第2章 误差理论与测量不确定度评定
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测量不确定度的评定
当分布和k值确定之后，则置信概率可定
P[ x E ( x ) k ] P[ k ]
k
k
p( )d
正态分布,当k=3时
P ( 3 )
置信因子k
1 2 3
3
3
p( )d
3
3
2 exp( )d 0.997 2 2 2
中心极限定理证明：从一个高斯或非高斯分布的总体中随机抽取 样本并计算样本的平均值，那么该样本均值的分布近似为高斯分 布。
不必十分关注随机变量的分布规律，通过计算序列A的平均值 和标准差来对被测量的真值和不确定度进行估计，然后就能利 用高斯分布规律来计算出满足置信度要求的覆盖因子及扩展不 确定度。
正态分布下的扩展不确定度
已定系统误差:误差大小、方向恒定不变前者为，在误 差处理中是可被修正的； 未定系统误差:误差按一定规律变化，在实际测量工作 中方向往往是不确定的，在误差估计时用测量不确定 度表示。 系统误差的来源： 测量设备的基本误差:严格的溯源和定期比对获得检 定报告; 偏离额定工作条件所产生的附加误差; 测量方法理论不完善
d u 2 ( s ) s u ( c ) d c
2
式中： 于是：
u(s ) 0.0393
1
置信概率Pc
0.68269 0.95450 0.99730
区间越宽，置信概率越大
2.3 测量结果的表示
设被测量Y的估计值为y，估计值所包含的
已定系统误差分量为єy ,估计值的不确定度为U， 则被测量Y的测量结果可表示为 y- єy -U≤Y≤y- єy +U 若єy =0，则测量结果可用表示为： Y=y±U（P=0.99）
测量误差及不确定度评定
测量误差与不确定度评定一、测量误差1、测量误差和相对误差（1）、测量误差测量结果减去被测量的真值所得的差，称为测量误差，简称误差。
这个定义从20世纪70年代以来没有发生过变化，以公式可表示为：测量误差＝测量结果－真值。
测量结果是由测量所得到的赋予被测量的值，是客观存在的量的实验表现，仅是对测量所得被测量之值的近似或估计，显然它是人们认识的结果，不仅与量的本身有关，而且与测量程序、测量仪器、测量环境以及测量人员等有关。
真值是量的定义的完整体现，是与给定的特定量的定义完全一致的值，它是通过完善的或完美无缺的测量，才能获得的值。
所以，真值反映了人们力求接近的理想目标或客观真理，本质上是不能确定的，量子效应排除了唯一真值的存在，实际上用的是约定真值，须以测量不确定度来表征其所处的围。
因而，作为测量结果与真值之差的测量误差，也是无法准确得到或确切获知的。
过去人们有时会误用误差一词，即通过误差分析给出的往往是被测量值不能确定的围，而不是真正的误差值。
误差与测量结果有关，即不同的测量结果有不同的误差，合理赋予的被测量之值各有其误差并不存在一个共同的误差。
一个测量结果的误差，若不是正值（正误差）就是负值（负误差），它取决于这个结果是大于还是小于真值。
实际上，误差可表示为：误差＝测量结果－真值＝（测量结果－总体均值）＋（总体均值－真值）＝随机误差＋系统误差（2）、相对误差测量误差除以被测量的真值所得的商，称为相对误差。
2、随机误差和系统误差（1）、随机误差测量结果与重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差，称为随机误差。
随机误差＝测量结果－多次测量的算术平均值（总体均值）重复性条件是指在尽量相同的条件下，包括测量程序、人员、仪器、环境等，以及尽量短的时间间隔完成重复测量任务。
此前，随机误差曾被定义为：在同一量的多次测量过程中，以不可预知方式变化的测量误差的分量。
随机误差的统计规律性：○1对称性：绝对值相等而符号相反的误差，出现的次数大致相等，也即测得值是以它们的算术平均值为中心而对称分布的。
大学物理实验中的误差理论——测量误差与测量不确定度
ｚ ０
值或 修正 过 的算术 平均 值来 代替 真值… ．
测量 结果 表达 式 为 ： ＝ ４ －
对于 间接 测量量 来说 ． 其误 差计 算公 式可用 微 分法求 得 ． 物 理量 ｙ 是 若 干个 相 互 独立 的直 接测 量 量 设
Ａ， Ｃ， 的 函数 ， ： ＝ 厂 Ａ， Ｃ，－ Ｂ， … 即 ｙ （ Ｂ， － ） ・
通 过 测量才 能得 到 ． 过所 谓 的分 析方法 是得 不到误 差 的 ， 者说 通过 分析方 法 得 到 的不 可 能是 误 差 ． 量 通 或 测
误 差 常常 简称 为误差 ， 据误 差的定 义 ， 要得 到误差 就必 须知 道真值 ， 根 若 由于真值 无法 得 到 ， 以实 际上用 的 所
是 约定 真值 ．
有时 为 了评价 一个 测量结 果 的 优劣 ， 还需 要 看 测 量本 身 的大 小 ， 因此 ， 需 要 分 析相 对 误 差 Ｅ ， ： 还 ， 即 Ｅ，
＝
＿ ×１ Ｕ ＿ ００％
．
相对 误 差没 有单位 ， 百分数 来表 示 ． 物理 实验 的实 际测 量 中常 常 简 单 的 以被 测量 的实 际 用 在
测量 结果 表达 式 为 ： ＝ Ｙ
２ 误 差 的分 类 及 其 处 理 方 法
测量 误差 按性 质 可分 为系统 误差 和 随机误 差两大 类 ．
２ １ 系 统 误 差 ．
系统 误差 是在 同一被 测量 的多 次测量 过程 中， 持恒 定或 以可 预知方 式变 化 的测量 误差 ． 保 系统误 差包 括
已定系统 误 差和未 定 系统误 差 ． 已定 系统 误差 是指 符号 和绝对 值 已经确定 的误 差分 量 ． 电流表 使用 前未 调 如 零， 电表 中无 电 流流过 时示 值 已是 ０ ０ ３ｍ 测 量时 将 产生 ＋０ ０ ３ｍ 的系 统误 差 ． 定 系 统误 差 是 指 符 ．０ Ａ， ．０ Ａ 未 号 和绝 对值 未经确 定 的误差 分 量 ． 测量 时温 度变化 、 如 电压波动 等影 响量 偏离 额定 值而 产生 的误 差分 量 ．
再谈测量误差和测量不确定度的主要区别
量 ” 。 １ ３ 误 差 的概念 与真 值相联 系 ， 系统误 差和 随 机 ． 而
误 差 又与 无 限多 次 测量 的 平 均值 有 关 ， 因此 它 们 都
是理想化的概念。 实际上只能得到它们的估计值， 因 而误差的可操作性较差 。而不确定度则可 以根据实
验 、 料 、 验 等 信 息进 行 评 定 ， 而 是 可 以定量 操 资 经 从
差 ” 系统误 差 ” 和“ 的分 类 之 间不 存 在 简单 的对 应 关 系 。“ 随机 ” “ 统 ” 示 两 种 不 同 的 性 质 ， “ 和 系 表 而 Ａ 类 ” Ｂ类” 示 两种 不 同的 评定 方法 。 目前 ， 和“ 表 国际 上 一 致认 为 ， 为避 免 误 解 和混 淆 ， 再 使 用 “ 机 不 不 随 确 定度 ” 系统不 确定 度 ” 两 个术 语 （ 两个 术语 和“ 这 这 在 采用 不确定 度概 念 的初期 ， 曾被许 多人 经常 使用 ， 并 且至今 还有 不少 人 在不正 确地 使用 ） 在进行 测 量 。 不 确 定度评 定 时 ， 般 不 必 区分 各 不 确定 度 分 量 的 一 性 质 。若 必须 要 区分 时 ， 应表 述为 “ 也 由随机效 应 引 入 的不 确定度 分量 ” “ 或 由系统效 应 引入 的不 确定 分
作的。
１ ４ 根据 误 差的定 义 ， ． 误差 表示 两个 量 的差值 。当 测 量结 果大 于 真 值 时误 差 为 正值 ， 当测 量 结 果 小于
真 值时误 差为 负值 。因此误 差 既不应 当也 不可 能 以
“ 号 的形式 出现 。 ±” 而根 据规 定 ， 不确 定度 以分 散 区 间的半宽 度表 示 ， 且恒 为正值 ， 在不 确定 度之 前也 故 不 能冠 以“ 号 。即使 不确 定度 是 由方差 经开 方后 ±” 得到， 也仅 取 其正值 。 １ ５ 误差 和 不确 定度 的合成 方法 不 同 。 差是 一个 ． 误 确 定的量 值 ， 因此对 各个 误差 分 量进行 合成 时 ， 采用 代 数相加 的方 法 。 不确 定度 是 一个 区间 ， 而 因此 当对 应 于各个 不确 定度分 量 的输入 量 估计 值彼 此不 相关 时， 用方 和根法 进行 合 成 （ 称为 几何相 加 ） 否 则应 也 ， 考虑 加入 相关 项 。 １ ６ 已知系统 误差 的估 计值 时 ， 以对测 量结果 进 ． 可
误 差 又与 无 限多 次 测量 的 平 均值 有 关 ， 因此 它 们 都
是理想化的概念。 实际上只能得到它们的估计值， 因 而误差的可操作性较差 。而不确定度则可 以根据实
验 、 料 、 验 等 信 息进 行 评 定 ， 而 是 可 以定量 操 资 经 从
差 ” 系统误 差 ” 和“ 的分 类 之 间不 存 在 简单 的对 应 关 系 。“ 随机 ” “ 统 ” 示 两 种 不 同 的 性 质 ， “ 和 系 表 而 Ａ 类 ” Ｂ类” 示 两种 不 同的 评定 方法 。 目前 ， 和“ 表 国际 上 一 致认 为 ， 为避 免 误 解 和混 淆 ， 再 使 用 “ 机 不 不 随 确 定度 ” 系统不 确定 度 ” 两 个术 语 （ 两个 术语 和“ 这 这 在 采用 不确定 度概 念 的初期 ， 曾被许 多人 经常 使用 ， 并 且至今 还有 不少 人 在不正 确地 使用 ） 在进行 测 量 。 不 确 定度评 定 时 ， 般 不 必 区分 各 不 确定 度 分 量 的 一 性 质 。若 必须 要 区分 时 ， 应表 述为 “ 也 由随机效 应 引 入 的不 确定度 分量 ” “ 或 由系统效 应 引入 的不 确定 分
作的。
１ ４ 根据 误 差的定 义 ， ． 误差 表示 两个 量 的差值 。当 测 量结 果大 于 真 值 时误 差 为 正值 ， 当测 量 结 果 小于
真 值时误 差为 负值 。因此误 差 既不应 当也 不可 能 以
“ 号 的形式 出现 。 ±” 而根 据规 定 ， 不确 定度 以分 散 区 间的半宽 度表 示 ， 且恒 为正值 ， 在不 确定 度之 前也 故 不 能冠 以“ 号 。即使 不确 定度 是 由方差 经开 方后 ±” 得到， 也仅 取 其正值 。 １ ５ 误差 和 不确 定度 的合成 方法 不 同 。 差是 一个 ． 误 确 定的量 值 ， 因此对 各个 误差 分 量进行 合成 时 ， 采用 代 数相加 的方 法 。 不确 定度 是 一个 区间 ， 而 因此 当对 应 于各个 不确 定度分 量 的输入 量 估计 值彼 此不 相关 时， 用方 和根法 进行 合 成 （ 称为 几何相 加 ） 否 则应 也 ， 考虑 加入 相关 项 。 １ ６ 已知系统 误差 的估 计值 时 ， 以对测 量结果 进 ． 可
测量仪器的误差和测量不确定度
浅论测量仪器的误差和测量不确定度摘要本文从概念、逻辑和形式上对测量仪器的误差和测量不确定度进行了分析与研究，深入浅出的剖析了测量仪器的示值误差、最大允许误差和测量不确定度之间的关系。
旨在引起重视、深入探讨、充分理解、促进共识。
关键词测量仪器；误差；测量不确定度中图分类号p207 文献标识码a 文章编号 1674-6708（2011）44-0058-020 引言在计量检定、校准和检测中，数据处理是一个关键步骤。
在测量过程中，由于测量仪器精度、实验条件局限和各种因素的影响，测量结果总是与实际待测量有一定差异，即存在测量误差。
因此作为一个测量结果，不但应提供测量值的大小和单位，还应对测量值本身的可靠程度作出判断，不说明可靠程度的测量值没有实际意义。
人们在使用误差理论的过程中，又发展出了不确定度概念，如何正确理解、合理表述测量仪器的误差与不确定度，是计量工作者一直关注的重要议题。
1 测量仪器测量仪器的概念是单独地或连同辅助设备一起用以进行测量的器具(又称为计量器具）。
其特点是：1）可直接进行测量；2）可以单独地或连同辅助设备一起使用的一种技术工具或装置。
在我国有关计量法律、法规中，测量仪器称为计量器具，既计量器具是测量仪器的同义语。
测量仪器按其结构特点和计量用途可分为测量用的仪器仪表、实物量具、标准物质及测量系统(或装置)。
测量仪器在生产生活中有着广泛的用途，不论是宇宙飞船探月用的信号发生器，还是平常的买米买菜用的电子称，都是测量仪器。
2 测量仪器的误差测量仪器示值误差，通常简称为测量仪器的误差，可以用绝对误差的形式表示，也可以用相对误差、引用误差的形式表示。
对于给定的测量仪器，由规程、规范所允许的误差极限值，称为测量仪器的最大允许误差，有时也称为测量仪器的允许误差限。
误差是指测量结果减去被测量的真值，误差是测量结果的重要组成部分。
测量结果包括示值、未修正测量结果、已修正测量结果以及若干次测量的平均值。
第2章 测量误差理论
e x xcon.true
绝对误差: 测量误差=测量结果-被测量的约定真值
20
（五） 相对误差
1) 定义: 测量误差与被测量真值的比值。
由于真值不可知，所以用误差估算值表示。
x xcon.true 100% 2) 定义式为：rx xcon.true
绝对误差 相对误差 100% 约定真值
2
人们在对自然界的各种现象进行测量和研究，由 于受到认识能力、测量仪器的性能、实验方法的不 完善等 因素的影响，测量的数据与被测量的真值之 间存在着差异，这些差异在数值上即表现为误差。 误差存在的必然性和普遍性已为大量实践所证明:
任何测量均有误差，为了认识并 减小误差，必须 对测量过程和科学实验中的误差进行研究。
第二章 测量误差理论
1
在工程实践和科学实验中提出的检测任务是正确 及时地掌握各种信息, 大多数情况下是要获取被测对 象信息的大小, 即被测量的大小。这样，信息采集的 主要含义就是测量, 取得测量数据。 为了更好地掌握传感器, 需要对测量的基本概念; 测量系统的特性; 测量误差及数据处理等方面的理论 及工程方法进行学习和研究, 只有了解和掌握了这些 基本理论, 才能更有效地完成检测任务。
相对误差： 对于单个测量结果，一般用绝对误差衡量测量的 准确性，但在比较不同被测对象测量结果的准确性 时，用绝对误差就无法判别了。 21
【例2-1】用一个4位多量程数字频率计，测量标准频 率信号源输出100kHz时的频率， 量程选择为0～ 10MHz，频率计测量值为101kHz，求频率计在该 点的绝对误差和相对误差。
测量结果可用一定的数值表示, 也可以用一条曲线 或某种图形表示。 但无论其表现形式如何, 测量结果应包括两部分： 比值和测量单位。如：
误差理论与平差基础-第2章 误差分布与精度指标
一、偶然误差特性
1、偶然误差
f ()
1 1 1 2
f ( )
1 1 exp 2 ( ) 2 2 2
2 2
参数 和 2 分别是随机误差 的数学期望和方差。它们 确定了正态分布曲线的形状。
1 n i 0 对于随机误差： E () lim n n i 1
三、精度估计的标准
中误差、平均误差和或然误差都可以作为衡量精
度的指标，但由于：
中误差具有明确的几何意义（误差分布曲线的拐点
坐标）
平均误差和或然误差都与中误差存在理论关系
所以，世界上各国都采用中误差作为衡量精度的指
标，我国也统一采用中误差作为衡量精度的指标。
三、精度估计的标准
4、容许误差（极限误差）
定义：由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误 差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（ 极限）误差。
P(| | ) 68.3% P(| | 2 ) 95.5% P(| | 3 ) 99.7%
测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差；
即Δ容=2m 或Δ容=3m 。
m1 m2，说明第一组的精度高于第二组的精度。
说明：中误差越小，观测精度越高
三、精度估计的标准
2、平均误差
在一定的观测条件下，一组独立的真误差绝对值的数学 期望称为平均误差。 [| |] E (| |) lim n n
4 0.7979 5
三、精度估计的标准
1、中误差
解：第一组观测值的中误差：
0 2 2 2 12 (3) 2 4 2 32 (2) 2 (1) 2 2 2 (4) 2 m1 2.5 10
一种组合式空速表测量理论误差浅析与测量不确定度评定
温度 为 １ ５ ℃ 。实 测数据 如表 １ ：
进行 了比较和分析 ， 通过实验室测试数据 ， 对比了两者 的测量方法 、 两种空速 的理论测量误差 ， 给 出了实测数据 的测量值不确定度分 析过程 与结论 。
关键 词： 组合式空速表 ； 指示空速 ； 真空速 ； 测量误差 中图分类号 ： Ｔ Ｈ ８ ３ ４ 文献标识码 ： Ａ 国家标准学科分类代码 ： ４ ６ ０ ． ４ ０ ３ ０
受 全压 ， 膜 盒外 部感 受 当前 高度 的静压 ， 通 过测 量全压 与
静 压之 差 即可 得 到动 压 ， 并 把 它 转换 为 标 准 海 平 面 状 态
下（ 静压为 １ ０ １ ． ３ ２ ５千帕或 ７ ６ ０毫米 汞柱 ， 温度为 １ ５ 。 Ｃ ，
此时空气密度为标准 。 ） 的速度单位 ， 即为指示空 速
稳 定飞 行 。 ３ 测量 方 法分 析
式中 ： ｐ ～全压 ； ｐ 一动 压 ； ｐ 一静 压 ； ｐ 一空气 密 度 ；
一
空速 。因此 只要 知 道 了全 压 、 静压与空气密度 ， 就 可
以测得空速值。对于组合式空速表来说 ， 如图 １ 所示 ， 其 内部设 计有 一个 开 口膜 盒 和真空膜 盒 。开 口膜 盒 内部感
所谓空速 ， 顾名思义 ， 就是飞行器相对于空气的飞行
速度 ， 其测 量 原 理 是 根 据 动 压 （ 空 气 相 对 于 飞 行 器 运 动
而产生的压力 ） 与速度之 间的函数关系 ， 通过开 口膜 盒
测 量 动压 来 获得 相对速 度 。指示 空 速就是 空速 表所 显 示 的飞 行器 相对 于空气 的速 度 ， 而 真 空 速是 指 飞 行 器 相 对
真空速测量会受环境影响， 无法准确反应此时的空速 ， 因 此指示空速 对于起飞、 降落 时飞行安全显得尤 为重要。 也 正 因为此 ， 在 高空 飞行 时 ， 真 空 速反 而 比指示 空速 重要 的多 ， 在飞行控制、 火控 系统设定 、 距离计算等过程中都 需要依据真空速值。举例来说 ， 飞机若在两个高度上保 持 平飞 ， 两种 高 度 状 态 飞 机 的升 力 相 同 （ 设 定 其 他 条 件 不变） ， 动压相 同 ， 在高高度上 ， 飞机需要保持 较高的真 空速 ， 在低高度上 ， 飞机需要保持较低 的真空速即可保持
进行 了比较和分析 ， 通过实验室测试数据 ， 对比了两者 的测量方法 、 两种空速 的理论测量误差 ， 给 出了实测数据 的测量值不确定度分 析过程 与结论 。
关键 词： 组合式空速表 ； 指示空速 ； 真空速 ； 测量误差 中图分类号 ： Ｔ Ｈ ８ ３ ４ 文献标识码 ： Ａ 国家标准学科分类代码 ： ４ ６ ０ ． ４ ０ ３ ０
受 全压 ， 膜 盒外 部感 受 当前 高度 的静压 ， 通 过测 量全压 与
静 压之 差 即可 得 到动 压 ， 并 把 它 转换 为 标 准 海 平 面 状 态
下（ 静压为 １ ０ １ ． ３ ２ ５千帕或 ７ ６ ０毫米 汞柱 ， 温度为 １ ５ 。 Ｃ ，
此时空气密度为标准 。 ） 的速度单位 ， 即为指示空 速
稳 定飞 行 。 ３ 测量 方 法分 析
式中 ： ｐ ～全压 ； ｐ 一动 压 ； ｐ 一静 压 ； ｐ 一空气 密 度 ；
一
空速 。因此 只要 知 道 了全 压 、 静压与空气密度 ， 就 可
以测得空速值。对于组合式空速表来说 ， 如图 １ 所示 ， 其 内部设 计有 一个 开 口膜 盒 和真空膜 盒 。开 口膜 盒 内部感
所谓空速 ， 顾名思义 ， 就是飞行器相对于空气的飞行
速度 ， 其测 量 原 理 是 根 据 动 压 （ 空 气 相 对 于 飞 行 器 运 动
而产生的压力 ） 与速度之 间的函数关系 ， 通过开 口膜 盒
测 量 动压 来 获得 相对速 度 。指示 空 速就是 空速 表所 显 示 的飞 行器 相对 于空气 的速 度 ， 而 真 空 速是 指 飞 行 器 相 对
真空速测量会受环境影响， 无法准确反应此时的空速 ， 因 此指示空速 对于起飞、 降落 时飞行安全显得尤 为重要。 也 正 因为此 ， 在 高空 飞行 时 ， 真 空 速反 而 比指示 空速 重要 的多 ， 在飞行控制、 火控 系统设定 、 距离计算等过程中都 需要依据真空速值。举例来说 ， 飞机若在两个高度上保 持 平飞 ， 两种 高 度 状 态 飞 机 的升 力 相 同 （ 设 定 其 他 条 件 不变） ， 动压相 同 ， 在高高度上 ， 飞机需要保持 较高的真 空速 ， 在低高度上 ， 飞机需要保持较低 的真空速即可保持
第二章 误差与测量不确定度(2版答案)
第二章误差与测量不确定度2.1 名词解释：真值、实际值、示值、误差、修正值。
答：真值是指表征某量在所处的条件下完善地确定的量值；实际值是指用高一级或高出数级的标准仪器或计量器具所测得的数值，也称为约定真值；示值是指仪器测得的指示值，即测量值；误差是指测量值（或称测得值、测值）与真值之差；修正值是指与绝对误差大小相等，符号相反的量值。
2.2 测量误差有哪些表示方法？测量误差有哪些来源？答：测量误差的表示方法有：绝对误差和相对误差两种；测量误差的来源主要有：（1）仪器误差（2）方法误差（3）理论误差（4）影响误差（5）人身误差。
2.3 误差按性质分为哪几种？各有何特点？答：误差按性质可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。
各自的特点为：系统误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化；随机误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差：在一定条件下，测量值显著偏离其实际值。
2.4 何谓标准差、平均值标准差、标准差的估计值？答：标准差是指对剩余误差平方后求和平均，然后再开方即∑=-=ni i x x n 121)(σ； 平均值标准差是任意一组n 次测量样本标准差的n 分之一，即nx s x s )()(=； 标准差的估计值即∑=--=ni i x x n x s 12)(11)(。
2.5 归纳比较粗大误差的检验方法。
答：粗大误差的检验方法主要有莱特检验法，肖维纳检验法以及格拉布斯检验法。
莱特检验法：若一系列等精度测量结果中，第 i 项测量值x i 所对应的残差i ν的绝对值i ν＞3s （x ）则该误差为粗差，所对应的测量值x i 为异常值，应剔除不用。
本检验方法简单，使用方便，也称3s 准则。
当测量次数n 较大时，是比较好的方法。
本方法是以正态分布为依据的，测值数据最好n >200，若n <10则容易产生误判。
误差和不确定度
二、测量不确定度的发展历史
基本概念与GUM完全一致。这两个文件就成为我 国进行测量不确定度评定的基础。 测量不确定度的概念以及不确定度的评定和 表示方法的采用，是计量科学的一个新进展。从 1963年提出测量不确定度的概念，到1993年正式 发布测量不确定度评定的指导性文件GUM，整整 花费了三十年时间，可见改用测量不确定度来对测 量结果的质量进行评价，并不是一个简单的任务， 也不是依靠少数几个科学家能做到的，它汇集了世 界各国
需要考虑的误差来源，然后根据这些误差来 源的性质将他们分为随机误差和系统误差两 类。随机误差用测量结果的标准偏差来表示， 将所有的随机误差分量按方和根法进行合成， 得到测量结果的总随机误差。由于在正态分 布情况下，标准偏差所对应区间的置信概率 仅为68.27%,而通常都要求给出对应于较大 置信概率的区间,故常将标准偏差扩大,用两 倍或三倍的标准偏差来表示其随机误差。系 统误差
或约定真值，往往也就没有必要再进行测量 了。由于真值无法知道，因此实际上误差的 概念只能用于已知约定真值的情况。 从另一个角度来说，根据误差的定义， 真值等于测量结果减误差。因此一旦知道了 测量结果的误差，就可以对测量结果进行修 正而得到真值。 此外，在“误差”一词的使用上也有概 念混乱的情况。根据误差的定义，误差是一 个差值，而不是表示一个区间。也就是说误 差是一个具有确定符号
四、有关术语的定义
概率分布估算，也可用标准差表征。 ⑶测量结果应理解为被测量之值的最佳估计， 而所有的不确定度分量均贡献给了分散性， 包括那些由系统效应引起的（如，与修正值 和参考测量标准有关的）分量。
二、测量不确定度的发展历史
指南》（Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement，以下简称GUM）和第二版《国 际通用计量学基本术语》（International Vocabulary of Basic and General Terms in Metrology，以下简称VIM）。1995年又发布了 GUM的修订版。这两个文件为在全世界统一采用 测量结果的不确定度评定和表示奠定了基础。 除上述七个国际组织外，国际实验室认可合作 组织（ILAC）也已表示承认GUM。这就是说，在
测量误差与测量不确定度
测量误差与测量不确定度摘要：测量误差与不确定度是计量学中的2个重要基本概念，两者之间既有区别又有联系，通过对两者的比较，指出了使用测量不确定度评价测量结果的意义。
关键词：测量；误差；不确定度；随机1引言测量是人们认识自然、改造自然的基本手段之一，其目的在于获得被测对象的准确的量值。
然而由于各种因素的影响，任何测量过程都不可能获得被测量的真值，而只能是在一定程度上使测量结果逼近真值。
因此，一个完整的测量结果应包含被测量的量值（数值×计量单位）和对测得值可疑程度的说明。
量值体现被测量的大小，而测得值的可疑程度反映了测量结果的准确性。
如何更科学合理地表示测量结果的准确性，是测量工作的重要议题。
早期的误差理论以统计学为基础，以静态测量时误差服从正态分布为主的随机误差估计和数据处理的理论为特征，成为经典误差理论。
多年来，误差和误差分析已成为评价测量结果质量的重要方法，但大多数测量结果的误差是未知的，因此用误差来定量表示测量结果的质量存在许多争论。
从20世纪70年代开始，人们开始逐步引入测量不确定度的概念来评定测量结果。
不确定度概念的提出和应用受到了国际社会的普遍重视。
鉴于国际间表示不确定度的不一致，世界计量界最高权力机构国际计量委员会（CIPM）于1978年要求国际计量局（BIPM）向各国标准计量研究院征询意见，并提出建议。
1993年，由国际标准化组织（ISO）等7个国际组织联名共同发表了《测量不确定度表示指南》（简称《指南》），尔后ISO的各成员国广泛执行和应用了该指南，依据现代误差理论测量不确定度来评价测量结果的质量。
我国国家质量技术监督局也于1999年1月11日发布并于同年5月1日实施《中华人民共和国国家计量技术规范－测量不确定度评定与表示》（JJF1059-1999)。
2 测量误差的概念测量误差简称误差。
按照传统误差理论，其定义为：测量结果与被测量真值的差。
按照传统误差理论的定义，误差的符号可正可负。
大学物理误差理论
多源误差综合
研究多源误差的综合影响和作用机制， 提高系统误差的评估和控制水平。
智能化误差处理
结合人工智能和机器学习方法，实现 误差的智能化识别、评估和补偿。
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产生原因
随机误差的产生通常与测量条件、环 境因素、测量者的操作习惯等偶然因 素有关。
减小方法
可以通过增加测量次数，取多次测量 的平均值来减小随机误差。
系统误差
定义
产生原因
系统误差是由于测量系统本身的不完善、 测量设备的不准确、测量方法的局限性等 因素引起的测量结果偏差。
系统误差的产生通常与测量设备、测量方 法、环境条件等有关，具有一定的规律性 和重复性。
特性
粗大误差具有明显性和不可预 测性，通常表现为异常值或离 群值。
减小方法
在数据处理过程中，应识别并 剔除粗大误差，通过加强操作 规范和数据审核来避免粗大误
差的出现。
误差的传递与合成
误差传递
误差的传递是指一个测量结果中包含的各个误差分量对最终 结果的影响。通过误差传递公式，可以计算出各个误差分量 对最终结果的贡献。
特性
减小方法
系统误差具有重复性、规律性和可预测性 ，即多次测量的结果呈现相同或相似的偏 差，可以通过校准和修正来减小。
可以通过校准测量设备、改进测量方法、 控制环境条件等方法来减小系统误差。
粗大误差
定义
粗大误差是由于测量过程中出 现异常情况或人为错误引起的
明显偏差。
产生原因
粗大误差的产生通常与测量者 的疏忽、操作错误、记录错误 等有关。
不确定度评定方法
不确定度的评定方法包括A类和B类两种，A类方法基于多 次测量结果，B类方法基于经验和标准。
第2章 测量误差及其不确定度
2
反映测量结果与真值接近程度的量，称为精度。 精度分为：
◦ 准确度：反映测量结果中系统误差的影响（大小）程度。 即测量结果偏离真值的程度。
◦ 精密度：反映测量结果中随机误差的影响（大小）的程度。 测量结果的分散程度。
◦ 精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响 程度，可用测量不确定度或极限误差来表示。
（1）单峰性
（2）有界性
（3）对称性
当测量次数足够多时，随机误差将服从正态分布，
其分布密度函数为：
y f (x)
1
e
(
x )2 2 2
2
y f ( )
1
e
2 2 2
2
26
（1）算数平均值
x
1 n
(
x1
x2
xn )
1 n
n i1
xi
vi xi x
vi为xi的残余误差（简称残差）。
27
（2）标准差
lim n
n
（xi L）2
i 1
n
lim n
n
2 i
i 1
n
标准差反映了随机误差的分布范围，越小，正态分布曲线越陡峭， 说明随机变量的分散性越小，越接近真值，精度高。
28
在实际测量中，由于真值L 无法知道，就用测量值 得算数平均值代替。各测量值与算数平均值的差值 称为残余误差。
例：用一块0.5级电压表的100V量程档进行测量， 指示值为85.35V,确定其有效位数。
有效数字的位数与小数点的位置无关，与所采用的 单位也无关，而只由误差大小决定。
10
（1）系统误差
反映测量结果与真值接近程度的量，称为精度。 精度分为：
◦ 准确度：反映测量结果中系统误差的影响（大小）程度。 即测量结果偏离真值的程度。
◦ 精密度：反映测量结果中随机误差的影响（大小）的程度。 测量结果的分散程度。
◦ 精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响 程度，可用测量不确定度或极限误差来表示。
（1）单峰性
（2）有界性
（3）对称性
当测量次数足够多时，随机误差将服从正态分布，
其分布密度函数为：
y f (x)
1
e
(
x )2 2 2
2
y f ( )
1
e
2 2 2
2
26
（1）算数平均值
x
1 n
(
x1
x2
xn )
1 n
n i1
xi
vi xi x
vi为xi的残余误差（简称残差）。
27
（2）标准差
lim n
n
（xi L）2
i 1
n
lim n
n
2 i
i 1
n
标准差反映了随机误差的分布范围，越小，正态分布曲线越陡峭， 说明随机变量的分散性越小，越接近真值，精度高。
28
在实际测量中，由于真值L 无法知道，就用测量值 得算数平均值代替。各测量值与算数平均值的差值 称为残余误差。
例：用一块0.5级电压表的100V量程档进行测量， 指示值为85.35V,确定其有效位数。
有效数字的位数与小数点的位置无关，与所采用的 单位也无关，而只由误差大小决定。
10
（1）系统误差
圆度误差评定与测量不确定度计算
适用于处理传统搜索算法难以理解的复杂和非线性问题，可广泛用于组合优化，机器学习，自适应控制，
规划设计和人工生命等领域，它已逐渐成为 21 世纪计算智能的关键技术之一[3]。
在实际的测量过程中，测量仪器，测量方法，以及测量结果都是存在着一定的误差，所以我们在使
用这些数据进行误差计算时是不准确的。因此，国际上早在 20 世纪 60 年代就提出了用“不确定度”来
总结，验证该系统的某些特性[9]。
本文采用三坐标测量仪进行圆度测量，对三坐标测量机进行不确定度来源分析，从而得到圆度误差
测量过程中所产生的测量不确定度[10]。
圆度误差评定过程中测量不确定度的计算步骤：
（1）分析圆度误差测量不确定度的来源，判断其分布类型及分布区间，通常不确定度来源主要有坐标点
测量不确定度，示值误差引起的不确定度，环境因素等引起的不确定度。
选择的个体产生后代。（7）如果达到终止条件，则停止，否则跳到步骤（4）。
1.2 改进遗传算法
改进遗传算法实现实数编码和优化变量的浮点数表示。和标准遗传算法相比，改进遗传算法的时间
更短，因为它不需要编码和解码的过程。考虑到圆度误差优化，改进遗传算法采用混合交叉
[9]，
它通过结合父代信息产生子代并且具有良好的搜索能力。而且，它不需要计算种群中的每个个体的适应
基金项目：国家自然科学基金项目（51075198），江苏省自然科学基金项目(BK2010479)，江苏省“333 人才工程”和“六大人才高峰”项目。 作者简介：潘俊（1989—）男，硕士，研究方向测试计量技术。 E-mail：njitpanjun@。
于 1975 年首次提出，是一类通过模拟生物界自然选择和自然遗传机制的随机化搜索算法。遗传算法特别
误差理论在测量不确定度评定中的应用
Ｈ ＡＮＧ ｈ． Ｙａ ＤＵ ｉ Ｍ ｎ
（ ｈ ｄ ￣ Ｃ ａ Ｍ ｉｅＴａａ ｅｈｎｃｌ ａｔｒ ，Ｔ ｉ ７ ０ ０ Ｃｈｎ ） Ｓａ ｏ ｎ ｏ ｌ ｎ ｉ Ｍ ｃ ａ ｉ ｃｏｙ ａａ ２ １０ ， ｉａ ｎ ａＦ ｎ
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｉ ｉ ｕ ｒ ａ ｏ ａ ｌ ｈ ｔｅ ｒ ｒ ｉ ｒ ｇ ｒ ｅ ｓｔ ｅ ｉ ｄ ｘ ｏ ｖ ｌ ａ ｉ ｇ ｔ ｅ ｒ ｓ ｌ ｏ ａ ｕ ｅ ｎ ，ｂ ｔ ｓ ｒ ｃ ： ｔ ｓ ｎ ｅ ｓ ｎ ｂ ｅ ｔ ａ ｒ ｏ ｓ ｅ ａ ｄ ｄ ａ ｈ ｅ ｆｅ ａ ｕ ｔ ｈ ｅ ｕ ｔ ｆｍｅ ｓ ｒ ｍｅ ｔ ｕ ｎ ｎ ｅ ｒ ｒｔ ｅ ｒ ｓｓ ｉ ｈ ｉ ｈ ｏ ｅ ｉａ ａ ｉ ｆ ｒｓ ｉｎ ｉ ｃ ｍｅ ｓ ｒ ｍ ｅ ｔ Ａｎ ｖ ｌ ａ ｉｎ ｏ ｅ ｓ ｒ ｍ ｅ ｎ ｒ ｏ ｈ ｏ ｙ ｉ ｔｌ ｔ ｅ ｍａ ｎ ｔ ｅ ｒ ｔｃ ｌｂ ｓｓ ｏ ｃｅ ｔｆ ａ ｕ ｅ ｎ ． ｄ ｅ ａｕ ｔ ｆｍ ａ ｕ ｅ ｎｔｕ — ｌ ｉ ｏ ｃ ｒ ａ ｎ ｙ ｉ ｏ ｅ ｉ ｐ ｒ ａ ｐ ｌ ａ ｉｎ ｏ ｒ ｏ ｈ ｒ ｅ ｔ ｉ ｔ ｓ ｎ ｍ ｏ ｔ ｎｔａ ｐ ｉ ｔ ｆ ｅ ｒ ｒ ｔ ｅ ｙ． ｃ ｏ ｏ Ｋ ｅ ｒ ｓ ｓ ｓ ｅ ｔ ｒ ｏ ；ｒ ｎ ｏ ｒ ｏ ；ｖ ｉ ｃ ；ｓ ａ ｄ ｄ ｄ ｖ ａ ｉｎ；ｅ ａ ｕ ｔ ｎ ｏ ａ ｕ ｅ ｅ ｔｕ ｃ ｒ ｙ ｗｏ ｄ ： ｙ ｔ ｍａ ｉ ｅ ｒ ａ ｄ ｍ ｅ ｒ ｒ ａ ａ ｅ ｔ ｎ ａ ｅ ｉｔｏ ｃ ｒ ｎ ｒ ｖ ｌ ａ ｉ ｆｍｅ ｓ ｒ ｍ ｎ ｎ ｅ — ｏ
ａ
② 系统 误 差 ： 确 定 规 律 的误 差 ， 有 由固 定 不 变 的 或 有 确 定 规律 的 因 素造 成 。 ③粗 大 误 差 ： 出 规 定 条 件 下 预 定 的 误 差 。 超 （ 大 误 差 往 往 表 现 为 异 常 值 ） 在 进 行 误 差 分 析 粗 ，
（ ｈ ｄ ￣ Ｃ ａ Ｍ ｉｅＴａａ ｅｈｎｃｌ ａｔｒ ，Ｔ ｉ ７ ０ ０ Ｃｈｎ ） Ｓａ ｏ ｎ ｏ ｌ ｎ ｉ Ｍ ｃ ａ ｉ ｃｏｙ ａａ ２ １０ ， ｉａ ｎ ａＦ ｎ
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② 系统 误 差 ： 确 定 规 律 的误 差 ， 有 由固 定 不 变 的 或 有 确 定 规律 的 因 素造 成 。 ③粗 大 误 差 ： 出 规 定 条 件 下 预 定 的 误 差 。 超 （ 大 误 差 往 往 表 现 为 异 常 值 ） 在 进 行 误 差 分 析 粗 ，
误差分析与测量不确定度评定
当今保存在国 际计量局的铂 铱合金千克原 器的最小不确 定度为0.004mg
误差是针对真值而言的，真值一般都是
指约定真值。
1-20
误差分析与测量不确定度评定 第一章 概述
二、误差的分类
表示形式
误差
性质特点
绝对 误差
相对 误差
系统 误差
随机 粗大 误差 误差
1-21
误差分析与测量不确定度评定 第一章 概述
1-18
误差分析与测量不确定度评定 第一章 概述
一、测量误差的定义
测量误差（error of measurement） 测量误差 ＝ 测得值 － 真值
真值（true value） 是指一个特定的物理量 在一定条件下所定义的 客观量值，又称为理论 值或定义值。理论真值 一般只存在于纯理论之 中。
三角形内角之 和恒为180º
温度、湿度、压 力、气体浓度、
指非电子学中量的测量。
机械力、材料光 折射率等非电学
参数的测量
1-14
误差分析与测量不确定度评定 第一章 概述
根据对测量结果的要求不同分类
工程测量
指对测量误差要求不高的测量。用于这种测量的设备和 仪器的灵敏度和准确度比较低，对测量环境没有严格要求。
因此，对测量结果只需给出测量值。
（公式1） Δxm = ± xm × s%
最大相对误差为
（公式2）
rx
=
Δxm x
=±
xm x
× s%
选定仪表后，被测量的值越接近于 标称范围（或量程）上限，测量的 相对误差越小，测量越准确
绝对误差的最大值与 该仪表的标称范围 （或量程）上限xm成 正比
1-28
误差分析与测量不确定度评定 第一章 概述
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该量程内绝对误差Δx1=Δxm1=±1.5℃，示值相对误差
1.5 x1 100% 100 1.5% x1 100
x1
第2章 测量误差分析与数据处理 同样可算出用l.0级温度计可能产生的绝对误差和 示值相对误差
1.0 x2 xm 2 m 2 xm 2 100 1.0 C 100 x2 1.0 x2 100% 100% 1.0% x2 100
第2章 测量误差分析与数据处理 [例2.1-4] 要测量100℃的温度，现有0.5级、测量范围为0～ 300℃和l.0级、测量范围为0～l00℃的两种温度计，试分 析各自产生的示值误差。
解：对于0.5级温度计，可能产生的最大绝对误差
s1 0.5 xm1 m1 xm1 xm1 300 1.5 C 100 100
第2章 测量误差分析与数据处理
2.1 测量误差基本原理
任何测量仪器的测得值都不可能完全准确地等于被测
量的真值。
只要有测量，必然有测量结果，有测量结果必然产生 误差。
2.1.1 基本概念
1. 真值A0
一个物理量在一定条件下所呈现的客观大小或真实数值称作它 的真值。物理量的真值，只是一个理论值，在实际中是无法测得的。
误
差
黑、棕、红、橙、黄、绿、蓝、紫、灰、白、金、银
0 1 2 误差: 1% 2 4 5 6 7 8 9 0.1 0.01
0.5 0.2 0.1
5
10
第2章 测量误差分析与数据处理
如电阻的4个色环颜色依次为： 绿、棕、金、金—— 表示5.1 5%的电阻 四环 五环
有效 数字
倍 率 10n
第2章 测量误差分析与数据处理
2. 指定值As
由于绝对真值是不可知的，所以一般由国家设立各种 尽可能维持不变的实物标准(或基准)，以法令形式指定其 所体现的量值作为计量单位的指定值。 例如，指定国家计量局保存的铂铱合金圆柱体质量原 器的质量为1kg，指定国家天文台保存的铯钟组所产生的 特定条件下铯—l33原子基态的两个超精细能级之间跃迁所 对应的辐射的9192 63l 770个周期的持续时间为1s(秒)等。
第2章 测量误差分析与数据处理 8. 等精度测量和非等精度测量 在保持测量条件不变的情况下对同一被测量进行
的多次测量过程称作等精度测量。这里所说的测量条
件包括所有对测量结果产生影响的客观和主观因素如 测量中使用的仪器、方法、测量环境，操作者的操作
步骤和细心程度等。等精度测量的测量结果具有同样
于疲劳等原因而影响了细心专致程度等
第2章 测量误差分析与数据处理 2.1.2 测量误差的表示方法 1. 绝对误差 绝对误差定义为 △x = x – A0 (2.1-1)
式中△x为绝对误差，x为测得值， A0为被测量真值。
真值A0一般无法得到，所以用实际值A代替A0 ，因而
绝对误差更有实际意义的定义是
△x = x – A (2.1-2)
第2章 测量误差分析与数据处理 对于绝对误差，应注意几个特点： ① 绝对误差是有单位的量，其单位与测得值和实 际值相同； ② 绝对误差是有符号的量，其符号表示出测量值 与实际值的大小关系，若测得值较实际值大，则绝对
误差为正值，反之为负值；
③ 测得值与被测量实际值间的偏离程度和方向通 过绝对误差来体现。
第2章 测量误差分析与数据处理 由此得到增益误差
dB
A Gx G (dB ) 20 lg(1 )( dB ) A
A
A , x
(2.1-14)
令 A
A
Ax
，则式(2.1-14)可写成
dB 20lg(1 A ) 20lg(1 x ) 8.69 x (dB)
误 差
有效 数字
倍 率 10n
误 差
如电阻的5个色环颜色依次为： 棕、绿、黑、金、红—— 表示 15.0 2%的电阻
第2章 测量误差分析与数据处理 [例2.1-3] 某1.0级电流表，满度值xm＝l00μA，求绝对 误差，以及测量值分别为x1＝100μA，x2＝80μA，x3＝ 20μA时的示值相对误差。
第2章 测量误差分析与数据处理 2. 修正值(校正值) 与绝对误差的绝对值相等但符号相反的值称为修正
值，一般用符号C表示
C = – △x = A – x (2.1-3)
测量仪器的修正值，可通过检定，由上一级标准给 出，它可以是表格、曲线或函数表达式等形式。利用修 正值和仪器示值，可得到被测量的实际值：
如果测量误差不大，可用示值相对误差γx代替实际误差γA， 但若和γA相差较大，两者应加以区别。
第2章 测量误差分析与数据处理 ③ 满度相对误差
满度相对误差定义为仪器量程内最大绝对误差Δxm
与测量仪器满度值(量程上限值 ) xm的百分比值
m
xm
xm
100%
(2.1-8)
满度相对误差也叫作满度误差和引用误差。 通过满度误差实际上给出了仪表各量程内绝对误 差的最大值，即
增益(衰减)或声强等传输函数的值，单位为分贝(dB) 。
设双口网络(比如放大器，或衰减器)输入、输出电压的 测得值分别为Ui和Uo，则电压增益Au的测得值为
Uo Au Ui
用对数表示为
(2.1-10)
Gx 20lg Au (dB)
Gx称为增益测得值的分贝值。
(2.1-11)
第2章 测量误差分析与数据处理
[例2.1-2] 测量两个电压，其实际值为U1=100V，
U2=5V；而测得值分别为101V和6V。则绝对误差为 △U1 = 101-100 = 1(V) △U2 = 6-5 = 1(V) 二者的绝对误差相同，但其误差的影响不同，前者
比后者测量准确。因此应当采用相对误差来表征这一特
点。
第2章 测量误差分析与数据处理
第2章 测量误差分析与数据处理 6. 测量误差
在实际测量中，由于测量器具不准确，测量手段
不完善，环境影响，测量操作不熟练及工作疏忽等因 素，都会导致测量结果与被测量真值存在差异，这个 差异称为测量误差。 测量误差的存在具有必然性和普遍性，不能被完 全消除。如果测量误差超出一定限度，测量工作及由 测量结果所得出的结论就失去了意义。
xm m xm
(2.1-9)
电工仪表用引用误差(γm)来划分准确度等级S：0.1, 0.2,0.5, 1.0, 1.5, 2.5, 5.0。例S=1， γm≤±1%。
第2章 测量误差分析与数据处理 电阻器的色环表示法
四环
五环
有效
数字
倍 率 10n 3
误 差
有效 数字
倍 率 10n
设A为电压增益实际值，其分贝值G=20lgA
由式(2.1-2)及(2.1-11)，有
Au A x A A
(2.1-12)
A Gx 20 lg( A A) 20 lg A(1 ) A A 20 lg A 20 lg(1 ) A A G 20 lg(1 ) (2.1-13) A
A=x+C
(2.1-4)
第2章 测量误差分析与数据处理
[例2.1-1] 某电流表测得的电流示值为0.8 mA，查该
电流表检定证书，得知该电流表在0.8mA及其附近的修 正值为– 0.02mA，那么被测电流的实际值为 A = 0.8 + (-0.02) = 0.78 mA
第2章 测量误差分析与数据处理
解：由式(2.l-9)得到绝对误差
1 xm m xm 100 A 1A 100
第2章 测量误差分析与数据处理 可认为绝对误差是不随测量值改变的。而测得值分别 为100μA、80μA、20μA时的示值相对误差分别为：
xm x 1 x1 100% 100% 100% 1% x1 x1 100
3. 相对误差 相对误差( γ0 )定义为
相对误差又可分为实际相对误差和示值相对误差。
x 0 100% A0
(2.1-5)
① 实际相对误差( γA )定义为
x A 100 % A
(2.1-6)
② 示值相对误差( γx )也叫标称相对误差，定义为
x
x
x
100 %
(2.1-7)
上式即为分贝误差的一般定义式。
(2.1-15)
若测量的是功率增益，分贝误差定义为
dB 10lg(1 x )(dB)
(2.1-16)
第2章 测量误差分析与数据处理 [例2.1-5] 某电压放大器，当输入端电压Ui＝1.2mV
时，测得输出电压Uo＝6 000mV，设Ui误差可忽略，Uo
确度等级。
第2章 测量误差分析与数据处理 5. 示值 由测量器具指示的被测量量值称为测量器具的示 值，也称测量器具的测得值或测量值，它包括数值和 单位。 示值与测量仪表的读数有区别，读数是仪器刻度 盘上直接读到的数字。例如以l00分度表示50mA的电 流表，当指针指在刻度盘上50处时，读数是50，而值 是25mA。为便于核查测量结果，在记录测量数据时， 一般应记录仪表量程、读数和示值(当然还要记载测量 方法，连接图，测量环境，测量用仪器及编号及测量 者姓名、测量日期等)。对于数字显示仪表，通常示值 和读数是统一的。
第2章 测量误差分析与数据处理 7ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 单次测量和多次测量
单次(一次)测量是用测量仪器对待测量进行一次测
量的过程。单次测量不能反映测量结果的精密度，一 般只能给出一个量的大致概念和规律。在测量精度要 求不高的场合，可以只进行单次测量。 多次测量是用测量仪器对同一被测量进行多次重 复测量的过程。依靠多次测量可以观察测量结果一致 性的好坏即精密度。通常要求较高的精密测量都须进 行多次测量，如仪表的比对校准等。
1.5 x1 100% 100 1.5% x1 100
x1
第2章 测量误差分析与数据处理 同样可算出用l.0级温度计可能产生的绝对误差和 示值相对误差
1.0 x2 xm 2 m 2 xm 2 100 1.0 C 100 x2 1.0 x2 100% 100% 1.0% x2 100
第2章 测量误差分析与数据处理 [例2.1-4] 要测量100℃的温度，现有0.5级、测量范围为0～ 300℃和l.0级、测量范围为0～l00℃的两种温度计，试分 析各自产生的示值误差。
解：对于0.5级温度计，可能产生的最大绝对误差
s1 0.5 xm1 m1 xm1 xm1 300 1.5 C 100 100
第2章 测量误差分析与数据处理
2.1 测量误差基本原理
任何测量仪器的测得值都不可能完全准确地等于被测
量的真值。
只要有测量，必然有测量结果，有测量结果必然产生 误差。
2.1.1 基本概念
1. 真值A0
一个物理量在一定条件下所呈现的客观大小或真实数值称作它 的真值。物理量的真值，只是一个理论值，在实际中是无法测得的。
误
差
黑、棕、红、橙、黄、绿、蓝、紫、灰、白、金、银
0 1 2 误差: 1% 2 4 5 6 7 8 9 0.1 0.01
0.5 0.2 0.1
5
10
第2章 测量误差分析与数据处理
如电阻的4个色环颜色依次为： 绿、棕、金、金—— 表示5.1 5%的电阻 四环 五环
有效 数字
倍 率 10n
第2章 测量误差分析与数据处理
2. 指定值As
由于绝对真值是不可知的，所以一般由国家设立各种 尽可能维持不变的实物标准(或基准)，以法令形式指定其 所体现的量值作为计量单位的指定值。 例如，指定国家计量局保存的铂铱合金圆柱体质量原 器的质量为1kg，指定国家天文台保存的铯钟组所产生的 特定条件下铯—l33原子基态的两个超精细能级之间跃迁所 对应的辐射的9192 63l 770个周期的持续时间为1s(秒)等。
第2章 测量误差分析与数据处理 8. 等精度测量和非等精度测量 在保持测量条件不变的情况下对同一被测量进行
的多次测量过程称作等精度测量。这里所说的测量条
件包括所有对测量结果产生影响的客观和主观因素如 测量中使用的仪器、方法、测量环境，操作者的操作
步骤和细心程度等。等精度测量的测量结果具有同样
于疲劳等原因而影响了细心专致程度等
第2章 测量误差分析与数据处理 2.1.2 测量误差的表示方法 1. 绝对误差 绝对误差定义为 △x = x – A0 (2.1-1)
式中△x为绝对误差，x为测得值， A0为被测量真值。
真值A0一般无法得到，所以用实际值A代替A0 ，因而
绝对误差更有实际意义的定义是
△x = x – A (2.1-2)
第2章 测量误差分析与数据处理 对于绝对误差，应注意几个特点： ① 绝对误差是有单位的量，其单位与测得值和实 际值相同； ② 绝对误差是有符号的量，其符号表示出测量值 与实际值的大小关系，若测得值较实际值大，则绝对
误差为正值，反之为负值；
③ 测得值与被测量实际值间的偏离程度和方向通 过绝对误差来体现。
第2章 测量误差分析与数据处理 由此得到增益误差
dB
A Gx G (dB ) 20 lg(1 )( dB ) A
A
A , x
(2.1-14)
令 A
A
Ax
，则式(2.1-14)可写成
dB 20lg(1 A ) 20lg(1 x ) 8.69 x (dB)
误 差
有效 数字
倍 率 10n
误 差
如电阻的5个色环颜色依次为： 棕、绿、黑、金、红—— 表示 15.0 2%的电阻
第2章 测量误差分析与数据处理 [例2.1-3] 某1.0级电流表，满度值xm＝l00μA，求绝对 误差，以及测量值分别为x1＝100μA，x2＝80μA，x3＝ 20μA时的示值相对误差。
第2章 测量误差分析与数据处理 2. 修正值(校正值) 与绝对误差的绝对值相等但符号相反的值称为修正
值，一般用符号C表示
C = – △x = A – x (2.1-3)
测量仪器的修正值，可通过检定，由上一级标准给 出，它可以是表格、曲线或函数表达式等形式。利用修 正值和仪器示值，可得到被测量的实际值：
如果测量误差不大，可用示值相对误差γx代替实际误差γA， 但若和γA相差较大，两者应加以区别。
第2章 测量误差分析与数据处理 ③ 满度相对误差
满度相对误差定义为仪器量程内最大绝对误差Δxm
与测量仪器满度值(量程上限值 ) xm的百分比值
m
xm
xm
100%
(2.1-8)
满度相对误差也叫作满度误差和引用误差。 通过满度误差实际上给出了仪表各量程内绝对误 差的最大值，即
增益(衰减)或声强等传输函数的值，单位为分贝(dB) 。
设双口网络(比如放大器，或衰减器)输入、输出电压的 测得值分别为Ui和Uo，则电压增益Au的测得值为
Uo Au Ui
用对数表示为
(2.1-10)
Gx 20lg Au (dB)
Gx称为增益测得值的分贝值。
(2.1-11)
第2章 测量误差分析与数据处理
[例2.1-2] 测量两个电压，其实际值为U1=100V，
U2=5V；而测得值分别为101V和6V。则绝对误差为 △U1 = 101-100 = 1(V) △U2 = 6-5 = 1(V) 二者的绝对误差相同，但其误差的影响不同，前者
比后者测量准确。因此应当采用相对误差来表征这一特
点。
第2章 测量误差分析与数据处理
第2章 测量误差分析与数据处理 6. 测量误差
在实际测量中，由于测量器具不准确，测量手段
不完善，环境影响，测量操作不熟练及工作疏忽等因 素，都会导致测量结果与被测量真值存在差异，这个 差异称为测量误差。 测量误差的存在具有必然性和普遍性，不能被完 全消除。如果测量误差超出一定限度，测量工作及由 测量结果所得出的结论就失去了意义。
xm m xm
(2.1-9)
电工仪表用引用误差(γm)来划分准确度等级S：0.1, 0.2,0.5, 1.0, 1.5, 2.5, 5.0。例S=1， γm≤±1%。
第2章 测量误差分析与数据处理 电阻器的色环表示法
四环
五环
有效
数字
倍 率 10n 3
误 差
有效 数字
倍 率 10n
设A为电压增益实际值，其分贝值G=20lgA
由式(2.1-2)及(2.1-11)，有
Au A x A A
(2.1-12)
A Gx 20 lg( A A) 20 lg A(1 ) A A 20 lg A 20 lg(1 ) A A G 20 lg(1 ) (2.1-13) A
A=x+C
(2.1-4)
第2章 测量误差分析与数据处理
[例2.1-1] 某电流表测得的电流示值为0.8 mA，查该
电流表检定证书，得知该电流表在0.8mA及其附近的修 正值为– 0.02mA，那么被测电流的实际值为 A = 0.8 + (-0.02) = 0.78 mA
第2章 测量误差分析与数据处理
解：由式(2.l-9)得到绝对误差
1 xm m xm 100 A 1A 100
第2章 测量误差分析与数据处理 可认为绝对误差是不随测量值改变的。而测得值分别 为100μA、80μA、20μA时的示值相对误差分别为：
xm x 1 x1 100% 100% 100% 1% x1 x1 100
3. 相对误差 相对误差( γ0 )定义为
相对误差又可分为实际相对误差和示值相对误差。
x 0 100% A0
(2.1-5)
① 实际相对误差( γA )定义为
x A 100 % A
(2.1-6)
② 示值相对误差( γx )也叫标称相对误差，定义为
x
x
x
100 %
(2.1-7)
上式即为分贝误差的一般定义式。
(2.1-15)
若测量的是功率增益，分贝误差定义为
dB 10lg(1 x )(dB)
(2.1-16)
第2章 测量误差分析与数据处理 [例2.1-5] 某电压放大器，当输入端电压Ui＝1.2mV
时，测得输出电压Uo＝6 000mV，设Ui误差可忽略，Uo
确度等级。
第2章 测量误差分析与数据处理 5. 示值 由测量器具指示的被测量量值称为测量器具的示 值，也称测量器具的测得值或测量值，它包括数值和 单位。 示值与测量仪表的读数有区别，读数是仪器刻度 盘上直接读到的数字。例如以l00分度表示50mA的电 流表，当指针指在刻度盘上50处时，读数是50，而值 是25mA。为便于核查测量结果，在记录测量数据时， 一般应记录仪表量程、读数和示值(当然还要记载测量 方法，连接图，测量环境，测量用仪器及编号及测量 者姓名、测量日期等)。对于数字显示仪表，通常示值 和读数是统一的。
第2章 测量误差分析与数据处理 7ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 单次测量和多次测量
单次(一次)测量是用测量仪器对待测量进行一次测
量的过程。单次测量不能反映测量结果的精密度，一 般只能给出一个量的大致概念和规律。在测量精度要 求不高的场合，可以只进行单次测量。 多次测量是用测量仪器对同一被测量进行多次重 复测量的过程。依靠多次测量可以观察测量结果一致 性的好坏即精密度。通常要求较高的精密测量都须进 行多次测量，如仪表的比对校准等。