函数的奇偶性的经典总结

x

x x f 1)(+=1)(2+=x x

x f x

x f 1)(=函数的奇偶性

一、函数奇偶性的基本概念

1．偶函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，0)()(=--x f x f ，那么函数()x f 就叫做偶函数。

2.奇函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ，都有()()x f x f -=-，0)()(=+-x f x f ，那么函数()x f 就叫做奇函数。

注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。

（2）在判断()x f 与()x f -的关系时，只需验证()()0=±-x f x f 及

)

()(x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。

题型一 判断下列函数的奇偶性。 ⑴x x x f +=2)(，（2）x x x f -=3)( （3）()()()R x x f x f x G ∈--=,(4)

(5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) x x x f --=22)(，(8)

提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断

（1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。

（2）常见的奇函数有：x x f =)(，3)(x x f =，x x f sin )(=，

（3）常见的奇函数有：2)(x x f =，x x f =)(，x x f cos )(= （4）若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 为

偶函数，()-x f ()x g 为偶函数。当()x g ≠0时，)

()(x g x f 为偶函数。 （5）若()x f ，()x g 都是奇函数，那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 是奇函数，()-x f ()x g 是奇函数，()()x g x f ⋅是偶函数，当()x g ≠0时，)

()(x g x f 是偶函数。 （6）常函数()()为常数c c x f =是偶函数，()f x =0既是偶函数又是奇函数。

（7）在公共定义域内偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.

（8）对于复合函数()()[]x g f x F =；若()x g 为偶函数, ()f x 为奇（偶）函数，则()x F 都为偶函数；若()x g 为奇函数，()x f 为奇函数,则()x F 为奇函数;若()x g 为奇函数，()x f 为偶函数,则()x F 为偶函数.

题型二 三次函数奇偶性的判断

已知函数d cx bx ax x f +++=2

3)(，证明：（1）当0==c a 时，)(x f 是偶函数

（2）当0==d b 时，)(x f 是奇函数

提示：通过定义来确定三次函数奇偶性中的常见题型，如c bx ax x f ++=2)(，当0=b ，)(x f 是偶函数；当0==c a ，)(x f 是奇函数。

题型三 利用函数奇偶性的定义来确定函数中的参数值 1函数()23f x ax bx a b =+++是偶函数，定义域为[]1 2a a -，

，则a b += 31 ． 2设2()2f x ax bx =++是定义在[]1,2a +上的偶函数，则()f x 的值域是 []10,2- ．

3 已知)

)(1(sin )(a x x x x f +-=是奇函数，则a 的值为 1 4已知)ln(sin )(2a x x x x f ++=是偶函数，则a 的值为 1

提示：（1）上述题型的思路是用函数奇偶性的定义，)()(),()(x f x f x f x f -=-=-。

（2）因为是填空题，所以还可以用)1()1(),1()1(f f f f =--=-。

（3）还可以用奇偶性的性质，如奇函数乘以奇函数是偶函数，奇函数乘以偶函数是奇函数等。 题型四 利用函数奇偶性的对称

1下列函数中为偶函数的是（ B ）

A ．2sin y x x = x y =

B ．2cos y x x =

C ．ln y x =

D ．2x y -=

2下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A

A ．x e x y +=

B ．x x y 1+=

C ．x x y 2

12+= D ．21x y += 3下列函数中，为偶函数的是（ C ）

A ．1y x =+

B ．1y x =

C ．4y x =

D ．y x = 4函数1()f x x x

=-的图像关于（ C ） A ．y 轴对称 B ． 直线x y -=对称 C ． 坐标原点对称 D ． 直线x y =对称

5已知函数)1(+x f 是R 上的奇函数，且4)1(=-f ，则)3(f =-4

6已知函数)2(+x f 是R 上的偶函数，则3)3(-=-f ，则)7(f =-3

提示：（1）上述题型的思路是用函数奇偶性的定义，)()(),()(x f x f x f x f -=-=-。

(2)奇函数关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称。

(3)在原点有定义的奇函数必有0)0(=f 。

（4）已知函数)(t x f +是R 上的奇函数，则)(x f 关于点)0,(t 对称。

(5)已知)(t x f +是偶函数，则)(x f 关于直线t x =对称。

题型五 奇偶函数中的分段问题

1设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x f x x b =++（b 为常数），则(1)f -=-3 2已知()f x 是奇函数，且当0x >时，()2f x x x =-，求0x <时，()f x 的表达式。2)(+=x x x f

3已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，2

32)(x x x f -=，则)3(-f =-45

4已知()f x 是偶函数，当0≥x 时，x x x f 2)(2+=，求)4(-f 24 5设偶函数()f x 满足)0(42)(≥-=x x f x ，则(){}

20x f x ->={|04}x x x <>或 提示：（1）已知奇函数)(x f ，当0≥x ，)()(x g x f =，则当0

（2）已知偶函数)(x f ，当0≥x ，)()(x g x f =，则当0

类型六 奇函数的特殊和性质