882A BA BA E A A B B A A E A B E B A E A ---=-⇒=-⇒-=-⇒=--17. 设A 是3阶方阵, 将A 的第1列与第2列交换得B , 再把B 的第2列加到第3列得C , 求满足AQ C =的可逆矩阵Q . （2004 数一）提示: 因为3212,c c c c A B B C +↔→→, 所以()()()1,2,3,21AP B BP C ==()()()()()()0111,23,211,23,21100001AP P C Q P P ⎛⎫⎪⇒=⇒== ⎪ ⎪⎝⎭.18. 设A 为3阶矩阵, 将A 第2行加到第1行得B , 再将B 的第1列的-1倍加到第2列得到C , 记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 则（A ）1C P AP -=; (B )1C PAP -=; (C )TC P AP =; (D )TC PAP =. （2006 数一）(答案: B ) 提示:11211121,r r c c r r c c A B B C A C +-+-→→⇒→1C PAP -∴=19. 设212223111213311132123313a a a B a a a a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+++⎝⎭, 111213212223313233,a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭试给出,A B 间的关系式. 并证明,A B 同时可逆或同时不可逆.提示:1232r r r r A B ↔+→()()() 3,211,2 B P P A B A∴==-20. 设A 为()2n n ≥阶可逆矩阵, 交换A 的第1行与第2行得矩阵B , **,A B 分别为,A B 的伴随矩阵, 证明: 交换*A 的第1列与第2列得矩阵*B -. （2005 数一 二）。
大学高等数学第六章2矩阵及其运算
1 2 1 4
D
142
2 3 1 5
3 1 2 11
编辑ppt
5111
2 2 1 4
D1 2
3
1
142 5
0 1 2 11
11 5 1
1 2 2 4
D3 2
3
2
426 5
3 1 0 11
15 1 1
1 2 1 4
D2 2
2
1
284 5
3 0 2 11
11 1 5
1 2 1 2
D4 2
要的“矩形数表”，在数学学科中，则可用矩阵
来表示。
编辑ppt
● 矩阵的概念
矩阵的定义（见书P233定义1） 矩阵的一般形式如下：
a11 a12 ......a1n
a
21
a 22 ......a 2n
......
a m 1 a m 2 . . . . . .a m n
a 其中：i j 称作矩阵的元素。
Am nO m nAm n
（2）结合律 （A+B）+C = A+（B+C） 编辑ppt
●矩阵的减法
a11
设
A
a m1
a1n
a mn
Am nAm nO m n
，则称矩阵
a11 a m1
a1n
为A
的负矩阵，记作
A
。
a mn
若A、B为同型矩阵，则规定 ABA(B)，
即 ABaijbij m n编辑ppt
作AB 。
注意：同型是相等的必要条件。 如：
2 0 0
0
0
2 0
0
2
2 0
高数-矩阵的概念及运算
a21 a22
an1 an2
an1 an2 ann
a1n
a2n
ann
显然, n 阶方阵的转置仍然是n 阶方阵. (AT)T =A.
系数矩阵和增广矩阵
例2. 2. 1 三元线性方程组
x1 2x2 3x3 8, 1 2 3
5x2 2x3 4,
2 x1
3x3 2
0 2
10 6 5
2
3 1
求全年电视销售情况？ 7 10 3 6 5 5
1
2
2 3 0 1
定义
矩阵——矩形数表
a11
A
a21
M
a12 L a22 L M
a1n
a2n
M
用大写黑体拉丁字母A,B,C等表示
am1 am2 L amn
元素 aij 数学理论中，元素可以是数，也可以是其他对象; 方阵：m=n时, 称n阶方阵或n阶矩阵; 1阶矩阵就是一个数.
接着用中行“中禾不尽者遍乘左行而以直除……”， 即接着消去左右两行中的中禾每秉的实, 同现代的解 一次方程组的加减消元法十分一致.
最后: 左方下禾不尽者，上为法，下为实，实即下禾 之实。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。 余如中禾秉数而一，即中禾之实。求上禾，亦以法 乘右行下实，而除下禾、中禾之实。余如上禾秉数 而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。”
法国的彪特在刘徽之后约一千三百年的《算术》一 书中开始用不甚完整 (没有认识负数) 的加减消元法 解联立一次方程组。
前面解题过程中的方框即可视为矩阵, 可见矩阵并 以矩阵解一次方程组是我国古代数学家首创.
2.2.2 矩阵的加减和倍数
1、矩阵的加法
１) 定义
设有两个m n矩阵 A aij , B bij , 那末矩阵
高中数学中的矩阵定义及其运算法则
高中数学中的矩阵定义及其运算法则矩阵是一种常见的数学工具，可以描述线性方程组、向量、转化为矢量空间等等。
在高中数学中，矩阵是一个重要的概念。
本文将会引导您深入了解矩阵的定义、性质及其运算法则。
一、矩阵的定义矩阵可以用一个矩形的数字表格表示，该表格中的每一个数字称为矩阵的一个元素。
矩阵的大小由它的行数和列数来确定。
例如，一个名为A的矩阵可以写作：A = [a11 a12 a13][a21 a22 a23][a31 a32 a33]在上面的矩阵中，a11、a12、a13等数字是矩阵的元素，第一行的三个数字是第一行中的三个元素。
同样，第一列的三个数字是第一列中的三个元素。
二、矩阵的特殊矩阵有几种特殊的矩阵在高中数学中具有重要的地位，下面是其中一些：1. 零矩阵零矩阵也称为零矩阵或零矩阵，表示所有元素都是0。
例如：0 0 00 0 00 0 02. 单位矩阵单位矩阵也称为单位矩阵或标准矩阵，表示矩阵的对角线上的元素都是1和其他元素都是0。
例如：1 0 00 1 00 0 13. 对称矩阵如果一个矩阵A等于其转置矩阵AT，则称矩阵A是对称矩阵。
例如：1 2 32 0 43 4 5三、矩阵的运算法则在高中数学中，矩阵的运算法则包括加法、减法、数与矩阵的乘法和矩阵之间的乘法。
这里将一一介绍。
1. 矩阵的加法矩阵的加法规则很简单，对应元素相加。
例如，如果有两个矩阵A和B：A = [1 2 3]B = [2 4 6][4 5 6] [2 2 2][7 8 9] [1 1 1]A和B的和是：A +B = [3 6 9][6 7 8][8 9 10]2. 矩阵的减法矩阵的减法规则也很简单，对应元素相减。
例如，如果有两个矩阵A和B：A = [1 2 3]B = [2 4 6][4 5 6] [2 2 2][7 8 9] [1 1 1]A和B的差是：A -B = [-1 -2 -3][2 3 4][6 7 8]3. 数与矩阵的乘法数与矩阵的乘法非常简单，只需要将每个元素乘以该数即可。
矩阵的性质与运算法则
矩阵的性质与运算法则矩阵作为数学中的重要概念，在现代科学技术发展中起到了举足轻重的作用。
在线性代数、图像处理、机器学习等领域中都有广泛的应用。
本文将讨论矩阵的性质与运算法则，包括矩阵的基本概念、运算法则、矩阵转置、矩阵乘法、矩阵求逆等内容。
矩阵的基本概念矩阵是由数个行列组成的方便计算的数学对象，一般用大写字母表示。
矩阵按照元素个数和元素类型的不同，可以分为实数矩阵和复数矩阵两种。
一个m×n的矩阵，可以用两个下标i和j（1≤i≤m,1≤j≤n）来表示矩阵中的每个元素，其中i表示该元素所在的行数，j表示该元素所在的列数。
矩阵的运算法则矩阵加减法是一种常见的矩阵运算法则。
对于同型的两个矩阵A和B，它们的和矩阵C的每个元素Cij= Aij+ Bij。
矩阵加减法满足交换律和结合律，即A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)。
矩阵转置矩阵转置是把一个矩阵的行与列对换，得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。
对于一个m×n的矩阵A，其转置矩阵AT为一个n×m的矩阵，其中ATij= Aji。
矩阵转置有以下性质：(AT)T=A，(AB)T=BTAT，(A+B)T=AT+BT。
矩阵乘法矩阵乘法是矩阵运算中比较重要的一种计算方法。
对于两个矩阵A和B，如果A的列数等于B的行数（即A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵），则可以定义A和B的乘积C为一个m×p的矩阵，其中Cij=Σk=1nAikBkj。
矩阵乘法不满足交换律，即AB≠BA，但满足结合律，即A(BC)=(AB)C。
矩阵求逆矩阵求逆是指对于一个可逆矩阵A，求出其逆矩阵A-1，使得AA-1= A-1A=I，其中I为单位矩阵。
只有方阵才能求逆，且只有行列式不为0的矩阵才是可逆矩阵。
矩阵求逆有以下性质：(A-1)-1=A，(AB)-1=B-1A-1，(AT)-1=(A-1)T。
总结矩阵的性质与运算法则一般是线性代数中必须掌握的内容。
矩阵知识点总结
矩阵知识点总结矩阵是线性代数中的重要概念，它在许多科学领域中都有广泛的应用，如物理、工程、计算机科学等。
了解和掌握矩阵的相关知识对于理解和解决实际问题具有重要意义。
本文将对矩阵的基本定义、运算、特殊类型以及其在实际应用中的应用进行总结。
矩阵是由数值排列而成的矩形阵列，其中包含了行和列。
一般可以表示为一个大写字母，如A、B等。
矩阵的大小由它的行数和列数确定，例如一个m行n列的矩阵被称为一个m x n矩阵。
矩阵的运算包括加法、减法、乘法和求逆。
矩阵的加法和减法是按照相应位置上的元素进行相加或相减的运算。
矩阵的乘法是将一个矩阵的每个元素与另一个矩阵对应位置上的元素相乘并相加得到一个新的矩阵。
矩阵的逆是指存在一个矩阵B，使得矩阵A与B相乘得到单位矩阵。
矩阵的运算具有一些基本的性质，如结合律、交换律和分配律等。
矩阵还具有一些特殊的类型，如方阵、对称矩阵、上三角矩阵和单位矩阵等。
方阵是行数等于列数的矩阵。
对称矩阵是其转置矩阵等于它本身的矩阵。
上三角矩阵是除了主对角线以下的元素都为零的矩阵。
单位矩阵是一个对角线上的元素都为1，其他元素都为零的方阵。
不同的特殊类型的矩阵在实际问题中具有不同的应用。
矩阵在实际应用中有广泛的应用。
在线性方程组的求解中，矩阵可以表示为系数矩阵和常数矩阵，通过矩阵的运算可以求解未知数的值。
在图像处理中，矩阵可以表示为像素的强度值，通过对矩阵的操作可以实现图像的增强和滤波等效果。
在机器学习和人工智能中，矩阵可以表示为特征矩阵和权重矩阵，通过矩阵的乘法运算可以实现分类和预测等任务。
总之，矩阵是线性代数中的重要概念，在实际问题的求解中具有广泛的应用。
了解和掌握矩阵的相关知识对于理解和解决实际问题具有重要意义。
通过学习矩阵的定义、运算、特殊类型以及其在实际应用中的应用，可以提高我们的数学能力和问题解决能力。
希望本文对读者对矩阵的理解和应用提供了一些参考和帮助。
东北大学高数教材解析
东北大学高数教材解析
东北大学高数教材解析
一、微积分方面
1.微积分的概念：微积分是数学中对函数的一种分析，它给出了函数的变化趋势，通过研究函数的极限、连续性、微分、积分，使我们充分了解函数的性质和研究函数的应用。
2.推导公式：为了更清晰地观察函数的变化趋势，我们要推出有关微积分的各种公式，如极限的定义，导数的定义，导数的求法，积分的定义，积分的求法等等，建立适当的函数关系模型，根据不同情况进行分析和求解。
3.应用：微积分一般应用于物理、化学、数学、经济学等各种学科，需要我们了解函数的变化趋势，进行曲线拟合、最优化分析等，来达到对问题的求解。
二、线性代数方面
1.矩阵的概念：矩阵是数学中的一种表示数据的方法，它可以有效地表示向量和线性变换的关系，是线性代数学科的基础。
2.求解方法：矩阵是线性代数学科解决多元函数的基础工具，因此，为了更好地解决复杂的多元函数，我们还可以使用矩阵对其进行求解，
具体可以使用行列式求解，行列式展开求解，向量分析，矩阵逆的求解，联立方程的求解等。
3.应用：矩阵在线性代数学科中应用较为广泛，它可以用于系统稳定分析、概率统计、状态估计、最优解决方案的求取、多项式的拟合等。
三、概率论方面
1.概率的概念：概率是研究不确定事件出现的可能性，是数量和因素关系的描述，它具有客观性和可测性，是研究统计数据分析的重要工具。
2.概率模型：概率模型是研究不确定事件出现的可能性时具有重要意义，比如伯努利模型，二项式模型，多项式模型，泊松模型，正态模型等，都可以用于概率分析。
3.应用：概率论在模拟、统计学、信息科学、经济学等多个领域都有着广泛的应用，它可以用于模拟实际问题，统计分析数据，评估风险，
预测可能性等。
矩阵的基本运算与性质知识点
矩阵的基本运算与性质知识点矩阵是线性代数中重要的概念之一，广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。
本文将介绍矩阵的基本运算与性质知识点，包括矩阵的定义、加法、数乘、乘法、转置、逆矩阵等内容。
一、矩阵的定义矩阵是由m行n列数字组成的一个矩形数组，通常用大写字母表示。
其中，m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
例如，一个3行2列的矩阵可以表示为：A = [a11 a12a21 a22a31 a32]其中a11, a12, a21等表示矩阵中的元素。
二、矩阵的加法对于两个同型矩阵A和B，即行数和列数相等的矩阵，可以进行加法运算。
加法的结果是一个同型矩阵C，其每个元素等于相应位置的两个矩阵元素之和。
例如，对于两个3行2列的矩阵A和B，其加法C可以表示为：C = A + B = [a11 + b11 a12 + b12a21 + b21 a22 + b22a31 + b31 a32 + b32]三、矩阵的数乘矩阵的数乘是指将一个数与矩阵的每个元素相乘。
结果是一个与原矩阵同型的矩阵。
例如，将一个3行2列的矩阵A乘以一个数k，得到的结果可以表示为：C = kA = [ka11 ka12ka21 ka22ka31 ka32]四、矩阵的乘法矩阵的乘法是指将一个m行n列的矩阵A与一个n行p列的矩阵B 相乘，得到一个m行p列的矩阵C。
矩阵乘法的定义是，C的第i行第j列的元素等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。
例如，对于一个2行3列的矩阵A和一个3行2列的矩阵B，其乘法C可以表示为：C = AB = [a11b11 + a12b21 + a13b31 a11b12 + a12b22 + a13b32a21b11 + a22b21 + a23b31 a21b12 + a22b22 + a23b32]五、矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行与列对换得到的新矩阵。
如果原矩阵为A，转置后的矩阵表示为A^T。
例如，对于一个3行2列的矩阵A，其转置矩阵表示为：A^T = [a11 a21 a31a12 a22 a32]六、逆矩阵对于一个n阶矩阵A，如果存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，则称矩阵A可逆，矩阵B称为矩阵A的逆矩阵，记作A^-1。
矩阵知识点完整归纳
矩阵知识点完整归纳矩阵是线性代数中的重要概念，在数学、物理学、计算机科学等众多领域都有着广泛的应用。
下面让我们来对矩阵的相关知识点进行一个完整的归纳。
首先，我们来了解一下矩阵的定义。
矩阵是一个按照矩形排列的数字或者符号的数组。
比如说，一个 m 行 n 列的矩阵，我们就称之为m×n 矩阵。
矩阵有着不同的类型。
比如零矩阵，就是所有元素都为零的矩阵；单位矩阵，是主对角线上元素都为 1，其余元素都为 0 的矩阵；还有对称矩阵，其特点是矩阵关于主对角线对称，即 Aij ＝ Aji 。
矩阵的运算也是重要的知识点。
矩阵的加法，要求两个矩阵必须具有相同的行数和列数，对应位置的元素相加。
矩阵的数乘，就是用一个数乘以矩阵中的每一个元素。
矩阵的乘法相对复杂一些。
当矩阵A 的列数等于矩阵B 的行数时，两个矩阵才能相乘。
其计算规则是，矩阵 A 的第 i 行元素与矩阵 B 的第 j 列元素对应相乘再相加，得到乘积矩阵中的第 i 行第 j 列元素。
矩阵乘法有着一些重要的性质。
比如，一般情况下矩阵乘法不满足交换律，即 AB 不一定等于 BA ；但满足结合律和分配律。
接下来谈谈矩阵的转置。
将矩阵的行和列互换得到的矩阵就是原矩阵的转置矩阵。
转置矩阵有着一些有用的性质，比如（A ＋ B)＾T ＝A^T ＋ B^T 。
逆矩阵是另一个关键概念。
对于一个 n 阶方阵 A，如果存在另一个n 阶方阵 B ，使得 AB ＝ BA ＝ I （其中 I 是单位矩阵），那么矩阵 A可逆，矩阵 B 就是矩阵 A 的逆矩阵。
逆矩阵具有唯一性。
判断一个矩阵是否可逆，通常通过计算矩阵的行列式。
若矩阵的行列式不为零，则矩阵可逆；若行列式为零，则矩阵不可逆。
矩阵的秩也是一个重要的概念。
矩阵的秩是矩阵中线性无关的行向量或者列向量的最大个数。
通过初等变换可以求矩阵的秩。
在实际应用中，矩阵可以用来表示线性方程组。
通过对增广矩阵进行初等行变换，可以求解线性方程组的解。
高考数学矩阵知识点
高考数学矩阵知识点在高考数学中，矩阵是一个重要的概念，它在代数、几何、线性方程等多个领域中都有广泛应用。
本文将详细介绍高考数学中的矩阵知识点，包括定义、运算、特殊矩阵等内容。
一、矩阵的定义矩阵是一个按照矩形排列的数的集合，通常用大写字母表示。
一个矩阵可以用行数和列数来描述，表示为m×n的矩阵，其中m表示行数，n表示列数。
矩阵中的每个数称为矩阵的元素，可以记作a_ij，其中i表示行号，j表示列号。
二、矩阵的运算1. 矩阵的加法两个相同维数的矩阵相加，就是将对应位置的元素相加得到一个新的矩阵。
2. 矩阵的乘法（1）数乘：将一个矩阵的每一个元素都乘以一个常数。
（2）矩阵乘法：设A为m×n的矩阵，B为n×p的矩阵，则A与B的乘积C为m×p的矩阵。
C的第i行第j列的元素可以通过A的第i行与B的第j列做内积求得。
即C的第i行第j列的元素为A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。
3. 矩阵的转置将矩阵的行与列互换得到的新矩阵称为原矩阵的转置。
4. 矩阵的逆如果一个矩阵A存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，则称矩阵A为可逆矩阵，矩阵B为矩阵A的逆矩阵。
三、矩阵的特殊类型1. 零矩阵所有元素都为0的矩阵称为零矩阵，记作O。
2. 设单位矩阵对角线元素为1，其它元素都为0的方阵称为单位矩阵，记作I。
3. 对称矩阵如果矩阵A的转置等于它本身，即A^T=A，那么矩阵A称为对称矩阵。
4. 反对称矩阵如果矩阵A的转置等于它的相反数，即A^T=-A，那么矩阵A称为反对称矩阵。
四、矩阵的应用1. 矩阵在线性方程组中的应用通过构建系数矩阵和常数矩阵，可以使用矩阵运算求解线性方程组，得到方程组的解。
2. 矩阵在几何中的应用矩阵可以表示平移、旋转、缩放等几何变换，并且可以通过矩阵运算进行组合和求逆，实现复杂的几何变换。
3. 矩阵在代数中的应用矩阵可以用来表示线性映射，例如将一个向量通过矩阵乘法映射到另一个向量空间中。
矩阵的基本概念与运算
矩阵的基本概念与运算一、矩阵的基本概念矩阵是线性代数中的一种基本工具，它是由一组数按照矩形排列而成的表格结构。
矩阵由行和列组成，行表示矩阵的水平方向，列表示矩阵的垂直方向。
一个m行n列的矩阵可记作A = [aij]，其中i代表行号，j代表列号，aij表示矩阵A在第i行第j列的元素。
二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法给定两个相同大小的矩阵A和B，它们的和矩阵C可以通过循环计算得到。
对应元素相加即可，即Ci,j = Ai,j + Bi,j。
2. 矩阵的数乘给定一个矩阵A和一个实数k，实数k与矩阵A的乘积矩阵B可以通过循环计算得到。
每个元素都乘以k，即Bi,j = k * Ai,j。
3. 矩阵的乘法矩阵的乘法涉及到两个矩阵A和B，前提是A的列数等于B的行数。
它们的乘积矩阵C可以通过循环计算得到。
行乘以列的规则是Ci,j = Σ(Ai,k * Bk,j)，其中k代表循环的次数，Σ表示累加求和。
三、矩阵的特殊类型1. 零矩阵全为零的矩阵称为零矩阵，记作0。
2. 单位矩阵主对角线上元素全为1，其余元素全为0的矩阵称为单位矩阵，记作I。
3. 对角矩阵除了主对角线上的元素外，其余元素都为零的矩阵称为对角矩阵。
4. 转置矩阵将矩阵A的行变成列，列变成行得到的新矩阵称为A的转置矩阵，记作A^T。
四、矩阵的性质与应用1. 可逆矩阵如果一个方阵A存在一个方阵B，使得AB=BA=I，那么矩阵A称为可逆矩阵。
可逆矩阵的逆矩阵记作A^-1。
2. 矩阵的秩一个矩阵的秩是指矩阵中非零行的最小数目。
秩反映了矩阵所包含的独立行或列的数量。
3. 矩阵的应用矩阵在许多科学和工程领域中都有广泛的应用，例如线性方程组的解法、图像处理、数据压缩、网络分析等。
五、总结矩阵是线性代数中重要的数学工具，由行和列组成。
矩阵的基本运算包括加法、数乘和乘法，可以通过循环计算得到。
矩阵的特殊类型包括零矩阵、单位矩阵、对角矩阵和转置矩阵。
可逆矩阵和秩是矩阵的重要性质。
矩阵的性质与运算
矩阵的性质与运算矩阵是线性代数中一个重要的概念，它不仅在数学领域有着广泛的应用，还在物理、工程等多个学科中发挥着重要的作用。
矩阵的性质和运算是我们研究和应用矩阵的基础，本文将详细介绍矩阵的性质和运算，使读者对矩阵有更加深入的理解。
一、矩阵的基本性质1.1 矩阵的定义矩阵是一个按照长方阵列排列的数表，其中的元素可以是实数、复数或其他数域中的元素。
一个矩阵有m行和n列，我们通常以大写字母表示矩阵，如A、B等。
1.2 矩阵的维度如果一个矩阵有m行和n列，我们称其为m×n维矩阵，其中m表示行数，n表示列数。
特殊地，如果一个矩阵的行数和列数相等，我们称其为方阵。
1.3 矩阵的元素矩阵中的每个数称为一个元素，我们通常用小写字母表示矩阵中的元素。
例如，矩阵A的第i行、第j列的元素用aij表示。
1.4 矩阵的转置对于一个m×n维矩阵A，将其行与列互换得到的n×m维矩阵称为A的转置矩阵，记作AT。
即A的第i行第j列的元素aij在AT中就是第j行第i列的元素。
二、矩阵的运算2.1 矩阵的加法对于两个维度相同的矩阵A和B，它们的和记作A + B。
矩阵A +B的第i行第j列的元素等于矩阵A和矩阵B对应位置上元素的和。
即(A + B)ij = Aij + Bij。
2.2 矩阵的减法对于两个维度相同的矩阵A和B，它们的差记作A - B。
矩阵A - B的第i行第j列的元素等于矩阵A和矩阵B对应位置上元素的差。
即(A - B)ij = Aij - Bij。
2.3 矩阵的数乘对于一个维度为m×n的矩阵A和一个实数或复数c，我们可以将A的每个元素都乘以c得到一个新的矩阵cA。
即(cA)ij = c·Aij。
2.4 矩阵的乘法对于两个矩阵A和B，它们的乘积记作AB。
要使得两个矩阵A和B可以相乘，A的列数必须等于B的行数。
如果A是一个m×n维矩阵，B是一个n×p维矩阵，那么它们的乘积AB是一个m×p维矩阵。
第二章 矩阵及其运算总结
§1 矩阵及其运算一、矩阵的基本概念（必考）矩阵，是由m*n个数组成的一个m行n列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素表示，其中下标都是正整数，他们表示该元素在矩阵中的位置.比如,或表示一个m*n 矩阵，下标ij 表示元素位于该矩阵的第行、第列.元素全为零的矩阵称为零矩阵. 特别地，一个m*1矩阵，也称为一个 m维列向量；而一个 1*n矩阵B=(b1,b2,…，bn)，也称为一个 n维行向量.当一个矩阵的行数m与烈数n 相等时，该矩阵称为一个 n阶方阵.若一个n阶方阵的主对角线上的元素都是，而其余元素都是零，则称为单位矩阵，记为，即： .单位矩阵与实数中的‘1’的运算相近.如一个阶方阵的主对角线上（下）方的元素都是零，则称为下（上）三角矩阵是一个阶下三角矩阵.例题：1.A既是上三角矩阵，又是下三角矩阵，则A必是对角矩阵2.两矩阵既可相加又可相乘的充要条件是两矩阵为同阶方阵.3.A=(l≠n)，则A的主对角线上个元素的和为 (设矩阵为2行3列的矩阵，找规律)二、矩阵的运算1、矩阵的加法：如果是两个同型矩阵（即它们具有相同的行数和列数，比如说），则定义它们的和仍为与它们同型的矩阵（即），的元素为和对应元素的和，即：.给定矩阵，我们定义其负矩阵为： .这样我们可以定义同型矩阵的减法为： .由于矩阵的加法运算归结为其元素的加法运算，容易验证，矩阵的加法满足下列运算律：(1)交换律：； (2)结合律：；(3)存在零元：;(4)存在负元：.2 、数与矩阵的乘法的运算律：（1)；（2)；（3)；（4) .3 、矩阵的乘法（必考）设为距阵，为距阵，则矩阵可以左乘矩阵（注意：距阵的列数等与矩阵的行数），所得的积为一个距阵，即,其中,并且(即左行乘右列)矩阵的乘法满足下列运算律（假定下面的运算均有意义）：(1）结合律：； (2）左分配律：；(3）右分配律：；(4）数与矩阵乘法的结合律：；(5）单位矩阵的存在性：.若为阶方阵，则对任意正整数，我们定义：，并规定：由于矩阵乘法满足结合律，我们有：， .注意：矩阵的乘法与通常数的乘法有很大区别，特别应该注意的是：（必考重要）（1)矩阵乘法不满足交换律：一般来讲即便有意义，也未必有意义；倘使都有意义，二者也未必相等.正是由于这个原因，一般来讲,在实数中的某些运算不再适应，如,，反过来，这些公式成立的条件又恰是A、B 可逆.例：A,B,C 是同阶矩阵，A ≠0,若AB=BC,必有B=C,则A满足可逆（2)两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，即未必能推出或者. 同理，A ≠0，B ≠0，而AB却肯能等于0.例题：（选择题5、6）（3)矩阵的乘法不满足消去律：如果并且，未必有 .4 、矩阵的转置：定义：设为矩阵，我们定义的转置为一个矩阵，并用表示的转置，即：.矩阵的转置运算满足下列运算律：（1)；（2)；（3)；（4) (重要).5、对称矩阵：n 阶方阵若满足条件：，则称为对称矩阵；若满足条件：，则称为反对称矩阵.若设，则为对称矩阵，当且仅当对任意的成立；为反对称矩阵，当且仅当对任意的成立.从而反对称矩阵对角线上的元素必为零.对称矩阵具有如下性质：（1)对于任意矩阵，为阶对称矩阵；而为阶对称矩阵；（2)两个同阶（反）对称矩阵的和，仍为（反）对称矩阵；（3)如果两个同阶（反）对称矩阵可交换，即，则它们的乘积必为对称矩阵，即.运算性质：1） （2） （3）（4） （5）三、逆矩阵1.定义 对于n 阶矩阵A ，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==．则A 称为可逆矩阵或非奇异矩阵．B 称为A 的逆矩阵，．由定义可得，A 与B 一定是同阶的，而且A 如果可逆，则A 的逆矩阵是唯一的．这是因为（反证法），如果1B 、2B 都是A 的逆矩阵，则有E A B AB ==11，E A B AB ==22，那么22212111)()(B EB B A B AB B E B B =====所以逆矩阵是唯一的．我们把矩阵A 的逆矩阵记作1-A ．逆矩阵有下列性质： （1）如果A 可逆，则1-A 也可逆，且A A =--11)(．由可逆的定义，显然有A 与1-A 是互逆的． （2）如果A 、B 是两个同阶可逆矩阵，则)(AB 也可逆，且111)(---=A B AB ．（必考重点） 这是因为 E A A AEA ABB A A B AB =⋅===------111111)())((E B B EB B B A A B AB A B ====------111111)())((，所以111)(---=A B AB ．（必考重点）这个结论也可以推广到有限个可逆矩阵想乘的情形. （3）可逆矩阵A 的转置矩阵T A 也是可逆矩阵，且T T A A )()(11--=．这是因为E E A A A A T T TT===--)()(11，E E AA A A T T T T ===--)()(11所以 T TA A )()(11--=．（4）如果A 是可逆矩阵，则有11--=A A ．这是因为E AA=-1，两边取行列式有 11=⋅-A A ，所以111--==A AA ． 矩阵可逆的条件（1）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是| A | ≠ 0（也即r （A ）= n ）；（2）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 可以通过初等变换（特别是只通过初等行（列）变换）化为n 阶单位矩阵；（3）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 可以写成一些初等矩阵的乘积；（4）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 的n 个特征值不为零；（5）对于n 阶方阵A ，若存在n 阶方阵B 使得AB = E （或BA = E ），则A 可逆，且A -1= B. 逆矩阵的有关结论及运算必考 ——求法方法1 定义法：设A 是数域P 上的一个n 阶方阵，如果存在P 上的n 阶方阵B ，使得AB = BA= E ，则称A 是可逆的，又称B 为A 的逆矩阵.当矩阵A 可逆时，逆矩阵由A 惟一确定，记为A -1.例1：设A 为n 阶矩阵，且满足22A - 3A + 5E = 0，求A -1.【解】22 2 -12A - 3A + 5E = 02A - 3A = - 5E23-A - A =E 552323A (- A - E) = - A - E = E555523A A = - A - E55∴∴∴∴可逆且方法 2 伴随矩阵法：A -1= 1|A|A*.定理n 阶矩阵A = a ij 为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且11211122221121n n nnnn A A A A A A A A A A A -⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭其中A ij 是|A|中元素a ij 的代数余子式.矩阵112111222212n n nnnn A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A*，于是有A -1=1|A|A*. 注 ①对于阶数较低（一般不超过3阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵.注意A* = （A ji ）n ×n 元素的位置及符号.特别对于2阶方阵11122122a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其伴随矩阵22122111*a a A a a -⎛⎫=⎪-⎝⎭,即伴随矩阵具有“主对角元素互换，次对角元素变号”的规律.②对于分块矩阵A B C D ⎛⎫⎪⎝⎭不能按上述规律求伴随矩阵.例2：已知101A=210325⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭，求A -1.【解】 ∵| A | = 2 ≠ 0 ∴A 可逆.由已知得111213212223313233A = - 5, A = 10, A = 7A = 2, A = - 2, A = - 2A = - 1, A = 2, A = 1 ， A -1= 1|A| A* = 5115212211022511272171122⎛⎫-- ⎪--⎛⎫ ⎪⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭- ⎪⎝⎭方法3 初等变换法：注 ①对于阶数较高（n ≥3）的矩阵，采用初等行变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便.在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换.②也可以利用1E A E A -⎛⎫⎛⎫−−−−→⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等列变换求得A 的逆矩阵. ③当矩阵A 可逆时，可利用求解求得A -1B 和CA -1.这一方法的优点是不需求出A 的逆矩阵和进行矩阵乘法，仅通过初等变换即求出了A -1B 或CA -1.例3：:用初等行变换求矩阵231A 013125⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵.【解】()231100125001125001A E 01301001301001301012500123110000611212500112500101301001301001910211100166311341006631310122111001663⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭-- ⎪⎝⎭⎛--→---⎝⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎭1113410066313A 010********1663-⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭故 方法4 用分块矩阵求逆矩阵：设A 、B 分别为P 、Q 阶可逆矩阵，则：1111111111111111A A 000B 0C O A A A CB A O A O BD B O B B DA B B O A O B B O AO ----------------⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例4：已知0052002112001100A ⎛⎫⎪ ⎪=⎪-⎪⎝⎭，求A -1.【解】 将A 分块如下：12005200211200110O A A A O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪== ⎪⎪⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭其中 125212,2111A A -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可求得 1*1*1122121212111,2511||||3A A A A A A ---⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 从而11211120033110331200250O A A A O ---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪== ⎪⎪⎝⎭ ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭方法5 恒等变形法求逆矩阵：有些计算命题表面上与求逆矩阵无关,但实质上只有求出矩 阵的逆矩阵才能算出来,而求逆矩阵须对所给的矩阵等式恒等变 形,且常变形为两矩阵的乘积等于单位矩阵的等式.例8 已知，且，试求．解 由题设条件得3.伴随矩阵 如果n 阶矩阵A 的行列式0≠A ,则称A 是非奇异的(或非退化的).否则,称A 是奇异的(或退化的).（n 阶矩阵A 可逆的充要条件是:|A|≠0）设n n ij a A ⨯=)(,ij A 是A 中元素)21(n j i a ij ，，，， =的代数余子式.矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n A A A A A A A A A A 212221212111*（顺序变化，重点）称为A 的伴随矩阵. 矩阵n n ij a A ⨯=)(为可逆矩阵的充分必要条件是A 为非奇异矩阵,并且当A 可逆时,有*11A AA =-，伴随矩阵 例1. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=313132121A 判断A 是否可逆,如果可逆,求1-A .解: 因为01313132121≠=---=A ,所以A 可逆.又.13221)1(11211)1(;11312)1(71321)1(;63311)1(53112)1(;11332)1(93312)1(;83113)1(333323321331322322221221311321121111=---==-==---=-=--=-=--=-=---==--==--==---=+++++++++A A A A A A A A A所以 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==-1711691581*1A A A 四、分块矩阵一、分块矩阵的概念对于行数和列数较高的矩阵, 为了简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的运算化成若干小矩阵间的运算，同时也使原矩阵的结构显得简单而清晰. 具体做法是：将大矩阵用若干条纵线和横线分成多个小矩阵. 每个小矩阵称为A 的子块, 以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.矩阵的分块有多种方式，可根据具体需要而定注：一个矩阵也可看作以n m ⨯个元素为1阶子块的分块矩阵. 二、分块矩阵的运算分块矩阵的运算与普通矩阵的运算规则相似. 分块时要注意，运算的两矩阵按块能运算，并且参与运算的子块也能运算，即，内外都能运算.1. 设矩阵A 与B 的行数相同、列数相同，采用相同的分块法, 若,,11111111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s t st s t B B B B B A A A A A其中ij A 与ij B 的行数相同、列数相同, 则.11111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=+st st s s t t B A B A B A B A B A2.设,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s t A A A A Ak 为数, 则.1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s t kA kA kA kA kA 3．设A 为l m ⨯矩阵, B 为n l ⨯矩阵, 分块成,,11111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=tr t r st s t B B B B B A A A A A其中pt p p A A A ,,,21 的列数分别等于tq q q B B B ,,,21 的行数, 则,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=sr s r C C C C AB 其中).,,2,1;,,2,1(1r q s p B A C t k kqpk pq ===∑=4. 分块矩阵的转置设,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s t A A A A A则.1111⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T st T tT s T TA A A A A 5. 设A 为n 阶矩阵, 若A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块, 其余子块都为零矩阵, 且在对角线上的子块都是方阵, 即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=s A O A O A A21, 其中),,2,1(s i A i =都是方阵, 则称A 为分块对角矩阵.分块对角矩阵具有以下性质：(1) 若 ),,2,1(0||s i A i =≠，则0||≠A ，且|;|||||||21s A A A A =(2) .112111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----s A O A O A A(3) 同结构的对角分块矩阵的和、差、积、商仍是对角分块矩阵. 且运算表现为对应子块的运算。
大学数学易考知识点线性代数中的矩阵运算规则
大学数学易考知识点线性代数中的矩阵运算规则在大学数学中，线性代数是一门重要且基础的课程。
而在线性代数的学习过程中，矩阵运算规则是一个非常关键的知识点。
学好线性代数中的矩阵运算规则，不仅可以帮助我们更好地理解和应用线性代数的概念，还对于接触更高级的数学课程以及在实际问题中的分析与计算有着重要的作用。
一、矩阵的定义和表示方法矩阵是一种非常重要且灵活的数学工具，它是由一些数按照矩形排列组成的矩形阵列。
在线性代数中，矩阵通常使用大写的字母来表示，例如矩阵A，B，C等。
矩阵的元素可以是实数或复数。
矩阵的行数和列数分别称为矩阵的阶数，用m * n表示，其中m表示行数，n表示列数。
矩阵的表示方法有多种，常见的有行向量的表示方法和列表示方法。
行向量表示方法即将矩阵的元素按照行的顺序排列在一起，用方括号[ ]表示；列表示方法即将矩阵的元素按照列的顺序排列在一起，用方括号( )表示。
例如一个3阶2列的矩阵A可以表示为：A = [a11 a12][a21 a22][a31 a32]二、矩阵的加法和减法矩阵的加法和减法是矩阵运算中的基本运算之一。
对于两个相同阶数的矩阵A和B，它们的和与差的定义如下：矩阵A和B的和记为A + B，其定义为将A和B的对应元素相加而得到的矩阵。
即（A + B）ij = Aij + Bij，其中1<=i<=m，1<=j<=n。
矩阵A和B的差记为A - B，其定义为将A和B的对应元素相减而得到的矩阵。
即（A - B）ij = Aij - Bij，其中1<=i<=m，1<=j<=n。
需要注意的是，进行矩阵的加法和减法运算时，要求两个矩阵的阶数相同，即它们的行数和列数都相等。
否则，加法和减法运算是没有定义的。
三、矩阵的数乘矩阵的数乘是矩阵运算中的另一个基本运算。
给定一个矩阵A和一个数α，其数乘运算的定义如下：矩阵A与数α的乘积记为αA，其定义为将A的每个元素乘以α而得到的矩阵。
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若另一商店的价格是
0.4
0.3 0.6 用矩阵如何表示?有何优点?
34.5 37.7 7 . 7 . 7
一分店 二分店
这个结果的意义是什么?
利润 3.2 0.7 (单位： 十万元)
进货金额 销售金额 34.5 37.7 7 7.7
1. 矩阵的乘法
定义
B bij 是一个 设 A a ij 是一个m s 矩阵， s n 矩阵，那末规定矩阵 A与矩阵 B 的乘积 是一个m n 矩阵 C c ij ，其中
cij ai 1b1 j ai 2 b2 j ais bsj aik bkj
s
i 1,2,m; j 1,2,, n,
并把此乘积记作
k 1
C AB .
例2.2.5
4 2 4 2 C 1 2 22 3 6 22
进货价 销售价
(单位:千元/台) 47吋 42吋 2 1.5 2.2 1.6
3 3.3 (数量矩阵×价格矩阵) 7 3 5 1 2 0 . 2 2.2 1.5 1.6 7 3 3 2 5 1.5 7 3.3 3 2.2 5 1.6 1 3 2 2 0 1.5 1 3.3 2 2.2 0 1.6
系数矩阵和增广矩阵
例2. 2. 1
三元线性方程组
3x 8 1x1 2 x2 3 8, 5 x 2 x 4, 0 5 2 4 2 3 22 x1 0 3 3x 2 3 2
的 系数矩阵和增广矩阵分别是
12 15 0.3 12 0.2 15 0.8 1 7.4(元) 0.3 0.2 0.8 1
这是一行矩阵与一列矩阵的乘法.
引例 2
上例,若还有一个小学生买了8支铅笔; 练习本 10本; 蓝墨水2瓶, 各样物品价格相同. 两人各自共 花去多少钱? 能用矩阵表示计算过程吗?是否更简约?
《方程》章的解法为
“置上禾三秉, 中禾二秉,下禾一秉, 实三十九斗于右
方; 中、左行列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直 除。又乘其次, 亦以直除……” (直除——减去对应 的各数，到不能再减为止). 按照这种解法，列出下列算式：
用右行上禾秉数3遍乘中行各数，得6, 9, 3, 102 减
例2.2.6 设
32 16 16 22 8
4 2 1 1 1 2 1 3
?
1 0 1 2 A 1 1 3 0 0 5 1 4
a11 a12 a21 a22 A A a m 1 a m 1 a1n a 2 n . amn
2) 数乘矩阵的运算规律
（设 A、B为 m n 矩阵， , 为数）
1 λ + μ A = λA + μA, λ A + B = λA + λB;
当我们处理大量数据的时候，就需要矩阵了
引例3 某商店上半年电视经营情况
某商店上半年电视销售情况(单位:百台)
51吋 7 1 51吋 3 3.3 47吋 3 2 42吋 5 0
简记为
一分店
二分店
7 3 5 1 2 0
3 3.3 2 2.2 1.5 1.6
3 Α + Ο = Ο + Α = Α.
(零矩阵的单位性)
T T T
(4) A + B = A + B .
(保持转置性)
(5)负矩阵的存在性和矩阵的减法
a11 a 21 A = am1 a12 a22 am1 a1n a2 n aij , amn
• 矩阵的简记法:
B1 – (aij)mn B 2 An –用行向量表示 A 1, A 2, –用列向量表示 B m 这里，Aj为列向量，Bi为行向量。
矩阵的相等
矩阵的元素都一一对应相等时，两个矩阵才 相等. 行数和列数不相等的矩阵绝不能相等! 行数和列数相同的矩阵称同型矩阵，即两个 矩阵相等的先决条件是两者为同型矩阵。
我们分别用矩阵 A 和 B 来列出总公司和分公司的职 工人数情况，然后汇总统计用矩阵 A ＋ B 表示，即
50 100 5 100 300 10 150 400 15 A B ' 10 200 15 25 100 20 35 300 35
称为矩阵A的负矩阵。
有 A A O, A B A B .
这就是矩阵的减法
例2.2.1
设某公司的职工按男女区分统计如下
总公司 分公司 其他 5 15 技术人员 生产工人 100 25 300 100 其他 10 20
技术人员 生产工人 男 女 50 10 100 200
12 1 3 8 5 9 13 11 4 1 6 9 5 0 4 7 4 4 . 6 3 3 6 2 8 9 81
2) 矩阵加法的运算规律
1 A + B = B + A; (交换性) 2 A + B +C = A + B +C . (结合性)
2.2.1 矩阵的概念
• 引例某商店上半年电视销售情况(单位:百台) 简记为 51吋 47吋 42吋
一分店 二分店 7 1 51吋 10 2 3 2 47吋 6 3 5 0 42吋 5 1
某商店下半年电视销售情况(单位:百台) 一分店
二分店
7 3 5 1 2 0
10 6 5 2 3 1
2.2 矩阵及其运算
矩阵也是是线性代数的重要工 具，矩阵理论的应用，最常见 也最重要的就是解线性方程组。
温州大学教育学院 王靖庶
本节知识点和教学要求
知识点
– 矩阵的概念
– 矩阵的乘法
– 逆矩阵
-矩阵的加减和倍数 -初等变换和矩阵的秩 -求解可的基本法则 – 熟练运用初等变换，进而能求矩阵的秩 – 熟练运用初等变换求矩阵的逆 – 熟练运用初等变换求解可逆矩阵方程
求全年电视销售情况？
7 10 3 6 5 5 1 2 2 3 0 1
a11 a21 A 矩阵——矩形数表 用大写黑体拉丁字母A,B,C等表示 am1
定义
a12 a22 am 2
a1n a2 n amn
元素 aij 数学理论中，元素可以是数，也可以是其他对象; 方阵：m=n时, 称n阶方阵或n阶矩阵; 1阶矩阵就是一个数. 向量:1 × n阶矩阵——行向量, n × 1阶矩阵——列向量.
从矩阵 A ＋ B 中可了解该机械公司的职工总数情况：男 性技术人员、生产工人、其他职工分别为150 、 400 、 15 人，而女性职工分别为 35 、 300 、 35 人．
例2.2.4 设
4 2 4 2 5 2 0 2 0 1 5 1
去右行对应各数，得3, 7, 2, 63，再减一次，得 0, 5, 1, 24，不能再减了 (消去一个未知数——上禾每 秉的实); 又用3遍乘左行各数,得3, 6, 9, 78 减去右 行对应各数，得0, 4, 8, 39. 如下:
接着用中行“中禾不尽者遍乘左行而以直除……”，
即接着消去左右两行中的中禾每秉的实, 同现代的解 一次方程组的加减消元法十分一致. 最后: 左方下禾不尽者，上为法，下为实，实即下禾 之实。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。 余如中禾秉数而一，即中禾之实。求上禾，亦以法 乘右行下实，而除下禾、中禾之实。余如上禾秉数 而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。” 法国的彪特在刘徽之后约一千三百年的《算术》一 书中开始用不甚完整 (没有认识负数) 的加减消元法 解联立一次方程组。 前面解题过程中的方框即可视为矩阵, 可见矩阵并 以矩阵解一次方程组是我国古代数学家首创.
(对加法的分配性)
2 λμ A = λ μA ;
T T 3 ( λ A) = λ A .
(结合性) (保持转置性)
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的 线性运算.
2.2.3 矩阵的乘法
引例1
一个小学生买了12支铅笔,每支0.3元; 练习本15本, 每本0.2元; 蓝墨水一瓶,价0.8元.共花去多少钱? 计算过程可表示如下:
2.2.2 矩阵的加减和倍数
1、矩阵的加法
１) 定义 设有两个 m n矩阵 A a ij , B bij , 那末矩阵 A 与 B 的和记作 A B，规定为
a11 b11 a 21 b21 A B a b m1 m1
a12 b12 a 22 b22 a m 2 bm 2
零矩阵
矩阵O= (aij)mn的mn个元素均为零。 即
0 5 2 k 1
k 1 0 0 2 0 O 2 0 5 k 1
转置矩阵AT
a11 a12 a21 a22 A an1 an 2
a11 a21 a22 a a2 n T 12 A ann a1n a2 n
a1n
an1
an 2 ann
显然, n 阶方阵的转置仍然是n 阶方阵. (AT)T =A.