4.3 单一参数的交流电路 秦曾煌 第六版

UI sin 2 ω t
(2) 平均功率
P 1 T 1 T
o
T
p dt UI sin (2 ω t ) d t 0
o
T
L是非耗 能元件
p 分析：瞬时功率 ： i u UI sin 2 ω t
u i
o
ωt
i u 可逆的能量 转换过程
p +
u
+
i
u
+
i u +
i
结论： 纯电感不消 耗能量，只和 电源进行能量 交换（能量的 吞吐)。
U X I
i u ω L
I U jω C
U 1 I jω C
u L
di dt
XC
1 2π fC
I , XC
XC 1 ω C
I U (2 π f C )
容抗XC是频率的函数 由： u
i
O 2 U sin ω t 2 U ω C sin ( ω t 90 )
I
f
可得相量式 U U 0
I I 90 j U ω C
I 超前 U 90

T
p dt
0 T 0
C是非耗 能元件
UI sin (2 ω t ) d t 0
p 瞬时功率 ： i u UI sin 2 ω t
u,i o i u
ωt
i
u p +
i
+
u -
u
+
i
u
+
i
结论： 纯电容不消 耗能量，只和 电源进行能量 交换（能量的 吞吐)。
所以电容C是储 能元件。
例1: 把一个0.1H的电感接到 f=50Hz, U=10V的正弦 电源上，求I，如保持U不变，而电源 f = 5000Hz, 这时I为多少？ 解： (1) 当 f = 50Hz 时
X L 2 fL 2 3.14 50 0.1 31.4 Ω
I
U X
L

10 31.4
或 I
U
L
定义： X L L 2 f L 则:
U I XL
感抗(Ω )
X L 2 π fL
直流：f = 0, XL =0，电感L视为短路 XL 交流：f
电感L具有通直阻交的作用
XL ω L 2 π f L
感抗XL是频率的函数 根据： i
u 2 I sin ω t
O
结论: p 0 （耗能元件）,且随时间变化。
(2) 平均功率(有功功率)P
瞬时功率在一个周期内的平均值
P
大写

i
+ u _
p p R
1 T
1 T


0
T 0
p dt
1 T

T 0
u i dt
T
UI (1 cos2 ω t )d t UI
2
P
O ωt
P UI I R
2
X
C

U X
2
C
单位：var
【练习】 指出下列各式中哪些是对的，哪些是错的？ 在电阻电路中： 在电感电路中： 在电容电路中：
I U R U
i
I
u XL
U ω L
U I
j ωL
U I ω C
u iX
L
i
R
U jX I
L
C
i
I
u R
U R
I , XL
I
U 2fL
XL
O
f
U 超前 I 90
U
2 I ω L sin ( ω t 90 )
可得相量式：I I 0
U U 90 Iω L 90
U U 则： 90 j L I I U j I ω L I (j X L )
2 U sin ( ω t 90 ) u i (1) 频率相同
90
O
(2) U =I L (3) 电压超前电流90 ωt 相位差 ψu ψi 90
i u
2 I sin ω t 2 I ω L sin ( ω t 90 )
有效值: U I ω L
则： U jI
1 ω C
jI X C
电容电路中复数形式的欧姆定律
相量图
U
2.功率关系
由
u i 2 U sin ω t 2 U ω C sin ( ω t 90 )
i
+
u _ C
(1) 瞬时功率
(2) 平均功率 Ｐ
P 1 T 1 T
p i u U m I m sin ω t sin ( ω t 90 ) U m Im sin 2 ω t UI sin 2 ω t 2
+ p <0
o
+ p <0
p >0
ωt
p >0
充电 放电 充电 放电
(3) 无功功率 Q 为了同电感电路的无功功率相比较，这里也设
i 2 I sin ω t
则：u 2 U sin ( ω t 90 )
所以 p UI sin2 ω t
同理，无功功率等于瞬时功率达到的最大值。
Q UI I
相量图
I
电感电路复数形式的欧姆定律
2. 功率关系 (1) 瞬时功率
i 2 I sin ω t u 2 I ω L sin ( ω t 90 )
p i u U m I m sin ω t sin ( ω t 90 ) U m Im U m I m sin ω t cos ω t sin 2 ω t 2
4.3.3 电容元件的交流电路
1.电流与电压的关系
i
基本关系式： i C
du dt
+
设： 2 U sin ω t u
则：
i C du dt
u _
C
2 UC ω cos ω t

u i
2 U ω C sin( ω t 90 )
u i
电流与电压 的变化率成 正比。
90
(1) 频率相同 (2) I =UC ωt (3)电流超前电压90 相位差 ψ u ψ i 90
u i
2 U sin ω t 2 U ω C sin ( ω t 90 )
有效值
定义：
I U ω C
XC 1 ωC
或
1 2π fC
U
1 ωC
I
容抗（Ω ）
则:
XC 1 2π f C
U I XC
直流： C X 交流：f
，电容C视为开路
XC
所以电容C具有隔直通交的作用
U
2RBiblioteka 单位:瓦（W） 注意：通常铭牌数据或测量的功率均指有功功率。
4.3.2 电感元件的交流电路
1. 电压与电流的关系 di 基本关系式： e L L u
i
+
u
L
设： 2 I sin ω t i
u L d( 2 I sin ω t )
dt
eL
-
+

u i
dt 2 Iω L sin ( ω t 90 )
相量图 相量式：
I I 0 U U 0 IR
2. 功率关系 (1) 瞬时功率 p：瞬时电压与瞬时电流的乘积 u i i u i 2 I sin ω t
u
小写
2 U sin ω t
O p
ωt p
p ui
2 UI sin
2
ωt
ωt
UI (1 cos 2 ω t )
318mA
（2）当 f = 5000Hz 时
X
L
2 fL 2 3.14 5000 0.1 3140 Ω
I U X
L

10 3140
3.18mA
所以电感元件具有通低频阻高频的特性 练习题： 1.一只L=20mH的电感线圈，通以 i 5 2 sin(314 t 30 )A 的电流 求(1)感抗XL;(2)线圈两端的电压u; (3)有功功率和无功功率。
4.3 单一参数的交流电路
4.3.1 电阻元件的交流电路
1. 电压与电流的关系 根据欧姆定律: u iR 设 u U m sin ω t
i u R U m sin ω t R 2U R
2 I sin ω t
I
i
+ u _ R
sin ω t
U
I m sin ω t
(1) 频率相同 U I (2)大小关系： R (3)相位关系 ：u、i 相位相同 相位差 ： u i 0
+ p <0 + p <0
o
p >0
p >0
ωt
电感L是储 能元件。
储能 放能 储能 放能
(3) 无功功率 Q 用以衡量电感电路中能量交换的规模。用瞬时功率 达到的最大值表征，即 p 瞬时功率 ： i u UI sin 2 ω t
Q U I I XL U
2 2
XL
单位：var