《概率解答题》汇编

概率解答题

1.（12西一模）乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.

（Ⅰ）求甲以4比1获胜的概率；

（Ⅱ）求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；

（Ⅲ）求比赛局数的分布列.

2.（12东一模）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品，则获利4万元，若是二等品，则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品，则获利6万元，若是二等品，则亏损2万元.两种产品生产的质量相互独立.

（Ⅰ）设生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润为X（单位：万元），求X的分布列；

（Ⅱ）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率.

3.（12海一模）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].

（Ⅰ）求直方图中x的值；

请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少

名学生可以申请住宿；

（Ⅲ）从学校的新生中任选4名学生，这4名学

生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X，求

X的分布列和数学期望.（以直方图中新生上学所

需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需

时间少于20分钟的概率）

4.（12丰一模）某班共有学生40人，将一次数学考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图，如图所示．

（Ⅰ）请根据图中所给数据，求出a的值；

（Ⅱ）从成绩在[50,70)内的学生中随机选3名学生，求

这3名学生的成绩都在[60,70)内的概率；

（Ⅲ）为了了解学生本次考试的失分情况，从成绩在

[50,70)内的学生中随机选取3人的成绩进行分析，用X

表示所选学生成绩[60,70)内的人数，求X的分布列和

数学期望．

5.（12.1西定位）盒中装有7个零件，其中2个是使用过的，另外5个未经使用.（Ⅰ）从盒中每次随机抽取1个零件，每次观察后都将零件放回盒中，求3次抽取中恰有1次抽到使用过的零件的概率；

（Ⅱ）从盒中随机抽取2个零件，使用后

．．．放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为X，求X的分布列和数学期望.

6.（12.1海定位）为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学

改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参

加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决

赛.

（Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；

（Ⅱ）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X，求X的分布列和数学期望. 7.（12.1朝定位）如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域．用力旋转转盘，

转盘停止转动时，箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分

数（箭头指向两个区域的边界时重新转动），且箭头A指向每个区

域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为(,)a b （假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动）． （Ⅰ）求某个家庭得分为(5,3)的概率？

（Ⅱ）若游戏规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8

的家庭可以获得一份奖品．请问某个家庭获奖的概率为多少？

（Ⅲ）若共有5个家庭参加家庭抽奖活动．在（Ⅱ）的条件下，记获奖的家庭数为X ，

求X 的分布列及数学期望．

8.（12.1昌定位）某人进行射击训练，击中目标的概率是

5

4

，且各次射击的结果互不影响.

（Ⅰ）假设该人射击5次，求恰有2次击中目标的概率；

（Ⅱ）假设该人每射击5发子弹为一组，一旦命中就停止，并进入下一组练习，否则一直打完5发子弹才能进入下一组练习，求：

① 在完成连续两组练习后，恰好共使用了4发子弹的概率； ② 一组练习中所使用子弹数ξ的分布列，并求ξ的期望.

9.（11北京卷高考）以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示。

（Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差； （Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵 树Y 的分布列和数学期望。

（注：方差()()()

2222

121n s x x x x x x n ⎡

⎤=-+-++-⎢

⎥⎣⎦ ，其中x 为1x ，2x ，…… n

x 的平均数）

10.（10北京卷高考）某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得的优秀成

绩的概率为

4

5

，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为,()p q p q >，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立，记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为

（I ） 求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率； （II ） 求,p q 的值； （III ） 求数学期望E ξ.

11.（11东二模）甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为

1()2p p >，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59

．

（Ⅰ）求p 的值；

（Ⅱ）设ξ表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ． 12.（11昌二模）一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、

2、3、4、5，现从盒子中随机抽取卡片.

（Ⅰ）从盒子中依次抽取两次卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，求两次取到的卡片的数字都为奇数或偶数的概率；

（Ⅱ）若从盒子中有放回的抽取3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到卡片的数字为奇数的概率；

（III ）从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当取到记有奇数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数X 的分布列和期望.

13.（10西二模）一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5，现从盒子中随机抽取卡片.

（Ⅰ）若从盒子中有放回的取3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到的卡片上数字为偶数的概率；

（Ⅱ）若从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当取到一张记有偶数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数X 的分布列和期望.

14.（10东二模）袋中装着标有数字1，2，3，4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等．

（Ⅰ）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；

（Ⅱ）用X 表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量X 的分布列和均值．