流体的涡度散度和形变率

当 L 闭合，但 L 不是流体的流线时，速度环流表示流体沿闭合曲线L
的速度分量与相应线段的乘积的总和。
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涡度与速度环流的关系：

运用stokes 公式，（1.42 ）的速度环流就变成：

如果闭合曲线向内无限收缩，即
，则：

上式表明，流体某点的【涡度矢】在某单位面元法向的分量 就是单位面积速度环流的极限值。
1） A B B A 2） A ( B C ) A B A C 3 ） A B 0 AB 2 i j j k k i 0 4） A A A

法形变率：

散度：
可见，流体散度是三个方向法形变率的和。因此又称散度 是体形变率。若流体运动只限于二维，则 又可以称为面形变率，表示了面积膨胀的速率。

2 i j ：二维矢量运算符 x y

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切形变率：


【切形变】如果流点考虑成微团或立方体素，当该小体素既 无体积大小变化又无转动时所发生的形状变化，就称为切形 变。 如图：正方形变成棱形，体积保持不变，此时发生的形变称 为切形变。



Pd x Qd y Rd z
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Stokes 公式：



Pd x Qd y Rd z
d yd z d zd x d xd y x y z P Q R
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Pd x Qd y Rd z
Stokes 公式：



Pd x Qd y Rd z
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有旋&无旋：




无旋运动： （不需要各个点都为零，可以允许 个别点为零，如圆点处不为零）） 有旋运动： 无辐散运动： 有辐散运动： 由于大部分流体运动都有平动和形变，所以就不用它们来分 类了。
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定常&非定常：
①
2 、按时间为标准 分为：【定常运动】和【不定常运动】 定常：若速度函数及所有物理量皆不依赖于时间t ，不随时 间变化，即： 不定常运动：
矢量数量积的正交分量表示：
A B Ax Bx Ay By Az Bz
i i j j k k 1
矢量代数：矢量的叉乘/矢量的向量积
定义：
S AB sin [ ( A, B)] 大小： S A, S B, 满足右螺旋定则 方向：
A B ( Ay Bz Az By )i ( Az Bx Ax Bz ) j ( Ax By Ay Bx )k i j k Ax Ay Az Bx By Bz
i j k j k i k i j i i j j k k 0
在Oxz 平面上的切形变率为：


若把x,y,z 与1、2、3 对应，以上形变率就是 变率）和 形式，称为【形变张量矩阵A】。
（法形 从而构成一个矩阵
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散度总结：
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流体运动的分类：



① ②
一般流体运动形式很复杂，在进行具体研究时，常常将流体 运动加以分类，而后从简单到复杂，研究流体运动的规律。 到目前为止，我们已经可以对流体运动进行一下分类： 1、以运动形式为标准分为： 【无旋运动】和【有旋运动】 【无辐散运动】和【有辐散运动】

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散度：
23
散度：
②
另外，散度还反映了流点的体积的相对膨胀（或收缩） 率。（所谓率就是指单位时间的变化） 证明：考虑一个小体元 （一个长方体流点）， 它体积的相对膨胀（或收缩）率为：
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散度
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形变率：
速度的分解：
其中：上面第一行的第二、三项
表示由于绕M0点的转动的转动速度。
上面第二行的第四、五六项 表示由于流体微团形变引起的形变速度。 所以，流点的运动有：平移、旋转、形变，形变中就包含了流 点体积的膨胀（收缩）。
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A B ( Ay Bz Az B y )i ( Az Bx Ax Bz ) j ( Ax B y Ay Bx )k i j k Ax Bx Ay By Az Bz
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Stokes 公式（二维曲面积分与一维曲线积分 间的转换）
设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线， 的侧与 的正 向符合右手法则，P、Q、R在包含 在内的一个空间域内具 有连续一阶偏导数，则有：
涡度= 定义一个新的物理量：【散度】 散度= 散度的符号： 或D
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准备知识：
①奥- 高公式（面积分和体积分转换的公式） 设 奥-高公式为：
上式中σ 是流体中某一封闭曲面，τ 为封闭曲面所围的体积。
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准备知识：
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散度：

根据奥-高公式：

τ 为封闭曲面所围的体积。当封闭曲面向内无限缩小时体 （面）向点趋近，积分的值就成了点上的值。即： 或： 【散度】 即为
旋。（流点与流点间可以有相对运动）
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注意：
② 流体流线（迹线）是直线运动不代表流点没有旋转运动。 流体流线（迹线）是圆，不代表流点在做旋转运动。（流体在 做圆运动时，流点不但在绕圆点转动，而且又在自转时，才会 涡度不为零。流体在做直线运动，但流点有自转时，涡度也不 为零。
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散度：


预备知识：
① ②
③
④
要理解涡度的物理意义，要了解以下的数学知识： 矢量代数 哈密顿算子 stokes 公式（二维曲面积分与一维曲线积分间的转换） 速度环流
1
矢量代数：矢量的正交分解 z
A Ax i Ay j Az k
大小：A A2 A2 A2 x y z Ax cos A Ay 方向： cos A Az cos A x


V d
l
l
V d
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速度环流：

这个数值称作【速度环流】，它表示了流体沿着闭合曲线流动的趋势。 当 L 为流体的流线且闭合时，处处的速度矢与线元矢量的方向一致， 因此速度环流表示流体完全按L流动。

当 L 闭合时，若=0，则流体沿着闭合曲线的分量的代数和为零。
Az
i Ax
k A

j
Ay
y
矢量8
矢量代数：矢量和（差）的正交分量表示
A Ax i A y j A z k B Bx i B y j Bz k A B ( Ax B x ) i ( A y B y ) j ( Az B z ) k
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涡度：



这样，把 称作【涡度】，是量度流体旋转程度的物 理量，它是一个矢量，有三维，所以又称为涡度矢量。 是对 这个物理量作涡度运算。 涡度的三维分量：
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涡度与角速度：
涡度≡
涡度不但是量度流体旋转的物理量，而且其值正好等于流点 角速度的两倍。 2 V curlV
②
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一维&二维&三维：
3 、按空间为标准 分为：【一维运动】、【二维运动】和【三维运动】。 ① 一维运动：若所用物理量只依赖于一个曲线坐标。如 或者 ② 二维运动：若所用物理量依赖于两个曲线坐标。如 或者 ③ 三维运动：若所用物理量依赖于三个曲线坐标。如

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注意：
①
流体涡度的概念是个局地极限概念。与刚体不同。 刚体的转动是整体性的，一点的转动就可以代表整
个刚体的转动，代表刚体上其它点的转动。

流体不同，某一流点在转动，并不代表其它流点也 在转动，或也在做同样的转动。即流体的各个流点可能在 同一时间做着不同的转动。必须逐点检验才知道整个流体 的旋转运动情况，即对于流体要指明哪一点或哪个区域有
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切形变率：


第一种情况：流点在转动，涡度 散度 ， 流点没有法形变（即：无体积膨胀或收缩），流点也没有形 状变化。 第二种情况：流点无转动也无体积膨胀（收缩），即涡度和 散度均为0， 无法形变。但是，流点的 形状发生了变化，称为有切形变。
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切形变：

在Oxy 平面上的切形变率为：

在Oyz 平面上的切形变率为：
矢量代数：矢量乘以标量
定义：
B mA
mA 大小： m 0, 与A同向； m 0, 与A反向 方向：
性质：
m( A B) mA mB
矢量代数：矢量的点乘/矢量的数量积
A B AB cos
性质：
[ ( A, B)]
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形变率：
① ②
流点的形变包括两种： 【法形变】 【切形变】（或剪切形变）
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法形变率：

表示了x 轴上【线投元】的相对伸长 （缩短） 率，是法线方向上的一种形变，定义它为【x轴向的法形 变率】，用 表示。 同样的： y轴向的法形变率 总结：【法形变率】 z轴向的法形变率



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法形变率&散度
性质：Leabharlann S A B 1） A B B A 2） A ( B C ) A B A C 3） A B 0 A // B 4） A A 0
矢量代数：矢量向量积的正交分量表示：