也函数奇偶性的判断方法

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函数的奇偶性的判断和证明

函数的奇偶性的判断和证明一、函数的奇偶性的定义对于函数 f(x) ，其定义域 D 关于原点对称，如果 x D,恒有 f( x) f ( x) ，那么函数 f(x)为奇函数；如果 x D,恒有 f( x) f (x) ，那么函数 f (x)为偶函数 . 二、奇偶函数的性质1、奇偶函数的定义域关于原点对称；2、偶函数的图像关于 y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称；3、偶函数在对称区间的增减性相同，奇函数在对称区间的增减性相反；4、奇函数在原点有定义时，必有f(0) 0.三、判断函数的奇偶性的方法判断函数的奇偶性的方法，一般有三种：定义法、和差判别法、作商判别法 .1 、定义法首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求 f( x) ；最后比较 f( x)和 f (x)的关系，如果有 f( x)=f (x)，则函数是偶函数，如果有 f ( x) 2、和差判别法=- f (x) ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数 .对于函数定义域内的任意一个x ，若f( x) f(x) 0，则 f(x) 是奇函数；若f(x) f ( x)0 ，则 f (x) 是偶函数 .3、作商判别法对于函数定义域内任意一个 x ，设 f ( x) 0，若f (x)1，则 f(x) 是奇函数，f (x) 1，则 f(x)f( x)f ( x)是偶函数解题步骤首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求 f( x) ；最后比较 f ( x) 和 f(x)的关系，如果有 f( x)= f (x) ，则函数是偶函数，如果有 f( x)=- f ( x) ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数 .例 1】判断下列函数的奇偶性②令 x 0，则 f (y) f( y) 2f (0) f (y)2) f (x)2lg(1 x 2) x22点评】(1)判断函数的奇偶性首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数 . (2) 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇偶函数的必要非充分条件 . (3)函数的定义域求出来之后，还要注意在解题中应用，不是走一个过场和形式 .第 2小题就是利用求出的定义域对函数进行了化简 .例 2】定义在实数集上的函数f (x) ，对任意 x 、y R ，有 f(x y) f(x y) 2f (x) f(y)且 f (0) 0①证： f (0) 1 ②求证： y f (x)是偶函数解析】证明：①令 x y 0，则 f (0) f (0) 2[ f (0)] 2f (0) 0 ∴ f(0) 1∴ f ( y) f (y)1) f (x) (1 x)1x 1x∴ y f (x) 是偶函数【点评】对于抽象函数的奇偶性的判断，和具体函数的判断方法一样，不同的是，由于它是抽象函数，所以在判断过程中，多要利用赋值法，常赋一些特殊值，如 0、-1、1等. 学科 * 网【例 3】判断函数f (x)x x (x 0)的奇偶性x 2x (x 0)【点评】(1)对于分段函数奇偶性的判断，也是要先看函数的定义域，再考虑定义，由于它是分段函数，所以要分类讨论 . (2)注意，当 x 0时，求 f ( x) 要代入下面的解析式，因为 x 0, 不是还代入上面一段的解析式 .1)证明函数 f (x)是奇函数；(2)讨论函数 f(x)在区间 [ 1,1]上的单调性；3)设 f(1) 1 ，若 f (x) m 22am 1，对所有 x [ 1,1]， a [ 1,1]恒成立，求实数 m 的取值范围.反馈检测 1】已知 f(x)2x 1 2x 11)判断 f(x) 的奇偶性； 2)求 f(x) 的值域．反馈检测 2】已知函数 f (x) 定义域为 [ 1,1] ，若对于任意的 x,y [ 1,1]，都有f (x y) f(x)f (y)，且 x 0时，有 f (x) 0.例 4】判断函数 f(x) lg(x x 1) 的奇偶性 .【点评】和差判别法实际上是奇偶函数定义的等价形式，但是利用定义判断，计算较为复杂，利用和差判别法可以化繁为简，简捷高效 .【反馈检测 3】已知函数 f(x) log a x 2(a 0且a 1).ax 2(1)求 f (x)的定义域； (2)判定 f (x)的奇偶性；3)是否存在实数 a ，使得 f (x)的定义域为 [ m,n ]时，值域为 [log an数 a 的取值范围；若不存在，请说明理由xx例 5】判断函数 g(x)x xx的奇偶性 .2x1 2x x x 0，所以 g( x) g(x) ，所以g(x)是偶函数 .点评】和差判别法实际上是奇偶函数定义的等价形式，但是利用定义判断，计算较为复杂，利用和差判别法可以化繁为简，简洁高效1, log a m 1] ？若存在，求出实解析】由题得 x 0 ，因为 g( x) g(x)xx2 x 1 2 xx 2x 1 2x(2x 1)2x 1a1例 6】证明函数 f (x) x (a 0， a 1)是奇函数 .ax 1【点评】作商判别法实际上是奇偶函数定义的等价形式，判别法可以化繁为简，简捷高效 .参考答案反馈检测 1答案】(1)奇函数；(2){y| 1 y 1} ．但是利用定义判断，计算较为复杂，利用作商奇函数；( 2)单调递增函数；( 3)m 2或 m 2.令x y 0 ，得 f (0) f (0) f (0) ，所以 f (0) 0 ，令y x 可得：f (0) f (x) f( x) 0, 所以 f ( x)f (x) ，所以 f (x)为奇函数(2)f (x) 是定义在［1,1］上的奇函数，由题意设 1 x 1x 2 1，则f(x 2) f (x 1) f (x 2) f ( x 1) f (x 2 x 1)由题意x 0时，有 f(x) 0， f(x 2) f (x 1)反馈检测 2 详细解析】 1)因为有 f (x y) f (x) f(y) ， f (x) 是在［ 1,1］上为单调递增函数；反馈检测 2 答案】( 1)3)因为 f (x)在［ 1,1］上为单调递增函数，所以 f (x)在［ 1,1］上的最大值为 f (1) 1，2所以要使 f (x) <m 22am 1，对所有x [ 1,1],a [ 1,1] 恒成立，22只要 m 2 2am 1 1 ，即 m 2 2am0，22令 g(a) m 2am 2am m2 由g( 1) 0 得2m m 2 g(1) 0 2mm 2m 2或 m 2.反馈检测 3 答案】(1)定义域为 (2) (2, )；(2)f (x) 在定义域上为奇函数； ( 3)a (0,3 2 2)2) .x2即m、n是方程log a log a x 1的两个实根，于是问题转化成关于x的方程x22ax2 (2a 1)x 2 0在(2, ) 上有两个不同的实数解令g(x)ax2(2a1)x2, 则有：322 3 2 2(2a1)28a0a或a222a 11 3 2 2 2a0 a 又0 a 1 2a62g(2) 8a 0a0故存在这样的实数a(0,3222) 符合题意.2。

高中数学判断函数奇偶性的常见方法

高中数学判断函数奇偶性的常见方法由于函数的奇偶性在高中数学研究函数的性质和图像上起着非常重要的作用，因此广大同学应该熟练掌握函数的奇偶性. 下面介绍高中阶段判断函数奇偶性的常见方法.一、定义法设的定义域关于原点对称，若，即，则称是定义域上的偶函数；若，即，则称是定义域上的奇函数. 根据定义，判断一个函数是否为奇偶函数，首先必须满足定义域关于原点对称，否则该函数为非奇非偶函数. 当定义域关于原点对称，再去检验与的关系，若关系不明朗，可以等价判断是否等于零.例1.判断下列函数的奇偶性.对于任意的底数，（2）（3）都是奇函数，可以作为常见常考的结论；（4）在作函数图像时用处很大，比如为偶函数，图像关于轴对称.二、图像法由奇偶函数的定义可知，偶函数的图像关于轴对称，奇函数的图像关于原点对称. 所以根据函数的图像，我们可以识别一个函数是否为奇偶函数.例2．函数的图象可能是( )解：由定义知是奇函数，则其图像关于原点对称，且当时，，故选C.例3．判断常数函数（）的奇偶性.解：由常数函数的图像，当时，是偶函数；当时，既是奇函数，也是偶函数.三、图像平移法1.设，函数关于直线对称函数是偶函数；2.设，函数关于点对称函数是奇函数.显然由函数图像之间的平移变换，易得该结论. 如已知函数的图象关于直线对称，则函数的图像关于轴对称，是偶函数.四、利用常见的小结论快速判断1. 若，则是偶函数，如；若，则是奇函数，如.2.设是两个奇函数，是两个偶函数，则有下面结论：（1），是奇函数，，是偶函数，即两个奇函数的和与差是奇函数，积与商是偶函数. 如，是奇函数，，是偶函数.（2），，，是偶函数，即两个偶函数的和、差、积、商都是偶函数. 如，，，都是偶函数.（3），都为奇函数，即一个奇函数与一个偶函数的积与商都是奇函数，但和与差是无法判断的. 如，就是奇函数.例4.若函数是偶函数，则.解：偶函数之和为偶函数，所以必然没有奇次方，从而奇次方系数等于零，即有.五、抽象函数的奇偶性抽象函数考虑奇偶性问题时，往往采用赋值法求出与间的关系，用定义去判断.例5.若对于定义域为的函数满足，且. 试判断的奇偶性.解：令，则. 因为，则.令，则，整理得，故是偶函数.函数的奇偶性作为函数最基本的性质，在高中阶段往往和函数的单调性、对称性和周期性结合在一起进行考察，只要我们能够快速判断出函数的奇偶性，常常在解题时就起到了举足轻重的作用. 以上五种判断函数奇偶性的方法，如果同学们能够熟练掌握，在解决函数性质的相关问题时，就能取到事半功倍的效果。

函数奇偶性的判断方法

函数奇偶性的判断方法在数学中，我们经常会遇到需要判断一个函数的奇偶性的情况。

函数的奇偶性对于函数图像的对称性有着重要的影响，因此掌握函数奇偶性的判断方法对于理解函数的性质至关重要。

本文将介绍函数奇偶性的判断方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

首先，我们需要了解函数的奇偶性的定义。

一个函数f(x)的定义域为D，如果对于定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)，那么这个函数就是偶函数；如果对于定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)，那么这个函数就是奇函数。

也就是说，偶函数具有轴对称性，而奇函数具有中心对称性。

接下来，我们来介绍如何判断一个函数的奇偶性。

对于一个给定的函数f(x)，我们可以通过以下几种方法来判断它的奇偶性：1. 代数判断法。

对于一个函数f(x)，我们可以将其展开成幂函数的形式，然后通过代数运算来判断它的奇偶性。

具体来说，如果一个函数可以写成f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+...+aₙxⁿ的形式，那么我们只需要判断a₁、a₃、a₅...这些奇次幂的系数是否为0，以及a₀、a₂、a₄...这些偶次幂的系数是否为0，就可以得出函数的奇偶性。

2. 函数图像判断法。

我们知道，奇函数的图像关于原点对称，而偶函数的图像关于y轴对称。

因此，我们可以通过观察函数的图像来判断它的奇偶性。

如果函数的图像关于原点对称，则这个函数是奇函数；如果函数的图像关于y轴对称，则这个函数是偶函数。

3. 导数判断法。

对于一个函数f(x)，如果它是奇函数，那么它的导数f'(x)是偶函数；如果它是偶函数，那么它的导数f'(x)是奇函数。

因此，我们可以通过计算函数的导数来判断函数的奇偶性。

通过以上方法，我们可以比较准确地判断一个函数的奇偶性。

在实际应用中，我们经常会遇到需要判断函数奇偶性的情况，比如在求函数的积分、解方程等问题中，掌握函数奇偶性的判断方法可以帮助我们更好地解决问题。

函数奇偶性的判定方法

函数奇偶性的判定方法山东刘海函数奇偶性的判定方法较多，下面举例介绍常见的判定方法．1．定义域判定法例1 判定()(1)2f x x x =--的奇偶性．解：要使函数有意义，须20x -≥，解得2x ≥，定义域不关于原点对称，∴原函数是非奇非偶函数．评注：用定义域虽不能判定一个函数是奇函数还是偶函数，但可以通过定义域不关于原点对称，来否定一个函数具有奇偶性．2．定义判定法例2 判断()f x x a x a =++-的奇偶性．解：函数()f x x a x a =++-的定义域为R ，且 ()()()()f x x a x a x a x a x a x a f x -=-++--=--+-+=-++=， ∴函数()f x 是偶函数．评注：在定义域关于原点对称的前提下，可根据定义判定函数奇偶性．3．等价形式判定法例3 判定()f x =的奇偶性．解：()f x 的定义域为R ，关于原点对称，当0x =时，()0f x =，∴图象过原点．又0x ≠时，2222()(1)(1)1()(1)(1)f x x x f x x x -+-+==-+--，()()f x f x ∴-=-．又(0)0f =，()f x ∴为奇函数．评注：常用等价变形形式有：若()()0f x f x +-=或()1()f x f x -=-，则()f x 为奇函数；若()()0f x f x --=或()1()f x f x -=，则()f x 为偶函数（其中()0f x ≠）． 4．性质判定法例4 若0a >，[]()()f x x a a ∈-，是奇函数，()()g x x ∈R 是偶函数，试判定()()()x f x g x ϕ=的奇偶性．解：在()()f x g x ，的公共定义域[]a a -，内，任取一个x ，则()()()x f x g x ϕ-=--， ()()f x g x ，分别是奇函数和偶函数，()()f x f x ∴-=-，()()g x g x -=．()()()()()()x f x g x f x g x x ϕϕ∴-=--=-=-．()x ϕ∴在[]a a -，上为奇函数．评注：在两个函数（常函数除外）的公共定义域关于原点对称的前提下：①两个偶函数的和、差、积都是偶函数；②两个奇函数的和、差是奇函数，积是偶函数；③一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．。

判断函数奇偶性的方法

判断函数奇偶性的方法对于一个给定的函数，我们常常需要判断它的奇偶性。

判断一个函数的奇偶性可以帮助我们更好地理解函数的性质，从而更好地解决问题。

在数学中，奇函数和偶函数是两种特殊的函数类型，它们具有一些特定的性质和规律。

本文将介绍判断函数奇偶性的方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

首先，我们来看一下奇函数和偶函数的定义。

一个函数f(x)是奇函数，当且仅当对任意x∈D，都有f(-x)=-f(x)成立；一个函数f(x)是偶函数，当且仅当对任意x∈D，都有f(-x)=f(x)成立。

其中，D表示函数的定义域。

接下来，我们将介绍几种常见的判断函数奇偶性的方法。

方法一，利用函数图像判断。

对于一个给定的函数，我们可以通过观察它的图像来判断它的奇偶性。

具体来说，如果函数的图像关于原点对称，那么这个函数就是偶函数；如果函数的图像关于坐标轴原点对称，那么这个函数就是奇函数。

例如，对于函数y=x^2，它的图像是一个关于y轴对称的抛物线，因此它是偶函数；而对于函数y=x^3，它的图像是关于原点对称的曲线，因此它是奇函数。

方法二，利用函数的性质判断。

除了通过观察函数的图像来判断奇偶性外，我们还可以利用函数的性质来进行判断。

具体来说，我们可以利用函数的定义和性质来进行推导和证明。

以多项式函数为例，我们知道，一个多项式函数可以表示为f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0，其中a_n,a_{n-1},...,a_1,a_0为常数，n为非负整数。

对于一个多项式函数，如果它满足f(-x)=f(x)，那么它就是偶函数；如果它满足f(-x)=-f(x)，那么它就是奇函数。

方法三，利用导数判断。

另外，我们还可以利用函数的导数来判断函数的奇偶性。

具体来说，如果一个函数f(x)是偶函数，那么它的导数f'(x)是奇函数；如果一个函数f(x)是奇函数，那么它的导数f'(x)是偶函数。

函数奇偶性的判断方法

函数奇偶性的判断方法在数学中，我们经常会遇到需要判断一个函数的奇偶性的情况。

函数的奇偶性对于我们研究函数的性质和图像至关重要。

因此，掌握函数奇偶性的判断方法对于数学学习非常重要。

接下来，我将介绍一些常见的函数奇偶性的判断方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

首先，我们来看一下奇函数和偶函数的定义。

一个函数f(x)被称为奇函数，如果对于任意的x，都有f(-x) = -f(x)成立；一个函数f(x)被称为偶函数，如果对于任意的x，都有f(-x) = f(x)成立。

简单来说，奇函数具有对称中心在原点的对称性，而偶函数则具有关于y轴的对称性。

接下来，我们来介绍一些常见函数奇偶性的判断方法。

首先是多项式函数。

对于多项式函数来说，我们可以通过观察其幂次来判断函数的奇偶性。

如果一个多项式函数中只包含偶次幂的项，那么这个函数就是偶函数；如果一个多项式函数中只包含奇次幂的项，那么这个函数就是奇函数。

如果一个多项式函数中同时包含奇次幂和偶次幂的项，那么这个函数既不是奇函数也不是偶函数。

其次是三角函数。

对于三角函数来说，我们可以通过观察其周期性来判断函数的奇偶性。

正弦函数和余弦函数是最常见的两种三角函数，它们分别是奇函数和偶函数。

正弦函数具有奇函数的性质，而余弦函数具有偶函数的性质。

另外，我们还可以通过函数图像的对称性来判断函数的奇偶性。

对于一个函数的图像来说，如果函数图像关于y轴对称，那么这个函数就是偶函数；如果函数图像关于原点对称，那么这个函数就是奇函数。

最后，我们还可以通过函数的导数来判断函数的奇偶性。

一个函数f(x)是奇函数，当且仅当它的导数f'(x)是偶函数；一个函数f(x)是偶函数，当且仅当它的导数f'(x)是奇函数。

总结一下，判断函数的奇偶性是数学中一个重要的知识点，我们可以通过观察函数的幂次、周期性、图像的对称性以及导数来判断函数的奇偶性。

掌握这些方法可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质，为我们的数学学习打下坚实的基础。

函数的奇偶性知识点

函数的奇偶性知识点函数的奇偶性是函数的一种特殊性质。

如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就是偶函数；如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就是奇函数。

奇函数的图像关于原点对称，而偶函数的图像关于y轴对称。

因此，判断函数的奇偶性需要确定函数的定义域是否关于原点对称，并判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系。

奇函数具有一些特殊的性质，例如定义域关于原点对称，f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，图像关于原点对称，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，以及在函数的定义域内，一定有f(0)=0.而偶函数也有类似的性质，例如定义域关于原点对称，f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，图像关于y轴对称，在关于原点对称的区间上具有相反的单调性，以及如果一个函数既是奇函数又是偶函数，那么有f(x)=0.判断函数的奇偶性需要判断定义域是否关于原点对称。

这是因为，如果x是定义域内的一个元素，那么－x也一定是定义域内的一个元素，所以函数y=f(x)具有奇偶性的一个必不可少的条件是：定义域在x轴上所示的区间关于原点对称。

如果所给函数的定义域在x轴上所示的区间不是关于原点对称，那么这个函数一定不具有奇偶性。

因此，判断函数的奇偶性需要先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称，再根据奇偶性的定义或其等价形式进行推理判断。

如果首先求得定义域不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数。

判断函数的奇偶性一般按照定义严格进行。

步骤如下：首先考查定义域是否关于原点对称；其次考查表达式f(-x)是否等于f(x)或-f(x)。

如果f(-x)=-f(x)，则f(x)为奇函数；如果f(-x)=f(x)，则f(x)为偶函数；如果f(-x)=f(x)，且f(-x)=-f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；如果f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数。

判断奇偶函数的方法

判断奇偶函数的方法首先，我们来了解一下奇函数和偶函数的定义。

一个函数f(x)是奇函数，当且仅当对任意x∈D，有f(-x)=-f(x)成立；一个函数f(x)是偶函数，当且仅当对任意x ∈D，有f(-x)=f(x)成立。

其中D为函数f(x)的定义域。

接下来，我们来看看判断奇偶函数的方法。

一、关于对称性的判断。

我们知道，奇函数具有关于原点对称的性质，而偶函数则具有关于y轴对称的性质。

因此，我们可以通过观察函数图像的对称性来初步判断一个函数是奇函数还是偶函数。

如果函数图像关于原点对称，则该函数为奇函数；如果函数图像关于y 轴对称，则该函数为偶函数。

二、关于导数的判断。

其次，我们可以通过函数的导数来判断函数的奇偶性。

对于奇函数来说，它的导数一定是偶函数；而对于偶函数来说，它的导数一定是奇函数。

因此，我们可以对函数进行求导，然后观察导数的奇偶性来判断原函数的奇偶性。

三、关于函数的性质。

此外，我们还可以通过函数的性质来判断函数的奇偶性。

对于奇函数来说，它具有性质，f(0)=0；而对于偶函数来说，它具有性质，f’(0)=0。

因此，我们可以通过函数在原点处的取值来初步判断函数的奇偶性。

四、综合判断。

最后，我们可以综合运用以上方法来判断一个函数的奇偶性。

通过观察函数的图像对称性、求导后的函数性质以及函数在原点处的取值，我们可以得出一个相对准确的结论。

总结一下，判断奇偶函数的方法主要包括观察函数图像的对称性、利用导数的性质以及观察函数在原点处的取值。

通过综合运用这些方法，我们可以相对准确地判断一个函数是奇函数还是偶函数。

希望本文对大家有所帮助，谢谢阅读！。

判断函数奇偶性

判断函数奇偶性函数奇偶性是一种常用的数学概念，它是在函数和其变换后的对称性之间存在的关系。

也就是说，函数奇偶性是提供一种理解和判断函数是否是变换后的对称图像的方法。

函数奇偶性定义如下：函数f(x)是奇函数，当且仅当f(-x)=-f(x)成立；函数f(x)是偶函数，当且仅当f(-x)=f(x)成立。

讨论奇函数一般来说，奇函数是一类具有变换性质的函数，它通常对称于y 轴或原点，而当函数的变换结果与原函数的图像形状完全一致时，就表示该函数是一个奇函数。

例如在二维平面中，函数f(x)=-x，它具有以下特性：若x给定，则f(-x)=-f(x)成立，即函数具有奇函数的特性。

另外，当函数具有如下关系时，函数也是一个奇函数：f(x+2a)=f(x)，其中a是常量。

例如函数f(x)=x^3，在常量a=1时：f(x+2)=f(x)，即f(-x)=(-x)^3=x^3=f(x)，此时函数f(x)也是一个奇函数。

讨论偶函数偶函数也是一类具有变换性质的函数，它的定义是当函数的变换结果与其原函数的图像镜像（对称）时，即表示该函数为一个偶函数。

例如函数f(x)=x^2，当x给定时，f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)，即函数具有偶函数的性质。

另外，当函数有如下关系：f(x+2a)=f(x)，其中a是常量。

例如函数f(x)=x^4，在a=1时：f(x+2)=f(x)，即f(-x)=(-x)^4=x^4=f(x)，此时函数f(x)也是一个偶函数。

关于判断函数奇偶性的方法（1）可以利用函数的变换性质，奇函数的变换结果和原函数的图像形状完全一致，而偶函数的变换结果与原函数的图像形状是镜像所成的，可以根据这一特性来判断函数的奇偶性。

（2）可以利用变换后的函数的值来判断函数的奇偶性，使用函数f(x)=-f(-x)，如果函数定义域上的点满足上述关系，则函数为奇函数；反之，函数f(-x)=f(x)，如果函数定义域上的点满足上述关系，则函数为偶函数。

判断函数奇偶性的三种方法

判断函数奇偶性的三种方法函数奇偶性是数学中一个重要的概念，它介绍了一种由函数定义的结构，可以用来归纳、描述和研究某些物理或数学系统的性质。

在实际的数学计算中，我们经常需要判断某个函数是奇函数还是偶函数，这个判断需要根据这个函数的性质来进行。

本文将介绍三种常见的判断函数奇偶性的方法，分别是观察法、导数法和交换等式法。

1.察法观察法是最简单的判断函数奇偶性的方法，它的原理是：如果在x=0处函数f(x)的函数值与x轴对称，即f(-x)=-f(x)，则该函数为偶函数；如果f(-x)=f(x)，则该函数为奇函数。

举个例子，当函数f(x) = x^2时，f(-x)=(-x)^2=-x^2=-f(x)，因此该函数是偶函数；当函数f(x)=x^3时，f(-x)=(-x)^3=-x^3=f(x)，因此该函数是奇函数。

2.数法导数法是一种比观察法更实用的判断函数奇偶性的方法，它的原理是：如果函数f(x)的导数f(x)=0，则该函数为偶函数；如果函数f(x)的导数f(x)≠0，则该函数为奇函数。

举个例子，当函数f(x) = x^2时，f(x)=2x，f(x)≠0，因此f(x)=x^2是奇函数；当函数f(x) = x^3时，f(x) = 3x^2，f(x)≠0，因此f(x)=x^3是奇函数。

3. 交换等式法交换等式法也是一种判断函数奇偶性的方法，它的原理是：如果函数f(x)的定义域内存在等式f(x) = g(x)，则函数f(x)为偶函数；如果函数f(x)的定义域内存在等式f(x) = -g(x)，则函数f(x)为奇函数。

举个例子，当函数f(x) = x^2时，定义域内存在等式f(x) = x^2 = (1/2)x^2，因此f(x) = x^2是偶函数；当函数f(x) = x^3时，定义域内存在等式f(x) = x^3 = -(1/2)x^3，因此f(x) = x^3是奇函数。

综上所述，“观察法”、“导数法”和“交换等式法”是判断函数奇偶性的三种常用方法，它们彼此独立，都可以用来获得函数的奇偶性。

函数的周期性与奇偶性的判定

函数的周期性与奇偶性的判定函数是数学中的一个基本概念，它描述了一种数值之间的关系。

函数的周期性与奇偶性是函数的重要特征之一，对于函数的分析和应用具有重要的意义。

本文将介绍函数的周期性和奇偶性的概念，并讨论判定函数周期性和奇偶性的方法。

一、函数的周期性周期函数在数学中起到了重要的作用，它们具有重复出现的性质。

一个函数f(x)被称为周期函数，如果存在一个正数T，使得对于任意的x，都有f(x+T) = f(x)成立。

这个正数T被称为函数f(x)的周期。

周期函数具有重复出现的形式，可以描述各种重复现象，如正弦函数、余弦函数等。

判定函数周期性的方法：1. 观察函数图像：通过观察函数的图像，可以发现函数是否重复出现。

如果函数的图像在一个特定的间隔内重复出现，并且没有其他额外的变化，那么函数很可能是周期函数。

2. 分析函数公式：有些函数的周期性可以通过函数的公式来判断。

例如，正弦函数和余弦函数的周期为2π，而指数函数和对数函数则没有周期性。

二、函数的奇偶性函数的奇偶性是函数的对称性质，反映了函数的特定规律。

一个函数f(x)被称为奇函数，如果对于任意的x，都有f(-x) = -f(x)成立；一个函数f(x)被称为偶函数，如果对于任意的x，都有f(-x) = f(x)成立。

奇函数和偶函数是两类特殊的函数，它们具有对称性的特征。

判定函数奇偶性的方法：1. 观察函数图像：通过观察函数的图像，可以发现函数是否具有对称性。

奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。

因此，通过观察函数的图像可以初步判定函数的奇偶性。

2. 分析函数公式：有些函数的奇偶性可以通过函数的公式来判断。

例如，幂函数的指数为奇数时，函数是奇函数；指数为偶数时，函数是偶函数。

综上所述，函数的周期性和奇偶性是函数的重要特征。

通过观察函数的图像和分析函数的公式，我们可以判定函数的周期性和奇偶性。

这些特征在函数的分析和应用中起着重要的作用，帮助我们理解和描述各种数值之间的关系。

考点05 函数奇偶性的3种判断方法及2个应用方向(解析版)

专题二函数考点5 函数奇偶性的3种判断方法及2个应用方向【方法点拨】一、处理函数奇偶性的判断及应用问题的方法 1. 函数奇偶性的判断方法 (1) 定义法：利用定义或定义的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)与f(x)-f(-x)=0(偶函数)； (2) 性质法：在公共定义域内，有“奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇x 奇=偶，偶x 偶=偶，奇x 偶=奇”. (3) 图象法：利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性. 2. 函数奇偶性的应用主要有两个方向（1）求函数值或函数解析式：利用奇偶性将所求值或解析式对应的自变量转化到已知解析式的区间，构造方程(组).(2)求参数：由定义或定义的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)与f(x)-f(-x)=0(偶函数)得到恒等式，再利用系数相等构造方程(组). 【高考模拟】1．已知()f x 、()g x 是定义在R 上的偶函数和奇函数，若()()22xf xg x --=，则()1g -=（）A ．5B ．5-C ．3D ．3-【答案】D 【分析】根据题意可得出关于()1f -、()1g -的方程组，进而可解得()1g -的值. 【解析】()()22x f x g x --=，所以，()()31128f g ---==，①，()()112f g -=，②，因为()f x 、()g x 是定义在R 上的偶函数和奇函数，由②可得()()112f g -+-=，则有()()()()118112f g f g ⎧---=⎪⎨-+-=⎪⎩，解得()13g -=-.故选：D.2．设()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在(),0-∞上是减函数，又()40f -=，则不等式()()440f x f x x+--->的解集是（）A ．()0,4B ．()8,4--C ．()()4,00,4- D ．()()8,40,4--⋃【答案】B 【分析】分析出函数()f x 在(),0-∞、()0,∞+上的单调性，以及()()440f f =-=，化简得出()40f x x+>，结合图象可得出关于实数x 的不等式组，由此得出原不等式的解集. 【解析】因为()f x 是R 上的奇函数，则()00f =，由于函数()f x 在(),0-∞上是减函数，则该函数在()0,∞+上也为减函数，()40f -=，则()()440f f =--=，作出函数()f x 的大致图象如下图所示：由()()440f x f x x +--->，可得()240f x x+>，由()400f x x ⎧+>⎨>⎩，可得440x x +<-⎧⎨>⎩或0440x x <+<⎧⎨>⎩，此时x ∈∅；由()400f x x ⎧+<⎨<⎩，可得4400x x -<+<⎧⎨<⎩或44x x +>⎧⎨<⎩，解得84x -<<-.因此，不等式()()440f x f x x+--->的解集是()8,4--.故选：B. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.3．函数2()x x e e f x x -+=的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性和特殊点确定正确选项. 【解析】()f x 的定义域为{}|0x x ≠，()()2x xe ef x f x x-+-==，所以()f x 为偶函数，由此排除CD 选项. ()211101e e f e e+==+>，由此排除B 选项.故选：A4．已知定义域为R 的函数()f x 满足：①图象关于原点对称；②3()2f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；③当30,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2()log (1)f x x m =++.若2(2020)log 3f =，则m =（） A ．1- B ．1C ．2-D ．2【答案】B 【分析】由①可知函数()f x 为奇函数，由②可知图象关于34x =对称，则函数()f x 为周期函数，周期为3，然后利用周期性可知()21(2020)1log 32f f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭解出m 的值. 【解析】由①可知函数()f x 为奇函数，又33()22f x f x f x ⎛⎫⎛⎫=-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故3(3)()2f x f x f x ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，即函数()f x 的周期为3，∴2213(2020)(1)log log 322f f f m ⎛⎫===+= ⎪⎝⎭，解得1m =. 故选：B. 【点睛】本题考查函数的性质的综合，常见的与函数的对称性、周期性有关的结论有： ①若()()2f x f a x =-，则函数()f x 图象关于x a =对称；②若函数()()22f x f a x b +-=，则函数()f x 图象关于点(),a b 中心对称；③若函数()f x 的图象关于点(),a c 中心对称，且关于直线()x b a b =≠对称，则函数()f x 为周期函数，周期4T a b =-.5．已知(21)2()21x xa f x +-=+是奇函数，那么实数a =（） A ．0 B ．-1C ．2D ．1【答案】D 【分析】由奇函数的性质(0)0f =求解即可；【解析】解：因为(21)2()21x x a f x +-=+定义域为R ，又(21)2()21x xa f x +-=+是奇函数所以(0)0f =，即()0(21)20021a f +-==+，解得1a =.所以21()21x xf x ， ()()21221112x xx x f x f x ----===-++-，即21()21x x f x 是奇函数；故选：D6．定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+,(0)2f =，则(10)f =（） A ．4- B ．2-C ．2D ．4【答案】C 【分析】由已知偶函数及(1)(1)f x f x -=+，得出函数是周期函数，周期为2，由此可得结论．【解析】解：根据题意，函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，则()()2f x f x -=+，又由()f x 为偶函数，则有()()f x f x -=，则(2)()f x f x +=，函数()f x 是周期为2的周期函数，故(10)(0)2f f ==，故选：C.7．下列函数在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A ．1()2x f x = B ．()sin f x x = C ．()cos f x x = D ．()||f x x x =-【答案】D 【分析】根据基本初等函数的基本性质判断各选项中函数的单调性与奇偶性，即可得出合乎题意的选项. 【解析】对于A 选项，函数1()2xf x =是非奇非偶函数；故A 不正确. 对于B 选项，函数()sin f x x =在定义域内不是减函数，故B 不正确. 对于C 选项，函数()cos f x x =在定义域内不是减函数，故C 不正确.对于D 选项，()||f x x x =-,则()||()f x x x f x -=-=-，所以()f x 为奇函数.又220()0x x f x x x x x≥⎧-=-=⎨<⎩,当0x ≥时，2()f x x =-为减函数.又()f x 为奇函数，则()f x 在(]0-∞，上单调递减，且()00f = 所以()f x 在R 上单调递减，满足条件，故D 正确. 故选：D8．已知3()1f x ax bx =++，且f (5)=7，则f (－5)的值是（） A ．－5 B ．－7C ．5D ．7【答案】A 【分析】令3()g x ax bx =+利用函数的奇偶性计算可得；【解析】解：因为3()1f x ax bx =++，令3()g x ax bx =+，()()1f x g x =+则()()()()33()g x a x b x ax bx g x -=-+⋅-=-+=-，即3()g x ax bx =+为奇函数，又()57f =，所以()()5517f g =+=，所以()56g =，所以()()556g g -=-=-，所以()()551615f g -=-+=-+=-故选：A9．若()x φ，()g x 都是奇函数，()()()2f x a x bg x ϕ=++在（0，＋∞）上有最大值5，则()f x 在（－∞，0）上有（） A ．最小值－5 B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－3【答案】C 【分析】由于()x φ、()g x 为奇函数，得()2()()f x a x bg x φ-=+为奇函数，则()2f x -在（0，＋∞）上有最大值3，即可得()f x 的最值. 【解析】因为()x φ、()g x 为奇函数，∴()2()()f x a x bg x φ-=+为奇函数．又()f x 有最大值5， ∴()2f x -在（0，＋∞）上有最大值3，∴()f x －2在(,0)-∞上有最小值－3，∴()f x 在(,0)-∞上有最小值－1．故选：C10．偶函数()y f x =在1[,)2+∞内是增函数，下列不等式一定成立的是（） A ．(1)(2)0f f +-> B ．(1)(2)0f f +-< C ．(1)(2)0f f --> D ．(1)(2)0f f --<【答案】D 【分析】利用函数的单调性可得(1)(2)0f f -<，再利用奇偶性可得答案. 【解析】因为函数()y f x =在1[,)2+∞内是增函数，且1212>>，所以(2)(1)(1)(2)0f f f f >⇒-<，又因为函数()y f x =是偶函数，所以(2)(2)f f =-，所以(1)(2)0f f --<，故选：D.11．若奇函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，且最小值是1，则f (x )在[-b ，-a ]上是（） A ．增函数且最小值是-1 B ．增函数且最大值是-1 C ．减函数且最小值是-1 D ．减函数且最大值是-1【答案】B 【分析】根据奇函数在对称区间上的单调性相同，结合选项判断即可．【解析】因为函数f （x ）是奇函数，且在[a ，b]上是增函数，故函数在对称区间上单调性相同，即函数在[-b ，-a]上是增函数，在-1处取得最大值，由奇函数的性质得到(1)(1) 1.f f -=-=- 故选：B12．已知函数2()f x x ax b =++，且(2)f x +是偶函数，则57(1),(),()22f f f 的大小关系是（）A ．57()(1)()22f f f <<B ．75(1)()()22f f f <<)C ．75()(1)()22f f f <<D ．75()()(1)22f f f <<【答案】A 【分析】根据二次函数的对称性及单调性即可比较大小. 【解析】由(2)f x +是偶函数可知函数2()f x x ax b =++关于直线2x =对称，所以(1)(3)f f =，又该函数图象开口向上，当2x >时单调递增，故57()(1)()22f f f <<，故选：A.13．已知函数()22,x xf x -=-则不等式()()280x f f +-<的解集为（）A ．(-3，0)B ．(),3-∞C ．(0，3)D ．()3,+∞【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性和单调性转化为解()2(8)xf f <.【解析】因为(2,)2x x R f x x -=-∈，()()22xx f x f x --=-=-，所以()22xxf x -=-为奇函数，2x y =是增函数，2x y -=是减函数()22x x f x -=-为R 上的增函数，所以()2(8)0x f f +-<等价于()2(8)xf f <，因此28x <，即：3x <. 故选：B.14．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()21f x x =+，则(3)f 等于（） A ．7- B ．7C ．5-D ．5【答案】D 【分析】由奇函数定义可求解【解析】()33215f -=-⨯+=- ()(3)35f f =--=故选：D15．已知()()22xxf x a a =-≠为奇函数，则“12m <-”是“()0f m >”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【分析】根据奇函数的定义及充要条件的定义判断. 【解析】因为()()22xx f x a a =-≠为奇函数，所以()()0f x f x +-=，220x x x x a a ---+-=，()()12102xxx a a ⎡⎤--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦恒成立，()21xa =，12a =， ()22x x f x -=-为R 上的减函数，且()00f =，所以()0f m >，0m <，因此，“12m <-”是“()0f m >”的充分不必要条件. 故选:B ．16．已知y =f (x )的图象关于坐标原点对称，且对任意的x ∈R ，f (x +2)=f (-x )恒成立，当10x -≤<时，f (x )=2x ，则f (2021)=_____________. 【答案】12- 【分析】由已知条件推出函数()f x 的周期，利用函数的周期和奇偶性求值即可．【解析】y =f (x )的图象关于坐标原点对称，则()()f x f x =--又()()2f x f x +=-，可得()()()22f x f x f x +=-=-，即()f x 的周期为4()()()()1202145051112f f f f =⨯+==--=-故答案为：12-17．已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()f x g x x x a -=++，则(2)g =__________．【答案】8 【分析】由已知求得()()f x g x ---，建立方程组，可求得()3g x x =-，代入可求得答案．【解析】因为()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以3232()()()()f x g x x x a x x a ---=-+-+=-++，即32()()f x g x x x a +=-++，又32()()f x g x x x a -=++，所以()3g x x =-，所以()3228g ==-，故答案为：-8．18．已知()f x 为奇函数，且当0x >时单调递增，(3)0f =，则不等式()0xf x <的解集__________．【答案】(3,0)(0,3)-⋃ 【分析】把()0xf x <转化为0()0x f x >⎧⎨<⎩或0()0x f x <⎧⎨>⎩，利用()f x 的单调性、奇偶性及(3)0f =可解.【解析】由题意(3)(3)0f f -=-=，当0x >时，由()0f x <得03x <<，根据函数为奇函数，当0x <时，函数单调递增，由()0f x >得30x -<<，所以0()0()0x xf x f x >⎧<⇔⎨<⎩或0()0x f x <⎧⎨>⎩，解得03x <<或30x -<<．所以不等式的解集为(3,0)(0,3)-⋃．故答案为：(3,0)(0,3)-⋃ 【点睛】利用单调性解不等式通常用于： (1)分段函数型不等式；(2)复合函数型不等式；(3)抽象函数型不等式；(4)解析式较复杂的不等式.19．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=，又当(0,1)x ∈时，()21x f x =-，则12(log 7)f 的值等于__________．【答案】34- 【分析】由(2)()f x f x +=，得()f x 的周期为2，再判断12log 72+的范围为(1,0)-，再利用奇函数的性质可得1111222277(log 7)(log 72)(log )(log )44f f f f =+==--，然后代入()21x f x =-中可得结果【解析】(2)()f x f x +=，()f x 是周期为2的函数，123log 72-<<-，121log 720∴-<+<，()y f x =是定义在R 上的奇函数，1111222277(log 7)(log 72)(log )(log )44f f f f =+==--27log 473(21)(1)44=--=--=-．故答案为：34-． 20．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且在[)0,+∞上为增函数，若112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式1(21)0f x -≤+≤的解集为___________ 【答案】3142⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，【分析】根据()f x 是定义在R 上的奇函数，且112f ⎛⎫=⎪⎝⎭，将不等式1(21)0f x -≤+≤，转化为()1(21)02f f x f ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，利用函数在R 上是增函数求解. 【解析】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，且112f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以()11,002f f ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以不等式1(21)0f x -≤+≤，即为()1(21)02f f x f ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，因为函数在[)0,+∞上为增函数，则在R 上是增函数，所以12102x -≤+≤，解得3142x -≤≤-，所以不等式的解集为3142⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，，故答案为：3142⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，21．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x +2)=-f (x ).当x ∈[0，2]时，()22.f x x x =- （1）求证：f (x )是周期函数；（2）当x ∈[2，4]时，求f (x )的解析式；（3）计算()()()012)20(17f f f f +++⋯+. 【答案】（1）证明见解析；（2）f(x)=x2-6x+8；（3）1. 【分析】（1）把2x +看成一个整体证明()()4f x f x +=即可；（2）先求x ∈[-2，0]的解析式，再利用周期性即可；（3）利用周期性即可获解. 【解析】（1）∵f(x+2)=-f(x)，∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为4的周期函数. （2）当x ∈[-2，0]时，-x ∈[0，2]，由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2.又f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)=-2x-x2，∴f(x)=x2+2x. 又当x ∈[2，4]时，x-4∈[-2，0]，∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4). 又f(x)是周期为4的周期函数 ∴f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8. 从而求得x ∈[2，4]时，f(x)=x2-6x+8.（3）f （0）=0，f （2）=0，f （1）=1，f （3）=-1. 又f(x)是周期为4的周期函数，∴f （0）+f （1）+f （2）+f （3）=f （4）+f （5）+f （6）+f （7）=… =f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)=f(2012)+f(2013)+f(2014)+f(2015)=0， ∴f （0）+f （1）+f （2）+…+f(2017)= f （0）+f （1）=0+1=1. 22．函数()f x 对于任意实数x 满足条件1(2)()f x f x +=，若(1)5=-f ，求((5))f f .【答案】15- 【分析】先通过1(2)()f x f x +=可推断函数()f x 是以4为周期的函数，进而可求得(5)(1)f f =，(5)(1)f f -=-；根据1(2)()f x f x +=可求得1(1)(1)f f -=，进而可求得((5))f f .【解析】 1(2)()f x f x +=， 1(22)(1)5(2)f x f f x ∴++===-+，((5))(5)(1)f f f f =-=-，又111(1)(12)(1)5f f f -===--+，1((5))5f f ∴=-.23．已知函数11(),11f x ax a R x x =++∈+-．（I ）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（Ⅱ）当2a <时，证明：函数()f x 在(0,1)上单调递减．【答案】（Ⅰ）()f x 为奇函数，证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；【分析】（Ⅰ）求出函数的定义域，然后直接利用奇偶性的定义判断；（Ⅱ）直接利用单调性的定义证明；【解析】（Ⅰ）解：()f x 为奇函数；证明：因为11(),11f x ax a R x x =++∈+- 所以()f x 的定义域为{|1x R x ∈≠-且1}x ≠， 1111()()()1111f x ax ax f x x x x x -=-++=-++=--+--+-， ∴函数()f x 为奇函数；（Ⅱ）证明：任取1x ，2(0,1)x ∈，设12x x <，则 212112121212()()()(1)(1)(1)(1)x x x x f x f x a x x x x x x ---=-++--++12121211()[](1)(1)(1)(1)x x a x x x x =-----++121222122(1)()[](1)(1)x x x x a x x +=----．1201x x <<<，122(1)2x x ∴+>，22120(1)(1)1x x <--<，∴1222122(1)2(1)(1)x x a x x +>>--， 1222122(1)0(1)(1)x x a x x +∴-<--．又120x x -<，12()()f x f x ∴>．∴函数()f x 在(0,1)上单调递减；24．（1）()f x 是R 上的奇函数，当(),0x ∈-∞时，()()31f x x x =-，求x ∈R 时()f x 的解析式；（2）设()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且()()()210,1,1f x g x x x x-=≠-+，求()f x 和()g x 的解析式．【答案】（1）()()()331,00,01,0x x x f x x x x x ⎧+>⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩；（2）()()()()10,1,111f x x x x x =-≠-+-；()()()()10,1,111g x x x x =-≠-+-.【分析】（1）利用函数的奇偶性求得函数()f x 的解析式.（2）利用函数的奇偶性列方程组，解方程组求得()f x 和()g x . 【解析】（1）由于()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，当0x >时，0x -<，所以()()()()3311f x f x x x x x ⎡⎤=--=--=+⎣⎦.所以()()()331,00,01,0x x x f x x x x x ⎧+>⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩. （2）由于()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且()()()210,1,1f x g x x x x-=≠-+，所以()()21f x g x x x ---=-，即()()21f xg x x x--=-，由()()()()2211f x g x x x f x g x x x ⎧-=⎪⎪+⎨⎪--=⎪-⎩，解得()()()()10,1,111f x x x x x =-≠-+-；()()()()10,1,111g x x x x =-≠-+-.25．设函数()f x 的定义域关于原点对称，且对于定义域内任意的12x x ≠，有f (12x x -)=12211()()()()f x f x f x f x +- . 求证：()f x 是奇函数.【答案】证明见解析【分析】对定义域内任意x 存在1x 和2x ，使12x x x =-，同样存在1x 和2x ，使21x x x -=-，根据条件可得12()f x x -与21()f x x -的关系，即()f x 与()f x -间的关系，根据奇偶函数定义即可判断．【解析】解：函数()f x 在定义域内是奇函数．因为在定义域内，对任意x 存在1x 和2x ，使12x x x =-，且满足1212211()()()()()f x f x f x x f x f x +-=-，由于函数()f x 的定义域关于原点对称，x -必与x 同时在定义域内，同样存在1x 和2x ，使21x x x -=-，且满足：2121121()()()()()()f x f x f x f x x f x f x +-=-=-，即()()f x f x =--，()()f x f x ∴-=-，∴函数()f x 在定义域内是奇函数．26．()f x =为奇函数，则a 的取值范围【答案】1a ≤- 【分析】先求函数得定义域，再根据奇函数得出恒等式，进而可得结果. 【解析】()f x 定义域为11x -≤≤且0x ≠，()f x 为奇函数，所以()()-==-=f x f x 所以对11x -≤≤且0x ≠，++=---x a a x a a 恒成立所以+=2+--x a x a a 恒成立()+2221min x a x a x a x a x +-≥⇒-≥⇒≤-=-所以1a ≤- 【点睛】关键点点睛：函数的定义域容易被忽略，本题考查了计算化简能力和逻辑推理能力，属于中档题目. 27．已知函数()()f x g x 、的定义域都是R ，而()f x 是奇函数，()g x 是偶函数. ①判断[]2()()3()F x f x g x =-的奇偶性；②如果22()3()623f x g x x x +=-+，求函数()()f x g x 、的表达式. 【答案】①偶函数；②2(),()21f x x g x x =-=+ 【分析】（1）按照定义判断即可；（2）由条件解得22()3()2()3()623f x g x f x g x x x -+-=-+=++，然后解出即可. 【解析】（1）因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数所以[][][]()222()()3()()3()()3()F x f x g x f x g x f x g x F x -=---=--=-= 所以[]2()()3()F x f x g x =-是偶函数（2）因为22()3()623f x g x x x +=-+，()f x 是奇函数，()g x 是偶函数所以22()3()2()3()623f x g x f x g x x x -+-=-+=++ 所以可解得2(),()21f x x g x x =-=+28．2()2x x af x a-=+为奇函数，则a 的值【答案】±1 【分析】利用奇函数的定义可得()()f x f x -=-列式，化简可求出a 的值【解析】解：因为2()2x x af x a-=+为奇函数，所以()()f x f x -=-，即2222x x x xa aa a----=-++， (2)(2)(2)(2)x x x x a a a a ---+=+-化简得21a =，得1a =±，当1a =时，21()21x x f x （x ∈R ），此时211221()()211221x x x x xx f x f x ------===-=-+++， ()f x 为奇函数，当1a =-时，21()21x x f x +=-（0x ≠），此时211221()()211221x x x x xx f x f x --+++-===-=----，()f x 为奇函数，所以1a =±29．已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，且当[)2,0x ∈-时，()2f x x x =-.（1）求函数()f x 在[2,2]-上的解析式.（2）若()229m x m f a --≥对所有[2,2]x ∈-，[1,1]a ∈-恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()[)()()(]()222,0,00,0,2.x x x f x x x x x ⎧-∈-⎪⎪==⎨⎪--∈⎪⎩；（2）[]1,1-.【分析】（1）利用奇函数的定义可得函数的解析式；（2）由二次函数的性质可得函数()f x 的最小值，代入不等式，进而利用一次函数的性质列不等式组，可得实数m 的取值范围．【解析】（1）函数()f x 为定义域上的奇函数，所以()00f =，当(]0,2x ∈时，()()()()22f x f x x x x x ⎡⎤=--=----=--⎣⎦，所以()[)()()(]()222,0,00,0,2.x x x f x x x x x ⎧-∈-⎪⎪==⎨⎪--∈⎪⎩（2）根据题意得，函数()f x 为减函数，所以()f x 的最小值为()26f =-，要使()229m x m f a --≥对所有[]2,2x ∈-，[]1,1a ∈-恒成立，即2629m am -≥--对所有[]1,1a ∈-恒成立，则()()221230,1230,g m m g m m ⎧-=+-≤⎪⎨=--≤⎪⎩即31,13,m m -≤≤⎧⎨-≤≤⎩ ∴11m -≤≤，∴实数m 的取值范围是[]1,1-. 30．已知函数()()()21,311x x xf xg x f x x x x --=++=--+. （1）判断并证明函数()g x 的奇偶性；（2）判断并证明函数()g x 在(1)+∞，上的单调性；（3）若()()2227244f m m f m m -+≥-+成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）递增，证明见解析；（3）[]1,3-. 【分析】（1）函数()g x 为奇函数，计算得到()()g x g x -=-得到证明；（2）函数()g x 在()1,+∞上单调递增，设121x x <<，计算()()120g x g x -<得到证明；（3）根据函数的单调性得到不等式2227244m m m m --+≥+，计算得到答案. 【解析】（1）根据题意，()g x 为奇函数，()()21111331111x x x g x f x x x x x x x --⎛⎫=-=++-=-++ ⎪-+-+⎝⎭，其定义域为{|1x x ≠-且0x ≠且1}x ≠，关于原点对称，则有()()11111g x g x x x x ⎛⎫-=-++=-⎪-+⎝⎭，则函数()g x 为奇函数；（2）根据题意，函数()g x 在()1,+∞上的单调递增，设121x x <<，()()121112221111111111g x g x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+++++ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭()()()()()121212121111111x x x x x x x x ⎡⎤=-++⎢⎥--++⎢⎥⎣⎦，又由121x x <<，则()()120g x g x -<，则函数()g x 在()1,+∞上的单调递增，（3）根据题意，()g x 在()1,+∞上的单调递增，()()3f x g x =+在()1,+∞上的单调递增；又由()()2222271612442121m m m m m m +=-+>+=--+->，， ()()2227244f m m f m m -+≥-+，∴2227244m m m m --+≥+，解可得：13m -≤≤；即m 的取值范围为[]1,3-. 【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若()f x 为偶函数，则()()()f x f x f x -==.。

函数奇偶性的概念,奇偶性的判断

最小正周期为的偶函数最小正周期为的偶函数
（海南）设函数为奇函数，则
（海南文）设函数为偶函数，则
(江苏)设是奇函数，则使的的取值范围是
10.（上海）已知函数，常数 .
讨论函数的奇偶性，并说明理由
若在上是增函数，求的取值范围.
（六）课后作业：
判断下列函数的奇偶性：
；；
；；
（其中，）
奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.
为偶函数．
若奇函数的定义域包含，则．
（二）主要方法：
判断函数的奇偶性的方法：
定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称.若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断或是否定义域上的恒等式；
图象法；
性质法：①设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：
课题
函数的奇偶性
教学目标
掌握函数奇偶性的概念，奇偶性的判断。
教学内容
一）主要知识：
函数的奇偶性的定义：设，，如果对于任意，都有，则称函数为奇函数；如果对于任意，都有，则称函数为偶函数；
奇偶函数的性质：
函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称；
是偶函数的图象关于轴对称；是奇函数的图象关于原点对称；
的图象如右图,则不等式的解是
问题3．已知函数满足：对任意的实数、总成立，且 .求证：为偶函数.
问题4． ( 黄岗中学月考)已知函数，
求的值；
已知函数（、、）为奇函数，又，，
求、、的值.
问题5．已知是偶函数，，当时，为增函数，
若，且，则

判断函数奇偶性的三种方法

判断函数奇偶性的三种方法判断函数的奇偶性是数学中的一个重要概念，它能够帮助我们理解函数的对称性和性质。

在这篇文章中，我将介绍三种常见的方法来判断函数的奇偶性。

这三种方法分别是使用函数表达式、使用函数图像和使用函数性质。

方法一：使用函数表达式通过分析函数的表达式，我们可以判断函数的奇偶性。

一个函数f(x)的奇偶性与f(x)和f(-x)之间的关系有关。

具体而言，如果对于任何x都有f(x)=f(-x)，那么函数f(x)被称为偶函数；如果对于任何x都有f(x)=-f(-x)，那么函数f(x)被称为奇函数。

举个例子来说明。

考虑函数f(x)=x^2，我们可以将其分解为两个部分：f(x)=(x)^2和f(-x)=(-x)^2、很明显，这两部分是相等的，所以函数f(x)=x^2是一个偶函数。

同样地，考虑函数g(x)=x^3，我们可以将其分解为两个部分：g(x)=(x)^3和g(-x)=(-x)^3、这两个部分是相反的，所以函数g(x)=x^3是一个奇函数。

方法二：使用函数图像观察函数的图像也是判断函数奇偶性的一种方法。

对于偶函数来说，它的图像是关于y轴对称的，即当点(x,y)在图像上时，点(-x,y)也在图像上。

对于奇函数来说，它的图像是关于原点对称的，即当点(x,y)在图像上时，点(-x,-y)也在图像上。

以刚才的例子为例，函数f(x)=x^2的图像是一个平滑的U形曲线，关于y轴对称。

而函数g(x)=x^3的图像是一个关于原点对称的曲线。

方法三：使用函数性质有一些函数性质可以帮助我们判断函数的奇偶性。

例如，偶函数具有以下性质：1.偶函数在原点处取得最小值或最大值；2.偶函数的所有偶次幂的系数都是正数；奇函数具有以下性质：1.奇函数在原点处取值为0；2.奇函数的所有奇次幂的系数都是负数。

举个例子来说，函数h(x)=x^4-x^2是一个偶函数。

因为h(x)在原点处取得最小值0，并且h(x)的所有偶次幂的系数都是正数。

判断函数奇偶性的三种方法

判断函数奇偶性的三种方法
在微积分中，函数奇偶性是指函数$f(x)$在$x=-x$时保持不变，而不管$f(x)$本身是何值，将其表示为$f(-x)=f(x)$。

函数奇偶性对微积分有重要意义，它可以帮助我们更好地理解函数的特征，也可以提供一种有效的方法来确定函数的奇偶性。

判断函数奇偶性的常用方法主要有三种：图形法、函数表达式法和微分法。

首先，图形法是最常见的一种判断函数奇偶性的方法。

我们只需要根据函数的图形判断函数的对称情况，即可确定其奇偶性。

如果当$x$取任意值时，函数的图形都保持完全对称，那么我们就可以断定
这个函数是一个奇函数。

否则，它就是一个偶函数。

其次，函数表达式法可以比较直接地判断函数的奇偶性。

当我们获得函数的表达式时，只需要根据函数的表达式，对其进行相关的替换运算，即可判断函数的奇偶性。

通常，如果函数的表达式可以满足$f(x)=f(-x)$，则说明这个函数是一个奇函数；否则，它就是一个偶函数。

最后，微分法也可以用来判断函数的奇偶性。

我们只需要计算函数的导数，并根据导数的形式确定函数的奇偶性。

如果导数
$f(x)=f(-x)$，则说明这个函数是一个奇函数，否则它就是一个偶函数。

以上就是判断函数奇偶性的三种方法。

每种方法都有自身的特点，各有优劣，但是都可以帮助我们更好地理解函数的特征，并快速确定
函数的奇偶性。

因此，对于微积分中用到的函数，一定要仔细研究函数的表达式，熟悉以上三种判断函数奇偶性的方法，以便高效地判断函数的奇偶性。

函数增减性与奇偶性一般快速判断方法

函数增减性与奇偶性一般快速判断方法在高数课上，关于函数的增减性和奇偶性，大家一定不陌生，它们可以帮助我们快速求解函数，如当我们挪动图像，只需要知道它的增减性和奇偶性，便可以找出新图像的近似位置。

它们是我们学习函数时最基本的东西。

下面我们以快速判断函数增减性和奇偶性为例，来说明它们的基本规律：
一、判断函数增减性
1、当函数是常数时，其增减性为恒定，即f(x+h)=f(x)；
2、当函数的特定点处有明显的拐点时，即函数在该点的斜率值变化程度很大时，那么该函数在该点的增减性也会发生变化；
3、针对函数的斜率变化，可以通过函数导数的局部极值的计算，来判断函数的增减性，其原理是：当函数在其中一点处有极值，则该函数的导数在该点处以及其附近一定有零点存在，也就是说，函数的斜率在该点处发生变化；若函数的其中一局部有极大值（极小值），则函数在该点处为减性（增性）；若函数的其中一局部既无极大值，又无极小值，则函数在该点的增减性不变。

二、判断函数奇偶性
奇偶性可以简单的判断，通过将函数的绝对值计算一下，如果绝对值函数的图像和原函数的图像重合，则该函数为偶数函数，否则，则为奇数函数。

判断奇偶函数的方法

判断奇偶函数的方法
1.判断函数奇偶性的常用方法及思路：
(1)定义法：①求定义域；②判对称：判断刚刚求的定义域是否关于原点对称，关于原点对称才有对称性可言，不关于原点对称就是非奇非偶函数。

③化简：此步骤是非必需的，如果给出的函数本身就是比较简单的，那么就没有必要化简，直接进入下一步。

④求关系，如果相等就是偶函数，如果互为相反数，就是奇函数。

(2)图象法：图像可以画出来的话，可以把函数的图像画出来，如果图像关于原点对称就是奇函数，图像关于y轴对称，就是偶函数
（3）性质法（①要在公共定义域内②性质法在选择题和填空题中可直接运用）：
①奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数；
②奇函数奇函数=偶函数，奇函数偶函数=奇函数，偶函数偶函数=偶函数；
注意：①分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围相应地化简解析式，判断的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．。