2011考研数学全真模拟试卷答案(数二)

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2011年数学二模答案

19．（本题6分）
解：（1）画图正确；……………………………………………………………………2分
（2）画图正确；……………………………………………………………………4分
（3）（－2，3）．……………………………………………………………………6分
20．（本题7分）
解：表格填写正确；……………………………………………………………………2分
∵k＝－1，W随x的增大而减小，
∴当x＝48时，即A型住房建48套，B型住房建32套获得利润最大．…5分
（3）由题意知W＝5x＋（6－a）(80－x)＝(a－1)x＋480－80a．………………6分
∴当0＜a＜l时，x＝48，W最大，即A型住房建48套，B型住房建32套．
………………………………………………………………………………7分
解得：48≤x≤50．………………………………………………………2分
∵x取非负整数，∴x为48，49，50．
∴有三种建房方案：
方案①
方案②
方案③
A型
48套
49套
50套
B型
32套
31套
30套
………………………………………………………………3分
（2）设该公司建房获得利润W(万元)．
由题意知W＝5x＋6(80－x)＝480－x，………………………………………4分
13．2414.4(30＋x)＝6(30－x)15.(－2，1)或(2，－1)16.①③④
三、解答题（本大题共12小题，共计88分）
17．（本题6分）
解：
由②得y＝6－x代入①得2x－3(6－x)＝2，解得x＝4．……………………3分
代入②得y＝2．…………………………………………………………………5分

数2--11真题答案

2011年考研数学(二)试题答案速查一、选择题（1）C （2）B （3）C （4）C （5）A （6）B （7）D （8）D 二、填空题（9（10）e sin xx − （11）ln(1 （12）1λ（13）712（14）2 三、解答题（15）13α<<. （16）极小值13y =−，极大值1y =，凸区间为1(,)3−∞，凹区间为1(,)3+∞，拐点为11(,)33.（17）11112(1,1)(1,1)(1,1)f f f '''''++. （18）π()arcsin4x y x =−. （19）略. （20）（Ⅰ）9π4V =.（Ⅱ）27π8W g ρ=. （21）a .（22）（Ⅰ）5=a .（Ⅱ）112324=+−βααα，2122=+βαα，31235102=+−βααα.（23）（Ⅰ）1112223331231101,0,1,0,0,1,0110p k p k p k k k k λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=−=====≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（Ⅱ）001000100⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A .2011年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）参考答案一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．（1）【答案】C ．【解答】由泰勒展开定理33sin ()3!x x x o x =−+，33(3)sin 33()3!x x x o x =−+.所以，333339()3sin sin 33(3)()4()22x x f x x x x x o x x o x =−=−−−+=+.当0x →时，3()4f x x ，所以选择C.（2）【答案】B ．【解答】2330()2()lim x x f x f x x →−22330()(0)2()2(0)lim x x f x x f f x f x →−−+= 330()(0)()(0)lim 2x f x f f x f x x →⎡⎤−−=−⎢⎥⎣⎦(0)2(0)(0)f f f '''=−=−. 故应选B. （3）【答案】C ．【解答】(2)(3)(1)(3)(1)(2)()(1)(2)(3)x x x x x x f x x x x −−+−−+−−'=−−−231211(1)(2)(3)x x x x x −+=−−− 令2()31211g x x x =−+，由于2124311120∆=−⨯⨯=>,故()g x 有两个不同的实根，且不是1,2,3，所以()f x 有两个不同的驻点. （4）【答案】C.【解答】由题可知特征方程为 220r λ−=，特征根12r r λλ==−,，则齐次方程通解为12e e x x y C C λλ−=+. 方程2e x y y λλ''−=的特解可设为1e x y x a λ=⋅⋅，方程2e xy y λλ−''−=的特解可设为2exy x b λ−=⋅⋅，则由微分方程解的结构可知，方程2e e xx y y λλλ−''−=+可设特解(e e )x x y x a b λλ−=+.（5）【答案】A ．【解答】由题设条件，(0,0)(0,0)()()(0)(0)0zf xg y f g x ∂''===∂，(0,0)(0,0)()()(0)(0)0zf xg y f g y ∂''===∂.故，(0,0)点为函数()()z f x f y =的驻点.又22(0,0)(0)(0)z A f g x ∂''==∂，2(0,0)(0)(0)0z B f g x y ∂''===∂∂，22(0,0)(0)(0)zC f g y∂''==∂.所以2(0)(0)(0)(0)AC B f g g f ''''−=.如果(0,0)点为函数()()z f x f y =的极小值点，则要求20,0A AC B >−>，已知有()0,(0)0f x g ><，所以，(0)0,g (0)0f ''''<>，故正确答案选A ．（6）【答案】B ．【解答】当π04x <<时,有0sin cos 1cot x x x <<<<,所以ln sin ln cos ln cot x x x <<，由定积分的性质，答案选B ．（7）【答案】D ．【解答】易知100110,001⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A B 100001010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B =E即12,=AP B P B =E ,所以1112121−−−A =P P =P P ,选答案D ．（8）【答案】D ．【解答】易知**,()3,()1r r ==AA =O A A ,*=A x 0的基础解系有3个线性无关的向量,1234,,,αααα是*=A x 0的解；又因为T (1,0,1,0)是方程组0Ax =的一个基础解系，即13+=0αα，所以13,αα线性相关，则方程组*=A x 0的基础解系为234,,ααα，选答案D ．二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（9）.【解答】0012121ln 1(1)ln()22limlim 012lim e e 2x x x x x xxxx →→⎡⎤+++−⎢⎥⎢⎥⎣⎦→⎛⎫+== ⎪⎝⎭00212ln 21limlimln 2222eeex x x x x →→−⋅====（10）【答案】esin xx −.【解答】d d e (e cos e d )x xx y x x C −−⎰⎰=⋅+⎰e (cos d )x x x C −=+⎰e (sin )x x C −=+由于(0)0,y =故0C =,所以e sin x y x −=. （11）【答案】ln(1+.【解答】ππ440sec d ln |sec tan |ln(1s x x x x ===+=⎰.（12）【答案】1λ【解答】()()0111()d ed ed e d xxt t x xf x x x x x x t t λλλλλλλλλ+∞+∞+∞+∞−−−−∞==⋅==⎰⎰⎰⎰. （13）【答案】712. 【解答】由题设条件令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩，其中ππ,02sin 42r θθ，所以， ππ2sin 2sin 322ππ044d d cos sin d sin cos d d Dxy r r r r r r θθσθθθθθθ=⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ππ4622ππ44(2sin )27sin cos d sin 4312θθθθθ===⎰. （14）【答案】2.【解答】由于二次型f 对应矩阵111131111⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，()()111131140111λλλλλλλ−−−−=−−−=−−=−−−E A ，得1230,1,4λλλ===，因此f 的正惯性指数为2.三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（15）（本题满分10分）解：当0α时，220ln(1)d limlim ln(1)d xxx x t t x t t x αα−→+∞→+∞+=⋅+=+∞⎰⎰与已知矛盾，不和题意. 因为22230110000ln(1)d ln(1)1limlim lim lim 0xx x x x t t x x x x x x ααααααα++++−−−→→→→++===⋅=⎰，所以30α−>，即3α<.又因为223201222ln(1)d ln(1)210lim lim lim lim(1)(1)1xx x x x xt t x x x x x x x ααααααααα−−−→+∞→+∞→+∞→+∞+++====−−+⎰，所以32α−<，即1α>. 综上可得，13α<<.（16）（本题满分11分）解：对参数方程求导，得22d 1d ()d 1d yt t y x x t t−'==+， 2222222231d()12(1)(1)2141()d d (1)1(1)d t t t t t t t y x x t t t t t−+−−⋅+''=⋅=⋅=+++. 令()0y x '=，得1t =±. 当1t =时，得53x =，13y =−，0y ''>. 故13y =−为极小值. 当1t =−时，得1x =−，1y =，0y ''<. 故1y =为极大值. 令()0y x ''=，得0t =，13x y ==. 当0t <时，得13x <，0y ''<；当0t >时，13x >，0y ''>. 所以曲线()=y y x 的凸区间为1,3⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭，凹区间为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，11(,)33为拐点. （17）（本题满分9分）解：[][]12,(),()()zf xy yg x y f xy yg x yg x x∂'''=⋅+⋅∂ []211112,()(,())(,())()zf xy yg x y f xy yg x x f xy yg x g x x y∂'''''⎡⎤=++⎣⎦∂∂ []{}22122(),()()[,()][,()]()g x f xy yg x yg x f xy yg x x f xy yg x g x '''''''+⋅+⋅+又()g x 在1x =可导，且为极值,所以(1)0g '=，所以，21111121d |(1,1)(1,1)(1,1).d d x y zf f f x y =='''''=++ （18）（本题满分10分）解: 由题当0x =时，有d 0,(0)1,tan d yy y xα'===. 方程d tan d y x α=两边对x 求导，可得222d d sec d d y x x αα⋅=① 由d d d d y x x α=,则①式可化为222d d d 1d d d y y y x x x⎡⎤⎛⎫+⋅=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即方程()21y y y ''''=+ ② 令y p '=，有d d py py''=，则②式可化为3d d p p p p y =+ ③由于0y p '=≠，所以③变为2d 1d pp y=+ ④ 解方程④得1arctan p y C =+. 再有(0)0,(0)1,y y '==可得1π4C =. 所以，πtan 4y y ⎛⎫'=+⎪⎝⎭，分离变量，两边积分得2πsin e 4xy C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 由(0)0y =，得22C =，因此π()4x y x =−.（19）（本题满分10分）证：（Ⅰ）设()()1ln 1,0,f x x x n ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦.显然()f x 在10,n⎡⎤⎢⎥⎣⎦上满足拉格朗日中值定理:()1111110ln 1ln1ln 1,0,1f f n n n n n ξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=+−=+=⋅∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭当10,n ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，11111111101n n n nξ⋅<⋅<⋅+++,即111111n n n ξ<⋅<++，x111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭. 结论得证.（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论,可以得到11ln(1)1n n <++，所以11ln 101n n ⎛⎫−+< ⎪+⎝⎭得到1n n a a +<，即数列{}n a 单调递减.因为，1111ln ln 1ln nnn k k a n n k k ==⎛⎫=−>+− ⎪⎝⎭∑∑，而，()11112341ln 1ln ln ln 1123nnk k k n n k k n ==++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==⋅⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∏，所以，()1111ln ln 1ln ln 1ln 0nnn k k a n n n n k k ==⎛⎫=−>+−>+−> ⎪⎝⎭∑∑.（20）（本题满分11分）解:（Ⅰ）12V V V =+()()12222112π2d π1d y y y y y −=−+−⎰⎰23212π3y y ⎛⎫=− ⎪⎝⎭+1321π3y y −⎛⎫− ⎪⎝⎭=π1534⎛⎫+− ⎪⎝⎭=9π4（Ⅱ）22d π(2)(1)d π(2)1(1)d W g y y y g y y y ρρ⎡⎤=−−+−−−⎣⎦12222112π(2)(1)d π(2)1(1)d W g y y y g y y y ρρ−⎡⎤=−−+−−−⎣⎦⎰⎰1232322112π(22)d (44)d g y y y y y y y y ρ−⎛⎫=−−++−+ ⎪⎝⎭⎰⎰11122432231222222111121112224π2243243yy y y y g yy ρ−−−−⎛⎫⎪=−−++−+ ⎪ ⎪⎝⎭27π8g ρ=.（21）（本题满分11分）解：110d (,)d xyI x x yf x y y ''=⎰⎰1100d (,)d x x x ydf x y y '=⎰⎰ ()()111000d ,,d x x x x y f x y f x y y ⎡⎤''=−⎢⎥⎣⎦⎰⎰()11d (,1)(,)d x x x x f x f x y y ''=−⎰⎰.因为(,1)0f x =,所以(,1)0x f x '=.110d (,)d x I x x f x y y '=−⎰⎰1100d (,)d x y xf x y x '=−⎰⎰111000d (,)(,)d y xf x y f x y x ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦⎰⎰1100d (1,)(,)d y f y f x y x ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦⎰⎰ d (,)d Df x y x y =⎰⎰a =.（22）（本题满分11分）解:（Ⅰ）由于123,,ααα不能由123,,βββ线性表示，则对于123123(,,,,,)βββααα进行初等行变换：123123(,,,,,)βββααα= 11310112401313115a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭113101011112023014a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−⎝⎭113101011112005210a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−−⎝⎭. 当5a =时，1231231(,,)2(,,,)3r r =≠=ββββββα,此时，1α不能由123,,βββ线性表示，故5a =.（Ⅱ）对123123(,,,,,)αααβββ进行初等行变换:123123(,,,,,)=αααβββ101113013124115135⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124014022⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭1002150104210001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭.故112324=+−βααα，2122=+βαα，31235102=+−βααα.（23）（本题满分11分）解:（Ⅰ）设()()TT121,0,1,1,0,1=−=αα，则()()1212,,=−ααααA ，即1122,=−=ααααA A ，从而A 有特征值121,1λλ=−=，对应的特征向量分别为()1110k k ≠α，()2220k k ≠α. 由于()2A =R ,所以30λ=.由于A 是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设30λ=对应的特征向量为()T3123,,x x x =α，则T 13T230,0.⎧=⎨=⎩αααα即13130,0.x x x x −=⎧⎨+=⎩ 解此方程组，得()T30,1,0=α,故30λ=对应的特征向量为()3330k k ≠α.故A 的所有特征值为1231,1,0λλλ=−==，对应的特征向量分别为()1110k k ≠α，()2220k k ≠α和()3330k k ≠α.（Ⅱ）由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：))()T T T3121231231,0,1,1,0,1,0,1,0==−====αααβββααα. 令()123,,=βββQ ，则T110−⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ΛQ AQ ， T =A Q QΛ022012200110220010022⎛⎫−⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪−⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪− ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭222200002201022⎛⎫−⎛⎫ ⎪− ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭001000100⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭.。

2011-数二真题、标准答案及解析

0
0
0
小关系是( )
(A) I J K ． (B) I K J ． (C) J I K ． (D) K J I ． (7) 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B ，再交换 B 的第 2 行与第 3
1 0 0
1 0 0
行得单位矩阵，记
P1
=
1
1
0
，
P2
2 = (1, 2,3)T ， 3 = (3, 4, a)T 线性表示． (I) 求 a 的值； (II) 将 1, 2 , 3 由1,2 ,3 线性表示．
(23) (本题满分 11 分)
1 1 −1 1
A 为三阶实对称矩阵，
A
的秩为
2，即 r ( A)
=
2 ，且
A
0
0
=
0
0 ．
−1 1 1 1
(A) k = 1, c = 4 ． (B) k = 1, c = −4 ． (C) k = 3, c = 4 ． (D) k = 3, c = −4 ．
( ) x2 f ( x) − 2 f x3
(2) 已知 f ( x) 在 x = 0 处可导，且 f (0) = 0 ，则 lim x→0
x3
=(
)
(A) −2 f (0) ． (B) − f (0) ．
(C) f (0) ．
(D) 0．
(3) 函数 f (x) = ln (x −1)(x − 2)(x − 3) 的驻点个数为( )
(A) 0．
(B) 1．
(C) 2．
(4) 微分方程 y − 2 y = ex + e−x ( 0) 的特解形式为( )

2011年考研数学二真题及答案解析

2011年考研数学二真题及答案解析2011年考研数学二真题及答案解析一、选择题部分1. 如图，矩形OABC中，AB=4，BC=3，M为BC的中点，点D，E分别在AO，CO上，满足AD=CE，连接DE、BM相交于F。

则DE/AB的值等于（）。

A．1/3 B．1/4 C．1/2 D．2/3答案：A解析：根据题意，首先连接AM，然后用面积比解法。

设矩形OABC的面积为S，则S=AB×BC=12。

由于AD=CE，所以AM=CM，即BM=1.5，MF=BM/2=0.75。

在ΔABF中，AF是BM的中线，所以AF=BM/2=0.75。

设AC与DE交点为G，则AG=(BC+DE)/2=3+DE/2。

在ΔEBG中，EF是AM的中线，所以EF=AM/2=1.25。

因此，S[DEFG]/S[OABC]=[1-(MF/BC)]×[1-(EF/AB)]=2/3。

所以DE/AB=[S[DEFG]/S[OABC]]1/2=1/3。

2. 若（cosx+sinx）tanx=3，则tan3x的值为（）。

A．1/2 B．1/3 C．1 D．3答案：D解析：将（cosx+sinx）tanx=3变形为cosx/(sinx+1/cosx)=3/sin^2(x)。

设y=sin(x)，则cos(x)=√(1-y^2)，所以上式化为(y+1/√(1-y^2))√(1-y^2)=3/y^2。

整理得y^5+3y^4+3y^3-8=0。

由于y=0不是方程的解，所以可将其化为(y+1)^3=y^2+3y+8/3。

又因为y^2+3y+8/3=(y+3/2)^2+7/12>0，所以y只可能为y=-1或y=-1/2。

当y=-1时，得cos(x)=0，sin(x)=-1，此时tan3x不存在。

当y=-1/2时，得cos(x)=√(1-1/4)=√3/2，sin(x)=-1/2。

因此sin(3x)=3sin(x)-4sin^3(x)=-3/4，cos(3x)=4cos^3(x)-3cos(x)=-1/2。

2011考研数学二真题及答案解析

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．)(1)已知当0x →时，()3sin sin 3f x x x =-与kcx 是等价无穷小，则()(A)1,4k c ==．(B)1,4k c ==-．(C)3,4k c ==．(D)3,4k c ==-．(2)已知()f x 在0x =处可导，且()00f =，则()()2332limx x f x f x x →-=()(A)()20f '-．(B)()0f '-．(C)()0f '．(D)0．(3)函数()ln (1)(2)(3)f x x x x =---的驻点个数为()(A)0．(B)1．(C)2．(D)3．(4)微分方程2(0)xx y y e e λλλλ-''-=+>的特解形式为()(A)()xx a ee λλ-+．(B)()xx ax ee λλ-+．(C)()xx x aebe λλ-+．(D)2()xx x aebe λλ-+．(5)设函数(),()f x g x 均有二阶连续导数，满足(0)0,(0)0,f g ><且(0)(0)0f g ''==，则函数()()z f x g y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是()(A)(0)0,(0)0.f g ''''<>(B)(0)0,(0)0.f g ''''<<(C)(0)0,(0)0.f g ''''>>(D)(0)0,(0)0.f g ''''><(6)设40ln sin I x dx π=⎰，40ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是()(A)I J K <<．(B)I K J <<．(C)J I K <<．(D)K J I <<．(7)设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A =()(A)12PP ．(B)112P P -．(C)21P P ．(D)121P P -．(8)设1234(,,,)A αααα=是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T是方程组0Ax =的一个基础解系，则*0A x =的基础解系可为()(A)13,αα．(B)12,αα．(C)123,,ααα．(D)234,,ααα．二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．)(9)1012lim()2x x x →+= ．(10)微分方程'cos xy y e x -+=满足条件(0)0y =的解为．(11)曲线0tan (04xy tdt x π=≤≤⎰的弧长s = ．(12)设函数,0,()0,0,0,x e x f x x λλλ-⎧>=>⎨≤⎩则()xf x dx +∞-∞=⎰ ．(13)设平面区域D 由直线,y x =圆222x y y +=及y 轴围成，则二重积分Dxyd σ=⎰⎰ ．(14)二次型222123123121323(,,)3222f x x x x x x x x x x x x =+++++，则f 的正惯性指数为．三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)(15)(本题满分10分)已知函数20ln(1)()xat dt F x x+=⎰，设0lim ()lim ()0,x x F x F x +→+∞→==试求a 的取值范围．(16)(本题满分11分)设函数()y y x =由参数方程3311,3311,33x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩确定，求()y y x =的极值和曲线()y y x =的凹凸区间及拐点．(17)(本题满分9分)设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导且在1x =处取得极值(1)1g =，求211x y zx y==∂∂∂．(18)(本题满分10分)x设函数()y x 具有二阶导数，且曲线:()l y y x =与直线y x =相切于原点，记α为曲线l 在点(,)x y 处切线的倾角，若,d dydx dxα=求()y x 的表达式．(19)(本题满分10分)(I)证明：对任意的正整数n ，都有111ln(11n n n<+<+成立．(II)设111ln (1,2,)2n a n n n=+++-= ，证明数列{}n a 收敛．(20)(本题满分11分)一容器的内侧是由图中曲线绕y 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由2212()2x y y y +=≥与2211()2x y y +=≤连接而成的．(I)求容器的容积；(II)若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？(长度单位：m ，重力加速度为2/gm s ，水的密度为3310/kg m )．图１(21)(本题满分11分)已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0f y =，(,1)0f x =，(,)Df x y dxdy a =⎰⎰，其中{}(,)|01,01D x y x y =≤≤≤≤，计算二重积分(,)xyDI xy f x y dxdy ''=⎰⎰．(22)(本题满分11分)设向量组123(1,0,1),(0,1,1),(1,3,5)T T T ααα===，不能由向量组1(1,1,1)T β=，2(1,2,3)T β=，3(3,4,)T a β=线性表示．(I)求a 的值；(II)将123,,βββ由123,,ααα线性表示．(23)(本题满分11分)A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为2，即()2r A =，且111100001111A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．(I)求A的特征值与特征向量；(II)求矩阵A．2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．)(1)【答案】(C)．【解析】因为03sin sin 3limk x x x cx →-03sin sin cos 2cos sin 2limk x x x x x xcx →--=()20sin 3cos 22cos limkx x x x cx →--=2103cos 22cos lim k x x xcx -→--=()22132cos 12cos limk x x xcx -→---=22110044cos 4sin lim lim k k x x x x cxcx --→→-==304lim1k x cx -→==．所以4,3c k ==，故答案选(C)．(2)【答案】(B)．【解析】()()2332limx x f x f x x →-()()()()22330220limx x f x x f f x f x →--+=()()()()33000lim 2x f x f f x f x x →⎡⎤--⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦()()()0200f f f '''=-=-．故答案选(B)．(3)【答案】(C)．【解析】()ln 1ln 2ln 3f x x x x =-+-+-111'()123f x x x x =++---231211(1)(2)(3)x x x x x -+=---令'()0f x =，得1,2633x ±=，故()f x 有两个不同的驻点．(4)【答案】(C)．【解析】微分方程对应的齐次方程的特征方程为220r λ-=，解得特征根12r r λλ==-,．所以非齐次方程2xy y e λλ''-=有特解1x y x a e λ=⋅⋅,非齐次方程2xy y eλλ-''-=有特解2x y x b e λ-=⋅⋅，故由微分方程解的结构可知非齐次方程2xx y y ee λλλ-''-=+可设特解().x x y x ae be λλ-=+(5)【答案】(A)．【解析】由题意有()()zf xg y x ∂'=∂，()()z f x g y y∂'=∂所以，()0,0(0)(0)0zf g x ∂'==∂，()0,0(0)(0)0z f g y ∂'==∂，即()0,0点是可能的极值点．又因为22()()zf xg y x ∂''=∂，2()()z f x g y x y ∂''=∂∂，22()()z g y f x y∂''=∂，所以，2(0,0)2|(0)(0)zA f g x ∂''==⋅∂，2(0,0)|(0)(0)0zB f g x yα''==⋅=∂∂，2(0,0)2|(0)(0)zC f g y∂''==⋅∂，根据题意由()0,0为极小值点，可得20,AC B A C -=⋅>且(0)(0)0A f g ''=⋅>，所以有(0)(0)0.C f g ''=⋅>由题意(0)0,(0)0f g ><，所以(0)0,(0)0f g ''''<>，故选(A)．(6)【答案】(B)．【解析】因为04x π<<时，0sin cos 1cot x x x <<<<，又因ln x 是单调递增的函数，所以ln sin ln cos ln cot x x x <<．故正确答案为(B)．(7)【答案】(D)．【解析】由于将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，故100110001A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，即1AP B =，11A BP -=．由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵，故100001010B E ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，即2,P B E =故122B P P -==．因此，121A P P -=，故选(D)．(8)【答案】(D)．【解析】由于(1,0,1,0)T是方程组0Ax =的一个基础解系，所以(1,0,1,0)0TA =，且()413r A =-=，即130αα+=，且0A =．由此可得*||A A A E O ==，即*1234(,,,)A O =αααα，这说明1234,,,αααα是*0A x =的解．由于()3r A =，130αα+=，所以234,,ααα线性无关．又由于()3r A =，所以*()1r A =，因此*0A x =的基础解系中含有413-=个线性无关的解向量．而234,,ααα线性无关，且为*0A x =的解，所以234,,ααα可作为*0A x =的基础解系，故选(D)．二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．)(9)【答案】．【解析】原式=0121lim(1)2x x x e →+-00212ln 21limlimln 2222x x x x x eee→→-⋅====．(10)【答案】sin xy e x -=．【解析】由通解公式得(cos )dx dxx y e e x e dx C --⎰⎰=⋅+⎰(cos )x e xdx C -=+⎰(sin )x e x C -=+．由于(0)0,y =故C =0．所以sin xy ex -=．(11)【解析】选取x 为参数，则弧微元sec ds xdx ===所以440sec ln sec tan ln(1s xdx x x ππ==+=+⎰．(12)【答案】1λ．【解析】原式0x xx e dx xde λλλ+∞+∞--==-⎰⎰1lim0x x xx x x xee dx ee λλλλλ+∞-+∞--+∞→+∞=-+=-+-⎰01111limlim x x x x e e e λλλλλ→+∞→+∞⎛⎫=---= ⎪⎝⎭．(13)【答案】712．【解析】原式2sin 2sin 322044cos sin cos sin d r r rdr d r drππθθππθθθθθθ=⋅=⋅⎰⎰⎰⎰4241sin cos 16sin 4d ππθθθθ=⋅⋅⋅⎰5522444cos sin 4sin sin d d ππππθθθθθ=⋅=⎰⎰66447sin 612ππθ==．(14)【答案】2．【解析】方法1：f 的正惯性指数为所对应矩阵的特征值中正的个数．二次型f 对应矩阵为111131111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．111000131131132111111112E A λλλλλλλλλλλ-----=---=---=------------()()321412λλλλλλ--==----，故1230,1,4λλλ===．因此f 的正惯性指数为2．方法2：f 的正惯性指数为标准形中正的平方项个数．()222123123121323,,3222f x x x x x x x x x x x x =+++++()2222212322332323232x x x x x x x x x x x =++---+++()2212322x x x x =+++，令11232233,,,y x x x y x y x =++⎧⎪=⎨⎪=⎩则22122f y y =+，故f 的正惯性指数为2．三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)(15)(本题满分10分)【解析】如果0a ≤时，220(1)limlim ln(1)xxa ax x ln t dt x t dt x -→+∞→+∞+=⋅+=+∞⎰⎰，显然与已知矛盾，故0a >．当0a >时，又因为22230110000ln(1)ln(1)1limlim lim lim 0xaaa a x x x x t dt x x x x ax ax a++++---→→→→++===⋅=⎰．所以30a ->即3a <．又因为223201222ln(1)ln(1)210lim lim lim lim (1)(1)1xa a a a x x x x xt dt x x x x ax a a x a a x ---→+∞→+∞→+∞→+∞+++====--+⎰所以32a -<，即1a >，综合得13a <<．(16)(本题满分11分)【解析】因为221()1dyt dt y x dx t dt -'==+，2222222231(12(1)(1)2141(),(1)1(1)t d t t t t t t y x dx dt t t t dt-+--⋅+''=⋅=⋅=+++令()0y x '=得1t =±，当1t =时，53x =，13y =-，此时0y ''>，所以13y =-为极小值．当1t =-时，1x =-，1y =，此时0y ''<，所以1y =为极大值．令()0y x ''=得0t =，13x y ==．当0t <时，13x <，此时0y ''<；当0t >时，13x >，此时0y ''>．所以曲线的凸区间为13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，，凹区间为13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，拐点为11(,)33．(17)(本题满分9分)【解析】[],()z f xy yg x =[][]12,(),()()zf xy yg x y f xy yg x yg x x∂'''=⋅+⋅∂[][]211112,()(,())(,())()zf xy yg x y f xy yg x x f xy yg x g x x y∂'''''=++∂∂[]{}21222(),()()[,()][,()]()g x f xy yg x yg x f xy yg x x f xy yg x g x '''''''+⋅+⋅+．因为()g x 在1x =可导，且为极值,所以(1)0g '=，则21111121|(1,1)(1,1)(1,1)x y d zf f f dxdy =='''''=++．(18)(本题满分10分)【解析】由题意可知当0x =时，0y =，'(0)1y =，由导数的几何意义得tan y α'=,即arctan y α'=，由题意()arctan d dyy dx dx '=，即21y y y '''='+．令y p '=，y p '''=，则21p p p '=+，3dpdx p p =+⎰⎰，即21dp p dp dx p p -=+⎰⎰⎰，211ln ||ln(1)2p p x c -+=+，即2211x p ce -=-．当0x =，1p =，代入得2c =，所以'y =则0()(0)t xxy x y -==⎰⎰004t t xxx d π===⎰．又因为(0)0y =，所以()arcsin 24x y x e π=-．(19)(本题满分10分)【解析】(Ⅰ)设()()1ln 1,0,f x x x n ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦显然()f x 在10,n⎡⎤⎢⎥⎣⎦上满足拉格朗日的条件，()1111110ln 1ln1ln 1,0,1f f n n n n n ξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+=⋅∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以10,n ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，11111111101n n n n ξ⋅<⋅<⋅+++，即：111111n n n ξ<⋅<++，亦即：111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭．结论得证．（II）设111111ln ln 23nn k a n n n k==++++-=-∑ ．先证数列{}n a 单调递减．()111111111ln 1ln ln ln 1111n n n n k k n a a n n k k n n n n ++==⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+--==-+⎪ ⎢⎥⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∑∑，利用（I）的结论可以得到11ln(1)1n n <++，所以11ln 101n n ⎛⎫-+< ⎪+⎝⎭得到1n n a a +<，即数列{}n a 单调递减．再证数列{}n a 有下界．1111ln ln 1ln nnn k k a n n k k ==⎛⎫=->+- ⎪⎝⎭∑∑，()11112341ln 1ln ln ln 1123nnk k k n n k k n ==++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==⋅⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∏ ，()1111ln ln 1ln ln 1ln 0nn n k k a n n n n k k ==⎛⎫=->+->+-> ⎪⎝⎭∑∑．得到数列{}n a 有下界．利用单调递减数列且有下界得到{}n a 收敛．(20)(本题满分11分)【解析】(I)容器的容积即旋转体体积分为两部分12V V V =+()()1222211221y y dy y dyππ-=-+-⎰⎰232123y y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭+13213y y π-⎛⎫- ⎪⎝⎭=π1534⎛⎫+-⎪⎝⎭=94π．(II)所做的功为22(2)(1)(2)(2)dw g y y dy g y y y dyπρπρ=--+--12222112(2)(1)(2)(2)w g y y dy g y y y dyπρπρ-=--+--⎰⎰1232322112(22)44)g y y y dy y y y dy πρ-⎛⎫=--+++-+ ⎪⎝⎭⎰⎰111224322312222221111211122242243243yy y yy g y yπρ----⎛⎫⎪=--++-+ ⎪ ⎪⎝⎭3271033758g g ππ⨯==．(21)(本题满分11分)【解析】因为(,1)0f x =，(1,)0f y =，所以(,1)0x f x '=．110(,)xyI xdx yf x y dy ''=⎰⎰11(,)x xdx ydf x y '=⎰⎰()()111000,|,x x xdx yf x y f x y dy ⎡⎤''=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰()1100(,1)(,)x x xdx f x f x y dy''=-⎰⎰1100(,)x xdx f x y dy '=-⎰⎰1100(,)x dy xf x y dx '=-⎰⎰111000(,)|(,)dy xf x y f x y dx ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰⎰1100(1,)(,)dy f y f x y dx ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰⎰(,)Df x y dxdy =⎰⎰a =．(22)(本题满分11分)【解析】(I)由于123,,ααα不能由123,,βββ线性表示，对123123(,,,,,)βββααα进行初等行变换：123123113101(,,,,,)12401313115a ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭βββααα113101011112023014a ⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭113101011112005210a ⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪--⎝⎭．当5a =时，1231231(,,)2(,,,)3r r ββββββα=≠=，此时，1α不能由123,,βββ线性表示，故123,,ααα不能由123,,βββ线性表示．(II)对123123(,,,,,)αααβββ进行初等行变换：123123101113(,,,,,)013124115135⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭αααβββ101113013124014022⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪--⎝⎭1002150104210001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪--⎝⎭，故112324βααα=+-，2122βαα=+，31235102βααα=+-．(23)(本题满分11分)【解析】(I)由于111100001111A -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，设()()121,0,1,1,0,1T T αα=-=，则()()1212,,A αααα=-，即1122,A A αααα=-=，而120,0αα≠≠，知A 的特征值为121,1λλ=-=，对应的特征向量分别为()1110k k α≠，()2220k k α≠．由于()2r A =，故0A =，所以30λ=．由于A 是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设30λ=对应的特征向量为()3123,,Tx x x α=，则13230,0,T T⎧=⎨=⎩αααα即13130,0x x x x -=⎧⎨+=⎩．解此方程组，得()30,1,0Tα=，故30λ=对应的特征向量为()3330k k α≠．(II)由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：))()3121231231,0,1,1,0,1,0,1,0T T Tαααβββααα==-====．令()123,,Q βββ=，则110TQ AQ -⎛⎫ ⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭，T A Q Q =Λ22022012200110220010022⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭2202200012200000002210022010022⎛-⎛⎫ - ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭．。

2011年研究生入学统一考试数学二试题及解析

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1、已知当0x →时，函数()3sin sin 3f x x x =-与k cx 等价无穷小，则（A ）1,4k c == （B ）1,4k c ==- （C ） 3,4k c == （D ）3,4k c ==- 【分析】本题考查等价无穷小的有关知识.可以利用罗必达法则或泰勒公式完成。

【详解】法一:由题设知 13sin sin 33cos 3cos 31=lim=limkk x x x xx xcxkcx-→→--233sin 9sin 33cos 27cos 3=lim=lim(1)(1)(2)k k x x x x x x k k cxk k k cx--→→-+-+---324=lim(1)(2)k x k k k cx-→--从而(1)(2)243k k k c k --=⎧⎨=⎩，故3,4k c ==。

从而应选（C ）。

法二:333333(3)()3(())(3())4()3!3!xx f x x o x x o x x o x =-+--+=+所以3,4k c ==。

，从而应选（C ）。

2、已知()f x 在0x =处可导，且(0)0f =，则233()2()limx x f x f x x→-=（A ）2'(0)f - （B ）'(0)f - （C ） '(0)f （D ）0【分析】本题考查导数的定义。

通过适当变形，凑出()f x 在0x =点导数定义形式求解。

【详解】23223333()2()()(0)()(0)limlim[2]x x x f x f x x f x x f f x f xxx→→---=-()22333()(0)()(0)lim2lim'0x x x f x x f f x f f xx→→--=-=-故应选（B ）。

2011年全国硕士研究生入学统一考试考研数学二真题及详解【圣才出品】

【答案】B
【考点】定积分值大小的比较
【解析】x∈（0，π/4），有 sinx＜cosx＜1＜cotx，则 lnsinx＜lncosx＜0＜lncotx，故 π
J 4 ln cot xdx 0 0
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π
π
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C．x（aeλx＋be－λx）
D．x2（aeλx＋be－λx）
【答案】C
【考点】微分方程特解的求法
【解析】原方程对应的齐次方程的特征方程 y2－λ2＝0，解得 y1＝λ，y2＝－λ，则 y″－ λ2y＝eλx 的特解 y1＝C1xeλx；y″－λ2y＝eλx 的特解 y2＝C2xe－λx。故原方程的特解 y＝x（C1eλx＋ C2e－λx）。故选 C 项。
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C＝∂2z/∂y2＝f（x）g″（y）
在（0，0）点，A＝f″（0）g（0），B＝f′（0）g′（0）＝0，C＝f（0）g″（0）。由
z x
(0,0)
z y
(0,0)
0
可得，（0，0）是 z＝f（x）g（y）可能的极值点。若 z＝f（x）g（y）在（0，0）有极
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A．α1，α3
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B．α1，α2
C．α1，α2，α3
D．α2，α3，α4
【答案】D
【考点】基础解系的求法
【解析】因为 Ax＝0 基础解系含一个线性无关的解向量，所以 r（A）＝3，于是 r（A*）
＝1，故 A*x＝0 基础解系含 3 个线性无关的解向量。又 A*A＝|A|E＝0 且 r（A）＝3，所以 A

2011考研数学二真题

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明、证明过程或演算步骤 .
∫x ln(1 + t2 )dt
（ 15）（本题满分 10 分）已知函数 F (x ) = 0 x3a
，设
lim x→+∞ F ( x) = lim x→0+ F ( x) = 0 ，试求 a 的取值范围。
解：由 lim x→+∞ F ( x) = 0 ，所以至少 a > 0
所以 tan α= dy dx
，两边同时对
x 求导数，得
sec2
αdα = dx
d2y dx2
由题知
dα dy = ，并且
sec2 α= 1+ tan2 α所以得微分方程
dx dx
?d 2y
? ??
dx
2
?
= dy + ( dy )3, dx dx
y(0) = 0,
此方程是不显含
（ 5）设函数 f ( x), g ( x) 均有二阶连续导数，满足 f (0) > 0, g(0) < 0 ，且
f ′(0) = g′(0) = 0 ，则函数 z = f ( x) g( y) 在点 (0,0) 处取得极小值的一个充分条件
是（
）
（ A ） f ′(0′) < 0, g′(0′) > 0
4t
( ) 解： dx = t2 +1 ， dx2 = t 2 +1 3
当
t
= 1时，
x=
5
，
y
=
-
1
是极小值
3
3
当 t = - 1时， x = - 1 ， y = 1是极大值

2011年考研数学(二)及参考答案

2011年考研数学试题（数学二）一、选择题1. 已知当时，函数A k=1,c=4B k=a, c=-4C k=3,c=4D k=3,c=-42.A B C D03. 函数的驻点个数为A0 B1 C2 D34. 微分方程A BC D5设函数具有二阶连续导数，且，则函数在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件A BC D6.设A I<J<KB I<K<JC J<I<KD K<J<I7.设A为3阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B，再交换B的第二行与第一行得单位矩阵。

记则A=A B C D8设是4阶矩阵，是A的伴随矩阵，若是方程组的一个基础解系，则的基础解系可为A B C D二、填空题9.10. 微分方程11.曲线的弧长s=____________12.设函数，则13.设平面区域D由y=x,圆及y轴所组成，则二重积分14.二次型，则f的正惯性指数为________________三、解答题15. 已知函数，设，试求的取值范围。

16. 设函数y=y(x)有参数方程，求y=y(x)的数值和曲线y=y(x)的凹凸区间及拐点。

17. 设，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，且在x=1处取得极值g(1)=1,求18. 设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l:y=y(x)与直线y=x相切于原点，记是曲线l在点（x,y)外切线的倾角，求y(x)的表达式。

19.证明：1）对任意正整数n，都有2）设,证明收敛。

20.一容器的内侧是由图中曲线绕y旋转一周而成的曲面，该曲面由连接而成。

（1）求容器的容积。

（2）若从容器内将容器的水从容器顶部全部抽出，至少需要多少功？（长度单位：m；重力加速度为；水的密度为）21.已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数，且f(1,y)=0,f(x,1)=0,，其中，计算二重积分。

22.X01P1/32/3Y-101P1/31/31/3求：（1）（X，Y）的分布；（2）Z=XY的分布；（3）23.A为三阶实矩阵，，且（1）求A的特征值与特征向量；（2）求A参考答案选择题：CBCC ABDD填空题：9. 10. 11. 12. 13 14. 解答题：15. 解：16.解：sss17.解：18. 解：19.解：20. 解：21. 解：22. 解：23. 解：。

2011年考研数学真题原题及答案

2011年考研数学真题原题（数二）
一、选择题
1、C
2、B
3、C
4、C
5、A
6、B
7、D
8、D
二、填空题
三解答题
同学，你最好还是把通用的考研数学教材：
同济大学《高等数学》上下两本，第五版或第六版；
同济大学工程数学《线性代数》第四版或第五版；
浙江大学《概率论与数理统计》第三版或第四版
中的3本书吃透，这是基础，万丈高楼平地起吗！！！
其他的书是提高和加强的作用，很多拿不到高分的同学都是基础不扎实的原因！你的书太全面了，你要是还要的话也就是大家公认的陈文灯和李永乐的书了！我认为资料太多事看不完的，还是看3本教材，然后用陈文灯和李永乐的书，最后再用你的十年真题和基础660，就绰绰有余了！！！。

11年数二真题答案解析

11年数二真题答案解析介绍：数学是让很多学生头疼的学科之一，尤其是高考的数学考试。

为了帮助学生更好地备考，我们将对2011年的数学二真题进行答案解析。

在本文中，我们将从各个知识点出发，深入分析每道题目的解题思路和方法，以帮助同学们更好地理解和掌握数学知识。

第一部分：选择题1. 题目：设M是一条直线，过点（2,1），斜率为1/3. P，Q是在M上的两个不同点，且PQ=2. 则M的方程为？解析：根据题意，直线M过点（2,1），斜率为1/3，那么直线M 的方程可以表示为y = (1/3)x + b，其中b为常数。

因为PQ=2，所以P和Q的坐标分别为（2,1）和（2+2，1+2）=(4,3）。

将坐标代入直线M的方程中，得到1 = (1/3)×2 + b，解得b=1/3。

因此，直线M的方程为y = (1/3)x + 1/3。

2. 题目：一个家庭用3个煤气罐烧饭吃5天，如果家庭再增加一人，每天烧饭的重量减少2千克，可以多烧3天。

求这个家庭有几人，每天烧饭淡每人煤气使用量是多少？解析：设这个家庭原本有x人，每人每天烧饭的重量为y千克。

根据题意，3个煤气罐烧饭可以维持5天，所以3y × 5 = 15y是煤气使用的总重量。

当家庭增加一人后，每天烧饭的重量减少2千克，多烧3天，所以(x+1)(y-2) × 8 = 15y。

将两个方程合并，得到15y = 8y - 16，解得y=2/7。

由此可得，家庭有15个人，每人每天烧饭的煤气使用量是2/7千克。

第二部分：填空题1. 题目：已知∠A = 2∠B，BC = 2，BC = 4，则∠C = _______。

解析：根据题意，已知∠A = 2∠B，那么∠B = ∠A/2。

又BC = 2，AC = 4，根据正弦定理，得到sin∠A/2 = sinC/4。

以及sin∠C = BC/AC × sinA，代入已知条件得到sin∠C = 1/2 × sinA。

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案详解

= f ′(0) − 2 f ′(0) = − f ′(0)
（3）函数 f ( x) = ln ( x − 1)( x − 2)( x − 3) 的驻点个数为（（A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3 ）
【答案】应选（C）【详解】令 f ′( x ) = 0 ，解得驻点 x = 2 ± （4）微分方程 y′′ − λ y = e
dy t 2 − 1 d 2 y 4t = 2 ， 2 = 3 dx t + 1 dx ( t 2 + 1)
5 1 ， y = − 是极小值 3 3
当 t = 1 时， x =
当 t = −1 时， x = −1 ， y = 1 是极大值当 t = 0 时， x =
1 1 ， y = 是拐点 3 3
（12）设函数 f ( x ) = ⎨ 【答案】【详解】
1
λ
∫
+∞
−∞
xf ( x )dx = ∫
+∞
0
xλ e − λ x dx =
1
λ
2
或者指数函数的数学期望。（13）设平面区域 D 由直线 y = x 圆 x + y = 2 y 及 y 轴所组成，则二重积分
2
∫∫ xydσ =
D
【答案】
7 12
海天教育
2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案详解
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）已知当 x → 0 时，函数 f ( x ) = 3sin x − sin 3 x 与 cx k 是等价无穷小，则（（A） k = 1, c = 4 （C） k = 3, c = 4 【答案】应选（C）【分析】由泰勒公式及无穷小阶的比较可得。【详解一】 sin x = x − （B） k = 1, c = −4 （D） k = 3, c = −4 ）

2011考研数学二真题

2011考研数学二真题题目一题目描述某同学参加考研数学二的考试，以下是该考题的一部分：已知函数 $f(x) = \\sin(x)$，则有 $f(x+\\pi)$ 的值是多少？解答过程由已知函数 $f(x) = \\sin(x)$，我们可以得出 $f(x+\\pi)$ 等于 $\\sin(x+\\pi)$。

根据正弦函数的性质，$\\sin(x+\\pi) = -\\sin(x)$。

因此，$f(x+\\pi) = -\\sin(x)$。

答案根据解答过程，可得出 $f(x+\\pi) = -\\sin(x)$。

题目二题目描述给定函数g(g)=2g，求函数g−1(g)的表达式。

解答过程要求函数g−1(g)，即求出g=2g的逆函数。

首先，设g=g(g)=2g，然后将g和g进行互换，得出g=2g。

接下来，为了解出g，我们需要对等式两边取对数。

因此，得到 $\\log_2(x) = y$，即 $g^{-1}(x) = \\log_2(x)$。

答案函数 $g^{-1}(x) = \\log_2(x)$。

题目三题目描述已知函数 $h(x) = \\frac{1}{x}$，求函数$h(\\frac{1}{x})$ 的值。

解答过程给定函数 $h(x) = \\frac{1}{x}$，我们需要求出$h(\\frac{1}{x})$ 的值。

将g替换为 $\\frac{1}{x}$，得到 $h(\\frac{1}{x}) =\\frac{1}{\\frac{1}{x}} = x$。

答案根据解答过程可得出 $h(\\frac{1}{x}) = x$。

结论本篇文章涵盖了2011年考研数学二真题的三个题目，并提供了详细的解答过程和最终答案。

在第一题中，我们通过正弦函数的性质推导出了 $f(x+\\pi)$ 的值。

第二题中，我们求得了函数g−1(g)的表达式。

最后，在第三题中，我们计算了函数 $h(\\frac{1}{x})$ 的值。

2011年考研数二真题及答案解析

=
1
1
0
，
P2
=
0
0
1
，则
A
=
(
)
0 0 1
0 1 0
(A) P1P2 ．
(B) P1−1P2 ．
(C) P2P1 ．
(8) 设 A = (α1,α2 ,α3,α4 ) 是 4 阶矩阵， A* 为 A 的伴随矩阵，若 (1, 0,1, 0)T 是方程组
0
0
0
小关系是( )
(A) I < J < K ． (B) I < K < J ． (C) J < I < K ． (D) K < J < I ． (7) 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B ，再交换 B 的第 2 行与第 3
1 0 0
1 0 0
行得单位矩阵，记
P1
(A) f ′′(0) < 0, g′′(0) > 0.
(B) f ′′(0) < 0, g′′(0) < 0.
(C) f ′′(0) > 0, g′′(0) > 0.
(D) f ′′(0) > 0, g′′(0) < 0.
π
π
π
∫ ∫ ∫ (6) 设 I = 4 ln sin x dx ， J = 4 ln cot x dx ， K = 4 ln cos x dx ，则 I , J , K 的大
(B) ax(eλx + e−λx ) ．
(C) x(aeλx + be−λx ) ．
(D) x2 (aeλx + be−λx ) ．
(5) 设函数 f (x), g(x) 均有二阶连续导数，满足 f (0) > 0, g(0) < 0, 且 f= ′(0) g= ′(0) 0 ，