《函数的单调性和奇偶性》经典例题

经典例题透析

类型一、函数的单调性的证明

1．证明函数上的单调性.

证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x1>0

则

∵x1>0，x2>0，∴∴上式<0，∴△y=f(x2)-f(x1)<0

∴上递减.

总结升华：

[1]证明函数单调性要求使用定义；

[2]如何比较两个量的大小？(作差)

[3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形)

举一反三：

【变式1】用定义证明函数上是减函数.

思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.

证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1

∵0

故，即f(x1)-f(x2)>0

∴x1f(x2) 上是减函数.

总结升华：可以用同样的方法证明此函数在上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.

类型二、求函数的单调区间

2. 判断下列函数的单调区间；

(1)y=x2-3|x|+2；(2)

解：(1)由图象对称性，画出草图

∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增.

(2)

∴图象为

∴f(x)在上递增.

举一反三：

【变式1】求下列函数的单调区间：

(1)y=|x+1|；(2)(3).

解：(1)画出函数图象，

∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)；

(2)定义域为，其中u=2x-1为增函数，

在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数；

(3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞).

总结升华：

[1]数形结合利用图象判断函数单调区间；

[2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.

[3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化→复合函数为增函数；内外层函数反向变化→复合函数为减函数.

类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)

3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小.

解：又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则.

4. 求下列函数值域：

(1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；

(2)y=x2-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2].

思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合.

解：(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图

1)f(x)在[5，10]上单增，；

2)；

(2)画出草图

1)y∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]；2).

举一反三：

【变式1】已知函数.

(1)判断函数f(x)的单调区间；

(2)当x∈[1，3]时，求函数f(x)的值域.

思路点拨：这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间，但对解析式稍作处理，即可得到我们相对熟悉的形式.，第二问即是利用单调性求函数值域.

解：(1)

上单调递增，在上单调递增；

(2)故函数f(x)在[1，3]上单调递增

∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2 x=3时f(x)有最大值

∴x∈[1，3]时f(x)的值域为.

5. 已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数，求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2)

的取值范围.

解：(1)∵对称轴是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知

只需；

(2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又∵a≤2，∴-2a≥-4

∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7 .

举一反三：

【变式1】（2011 北京理13）已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________.

解：单调递减且值域(0,1]，单调递增且值域为，由图象知，若有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）.

类型四、判断函数的奇偶性

6. 判断下列函数的奇偶性：

(1)(2)(3)f(x)=x2-4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)(6

(7)

思路点拨：根据函数的奇偶性的定义进行判断.

解：(1)∵f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；

(2)∵x-1≥0，∴f(x)定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数；

(3)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数；

(4)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；

(5)

，∴f(x)为奇函数；

(6)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；

(7)，∴f(x)为奇函数.

举一反三：

【变式1】判断下列函数的奇偶性：

(1)；(2)f(x)=|x+1|-|x-1|；(3)f(x)=x2+x+1；

(4).

思路点拨：利用函数奇偶性的定义进行判断.

解：(1)；

(2)f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x) ∴f(x)为奇函数；

(3)f(-x)=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1

∴f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x) ∴f(x)为非奇非偶函数；

(4)任取x>0则-x<0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)

任取x<0，则-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)

x=0时，f(0)=-f(0) ∴x∈R时，f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数.

举一反三：

【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.

证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则

F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)

G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x)

∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.

类型五、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)

7．已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).

解：法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10

∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26

法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数

∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8

∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.