流体力学计算题及答案.docx

例 1：用复式水银压差计测量密封容器内水面的相对压强，如图所示。

已知：水面高程
z0=3m,压差计各水银面的高程分别为z1=0.03m, z 2=0.18m, z 3=0.04m, z 4=0.20m,水银密度ρ13600kg / m3，水的密度ρ 1000kg / m3。

试求水面的相对压强p0。

解：
p0γ(z0 z1 ) γ'( z2z1) γ'(z4z3 ) p a
p0γ'(z2z1 z4z3 ) γ(z0 z1 )
例 2：用如图所示的倾斜微压计测量两条同高程水管的压差。

该微压计是一个水平倾角为
θ的Π形管。

已知测压计两侧斜液柱读数的差值为L=30mm，倾角θ=30 °，试求压强差p1– p2。

解：p1γ(z3z1 )γ(z4z2 ) p2p1p2γ(z3z4 )γL sinθ
例 3：用复式压差计测量两条气体管道的压差（如图所示）。

两个U形管的工作液体为水银，
密度为ρ2，其连接管充以酒精，密度为ρ 1 。

如果水银面的高度读数为z1、 z 2、 z 3、z4，试求压强差p A– p B。

解：点 1 的压强： p A点2的压强： p2p Aγ2( z2z1 )
点 3的压强： p3 p Aγ2( z2z1 )γ1( z2 z3 )
p4p Aγ2( z2z1 ) γ1(z2z3 ) γ2( z4z3 ) p B
p A p Bγ2(z2 z1 z4z3 ) γ1( z2z3 )例 4：用离心铸造机铸造车轮。

求A-A 面上的液体总压力。

解：p 1 2r2gz C p 1 2r2gz p a
22
在界面 A-A 上： Z = - h
p 1 2r2gh p a F( p p a ) 2 rdr 21 2 R41
ghR2
R
2082
例 5：在一直径 d = 300mm，而高度 H= 500mm的园柱形容器中注水至高度h1 = 300mm，
使容器绕垂直轴作等角速度旋转。

如图所示。

(1) 试确定使水之自由液面正好达到容器边缘时的转数n1；
(2)求抛物面顶端碰到容器底时的转数 n2，此时容器停止旋转后水面高度 h2将为多少？
解： (1)由于容器旋转前后，水的体积不变( 亦即容器中空
气的体积不变 ) ，有：图1d 2L1 d 2 (H h1 )
424
L 2( H h1 ) 400 mm0.4 m
在 xoz 坐标系中，自由表面
2 r 2 1 的方程：z0
2g
对于容器边缘上的点，有：
d
0.15m z0 r
2
2gz0 2 9.80.4 r 20.152
∵ 2 n / 60L0.4m
18.67( rad / s)
n1
606018.67
2
178.3 (r / min)
2
(2) 当抛物面顶端碰到容器底部时，这时原容器中的水将被甩出一部分，液面为图中2
所指。

在 x o z 坐标系中：
2r 2
自由表面 2 的方程：z0
2 g
d
当
r 0.15m时, z0 H 0.5m 2
2gz0 2 9.80.5
20.87(rad / s)
r 20.152
n260ω60 20.87
π
2
199.3(r / min)
π
2
这时，有：
1d 2H1d 2 ( H h2 )
424
H
h2H
H h2250mm
22
例 6：已知：一块平板宽为 B ，长为 L, 倾角，顶端与水面平齐。

求：总压力及作用点。

解：总压力：Fγh c A γL sinθ
LB 2
压力中心 D：
方法一： dM ydF yγy sin θdA
L3
M γsin θ y2 dA2 Bdyγsin θB L
γsin θ y
A03
M Fy D y D M / F 2 L
3
J
cx L 1 BL3
L L
方法二：y D y c
12
y c A2L BL26
2
例 7：如图，已知一平板，长L, 宽 B, 安装于斜壁面上，可绕 A 转动。

已知L,B,L 1, θ。

求：启动平板闸门所需的提升力F。

解：
f 1
1
γL sin θBL
2
2
L
f 2 γL 1 sin θBL
FL cos
f 1 3 L
f
2
2
F
1 2 f 1 1 f 2
cos
3
2
例 8：平板 A B, 可绕 A 转动。

长 L=2m,宽 b=1m,θ=60°， H 1=1.2m,H 2=3m 为保证平板不能自
转，求自重 G 。

解：
F 1
H 1
b
H 1
8153 N
F 2
L sin θ 16986 N
γ
γ
bL
2 sin θ
2
F 3 γ(H 2 L sin θ)bL 24870 N
G L
cos θ F 1 L 1 H 1
F 2 2 L
F 3
L
2
3 sin θ
3 2
G 69954 N
例 9：与水平面成
45°倾角的矩形闸门 AB( 图 1) ，宽 1m ，左侧水深
h 1 = 3m ，右侧水深 h 2 = 2m ，试用图解法求作用在闸门上的静水总压 图 1
力的大小和作用点。

解：如图 2 所示，作出闸门两侧的静水压强分布图，并将其合成。

AE
h 1 h 2 1
1414. (m)
sin 45° sin 45°
EB
h 2 2 2.828(m)
sin 45° sin 45°
P 1
1 b
1
(h 1
h 2 ) AE b
1 9.8 (3 2) 1.414 1 6.93( KN )
2
2
AD 1
2
AE
2
1.414
0.943 (m)
3
3
P2 2 b
(h1 h2 )BE b9.8 (3 2) 2.828 1 27.71( KN )
ED211
1414. (m) EB 2.828
22
AD2AE ED2 1414.1414. 2.828( m)
静水总压力：
P P1P2 6.93 27.7134.64( KN )
设合力的作用点 D 距 A 点的距离为l ，则由合力矩定理：P l P1AD1P2AD2
P1AD1P2AD2 6.930.943 27.71 2.828 l
P 2.45 m
34.64
即，静水总压力的作用点 D 距 A 点的距离为 2.45m。

例 10：如图，一挡水弧形闸门，宽度为b（垂直于黑板） , 圆心角为θ，半径为 R，水面与绞轴平齐。

试求静水压力的水平分量F x与铅垂分量 F z。

F x 1
解：γ Rsinθ bR sinθ
2
压力体如图所示：F zγb θ
πR2
1
R sin θ R cosθ2π2
例 11：一球形容器由两个半球铆接而成( 如图 1所示 ) ，铆钉有 n 个，内盛
重度为的液体，求每一铆钉所受的拉力。

解：如图 2 所示，建立坐标系xoyz取球形容器的上半球面ABC作为研究对象，显然由于ABC在 yoz 平面上的两个投影面大小相等、方向相反，故x 方向上的静水总压力P x0 ；同理 P y0 。

即： ABC仅受铅垂方向的静水总压力P z V P
而： V P V园柱V
半球
R 2 ( R H )
1 4 R 3 R
2 (R H )
2 R 3
2 3
3
图 2
R 2
( R H
2
R)
R 2 (H
R )
3
3
故： P Z V P
R 2
R ( H
) 方向铅垂向上， 即
3
铆钉受拉力。

每
一
铆
钉 所 受 的
拉
力
为
：
F Z
P Z 1 R 2
( H
R )
n
n
3
第三章
例 1：已知 u = － (y+t2) ， v =x+t ， w =0 。

求 t=2 ，经过点（ 0， 0）的流线方程。

解： t=2 时， u = － (y+4) ， v =x+2 ， w =0
流线微分方程：
dx dy ( y 4)
x 2
1
(x 2)
2
1
( y 4)2
c
2
2
流线过点（ 0， 0） ∴ c=10
流线方程为：
(x+2)
2
+(y+4) 2=20
例 2：已知某流场中流速分布为： u = -x ， v = 2y ，w = 5-z 。

求通过点 (x,y,z)=(2,4,1)
的流线方程。

解： 流线微分方程为：
dx
dy dz
dx dy dz u
v
w
x
2 y
5 z
dx 1 d (2y) d (5 z) x
2 2 y
5 z
dx 1 d ( 2y)
x
2
2 y dx d (5 z)
x
5 z
由上述两式分别积分，并整理得： x y c 1
①
x
c 2 z 5c 2
即流线为曲面
x y c 1 和平面 x c 2 z 5c 2
0 的交线。

将 ( x, y, z)
(2,4,1) 代入①可确
定 c 1和 c 2 ：
c1 4，c21 2
故通过点 (2,4,1)的流线方程为：
x y4
2x z 5 0
例 3. 求小孔出流的流量：
解：如图，对断面0-0 和断面 1-1 列伯努利方程，不计能量损失，有：
z0p0α0V02
z1
p aα1V12γ2gγ2g
V1 2 g z0z12gh QμV1 AμA 2gh 上式中：A为小孔的面积， A 为1-1断面的面积。

例 4. 用文丘里流量计测定管道中的流量：
解：如图，在1-1 及 2-2断面列伯努利方程，不计能量损失有：
z1p1α1V12
z2
p2α2V22
由于：V1 A1 V2 A2γ2gγ2g
故：V221 A22z1p1z2p2
2g A12γγ
又p1γz1z3p2γz2z4γz4z3
z1p1z2p2γ
1 z4z
3
z2
p
2
ρ
1 z4 z3
γγγγρV221A22ρ 1h
2g A12ρ
ρ ρ 1 2g h
μV 2 A 2
V 2
2Q
1 A
2 A 1
：考虑能量损失及其它因素所加的系数。

<1。

例 5：输气管入口，已知：ρ’ =1000kg/m 3，ρ =1.25kg/m 3
， d = 0.4m ，h = 30mm 。

求：
Q = ?
解：对 0— 0 和 1— 1 断面列伯努利方程， 不计损失， 有：
z 0 p a z 1
p 1 α1V 1 2
γ
γ 2g
又因为：α1 1.0,z 0 z 1,p 1 γh
p a
V 1
γ
2gh
ρ
2gh 21.784m / s
γ ρ
Q V 1 πd 2
2.737m 3 / s
4
例 6：如图，已知： V 1 、 A 1 、 A 2 ； θ；相对压强 p 1 ；且管轴线在水平面内，试确定
水流对弯管的作用力。

解：对 1-1 及 2-2 断面列伯努利方程，不计水头损失，有：
p 1 V 12 p 2 V 22 γ 2g
γ 且： Q V 1 A 1 V 2 A 2
2g
可求出： V 2和 p 2。

在 x 方向列动量方程，有：
F x p 1 A 1 p 2 A 2 cos θ ρQ (V 2 cos θ V 1 )
F x p 1 A 1 p 2 A 2 cos θ ρQ(V 2 cos θ V 1 )
在 y 方向列动量方程，有：
F y p 2 A 2 sin θ ρQV 2 sin θ
F y p 2 A 2 sin θ ρQV 2 sin θ
例 7：水渠中闸门的宽度 B = 3.4m 。

闸门上、下游水深分别为
h 1 = 2.5m, h 2 = 0.8m,
求：固定闸门应该施加的水平力
F 。

解：对 1-1 及 2-2 断面列伯努利方程，不计水头损失，有：
h 1
p a V 12 p a V 22 h 2
γ
又： Q V 1h 1B V 2h 2 B
γ 2g
2g
以上两式联解，可得：
V 1 1.95m / s,V 2 6.095m / s
所以： Q V 1h 1B
16.575m 3 / s
在水平方向列动量方程，有：
F
h 1
h 1B
h 2
(
V 1 )
2 2 h 2 BQ V 2
F
B 2
2 ρQ (V 2 V 1 )
故：
F
24812 N 。

γ ( h 1
h 2 )
2
例 8：嵌入支座内的一段输水管，其直径由 d 1 为变化到 d 2 为 1m(见图 1) ，当支座前的
压强 p 1 = 4 个工程大气压 ( 相对压强 ) ，流量 Q 为 s 时，试确定渐变段 支座所受的轴向力
R ，不计水头损失。

解：由连续性方程知：
d 2
V 1
Q
4 1.8
1.02( m / s)
V 2
Q4
1.8
2.29( m/ s)
2
1.52
2
12
4 d 1
4 d 2
在 1-1 及 2-2 两断面列伯努利方程
( 不计损失，用相对压强 ) ：
图 1
p 1
1V 12
p 2
2V 22
2 1.0
2g
取：
1
2g
p 2
p 1 V 12
V 22
2g
2g
p 2 p 1
ρ 2 2
)
(V 1
V 2
2
49.8101(1.022 2.292 ) 389.9( KN / m2)
2
而p1 4 9.810392( KN / m2 )
取控制体如图 2 建立坐标系 xoy 。

P1d12 1.52
P1x P1 692.7KN p1392 692.7( KN )
4
d22
P2
4 V1x V1
4
p2
12
P2 x P2306.2KN
389.9 306.2(KN )
4
1.02(m / s);V2 x V2
2.29(m / s)
显然，支座对水流的作用力R 的作用线应与x 轴平行。

设R 的方向如图 2 所示：
R x R
在 x 轴方向列动量方程：F x Q( 2V2 x1V1 x)
取：β2β1 1.0,则： P1x P
2 x R xρQ(V2 x V1x )
即：692.7306.2R 1 1.8( 2.291.02)
R 384.2 ( KN )( 方向水平向左 )
根据牛顿第三定律，支座所受的轴向力R与R大小相等，方向相反(R的方向水平向右)。

例 9：如图所示一水平放置的具有对称臂的洒水器，旋臂半径 R = 25cm，喷嘴直径 d = 1cm，
喷嘴倾角 45°，若总流量Q 056. l / s。

求：
(1) 不计摩擦时的最大旋转角速度。

图
(2) 若旋臂以 5 rad / s 作匀速转动，求此时的
摩擦阻力矩 M及旋臂的功率。

解：每个喷嘴的流量：
Q l s Q20.28 /
(1)显然，喷嘴喷水时，水流对洒水器有反击力的作用，在不计磨擦力的情况下，要维持洒水器为等速旋转，此反击力对转轴的力矩必须为零。

即要求喷水的绝对速度方向为径向，亦即喷水绝对速度的切向分量应为零。

故：
式中 V 为喷水相对速度，
u 为园周速度：
V sin 2.5210.08(
rad / )
R0.25s
故，不计摩擦时的最大旋转角速度为s。

（ 2）当 5 rad / s 时，洒水器喷嘴部分所喷出的水流绝对速度的切向分量为：V sin u V sin R3565.sin 45°0.255127. ( m / s)列动量矩方程，求喷嘴对控制体作用的力矩：
由于匀速转动，故：此时旋臂的功率为：。

第四章
例 1：有一虹吸管，已知： d = 0.1m, h WAC=2.12m，h WCB=3.51m,h=6.2m,H=4.85m。

求：Q=? p a– p c = ?
解： 1). 对水池液面和管道出口断面列伯努利方程，有：
p a p a V2
h2g h wACB
V2g( h h
wACB
)
3.344m / s
Q VA0.02626 m3 / s。

2). 对水池液面和管道 C 断面列伯努利方程，有：p a
H
p c V 2
h
wAC
2 g
p a p c
H V2
h wAC7.54m p a p c73946Pa 2g
例 2：圆截面输油管道:已知 :L=1000m ，d=0.15m, p 1-p 2=× 106Pa,ρ=920kg/m 3,ν= 4×10-4m2/s，试求流量Q。

解 :0.368( Pa.s)
在两断面间列伯努利方程，有：
p1 p2 p1 p2 h f
g
假设流态为层流，
u
max
J
2
h
f2
则 :
V 2
8 r 0
8 l
r
p 1 p 2 r 02
1.844(m / s)
V
8
l
又
Re
Vd
691
故假设成立。

d 2 3
Q V
0.0326(m / s)
4
例 3：测量动力粘度的装置。

已知 : L =2m,d=0.006m, Q=×10 - 6
m 3/s ， h=0.3m ，ρ =900kg/m 3
, ρ’ =13600kg/m 3。

试求动
力粘度μ。

解：假设流态为层流
V
Q
0.27233m/ s
A
由于： p 1 p 2
( ρ ρ)gh 37364.7Pa
p 1 p 2
h f l V 2 p 1 p 2 d 2g
3.36
而：
d 2g
l V
2
64 19.05 假设成立。

Re
λ
Re
ρVd
μ ρVd
0.0772 Pa s
μ
Re
例 4：水管： d=0.2m,
=0.2mm,
ν 1.5 10 6 m 2 / s 。

10 3 3
3
/ s ，0.4m 3
/ s 。

求沿程损失系数 。

Q 5 m / s ，0.02m 解：
0.001
Q 0.1529 m / s,0.6366m / s,12.732m / s 。

d
V Vd A
Re 2.12 104 ,8.49 104 ,1.70 106 。

ν
查得：
λ 0.028,0.0225,0.0198
例
5
已知：水管， l 1000m, d 0.3m,Q 0.055m3 / s,10 6 m2 / s, h f 3m。

求应为多少？
d
解：V Q m/s Vd5
Aν
又因为：h f
l V2
3mλ 0.02915λ
d 2g
查得：0.0045
d
例 6 ：新铸铁管道， =0.25mm， L=40m， d=0.075m，水温 10 ℃，水流量3
，求 h
Q=0.00725m /s f
解：查表 1— 1，=× 10-6
m
2
/s
V 4Q
1.6411m/ s
Vd
93954πd 2
Re
ν
1
2log
2.511
0.8686ln
2.51
3.7d Re 3.7d Re
令 : x 1
,a0.8686,b
3.7d
9.00910 4 , c 2.51λRe
则 : f(x)x aln(b cx)0， f ' (x) 1 a c
b cx
设 : λ0.03,1 5.77,因此设初值为 x0 5.77，经迭代得 : x 5.9495922。

λ
λ0.0282504
h fλ V 2 2.07 m。

d2 g
例7：已知： d1=0.2m,L 1=1.2m,d 2=0.3m,L 2=3m,h1=0.08m, h2 =0.162m, h3 =0.152m, Q=0.06m3 /s 求：ζ
如图： V1Q
V2
Q
m / s
解： 1.91m / s0.85
A1A2
z2p2V22
z3
p3V32l2 V22γ 2gγ 2g
λ
d2 2g
l 2 V 22
p 2 p 3
h 2 h 3 0.01m
λ
γ
d 2 2g
λ 0.02722
p 1 V 12
Z 2
p 2 V 22 l 1
V 22
Z 1
γ 2g
λ
ζ
γ 2g
d 2 2g
V 22 V 12 V 22
l 1 V 22
0.0632m
ζ
h 1
h 2
2g
λ
2g
d 2 2g
ζ 1.716
例 8：水箱用隔板分成
A 、
B 两室如图所示，隔板上开一孔口，其直径 d 1=4cm ，在 B 室底部
装有园柱形外管嘴，其直径 d 2=3cm 。

已知 H=3m ，h 3=0.5m ，μ 孔 =，μ 嘴 =，水恒定出流。

试求：
(1)h 1， h 2； (2) 流出水箱的流量
Q 。

解：显然，要箱中水恒定出流，即
h 1， h 2 保持不变，则必有：
Q 1 Q 2 Q
而 Q 1 为孔口淹没出流流量，
Q 2 为管嘴出流流量，分别有：
Q 2 嘴
A 2 2g( h 2
h 3 )
Q 1
孔
A 1 2 gh 1
μ A 1 2gh 1
μ嘴 A 2 2g(h 2 h 3 )
孔
0.62
π
0.042
2 gh 1 0.82
π
0.032
2g (h 2 h 3 )
4
4 即：
0.000992 h 1 0.000738 h 2
h 3
h 2 h 3
1.807
①
h 1
又
h 1
h 2
H h 3 3 0.5 2.5(m)
②
①、②联立，解得： h 1
107. (m) , h 2 143.(m) 。

水箱出流量： Q
Q 1
孔
A 1 2gh 1
0.62
0.04 2
2 9.8 107.
4
357. 10 3 (m 3 / s) 357. l / s
例 9：已知： L 1= 300m ，L 2= 400m ， d 1=0.2m ， d 2=0.18m ，λ 1=，λ 2=，阀门处ζ =5, 其
余各处局部水头损失忽略不计，
H=5.82m 。

求 :Q=?
解：在 1-1 及 2-2 断面列伯努利方程，有：
z 1 p a z 2
p a
λ1 l 1 V 12
λ2 l 2
ζ V 22
γ γ
d 1 2 g
d 2
2g
又：Q
V 1 A 1 V 2 A 2
1
l
1
V 1 2
l 2
V 22 V 22
l 1 A 2 2
l 2
V 22
H
z 1
z 2
2
1
2
99.22
d 1 2g
d 2
2g 2g
d 1 A 1
d 2
2g
V 2
1.073m / s
Q V 2 A 2
0.0273m 3 / s 。

3
例 10：水泵抽水，如图。

已知：=10m ， L=150m ， H=10m ，d=0.20m ， Q = 0.036m /s ， λ=, p 1-p 2 < 58KPa ，不计局部损失。

求：
h=?， P=?
Q 1.146m / s
解： V 2
A 2
对 1-1 和 2-2 断面列伯努利方程，有：
z 1
p a z 2
p 2 αV 22 l V 22
γ γ
2 g
λ
d 2g
p a p 2 l V 22 5.75m
h z 2 z 1
γ
1 λ
2g
d
对 1-1 和 3-3 断面列伯努利方程，有：
z 1 0 0 H m
z 3 0 0 h w
H m z 3 z 1 h w H h w
l L V 22 而：
h w
λ 1.6068m
d 2g
故，水泵的有效功率为：
P
γQH m γQ (H h w ) 4098W
例 11：
已知： 1 2 3 4 5
L(m) 1500
800 600 700
1000
d(m )
且： H=10m,l= ；不计局部损失。

求各管流量。

解：如图，有：
H
h
f 1
h
f 2
h
f 5
h
f 2
h
f 3
h
f 4
l V
2
l 1
2
h f 4Q
λ
λ
πd 2
d 2g d 2g
λ2l 2Q 22 λ3l 3 Q 32 λ4l 4 Q 42
d 25 d 35
d 45
Q 3 λ2l 2 d 3 5
Q 4 λ2l 2 d 4 5
0.661,
1.069
Q 2
λ3l 3 d 2
Q 2
λ4l 4 d 2
又： Q Q 1 Q 5 Q 2 Q 3 Q 4
故：
Q 1 Q 2 1 Q 3 / Q 2 Q 4 / Q 2
2.73Q 2
H h f 1
h
f 2 h
f 5
h f 1
1 h f 2
/ h
f 1
h f 5 / h
f 1
2 l
2
d 1 5
2
d 1 5
2
h
f 1
1
Q 2 5 l
5
Q 5 2.2986h f 1
1l
1
d 2
Q 1
1 l
1
d 5
Q 1
h
f 1
H
4.3505m
2.2986
又由： h f 1 λ1l 1
V 12 4.3505m
可得：
V 1 0.7542m / s
d 1 2g
Q 1 V 1 A 1
0.03702m 3 / s
Q 2 Q 1 / 2.73 0.01356m 3 / s Q 3 0.661Q 2 0.00896m 3 / s Q 4
1.069Q 2 0.0145m 3 / s
Q 5 Q 1 0.03702m 3 / s
例 12：两水库以直径为
d ，长为 l 的管路相通，当水头为
H 时，管
中流量为 Q 。

今在管路中点处分成两个支管，支管直径亦为 d ，在
水头 H 不变的情况下，管中流量为
Q 。

求该两种情况下的流量比
Q / Q 。

解：如图所示，按长管计算。

l V 2
l 1
2
8λ
H h f
4Q
lQ 2
AlQ 2
λ
λ
π 2
2 5
d 2g
d 2g
g π d
d
第一种情况下，水头：
H
AlQ 2
l Q 2 A l
Q 2
5
2
H
A
第二种情况下，水头：
Al Q
2
2 2 8
因水头 H 未变，故：
AlQ 2
5
AlQ
2
8
Q / Q
8 / 5 1.265
例 13：圆柱环形轴承中轴的半径 R=40mm ，轴与轴承之间的间隙 h=0.03mm ，轴长
L=30mm ，轴转速 n=3600r/min ，间隙中的润滑油的动力粘度μ = Pa · s 。

求空载运转时的转矩和功率。

解：由于环形间隙远小于轴的半径，可以把这个环形间隙流动简化成有相对运动的两平
行平板之间的间隙流动。

轴承简化为固定的下板，轴简化为运动的上板其速度为：
U=R ω。

间隙内液体的压强梯度为零。

故, 速度分布为：u
U y R y 2 n R y
h
h
60 h
作用在轴表面上的切应力为：
w
du 2 n R 6 104 Pa
dy 60 h
转矩： M
w 2 RL R 18.1N m
功率：P
M
M
2 n 6823.5W
60
第五章
例 1：完全气体由大容器经一细长管流入大气，流动过程绝热。

不考虑粘性影响，求气体出流速度。

大容器完全气体
p a
p 0 = np a
n >1 V 0
V a
解： 这是理想可压缩流体的绝热定常流动问题，可把细管中流体看成是流线，用能
量守恒方程求解。

p 0 V 0 2 p a V a 2
V 0 0 p 0
np a
p 0
p a
1 0 2
1 a 2
a
1
p a 2
p
a
V a
1
n
1 a
2
a
由此解出气体的出流速度为：
2 p a 1
V a
n1
1 a
例 2: 子弹在 15 C 的大气中飞行，已测得其头部马赫角为 40 ，求子弹的飞行速度。

解
：
T 273 15 288
u Ma c
Ma RT 529.2m/ s
例 3：空气在管道中作绝热无摩擦流动，已知某截面上流动参数为
T = 333 K ， p =
207 kPa ， u = 152 m/s ，求临界参数 * 、 * 、* 。

T p
解：绝热无摩擦流动就是等熵流动。

先求马赫数，再求
T 、 p
、
*。

*
*
对于空气：
R 287 J/(kg K) 1.4
Ma
u
0.4155
RT
T T 0 / T 1
1 Ma
2 2
1 0.8621
T
287.08 K
T
T 0 / T
2
p T 1
p
123.15 kPa
p
T
0.5949
p
1.4947 kg/m 3
RT
例 4: 空气自大容器经收缩喷管流出，容器内流体压强
p 0 = 200 kPa ，温度 T 0 = 330 K ，
喷管出口截面面积为 12 cm 2。

求出口外背压分别为 p b = 120 kPa 和 p b = 100 kPa 时的喷管质量流
量 Q m 。

解 :
先判断背压是否小于临界压强。

对于空气
=
p
2 1
p 0 0.5283
1
当 p b
= 120 kPa ， p
/p
0> p */p ，出口截面流动还未达到临界状态，所以流体压强等于背
b
压，即 p = p b 。

1
出口截面流体速度为
:
u2c p T 0 1
p
m s
p 0
300 /
式中： c p
R
1004.5 J/(kg
K)
1
容器内气体的密度 :
p 0 2.1117 kg/m 3
RT 0
1
1
p e
p e
Q m
A
e
p 0
2c p T 0 1
p 0
0.5279kg / s
当 p b = 100 kPa ， p /p
0 = < p
*/p ，出口截面流动已达到临界状态，所以流体压强
b
等于临界压强，即
p e = p * 。

p
2 1
0.5283
p
1
1
1
Q m
p e
2c p T 0 1 p e
0 A e
p 0
p 0
1
1
A e
p 1
p 2c p T 0
0.5340kg / s
p 0
p 0
第七章
例 1：已知流体流动的流速场为
: u = ax ,v = by , w = 0 ，试判断该流动是无旋流还
是有旋流？
解：
x
1 w
v 0
y
1
u w 0
2 y z
2
z
x
1 v
u z
2 x
y
故流体流动是无旋流。

例 2：对于平面流动，设面积
A ′ 外的区域是无旋流动区。

试证明
包围 A ′ 的任一条封闭曲线 L 上的速度环量等于区域的边界曲线
L ′ 上
的速度环量。

证：
如图所示，作割线并记割线两侧为
ab 和 a ′ b ′ 。

显然，封闭曲线 abcb ′ a ′ da 所围的区域是无旋流动区域，其速度环量
应为零，即：
v d s
abcb a da
而：
v d s
v d s
v d s
v d s
v d s 0
abcb a da
ab
bcb
b a
a da
由于 ab 和 b ′ a ′ 是同一割线的两侧， 而且积分方向相反， 故：
v d s
v d s 0
ab
b a
v d s
v d s 0
即：v ds
v d s
bcb
a da
bcb
a da
v d s
v d s
L
L
3 例 3. 已知不可压缩平面流动的流函数：
y
x 2 y 2xy
3
（ 1）求流速分量：
（ 2）流动是否无旋？若无旋，确定其流速势函数。

解：（ 1）其流速分量为：
u
y 2 x 2
2x, v
x
( 2xy 2 y) 2xy 2 y
y
(2)
u 2 y
v 故流动无旋，有势函数
存在。

y x
d
udx vdy
( y 2 x 2 2x)dx ( 2xy
2 y) dy
udx c( y)
( y 2 x 2 2x)dx c( y)
y 2 x x 3 x 2 c( y)
3
而：
y
2xy
c ( y) v
2xy 2 y
c ( y)
2 y
c( y)2ydy y 2c
故，xy2x3x2y 2c (可令 c等于零 )
3
例 4：设平面流动(a) u = 1, v = 2；流动(b) u = 4x, v =-4y。

（ 1）对于 (a)是否存在流函数？若存在，求。

（ 2）对于 (b)是否存在速度势函数？若存在，求。

解：（ 1）对于流动 (a)有：u
v
0 x y
显然满足不可压缩流体流动的连续性方程，存在对应的流函数。

d dx dy vdx udy2dx dy d ( y 2x)
x y
积分后得到：= y -2x （ 2）对于流动 (b)有：
( 略去了积分常数 ) 。

v( 4 y)u(4x)
0 x x
0,
y
y
z 1v u
0因此，满足无旋条件，存在相对应的速度势函2x y
数。

d udx vdy4xdx ( 4 y)dy d( 2x2 2 y2 )
积分后得到：φ = 2x
22
已略去积分常数 ) -2y(
例 5:理想不可压缩流体作平面无旋流动。

假设流场的复势是W(z) = az
2
( a > 0 )，并且在坐标原点处压强为p 0，试求 :(1)上半平面的流动图案；(2)沿 y = 0的速度与压强。

解 :令 z = re i，于是 :( )i2 2 i 22(cos2sin 2 )
a re ar e ar i
W z
所以 :ar 2 cos2 ,ar 2 sin 2
令= 0 ，得到零流线：0,及：k(k1,2,)
2
90 °的直角区域。

它们是自原点出发的射线，把上半平面分成两个夹角为
流速为 :v r 2ar cos2 ,v2ar sin 2
在 y = 0 (即 = 0 及=) 上，v r2ar ,v 0.
对坐标原点和y = 0上的任意一点( r , 0 )或者( r ,) 列出伯努利方程。

(2ar )2p p0
2
于是得到 y = 0上的压强分布为：p p0 2a2r 2
例 6：y =0是一无限长固壁，在y = h处有一强度为的点涡。

求固壁y = 0上的速度。

解：
y
h
x
-
点涡在 z0点： W ( z)ln( z z0 )
2i
W ( z)ln( z ih )ln( z ih )
2i 2 i
u
dW11h
iv
2 i z ih z ih z2h2
dz
令 y = 0，得固壁面上的流速分布：
u h v 0
h2
x2
例 7: z =d，点汇– Q，z = -d，点源 Q，与均匀流 V叠加。

求流函数和物面形状。

r
V Q- Q z
d d
兰金体
解 :叠加三个基本势流的流函数，得到：
ψ 1
V r2Q
r 2
z d Q
r 2
z d 24z d 24z d 2
令= 0 ，得到零流线方程：
1 V r2Q
2z d Q
2
z d0
24
r z d24r z d2代数方程给出了两条曲线，一条是与轴重合的直线，另一条是卵形封闭曲线。

显然，流函数Ψ= C. 给出了均匀直线流绕流卵形回转体所形成的势流流场的流线。

这类卵形回转体也称为兰金（Rankine ）体。