江苏省淮安市淮海中学2016届高三上学期11月月考数学试题
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，
平面 与平面 所成二面角（锐角）的余弦值为 .………………………………10分
已知直线 的极坐标方程为 ，圆 的参数方程为 为参数）.
（1）请分别把直线 和圆 的方程化为直角坐标方程；
（2）求直线 被圆截得的弦长.
D.(选修4-5：不等式选讲)（本小题满分10分）
已知函数 ，若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
【必做题】第22，23题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
（1）证明：因为 ， ，
由题设知 ，且 与 是平面 内的两条相交直线，
由此得 ⊥面 ，又 面 ，故平面 面 .……………………………4分
（2）因
………………………………7分
（3）设平面 的一个法向量为 ，
则 ， ，
又 ， ，
取 ，得 ，故 ，
同理可得面 的一个法向量为 ，………………………………8分
综上所述，实数a的取值范围是[﹣ ，0）．…………………………………………16分
20.解：（1）设 的公差为 ，由题意：数列 的前几项为：
…………………………2分
为 的第10项，则 ，………………………………………4分
，而 ，
故数列 的通项公式为 .……………………………………6分
（2）由 （ 为常数），
A.(选修4-1：几何证明选讲)（本小题满分10分）
已知AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一点，PC是 的平分线， 是下半圆的中点.
求证：直线PC经过点 .
B.(选修4-2：矩阵与变换)（本小题满分10分）
已知矩阵 ，试求曲线 在矩阵 变换下的函数解析式.
C.(选修4-4：坐标系与参数方程)（本小题满分10分）
（1）试确定A，B的位置，使△OAB的周长最大？
（2）当△OAB的周长最大时，设∠DOC= ，试将运动休闲
区ABCD的面积S表示为 的函数，并求出S的最大值．
19．（本题满分16分）
若函数 在 处取得极大值或极小值，则称 为函数 的极值点.
已知函数 .
（1）当Βιβλιοθήκη Baidu时，求 的极值；
（2）若 在区间 上有且只有一个极值点，求实数 的取值范围.
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
1. ；2. -3；3. 60；4. ；5. ；6. 7；7. 4
8. 2；9. ；10. 2；11.0；12. 4.5 ; 13. =3a（ ）2＞0，…………………………………………6分
参考答案与评分标准（I卷）
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
故当x∈（ ，e）时， ＞0恒成立，
故 在区间（ ，e）上单调递增，
故 在区间（ ，e）上没有极值点；…………………………………………10分
当a=0时，由（1）知， 在区间（ ，e）上没有极值点；
当a＜0时，令 =0解得，x= ；
故 =ax2+lnx+1在（0， ）上是增函数，在（ ，+∞）上是减函数，…12分
又PC也是 的平分线， 的平分线有且只有一条，所以PC与 重合.
所以直线PC经过点 .………………………10分
21.B解：MN= = ，…………………………………4分
即在矩阵MN变换下 ，………………………………6分
，………………………………8分
代入得： ，
即曲线 在矩阵MN变换下的函数解析式为 ．……………………10分
淮海中学2016届高三年级冲刺一统模拟试卷
数学I
参考公式(1)样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝(xi－)2，其中＝xi．
(2)锥体的体积公式：V＝Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．
一、选择题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
20．（本题满分16分）
已知数列 中， ，在 之间插入1个数，在 之间插入2个数，在 之间插入3个数，…，在 之间插入 个数，使得所有插入的数和原数列 中的所有项按原有位置顺序构成一个正项等差数列 .
（1）若 ，求 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，且满足 为常数），
求 的通项公式.
淮海中学2016届高三年级11月考试卷
1.已知集合 ， ，则 ▲．
2.复数 的实部为▲．
3.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取▲名学生．
4.从1、2、3、4这4个数中一次性随机地取两个数，则所取两个数的和为5的概率为▲．
17．（本题满分14分）
设椭圆 的左焦点为F，短轴上端点为B，连接BF并延长交椭圆于点 ，连接 并延长交椭圆于点 ，过 三点的圆的圆心为 .
（1）若 的坐标为 ，求椭圆方程和圆 的方程；
（2）若 为圆 的切线，求椭圆的离心率.
18．（本题满分16分）
为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200 m，圆心角为120°的扇形地上建造市民广场．规划设计如图：内接梯形ABCD区域为运动休闲区，其中A，B分别在半径OP，OQ上，C，D在圆弧 上，CD∥AB；△OAB区域为文化展示区，AB长为 m；其余空地为绿化区域，且CD长不得超过200 m．
得 ，……①
当 得： ，……②
当 时， ，……③
①-③得 ，………………………………………8分
则 ，
若 ，则 ，代入④式，得 ，不成立；……………………………10分
当 ， 常数……④恒成立，又 为正项等差数列，
当 时， 不为常数，则 得 ，
代入②式，得 .………………………………………12分
所以等差数列 的首项为 ，公差为 ，则 .
数学Ⅱ附加题部分
注意事项
1．本试卷共2页，均为解答题（第21题～第23题，共4题）．本卷满分为40分，考试时间为30分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效．
21.【选做题】本题包括A,B,C,D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
10.已知点 是函数 图像上的点，直线 是该函数图像在 点处的切线，则 ▲．
11.设 为 中线 的中点， 为边 中点，且 ，若 ，则 ▲．
12.已知函数 的图像经过点 ，如右图所
示，则 的最小值为▲．
13.已知函数f(x)＝x|x－2|，则不等式f(－x)≤f(1)的
解集为▲．
14.已知函数 是定义在 上的函数，且
设 中的第 项为数列 中的第 项，则 前面共有 的 项，又插入了 项，则：
故 .………………………………………16分
数学Ⅱ附加题部分
21.A证明：连结 ，则 ．…………………………………2分
因为 是圆周角， 同弧上的圆心角，
所以 ．………………………5分
同理可得， ，所以 是 的平分线．…………………………………8分
5.函数 的图像中，离坐标原点最近的一条对
称轴的方程为▲．
6.如图是一个算法的流程图，若输入x的值为2，则输出y的
值为▲．
7.等比数列 的公比大于1， ，
则 ▲．
8.在平面直角坐标系中，直线 被圆 截得的弦长为▲．
9.一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则圆柱的侧面积是其底面积的▲倍．
22.（本小题满分10分）
已知 为曲线 上的动点，定点 ，若 ，求动点 的轨迹方程.
23.（本小题满分10分）
已知四棱锥 的底面为直角梯形， 底面 ,且 是 的中点.
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求 与 所成角的余弦值；
（3）求平面 与平面 所成二面角（锐角）的余弦值.
淮海中学2016届高三年级冲刺一统数学模拟试卷
①当g（e）•g（ ）＜0，即﹣ ＜a＜0时，
g（x）在（ ，e）上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，
②令g（ ）=0得 =0，不可能；…………………………………………14分
③令g（e）=0得a=﹣ ，所以 ∈（ ，e），
而g（ ）=g（ ）= +ln ＞0，
又g（ ）＜0，
所以g（x）在（ ，e）上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，
21.C解：（1）由 ，得
，即 .
圆的方程为 .………………………………6分
（2） ，
弦长 .………………………………10分
22.解：设 ，则 ，①
又 ，由 得 ，………………………………5分
，
代入①式得 ，即为所求轨迹方程.………………………………6分
23.解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
则函数 ，则在区间 上的零点
个数为▲．
二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．（本题满分14分）
已知 .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
16．（本题满分14分）
如图，在直三棱柱 中，
是棱 上的一点.
（1）求证： ；
（2）若 是 的中点，求证 ∥平面 .
平面 与平面 所成二面角（锐角）的余弦值为 .………………………………10分
已知直线 的极坐标方程为 ，圆 的参数方程为 为参数）.
（1）请分别把直线 和圆 的方程化为直角坐标方程；
（2）求直线 被圆截得的弦长.
D.(选修4-5：不等式选讲)（本小题满分10分）
已知函数 ，若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
【必做题】第22，23题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
（1）证明：因为 ， ，
由题设知 ，且 与 是平面 内的两条相交直线，
由此得 ⊥面 ，又 面 ，故平面 面 .……………………………4分
（2）因
………………………………7分
（3）设平面 的一个法向量为 ，
则 ， ，
又 ， ，
取 ，得 ，故 ，
同理可得面 的一个法向量为 ，………………………………8分
综上所述，实数a的取值范围是[﹣ ，0）．…………………………………………16分
20.解：（1）设 的公差为 ，由题意：数列 的前几项为：
…………………………2分
为 的第10项，则 ，………………………………………4分
，而 ，
故数列 的通项公式为 .……………………………………6分
（2）由 （ 为常数），
A.(选修4-1：几何证明选讲)（本小题满分10分）
已知AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一点，PC是 的平分线， 是下半圆的中点.
求证：直线PC经过点 .
B.(选修4-2：矩阵与变换)（本小题满分10分）
已知矩阵 ，试求曲线 在矩阵 变换下的函数解析式.
C.(选修4-4：坐标系与参数方程)（本小题满分10分）
（1）试确定A，B的位置，使△OAB的周长最大？
（2）当△OAB的周长最大时，设∠DOC= ，试将运动休闲
区ABCD的面积S表示为 的函数，并求出S的最大值．
19．（本题满分16分）
若函数 在 处取得极大值或极小值，则称 为函数 的极值点.
已知函数 .
（1）当Βιβλιοθήκη Baidu时，求 的极值；
（2）若 在区间 上有且只有一个极值点，求实数 的取值范围.
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
1. ；2. -3；3. 60；4. ；5. ；6. 7；7. 4
8. 2；9. ；10. 2；11.0；12. 4.5 ; 13. =3a（ ）2＞0，…………………………………………6分
参考答案与评分标准（I卷）
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
故当x∈（ ，e）时， ＞0恒成立，
故 在区间（ ，e）上单调递增，
故 在区间（ ，e）上没有极值点；…………………………………………10分
当a=0时，由（1）知， 在区间（ ，e）上没有极值点；
当a＜0时，令 =0解得，x= ；
故 =ax2+lnx+1在（0， ）上是增函数，在（ ，+∞）上是减函数，…12分
又PC也是 的平分线， 的平分线有且只有一条，所以PC与 重合.
所以直线PC经过点 .………………………10分
21.B解：MN= = ，…………………………………4分
即在矩阵MN变换下 ，………………………………6分
，………………………………8分
代入得： ，
即曲线 在矩阵MN变换下的函数解析式为 ．……………………10分
淮海中学2016届高三年级冲刺一统模拟试卷
数学I
参考公式(1)样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝(xi－)2，其中＝xi．
(2)锥体的体积公式：V＝Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．
一、选择题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
20．（本题满分16分）
已知数列 中， ，在 之间插入1个数，在 之间插入2个数，在 之间插入3个数，…，在 之间插入 个数，使得所有插入的数和原数列 中的所有项按原有位置顺序构成一个正项等差数列 .
（1）若 ，求 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，且满足 为常数），
求 的通项公式.
淮海中学2016届高三年级11月考试卷
1.已知集合 ， ，则 ▲．
2.复数 的实部为▲．
3.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取▲名学生．
4.从1、2、3、4这4个数中一次性随机地取两个数，则所取两个数的和为5的概率为▲．
17．（本题满分14分）
设椭圆 的左焦点为F，短轴上端点为B，连接BF并延长交椭圆于点 ，连接 并延长交椭圆于点 ，过 三点的圆的圆心为 .
（1）若 的坐标为 ，求椭圆方程和圆 的方程；
（2）若 为圆 的切线，求椭圆的离心率.
18．（本题满分16分）
为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200 m，圆心角为120°的扇形地上建造市民广场．规划设计如图：内接梯形ABCD区域为运动休闲区，其中A，B分别在半径OP，OQ上，C，D在圆弧 上，CD∥AB；△OAB区域为文化展示区，AB长为 m；其余空地为绿化区域，且CD长不得超过200 m．
得 ，……①
当 得： ，……②
当 时， ，……③
①-③得 ，………………………………………8分
则 ，
若 ，则 ，代入④式，得 ，不成立；……………………………10分
当 ， 常数……④恒成立，又 为正项等差数列，
当 时， 不为常数，则 得 ，
代入②式，得 .………………………………………12分
所以等差数列 的首项为 ，公差为 ，则 .
数学Ⅱ附加题部分
注意事项
1．本试卷共2页，均为解答题（第21题～第23题，共4题）．本卷满分为40分，考试时间为30分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效．
21.【选做题】本题包括A,B,C,D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
10.已知点 是函数 图像上的点，直线 是该函数图像在 点处的切线，则 ▲．
11.设 为 中线 的中点， 为边 中点，且 ，若 ，则 ▲．
12.已知函数 的图像经过点 ，如右图所
示，则 的最小值为▲．
13.已知函数f(x)＝x|x－2|，则不等式f(－x)≤f(1)的
解集为▲．
14.已知函数 是定义在 上的函数，且
设 中的第 项为数列 中的第 项，则 前面共有 的 项，又插入了 项，则：
故 .………………………………………16分
数学Ⅱ附加题部分
21.A证明：连结 ，则 ．…………………………………2分
因为 是圆周角， 同弧上的圆心角，
所以 ．………………………5分
同理可得， ，所以 是 的平分线．…………………………………8分
5.函数 的图像中，离坐标原点最近的一条对
称轴的方程为▲．
6.如图是一个算法的流程图，若输入x的值为2，则输出y的
值为▲．
7.等比数列 的公比大于1， ，
则 ▲．
8.在平面直角坐标系中，直线 被圆 截得的弦长为▲．
9.一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则圆柱的侧面积是其底面积的▲倍．
22.（本小题满分10分）
已知 为曲线 上的动点，定点 ，若 ，求动点 的轨迹方程.
23.（本小题满分10分）
已知四棱锥 的底面为直角梯形， 底面 ,且 是 的中点.
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求 与 所成角的余弦值；
（3）求平面 与平面 所成二面角（锐角）的余弦值.
淮海中学2016届高三年级冲刺一统数学模拟试卷
①当g（e）•g（ ）＜0，即﹣ ＜a＜0时，
g（x）在（ ，e）上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，
②令g（ ）=0得 =0，不可能；…………………………………………14分
③令g（e）=0得a=﹣ ，所以 ∈（ ，e），
而g（ ）=g（ ）= +ln ＞0，
又g（ ）＜0，
所以g（x）在（ ，e）上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，
21.C解：（1）由 ，得
，即 .
圆的方程为 .………………………………6分
（2） ，
弦长 .………………………………10分
22.解：设 ，则 ，①
又 ，由 得 ，………………………………5分
，
代入①式得 ，即为所求轨迹方程.………………………………6分
23.解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
则函数 ，则在区间 上的零点
个数为▲．
二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．（本题满分14分）
已知 .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
16．（本题满分14分）
如图，在直三棱柱 中，
是棱 上的一点.
（1）求证： ；
（2）若 是 的中点，求证 ∥平面 .