湿位势涡度

第28章 湿位势涡度
§28.1位势涡度和湿位势涡度定义
研究气旋性涡度发展机制是研究类似暴雨等强对流天气的重要内容。

依据对运动场特征分析，寻找大气运动的某种守恒特性，通过分析该特性在不同尺度间转化，来研究特定系统的发展，位势涡度和湿位势涡度物理量是随着气象学者对天气系统认识的深入而被研究而引近的。

定义位势涡度(简称位涡) θ
ζ
α∇⋅=a
P
(28.1.1)
为单位质量气块的绝对涡度在等熵面梯度上的投影与θ∇的乘积。

其中α为比容；θ为位温；a ζ
为三维绝对涡度。

定义湿位势涡度(简称湿位涡) e a
m
P θζ
α∇⋅= (28.1.2)
为单位质量气块的绝对涡度在湿等熵面梯度上的投影与e
θ∇的乘积。

其中e
θ为相当位温，其他同上。

§28.2位涡守恒性 由无摩檫动量方程：
P
V V t
V a ∇-=∧-+∇+∂∂αζφ
)2
(
2
(28.2.1)
对上式求旋： P
V V t
V a ∇∧-∇=∧∧∇-+∇∧∇+∂∂∧∇
αζφ
)2
(
2
(28.2.2)
得涡度方程：
α
ζζ∇∧∇=∧∧∇-∂∂P V t
a a
)(
(28.2.3)
上式中a ζ为绝对涡度：r
V a
∧Ω∧∇+∧∇=ζ；r 为位置矢量；V
为三维风矢量
令A 为任一动力不变量；即
=∇⋅+∂∂=
A V t
A dt
dA
，并注意到：
B A A B B A ∧∇⋅-∧∇⋅=∧⋅∇)（
(28.2.4)
)]
([)((a a V A V A ζζ
∧∧∇⋅∇=∧∧∇⋅∇－ (28.2.5)
其中：
t
A A V A V A V V A a
a a a a ∂∂+∇⋅=∇⋅-∇⋅=∧∧∇ζζζζζ
)()()()( (28.2.6)
于是用A ∇点乘(28.2.3)式得：
A
P A t
A V t
A a a a
∇⋅∇∧∇=∇∂∂+∇⋅⋅∇+∂∂⋅∇)()]([αζζζ
(28.2.7)
即：
A
P V A A V A t
a a a
∇⋅∇∧∇=⋅∇∇⋅+∇⋅∇⋅+∇⋅∂∂)(][][][αζζζ
(28.2.8)
用比容乘上式两边；并有连续方程： 0
=⋅∇-V dt d
αα (28.2.9)
得：
A
P A dt
d a ∇⋅∇∧∇=∇⋅)(][ααζα
(28.2.10)
如),(αP A A =是α,P 函数；且为动力不变量，则有：α
α
∇∂∂∇∂∂=∇A P P
A A
＋
故(28.2.10)式右端为0，则有：
][=∇⋅A dt
d a
ζ
α (28.2.11)
设： A
P
a
∇⋅=ζ
α (28.2.12)
=dt
dP (28.2.13)
多元大气温度满足上述假设，取θ
=A 得：
][=∇⋅=θζ
αa
dt
d dt
dP (28.2.14)
从而得到绝热、无摩檫运动的Ertel 定理： =
∇⋅=θζ
αa
P
常数 (28.2.15)
在等熵坐标中，由于θ水平梯度为0，故得：
=
∂∂⨯∇⋅+-=)/()(θ
θp
V k f g P 常数 (28.2.16)
由(28.2.15)式取静力近似，用气压坐标有：
θ
p p
V k f g P ∇⋅⨯∇
⋅+-=)(
＝常数 (28.2.17)
在绝热、无摩檫大气中位涡守恒。

§28.3湿位势涡度守恒性 由动量方程：
v
a F P V V t
V
＋∇-=∧-+∇+∂∂αζφ)2
(
2
(28.3.1)
对上式求旋得涡度方程：
ζ
αζζF P V t
a a
＋∇∧∇=∧∧∇-∂∂)( (28.3.2)
考虑潜热释放及其他形式非绝热加热d Q ，热力方程为： d
p Q dt
dq L
dt
T c +-=∂θ
θ (28.3.3)
将相当位温)
exp(
T
c Lq p e
θθ=代入上式得：(很多情况下，也用假相当位温se θ)
Q
Q T
c V t dt
d d p e
e e ≡=∇⋅+∂∂
=θθθ)( (28.3.4)
用e θ∇点乘式(28.3.2)式,并有上一节的矢量关系得：
Q
F P V V t
a e e e a e a ∇⋅+⋅∇+∇⋅∇∧∇=⋅∇∇⋅+∇⋅∇⋅+∂∂ζθθαθζθζζ
)()())((
(28.3.5) 用比容α乘上式，并利用连续方程得到： Q
F p dt
dP a e
e m ∇⋅+⋅∇+∇⋅∇∧∇=ζαθαθααζ
)( (28.3.6) 式中e a
m
P θζ
α∇⋅= 在无摩檫、湿绝热大气中有0
=ζF
；0
=Q
湿位涡方程为：
e
m p dt
dP θαα∇⋅∇∧∇=)( (28.3.7)
设状态为
),,00q t p （的未饱和空气受扰动沿干绝热上升至抬升凝结高度达到饱和态,上升气块便处于饱和状态，因此当c
p p ≤有：
)
,())(,,(),,(00αθθθp t q t p q t p e e e == (28.3.8)
即当
c
p p ≤时，等e θ面与等
p
面和等α面的相交轴平行，于是。

对饱和空气
)
,(d c t t p p ==，或未饱和空气受抬升至凝结高度以上，当
）（c p p ≤时有：
≡dt
dP m 或 ≡
∇⋅=e a
m
P θζ
α 常数 (28.3.9)
即在无摩檫、湿绝热大气中湿位涡是守恒的。

将m P 分解为垂直分量(下标z 表示)和水平分量(下标s 表示) 上式为：
e h e z m
V z
f P θαθζα∇⋅∧∇+∂∂+=
)
( (28.3.10)
§28.4等压面上的湿位涡及倾斜发展理论
在静力近似下，取
p
为垂直坐标，并假定垂直速度的水平变化比水平速度的
垂直切变小得多，由式(28.3.10)，湿位涡在等压面上的表达式为： =
∇⋅∧∇
⋅+-=e p p
m
V k f g P θ)(
常数 (28.4.1)
如定义湿位涡的第一分量为垂直分量；第二分量为等压面水平分量，即：
⎪⎪⎩
⎪
⎪
⎨⎧
∂∂∂∂+∂∂∂∂∇⋅∂∂∧-=∂∂-=x p v g
y p u g p v k g MPV p f g MPV e e e h h e p θθθθζ＝－＋（)(2)1
(28.4.2)
e
p m
MPV MPV P θ
αζ
θ
∇=+=21＝常数 (28.4.3)
表明在无摩檫、湿绝热大气中，系统涡度的发展由大气层结稳定度、斜压性和风的垂直切变等因素所决定。

在湿位涡守恒制约下，由于湿等熵面的倾斜，大气水平风垂直切变或湿斜压性增加，能够导致垂直涡度的显著性发展，这种涡度增长称倾斜涡度发展(SVD)。

SVD 发展条件（推导省略）为： 0
2
>∂∂=p
MPV C e d
θ (28.4.4)
§28.5位涡和湿位涡单位
1
1
2
2
1
1
2
1
2
])
([--------⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅=
∂∂+kg
s
k m
s
m kg k
s
s
m hPa
k
s
s
m p
f g U e θζ
1
1
2
6
10
1---⋅⋅⋅*=kg
s k m
PVU 为位涡或湿位涡单位。