2020-2021学年六年级奥数试题第20讲：组合图形的计算

2020-2021学年六年级奥数试题第20讲：组合图形的计算学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．有一大一小两个正方形，它们的周长相差20厘米，面积相差55平方厘米，那么小正方形的面积是多少平方厘米？
2．如图3所示，将△ABC的各边都延长1倍到，得到一个新的，如果△ABC的面积为10，求△的面积。

图3
3．如图6所示，四边形ABCD是正方形，求阴影部分的面积。

4．长方形ABCD的周长是26厘米，在它的每条边上各画一个以该边为边长的正方形。

已知这四个正方形的面积之和为178平方厘米，那么长方形ABCD的面积是多少平方厘米？
5．已知a和b均为正数，求证：。

6．如图9所示，正方形ABCD的边长为8厘米，M为AD边上的中点，求图中阴影部分的面积。

7．图12a中的三角形纸片沿虚线折叠得出实线图形(见图12b)，其面积与原三角形面积之比为2∶3已知图12b中三个画阴影的三角形面积之和为1，那么重叠部分的面积是多少？
8．已知a、b均为正数，试用面积方法证明：
9．如图17所示，正方形的面积是27平方厘米，在正方形内有两条平行于对角线段把正方形的面积平均分成三份，求图中这两条线段的长是多少厘米？
10．如图，一个矩形被分成A、B、C、D四个矩形，现在已知A的面积是2平方厘米，B 的面积是4平方厘米，C的面积是6平方厘米。

试问：原矩形的面积是多少平方厘米？
二、填空题
11．已知一个四边形的两条边的长度和它的三个角的度数（如图），那么这个四边形的面积是_____平方厘米．
12．如图13所示，四边形ABCD的面积是______平方厘米（单位：厘米）。

13．用一根铁丝分别围成正方形、等边三角形和圆，那么这三种图形围成的面积的大小顺序是______。

14．如图14所示，在正方形中画了两个圆，将正方形分成四个区域，则A区域与B 区域面积相差______。

15．如图15所示，ABDE是以长方形ABCD的对角线BD为底的等腰梯形，已知三角形BDE 的面积是200平方厘米，则长方形内半圆的面积是______。

16．如图16所示，在△ABC中，，BE=EF=FC，，则阴影部分面积是三角形ABC面积的______。

参考答案
1．9平方厘米
【解析】
【分析】
先求出边长再求面积是一般解法，我们可以利用割补拼凑的方法利用图像来比较直观地求解本题。

【详解】
如图1所示，将两个正方形的一个顶点对齐，将大正方形在小正方形外的部分分割成两个直角梯形，再拼成一个长方形。

由于两个正方形的周长相差20厘米，从而它们的每边相差，即图2中长方形的宽是5厘米。

又因为长方形的面积是两个正方形的面积之差，即为55平方厘米，从而长方形的长为55÷5=11厘米。

由图中可知，长方形的长是直角梯形的上底和下底的和；长方形的宽是直角梯形的上底和下底的差，从而小正方形的边长为（11-5）÷2=3（厘米）。

所以小正方形的面积为3×3=9（平方厘米）。

2．70
【解析】
【分析】
本题仅知△ABC的面积为10，因此，必须根据三角形的两条基本性质：等底的两个三角形面积比等于高之比；等高的两个三角形面积等于底之比，来作出与△ABC等底或等高的三角形。

【详解】
在△和△ABC中，因为，所以的面积是△ABC的两倍。

即
同理
所以
答：△ABC的面积是70。

3．
【解析】
【分析】
本题的解法思路不外两种：
（1）由大正形的面积减去四个三角形的面积；
（2）由两个平行四边形AFCH和BGDE的面积和减去中间的四边形面积。

这两种方法均可。

下面我们采取第二种思路解题。

【详解】
平行四边形AFCH旋转90°后变成平行四边形BGDE，从而这两个平行四边形面积相等，并且有DE⊥AF，即四边形MNPQ是正方形。

从而阴影部分的面积
答：阴影部分的面积是。

4．40平方厘米
【解析】
【分析】
考虑到恰为长方形的长和宽之和，即为周长的一半，从而可以和构成一个大正方形，如图7所示，其中包含长方形ABCD面积的两倍和两个正方形，这两个正方形的面积恰为178平方厘米的一半。

【详解】
延长，
正方形的面积为13×13=169（平方厘米）
正方形与的面积和为178÷2=89（平方厘米），
长方形ABCD和面积相等，所。

答：长方形ABCD的面积是40平方厘米。

5．证明：如果a=b，则，不等式成立。

若a≠b，以a、b为边长作正方形ABCD和BEFG，如图8所示：
连接EG、AC，延长AC交EG与点M，由于∠MAB=∠MEB=45°，所以∠AME是直角。

从而
所以
综上所述，
【解析】
【详解】
略
平方厘米
6．64
3
【解析】
【分析】
直接用三角形的面积公式来求解是比较难的。

因此不妨通过添加适当的辅助线来化简问题。

【详解】
如图10所示
连接DG
（同底等高）
从而
由对称性
又有（等底等高）
所以
即
从而
7．1
【解析】
【分析】
要解此种类型的题要有清晰的头脑，准确把握每个图形的关系，或者用列方程的方法也可以求解。

【详解】
解法一：因为三个画阴影的三角形的面积是1，而由已知条件折叠后的图形的面积是原三角形的面积的，面积减少了原三角形面积的。

而减少的面积，恰为图中重叠部分的面积，即重叠部分的面积是原三角形面积的。

因为原三角形的面积=三个阴影三角形的面积+两个重叠部分的面积，而两个重叠部分的面积是原三角形面积的，所以三个阴影三角形的面积是原三角形面积的，从而原三角形的面积为，因此重叠部分的面积为。

解法二：设重叠部分的面积是x，因此图12b中粗实线图形面积为x+1，原三角形的面积是：2x+1，根据题意，可列方程得
答：重叠部分的面积为1。

【点睛】
恰当运用一些基本图形的基本性质有时可以使解题变得方便、快捷，而如何在关键的地方添上合适的辅助线，要靠多接触各种不同类型的题来提高水平，也要多进行试探。

8．当a=b时，恰好左式右式，不等号成立。

当a≠b时，不妨设a>b，以a、b为长和宽作长方形ABCD，以b为边长作正方形BCFE，取AE的中点J，AJ为边长作正方形AJGH，如答图3所示。

显然
因
所以，从而
即
综合有
【解析】
【详解】
略
9．6厘米
【解析】
【详解】
如答图4所示
以一条线段BC为边作一个新的正方形ABCD。

由于原正方形的面积是27平方厘米，所以
，从而，从而BC=6（厘米）。

显然这两条平行线段的长度是相等的，因此它们的长度均为6厘米。

10．24平方厘米
【解析】
【详解】
图中的四个矩形是原矩形被两条直线分割得到的。

矩形的面积等于一组邻边的乘积。

从横向看，每行两个相邻矩形的倍比关系是一致的，B的面积是A的面积的2倍，那么D的面积也是C的面积的2倍，所以D的面积是2×6=12（平方厘米），从而原矩形的面积是2+4+6+12=24（平方厘米）。

11．20
【详解】
7×7÷2﹣3×3÷2
＝24.5﹣4.5
＝20（平方厘米）
答：这个四边形的面积是20平方厘米．
故答案为：20．
12．84
【解析】
【详解】
如答图1所示：
延长AB、DC相交于点F，∠BCF=45°,AFC=45°，从而有∠FAE=45°因此△AFE是等腰直角三角形，故EF=AE=12厘米。

而△CBF 也是等腰直角三角形，所以BF=BC=6厘米。

从而。

因此
13．
【解析】
【详解】
设铁丝的长度为a，那么它组成的正方形的边长为，从而正方形的面积是
；由铁丝围成的圆的半径是，从而它围成的面积是。

根据三角形面积推导公式可知，周长相等的情况下，三角形面积一定小于正方形面积。

综上所述有：
14．57
【解析】
【详解】
如答图2所示，要求出A区域与B区域的面积差，可以求（A+C）区域与（B+C）区域的面积差，由
从而有
15．314
【解析】
【详解】
△ABD与△BDE同底等高，因此，设长方形的宽为r，则
因此。

16．
【解析】
【详解】
从而
即阴影部分面积占三角形ABC面积的。