吉林省长春市2016届高三质量监测理科数学试卷(四)含答案
2016年吉林省吉林市高考数学四模试卷(理科)(解析版).
2016年吉林省吉林市高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣5x+6＜0}，B={x||x|≤2}，则∁R A∩B=（）A．A B．C R A C．B D．C R B2．在复平面内，复数z=对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．抛物线y=﹣2x2的焦点坐标是（）A．（﹣，0）B．（﹣1，0）C．（0，﹣）D．（0，﹣）4．若变量x，y满足约束条件则z=x﹣2y的最大值为（）A．4 B．3 C．2 D．15．已知lga+lgb=0，函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x的图象可能是（）A． B． C． D．6．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图1，图2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（）A．a，b B．a，c C．c，b D．b，d7．已知实数x∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于121的概率为（）A．B．C．D．8．下列命题正确的个数是（）①对于两个分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大；②在相关关系中，若用y1=c1e拟合时的相关指数为R12，用y2=bx+a拟合时的相关指数为R22，且R12＞R22，则y1的拟合效果好；③利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为；④“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分不必要条件．A．1 B．2 C．3 D．49．已知A（x1，y1）是单位圆O上任意一点，将射线OA绕点O逆时针旋转，与单位圆O交于点B（x2，y2），若x=my1﹣2y2（m＞0）的最大值为2，则m的值为（）A．1 B．2 C．2D．310．过双曲线C：x2﹣的左顶点P作斜率为1的直线l，若l与双曲线C的两条渐近线分别相交于点Q，R，且，则双曲线C的离心率是（）A．B． C．D．11．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，a=且bsin（+C）﹣csin（+B）=a，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，且x ∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围为（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．2016年1月1日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意愿的调查活动．已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，30岁以下的约2400人，30岁至40岁的约3600人，40岁以上的约6000人．为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为N 的样本进行调查，已知从30岁至40岁的女性中抽取的人数为60人，则N=．14．二项式（x2+）6展开式中的常数项为．15．已知四边形ABCD中，•=0，||=1，||=2，•=0，则||的最大值为．16．在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD 的体积的最大值为 ．三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知公差不为零的等差数列{a n }中，a 3=7，且a 2，a 4，a 9成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）数列{b n }满足b n =（），设其前n 项和为S n ，求证：≤S n ＜．18．某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续5天的售出（Ⅱ） 期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级201﹣500名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生将不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为．（1）在学生甲获得奖学金条件下，求他获得一等奖学金的概率；（2）已知甲、乙两名学生获得哪个等级的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X 的分布列及数学期望附： =， =﹣， =6， =146，x i y i =4420，x i 2=182．19．梯形BDEF 所在平面垂直于平面ABCD 于BD ，EF ∥BD ，EF=DE=BD ，BD=BC=CD=AB=AD=2，DE ⊥BC ．（Ⅰ） 求证：DE ⊥平面ABCD ；（Ⅱ） 求平面AEF 与平面CEF 所成的锐二面角的余弦值．20．在平面直角坐标系中，已知A 1（﹣2，0），A 2（2，0），B 1（x ，2），B 2（x ，﹣2），P（x ，y ），若实数λ使得λ2•=•（O 为坐标原点）．（Ⅰ） 求点P 的轨迹C 的方程，并讨论点P 的轨迹类型；（Ⅱ）当λ=时，是否存在过点B（0，2）的直线l与（Ⅰ）中点P的轨迹C相交于不同的两点E，F （E在B，F之间），且＜＜1？若存在，求出该直线的斜率k的取值范围；若不存在，请说明理由．21．设函数f（x）=x2﹣bx+alnx．（Ⅰ）若b=2，函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求实数a的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：f（x2）＞﹣；（Ⅲ）若对任意b∈[1，2]，都存在x∈（1，e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，FE：FD=4：3．（Ⅰ）求证：AF=DF；（Ⅱ）求∠AED的余弦值．[选修4-4坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+1=0，直线l的参数方程为：（t为参数），点A的极坐标为（2，），设直线l与曲线C相交于P，Q两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）求|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．2016年吉林省吉林市高考数学四模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣5x+6＜0}，B={x||x|≤2}，则∁R A∩B=（）A．A B．C R A C．B D．C R B【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】分别求出A与B中不等式的解集，确定出A与B，求出A补集与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣2）（x﹣3）＜0，解得：2＜x＜3，即A=（2，3），∴∁R A=（﹣∞，2]∪[3，+∞），由B中不等式解得：﹣2≤x≤2，即B=[﹣2，2]，则∁R A∩B=[﹣2，2]=B，故选：C．2．在复平面内，复数z=对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质化简复数z等于﹣1﹣3i，它在复平面内对应点的坐标为（﹣1，﹣3），从而得出结论．【解答】解：∵复数===﹣1﹣3i，它在复平面内对应点的坐标为（﹣1，﹣3），故复数对应的点位于在第三象限，故选C．3．抛物线y=﹣2x2的焦点坐标是（）A．（﹣，0）B．（﹣1，0）C．（0，﹣）D．（0，﹣）【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线y=﹣2x2的方程化为：．即可得出．【解答】解：抛物线y=﹣2x2的方程化为：．∴焦点坐标为．故选：C．4．若变量x，y满足约束条件则z=x﹣2y的最大值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x﹣2y对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当x=2且y=0时，z达到最大值2．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（2，0），B（1，1），C（3，1）．设z=F（x，y）=x﹣2y，将直线l：z=x﹣2y进行平移，观察直线在x轴上的截距变化，可得当l经点A时，目标函数z达到最大值，=F（2，0）=3．∴z最大值故选：C5．已知lga+lgb=0，函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x的图象可能是（）A． B． C． D．【考点】对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质．【分析】先求出a、b的关系，将函数g（x）进行化简，得到函数f（x）与函数g（x）的单调性是在定义域内同增同减，再进行判定．【解答】解：∵lga+lgb=0∴ab=1则b=从而g（x）=﹣log b x=log a x，f（x）=a x与∴函数f（x）与函数g（x）的单调性是在定义域内同增同减结合选项可知选B，故答案为B6．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图1，图2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（）A．a，b B．a，c C．c，b D．b，d【考点】简单空间图形的三视图．【分析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案．【解答】解：∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．∴其正视图和侧视图是一个圆，∵俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选：A．7．已知实数x∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于121的概率为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】由程序框图的流程，写出前三项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于121得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于121的概率．【解答】解：经过第一次循环得到x=3x+1，n=2，经过第二循环得到x=3（3x+1）+1，n=3，经过第三次循环得到x=3[3（3x+1）+1]+1，n=3此时输出x，输出的值为27x+13，令27x+13≥121，得x≥4，由几何概型得到输出的x不小于121的概率为：．故选：B．8．下列命题正确的个数是（）①对于两个分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大；②在相关关系中，若用y1=c1e拟合时的相关指数为R12，用y2=bx+a拟合时的相关指数为R22，且R12＞R22，则y1的拟合效果好；③利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为；④“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分不必要条件．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据独立性检验的进行判断，②根据相关关系相关指数为R22，的意义进行判断，③根据几何概型的概率公式进行求解．④根据充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：①根据两个分类变量X与Y的随机变量k2的观测值k来说，k2越大，判断“X 与Y有关系”的把握程度越大，故①错误，②在相关关系中，若用y1=c1e拟合时的相关指数为R12，用y2=bx+a拟合时的相关指数为R22，且R12＞R22，则y1的拟合效果好；正确③利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，由3a﹣1＞0得a＞，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率P==；故③正确，④当“a＞0，b＞0”时“+≥2成立，当a＜0，b＜0时， +≥2也成立，则“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分不必要条件，故④错误，故正确的是②③，故选：B．9．已知A（x1，y1）是单位圆O上任意一点，将射线OA绕点O逆时针旋转，与单位圆O交于点B（x2，y2），若x=my1﹣2y2（m＞0）的最大值为2，则m的值为（）A．1 B．2 C．2D．3【考点】三角函数的化简求值；任意角的三角函数的定义．【分析】设A（cosα，sinα），则B（cos（α+），sin（α+）），则my1﹣2y2=msinα﹣2sin（α+），整理后利用辅助角公式化积，再由x=my1﹣2y2（m＞0）的最大值为2列关于m的等式求得m的值．【解答】解：A（x1，y1）是单位圆上任一点，设A（cosα，sinα），则B（cos（α+），sin（α+）），即y1=sinα，y2=sin（α+），则my1﹣2y2=msinα﹣2sin（α+）=msinα﹣2（）=（m﹣1）sinα﹣cosα=sin（α+β），∵m＞0，my1﹣2y2的最大值为2，∴，解得m=2．故选：B．10．过双曲线C：x2﹣的左顶点P作斜率为1的直线l，若l与双曲线C的两条渐近线分别相交于点Q，R，且，则双曲线C的离心率是（）A．B． C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先由双曲线线方程可得P的坐标和直线l的方程与双曲线的渐近线联立求得Q和R的横坐标，进而根据且，求得b的值，进而根据c=求得c，最后根据离心率公式答案可得．【解答】解：由题可知P（﹣1，0）所以直线L的方程为y=x+1，两条渐近线方程为y=﹣bx或y=bx联立y=x+1和y=﹣bx得Q的横坐标为x Q=﹣同理得R的横坐标为x R=，∵，∴（﹣1，0）+（，y R）=2（﹣，y Q），∴﹣1+=﹣⇒b=3，c==，∴e==，故选B ．11．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A=，a=且bsin （+C ）﹣csin （+B ）=a ，则△ABC 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】三角函数的化简求值；正弦定理．【分析】由已知化简整理求得sin （B ﹣C ）=1，结合角的范围得到B ，C 的值，再利用正弦定理求得b ，代入三角形面积公式求得答案．【解答】解：由bsin （+C ）﹣csin （+B ）=a ，A=，得：sinBsin （）﹣sinCsin （）=sinA ．sinB （+）﹣sinC （sinB +cosB ）=， 整理得sinBcosC ﹣cosBsinC=1， 即sin （B ﹣C ）=1，∵A=，∴B +C=，①即0＜B ＜，0＜C ＜，∴﹣＜﹣C ＜0，则﹣＜B ﹣C ＜，从而B ﹣C=．②联立①②解得B=，C=．sin =，sin =．由，得=．∴．故选：C．12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，且x ∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围为（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）【考点】导数的运算．【分析】令g（x）=f（x）﹣x2，由g（﹣x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数．利用导数可得函数g（x）在R上是增函数，f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，即g（2﹣a）≥g（a），可得2﹣a≥a，由此解得a的范围．【解答】解：∵f（﹣x）+f（x）=x2，∴f（x）﹣x2+f（﹣x）﹣x2=0，令g（x）=f（x）﹣x2，∵g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2=0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．∴x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＞0，故函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是增函数．f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，等价于f（2﹣a）﹣≥f（a）﹣，即g（2﹣a）≥g（a），∴2﹣a≥a，解得a≤1，故选：B．二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．2016年1月1日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意愿的调查活动．已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，30岁以下的约2400人，30岁至40岁的约3600人，40岁以上的约6000人．为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为N 的样本进行调查，已知从30岁至40岁的女性中抽取的人数为60人，则N=200．【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：由题意可得=，故N=200．故答案为：200．14．二项式（x2+）6展开式中的常数项为3．【考点】二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，【解答】解：二项式（x2+）6展开式的通项公式为T r+1=•（x2）6﹣r•x﹣r=（）6﹣r••x12﹣3r，令12﹣3r=0，求得r=4，故展开式中的常数项为（）2•=3，故答案为：3．15．已知四边形ABCD中，•=0，||=1，||=2，•=0，则||的最大值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】如图所示，•=0，•=0，可得AB⊥BC，AD⊥DC．因此四边形ABCD内接于圆O．可得||的最大值为直径AC．【解答】解：如图所示，∵•=0，•=0，∴AB⊥BC，AD⊥DC．∴四边形ABCD内接于圆O．可得⊙O的直径AC==．则||的最大值为直径．故答案为：．16．在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为．【考点】球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB于P，设点P到CD的距离为h，则当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2，从而得到四面体ABCD的体积的最大值即可．【解答】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB与P，设点P到CD的距离为h，则有V=×2×h××2，当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2，则四面体ABCD的体积的最大值为．故答案为：．三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知公差不为零的等差数列{a n}中，a3=7，且a2，a4，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}满足b n=（），设其前n项和为S n，求证：≤S n＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）设等差数列{a n}的公差为d≠0，由a3=7，且a2，a4，a9成等比数列．可得a1+2d=7，=（a1+d）（a1+8d），联立解得即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：b n=（）==4×．再利用等比数列的前n项和公式、数列的单调性即可得出．【解答】（I）解：设等差数列{a n}的公差为d≠0，∵a3=7，且a2，a4，a9成等比数列．∴a1+2d=7，=a2•a9，即=（a1+d）（a1+8d），联立解得d=3，a1=1．∴数列{a n}的通项公式a n=3n﹣2．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知：b n=（）==4×．∴S n==∈．∴≤S n＜．18．某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续5天的售出（Ⅰ）若某天售出箱水，求预计收益是多少元？（Ⅱ）期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级201﹣500名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生将不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为．（1）在学生甲获得奖学金条件下，求他获得一等奖学金的概率；（2）已知甲、乙两名学生获得哪个等级的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望附：=，=﹣，=6，=146，x i y i=4420，x i2=182．【考点】线性回归方程；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）求出、，从而求出回归方程，将x=8代入求出即可；（Ⅱ）设事件A为“学生甲获得奖学金”，事件B为“学生甲获得一等奖学金”，求出概率即可；（Ⅲ）计算对应的P（X）的值，求出其分布列和期望值即可．【解答】解：（Ⅰ）===20…=﹣x=146﹣20×6=26…∴=20x=26，当x=8时，=20×8+26=186（元）即某天售出8箱水的预计收益是186元…（Ⅱ）（1）设事件A为“学生甲获得奖学金”，事件B为“学生甲获得一等奖学金”，则P===，即学生甲获得奖学金的条件下，获得一等奖学金的概率为…（2）X的取值可能为0，300，500，600，800，1000P（X=0）=×=，P（X=300）=××=，P（X=500）=××=，P（X=600）==，P（X=800）=××=，P（X=1000）==，XX的数学期望E（X）=0×+300×+500×+600×+800×+1000×=600（元）…19．梯形BDEF所在平面垂直于平面ABCD于BD，EF∥BD，EF=DE=BD，BD=BC=CD=AB=AD=2，DE⊥BC．（Ⅰ）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连接AC，交BD于O，推导出AC⊥BD，从而AC⊥平面BDEF，进而DE ⊥AC，再由DE⊥BC，能证明DE⊥平面ABCD．（Ⅱ）分别以OA，OB，OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连接AC，交BD于O，∵BD=BC=CD，且AB=AD，∴AC⊥BD，∵平面BDEF⊥平面ABCD，交线为BD，且AC⊂平面ABCD，∴AC⊥平面BDEF，∵DE⊂平面BDEF，∴DE⊥AC，又DE⊥BC，且AC∩BC=C，∴DE⊥平面ABCD．…解：（Ⅱ）∵EF∥BD，EF=BD，且O是BD中点，∴ODEF是平行四边形，∴OF∥DE，∴OF⊥平面ABCD，…分别以OA，OB，OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，A（1，0，0），C（﹣，0，0），E（0，﹣1，1），F（0，0，1），=（﹣1，0，1），=（0，1，0），=（），设平面AEF的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），…设平面CEF的法向量，则，取a=1，得=（1，0，﹣），…∴cos＜＞===．即平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值为．…20．在平面直角坐标系中，已知A1（﹣2，0），A2（2，0），B1（x，2），B2（x，﹣2），P（x，y），若实数λ使得λ2•=•（O为坐标原点）．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程，并讨论点P的轨迹类型；（Ⅱ）当λ=时，是否存在过点B（0，2）的直线l与（Ⅰ）中点P的轨迹C相交于不同的两点E，F （E在B，F之间），且＜＜1？若存在，求出该直线的斜率k的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】轨迹方程；平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）由题设条件，知（1﹣λ2）x2+y2=4（1﹣λ2），由此进行分类讨论能得到P点的轨迹类型．（Ⅱ）当λ=时，点P的轨迹C的方程为=1．S△OBE：S△OBF=|x1|：|x2|，由＜＜1，即＜＜1．设直线EF直线方程为y=kx+2，联立方程可得，：（1+2k2）x2+8kx+4=0，由此能够推导出直线的斜率的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由λ2•=•得：λ2（x2﹣4）=x2﹣4+y2，即（1﹣λ2）x2+y2=4（1﹣λ2）为点P的轨迹C的方程…①λ=±1时方程为y=0轨迹为一条直线，…②λ=0时方程为x2+y2=4轨迹为圆，…③λ∈（﹣1，0）∪（0，1）时方程为+=1轨迹为椭圆，…④λ∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时方程为﹣=1轨迹为双曲线 …（Ⅱ）当λ=时，点P 的轨迹C 的方程为=1 …设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），∴S △OBE ：S △OBF =|x 1|：|x 2|由＜＜1，即＜＜1，由题意可得x 1，x 2同号，∴＜＜1… 由题意得直线EF 的斜率存在，设其方程为y=kx +2代入椭圆方程得：（1+2k 2）x 2+8kx +4=0∵△=64k 2﹣16（1+2k 2）＞0，∴k 2＞，x 1+x 2=﹣，x 1x 2=…设，则，∴，∴，，∵，∴即，∴，∴k ∈（，）∪（，）为所求…21．设函数f （x ）=x 2﹣bx +alnx ．（Ⅰ） 若b=2，函数f （x ）有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，求实数a 的取值范围；（Ⅱ） 在（Ⅰ）的条件下，证明：f （x 2）＞﹣；（Ⅲ） 若对任意b ∈[1，2]，都存在x ∈（1，e ）（e 为自然对数的底数），使得f （x ）＜0成立，求实数a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出f （x ）的导数，结合二次函数的性质求出a 的范围即可；（Ⅱ）求出f （x 2）=﹣2x 2+（2x 2﹣2）lnx 2，令F （t ）=t 2﹣2t +（2t ﹣2t 2）lnt ，（＜t ＜1），得到F （t ）=2（1﹣2t ）lnt ，根据函数的单调性求出F （t ）＞F （），从而证出结论； （Ⅲ）令g （b ）=﹣xb +x 2+alnx ，b ∈[1，2]，得到在x ∈（1，e ）上g （b ）max =g （1）=﹣x +x 2+alnx ＜0有解，令h （x ）=﹣x +x 2+alnx ，通过讨论a 的范围，求出函数的单调性，从而确定a 的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知，b=2时，f （x ）=x 2﹣2x +alnx ，f （x ）的定义域为（0，+∞），求导数得：f ′（x ）=，∵f （x ）有两个极值点x 1，x 2，f ′（x ）=0有两个不同的正根x 1，x 2，故2x 2﹣2x +a=0的判别式△=4﹣8a ＞0，即a ＜，且x 1+x 2=1，x 1•x 2=＞0，所以a 的取值范围为（0，）；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，＜x 2＜1且f ′（x 2）=0，得a=2x 2﹣2，∴f （x 2）=﹣2x 2+（2x 2﹣2）lnx 2，令F （t ）=t 2﹣2t +（2t ﹣2t 2）lnt ，（＜t ＜1），则F （t ）=2（1﹣2t ）lnt ，当t ∈（，1）时，F ′（t ）＞0，∴F （t ）在（，1）上是增函数∴F （t ）＞F （）=，∴f （x 2）＞﹣； （Ⅲ）令g （b ）=﹣xb +x 2+alnx ，b ∈[1，2]，由于x ∈（1，e ），所以g （b ）为关于b 的递减的一次函数，根据题意，对任意b ∈[1，2]，都存在x ∈（1，e ）（e 为自然对数的底数），使得f （x ）＜0成立，则x ∈（1，e ）上g （b ）max =g （1）=﹣x +x 2+alnx ＜0有解，令h （x ）=﹣x +x 2+alnx ，则只需存在x 0∈（1，e ）使得h （x 0）＜0即可，由于h ′（x ）=，令ω（x ）=2x 2﹣x +a ，x ∈（1，e ），ω′（x ）=4x ﹣1＞0， ∴ω（x ）在（1，e ）上单调递增，∴ω（x ）＞ω（1）=1+a ，①当1+a ≥0，即a ≥﹣1时，ω（x ）＞0，∴h ′（x ）＞0，∴h （x ）在（1，e ）上是增函数，∴h （x ）＞h （1）=0，不符合题意，②当1+a ＜0，即a ＜﹣1时，ω（1）=1+a ＜0，ω（e ）=2e 2﹣e +a ，（ⅰ）若ω（e ）＜0，即a ≤2e 2﹣e ＜﹣1时，在x ∈（1，e ）上ω（x ）＞0恒成立 即h ′（x ）＜0恒成立，∴h （x ）在（1，e ）上单调递减，∴存在x0∈（1，e），使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意，（ⅱ）若ω（e）＞0，即2e2﹣e＜a＜﹣1时，在（1，e）上存在实数m，使得ω（m）=0，∴在（1，m）上，ω（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立∴h（x）在（1，e）上单调递减，∴存在x0∈（1，e），使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意，综上所述，当a＜﹣1时，对任意b∈[1，2]，都存在x∈（，1e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，FE：FD=4：3．（Ⅰ）求证：AF=DF；（Ⅱ）求∠AED的余弦值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）欲证AF=DF，可以证明△AEF≌△DEF得出；（Ⅱ）求∠AED的余弦值，即求ME：DM，由已知条件，勾股定理，切割线定理的推论可以求出．【解答】证明：（Ⅰ）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC．∵∠B=∠CAE，∴∠BAD+∠B=∠DAC+∠CAE．∵∠ADE=∠BAD+∠B，∴∠ADE=∠DAE．∴EA=ED．∵DE是半圆C的直径，∴∠DFE=90°．∴AF=DF．…解：（Ⅱ）连结DM，∵DE是半圆C的直径，∴∠DME=90°．∵FE：FD=4：3，∴可设FE=4x，则FD=3x．由勾股定理，得DE=5x．∴AE=DE=5x，AF=FD=3x∵AF•AD=AM•AE∴3x（3x+3x）=AM•5x∴AM=3.6x∴ME=AE﹣AM=5x﹣3.6x=1.4x在Rt△DME中，cos∠AED==．…[选修4-4坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+1=0，直线l的参数方程为：（t为参数），点A的极坐标为（2，），设直线l与曲线C相交于P，Q两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）求|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）利用极坐标与直角坐标互化直接写出曲线C的直角坐标方程，消去参数即可得到直线l的普通方程；（Ⅱ）点A的直角坐标为（3，），设点P，Q对应的参数分别为t1，t2，点P，Q的极坐标分别为（），（）．将（t为参数）与（x﹣2）2+y2=3联立，得：t1t2=1，|AP||AQ|=1，转化求解|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为：x2+y2﹣4x+1=0，即（x﹣2）2+y2=3…直线l的普通方程为x﹣y=0 …（Ⅱ）点A的直角坐标为（3，），设点P，Q对应的参数分别为t1，t2，点P，Q的极坐标分别为（），（）．将（t为参数）与（x﹣2）2+y2=3联立得：t2+2t+1=0，由韦达定理得：t1t2=1，|AP||AQ|=1 …将直线的极坐标方程θ=（ρ∈R）与圆的极坐标方程ρ2﹣4ρcosθ+1=0联立得：，由韦达定理得：ρ1ρ2=1，即|OP||OQ|=1 …所以，|AP||AQ||OP||OQ|=t1t2|ρ1ρ2|=1．…[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．【考点】绝对值不等式的解法；不等式的证明．【分析】（Ⅰ）根据f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，分类讨论求得不等式f（x）+f（x+4）≥8的解集．（Ⅱ）要证的不等式即|ab﹣1|＞|a﹣b|，根据|a|＜1，|b|＜1，可得|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2＞0，从而得到所证不等式成立．【解答】解：（Ⅰ）f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，当x＜﹣3时，由﹣2x﹣2≥8，解得x≤﹣5；当﹣3≤x≤1时，f（x）≤8不成立；当x＞1时，由2x+2≥8，解得x≥3．所以，不等式f（x）+f（x+4）≤4的解集为{x|x≤﹣5，或x≥3}．（Ⅱ）f（ab）＞|a|f（），即|ab﹣1|＞|a﹣b|．因为|a|＜1，|b|＜1，所以|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2=（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，所以|ab﹣1|＞|a﹣b|，故所证不等式成立．2016年8月23日。
2016年吉林省吉林市高考数学四模试卷(理科)(解析版)
2016年吉林省吉林市高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣5x+6＜0}，B={x||x|≤2}，则∁R A∩B=（）A．A B．C R A C．B D．C R B2．在复平面内，复数z=对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．抛物线y=﹣2x2的焦点坐标是（）A．（﹣，0）B．（﹣1，0）C．（0，﹣）D．（0，﹣）4．若变量x，y满足约束条件则z=x﹣2y的最大值为（）A．4 B．3 C．2 D．15．已知lga+lgb=0，函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x的图象可能是（）A． B． C． D．6．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图1，图2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（）A．a，b B．a，c C．c，b D．b，d7．已知实数x∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于121的概率为（）A．B．C．D．8．下列命题正确的个数是（）①对于两个分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大；②在相关关系中，若用y1=c1e拟合时的相关指数为R12，用y2=bx+a拟合时的相关指数为R22，且R12＞R22，则y1的拟合效果好；③利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为；④“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分不必要条件．A．1 B．2 C．3 D．49．已知A（x1，y1）是单位圆O上任意一点，将射线OA绕点O逆时针旋转，与单位圆O交于点B（x2，y2），若x=my1﹣2y2（m＞0）的最大值为2，则m的值为（）A．1 B．2 C．2D．310．过双曲线C：x2﹣的左顶点P作斜率为1的直线l，若l与双曲线C的两条渐近线分别相交于点Q，R，且，则双曲线C的离心率是（）A．B． C．D．11．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，a=且bsin（+C）﹣csin（+B）=a，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，且x ∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围为（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．2016年1月1日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意愿的调查活动．已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，30岁以下的约2400人，30岁至40岁的约3600人，40岁以上的约6000人．为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为N 的样本进行调查，已知从30岁至40岁的女性中抽取的人数为60人，则N=．14．二项式（x2+）6展开式中的常数项为．15．已知四边形ABCD中，•=0，||=1，||=2，•=0，则||的最大值为．16．在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD 的体积的最大值为 ．三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知公差不为零的等差数列{a n }中，a 3=7，且a 2，a 4，a 9成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）数列{b n }满足b n =（），设其前n 项和为S n ，求证：≤S n ＜．18．某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续5天的售出（Ⅱ） 期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级201﹣500名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生将不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为．（1）在学生甲获得奖学金条件下，求他获得一等奖学金的概率；（2）已知甲、乙两名学生获得哪个等级的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X 的分布列及数学期望附： =， =﹣， =6， =146，x i y i =4420，x i 2=182．19．梯形BDEF 所在平面垂直于平面ABCD 于BD ，EF ∥BD ，EF=DE=BD ，BD=BC=CD=AB=AD=2，DE ⊥BC ．（Ⅰ） 求证：DE ⊥平面ABCD ；（Ⅱ） 求平面AEF 与平面CEF 所成的锐二面角的余弦值．20．在平面直角坐标系中，已知A 1（﹣2，0），A 2（2，0），B 1（x ，2），B 2（x ，﹣2），P（x ，y ），若实数λ使得λ2•=•（O 为坐标原点）．（Ⅰ） 求点P 的轨迹C 的方程，并讨论点P 的轨迹类型；（Ⅱ）当λ=时，是否存在过点B（0，2）的直线l与（Ⅰ）中点P的轨迹C相交于不同的两点E，F （E在B，F之间），且＜＜1？若存在，求出该直线的斜率k的取值范围；若不存在，请说明理由．21．设函数f（x）=x2﹣bx+alnx．（Ⅰ）若b=2，函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求实数a的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：f（x2）＞﹣；（Ⅲ）若对任意b∈[1，2]，都存在x∈（1，e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，FE：FD=4：3．（Ⅰ）求证：AF=DF；（Ⅱ）求∠AED的余弦值．[选修4-4坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+1=0，直线l的参数方程为：（t为参数），点A的极坐标为（2，），设直线l与曲线C相交于P，Q两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）求|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．2016年吉林省吉林市高考数学四模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣5x+6＜0}，B={x||x|≤2}，则∁R A∩B=（）A．A B．C R A C．B D．C R B【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】分别求出A与B中不等式的解集，确定出A与B，求出A补集与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣2）（x﹣3）＜0，解得：2＜x＜3，即A=（2，3），∴∁R A=（﹣∞，2]∪[3，+∞），由B中不等式解得：﹣2≤x≤2，即B=[﹣2，2]，则∁R A∩B=[﹣2，2]=B，故选：C．2．在复平面内，复数z=对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质化简复数z等于﹣1﹣3i，它在复平面内对应点的坐标为（﹣1，﹣3），从而得出结论．【解答】解：∵复数===﹣1﹣3i，它在复平面内对应点的坐标为（﹣1，﹣3），故复数对应的点位于在第三象限，故选C．3．抛物线y=﹣2x2的焦点坐标是（）A．（﹣，0）B．（﹣1，0）C．（0，﹣）D．（0，﹣）【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线y=﹣2x2的方程化为：．即可得出．【解答】解：抛物线y=﹣2x2的方程化为：．∴焦点坐标为．故选：C．4．若变量x，y满足约束条件则z=x﹣2y的最大值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x﹣2y对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当x=2且y=0时，z达到最大值2．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（2，0），B（1，1），C（3，1）．设z=F（x，y）=x﹣2y，将直线l：z=x﹣2y进行平移，观察直线在x轴上的截距变化，可得当l经点A时，目标函数z达到最大值，=F（2，0）=3．∴z最大值故选：C5．已知lga+lgb=0，函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x的图象可能是（）A． B． C． D．【考点】对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质．【分析】先求出a、b的关系，将函数g（x）进行化简，得到函数f（x）与函数g（x）的单调性是在定义域内同增同减，再进行判定．【解答】解：∵lga+lgb=0∴ab=1则b=从而g（x）=﹣log b x=log a x，f（x）=a x与∴函数f（x）与函数g（x）的单调性是在定义域内同增同减结合选项可知选B，故答案为B6．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图1，图2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（）A．a，b B．a，c C．c，b D．b，d【考点】简单空间图形的三视图．【分析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案．【解答】解：∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．∴其正视图和侧视图是一个圆，∵俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选：A．7．已知实数x∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于121的概率为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】由程序框图的流程，写出前三项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于121得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于121的概率．【解答】解：经过第一次循环得到x=3x+1，n=2，经过第二循环得到x=3（3x+1）+1，n=3，经过第三次循环得到x=3[3（3x+1）+1]+1，n=3此时输出x，输出的值为27x+13，令27x+13≥121，得x≥4，由几何概型得到输出的x不小于121的概率为：．故选：B．8．下列命题正确的个数是（）①对于两个分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大；②在相关关系中，若用y1=c1e拟合时的相关指数为R12，用y2=bx+a拟合时的相关指数为R22，且R12＞R22，则y1的拟合效果好；③利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为；④“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分不必要条件．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据独立性检验的进行判断，②根据相关关系相关指数为R22，的意义进行判断，③根据几何概型的概率公式进行求解．④根据充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：①根据两个分类变量X与Y的随机变量k2的观测值k来说，k2越大，判断“X 与Y有关系”的把握程度越大，故①错误，②在相关关系中，若用y1=c1e拟合时的相关指数为R12，用y2=bx+a拟合时的相关指数为R22，且R12＞R22，则y1的拟合效果好；正确③利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，由3a﹣1＞0得a＞，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率P==；故③正确，④当“a＞0，b＞0”时“+≥2成立，当a＜0，b＜0时， +≥2也成立，则“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分不必要条件，故④错误，故正确的是②③，故选：B．9．已知A（x1，y1）是单位圆O上任意一点，将射线OA绕点O逆时针旋转，与单位圆O交于点B（x2，y2），若x=my1﹣2y2（m＞0）的最大值为2，则m的值为（）A．1 B．2 C．2D．3【考点】三角函数的化简求值；任意角的三角函数的定义．【分析】设A（cosα，sinα），则B（cos（α+），sin（α+）），则my1﹣2y2=msinα﹣2sin（α+），整理后利用辅助角公式化积，再由x=my1﹣2y2（m＞0）的最大值为2列关于m的等式求得m的值．【解答】解：A（x1，y1）是单位圆上任一点，设A（cosα，sinα），则B（cos（α+），sin（α+）），即y1=sinα，y2=sin（α+），则my1﹣2y2=msinα﹣2sin（α+）=msinα﹣2（）=（m﹣1）sinα﹣cosα=sin（α+β），∵m＞0，my1﹣2y2的最大值为2，∴，解得m=2．故选：B．10．过双曲线C：x2﹣的左顶点P作斜率为1的直线l，若l与双曲线C的两条渐近线分别相交于点Q，R，且，则双曲线C的离心率是（）A．B． C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先由双曲线线方程可得P的坐标和直线l的方程与双曲线的渐近线联立求得Q和R的横坐标，进而根据且，求得b的值，进而根据c=求得c，最后根据离心率公式答案可得．【解答】解：由题可知P（﹣1，0）所以直线L的方程为y=x+1，两条渐近线方程为y=﹣bx或y=bx联立y=x+1和y=﹣bx得Q的横坐标为x Q=﹣同理得R的横坐标为x R=，∵，∴（﹣1，0）+（，y R）=2（﹣，y Q），∴﹣1+=﹣⇒b=3，c==，∴e==，故选B ．11．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A=，a=且bsin （+C ）﹣csin （+B ）=a ，则△ABC 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】三角函数的化简求值；正弦定理．【分析】由已知化简整理求得sin （B ﹣C ）=1，结合角的范围得到B ，C 的值，再利用正弦定理求得b ，代入三角形面积公式求得答案．【解答】解：由bsin （+C ）﹣csin （+B ）=a ，A=，得：sinBsin （）﹣sinCsin （）=sinA ．sinB （+）﹣sinC （sinB +cosB ）=， 整理得sinBcosC ﹣cosBsinC=1， 即sin （B ﹣C ）=1，∵A=，∴B +C=，①即0＜B ＜，0＜C ＜，∴﹣＜﹣C ＜0，则﹣＜B ﹣C ＜，从而B ﹣C=．②联立①②解得B=，C=．sin =，sin =．由，得=．∴．故选：C．12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，且x ∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围为（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）【考点】导数的运算．【分析】令g（x）=f（x）﹣x2，由g（﹣x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数．利用导数可得函数g（x）在R上是增函数，f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，即g（2﹣a）≥g（a），可得2﹣a≥a，由此解得a的范围．【解答】解：∵f（﹣x）+f（x）=x2，∴f（x）﹣x2+f（﹣x）﹣x2=0，令g（x）=f（x）﹣x2，∵g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2=0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．∴x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＞0，故函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是增函数．f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，等价于f（2﹣a）﹣≥f（a）﹣，即g（2﹣a）≥g（a），∴2﹣a≥a，解得a≤1，故选：B．二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．2016年1月1日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意愿的调查活动．已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，30岁以下的约2400人，30岁至40岁的约3600人，40岁以上的约6000人．为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为N 的样本进行调查，已知从30岁至40岁的女性中抽取的人数为60人，则N=200．【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：由题意可得=，故N=200．故答案为：200．14．二项式（x2+）6展开式中的常数项为3．【考点】二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，【解答】解：二项式（x2+）6展开式的通项公式为T r+1=•（x2）6﹣r•x﹣r=（）6﹣r••x12﹣3r，令12﹣3r=0，求得r=4，故展开式中的常数项为（）2•=3，故答案为：3．15．已知四边形ABCD中，•=0，||=1，||=2，•=0，则||的最大值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】如图所示，•=0，•=0，可得AB⊥BC，AD⊥DC．因此四边形ABCD内接于圆O．可得||的最大值为直径AC．【解答】解：如图所示，∵•=0，•=0，∴AB⊥BC，AD⊥DC．∴四边形ABCD内接于圆O．可得⊙O的直径AC==．则||的最大值为直径．故答案为：．16．在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为．【考点】球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB于P，设点P到CD的距离为h，则当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2，从而得到四面体ABCD的体积的最大值即可．【解答】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB与P，设点P到CD的距离为h，则有V=×2×h××2，当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2，则四面体ABCD的体积的最大值为．故答案为：．三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知公差不为零的等差数列{a n}中，a3=7，且a2，a4，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}满足b n=（），设其前n项和为S n，求证：≤S n＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）设等差数列{a n}的公差为d≠0，由a3=7，且a2，a4，a9成等比数列．可得a1+2d=7，=（a1+d）（a1+8d），联立解得即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：b n=（）==4×．再利用等比数列的前n项和公式、数列的单调性即可得出．【解答】（I）解：设等差数列{a n}的公差为d≠0，∵a3=7，且a2，a4，a9成等比数列．∴a1+2d=7，=a2•a9，即=（a1+d）（a1+8d），联立解得d=3，a1=1．∴数列{a n}的通项公式a n=3n﹣2．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知：b n=（）==4×．∴S n==∈．∴≤S n＜．18．某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续5天的售出（Ⅰ）若某天售出箱水，求预计收益是多少元？（Ⅱ）期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级201﹣500名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生将不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为．（1）在学生甲获得奖学金条件下，求他获得一等奖学金的概率；（2）已知甲、乙两名学生获得哪个等级的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望附：=，=﹣，=6，=146，x i y i=4420，x i2=182．【考点】线性回归方程；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）求出、，从而求出回归方程，将x=8代入求出即可；（Ⅱ）设事件A为“学生甲获得奖学金”，事件B为“学生甲获得一等奖学金”，求出概率即可；（Ⅲ）计算对应的P（X）的值，求出其分布列和期望值即可．【解答】解：（Ⅰ）===20…=﹣x=146﹣20×6=26…∴=20x=26，当x=8时，=20×8+26=186（元）即某天售出8箱水的预计收益是186元…（Ⅱ）（1）设事件A为“学生甲获得奖学金”，事件B为“学生甲获得一等奖学金”，则P===，即学生甲获得奖学金的条件下，获得一等奖学金的概率为…（2）X的取值可能为0，300，500，600，800，1000P（X=0）=×=，P（X=300）=××=，P（X=500）=××=，P（X=600）==，P（X=800）=××=，P（X=1000）==，XX的数学期望E（X）=0×+300×+500×+600×+800×+1000×=600（元）…19．梯形BDEF所在平面垂直于平面ABCD于BD，EF∥BD，EF=DE=BD，BD=BC=CD=AB=AD=2，DE⊥BC．（Ⅰ）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连接AC，交BD于O，推导出AC⊥BD，从而AC⊥平面BDEF，进而DE ⊥AC，再由DE⊥BC，能证明DE⊥平面ABCD．（Ⅱ）分别以OA，OB，OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连接AC，交BD于O，∵BD=BC=CD，且AB=AD，∴AC⊥BD，∵平面BDEF⊥平面ABCD，交线为BD，且AC⊂平面ABCD，∴AC⊥平面BDEF，∵DE⊂平面BDEF，∴DE⊥AC，又DE⊥BC，且AC∩BC=C，∴DE⊥平面ABCD．…解：（Ⅱ）∵EF∥BD，EF=BD，且O是BD中点，∴ODEF是平行四边形，∴OF∥DE，∴OF⊥平面ABCD，…分别以OA，OB，OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，A（1，0，0），C（﹣，0，0），E（0，﹣1，1），F（0，0，1），=（﹣1，0，1），=（0，1，0），=（），设平面AEF的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），…设平面CEF的法向量，则，取a=1，得=（1，0，﹣），…∴cos＜＞===．即平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值为．…20．在平面直角坐标系中，已知A1（﹣2，0），A2（2，0），B1（x，2），B2（x，﹣2），P（x，y），若实数λ使得λ2•=•（O为坐标原点）．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程，并讨论点P的轨迹类型；（Ⅱ）当λ=时，是否存在过点B（0，2）的直线l与（Ⅰ）中点P的轨迹C相交于不同的两点E，F （E在B，F之间），且＜＜1？若存在，求出该直线的斜率k的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】轨迹方程；平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）由题设条件，知（1﹣λ2）x2+y2=4（1﹣λ2），由此进行分类讨论能得到P点的轨迹类型．（Ⅱ）当λ=时，点P的轨迹C的方程为=1．S△OBE：S△OBF=|x1|：|x2|，由＜＜1，即＜＜1．设直线EF直线方程为y=kx+2，联立方程可得，：（1+2k2）x2+8kx+4=0，由此能够推导出直线的斜率的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由λ2•=•得：λ2（x2﹣4）=x2﹣4+y2，即（1﹣λ2）x2+y2=4（1﹣λ2）为点P的轨迹C的方程…①λ=±1时方程为y=0轨迹为一条直线，…②λ=0时方程为x2+y2=4轨迹为圆，…③λ∈（﹣1，0）∪（0，1）时方程为+=1轨迹为椭圆，…④λ∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时方程为﹣=1轨迹为双曲线 …（Ⅱ）当λ=时，点P 的轨迹C 的方程为=1 …设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），∴S △OBE ：S △OBF =|x 1|：|x 2|由＜＜1，即＜＜1，由题意可得x 1，x 2同号，∴＜＜1… 由题意得直线EF 的斜率存在，设其方程为y=kx +2代入椭圆方程得：（1+2k 2）x 2+8kx +4=0∵△=64k 2﹣16（1+2k 2）＞0，∴k 2＞，x 1+x 2=﹣，x 1x 2=…设，则，∴，∴，，∵，∴即，∴，∴k ∈（，）∪（，）为所求…21．设函数f （x ）=x 2﹣bx +alnx ．（Ⅰ） 若b=2，函数f （x ）有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，求实数a 的取值范围；（Ⅱ） 在（Ⅰ）的条件下，证明：f （x 2）＞﹣；（Ⅲ） 若对任意b ∈[1，2]，都存在x ∈（1，e ）（e 为自然对数的底数），使得f （x ）＜0成立，求实数a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出f （x ）的导数，结合二次函数的性质求出a 的范围即可；（Ⅱ）求出f （x 2）=﹣2x 2+（2x 2﹣2）lnx 2，令F （t ）=t 2﹣2t +（2t ﹣2t 2）lnt ，（＜t ＜1），得到F （t ）=2（1﹣2t ）lnt ，根据函数的单调性求出F （t ）＞F （），从而证出结论； （Ⅲ）令g （b ）=﹣xb +x 2+alnx ，b ∈[1，2]，得到在x ∈（1，e ）上g （b ）max =g （1）=﹣x +x 2+alnx ＜0有解，令h （x ）=﹣x +x 2+alnx ，通过讨论a 的范围，求出函数的单调性，从而确定a 的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知，b=2时，f （x ）=x 2﹣2x +alnx ，f （x ）的定义域为（0，+∞），求导数得：f ′（x ）=，∵f （x ）有两个极值点x 1，x 2，f ′（x ）=0有两个不同的正根x 1，x 2，故2x 2﹣2x +a=0的判别式△=4﹣8a ＞0，即a ＜，且x 1+x 2=1，x 1•x 2=＞0，所以a 的取值范围为（0，）；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，＜x 2＜1且f ′（x 2）=0，得a=2x 2﹣2，∴f （x 2）=﹣2x 2+（2x 2﹣2）lnx 2，令F （t ）=t 2﹣2t +（2t ﹣2t 2）lnt ，（＜t ＜1），则F （t ）=2（1﹣2t ）lnt ，当t ∈（，1）时，F ′（t ）＞0，∴F （t ）在（，1）上是增函数∴F （t ）＞F （）=，∴f （x 2）＞﹣； （Ⅲ）令g （b ）=﹣xb +x 2+alnx ，b ∈[1，2]，由于x ∈（1，e ），所以g （b ）为关于b 的递减的一次函数，根据题意，对任意b ∈[1，2]，都存在x ∈（1，e ）（e 为自然对数的底数），使得f （x ）＜0成立，则x ∈（1，e ）上g （b ）max =g （1）=﹣x +x 2+alnx ＜0有解，令h （x ）=﹣x +x 2+alnx ，则只需存在x 0∈（1，e ）使得h （x 0）＜0即可，由于h ′（x ）=，令ω（x ）=2x 2﹣x +a ，x ∈（1，e ），ω′（x ）=4x ﹣1＞0， ∴ω（x ）在（1，e ）上单调递增，∴ω（x ）＞ω（1）=1+a ，①当1+a ≥0，即a ≥﹣1时，ω（x ）＞0，∴h ′（x ）＞0，∴h （x ）在（1，e ）上是增函数，∴h （x ）＞h （1）=0，不符合题意，②当1+a ＜0，即a ＜﹣1时，ω（1）=1+a ＜0，ω（e ）=2e 2﹣e +a ，（ⅰ）若ω（e ）＜0，即a ≤2e 2﹣e ＜﹣1时，在x ∈（1，e ）上ω（x ）＞0恒成立 即h ′（x ）＜0恒成立，∴h （x ）在（1，e ）上单调递减，∴存在x0∈（1，e），使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意，（ⅱ）若ω（e）＞0，即2e2﹣e＜a＜﹣1时，在（1，e）上存在实数m，使得ω（m）=0，∴在（1，m）上，ω（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立∴h（x）在（1，e）上单调递减，∴存在x0∈（1，e），使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意，综上所述，当a＜﹣1时，对任意b∈[1，2]，都存在x∈（，1e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，FE：FD=4：3．（Ⅰ）求证：AF=DF；（Ⅱ）求∠AED的余弦值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）欲证AF=DF，可以证明△AEF≌△DEF得出；（Ⅱ）求∠AED的余弦值，即求ME：DM，由已知条件，勾股定理，切割线定理的推论可以求出．【解答】证明：（Ⅰ）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC．∵∠B=∠CAE，∴∠BAD+∠B=∠DAC+∠CAE．∵∠ADE=∠BAD+∠B，∴∠ADE=∠DAE．∴EA=ED．∵DE是半圆C的直径，∴∠DFE=90°．∴AF=DF．…解：（Ⅱ）连结DM，∵DE是半圆C的直径，∴∠DME=90°．∵FE：FD=4：3，∴可设FE=4x，则FD=3x．由勾股定理，得DE=5x．∴AE=DE=5x，AF=FD=3x∵AF•AD=AM•AE∴3x（3x+3x）=AM•5x∴AM=3.6x∴ME=AE﹣AM=5x﹣3.6x=1.4x在Rt△DME中，cos∠AED==．…[选修4-4坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+1=0，直线l的参数方程为：（t为参数），点A的极坐标为（2，），设直线l与曲线C相交于P，Q两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）求|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）利用极坐标与直角坐标互化直接写出曲线C的直角坐标方程，消去参数即可得到直线l的普通方程；（Ⅱ）点A的直角坐标为（3，），设点P，Q对应的参数分别为t1，t2，点P，Q的极坐标分别为（），（）．将（t为参数）与（x﹣2）2+y2=3联立，得：t1t2=1，|AP||AQ|=1，转化求解|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为：x2+y2﹣4x+1=0，即（x﹣2）2+y2=3…直线l的普通方程为x﹣y=0 …（Ⅱ）点A的直角坐标为（3，），设点P，Q对应的参数分别为t1，t2，点P，Q的极坐标分别为（），（）．将（t为参数）与（x﹣2）2+y2=3联立得：t2+2t+1=0，由韦达定理得：t1t2=1，|AP||AQ|=1 …将直线的极坐标方程θ=（ρ∈R）与圆的极坐标方程ρ2﹣4ρcosθ+1=0联立得：，由韦达定理得：ρ1ρ2=1，即|OP||OQ|=1 …所以，|AP||AQ||OP||OQ|=t1t2|ρ1ρ2|=1．…[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．【考点】绝对值不等式的解法；不等式的证明．【分析】（Ⅰ）根据f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，分类讨论求得不等式f（x）+f（x+4）≥8的解集．（Ⅱ）要证的不等式即|ab﹣1|＞|a﹣b|，根据|a|＜1，|b|＜1，可得|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2＞0，从而得到所证不等式成立．【解答】解：（Ⅰ）f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，当x＜﹣3时，由﹣2x﹣2≥8，解得x≤﹣5；当﹣3≤x≤1时，f（x）≤8不成立；当x＞1时，由2x+2≥8，解得x≥3．所以，不等式f（x）+f（x+4）≤4的解集为{x|x≤﹣5，或x≥3}．（Ⅱ）f（ab）＞|a|f（），即|ab﹣1|＞|a﹣b|．因为|a|＜1，|b|＜1，所以|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2=（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，所以|ab﹣1|＞|a﹣b|，故所证不等式成立．2016年8月23日。
吉林省长春市2016届普通高中高三质量监测(四)理综试卷(含答案)
长春市普通高中2016届高三质量监测（四）理科综合能力测试本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共16页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
可能用到的相对原子质量：H—1 C—12 N—14 O—16 Al—27 Fe—56Cu—64 Au—197第Ⅰ卷一、选择题：本题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列关于细胞核的叙述，正确的是A．核仁与某种RNA的合成有关 B．核膜由两层磷脂分子组成C．细胞核内的液体叫做细胞液D．DNA通过核孔进出细胞核2．最新研究发现，如果限制人体内谷氨酰胺（一种非必需氨基酸）的含量，肿瘤细胞会因为无法正常吸收葡萄糖而导致代谢受抑制。
下列叙述错误的是A．恶性肿瘤细胞膜上的糖蛋白数量比正常细胞少B．谷氨酰胺可能是合成葡萄糖载体蛋白的原料C．人体不能合成谷氨酰胺，只能从外界环境获取D．切断肿瘤细胞的“糖路”，可“饿死”肿瘤细胞3．寨卡病毒是RNA病毒，可直接以其基因组RNA作为mRNA指导蛋白质的合成。
下列叙述正确的是A．寨卡病毒可在人体内环境中繁殖B．寨卡病毒基因的遗传遵循分离定律C．寨卡病毒RNA彻底水解的产物有6种D．寨卡病毒RNA经过转录和翻译合成蛋白质4．下图表示一株小麦叶片叶绿体内C3相对含量在一天24h内的变化过程。
下列叙述错误的是A．与B点相比，C点叶绿体中C5含量较高B．CD段C3含量升高可能是由晴转阴导致的C．与F点相比，G点叶绿体中ATP和[H]含量较高D．D→I段植物体内有机物的含量先下降后上升5．下列关于生物体内物质运输的叙述，正确的是A．细胞呼吸时丙酮酸要转运到线粒体内才能被利用B．细胞吸收离子的速率与细胞呼吸强度成正比C．细胞通过胞吞和胞吐运输的一定是大分子物质D．植物顶端优势的形成与生长素的极性运输有关6．下列关于过敏反应和自身免疫病的叙述，错误的是A．都会发生特异性免疫过程B．都不会破坏组织细胞C．都与免疫系统的防卫功能有关D．都会引起机体功能紊乱7．下列说法正确的是A．乙醇用作医用消毒剂时，无水乙醇消毒效果最好B．高锰酸钾溶液可以杀死埃博拉病毒，其消毒原理与漂白粉消毒饮用水的原理不同C．公益调查《柴静雾霾调查：穹顶之下》发布，其中雾霾中的PM2.5属于胶体D．天津港爆炸案中对剧毒的氰化钠(NaCN) 喷洒双氧水处理，利用了双氧水的氧化性8．设N A为阿伏加德罗常数的值，下列叙述中正确的是A．N A个Fe(OH)3胶体粒子的质量为107gB．标准状况下，1L液态水中含有的H+数目为10-7N AC．14g分子式为C n H2n的链烃中含有的碳碳双键的数目为N A/nD．1 mol冰醋酸和l mo1乙醇经酯化反应可生成H2O分子数为N A9．短周期主族元素X、Y、Z、W原子序数依次增大，X最外层电子数是次外层2倍，Y是非金属性最强的元素，Z原子半径在同周期元素中最大，W可与Z形成离子化合物Z2W。
吉林省长市普通高中高三数学质量监测试题(四)文
长春市普通高中2016届高三质量监测（四）数学文科第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有．．一项．．是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上） 1. 已知集合{421,5}A =--，，，，{|2}B x y x ==+，则A B I 中元素的个数为A. 1B. 2C. 3D. 42. 已知复数z 满足 52z i=-，则||z = A. 2 B. 5 C. 3 D. 53. 设,a b ∈R ，则“22log log a b >”是“21a b->”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.已知直线m n ,与平面αβ，，下列命题中错误．．的是 A.若 m n αα,⊥⊥，则m n //B. 若 m n ββ,//⊥，则m n ⊥C.若 m n αβαβ,,⊥⊥⊥，则m n ⊥D. 若 m n n α//,⊂，则m α//5. 执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是A. 34s ≤B. 56s ≤C. 1112s ≤D. 2524s ≤ 6. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，体积相等.已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为A. 42π-B. 483π-C. 8π-D. 82π-7. 函数()sin()(000)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<,,的部分图象如图所示，则2()9f π=A. 3B. 1C. 2D. 28. 已知等比数列{}n a 单调递减，满足154910a a a a =+=2,，则数列{}n a 的公比q =A. 13-B. 13C. 23D. 39.函数2ln y x x =+的大致图像为10. 如图，从高为h 的气球()A 上测量待建规划铁桥()BC 的长，如果测得桥头()B 的俯角是α，桥头()C 的俯角是β，则桥BC 的长为A. sin()sin sin hαβαβ- B. cos()sin sin h αβαβ- C. sin()cos cos h αβαβ- D. cos()cos cos h αβαβ-11. 棱长为1的正四面体ABCD 中，E 为棱AB 上一点（不含A B ,两点），点E 到平面ACD 和平面BCD 的距离分别为,a b ，则11a b+的最小值为A. 2B. 23C. 763D. 2612. M 为双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>,右支上一点，A 、F 分别为双曲线的左顶点和右焦点，且MAF ∆为等边三角形，则双曲线C 的离心率为A.4B. 51-C. 2D. 6第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题—24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上). 13.已知2=|a |=|b |，2⋅-=-（）a b a ，则a 与b 的夹角为_______14. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知100S =，1525S =，则使n S 取最小值的n 等于 .15. 已知圆C 的圆心在直线210x y +-=上，且经过原点和点(1,5)--，则圆C 的方程为 ___________.16. 下列说法中正确的有：___________.（将你认为正确的命题序号全部填在横线上）①电影院调查观众的某一指标，通知“每排（每排人数相等）座位号为14的观众留下来座谈”是系统抽样；②推理过程“因为指数函数xy a =是增函数，而2xy =是指数函数，所以2xy =是增函数”中，小前提是错误的；③对命题“正三角形与其内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体与其内切球切于各面中心；④在判断两个变量y 与x 是否相关时，选择了3个不同的模型，它们的相关指数2R 分别为：模型1为098.，模型2为080.，模型3为050..其中拟合效果最好的是模型1； 三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17.（本小题满分12分）已知函数()cos()sin 6f x x x π=+-.（1）利用“五点法”列表，并画出()f x 在5[]33ππ-,上的图象；（2）a b c ,,分别是锐角ABC ∆中角A B C ,,的对边.若3a =，3()2f A =，求ABC ∆面积的取值范围.18. （本小题满分12分）某便携式灯具厂的检验室，要检查该厂生产的某一批次产品在使用时的安全性。
长春市普通高中2016届高三质量监测(三)数学理科 全国通用
长春市普通高中2016届高三质量监测（三） 数学理科（试卷类型A ）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上） 1. 设集合{|13}A x x =-<<，1{|39}3x B x =<<，则A B = A. (1,2) B . (1,2)- C. (1,3) D. (1,3)-2. 复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，若12z i =+，则12z z ⋅= A. 5 B. 34i + C. 5- D. 34i --3. 已知向量21=-（，）a ，01=（，）b ，则|2|=a +bA.C. 2D. 44. 已知函数5log ,0()2,0xx x f x x >⎧=⎨⎩≤，则1(())25f f = A. 4 B.14C. 4-D. 14-5. 已知实数{},1,2,3,4,5,6x y ∈，且7x y +=，则2xy ≥的概率为 A.13 B. 23 C. 12 D. 566. 已知tan 2α=，α为第一象限角，则sin 2cos αα+=A.B.45+ C. 45+ D. 257. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A. 18B. 14C. 12D. 98. 将函数()sin(2)(||)2f x x πϕϕ=+<的图象向右平移12π个单位后的图象关于y 对称，则函数()f x 在[0,]2π上的最小值为A. 2B. 12C. 12-D. 2-9. 按右图所示的程序框图，若输入110011a =，则输出的b =A.B. C. 47D. 4510. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，以2F 为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，若圆2F 和双曲线的一个交点为M , 满足12MF MF ⊥，则双曲线的离心率是A.2D. 2 11. 在ABC ∆中，D 是BC 中点，已知90BAD C ∠+∠=︒,则ABC ∆的形状为A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形 12. 定义在(1,0)(0,1)-上的偶函数()f x ，满足1()02f =，当0x >时，总有21()()ln(1)2()x f x x f x x'-⋅->，则()0f x <的解集为 A. {}|11,0x x x -<<≠且 B. 11|1,122x x x ⎧⎫-<<-<<⎨⎬⎩⎭或C. 11|,022x x x ⎧⎫-<<≠⎨⎬⎩⎭且D. 11|1,22x x x ⎧⎫-<<-<<⎨⎬⎩⎭或0第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题—24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 已知实数,x y 满足120x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥≥，则2+x y 的最大值为___________.14.设函数()1x f x e =-的图象与x 轴的交点为P ，则曲线()y f x =在点P 处的切线方程为_________.15. 在椭圆221369x y +=上有两个动点,M N ，点(2,0)K ，满足0KM KN ⋅=，则KM NM ⋅的最大值为__.16. 如果一个棱锥底面为正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥称为正棱锥.已知正四棱锥P ABCD -内接于半径为1的球，则当此正四棱锥的体积最大时，其高为___________. 三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1511a =，143(2)n n a a n -≥=-. （1）求证：数列{1}n a +为等比数列；（2）令2|log (1)|n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和为n S .18. （本小题满分12分）某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年一班共有学生30人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如下（单位：cm ）：7155789998161845298356170275461241801119男女男生成绩不低于175cm 的定义为“合格”，成绩低于175cm 的定义为“不合格”；女生成绩不低于165cm 的定义为“合格”，成绩低于165cm 的定义为“不合格”. (1)求女生立定跳远成绩的中位数；(2)若在男生中按成绩是否合格进行分层抽样，抽取6个人，求抽取成绩“合格”的男生人数；（3）若从全班成绩“合格”的学生中抽取2人参加选拔测试，用X 表示其中男生的人数，试写出X 的分布列，并求X 的数学期望. 19. （本小题满分12分）已知等腰梯形ABCD 如图1所示，其中AB ∥CD ，,E F 分别为AB 和CD 的中点，且2AB EF ==，6CD =，M 为BC 中点，现将梯形ABCD 按EF 所在直线折起，使平面EFCB ⊥平面EFDA ，如图2所示，N 是线段CD 上一动点，且CN ND λ=.（1）当1=2λ时，求证：MN ∥平面ADFE ； （2）当=1λ时，求二面角M NA F --的余弦值.20. （本小题满分12分）动点P 在抛物线2=2x y 上，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，设2PM PQ =. (1)求点M 的轨迹E 的方程;(2) 设点(4,4)N -,过点(4,5)H 的直线交轨迹E 于,A B （不同于点N ）两点，设直线,NA NB 的斜率分别为12,k k ，求12||k k -的取值范围. 21. （本小题满分12分）已知函数1()(cos )()x f x e a x a -=-+∈R .（1）若函数()f x 存在单调递减区间，求实数a 的取值范围；（2）若0a =，证明： 1[1,]2x ∀∈-，总有(1)2()cos(1)0f x f x x '--+⋅+>.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲.已知四边形ABCD 为圆O 的内接四边形，且BC CD =，其对角线AC 与BD 相交于点M ，过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P .（1）求证：AB MD AD BM ⋅=⋅；(2) 若CP MD CB BM ⋅=⋅，求证：AB BC =. 23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程.已知直线l的参数方程为2x m y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上.（1）若直线l 与曲线C 交于A ,B 两点，求||||FA FB ⋅的值； （2）若曲线C 的内接矩形的周长的最大值.24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲. 已知0x ∃∈R 使不等式|1||2|x x t ---≥成立. (1)求满足条件的实数t 的集合T ；(2) 若1,1m n >>，对t T ∀∈，不等式33log log m n t ⋅≥恒成立，求m n +的最小值.长春市普通高中2016届高三质量监测（三）数学(理科)参考答案及评分参考一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1. B2. C3. B4. B5. B6. C7. A8. D9. A 10. B 11. D 12. B 简答与提示：1. B 【命题意图】本题主要考查集合的化简与交运算，属于基础题.【试题解析】B 由题意可知{|12}B x x =-<<，所以{|12}A B x x =-<<. 故选B. 2. C 【命题意图】本题考查复数的乘法运算，以及复平面上的点与复数的关系，属于基础题.【试题解析】C 复数22z i =-+，所以12(2)(2)5z z i i ⋅=+-+=-. 故选C. 3. B 【命题意图】本题主要考查平面向量的运算性质.【试题解析】B 由2(2,1),a b +=得|2|5a b +=，故选B.4. B 【命题意图】本题考查分段函数及指数、对数运算，是一道基础题.【试题解析】B11()2,(2)254f f =--=. 故选B. 5. B 【命题意图】本题考查古典概型，属于基础题.【试题解析】B 由题意，(,)x y 的所有可能为(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)共6种，其中满足2x y ≥的有4种，故概率为23. 故选B.6. C 【命题意图】本题考查三角函数定义及恒等变换.【试题解析】C 由三角函数定义sin 55αα==，故sin 2cos 2sin cos cos ααααα+=+=故选C. 7. A 【命题意图】本题主要考查四棱锥的体积，考查空间想象能力，属于基础题.【试题解析】A 该几何体可以看成由两个四棱锥组成，每个四棱锥的底面面积为9，高为3，故其体积为9，所以整个几何体体积为18. 故选A.8. D 【命题意图】本题主要考查三角函数的图象及性质，是一道基础题.【试题解析】D 由题可知，3πϕ=-，从而()sin(2)3f x x π=-，则该函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为2-. 故选D.9. A 【命题意图】本题考查程序框图及进位制，属基础题.【试题解析】A 经计算得01234512120202121251b =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 故选A. 10. B 【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质与圆切线的性质，是一道中档题.【试题解析】B 由题可知，212||,||||22MF b MF MF a b a ==+=+，由12MF MF ⊥，有22212||||4MF MF c +=，整理得2b a =，所以离心率e =故选B.11. D 【命题意图】本题主要考查解三角形正弦定理的应用，是一道中档题.【试题解析】D 如图，由题可知，90BAD C B CAD ∠+∠=∠+∠=︒，在ABD ∆中，sin sin cos BD AD BD BAD B C ==∠，在ADC ∆中，sin sin cos CD AD CD CAD C B ==∠，所以sin sin cos cos B CC B =，即sin 2sin 2B C =，所以B C =或22B C π+=，则此三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选D.12. B 【命题意图】本题考查函数导数运算、导数与单调性关系、奇偶性等综合应用，是一道较难题.【试题解析】B 由题可知当(0,1)x ∈时，222()ln(1)()1xf x x f x x '->-，从而2222(()ln(1))()ln(1)()01x f x x f x x f x x''⋅-=-->-，有函数2()ln(1)y f x x =⋅-在(0,1)上单调递增，由函数2()ln(1)y f x x =⋅-为偶函数，所以其在(1,0)-上单调递减，由于(1,0)(0,1)x ∈-时2ln(1)0x -<，所以()0f x <等价于2()ln(1)0y f x x =⋅->，由1()02f =，故()0f x <的解集为1{|1,2x x -<<-或11}2x <<. 故选B.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13. 414. y x =-15. 6416.43简答与提示：13. 4【命题意图】本题主要考查线性规划问题，是一道常规题. 从二元一次方程组到可行域，再结合目标函数的几何意义，全面地进行考查.【试题解析】令2z x y =+，根据可行域及z 的几何意义，可确定最优解为(2,0)，从而2x y +的最大值为4.14. y x =-【命题意图】本题考查导数的几何意义，是一道中档题.【试题解析】由题意(0,0)P ，(),(0)1x f x e f ''=-=-，从而曲线在点P 处的切线方程为y x =-. 15. 64【命题意图】本题考查椭圆的简单几何性质和平面向量的基本运算，考查数形结合思想，是一道中档题.【试题解析】由题意NM KM KN =-，由0KM KN ⋅=，有2KM NM KM ⋅=，从椭圆的简单几何性质可得，当M 点为(6,0)-时2KM 最大，故KM NM ⋅的最大值为64.16. 43【命题意图】本题涉及球内接四棱锥体积运算，需要借助导数进行运算求解，是一道较难题.【试题解析】由球的几何性质可设四棱锥高为h ，从而23222[1(1)](2)33P ABCD V h h h h -=--=-+，有222(34)(34)33PABCD V h h h h -'=-+=-+，可知当43h =时，P ABCD V -体积最大. 三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分)17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查数列递推关系、等比数列、等差数列前n 项和，对考生的化归与转化能力有较高要求.【试题解析】解：(1) 证明：由43411-=-n n a a 知)1(4111+=+-n n a a ， 由，01≠+n a 41111=++-n n a a ，则数列{}1+n a 是以512为首项，41为公比的等比数列.(6分)(2) 由(1)知n a n 211)1(log 2-=+，设{})1(log 2+n a 的前n 项和为n T ，210n n T n -=2|log (1)|n n b a =+，当5≤n 时，2210,0)1(log n n T S a n n n -==>+， 当6≥n 时，50102)()1(log )1(log 25552625+-=-=--=+--+-=n n T T T T T a a T S n n n n综上得⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-=6,50105,1022n n n n n n S n .(12分)18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，包括茎叶图、离散型随机变量的分布列以及数学期望的求法.【试题解析】(1) ． （3分）(2) 男生中成绩“合格”和“不合格”人数比为4:8，用分层抽样的方法抽取6个人，则抽取成绩“合19. 【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.【试题解析】解：(1) 过点M 作EF MP ⊥于点P ，过点N 作FD NQ ⊥于点Q ，连接PQ . 由题意，平面⊥EFCB 平面EFDA ，所以⊥MP 平面EFDA且22=+=CFBE MP ，因为EF DF EF CF ⊥⊥,，所以⊥EF 平面C FD ，所以EF NQ ⊥，由FD NQ ⊥，所以⊥NQ 平面EFDA ，又12CN ND =，即NQ MP NQ MP =,//，则MN //PQ ，由MN ⊄平面ADFE ，PQ ⊂平面ADFE ADFE(2) 方向为z 轴，建立如图所示坐标系. 由题即)1,1,1(1=n ，在平面FAN 中，)23,23,0(),0,1,2(==FN FA ，即)2,2,1(2-=n则93cos =θ，所以二面角M NA F --的余弦值为93.(12分)20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到抛物线的方程，直线与圆锥曲线的相关知识. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.【试题解析】解：(1) 设),(y x M ，有)2,(y x P ，将P 代入y x 22=，得y x 42=，从而点M 的轨迹E的方程为y x 42=.（4分）(2) 设),(),,(2211y x B y x A ，联立⎩⎨⎧=+-=yx x k y 45)4(2 ，得0201642=-+-k kx x ，则⎩⎨⎧-==+201642121k x x k x x ，因为44,44222111+-=+-=x y k x y k ，所以|16)(4))(81(||414414|||212121221121+++--=++--++-=-x x x x x x k x k kx x k kx k k因为,A B 不同于点N ，所以81≠k ，则1)2(||221+-=-k k k故21k k -的取值范围是),1[+∞. (12分)21. (本小题满分12分)【命题意图】本题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述原函数的单调性、极值等情况. 对考生的逻辑推理与运算求解能力有较高要求.【试题解析】解(1) 由题意得1()(sin cos )xf x e a x x -'=--++，若函数()f x 存在单调减区间，则1()(sin cos )0x f x e a x x -'=--++≤即sin cos 0a x x -++≥存在取值区间，即)4a x π≤+存在取值区间，所以a < (6分)(2) 当0a =时，11()cos ,()(sin cos )x x f x e x f x e x x --'==-+21(1)2()cos(1)cos(1)[sin()]4x x f x f x x x e x π+-'--+⋅+=+⋅-⋅+由11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有310,[0,]22x π⎡⎤+∈⊆⎢⎥⎣⎦，从而cos(1)0x +>，要证原不等式成立，只要证21sin()04x x ex π+--⋅+>对⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈∀21,1x 恒成立，首先令)22()(12+-=+x e x g x ，由22)(12-='+x e x g ，可知，当),21(+∞-∈x 时)(x g 单调递增，当)21,(--∞∈x 时)(x g 单调递减，所以0)21()22()(12=-≥+-=+g x ex g x ，有2212+≥+x e x 构造函数)4sin(2222)(π+-+=x x x h ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,1x ，因为)4cos(222)(π+-='x x h ))4cos(22(22π+-=x ，可见，在[]0,1-∈x 时，0)(≤'x h ，即)(x h 在[]0,1-上是减函数，在⎥⎦⎤ ⎝⎛∈21,0x 时，0)(>'x h ，即)(x h 在⎥⎦⎤⎝⎛21,0上是增函数，所以,在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,1上，0)0()(min ==h x h ，所以0)(≥x g .所以，22)4sin(22+≤+x x π，等号成立当且仅当0=x 时，综上2122)4x e x x π+≥+≥+，由于取等条件不同，故21)04x ex π+-+>，所以原不等式成立.(12分)22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到切割线定理以及三角形 相似等内容.本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【试题解析】解(1) 由BC CD =可知，BAC DAC ∠=∠，在△ABD 中，则AB ADBM DM=，因此AB MD AD BM ⋅=⋅；(5分)(2) 由CP MD CB BM ⋅=⋅可知CP BM CB MD =，又由(1)可知BM AB MD AD =，则CP ABCB AD=，由题意BAD PCB ∠=∠，可得△BAD ∽△PCB ，则ADB CBP ∠=∠，又ADB ACB ∠=∠，即CBP ACB ∠=∠，又PB 为圆O 的切线，则CBP CAB ∠=∠，因此ACB CAB ∠=∠， 即AB AC =. (10分)23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用直线的参数方程的几何意义求解直线与曲线交点的距离等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】解(1) 已知曲线C 的标准方程为221124x y +=，则其左焦点为(-，则m =-将直线l的参数方程2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩与曲线C 的方程221124x y +=联立， 得2220t t --=，则12||||||2FA FB t t ⋅==. (5分)(2) 由曲线C 的方程为221124x y +=，可设曲线C上的定点,2sin )P θθ 则以P为顶点的内接矩形周长为42sin )16sin()(0)32ππθθθθ⨯+=+<<，因此该内接矩形周长的最大值为16. (10分)24. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及 不等式证明等内容.本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】(1) 令1,1()|1||2|23,121,2x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩，则1()1f x -≤≤，由于0x ∃∈R 使不等式|1||2|x x t ---≥成立，有{|1}t T t t ∈=≤. (5分)(2) 由(1)知，33log log 1m n ⋅≥，根据基本不等式33log log 2m n ≥+≥ 从而23mn ≥当且仅当3m n ==时取等号，再根据基本不等式6m n +≥≥当且仅当3m n ==时取等号，所以m n +的最小值为6. (10分)。
2016年吉林省吉林市高考数学四模试卷理科解析版
2016年吉林省吉林市高考数学四模试卷（理科）12560分，在每小题给出的四个选项中，只有题，每小题一、选择题：本大题共分，共一项是符合题目要求的．25x60B=xx2x1A=xAB= ∩） ||{| |﹣≤+（＜}}，，则{?．已知集合R AA BCA CB DCB ．．．．RR2z=）对应的点位于（．在复平面内，复数 C DA B．第四象限．第二象限．第一象限．第三象限2 3y=2x）．抛物线的焦点坐标是（﹣C0D0 A0B10）．．（，（）．（﹣，），﹣）．（﹣，﹣2yxyz=x4），满足约束条件．若变量则﹣的最大值为（1DC2 A4 B3 ．．．．x xlgb=0fx=agx=log5lga）（的图象可能是（）﹣．已知与函数+，函数（）bC D BA．．．．6”“是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何牟合方盖．好似两个扣合相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，体．它由完全相同的四个曲面构成，21中四边形是为体现其直观性所作（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图）的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（dcbb Dc b BAaaC，，．，．．．，x1x72875436不小，执行如图所示的程序框图，则输出的，}．已知实数∈{，，，，，，121）于的概率为（第1页（共22页）DB C A．．．．8）．下列命题正确的个数是（2YYKXkkX”“①有关系的观测值的随机变量越小，与对于两个分类变量来说，与判断的把握程度越大；2a=bxyy=ceR②拟合时的相关指，用拟合时的相关指数为在相关关系中，若用+2111222 RyRR的拟合效果好；，且＞数为，则1122001a3a1”“③；～﹣之间的均匀随机数发生的概率为，则事件＞利用计算机产生20a0b””“④“的充分不必要条件．是，＞≥＞+4D2C3A1B．．．．OyOOA9Ax逆时针旋转上任意一点，将射线绕点，与单位，．已知）是单位圆（11myxx=my2ym02OB），），若﹣（，则圆＞交于点的值为（（）的最大值为22123 D2 C2A1B．．．．2ClP10Cx1l的两的左顶点与双曲线作斜率为﹣，若．过双曲线的直线：CQR）的离心率是（条渐近线分别相交于点，则双曲线，，且ADBC ．．．．A=A11ABCCa=bsinBCacb，已知所对的边分别为，，．△且，（+）中，角，，=aABCcsinB），则△的面积为（﹣+（）BCA D．．．．2x=xxffxf12xRfxRx′，且（）在（上存在导数（﹣（．设函数）），对任意的+∈，有）a22aaaf2xf0 xf′∞）﹣）﹣的取值范围为（（．若）≥（∈（，+）时，﹣，则实数（）＞B 1ACD2 21 ∞∞∞∞]．]．．[，+，+．[，））（﹣（﹣，54分．二．填空题：本大题共个小题，每小题11320161日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生．年月30岁以下的育二孩意愿的调查活动．已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，600024003036004040人．为了解不同年龄层的女性岁以上的约约岁的约人，岁至人，N对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为N=304060 ．人，则的样本进行调查，已知从岁至岁的女性中抽取的人数为62 x14． + ）展开式中的常数项为．二项式（ABCD=0 15 =2=0=1??中，，则|，|的最大值．已知四边形|，||，|．为第2页（共22页）ABCDCDAB=CD=2162AB的体积的、．在半径为、的球面上有，则四面体、四点，若．最大值为三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17aa=7aaa 成等比数列．，且．已知公差不为零的等差数列{，}中，，9n234a Ⅰ的通项公式；}（）求数列{nbb=nSS Ⅱ．项和为}满足＜，求证：（）（，设其前）数列{≤nnnn18“”活动，学生一元钱，一片心，诚信用水．某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行5天的售出便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续在购水处每领取一瓶矿泉水，和收益情况，如表：x6 6 5 7 6 （单位：箱）售出水量y 150 125 165 142 148 （单位：元）收益8 Ⅰ箱水，求预计收益是多少元？）若某天售出（Ⅱ期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特（）200500201500名，获元；考入年级困生，规定：特困生考入年级前﹣名，获一等奖学金300501名以后的特困生将不获得奖学金．甲、元；考入年级二等奖学金乙两名学生获一等．，不获得奖学金的概率均为奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为1 ）在学生甲获得奖学金条件下，求他获得一等奖学金的概率；（2）已知甲、乙两名学生获得哪个等级的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得（X 的分布列及数学期望奖学金总金额2=182x =4420 xy == =6 =146．，附：，，，，﹣iii19EFBDEF=DE=BDBD=BC=CD=BDEFABCDBD，∥梯形，于，所在平面垂直于平面．AB=AD=2DEBC ．，⊥DEABCD Ⅰ；（求证：）⊥平面AEFCEF Ⅱ所成的锐二面角的余弦值．（与平面）求平面20A20A20Bx2Bx2P，，﹣，），．在平面直角坐标系中，已知（﹣），），（（，），（21122= O xy?λ?λ．（为坐标原点）（，，若实数）使得PCP Ⅰ的轨迹类型；的轨迹的方程，并讨论点（）求点第3页（共22页）CP02l =BⅠⅡλ相交于不））的直线当）中点（与（时，是否存在过点的轨迹（，kF1EF EB的取同的两点之间），，且（＜在＜，？若存在，求出该直线的斜率值范围；若不存在，请说明理由．2 fx=xalnxbx21．（﹣）+．设函数axxxxx b=2fⅠ的取值范围；）有两个极值点＜，函数，（（），求实数若，且2121fxⅠⅡ；在（（（）的条件下，证明：））＞﹣20xef2 b1x1eⅢ）＜（为自然对数的底数）），使得若对任意，∈[（，]，都存在）∈（（a的取值范围．成立，求实数4-1242223：、选修、则按所做的第一题记分．三题中任选一题作答，如果多做，请考生在[]几何证明选讲BCCCD22ABCADBAC的延为圆心，为∠为半径的半圆交．已知在△的平分线，以中，3B=FAEMCAEFEFD=4EAD．，交，于点长线于点，且∠，交：于点∠：AF=DFⅠ；）求证：（AEDⅡ的余弦值．（）求∠4-4][选修坐标系与参数方程Cx23O轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线为极点，．在直角坐标系中，以原点2Alt1=04cosθρρ的的参数方程为：（的极坐标方程为+，点﹣，直线为参数）2QCPl两点．相交于与曲线极坐标为（，，），设直线Cl Ⅰ的普通方程；的直角坐标方程和直线（写出曲线）OP APAQOQ???Ⅱ的值．|||求|||||（）4-5][选修：不等式选讲x24fx=1．（﹣）||．已知函数8xx1ff4；（）解不等式+（）+（）≥ba21abf01aaf．＜＜（）若||，||，且≠，求证：（）＞||（）第4页（共22页）2016年吉林省吉林市高考数学四模试卷（理科）参考答案与试题解析12560分，在每小题给出的四个选项中，只有题，每小题一、选择题：本大题共分，共一项是符合题目要求的．25x60B=xx2AB=1A=xx ∩）?{（．已知集合||{||≤﹣ +}＜，则}，R AA BCA CB DCB ．．．．RR交、并、补集的混合运算．【考点】ABABAB的交集即可．与【分析】分别求出补集与与，求出中不等式的解集，确定出Ax2x30 ，﹣中不等式变形得：（（﹣）＜）【解答】解：由2x3A=23 ，＜（＜），即，解得：A=23 ∞∞∪，），，]+∴?[（﹣R B2x2B=22 ，≤，，即由]中不等式解得：﹣[≤﹣AB=22=B ∩，，[﹣则?]R C ．故选：z=2）．在复平面内，复数对应的点位于（ D B CA．第四象限．第二象限．第一象限．第三象限复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【考点】3iz1i，等于﹣的幂运算性质化简复数利用两个复数代数形式的除法，虚数单位【分析】﹣13，从而得出结论．，﹣它在复平面内对应点的坐标为（﹣）13i===，﹣解：∵复数﹣【解答】31 ，故复数，﹣对应的点位于在第三象限，）它在复平面内对应点的坐标为（﹣C．故选2 2x3y=）．抛物线的焦点坐标是（﹣B10 00 CD0A ），）（．（），﹣．（﹣，）．（﹣．，﹣抛物线的简单性质．【考点】2 y=2x．即可得出．﹣的方程化为：【分析】抛物线2 2xy=．的方程化为：解：抛物线【解答】﹣．∴焦点坐标为C．故选：第5页（共22页）z=x2y4xy）．若变量的最大值为（，满足约束条件则﹣12 DB3 CA4 ．．．．简单线性规划．【考点】ABC及其内部，再将目标函数作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△【分析】zy=0x=2z=x2yy达﹣且对应的直线进行平移，观察直线在时，轴上的截距变化，可得当2．到最大值表示的平面区域，【解答】解：作出不等式组ABC及其内部，得到如图的△31C20B11A．，，），（（），，其中）（z=x2yxy=x2ylz=F进行平移，，﹣）（﹣：，将直线设x轴上的截距变化，观察直线在zlA达到最大值，经点时，目标函数可得当=3z=F20．，（）∴最大值C故选：x logxf=axgx=5lgalgb=0）（）﹣+与函数，函数的图象可能是（（）．已知bC DA B．．．．对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质．【考点】xabgxxgf）的单先求出【分析】）与函数、的关系，将函数（（）进行化简，得到函数（调性是在定义域内同增同减，再进行判定．lgb=0 lga+【解答】解：∵b=ab=1则∴x xfxx=loglog=xg=a与，）（﹣（）从而ab第6页（共22页）fxgx ）的单调性是在定义域内同增同减）与函数∴函数（（B ，结合选项可知选B 故答案为6“”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何牟合方盖．体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合12中四边形是为体现其直观性所作（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（）d bcb DAab Bac C，．，，．．，．简单空间图形的三视图．【考点】（方在一起的方形伞好似两个扣合（牟合）【分析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案．盖）解：∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方【解答】．形伞（方盖）∴其正视图和侧视图是一个圆，∵俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上2条对角线且为实线的正方形，∴俯视图是有A．故选：x783456x712不小，，，，执行如图所示的程序框图，则输出的，．已知实数∈{}，，，121）的概率为（于DB C A．．．．程序框图．【考点】得到输出的值与输入的值的关系，写出前三项循环得到的结果，【分析】由程序框图的流程，x121不小于得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的令输出值大于等于121的概率．1n=2x=3x，，+【解答】解：经过第一次循环得到1x=33x1n=3，+）+经过第二循环得到（，1n=3x13xx=331，此时输出]+，经过第三次循环得到[（++）1327x，+输出的值为1211327xx4，≥+令≥，得第7页（共22页）x121．不小于的概率为：由几何概型得到输出的B．故选：8）．下列命题正确的个数是（2YKXkkXY”①“有关系越小，来说，对于两个分类变量判断与的观测值的随机变量与的把握程度越大；2ay=bxy=ceR②拟合时的相关指在相关关系中，若用拟合时的相关指数为，用+2111222 RyRR的拟合效果好；数为＞，则，且1122001a3a1”“③；，则事件＞利用计算机产生发生的概率为～﹣之间的均匀随机数20b0a”“”④“的充分不必要条件．，+＞是≥＞4DC3A1B2．．．．命题的真假判断与应用．【考点】①根据独立性检验的进行判断，【分析】2 R②，的意义进行判断，根据相关关系相关指数为2③根据几何概型的概率公式进行求解．④根据充分条件和必要条件的定义进行判断．22XXYkkk“①判断【解答】解：根据两个分类变量的观测值与越大，的随机变量来说，Y①”错误，与的把握程度越大，故有关系2ay=bxy=ceR②拟合时的相关指，用+在相关关系中，若用拟合时的相关指数为2111222 yRRR的拟合效果好；正确，且数为，则＞112210aa013a③，＞﹣～之间的均匀随机数＞，由得利用计算机产生13a0P==③“”正确，；故＞则事件发生的概率﹣20ab0“”④“成立，，时当＞＞≥+020ab也成立，时， +，＜≥当＜20ab0④““””错误，≥＞则的充分不必要条件，故是＞，+②③，故正确的是B．故选：OyxOOAA9，与单位）是单位圆上任意一点，将射线逆时针旋转绕点．已知（，11OBm2m2y0x=myyx），则的值为（（，若，圆交于点（）﹣＞）的最大值为22123B1 A 2D2 C．．．．三角函数的化简求值；任意角的三角函数的定义．【考点】第8页（共22页）2sin2y=msinsincossinBcosmyAααααα﹣（+）【分析】设，（，则（，﹣+），则）（）21m2x=my2ym0α列关于）（，整理后利用辅助角公式化积，再由+＞﹣）的最大值为（21 m的值．的等式求得sincossinBcosAxyAααα，）【解答】解：，则（，+）是单位圆上任一点，设（（（），11α，）（）+=sinyy =sinαα+（，），即212sin 2y=msinmyαα+则）﹣﹣（212 =msinα（﹣）sin=mcos 1αα﹣﹣）（=sinβα，+（）2m0my2y，﹣∵＞的最大值为，21m=2．∴，解得B．故选：2ClPx10C1l的两的左顶点，若：作斜率为﹣与双曲线．过双曲线的直线QRC），则双曲线条渐近线分别相交于点，的离心率是（，且D CA B ．．．．双曲线的简单性质．【考点】RPQl和【分析】先由双曲线线方程可得的方程与双曲线的渐近线联立求得的坐标和直线cbc=，最后根据的横坐标，进而根据且，求得的值，进而根据求得离心率公式答案可得．Ly=x10P1，+）所以直线的方程为解：由题可知【解答】（﹣，y=bxbxy=或两条渐近线方程为﹣Qy=y=x1bxx=﹣+和﹣得联立的横坐标为QxR=，同理得的横坐标为R，∵1y0=2 y），），（﹣），+∴（﹣，（QR第9页（共22页）=b=3c=1=，?∴﹣﹣+，e==，∴B．故选CcA=a=bsina11ABCABCb），已知且，，+，所对的边分别为，．△，中，角（=acsinBABC），则△﹣的面积为（（+）D B CA．．．．三角函数的化简求值；正弦定理．【考点】CBBsinC=1的值，再利用正弦，结合角的范围得到）【分析】由已知化简整理求得（，﹣b，代入三角形面积公式求得答案．定理求得=aCbsincsinBA=，）﹣，（++解：由【解答】）（sinCsin=sinAsinBsin （．））﹣得：（sinC sinBcosBsinB=（+）﹣+（），cosBsinC=1sinBcosC，﹣整理得sin=1BC，（﹣即）A=，∵BC=①，∴+0CB0，＜，＜＜即＜C0，＜﹣＜∴﹣BC，﹣＜则﹣＜C=B ②﹣．从而B=C= ①②解得，．联立sin=，sin=．第10页（共22页）=．由，得．∴C．故选：2x=xfxfx12fxRfxxR′，且（﹣（，有（））．设函数，对任意的（+）在∈上存在导数）a2aafa2 0fxxf2′∞））﹣（的取值范围为（（∈（）≥，+﹣）时，﹣（）＞，则实数．若12A1 BCD2∞∞∞∞]（﹣，．[，，++），．）．]．[（﹣导数的运算．【考点】2xggx=fxx=0gxgx）为奇函数．利）【分析】令（﹣（）（（））﹣+，可得函数，由（aaRf2afa22ag2ggx，上是增函数，）≥（﹣，即）﹣）（用导数可得函数（（）在）≥（﹣﹣2aaa的范围．≥可得﹣，由此解得222 fxx=0fxfx=xfxx，+（﹣，∴）+（（）﹣））﹣【解答】解：∵（﹣222 gxfxx=fxgx=fxxx=0gx，（（﹣））﹣（）﹣）﹣令），∵（（﹣+）+（gx）为奇函数．∴函数（x0xxf′∞．∈（+，）＞）时，（∵g0x0gx0x=fxx∞′∞′）上是增函数，（）在（）+）时，（（）﹣，∴＞∈（+，，故函数R0xf0=0gxg∞上是增函数．）上也是增函数，由（（（）在）在（﹣，）故函数，可得a2af2af22afaf，）﹣﹣）﹣（（）≥）﹣﹣≥，等价于（（﹣g212agaaaa，），∴﹣（，解得即≥（﹣≤）≥B．故选：54分．二．填空题：本大题共个小题，每小题11201613日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生年．月30岁以下的育二孩意愿的调查活动．已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，600036003024004040人．为了解不同年龄层的女性岁至岁的约岁以上的约人，约人，N对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为403060N=200．岁的女性中抽取的人数为人，则的样本进行调查，已知从岁至分层抽样方法．【考点】根据分层抽样的定义即可得到结论．【分析】=N=200 ．解：由题意可得【解答】，故200．故答案为：62 14x3．．二项式（+）展开式中的常数项为页（共11第22页）二项式定理的应用．【考点】r0 x即可求得常数项，，的幂指数等于求出【分析】在二项展开式的通项公式中，令的值，r2626r﹣﹣=xTx=x??））（展开式的通项公式为（【解答】解：二项式（）+r+13r6r12﹣﹣x??，3r=0r=412，令，求得﹣2 =3?，）故展开式中的常数项为（3．故答案为：=0=0 =115ABCD=2 ??的最大值，|||，则|，．已知四边形中，||，．为平面向量数量积的运算．【考点】ABBCAD DCABCD =0=0??．因此四边形，可得，如图所示，，⊥【分析】⊥OAC ．||内接于圆的最大值为直径．可得解：如图所示，【解答】=0 =0 ??，∵，ABBCADDC ．⊥∴⊥，ABCDO ．内接于圆∴四边形OAC== ．可得⊙的直径．则的最大值为直径||．故答案为：162ABCDAB=CD=2ABCD的体积的．在半径为的球面上有、、，则四面体、四点，若．最大值为球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．【考点】CDPCDABPCDABPPCDh，，交于【分析】过作平面到，使，设点⊥平面的距离为h2ABCDABCD的体积的最的中点时，，则当球的直径通过与最大为从而得到四面体大值即可．CDPCDABPCDABP ，作平面，交解：过，使与⊥平面【解答】PCDh ，的距离为设点到V=2h2 ，××则有××ABCDh2 ，当球的直径通过与最大为的中点时，ABCD．则四面体的体积的最大值为页（共第1222页）．故答案为：三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．aa17aa=7a成等比数列．．已知公差不为零的等差数列{，且}中，，，9n342 aⅠ的通项公式；）求数列（{}nSSbb=nⅡ．，求证：≤（（））数列{，设其前}满足＜项和为nnnn数列的求和；数列递推式．【考点】2d=7aaaIad0a=7a，成等比数列．【分析】（可得）设等差数列{，}的公差为且≠，由+，，1234n9a8d =ad，联立解得即可得出．+（（+））11n=4b==ⅠⅡ项和公（×）由（（）知：）．再利用等比数列的前n式、数列的单调性即可得出．Iad0aa=7aa成等比数列．，且，【解答】（，∵）解：设等差数列{}的公差为，≠9n432=aad8da2d=7a =a?，（++，即）∴+（，）19121 =1d=3a．，联立解得1 2=3naa．﹣∴数列{}的通项公式nn=4==bⅠⅡ．））知：×（（）证明：由（nS==．∴∈nS．≤＜∴n18”“活动，学生．某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行一元钱，一片心，诚信用水5天的售出在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续和收益情况，如表：x 6 7 6 6 5 （单位：箱）售出水量y150 165 142 125 148 （单位：元）收益8Ⅰ箱水，求预计收益是多少元？若某天售出（）Ⅱ期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特）（500500200201名，获困生，规定：特困生考入年级前名，获一等奖学金﹣元；考入年级第13页（共22页）300501名以后的特困生将不获得奖学金．甲、考入年级二等奖学金乙两名学生获一等元；．奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为1）在学生甲获得奖学金条件下，求他获得一等奖学金的概率；（2）已知甲、乙两名学生获得哪个等级的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得（X的分布列及数学期望奖学金总金额2 =182=146 = = =6 xy=4420 x．，，﹣附：，，，iii线性回归方程；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【考点】x=8Ⅰ代入求出即可；）求出、，从而求出回归方程，将【分析】（BA”Ⅱ“”“，求出概率即）设事件为学生甲获得一等奖学金学生甲获得奖学金为，事件（可；PXⅢ）的值，求出其分布列和期望值即可．（（）计算对应的===20…Ⅰ）【解答】解：（206=26=x=146…×﹣﹣=20x=26，∴=20826=186 x=8（元）×当+时，8186…元即某天售出箱水的预计收益是1 AB””Ⅱ““，则，事件学生甲获得奖学金学生甲获得一等奖学金（）设事件为为（）===P，…即学生甲获得奖学金的条件下，获得一等奖学金的概率为1000 600300X20500800，，，，（），的取值可能为===PX=300X=0P=，××，（×（））P=P=X=600=X=500=，）××，）=P==X=800X=1000P=，××（（），）X的分布列为即1000 600 500 3000 X 800页）22页（共14第P…X的数学期望=600600300500EX=08001000…（元）（×）+×+×+×+×+×BD19EFABCDBDBD=BC=CD=BDEFBDEF=DE=，，于梯形．所在平面垂直于平面∥，BCDEAB=AD=2．，⊥ABCD DEⅠ；）求证：（⊥平面AEFCEFⅡ所成的锐二面角的余弦值．（求平面）与平面二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【考点】DEBDEFACBDOACBDACⅠ，进而，推导出【分析】（，从而）连接⊥，交于⊥平面ACDEBCDEABCD．⊥⊥平面⊥，能证明，再由zxOCyOAOBⅡ轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出（轴，）分别以为，轴，，CEFAEF 所成的锐二面角的余弦值．与平面平面OACBDⅠ，【解答】证明：（，交）连接于BD=BC=CDAB=ADACBD，，且⊥∵，∴ACABCDBDBDEFABCD，?⊥平面平面，交线为∵平面，且ACBDEF，∴⊥平面ACBDEFDEDE，平面⊥，∴∵? BCACABCD BC=CDEDE…∩．，且又，∴⊥⊥平面BDODEFEF=EFBDBDOⅡ是平行四边形，，且∥，中点，∴解：（是）∵OFOFDEABCD…，∥∴⊥平面，∴OAzxyOBOC轴建立空间直角坐标系，轴，分别以，为，轴，1E001F0100C0A10，）（，﹣，，），，，，）（（，，，），（﹣10=0=110=，（（﹣，，，）（，），），AEFzyx=，），，设平面的法向量（1=x=101…，，（，得，），取则CEF，的法向量设平面第15页（共22页）10a=1=…，，﹣则，取，，得）（===cos．∴＞＜AEFCEF…．即平面所成的锐二面角的余弦值为与平面P0A20Bx22Bx20A2，（（，，），．在平面直角坐标系中，已知）（﹣（，），，﹣，）22112 O= xy?λ?λ．为坐标原点）（使得，，若实数）（CP PⅠ的轨迹类型；的方程，并讨论点（）的轨迹求点C= B02lPⅠⅡλ相交于不时，是否存在过点与（（的轨迹，（）中点））的直线当kEBF1EF 的取在，？若存在，求出该直线的斜率之间）同的两点，且，＜（＜值范围；若不存在，请说明理由．轨迹方程；平面向量数量积的运算．【考点】2222P=4x1y 1λⅠλ点+﹣由题设条件，知（）﹣（（【分析】）），由此进行分类讨论能得到的轨迹类型．xSP=C=1S=xλⅡ，由|：（）当|时，点|的轨迹|的方程为：．OBFOBE△△2122k11EF1y=kx2）（++，联立方程可得，＜＜，即＜＜．设直线直线方程为：2 8kx4=0x，由此能够推导出直线的斜率的取值范围．++22222 x= 44y=xλⅠλ??，﹣（﹣解：【解答】（）由）+得：2222CP 1xy1=4…λλ的方程（﹣的轨迹）为点即（﹣）+ y=01=…①λ轨迹为一条直线，时方程为±22 y=4x=0…②λ轨迹为圆，时方程为+第16页（共22页）1=1010…③λ∪轨迹为椭圆，∈（﹣，，）+（）时方程为1=1 1…∞∞∪④λ轨迹为双曲线﹣（）时方程为，∈（﹣+，﹣）C=1 =P…λⅡ的方程为的轨迹）当时，点（xSExyFxyS=x|，|），|（|设（，，∴）：：OBFOBE △△212112x111x…＜，由题意可得＜由＜＜，，即＜＜同号，∴212 y=kxEF+的斜率存在，设其方程为由题意得直线224=0 x2k18kx+代入椭圆方程得：（+）+222 0k=64k1162k，）＞∵△+＞﹣，∴（=xxxx=…，+﹣2211，，则设，∴，∴，，∴∵，即，∴k…∪）为所求，，）（∴∈（2 bxalnxx21f=x．+．设函数﹣（）b=2xxxxaxfⅠ的取值范围；＜，求实数（）有两个极值点，（）若，函数，且2211f xⅠⅡ；）的条件下，证明：（）在（）＞﹣（20efe1x21xb Ⅲ）＜（）为自然对数的底数）（，使得，都存在]若对任意（）∈[，∈（，a的取值范围．成立，求实数利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【考点】xfaⅠ的范围即可；）求出（【分析】（）的导数，结合二次函数的性质求出第17页（共22页）22lntt=t2t2t2tfx=2x2x2lnxFⅡ＜）（，）求出﹣（﹣）（﹣）+（+﹣（）（，令2222Ft=212tlntFt1 Ft，从而证出结论；（（﹣（）＜）））＞，得到，根据函数的单调性求出（）2=egb=g=xbx1alnxb12x1gbⅢ﹣﹣）上+（（+∈（，（，）∈[），）（]）令，得到在max22aalnx=xxxxalnx0hx 的范围，求出函数的单调性，从而﹣++（++）＜，通过讨论有解，令a的范围即可．确定2 alnxfxb=2fx=x02x∞Ⅰ，【解答】解：（（）由已知，+时，+（）的定义域为（），）﹣，=fx′，（）求导数得：xx=0fxxxfx′，∵，（））有两个极值点（，有两个不同的正根，21212 2xa2xa=0=48a0，故＜﹣﹣，即+＞的判别式△a0xx=0=1xx?；的取值范围为（）＞且，+，所以，21122=0a=2xxx1f′ⅠⅡ，，得（）得，＜﹣＜）（且）由（2222lnxx=2x2xf，）﹣﹣+（∴）（222222 t2t1Ft=tlnt2t2t，令＜（））），﹣（+（＜﹣lnt=2t12tF，）（（）则﹣1tt1F0Ft′）上是增函数）时，）在（（（∈（，）＞，，∴当=tFF，∴（（）＞）xf；∴）＞﹣（22 2gb=xbxbalnx1Ⅲ，[）令]（+），﹣，+∈（gx1ebb的递减的一次函数，，），所以由于）为关于∈（（0b12xefx1e）＜为自然对数的底数），]，都存在，使得∈（（，根据题意，对任意（∈[）成立，2 xxalnx01x1egb=g=有解，+则＜∈（），）上+（﹣）（max2 x0=xx1alnxxehhx 即可，﹣，+（+令（）使得），则只需存在）＜∈（002 =4x10x=2xxh=x1xaxeω′ω′，﹣（∈（（）），令（，））﹣，+由于＞，1ex1x=1aωωω，（）∴）＞（）在（+，）上单调递增，∴（0h10ax0x1a′①ω，）＞，∴≥﹣（时，当（+≥）＞，即=01exh1hxh，不符合题意，（（∴）＞（）在（），）上是增函数，∴2 e0=11aa101a=2eeaωω②，，（﹣当+＜，即）＜﹣时，（）++＜2 1x2eae0e10xeωⅰω恒成立）＞（）若（）＜，即≤﹣＜﹣时，在∈（，）上（xhh0x1e′）上单调递减，）在（恒成立，∴即（）＜（，第18页（共22页）x1ehxh1=0 ，符合题意，（（∴存在∈（）＜，）），使得002ea11e02emm=0 eωⅱω，）上存在实数﹣＜（＜﹣（，使得）若时，在（（））＞，，即1mx0hx0 ′ω恒成立，）＜）上，∴在（恒成立，即（（）＜hx1e ）上单调递减，（，）在（∴x1ehxh1=0 ，符合题意，∈（）＜，）），使得（（∴存在00a1b12x1ee为自然对数的底数）（∈（，∈[，，）综上所述，当]＜﹣，都存在时，对任意fx0 成立．（使得）＜2223244-1：[选修请考生在三题中任选一题作答，、如果多做，、则按所做的第一题记分．]几何证明选讲22ABCADBACCCDBC的延．已知在△的平分线，以中，为半径的半圆交为∠为圆心，EADFAEMB=CAEFEFD=43 ．长线于点∠，交：于点，且∠，交，于点：AF=DF Ⅰ；（）求证：AED Ⅱ的余弦值．（）求∠与圆有关的比例线段．【考点】DEFAF=DFAEFⅠ得出；，可以证明△）欲证≌△【分析】（DMMEAEDⅡ，由已知条件，勾股定理，切割线定理的推论可）求∠：的余弦值，即求（以求出．ADBACⅠ，平分∠（）∵【解答】证明：BAD=DAC．∠∴∠B=CAE，∠∵∠DACCAEBADB=．∴∠++∠∠∠BBADADE=，+∵∠∠∠DAEADE=．∠∴∠EA=ED．∴CDE的直径，∵是半圆DFE=90°．∴∠AF=DF…．∴DMⅡ，）连结解：（DEC的直径，∵是半圆DME=90°．∴∠3FEFD=4，∵：：FD=3xFE=4x．∴可设，则DE=5x．由勾股定理，得AF=FD=3x AE=DE=5x，∴AE AD=AMAF??∵5x=AM3x3x3x?）+∴（第19页（共22页）AM=3.6x∴ME=AEAM=5x3.6x=1.4x ﹣∴﹣cosAED==RtDME…．△∠在中，4-4][选修坐标系与参数方程COx23轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线为极点，．在直角坐标系中，以原点2At4cos1=0lθρρ的为参数）的参数方程为：+﹣（，直线，点的极坐标方程为CPQ2l两点．相交于与曲线极坐标为（，，），设直线ClⅠ的普通方程；写出曲线）的直角坐标方程和直线（OPOQAQ AP??Ⅱ?的值．||（|）|求||||参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【考点】C Ⅰ的直角坐标方程，消去参数即）（利用极坐标与直角坐标互化直接写出曲线【分析】l的普通方程；可得到直线Q A3PQttPⅡ的极点对应的参数分别为的直角坐标为（，，），设点（），，，点2122=32ytx．将））+，（（为参数）与（坐标分别为（﹣）OQOPAPtt=1AQ=1APAQ???的值．||联立，得：|||，||||||，转化求解|2122 4xxy1=0CⅠ，即+﹣的直角坐标方程为：【解答】解：（+）曲线22 2y=3x…+﹣）（xly=0 …﹣直线的普通方程为QPtPA3QtⅡ的极坐，点对应的参数分别为）点，的直角坐标为（，），设点，，（21．，（）标分别为（）222 2t1=0xt2y=3t，﹣联立得：）+++将（为参数）与（=1 AQAP=1tt …|由韦达定理得：，|||212 cos=41=0Rθρθρρ联立得：）与圆的极坐标方程将直线的极坐标方程（∈﹣+第20页（共22页）OQ=1 =1OP…ρρ|，由韦达定理得：，即|||21 t=1OPOQ=tAPAQ…ρρ．所以，||||||||||2211 4-5]选修：不等式选讲[ 1x=x24f．）﹣（|．已知函数| 8fx41fx；（）≥（））解不等式+（+abafb1a0f2a1．＜）＞，且|≠|，求证：（））若|（|＜，|（|绝对值不等式的解法；不等式的证明．【考点】=34=x1xfxfxⅠ，分类讨论求得）|+||+【分析】（|）根据（﹣）++（8xfx4f的解集．）+不等式+（（）≥220baa1ba1b1ab1abⅡ，﹣|||＜|，|||＜，可得|（要证的不等式即）|﹣﹣﹣|＞|﹣＞|，根据从而得到所证不等式成立．3=fx4=x1xfxⅠ，++）|+|（|）+（|【解答】解：（）﹣5x32x28x；＜﹣≥时，由﹣≤﹣﹣当，解得83x1fx不成立；≤（≤）≤当﹣时，2x28x3x1．+，解得当≥＞≥时，由35xxfxfx44x．，或所以，不等式}（{）+|（+≥）≤≤﹣的解集为aabfafab1bⅡ．|（）＞|＞|，即（）||﹣﹣|（）a1b1，|因为||＜＜，|2222222210ba1abab=ab2ab12abb=a1，﹣））＞（|所以|﹣|﹣﹣|（（﹣﹣+）﹣（）﹣+ 1abba，故所证不等式成立．|||所以﹣|＞﹣第21页（共22页）2320168日年月第22页（共22页）。
吉林省长春市普通高中2016届高三质量监测(四)数学理科 全国通用
7 6 3 的函数 f ( x ) 的导数，满足 f ′( x ) + 2 f ( x ) > 0 ，且 f ( −1) = 0 ，则 f ( x ) < 0 的
件.
2 6
价.
A. ( −∞ , −1)
B. ( −1,1)
件.
(−∞ , 0)
价. ( −1, +∞)
非选择题，共 9代 本卷包括必考题和选考题两部 ，第 令3 题—以令 题为必考题， 个试题考生都必须作答，第 以以 题—以4 题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题(本大题包括 4 小题， 小题 5 ，共 以代 ，把 确答案填在答题卡中的横线 ). 令3.已知圆 C 的圆心在直线 2 x + y − 1 = 0 ，且 过原点和点 (−1 ,−5) ，则圆 C 的方程为 ___________.
π 5π
令8. 本小题满 令以 某便携式灯 厂的检验室， 要检查该厂生产的某一批次产品在使用时的安全性.检查人员从中随机抽取 5 通过对 加 同的电压 单位 伏特 测得相应电流 单位 安培 ，数据见 表
产品编号 电压(x ) 10 15 20 25 30 电流(y ) 0.6 0.8 1.4 1.2 1.5
1 试估计如对该批次某 产品加 110 伏电压，产生的电流是多少？ 2 依据 行业标准，该类产品电阻在[18,22]内为合格品. 述抽样中得到的频率为合格品概率，再从该 列、期望和方差. 批次产品中随机抽取 5 ，记随机变 X 表示 中合格品个数，求随机变 X 的
附 回 方程
ˆ = bx + a ， 中 b = y
第 5
共 10
2016 四模理科
7
6
B
4,6
吉林省吉林市普通中学高三第四次调研测试理科数学试卷含答案.doc
吉林市普通中学2015—2016学年度高中毕业班第数学（理科）本试卷分第I卷（选#«）和第U卷（非遶择島）两篩分.共24小& 共ISO分.考试时间120 分帜注*««： 1.答題前.考生先将自己的姓名•准考证号码填写清楚・将条形码准确粘贴在考生佰息条形码粘贴区.2. 选择趣必须用2B钳笔填涂：非选择题必须使用0・5亳米黑色字迹的签字笔书写，字体工孩、笔迹清楚・3. 请按照题号顺序在各题目的答题区城内作答.超出答题区域书写的答案无效$在草稿纸.试題卷上答I!无效.4. 作图可先使用铅笔画出・确定后必须用黒色字迹的签字笔描黑・5. 保持卡面清洁.不要折叠.不婴弄破、弄皱.不准使用渝改液、修正带■ 刮纸刀•第I卷一.选择題：本大题共12 毎小& 5分.共60分，在毎小I#给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合>1 = {XIx2 -5x + 6<0},B = {x||x|2},则心如8・A. AB. C2. 在复平面内，复数Z二匕主所对应的点在1 + 1 A・第一象限B.第二彖限3. 抛物线y = -2x2的焦点坐标为A・（£，0） B. （-£,0）44 若满足约束条件《C. B D.［諾C.第三彖限D・第四象限C・(0*D・(0,-|)O□x + y 20 则Z = x-2y的最大值为x-^-2^0A. 4B. 3C. 2D. 16•^牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几 何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似 两个扣合（牟合）在一起方形伞（方盖）.其直观图如下左图，图中四边形是为体现其 直观性所作的辆助线，其实际直观图中四边形不存在，当其正视图和侧视图完全相同• • •时.它的正视图和俯视图分别可能是7.已知实数.2 {1,2,3,466,7,8}・执行如图所示的程序框图.则输出的牙不小于12］的概率为• • •5.已知+= 函®/（x ） = a r 与函数g （x ） = -lo 班x 的图像可能是A. R C. D.B. a,CA. B.D.8. 下列命题正确的个数是：• •① 对于两个分类变与y 的随机变的观测值A 来说，A 越小，判断“X 与y 有 关系“的把握程度越大；② 在相关关系中，若用拟合时的相关指数为用y 2=6x + a«合时的相关指数为R 22 3,且/?/ >貯，则y\的拟合效果好；③ 利用计算机产生0〜1之间的均匀随机数4,则事件“3“-1>0”发生的概率为丰；④“a > 0』〉0 ”是上+ ° 2 2”的充分不必要条件.b aA. 1B. 2C ・ 3D. 49. 己知/t （x pJ1）是单位圆O 上任意一点，将射线Q4绕点O 逆时针旋转彳，与单位圆O 交于点B （x J3y 2）.若x-my x -2y 2（m>0）的最大值为2.则/«的值为的两条渐近线分别相交于点Q,R,且OP^OR = 2OQ （其中O 为坐标原点），则双曲线的离心率为d &B. V10C ・ §D ・亟2311. A.4BC 中，角4・B,C 所对的边分别为a,b,c,已知人£宀=近4且b sin （- + C>-csin （- + B ） = a ,则 AABC 的面积为4412. 设函数/(x)的图像是一条连续不断的曲线，且在实数集尺上存在导数对任2「近1 ,41 A ・—B. '■一・■C. —D ・ .....8 8 2 2A ・1B. 2C. 2^2D ・310.过双曲线C ：疋_£ =1（^>1）的左顶点p 作斜率为1的直线/,若宜线/与双曲线蕙的XE R有/ (-x) + /(x) = x\ 且X€(0t+oo )时・r(x)>x>若/(2-fl)-/(a)^2-2a.则实数a的取值范围是2 卩,炖) B. (Y,1]C・(Y,2] D. {2,-Ko)第n卷本卷包括必考题和选考题两部分.第B題〜第21麵为必考麵・毎个題考生都必須作答.第22題〜第24题为选考题.考生根据要求作答.二.填空fflh本大H共4个小题，毎小題5分・13. 2016年1月1日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意18的调査活动.已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，30岁以下的约2400人，30岁至40岁的约3600人，40岁以上的约6000人・为了了解不同年龄层的女性对生育二孩的意原是否存在显蕃差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容■为N的样本进行调査，己知从30至40岁的女性中抽取的人数为60人，则冲= ______________14. _____________________________________________ 二項式(鱼卫+丄)6展开式中的常数项为____________________________________________15. 己知AB0・|丽|=1,|旋|=2,而•灵二叭则|而|的垠大值为__________________16. 已知在半径为2的球面上有A^BX.D四点，®/l^ = CD = 2・则四面体ABCD的体枳的量大值为_____________高三数学(理科〉试題第4页《共8页)三・解答解答应写出文字说明■证明过程或演算步17.（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列｛耳｝中，叭=7.且成等比数列•（I）求数列的通项公式：I 1 4（U〉数列9爲满足b n = （yf-.设英前Zf项和为G，求证：寸S.＜〒18.（本小题满分12分）某学校为倡导全体学生为特困学生拘At举行“一元钱.一片心，诚信用水”活动•学生在购水处每领取一瓶矿泉水.便自觉向捐款箱中至少投入一元悅现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表：（I）若某天售出8箱水•求預计收益是多少元？（II）期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名.获一等奖学金500元；考入年级201—500名.获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特用生将不获得奖学金.甲、乙两名学生获-等奖学金的概率均为?获二等奖学金的畸均为?不获得奖学金的概率均为右⑴在学生甲获得奖学金条件下.求他获得一等奖学金的概率：（2）己知甲、乙两名学生获得哪个帑第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望.S 5附：---------------- • a = y-6x, x = 6,j= =4420,Yx f2 =182I I19.（本小题满分12分）梯形BDEF 所在平面垂直于平面ABCD 于BD 、EF"BD, EF = DE = |B D,BD= BC = CD = 41A B =、％D = 2, DE 丄 BC （I ）求证：DE ABCD（D ）求平面AEF 与平面CTF 所成的鋭二面角的余弦值20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中.已知4（一24）,凡（2,0）4（£2）』2（*，-2）』（七刃・ 若实数几使得，而;•亟=乔・乔（O 为坐标廉点人（I ）求点P 的轨迹C 的方程，并讨论点P 的轨迹类型:取值范围；若不存在.请说明理由.（U ）当兄=42 时，是否存在过点5（0,2）的直线/与（I ）中点P 的轨迹（7相交于不同的两点E,F（E 在之间）.且二也些2<1?若存在・求出该直线的斜率&的B21・(本小題满分12分)设函数f (x) = X1 - + a In x(1)若b = 2t函ft /(x)有两个极值点x p x2.且x, <x2・求实数“的取值范围)(U>在(I)的条件下.证明：/(勺)>-兰昨；4(III)若对任意66|1,2|,都存在xw(l.e) (E为自然对数的底数》，使得/(*)<0成立,求实数a的収值范国高三数学〈理科)试題第7页(共*页)请考生在22. 23、2J 三JS 中任选一题作答.如果多做.则按所做的第一题记分.22.（本小題満分10分）选修4-1:几何证明选讲已知在中./ID 为ZBAC 的平分线•以C 为圆心.CD 为半径的半BS 交〃（7的延长线于点E.交HD 于点F.交/1E 于点且Zfi = ZC4£,FE:FD^4:3.（I ）求证，AF^DFx （II ）求Z/1£Q 的余技值;23.（本小魁满分10分丿选修4_l 坐标系•与參数方程在直角坐标系中.以臣点O 为极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C 的极坐标方程为p 2-4pcos^ + l = 0t 直线/的參数方程为:（『为>ft ）・点/!的极坐标为（2>/3,-）.设直钱/与曲线T 相交于6P,Q 两点.（I ） 写出曲线（7的直角坐标方程和直线/的普通方程I （II ） ^\AP\-\AQ\>\OP\-\OQ\的值24.（本小题満分10分）选修4-5:不笛式选讲 已知函数/（x ）«|x-l|・ (1 )解不等式：/(x) + /(x + 4)28： (U)若同<1,同V1.且a#0,求证：f(ab)>\a\f(-)ta命題、枝对：乍大博杨万江王玉梅牛国旺李明明孙长青ABD C E吉林市普通中学2015-2016学年度高中毕业班第四次调研测试数学（理科）参考答案及评分标准评分说明：1. 本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要 考査内容比照评分参考制订相应的评分细则.2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数 的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 一、选择题：每小题5分二.填空题：每小题5分13. _______________ 200 _____________14. ______________ 3 ____________三.解答题17•解：（I ）设等差数列｛a n ｝的公差为〃（d 工0）,由已知得尤二 冷9 ------------------------分即（色 + d ）2 =（色—〃）（色 + 6d ），又如=7, dH0，故d = 3 ----------------------- 4分从而a, = 1,数列[a n ｝的通项公式a n =3/2-26分（II ）由（I ）知仇二（-）3/,-2,故S”二厶——卜一2 1 11 --- 88分4 1 4=-[i-（-ri<-, ----------------787分又b n = （*严> °,因此SR 斗故*为v 号15. _______________ V5 ______________16.4^3 101218.解:(1)^ = 工兀X -5xy/=1X x i~5x/=!4420 — 5x6x146""182-5X62-=20 .................. 2分a = y - = 146 - 20x 6 = 26 ............. 3 分当x = 8时，y = 20x8 + 26 = 186 (元)即某天售出8箱水的预计收益是186元.............. 5分(II )(1)设事件A为“学生甲获得奖学金〃，事件3为“学生甲获得一等奖学金〃，则P(B\A) =P(AB)_ 5 _ 6P(A) TT H15即学生甲获得奖学金的条件下，获得-等奖学金的概率为詈7分⑵ X 的取值可能为0300,500,600,800,1000P(X=0) = —X—=—15 15 225P(X=500) = C*-x—=—♦5 15 75 P(X=800) = C*-x- = —~3 5 15i 4 8 p(X=300) = Ci-x—=—「3 1545 P(X=600) = (-)2 =-3 92 4P(X = 1000) = (-)2 = —5 25X03005006008001000p1*******225457591525即X的分布列为X的数学期望.............. i o分£(X) = 0x—+ 300x—+ 500x—+ 600x- + 800x—+ 1000X—= 600 22545 75 9 15 25 (元) ........... 12分19.解:(I)连接AC交BD于O・.・ BD = BC = CD且AB = AD y:. AC丄BD由于平面BDEF丄平面ABCD,交线为BD,且ACu平面ABCD:.AC丄平面BDEFv DE u 平面BDEF, /. DE丄AC又 /. DE丄BC 且ACC\BC = C f:. DE丄平面ABCD ....................M・・EF//BD,EF =丄BD,且O是BD中点，・・・ODEF是平行四边形2分别以OA,OB,OF 为兀轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A(l, 0,0), C(-V3,0,0), E(0,—1,1), F(0,0,1)AH ELAF 二 0—*____________________________________________________ -得m = (1,0,1) m「EF = 0设平面CEF 的法向量并=(x, y, z),由= °得方=(1,0,-能)H LEF = 0--- rridn >/2-\/6•\ COS V 772, n >= 1一1 IT = ---m||n| 420.解：解：(I)0/10B2=/—4，A/V12P = x2—4 + y2由已知得：A 2(X 2-4) = X 2-4 + /,即(1 - A 2 )x 2+ /=4(1-22)为点P 的轨迹C 的方程当久=±1时，方程为y = 0,轨迹C 为一条直线 当2 = 0时，方程为x 2 + y 2=4,轨迹C 为圆当一 Iv/lvO 或OvQv 1时，方程为乂 +4 4(1-A 2)K 2 2(II)汐笃时，点P 的轨迹C 的方程气+才】,即-<^|<1 ,由题意可得西,兀2同号2卜2〔亠I即平面AEF 与平面CEF 所成的锐二面角的余弦值为V6-V2 _4-12分y 2=1 ，轨迹C 为椭2当心1或小时,方程为亍4(宀)T ,轨迹C 为双曲s设E(x p ^),F(x 2,y 2)・・・才贬、'兀2丿亠12 x2由题意得直线EF的斜率存在，设其方程为y = kx^2y = kx + 22 9u 〔4 2得：（1 + 2疋）宀8也+ 4 = 0△ = 64/—16(1 + 2疋)>0•••叫SkX, + = -------- 7 1 ' 1+2疋设込L 二加，贝Ij （加+ 1）兀2 兀28k(加+ 1尸_ 16疋 (1 + 2疋尸••• _ 64/ m 1 + 2/出匚+丄+ 2,mV-<77?<1, .-.4</7? + —+ 2<-2 m 2即・・.4<卑V?,••丄v 宀21 +2 疋 2 2 14 .•.展（丰,雪山（一習,_¥）为所求21414212分2L ( I )由已知，b = 2 时，/(x) = x 2-2x + alnx > /(x)的定义域为(0，+x)…c a 2x 2-2x + a 求导数得：f (x) =2x-2 + - =xV /（X ）有两个极值点x p x 2 > /z（x ） = 0有两个不同的正根壬，兀2 '9 1故 2xr -2x + a = 0的判别式 A = 4-8^z >0 > 即 a< —2 / 1)2丿且召+兀2=1，兀也二彳>°，所以d 的取值范围为0,- 乙I Z (II)由(I )得，*<尤2 v 1 且 /z (x 2) = 0，得 a = Zx 2- 2%2A /(x 2) = X ；-2%2 +(2x 2-2x2)lnx 2令 F(t) = t 2-2r + (2t-2r)lnt,(-<t<l) 2则 F ,(t) = 2(l-2t)lnt当te9时，F(t)>0，・•・F(t)在上是增函数<2 )(2丿(HI)令g(b) = -x/? + x 2 + 6zlnx,/?e [1,2]由于xw(l,£),所以g(b)为关于b 的递减的一次函数根据题意，对任意处[1,2],都存在* (1,€)( W 为自然对数的底数)，使得/(兀)<0 成立 则 xw (1,e) ±g max (b) = g(l) = -X + X 2 + czIn X< 0有解 令/i(x) = -x + x 2 +ainx ，则只需存在兀(岸(1,幺)使得A(x 0)< 0即可Y_ Y [ zy由于//(x) = -------------- , 令0(x) = 2X 2-X + Q ,XG (1,幺)，0(x) = 4x-l>O・•・0(x)在(1, £)上单调递增，・•・0(x) > °(1) = 1 + a ① 当 1 + >0,即 a>-1 时，°(x) >0,.・・ h'(x) > 0/. A(x)在(l,w)上是增函数，・・・/2(x)>h(l) = 0,不符合题意②当 1 + ov0,即dv-l 时，^(l) = l + a<0, 03) = 2才 一w + d(i)若0(e)vO,即 a<2e 2-e< 一1 时，在 xe (l,e)±^(x) > 0 恒成立 即//(x) v 0恒成立，・•・/z(x)在(1,幺)上单调递减，・•・存在兀0^ (1,幺)使得/. /?(x o )<h(l) = O,符合题意(ii)若0(e)>O,即2e 2-e<a< —1时，在(1,幺)上存在实数加，使得0(m) = O・••在(1,加)上，0(x)v 0恒成立，即"(x)v 0恒成立・•・/z(x)在(1, e)上单调递减，・•・ F(t) > F(|)=-3-21n2 4A /(X 2) = F(X 2)>-3 + 21n2""4 (7)・・・存在兀0 w (1，w)，使得加X 。
吉林省长春市普通高中2016届高三质量监测(四)理综物理试题 含答案
长春市普通高中2016届高三质量监测（四）理科综合能力测试第Ⅰ卷二、选择题：本题共8小题，每小题6分.在每小题给出的四个选项中，第14~18小题只有一项符合题目要求，第19~21小题有多项符合题目要求。
全部选对的得6分,选对但不全的得3分，有选错的得0分.14．a、b两个质点相对于同一参考系在同一直线上运动的t x-图象如图所示。
关于质点a、b的运动，下列说法正确的是A．质点a比质点b晚1 s开始运动B．a、b两个质点运动的出发点相距5mC．在0～3 s时间内，质点a、b的位移相同D．质点a运动的速率比质点b运动的速率大15．如图所示，质量为m的木块在水平恒力F作用下静止在斜面体上，斜面体倾角为α，质量为M，静止在水平桌面上。
下列说法正确的是A．木块受到的摩擦力方向沿斜面向下B．木块对斜面体的压力大小是αmgcosC．桌面对斜面体的摩擦力大小是零D．桌面对斜面体的支持力大小是g m(+M)16．如图所示，电路中三个电阻R1、R2和R3的阻值分别为R、2R 和4R.当开关S1断开,S2闭合时，电源输出功率为P；当开关S1闭合，S2断开时,电源输出功率也为P；则电源电动势和内阻分别为A．PR3，R23,R4B．PRC．PR9，R29，R4D．PR17．2016年2月11日，美国科学家宣布探测到引力波的存在,引力波的发现将为人类探索宇宙提供新视角，这是一个划时代的发现。
在如图所示的双星系统中，A、B两个天体在相互之间的引力作用下绕AB连线上的某一点O做匀速圆周运动,已知天体A的质量约为太阳质量的25倍，天体B的质量约为太阳质量的40倍,两天体之间的距离L=2×102km，太阳质量M=2×1030kg,万有引力常量G=6。
67×10—11N·m2／kg2。
若两天体在环绕过程中辐射出引力波的频率与两天体做圆周运动的频率具有相同的数量级，则根据上述信息估算该引力波频率的数量级是（可近似认为102≈π）A．108 Hz B．104 HzC．106 Hz D．102 Hz18．现代科学研究中常要用到高速电子，电子感应加速器就是利用感生电场使电子加速的设备。
吉林省长春市普通高中2016届高三质量监测(二)理科
吉林省长春市普通高中2016届高三质量监测（二）理科一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知复数，在复平面内对应的点关于直线对称，且，则A. B. C. D.2. 若实数且，则下列不等式恒成立的是A. B. C. D.3. 设，，则A. B.C. D.4. 运行如图所示的程序框图，则输出的值为A. B. C. D.5. 已知等差数列的前项和为，且，当取最大值时，的值为A. B. C. D.6. 几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. C. D.7. 已知变量服从正态分布，下列概率与相等的是A. B.C. D.8. 函数与的图象关于直线对称，则可能是A. B. C. D.9. 已知为圆的直径，点为直线上任意一点，则的最小值为A. B. C. D.10. 已知函数满足，当时，，当时，上的函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是A. B. C. D.11. 小明试图将一箱中的瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出瓶或瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有种．A. B. C. D.12. 过双曲线的右支上一点，分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，，则的最小值为A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 已知实数，满足则的最小值为．14. 已知向量，，则当时，的取值范围是．15. 已知，展开式的常数项为，则．16. 已知数列中，对任意的，若满足（为常数），则称该数列为阶等和数列，其中为阶公和；若满足（为常数），则称该数列为阶等积数列，其中为阶公积．已知数列为首项为的阶等和数列，且满足；数列为公积为的阶等积数列，且，设为数列的前项和，则．三、解答题（共8小题；共104分）17. 已知函数．（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；（2）已知的三个内角，，的对边分别为，，，其中，若锐角满足，且，求的面积．18. 近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，年双期间，某购物平台的销售业绩高达亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务评价体系．现从评价系统中选出次成功的交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为，对服务的好评率为，其中对商品和服务都作出好评的交易为次．（，其中）（1）是否可以在犯错误概率不超过的前提下，认为商品好评与服务好评有关?（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量：①求对商品和服务全好评的次数的分布列（概率用组合数算式表示）；②求的数学期望和方差．19. 在四棱锥中，底面是菱形，平面，点为棱的中点，过作与平面平行的平面与棱，，相交于，，，．（1）证明：为的中点；（2）若，且二面角的大小为，，的交点为，连接．求三棱锥外接球的体积．20. 椭圆的左、右焦点分别为，，且离心率为，点为椭圆上一动点，内切圆面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为，过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，连接，并延长分别交直线于，两点，以为直径的圆是否恒过定点?若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．21. 已知函数的图象在点处的切线与直线平行．（1）求实数的值及的极值；（2）若对任意，有，求实数的取值范围．22. 如图，过圆外一点作圆的切线，为切点，过的中点的直线交圆于，两点，连接并延长交圆于点，连接交圆于点，若＝．（1）求证：；（2）求证：四边形是平行四边形．23. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为是参数，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）若曲线和曲线交于，两点，求的最大值和最小值．24. 设函数．（1）若不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．答案第一部分1. D 【解析】因为复数，在复平面内对应的点关于直线对称，所以，所以．2. C 【解析】根据函数的图象与不等式的性质可知：当时，．3. C 【解析】，或，，．4. A 【解析】由程序框图可知，输出的结果是首项为，公比也为的等比数列的前项和，即为．5. B【解析】由题意，不妨设，，则公差，其中，因此，，即当时，取得最大值．6. C 【解析】该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥所得，所以其体积为．7. B 【解析】由变量服从正态分布可知，为其密度曲线的对称轴，因此．8. A 【解析】由题意，函数的图象关于直线对称的图象对应的函数为，利用诱导公式将其化为余弦表达式为，令，则．9. A 【解析】由即为，其中为圆外点到圆心的距离，为半径，因此当取最小值时，的取值最小，可知，故的最小值为．10. D【解析】由题意可知，函数在上的解析式为又由可知的图象关于点对称，作出函数在上的大致图象如图所示．当时，，联立整理得，，令，可得，得．因此的取值范围是．11. C 【解析】由题可知，取出酒瓶的方式有类，第一类：取次，每次取出瓶，只有种方式；第二类：取次，每次取出瓶，只有种方式；第三类：取次，次瓶和次瓶，取法为，为种．共计种取法．12. B 【解析】由题可知，，因此第二部分13.【解析】根据不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，令，可化为，因此，当直线过点时，取得最小值．14.【解析】由题意，，，因为，故所求范围为．15.【解析】由的常数项为，可得，因此原式为16.【解析】由题意可知，，，，，，，，，，，，，，，又是阶等和数列，因此该数列将会照此规律循环下去，同理，，，，，，，，，，，，，，，又是阶等积数列，因此该数列将会照此规律循环下去，由此可知对于数列，每项循环一次，易求出，因此中有组循环结构，故．第三部分17. （1）所以最小正周期为．由，解得：，即的单调递减区间为．（2）由，又因为为锐角，所以，由正弦定理可得，又因为，所以，由余弦定理得，，所以，所以．18. （1）由题意可得关于商品和服务评价的列联表如下：对服务好评对服务不满意合计对商品好评对商品不满意合计，可以在犯错误概率不超过的前提下，认为商品好评与服务好评有关．（2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，且的取值可以是，，，，，．其中；；；；；．①的分布列为：②由于，则；．19. （1）连接．平面 平面，平面平面平面平面即为的中位线，即为的中点．（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，从而，，设平面的法向量为，平面的法向量为，则，又，，则或（舍）．由题可知，，，，即三棱锥的外接球为以，，为长、宽、高的长方体的外接球，则该长方体的体对角线长为，即外接球半径为．则三棱锥外接球的体积为．20. （1）已知椭圆的离心率为，不妨设，，即，其中，又内切圆面积取最大值时，半径取最大值为，由，其中为的周长，由为定值，因此要使也取得最大值，即点为短轴端点，因此，，解得，则椭圆的方程为．（2）设直线的方程为，，，联立可得，则，．直线的方程为，直线的方程为，则，，假设以为直径的圆恒过定点，则，，，，即，，即．若以为直径的圆恒过定点，即不论为何值时，恒成立，因此，或，即恒过定点或．21. （1）由题意得，又，解得．令，解得，即有极小值为．（2）由，可得，令，则，其中，，又，所以，即，因此实数的取值范围是．22. （1）由题意可知，，又为的中点，则，即，又因为，因此，则，即由可得，即，则．（2）由（）知，又，则，可得，由，，则，可得，因此四边形是平行四边形．23. （1）对于曲线有，即，因此曲线的直角坐标方程为，其表示一个圆．（2）联立曲线与曲线的方程可得：，因此的最小值为，最大值为．24. （1）当时，恒成立，当时，要保证恒成立，即的最小值，解得，故．（2）由题意可知，函数的图象恒在直线的上方，画出两个函数图象可知，当时，符合题意，当时，只需满足点不在的下方即可，所以，即．综上，实数的取值范围是．第11页（共11 页）。
吉林省吉林市高考数学四模试卷理(含解析)
2016年吉林省吉林市高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣5x+6＜0}，B={x||x|≤2}，则∁R A∩B=（）A．A B．C R A C．B D．C R B2．在复平面内，复数z=对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．抛物线y=﹣2x2的焦点坐标是（）A．（﹣，0）B．（﹣1，0）C．（0，﹣）D．（0，﹣）4．若变量x，y满足约束条件则z=x﹣2y的最大值为（）A．4 B．3 C．2 D．15．已知lga+lgb=0，函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x的图象可能是（）A． B． C． D．6．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图1，图2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（）A．a，b B．a，c C．c，b D．b，d7．已知实数x∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于121的概率为（）A．B．C．D．8．下列命题正确的个数是（）①对于两个分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大；②在相关关系中，若用y1=c1e拟合时的相关指数为R12，用y2=bx+a拟合时的相关指数为R22，且R12＞R22，则y1的拟合效果好；③利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为；④“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分不必要条件．A．1 B．2 C．3 D．49．已知A（x1，y1）是单位圆O上任意一点，将射线OA绕点O逆时针旋转，与单位圆O交于点B（x2，y2），若x=my1﹣2y2（m＞0）的最大值为2，则m的值为（）A．1 B．2 C．2 D．310．过双曲线C：x2﹣的左顶点P作斜率为1的直线l，若l与双曲线C的两条渐近线分别相交于点Q，R，且，则双曲线C的离心率是（）A．B． C．D．11．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，a=且bsin（+C）﹣csin（+B）=a，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，且x ∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围为（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1] C．（﹣∞，2] D．[2，+∞）二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．2016年1月1日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意愿的调查活动．已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，30岁以下的约2400人，30岁至40岁的约3600人，40岁以上的约6000人．为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为N的样本进行调查，已知从30岁至40岁的女性中抽取的人数为60人，则N= ．14．二项式（x2+）6展开式中的常数项为．15．已知四边形ABCD中，•=0，||=1，||=2，•=0，则||的最大值为．16．在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为．三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知公差不为零的等差数列{a n}中，a3=7，且a2，a4，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}满足b n=（），设其前n项和为S n，求证：≤S n＜．18．某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续5天的售（Ⅱ）期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级201﹣500名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生将不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为．（1）在学生甲获得奖学金条件下，求他获得一等奖学金的概率；（2）已知甲、乙两名学生获得哪个等级的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望附： =， =﹣， =6， =146， x i y i=4420， x i2=182．19．梯形BDEF所在平面垂直于平面ABCD于BD，EF∥BD，EF=DE=BD，BD=BC=CD=AB=AD=2，DE⊥BC．（Ⅰ）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值．20．在平面直角坐标系中，已知A1（﹣2，0），A2（2，0），B1（x，2），B2（x，﹣2），P（x，y），若实数λ使得λ2•=•（O为坐标原点）．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程，并讨论点P的轨迹类型；（Ⅱ）当λ=时，是否存在过点B（0，2）的直线l与（Ⅰ）中点P的轨迹C相交于不同的两点E，F （E在B，F之间），且＜＜1？若存在，求出该直线的斜率k的取值范围；若不存在，请说明理由．21．设函数f（x）=x2﹣bx+alnx．（Ⅰ）若b=2，函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求实数a的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：f（x2）＞﹣；（Ⅲ）若对任意b∈[1，2]，都存在x∈（1，e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，FE：FD=4：3．（Ⅰ）求证：AF=DF；（Ⅱ）求∠AED的余弦值．[选修4-4坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+1=0，直线l的参数方程为：（t为参数），点A的极坐标为（2，），设直线l与曲线C相交于P，Q两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）求|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．2016年吉林省吉林市高考数学四模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣5x+6＜0}，B={x||x|≤2}，则∁R A∩B=（）A．A B．C R A C．B D．C R B【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】分别求出A与B中不等式的解集，确定出A与B，求出A补集与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣2）（x﹣3）＜0，解得：2＜x＜3，即A=（2，3），∴∁R A=（﹣∞，2]∪[3，+∞），由B中不等式解得：﹣2≤x≤2，即B=[﹣2，2]，则∁R A∩B=[﹣2，2]=B，故选：C．2．在复平面内，复数z=对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质化简复数z等于﹣1﹣3i，它在复平面内对应点的坐标为（﹣1，﹣3），从而得出结论．【解答】解：∵复数===﹣1﹣3i，它在复平面内对应点的坐标为（﹣1，﹣3），故复数对应的点位于在第三象限，故选C．3．抛物线y=﹣2x2的焦点坐标是（）A．（﹣，0）B．（﹣1，0）C．（0，﹣）D．（0，﹣）【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线y=﹣2x2的方程化为：．即可得出．【解答】解：抛物线y=﹣2x2的方程化为：．∴焦点坐标为．故选：C．4．若变量x，y满足约束条件则z=x﹣2y的最大值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x ﹣2y对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当x=2且y=0时，z达到最大值2．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（2，0），B（1，1），C（3，1）．设z=F（x，y）=x﹣2y，将直线l：z=x﹣2y进行平移，观察直线在x轴上的截距变化，可得当l经点A时，目标函数z达到最大值，∴z最大值=F（2，0）=3．故选：C5．已知lga+lgb=0，函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x的图象可能是（）A． B． C． D．【考点】对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质．【分析】先求出a、b的关系，将函数g（x）进行化简，得到函数f（x）与函数g（x）的单调性是在定义域内同增同减，再进行判定．【解答】解：∵lga+lgb=0∴ab=1则b=从而g（x）=﹣log b x=log a x，f（x）=a x与∴函数f（x）与函数g（x）的单调性是在定义域内同增同减结合选项可知选B，故答案为B6．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图1，图2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（）A．a，b B．a，c C．c，b D．b，d【考点】简单空间图形的三视图．【分析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案．【解答】解：∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．∴其正视图和侧视图是一个圆，∵俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选：A．7．已知实数x∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于121的概率为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】由程序框图的流程，写出前三项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于121得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于121的概率．【解答】解：经过第一次循环得到x=3x+1，n=2，经过第二循环得到x=3（3x+1）+1，n=3，经过第三次循环得到x=3[3（3x+1）+1]+1，n=3此时输出x，输出的值为27x+13，令27x+13≥121，得x≥4，由几何概型得到输出的x不小于121的概率为：．故选：B．8．下列命题正确的个数是（）①对于两个分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大；②在相关关系中，若用y1=c1e拟合时的相关指数为R12，用y2=bx+a拟合时的相关指数为R22，且R12＞R22，则y1的拟合效果好；③利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为；④“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分不必要条件．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据独立性检验的进行判断，②根据相关关系相关指数为R22，的意义进行判断，③根据几何概型的概率公式进行求解．④根据充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：①根据两个分类变量X与Y的随机变量k2的观测值k来说，k2越大，判断“X与Y有关系”的把握程度越大，故①错误，②在相关关系中，若用y1=c1e拟合时的相关指数为R12，用y2=bx+a拟合时的相关指数为R22，且R12＞R22，则y1的拟合效果好；正确③利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，由3a﹣1＞0得a＞，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率P==；故③正确，④当“a＞0，b＞0”时“+≥2成立，当a＜0，b＜0时， +≥2也成立，则“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分不必要条件，故④错误，故正确的是②③，故选：B．9．已知A（x1，y1）是单位圆O上任意一点，将射线OA绕点O逆时针旋转，与单位圆O交于点B（x2，y2），若x=my1﹣2y2（m＞0）的最大值为2，则m的值为（）A．1 B．2 C．2 D．3【考点】三角函数的化简求值；任意角的三角函数的定义．【分析】设A（cosα，sinα），则B（cos（α+），sin（α+）），则my1﹣2y2=msinα﹣2sin（α+），整理后利用辅助角公式化积，再由x=my1﹣2y2（m＞0）的最大值为2列关于m的等式求得m的值．【解答】解：A（x1，y1）是单位圆上任一点，设A（cosα，sinα），则B（cos（α+），sin（α+）），即y1=sinα，y2=sin（α+），则my1﹣2y2=msinα﹣2sin（α+）=msinα﹣2（）=（m﹣1）sinα﹣cosα=sin（α+β），∵m＞0，my1﹣2y2的最大值为2，∴，解得m=2．故选：B．10．过双曲线C：x2﹣的左顶点P作斜率为1的直线l，若l与双曲线C的两条渐近线分别相交于点Q，R，且，则双曲线C的离心率是（）A．B． C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先由双曲线线方程可得P的坐标和直线l的方程与双曲线的渐近线联立求得Q和R的横坐标，进而根据且，求得b的值，进而根据c=求得c，最后根据离心率公式答案可得．【解答】解：由题可知P（﹣1，0）所以直线L的方程为y=x+1，两条渐近线方程为y=﹣bx或y=bx联立y=x+1和y=﹣bx得Q的横坐标为x Q=﹣同理得R的横坐标为x R=，∵，∴（﹣1，0）+（，y R）=2（﹣，y Q），∴﹣1+=﹣⇒b=3，c==，∴e==，故选B．11．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，a=且bsin（+C）﹣csin（+B）=a，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．【考点】三角函数的化简求值；正弦定理．【分析】由已知化简整理求得sin（B﹣C）=1，结合角的范围得到B，C的值，再利用正弦定理求得b，代入三角形面积公式求得答案．【解答】解：由bsin（+C）﹣csin（+B）=a，A=，得：sinBsin（）﹣sinCsin（）=sinA．sinB（+）﹣sinC（sinB+cosB）=，整理得sinBcosC﹣cosBsinC=1，即sin（B﹣C）=1，∵A=，∴B+C=，①即0＜B＜，0＜C＜，∴﹣＜﹣C＜0，则﹣＜B﹣C＜，从而B﹣C=．②联立①②解得B=，C=．sin=，sin=．由，得=．∴．故选：C．12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，且x ∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围为（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1] C．（﹣∞，2] D．[2，+∞）【考点】导数的运算．【分析】令g（x）=f（x）﹣x2，由g（﹣x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数．利用导数可得函数g（x）在R上是增函数，f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，即g（2﹣a）≥g（a），可得 2﹣a≥a，由此解得a的范围．【解答】解：∵f（﹣x）+f（x）=x2，∴f（x）﹣x2+f（﹣x）﹣x2=0，令g（x）=f（x）﹣x2，∵g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2=0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．∴x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＞0，故函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是增函数．f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，等价于f（2﹣a）﹣≥f（a）﹣，即g（2﹣a）≥g（a），∴2﹣a≥a，解得a≤1，故选：B．二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．2016年1月1日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意愿的调查活动．已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，30岁以下的约2400人，30岁至40岁的约3600人，40岁以上的约6000人．为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为N的样本进行调查，已知从30岁至40岁的女性中抽取的人数为60人，则N= 200 ．【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：由题意可得=，故N=200．故答案为：200．14．二项式（x2+）6展开式中的常数项为 3 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，【解答】解：二项式（x2+）6展开式的通项公式为T r+1=•（x2）6﹣r•x﹣r=（）6﹣r••x12﹣3r，令12﹣3r=0，求得r=4，故展开式中的常数项为（）2•=3，故答案为：3．15．已知四边形ABCD中，•=0，||=1，||=2，•=0，则||的最大值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】如图所示，•=0，•=0，可得AB⊥BC，AD⊥DC．因此四边形ABCD内接于圆O．可得||的最大值为直径AC．【解答】解：如图所示，∵•=0，•=0，∴AB⊥BC，AD⊥DC．∴四边形ABCD内接于圆O．可得⊙O的直径AC==．则||的最大值为直径．故答案为：．16．在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为．【考点】球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB于P，设点P到CD的距离为h，则当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2，从而得到四面体ABCD的体积的最大值即可．【解答】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB与P，设点P到CD的距离为h，则有 V=×2×h××2，当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2，则四面体ABCD的体积的最大值为．故答案为：．三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知公差不为零的等差数列{a n}中，a3=7，且a2，a4，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}满足b n=（），设其前n项和为S n，求证：≤S n＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）设等差数列{a n}的公差为d≠0，由a3=7，且a2，a4，a9成等比数列．可得a1+2d=7，=（a1+d）（a1+8d），联立解得即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：b n=（）==4×．再利用等比数列的前n项和公式、数列的单调性即可得出．【解答】（I）解：设等差数列{a n}的公差为d≠0，∵a3=7，且a2，a4，a9成等比数列．∴a1+2d=7， =a2•a9，即=（a1+d）（a1+8d），联立解得d=3，a1=1．∴数列{a n}的通项公式a n=3n﹣2．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知：b n=（）==4×．∴S n==∈．∴≤S n＜．18．某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续5天的售（Ⅱ）期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级201﹣500名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生将不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为．（1）在学生甲获得奖学金条件下，求他获得一等奖学金的概率；（2）已知甲、乙两名学生获得哪个等级的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望附： =， =﹣， =6， =146， x i y i=4420， x i2=182．【考点】线性回归方程；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）求出、，从而求出回归方程，将x=8代入求出即可；（Ⅱ）设事件A为“学生甲获得奖学金”，事件B为“学生甲获得一等奖学金”，求出概率即可；（Ⅲ）计算对应的P（X）的值，求出其分布列和期望值即可．【解答】解：（Ⅰ） ===20…=﹣x=146﹣20×6=26…∴=20x=26，当x=8时， =20×8+26=186（元）即某天售出8箱水的预计收益是186元…（Ⅱ）（1）设事件A为“学生甲获得奖学金”，事件B为“学生甲获得一等奖学金”，则P===，即学生甲获得奖学金的条件下，获得一等奖学金的概率为…（2）X的取值可能为0，300，500，600，800，1000P（X=0）=×=，P（X=300）=××=，P（X=500）=××=，P（X=600）==，P（X=800）=××=，P（X=1000）==，…X的数学期望E（X）=0×+300×+500×+600×+800×+1000×=600（元）…19．梯形BDEF所在平面垂直于平面ABCD于BD，EF∥BD，EF=DE=BD，BD=BC=CD=AB=AD=2，DE⊥BC．（Ⅰ）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连接AC，交BD于O，推导出AC⊥BD，从而AC⊥平面BDEF，进而DE⊥AC，再由DE⊥BC，能证明DE⊥平面ABCD．（Ⅱ）分别以OA，OB，OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连接AC，交BD于O，∵BD=BC=CD，且AB=AD，∴AC⊥BD，∵平面BDEF⊥平面ABCD，交线为BD，且AC⊂平面ABCD，∴AC⊥平面BDEF，∵DE⊂平面BDEF，∴DE⊥AC，又DE⊥BC，且AC∩BC=C，∴DE⊥平面ABCD．…解：（Ⅱ）∵EF∥BD，EF=BD，且O是BD中点，∴ODEF是平行四边形，∴OF∥DE，∴OF⊥平面ABCD，…分别以OA，OB，OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，A（1，0，0），C（﹣，0，0），E（0，﹣1，1），F（0，0，1），=（﹣1，0，1），=（0，1，0），=（），设平面AEF的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），…设平面CEF的法向量，则，取a=1，得=（1，0，﹣），…∴cos＜＞===．即平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值为．…20．在平面直角坐标系中，已知A1（﹣2，0），A2（2，0），B1（x，2），B2（x，﹣2），P（x，y），若实数λ使得λ2•=•（O为坐标原点）．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程，并讨论点P的轨迹类型；（Ⅱ）当λ=时，是否存在过点B（0，2）的直线l与（Ⅰ）中点P的轨迹C相交于不同的两点E，F （E在B，F之间），且＜＜1？若存在，求出该直线的斜率k的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】轨迹方程；平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）由题设条件，知（1﹣λ2）x2+y2=4（1﹣λ2），由此进行分类讨论能得到P点的轨迹类型．（Ⅱ）当λ=时，点P的轨迹C的方程为=1．S△OBE：S△OBF=|x1|：|x2|，由＜＜1，即＜＜1．设直线EF直线方程为y=kx+2，联立方程可得，：（1+2k2）x2+8kx+4=0，由此能够推导出直线的斜率的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由λ2•=•得：λ2（x2﹣4）=x2﹣4+y2，即（1﹣λ2）x2+y2=4（1﹣λ2）为点P的轨迹C的方程…①λ=±1时方程为y=0轨迹为一条直线，…②λ=0时方程为x2+y2=4轨迹为圆，…③λ∈（﹣1，0）∪（0，1）时方程为+=1轨迹为椭圆，…④λ∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时方程为﹣=1轨迹为双曲线 …（Ⅱ）当λ=时，点P 的轨迹C 的方程为=1 …设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），∴S △OBE ：S △OBF =|x 1|：|x 2|由＜＜1，即＜＜1，由题意可得x 1，x 2同号，∴＜＜1…由题意得直线EF 的斜率存在，设其方程为y=kx+2 代入椭圆方程得：（1+2k 2）x 2+8kx+4=0∵△=64k 2﹣16（1+2k 2）＞0，∴k 2＞，x 1+x 2=﹣，x 1x 2=…设，则，∴，∴，，∵，∴即，∴，∴k ∈（，）∪（，）为所求…21．设函数f （x ）=x 2﹣bx+alnx ．（Ⅰ） 若b=2，函数f （x ）有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，求实数a 的取值范围；（Ⅱ） 在（Ⅰ）的条件下，证明：f （x 2）＞﹣；（Ⅲ） 若对任意b ∈[1，2]，都存在x ∈（1，e ）（e 为自然对数的底数），使得f （x ）＜0成立，求实数a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（Ⅰ）求出f （x ）的导数，结合二次函数的性质求出a 的范围即可；（Ⅱ）求出f （x 2）=﹣2x 2+（2x 2﹣2）lnx 2，令F （t ）=t 2﹣2t+（2t ﹣2t 2）lnt ，（＜t ＜1），得到F （t ）=2（1﹣2t ）lnt ，根据函数的单调性求出F （t ）＞F （），从而证出结论；（Ⅲ）令g（b）=﹣xb+x2+alnx，b∈[1，2]，得到在x∈（1，e）上g（b）max=g（1）=﹣x+x2+alnx ＜0有解，令h（x）=﹣x+x2+alnx，通过讨论a的范围，求出函数的单调性，从而确定a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知，b=2时，f（x）=x2﹣2x+alnx，f（x）的定义域为（0，+∞），求导数得：f′（x）=，∵f（x）有两个极值点x1，x2，f′（x）=0有两个不同的正根x1，x2，故2x2﹣2x+a=0的判别式△=4﹣8a＞0，即a＜，且x1+x2=1，x1•x2=＞0，所以a的取值范围为（0，）；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，＜x2＜1且f′（x2）=0，得a=2x2﹣2，∴f（x2）=﹣2x2+（2x2﹣2）lnx2，令F（t）=t2﹣2t+（2t﹣2t2）lnt，（＜t＜1），则F（t）=2（1﹣2t）lnt，当t∈（，1）时，F′（t）＞0，∴F（t）在（，1）上是增函数∴F（t）＞F（）=，∴f（x2）＞﹣；（Ⅲ）令g（b）=﹣xb+x2+alnx，b∈[1，2]，由于x∈（1，e），所以g（b）为关于b的递减的一次函数，根据题意，对任意b∈[1，2]，都存在x∈（1，e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立，则x∈（1，e）上g（b）max=g（1）=﹣x+x2+alnx＜0有解，令h（x）=﹣x+x2+alnx，则只需存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜0即可，由于h′（x）=，令ω（x）=2x2﹣x+a，x∈（1，e），ω′（x）=4x﹣1＞0，∴ω（x）在（1，e）上单调递增，∴ω（x）＞ω（1）=1+a，①当1+a≥0，即a≥﹣1时，ω（x）＞0，∴h′（x）＞0，∴h（x）在（1，e）上是增函数，∴h（x）＞h（1）=0，不符合题意，②当1+a＜0，即a＜﹣1时，ω（1）=1+a＜0，ω（e）=2e2﹣e+a，（ⅰ）若ω（e）＜0，即a≤2e2﹣e＜﹣1时，在x∈（1，e）上ω（x）＞0恒成立即h′（x）＜0恒成立，∴h（x）在（1，e）上单调递减，∴存在x0∈（1，e），使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意，（ⅱ）若ω（e）＞0，即2e2﹣e＜a＜﹣1时，在（1，e）上存在实数m，使得ω（m）=0，∴在（1，m）上，ω（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立∴h（x）在（1，e）上单调递减，∴存在x0∈（1，e），使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意，综上所述，当a＜﹣1时，对任意b∈[1，2]，都存在x∈（，1e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，FE：FD=4：3．（Ⅰ）求证：AF=DF；（Ⅱ）求∠AED的余弦值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）欲证AF=DF，可以证明△AEF≌△DEF得出；（Ⅱ）求∠AED的余弦值，即求ME：DM，由已知条件，勾股定理，切割线定理的推论可以求出．【解答】证明：（Ⅰ）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC．∵∠B=∠CAE，∴∠BAD+∠B=∠DAC+∠CAE．∵∠ADE=∠BAD+∠B，∴∠ADE=∠DAE．∴EA=ED．∵DE是半圆C的直径，∴∠DFE=90°．∴AF=DF．…解：（Ⅱ）连结DM，∵DE是半圆C的直径，∴∠DME=90°．∵FE：FD=4：3，∴可设FE=4x，则FD=3x．由勾股定理，得DE=5x．∴AE=DE=5x，AF=FD=3x∵AF•AD=AM•AE∴3x（3x+3x）=AM•5x∴AM=3.6x∴ME=AE﹣AM=5x﹣3.6x=1.4x在Rt△DME中，cos∠AED==．…[选修4-4坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+1=0，直线l的参数方程为：（t为参数），点A的极坐标为（2，），设直线l与曲线C相交于P，Q两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）求|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）利用极坐标与直角坐标互化直接写出曲线C的直角坐标方程，消去参数即可得到直线l的普通方程；（Ⅱ）点A的直角坐标为（3，），设点P，Q对应的参数分别为t1，t2，点P，Q的极坐标分别为（），（）．将（t为参数）与（x﹣2）2+y2=3联立，得：t1t2=1，|AP||AQ|=1，转化求解|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为：x2+y2﹣4x+1=0，即（x﹣2）2+y2=3…直线l的普通方程为x﹣y=0 …（Ⅱ）点A的直角坐标为（3，），设点P，Q对应的参数分别为t1，t2，点P，Q的极坐标分别为（），（）．将（t为参数）与（x﹣2）2+y2=3联立得：t2+2t+1=0，由韦达定理得：t1t2=1，|AP||AQ|=1 …将直线的极坐标方程θ=（ρ∈R）与圆的极坐标方程ρ2﹣4ρcosθ+1=0联立得：，由韦达定理得：ρ1ρ2=1，即|OP||OQ|=1 …所以，|AP||AQ||OP||OQ|=t1t2|ρ1ρ2|=1．…[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．【考点】绝对值不等式的解法；不等式的证明．【分析】（Ⅰ）根据f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，分类讨论求得不等式f（x）+f（x+4）≥8的解集．（Ⅱ）要证的不等式即|ab﹣1|＞|a﹣b|，根据|a|＜1，|b|＜1，可得|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2＞0，从而得到所证不等式成立．【解答】解：（Ⅰ）f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，当x＜﹣3时，由﹣2x﹣2≥8，解得x≤﹣5；当﹣3≤x≤1时，f（x）≤8不成立；当x＞1时，由2x+2≥8，解得x≥3．所以，不等式f（x）+f（x+4）≤4的解集为{x|x≤﹣5，或x≥3}．（Ⅱ）f（ab）＞|a|f（），即|ab﹣1|＞|a﹣b|．因为|a|＜1，|b|＜1，所以|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2=（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，所以|ab﹣1|＞|a﹣b|，故所证不等式成立．- 21 -。
吉林省长春市普通高中2016届高三教学质量监测理数试题解析(解析版)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{012}A =，，，{|,,}B z z x y x A y A ==+∈∈，则B =( ) A. {}0,1,2,3,4 B. {}0,1,2 C. {}0,2,4 D. {}1,2【答案】A 【解析】试题分析：题意可知，集合{|,,}{0,1,2,3,4}B z z x y x A y A ==+∈∈=，故选A. 考点：集合中元素的计算与集合的性质. 2.复数1+1ii-（i 是虚数单位）的虚部为( ) A. i B. 2i C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】试题分析：21(1)21(1)(1)2i i ii i i i ++===--+，虚部为1，故选C. 考点：复数的除法运算与复数虚部的概念. 3.抛物线24y x =-的准线方程为( ) A. 1y =- B. 1y = C. 1x =- D. 1x =【答案】D 【解析】试题分析：由题意，抛物线24y x =-的准线为1x =，故选D. 考点：抛物线的准线的概念.4.已知向量a ，b 满足(5,10)=-a +b ，(3,6)-=a b ，则a,b 夹角的余弦值为( )A.C.【答案】D 【解析】 试题分析：()()(4,2)2a b a b a ++-==-，()()(1,8)2a b a b b +--==-，则,a b的夹角余弦值为cos ||||20a b a b θ∙===∙⨯故选D. 考点：向量的基本运算. 5.下列说法中正确的是( )A.“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件；B. 若2000:,10p x x x ∃∈-->R .则2:,10p x x x ⌝∀∈--<R ；C. 若p q ∧为假命题,则,p q 均为假命题；D. “若6πα=,则1sin 2α=”的否命题是“若6πα≠,则1sin 2α≠”. 【答案】 D 【解析】试题分析：选项A 中，由奇函数定义可知，“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的既不充分也不必要条件；选项B 中，若p ：0x ∃∈R ，20010x x -->，则p ⌝：x ∀∈R ，210x x --≤；选项C 中，若p q ∧为假命题，只能判定,p q 中至少有一个为假命题；选项D 的说法正确，故选D. 考点：对逻辑问题的综合考查.6.若实数,x y 满足2211x y y x y x -⎧⎪-+⎨⎪+⎩≥≥≤，则2z x y =-的最小值为( )A. 2-B. 1-C. 1D. 2【答案】B 【解析】试题分析：图为可行域，而目标函数2z x y =-可化为2y x z =-，即z -为该直线在y 轴上的截距，当直线过(0,1)时，截距取得最大值，此时z 取得最小值为1-，故选B.考点：线性规划.7.执行如图所示的程序框图,输出20152016s =.那么判断框内应填( )A. 2015?k ≤B. 2016?k ≤C. 2015?k ≥D. 2016?k ≥ 【答案】A考点：程序框图.8.在ABC ∆中, 2,3AB AC ==,BC 边上的中线2AD =,则ABC ∆的面积为( )A.【答案】C 【解析】试题分析：由题意，设CD BD x ==，根据余弦定理可得，2294944cos 23232x x C x x +-+-==⋅⋅⋅⋅，可得x =且cos C =sin C =1sin 2ABCS AC BC C =⋅⋅=C.考点：解三角形.9.已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. 4+B. 6+C. 2+D. 2+【答案】B【解析】的三棱锥，且顶点在底面上的投影为斜边的中点，据此可求得该几何体的表面积为6故选B.考点：三视图.10.已知函数3||xxye=,则其图像为( )【答案】A 【解析】试题分析：函数3||x x y e=为奇函数，且0|0x y ='=，可推出在原点处切线的斜率为0，故选A.考点：函数图象. 11.函数()sin()cos()66f x x x ππ=++，给出下列结论: ① ()f x 的最小正周期为 π ②()f x 的一条对称轴为6x π=③()f x 的一个对称中心为(,0)6π④ ()6f x π-是奇函数其中正确结论的个数是( ) A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B考点：三角变换.12..设函数()f x 在R 上的导函数为()f x ',且22()()f x xf x x '+>.下面的不等式在R 上恒成立的是( )A. ()0f x >B. ()0f x <C. ()f x x >D. ()f x x <【答案】A 【解析】试题分析：当0x =时，可得()0f x >；当0x >时，将22()()f x xf x x '+>的两侧同时乘以x 可得232()()xf x x f x x '+>，即23[()]0x f x x '>>，则2()x f x 在0x >时单调递增，即22()0(0)0x f x f >⋅=，所以()0f x >；当0x <时，将22()()f x xf x x '+>的两侧同时乘以x 可得232()()xf x x f x x '+<，即23[()]0x f x x '<<，则2()x f x 在0x <时单调递减，即22()0(0)0x f x f >⋅=，所以()0f x >，综上可得到()0f x >. 故选A.考点：利用导数考查抽象函数的特征问题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.61(2)x x-的展开式中常数项是___________. 【答案】-160 【解析】试题分析：常数项为333461(2)()160T C x x=-=-.考点：二项展开式系数问题.14.已知随机变量ξ服从正态分布()2N m σ，，若(3)(4)P P ξξ-=≤≥，则m =________. 【答案】12【解析】试题分析：由正态分布的性质可知，34122m -+==. 考点：正态分布.15.已知三棱锥S ABC -中, SA BC ==,SB AC ==SC AB ==则该三棱锥的外接球表面积为________. 【答案】14π 【解析】试题分析：由条件，可将三棱锥S ABC -放入如图所示的长方体中，设其长宽高分别为,,a b c ，有22213,a b SC +== 22222210,5c b SB a c SA +==+==，得到22214a b c ++=，所以长方体的体对角14π.考点：球的内接几何体问题.16. 如图,等腰梯形ABCD 中, 2AB DC =,32AE EC =.一双曲线经过C ,D ,E 三点,且以A ,B 为焦点,则该双曲线离心率是 ________.【解析】试题分析：设双曲线的标准方程为22221x y a b -=(0,0)a b >>，0(,0),(,)2c A c C y -，由23AE EC =，得22(,)55y c E -，从而满足2202222022144412525y c a b y c a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去202y b ，解得227c a =. 考点：双曲线的标准方程以及离心率.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,12a = ,且满足112()n n n a S n +*+=+∈N . (1)证明数列2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列; (2)求：12n S S S +++.【答案】（1）证明详见解析；（2）12(1)2n n T n +=+-⋅. 【解析】试题分析：本题考查数列通项公式及其前n 项和公式的求法，其中涉及错位相减法在数列求和问题中的应用，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用1n n n a S S -=-，由112()n n n a S n +*+=+∈N 将11n n n a S S ++=-，经整理得数列2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；第二问，先利用第一问的结论，利用等差数列的通项公式，得到n S ，再利用错位相减法求和，在计算过程中需用等比数列的前n 项和公式求和化简.试题解析：(1) 证明：由条件可知，112n n n n S S S ++-=+，即1122n n n S S ++-=，整理得11122n n n n S S ++-=，所以数列{}2nnS 是以1为首项，1为公差的等差数列. （6分）(2) 由(1)可知，112nn S n n =+-=，即2n n S n =⋅，令12n n T S S S =+++212222n n T n =⋅+⋅++⋅①21212(1)22n n n T n n += ⋅++-⋅+⋅ ②①-②，212222n n n T n +-=+++-⋅，整理得12(1)2n n T n +=+-⋅. （12分）考点：数列通项公式、等比数列的前n 项和公式，错位相减法. 18.(本小题满分12分)为了调查某高中学生每天的睡眠时间,现随机对20名男生和20名女生进行问卷调查,结果如下: 女生:男生:(1)从这20名男生中随机选出3人,求恰有一人睡眠时间不足7小时的概率; (2)完成下面2×2列联表,并回答是否有90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”？2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828P K k k ≥（22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）【答案】（1）2895；（2）没有把握. 【解析】试题分析：本小题主要考查学生对概率知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考查学生的数据处理能力，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，在睡眠时间不足7小时的人中选1人，在剩余睡眠时间够7小时的人中选2人，即12128C C ，再计算概率；第二问，利用2k 的公式计算，再查表进行比较大小即可判断.试题解析：(1) 设所求事件概率为P ，则121283202895C C P C ==. （6分）(2)220(126148)400.440 2.7062026142091k ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯所以没有90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”（12分）考点：概率、统计案例. 19.(本小题满分12分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，13AA =. (1)过BC 的截面交1A A 于P 点,若PBC ∆为等边三角形,求出点P 的位置; (2)在(1)条件下,求平面PBC 与平面11PB C 所成二面角的大小.【答案】（1）点P 的位置为1AA 的三等分点，且靠近1A 处；（2）大小为90︒. 【解析】试题分析：本小题以三棱柱为载体，考查立体几何的基础知识. 本题通过分层设计，考查了二面角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.第一问，在直角三角形ABC 中计算出BC ，在等边三角形PBC 中计算出PC 和PB ，最后在三角形PAC 中，计算PA ，从而得到点P 的位置；第二问，先根据图中的垂直关系建立空间直角坐标系，通过计算，得到平面11PB C 和平面PBC 的法向量，由于0m n ⋅=，利用向量垂直的充要条件，得到m n ⊥，即平面PBC 与平面11PB C 所成角为直二面角，大小为90︒.试题解析：（1）由题意PC PB ==1AA ⊥平面ABC且2AB AC ==可得，2PA =，故点P 的位置为1AA 的三等分点，且靠近1A 处. （4分）（2）以A 为坐标原点，CA 方向为x 轴，AB 方向为y 轴，1AA 方向为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，有11(0,0,2),(0,2,0),(2,0,0),(0,2,3),(2,0,3)P B C B C -- 设平面11PB C 的一个法向量为(,,)n x y z =，有1100n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2020x z y z +=⎧⎨+=⎩，令2z =-，得(1,1,2)n =-，同理可得平面PBC 的一个法向量为(1,1,1)m =， 可得0m n ⋅=，所以平面PBC 与平面11PB C 所成角为直二面角，大小为90︒.考点：线线垂直、线面垂直、二面角、向量法. 20.(本小题满分12分)设点A ,B 的坐标分别为(2,0)-,(2,0),直线AP ,BP 相交于点P ,且它们的斜率之积是14-. (1)求点P 的轨迹C 的方程;(2) D ,E ,F 为曲线C 上的三个动点, D 在第一象限, E ,F 关于原点对称,且||||DE DF =,问DEF ∆的面积是否存在最小值?若存在,求出此时D 点的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】（1）2214x y +=(2)x ≠±；（2）DEF S ∆取最小值，此时D .【解析】试题分析：本小题考查椭圆的标准方程的求取，直线和椭圆的位置关系及函数最值的求法，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.第一问，利用直线AP ,BP 的斜率之积是14-，得到x 与y 的关系式，经过整理即可得到点p 的轨迹方程；第二问，直线与椭圆方程联立，消参，利用两点间距离公式以及韦达定理，得到||OD 和||EF 的长，代入到三角形面积公式中，利用配方法求面积的最小值. 试题解析：(1) 设点P 的坐标为(,)x y ，由题意可知14PA PB k k ⋅=-，即1224y y x x ⋅=-+-，因此点P 的轨迹方程为2214x y +=(2)x ≠±. （5分）(2) 由题意知OD EF ⊥，设:EF y kx =(0)k <，1:OD y x k=-设111122(,),(,),(,),E x y F x y D x y -- 由2214x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，消去y 得22(14)4k x +=，所以1|||2|EF x ==同理可得2x =||OD ==所以1||||2DEF S OD EF ∆===当21112k =+，即21,1k k ==-时，DEF S ∆取最小值，此时D . （12分） 考点：椭圆的标准方程及其几何性质；直线与椭圆的位置关系.21.(本小题满分12分)已知函数()1xf x e ax =--.(1)判断函数()f x 的单调性;(2)若()ln(1)ln x g x e x =--,当(0,)x ∈+∞时,不等式(())()f g x f x <恒成立,求实数a 的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）1a ≤.【解析】试题分析：本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，以及函数图像的判定，考查学生的分析问题解决问题的综合能力、转化能力、计算能力.第一问，对()f x 求导，对a 进行讨论，分0a ≤和0a >两种情况，利用'()0f x >和'()0f x <进行判断；第二问，将当(0,)x ∈+∞时,不等式(())()f g x f x <恒成立,转化为()g x x <和()g x x >，下面先证明0()g x x <<(0)x >，分左右两部分，证明再结合第一问的单调区间判断a 的取值范围.试题解析：(1) ()1x f x e ax =--，()xf x e a '=-，当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增；当0a >时，令()0xf x e a '=-=，得ln x a =，则()f x 在(,ln ]a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增. （4分）(2) 不妨先证明0()g x x <<(0)x >，即0ln(1)ln x e x x <--<，先证ln(1)ln 0x e x -->，即1x e x >+，显然成立.再证ln(1)ln x e x x --<，只需证1x x e xe -<，设()1x x h x xe e =-+，则()0x x x x h x e xe e xe '=+-=>，即()(0)0h x h >=，0()g x x <<得证.由当0a ≤时，则()f x 在R 上单调递增，可知(())()f g x f x <，当01a <≤时，ln 0a ≤，又()f x 在(ln ,)a +∞上单调递增，(())()f g x f x <，当1a >时，()f x 在(0,ln )a 上单调递减，(())()f g x f x >与条件不符.综上1a ≤. （12分） 考点：导数的运算、利用导数求函数的最值、利用导数判断函数的单调性.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.(本小题满分10分) 选修4—1：几何证明选讲.已知ABC ∆中, AB AC =,以点B 为圆心,以BC 为半径的圆分别交AB ,AC 于两D ,E 两点,且EF 为该圆的直径.(1)求证: 2A F ∠=∠;(2)若112AE EC ==.求BC 的长.【答案】（1）证明详见解析；（2）BC =.考点：平面几何的证明、三角形相似.23.(本小题满分10分) 选修4—4：坐标系与参数方程.已知曲线C 的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）,直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=. (1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程;(2)设点P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 距离的最大值.【答案】（1）2213x y +=，40x y +-=；（2）【解析】试题分析：本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用曲线的参数方程的几何意义求解曲线上点到直线的距离等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求. 第一问，利用平方关系消参，得到曲线C 的普通方程，利用22x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，转化，得到直线l 的直角坐标方程；第二问，利用点到直线的距离公式列出表达式，再利用两角和的正弦公式化简，求三角函数的最值即可得到结论. 试题解析：(1) 曲线C 的普通方程为2213x y +=，直线l 的直角坐标方程为40x y +-=. （5分）(2) 设点P 坐标为,sin )θθ，点P 到直线l 的距离)3d πθ==+所以点P 到直线l距离的最大值为 （10分）考点：参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、点到直线的距离.24.(本小题满分10分) 选修4—5：不等式选讲.已知函数()|||5|f x x a x =-+-.(1)若不等式()3f x ≥恒成立,求a 的取值范围;(2)当2a =时,求不等式2()815f x x x -+≥的解集.【答案】（1）2a ≤或8a ≥；（2）{|25x x ≤≤.【解析】试题分析：本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想. 第一问，利用不等式的性质得|||5||5|x a x a -+-≥-，所以不等式()3f x ≥恒成立,可以转化为|5|3a -≥，解绝对值不等式即可得到a 的取值范围；第二问，先把函数()f x 写成分段函数，再利用零点分段法，断开，分别解不等式组，即可得到不等式的解集.试题解析：(1) 由于()|||5||5|f x x a x a =-+-≥-，所以()3|5|3f x a ≥⇔-≥，解得2a ≤或8a ≥. （5分） (2) 72,2()|2||5|3,2527,5x x f x x x x x x -<⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪->⎩，原不等式等价于2272815x x x x <⎧⎨-≥-+⎩，或2253815x x x ≤≤⎧⎨≥-+⎩，或2527815x x x x >⎧⎨-≥-+⎩解得25x ≤≤+{|25x x ≤≤+.（10分） 考点：绝对值不等式、不等式的性质.：。
吉林省长春市普通高中2016届高三教学质量监测文数试题解析(解析版)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{012}A =，，，{|,,}B z z x y x A y A ==+∈∈，则B =( ) A. {}0,1,2,3,4 B. {}0,1,2 C. {}0,2,4 D. {}1,2【答案】A 【解析】试题分析：题意可知，集合{|,,}{0,1,2,3,4}B z z x y x A y A ==+∈∈=，故选A. 考点：集合中元素的计算与集合的性质. 2.复数1+1ii-（i 是虚数单位）等于( ) A. 1 B. 2 C. iD. 2i【答案】C 【解析】试题分析：21(1)21(1)(1)2i i ii i i i ++===--+，故选C. 考点：复数的除法运算.3.抛物线24y x =-的准线方程为( ) A. 1y =- B. 1y = C. 1x =- D. 1x =【答案】D 【解析】试题分析：由题意，抛物线24y x =-的准线为1x =，故选D. 考点：抛物线的准线的概念.4.已知向量a ，b 满足(5,10)=-a +b ，(3,6)-=a b ，则a b ∙= ( )A. 12-B. 20-C. 12D. 20【答案】D 【解析】 试题分析：()()(4,2)2a b a b a ++-==-，()()(1,8)2a b a b b +--==-，则41620a b ⋅=+=，故选D.考点：向量的基本运算. 5.下列说法中正确的是( )A.“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件；B. 若2000:,10p x x x ∃∈-->R .则2:,10p x x x ⌝∀∈--<R ；C. 若p q ∧为假命题,则,p q 均为假命题；D. “若6πα=,则1sin 2α=”的否命题是“若6πα≠,则1sin 2α≠”. 【答案】 D 【解析】试题分析：选项A 中，由奇函数定义可知，“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的既不充分也不必要条件；选项B 中，若p ：0x ∃∈R ，20010x x -->，则p ⌝：x ∀∈R ，210x x --≤；选项C 中，若p q ∧为假命题，只能判定,p q 中至少有一个为假命题；选项D 的说法正确，故选D. 考点：对逻辑问题的综合考查.6.若实数,x y 满足2211x y y x y x -⎧⎪-+⎨⎪+⎩≥≥≤，则2z x y =-的最小值为( )A. 2-B. 1-C. 1D. 2【答案】B 【解析】试题分析：图为可行域，而目标函数2z x y =-可化为2y x z =-，即z -为该直线在y 轴上的截距，当直线过(0,1)时，截距取得最大值，此时z 取得最小值为1-，故选B.考点：线性规划.7.执行如图所示的程序框图,输出的s 为( )A.20152016B.20142015 C. 20162015 D. 20172016【答案】A 【解析】试题分析：由程序框图，当2015k =时，还应该进入循环，而当2016k =时，不再进入循环，故输出结果为20152016，故选A. 考点：程序框图.8.在ABC ∆中, 2,3AB AC ==,BC =,则ABC ∆的面积为( )A.【答案】C 【解析】试题分析：由题意，根据余弦定理可得，cos C =sin C =，故1sin 2ABCS AC BC C =⋅⋅=故选C.考点：9.已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. 4+B. 6+C. 2+D. 2+【答案】B考点：三视图.10.已知函数3||xxye=,则其图像为( )【答案】A 【解析】试题分析：函数3||x x y e=为奇函数，且0|0x y ='=，可推出在原点处切线的斜率为0，故选A.考点：函数图象. 11.函数()sin()cos()66f x x x ππ=++，给出下列结论: ① ()f x 的最小正周期为 π ②()f x 的一条对称轴为6x π=③()f x 的一个对称中心为(,0)6π④ ()6f x π-是奇函数其中正确结论的个数是( ) A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】试题分析：由题1()sin()cos()sin(2)6623f x x x x πππ=++=+，可知①④正确，故选B. 考点：三角变换.12.设()f x 是定义在R 上的偶函数,对x ∈R ,都有(2)(2)f x f x -=+,且当[]2,0x ∈-时,1()()12x f x =-.若在区间[]2,6-内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有3个不同实根,则a 的取值范围是（ ）A. 2a <<B. 12a << a << D. 1a <<【答案】A 【解析】试题分析：由题意可知，()log (2)a f x x =+的图像如右图所示，若要保证()log (2)a f x x =+有三个交点，只需log 43log 8a a <<，即348a <<2a <<.考点：第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.利用分层抽样的方式在学生总数为1200人的年级中抽出20名同学,其中有女生8人,则该年级男生的人数约为___________. 【答案】720 【解析】试题分析：由于样本容量为20，所以其中的男生人数为12，从而年级男生人数为12120072020⨯=（人）. 考点：分层抽样.14.已知3log 21x =,则42x x-=________. 【答案】6 【解析】试题分析：由条件可知2log 3x =，故222log 3log 34222936x x -=-=-=.考点：对数运算的基本性质.15.设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ,2F .若椭圆上存在点P 使1290F PF ∠=︒.则椭圆的离心率的取值范围是________.1e ≤< 【解析】试题分析：以线段12F F 为直径的圆与椭圆有公共点，所以22b c ≤，即222a c c -≤，212e ≤，1e ≤<. 考点：椭圆的离心率.16.已知一个四面体的所有棱长都为2,则该四面体的外接球表面积为________. 【答案】6π 【解析】试题分析：已知四面体棱长为26π.考点：球的内接几何体问题.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,20a = ,5421S a =-. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设2n an b =,求数列{}n b 的前n 项和为n T .【答案】（1）2n a n =-；（2）242n n T -=-. 【解析】试题分析：本题考查等差数列的通项公式及等比数列的前n 项和公式的求法，其中涉及错位相减法在数列求和问题中的应用，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用等差数列的通项公式将已知表达式展开，解方程组得出1a 和d 的值，再代回到等差数列的通项公式中即可得到结论；第二问，将第一问的结论代入，即可判断数列{}n b 是等比数列，利用等比数列的前n 项和公式求和计算即可得到结论.试题解析：(1) 设公差为d ，有1110,510261a d a d a d +=+=+-，解得11,1d a =-=，所以2n a n =-. （6分）(2) 由(1)知，22n n b -=，所以212[1()]242112n n n T --==--. （12分） 考点：等差数列的通项公式及等比数列的前n 项和公式. 18.(本小题满分12分)为了调查某高中学生每天的睡眠时间,现随机对20名男生和20名女生进行问卷调查,结果如下: 女生:男生:(1)现把睡眠时间不足5小时的定义为“严重睡眠不足”，从睡眠时间不足6小时的女生中随机抽取3人，求此3人中恰有一人为“严重睡眠不足”的概率;(2)完成下面2×2列联表,并回答是否有90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”？（22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）【答案】（1）35；（2）没有把握. 【解析】试题分析：本小题主要考查学生对概率知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考查学生的数据处理能力，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，根据题意知，“睡眠严重不足”的有2人，睡眠时间在[5,6)的有4人，在这6人中选2人，把所有人都用字母表示，写出所有情况，在所有情况中选出符合题意的情况共12种，最后计算概率；第二问，第二问，利用2k 的公式计算，再查表进行比较大小即可判断.试题解析：(1) 选取的20名女生中，“睡眠严重不足”的有2人，设为,A B ，睡眠时间在[5,6)的有4人，设为,,,a b c d . 从中选取3人的情况有,,,ABa ABb ABc,,,,,,,,,,,,,,,ABd Aab Aac Aad Abc Abd Acd Bab Bac Bad Bbc Bbd Bcd abc abd ,acd bcd ，其中恰有1人“睡眠严重不足”的有12种，因此3人中恰有一个为“严重睡眠不足”的概率为123205=（6分） (2)220(126148)400.440 2.7062026142091k ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯所以没有90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”（12分）考点：概率、统计案例. 19.(本小题满分12分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，13AA =. (1)过BC 的截面交1A A 于P 点,若PBC ∆为等边三角形,求出点P 的位置; (2)在（1）条件下，求四棱锥11P BCC B -与三棱柱111ABC A B C -的体积比.【答案】（1）点P 的位置为1AA 的三等分点，且靠近1A 处；（2）体积比为23.考点：锥体体积公式、线面垂直.20.(本小题满分12分)已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>,离心率e =过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆所截得线段长为1. (1)求椭圆C 的方程;(2) D ,E ,F 为曲线C 上的三个动点, D 在第一象限, E ,F 关于原点对称,且||||DE DF =,问DEF ∆的面积是否存在最小值?若存在,求出此时D 点的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）DEF S ∆取最小值，此时D .【解析】试题分析：本小题考查椭圆的标准方程的求取，直线和椭圆的位置关系及函数最值的求法，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力. 第一问，椭圆的离心率和已知条件，得到x 与y 的关系式，经过整理即可得到椭圆的标准方程；第二问，直线与椭圆方程联立，消参，利用两点间距离公式以及韦达定理，得到||OD 和||EF 的长，代入到三角形面积公式中，利用配方法求面积的最小值.试题解析：(1)由题意，c e a ==又221b a =，可解得2,1a b ==，因此椭圆的标准方程为2214x y +=.（5分）(2) 由题意知OD EF ⊥，设:EF y kx =(0)k <，1:OD y x k=- 设111122(,),(,),(,),E x y F x y D x y --由2214x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，消去y 得22(14)4k x +=，所以1|||2|EF x ==同理可得2x =||OD ==所以1||||2DEF S OD EF ∆===当21112k =+，即21,1k k ==-时，DEF S ∆取最小值，此时D . （12分） 考点：椭圆的标准方程、直线和椭圆的位置关系、函数最值.21.(本小题满分12分)已知函数()1x f x e ax =--.(1)判断函数()f x 的单调性;(2)若()()ln F x f x x x =-,若函数()F x 存在零点 ,求实数a 的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）[1,)e -+∞.【解析】试题分析：本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，以及函数图像的判定，考查学生解决问题的综合能力、转化能力、计算能力. 第一问，对()f x 求导，对a 进行讨论，分0a ≤和0a >两种情况，利用'()0f x >和'()0f x <进行判断；第二问，将已知代入到()F x 中，转化为1ln x e a x x x =--，构造函数1()ln x e h x x x x=--，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最值，可以画出函数的简图，令y a =与函数图象相交，找出a 的取值范围.试题解析：(1) ()1x f x e ax =--，()x f x e a '=-，当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增；当0a >时，令()0xf x e a '=-=，得ln x a =，则()f x 在(,ln ]a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增. （4分） (2) 令()()ln 0F x f x x x =-=，则1ln x e a x x x=--， 令11()ln ln x x e e h x x x x x x-=--=-，当x 无限靠近于0时，()h x 趋近于+∞. 2211(1)(1)()x x x xe e e x h x x x x-+--'=-=，令()0h x '=可得1x =，可知(0,1)x ∈时，()h x 单调递减，(1,)x ∈+∞时，()h x 单调递增. 因此()h x 的值域为[(1),)h +∞，即为[1,)e -+∞，因此函数()F x 存在零点时，实数a 的取值范围是[1,)e -+∞.考点：导数的运算、利用导数求函数的最值、利用导数判断函数的单调性.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.(本小题满分10分) 选修4—1：几何证明选讲.已知ABC ∆中, AB AC =,以点B 为圆心,以BC 为半径的圆分别交AB ,AC 于两D ,E 两点,且EF 为该圆的直径.(1)求证: 2A F ∠=∠;(2)若112AE EC ==.求BC 的长.【答案】（1）证明详见解析；（2）BC =. 【解析】试题分析：本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到三角形相似等内容，本小题重点考查考生对平面几何推理能力.第一问，在等腰三角形ABC 中，得到ABC ACB ∠=∠，在等腰三角形BCE 中，得到BEC ECB ∠=∠，经过转化得到BEC ABC ∠=∠，所以2A EBC F ∠=∠=∠；第二问，结合第一问的结论得到ABC ∆∽BEC ∆，从而得到边的比例关系，计算出BC 的长.试题解析：(1) 因为AC AB =，所以ABC ACB ∠=∠，又因为BC BE =，所以BEC ECB ∠=∠，所以BEC ABC ∠=∠，所以2A EBC F ∠=∠=∠. （5分）(2) 由(1)可知ABC ∆∽BEC ∆，从而EC BC BC AC=，由1,2,3AE EC AC ===，得BC =. （10分） 考点：平面几何的证明、三角形相似.23.(本小题满分10分) 选修4—4：坐标系与参数方程.已知曲线C 的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）,直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=. (1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程;(2)设点P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 距离的最大值.【答案】（1）2213x y +=，40x y +-=；（2）(2) 设点P 坐标为,sin )θθ，点P 到直线l 的距离)3d πθ==+所以点P 到直线l 距离的最大值为 （10分） 考点：参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、点到直线的距离.24.(本小题满分10分) 选修4—5：不等式选讲.已知函数()|||5|f x x a x =-+-.(1)若不等式()3f x ≥恒成立,求a 的取值范围;(2)当2a =时,求：不等式2()815f x x x -+≥的解集.【答案】（1）2a ≤或8a ≥；（2）{|25x x ≤≤.【解析】试题分析：本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.第一问，利用不等式的性质得|||5||5|x a x a -+-≥-，所以不等式()3f x ≥恒成立,可以转化为|5|3a -≥，解绝对值不等式即可得到a 的取值范围；第二问，先把函数()f x 写成分段函数，再利用零点分段法，断开，分别解不等式组，即可得到不等式的解集.试题解析：(1) 由于()|||5||5|f x x a x a =-+-≥-，所以()3|5|3f x a ≥⇔-≥，解得2a ≤或8a ≥. （5分）(2) 72,2()|2||5|3,2527,5x x f x x x x x x -<⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪->⎩， 原不等式等价于2272815x x x x <⎧⎨-≥-+⎩，或2253815x x x ≤≤⎧⎨≥-+⎩，或2527815x x x x >⎧⎨-≥-+⎩解得25x ≤≤+{|25x x ≤≤+.（10分） 考点：绝对值不等式、不等式的性质.：。
2016届长春市高三质量监测(二)理科数学
长春市普通高中2016届高三质量监测（二）理科数学(试题类型A)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1． 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码、试题类型填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2． 选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3． 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4． 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.第Ⅰ卷一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1. 设集合2{|30}A x x x =−<，{|||2}B x x = <，则A B =∩A.{|23}x x << B. {|20}x x −<< C. {|02}x x <<D. {|23}x x −<<2. 复数12,z z 在复平面内对应的点关于直线y x =对称，且13+2z i =，则12z z ⋅= A. 1213i + B. 1312i +C. 13i −D. 13i3. 若实数,a b ∈R 且a b >，则下列不等式恒成立的是 A. 22a b >B. 1ab> C. 22a b> D. lg()0a b −>4. 运行如图所示的程序框图，则输出的S 值为A. 99212−B. 99212+C. 1010212−D. 1010221+5. 已知变量X 服从正态分布(2,4)N ，下列概率与0()P X ≤相等的是A.2()P X ≥ B. 4()P X ≥C. 4(0)P X ≤≤D. 41()P X −≥开始1,0k S ==输出S 结束10k <2kS S −=+1k k =+否是6. 几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 323B. 2163π−C. 403D. 8163π−7. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >且65911a a =，当n S 取最大值时，n 的值为A. 9B. 10C. 11D. 128. 已知AB 为圆O ：22(1)1x y −+=的直径，点P 为直线10xy −+=上任意一点，则PA PB ⋅的最小值为A. 1B.C. 2D.9. 函数sin(2)3y x π=−与2cos(2)3y x π=+的图像关于直线x a =对称，则a 可能是 A.24πB.12πC. 8πD. 1124π10. 小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出三瓶或四瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有____种 A. 18 B. 27 C. 37 D. 21211. 过双曲线22115y x −=右支上一点P ，分别向圆1C ：22(4)4x y ++=和圆2C ：22(4)1x y −+=作切线，切点分别为,M N ，则22||||PM PN −的最小值为A. 10B. 13C. 16D. 1912. 已知函数()f x 满足()(2)2f x f x +−=，当(0,1]x ∈时，2()f x x =，当(1,0]x ∈−时，()2f x +=，若定义在(1,3)−上的函数()()(1)g x f x t x =−+有三个不同的零点，则实数t 的取值范围是A. 1(0,]2 B. 1[,)2+∞ C. (0,6+ D. (0,6−正视图侧视图俯视图2222第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 已知实数,x y 满足2040240x y x y x y −+⎧⎪+−⎨⎪+−⎩≤≤≥，则2y x −的最小值为__________.14.已知向量=a ，2(0,1)t =+b，则当[t ∈时，||||t−ba b 的取值范围是___________.15. 已知0a >，6)x −展开式的常数项为15，则2(a ax x dx −+=∫_______. 16. 已知数列{}n a 中，对任意的*n ∈N 若满足123n n n n a a a a s ++++++=（s 为常数），则称该数列为4阶等和数列，其中s 为4阶公和；若满足12n n n a a a t ++⋅⋅=（t 为常数），则称该数列为3阶等积数列，其中t 为3阶公积. 已知数列{}n p 为首项为1的4阶等和数列，且满足4323212p p p p p p ===；数列{}n q 为公积为1的3阶等积数列，且121q q ==−，设n S 为数列{}n n p q ⋅的前n 项和，则2016S =___________. 三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17. （本小题满分12分）已知函数2()2sin cos f x x x x =+. (1) 求函数()y f x =的最小正周期和单调减区间；(2) 已知△ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，其中7a =，若锐角A 满足(26A f π−=sin sin 14B C +=，求△ABC 的面积. 18. （本小题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币. 与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务评价体系. 现从评价系统中选出200次成功的交易，并对其评价进行统计，对商品好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都作出好评的交易为80次. (1) 是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？ (2) 若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ：① 求对商品和服务全好评的次数X 的分布列（概率用组合数算式表示）； ② 求X 的数学期望和方差.P (K 2≥k )0.15 0.10 0.050.0250.0100.005 0.001k2.072 2.7063.8415.0246.6357.879 10.828(22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d −=++++，其中n a b c d =+++)19. （本小题满分12分）在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是菱形，PD ⊥平面ABCD ，点1D 为棱PD 的中点，过1D 作与平面ABCD 平行的平面与棱,,PA PB PC 相交于点111,,A B C ，60BAD ∠=°. (1) 证明：1B 为PB 的中点；(2) 若2AB =，且二面角1A AB C −−大小为60°，AC 、BD 的交点为O ，连接1B O . 求三棱锥1B ABO −外接球的体积. 20. （本小题满分12分）椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左右焦点分别为12,F F ，且离心率为12，点P 为椭圆上一动点，△12F PF 内切圆面积的最大值为3π. (1) 求椭圆的方程；(2) 设椭圆的左顶点为1A ，过右焦点2F 的直线l 与椭圆相交于,A B 两点，连结1A A 、1A B 并延长交直线4x =分别于,P Q 两点，以PQ 为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.21. （本小题满分12分）已知函数22ln ()a xf x x −=在点(1,(1))f 处的切线与直线41y x =−+平行. (1) 求实数a 的值及()f x 的极值；(2) 若对任意121,(0,x x e ∈，有1222221212()()||f x f x k x x x x −>−⋅，求实数k 的取值范围. 请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.如图，过圆O 外一点P 作圆O 的切线PM ，M 为切点，过PM 的中点N 的直线交圆O于A B 、两点，连接PA 并延长交圆O 于点C . 连接PB 交圆O 于点D ，若MC BC =.(1) 求证：APM Δ∽ABP Δ；(2) 求证：四边形PMCD 是平行四边形.23. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ()sin x t t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩是参数，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为8cos(3πρθ=−.(1) 求曲线2C 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；(2) 若曲线1C 和曲线2C 交于,A B 两点，求||AB 的最大值和最小值.24. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.设函数()|2|||f x x x a =++−()a ∈R .(1) 若不等式()0f x a +≥恒成立，求实数a 的取值范围；(2) 若不等式3()2f x x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. DCBAD 1C 1B 1A 1PO。
2016届吉林省长春市普通高中高三质量监测(二)数学(理)试题(解析版)
2016届吉林省长春市普通高中高三质量监测（二）数学（理）试题一、选择题1．复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于直线y x =对称，且132z i =+，则12z z ⋅=（ ） A ．1213i + B ．1312i + C ．13i - D ．13i 【答案】D ．【解析】试题分析：复数1z 在复平面内关于直线y x =对称的点表示的复数223z i =+， ∴12(32)(23)13z z i i i ⋅=++=，故选D ． 【考点】复数的运算．2．若实数a ，b R ∈且a b >，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．22a b > B ．1ab> C ．22a b > D ．lg()0a b -> 【答案】C ．【解析】试题分析：根据函数的图象与不等式的性质可知：当a b >时，22ab>为正确选项，故选C ．【考点】不等式的性质．3．设集合2{|30}A x x x =-<，{|||2}B x x =<，则A B =I （ ） A ．{}|23x x << B ．{}|20x x -<< C ．{}|02x x << D ．{}|23x x -<< 【答案】C ．【解析】试题分析：由题意可知{|03}A x x =<<，则{|22}B x x =-<<，∴{|02}A B x x =<<I ，故选C ．【考点】集合的关系．4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >且65911a a =，当n S 取最大值时，n 的值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12 【答案】B ．【解析】试题分析：由题意，不妨设69a t =，511a t =，则公差2d t =-，其中0t >，因此10a t =，11a t =-，即当10n =时，n S 取得最大值，故选B ． 【考点】等差数列的通项公式及其前n 项和．5．几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．323 B ．2163π- C ．403 D ．8163π-【答案】C ．【解析】试题分析：该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥，∴其体积为14022422233⨯⨯-⨯⨯⨯=，故选C ． 【考点】空间几何体体积计算．6．已知变量X 服从正态分布(24)N ，，下列概率与(0)P X ≤相等的是（ ） A ．(2)P X ≥ B ．(4)P X ≥ C ．(04)P X ≤≤ D ．1(4)P X ≥- 【答案】B ．【解析】试题分析： 由变量X 服从正态分布(2,4)N 可知，2x =为其密度曲线的对称轴，因此(0)(4)P X P X ≤≥=，故选B ． 【考点】正态分布的性质． 7．函数sin(2)3y x π=-与2cos(2)3y x π=+的图象关于直线x a =对称，则a 可能是（ ） A ．24πB ．12π C ．8π D ．1124π 【答案】A ．【解析】试题分析：由题意，设两个函数关于x a =对称，则函数sin(2)3y x π=-关于x a =的对称函数为sin(2(2))3y a x π=--，利用诱导公式将其化为余弦表达式为5cos[(2(2))]cos(24)236y a x x a πππ=---=+-，令25cos(2)cos(24)36y x x a ππ=+=+-，则24a π=，故选A ． 【考点】三角函数的图象和性质．8．已知AB 为圆:O 22(1)1x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则PA PB ⋅u u u r u u u r的最小值为（ ）A ．1 B．2 D． 【答案】A ．【解析】试题分析：由题意得，设(1cos ,sin )A θθ+，(,1)P x x +，则(1cos ,sin )B θθ--，∴(1cos ,sin 1)PA x x θθ=+---u u u r ，(1cos ,sin 1)PB x x θθ=-----u u u r， ∴(1cos )(1cos )(sin 1)(sin 1)PA PB x x x x θθθθ⋅=+---+-----u u u r u u u r22222(1)cos (1)sin 211x x x θ=--+---=+≥，当且仅当0x =时，等号成立，故选A ．【考点】1．圆的标准方程；2．平面向量数量积及其运用．9．已知函数()f x 满足()(2)2f x f x +-=，当(0,1]x ∈时，2()f x x =，当(1,0]x ∈-时，()2f x +=，若定义在(1,3)-上的函数()()(1)g x f x t x =-+有三个不同的零点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1(0,]2 B ．1[,)2+∞ C．(0,6+ D．(0,6- 【答案】D ．【解析】试题分析：当(1,0]x ∈-时，1(0,1]x +∈，∴22()2211xf x x x -=-=-=++，即()f x 在(1,1]x ∈-上的解析式为22(1,0]()1(0,1]xx f x x x x -⎧ ∈-⎪=+⎨⎪ ∈⎩，又∵()(2)2f x f x +-=，∴()f x 的图象关于(1,1)点对称，可将函数()f x 在(1,3)x ∈-上的大致图象如下图所示，令()0()(1)g x f x t x =⇒=+，而(1)y t x =+表示过定点(1,0)-斜率为t 的直线，由图可知为其临界位置，当[1,2)x ∈时，2()(2)2f x x =--+，联立2(1)(2)2y t x y x =+⎧⎨=--+⎩，并令0∆=，可求得6t =-t的取值范围是(0,6-，故选D ．【考点】1函数与方程；2．数形结合的数学思想．10．小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出三瓶或四瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有（ ）种．A ．18B ．27C ．37D ．212 【答案】C ．【解析】试题分析：由题可知，取出酒瓶的方式有3类，第一类：取6次，每次取出4瓶，只有1种方式；第二类：取8次，每次取出3瓶，只有1种方式；第三类：取7次，3次4瓶和4次3瓶，取法为37C ，为35种；共计37种取法，故选C ．【考点】排列组合．11．过双曲线22115y x -=的右支上一点P ，分别向圆221:(4)4C x y ++=和圆2:C 22(4)1x y -+=作切线，切点分别为M ，N ，则22||||PM PN -的最小值为（ ）A ．10B ．13C ．16D ．19 【答案】B ．【解析】试题分析：由题可知，222212||||(||4)(||1)PM PN PC PC -=---，因此2222121212||||||||3(||||)(||||)3PM PN PC PC PC PC PC PC -=--=-+-12122(||||)32||313PC PC C C ≥=+--=，故选B ．【考点】圆锥曲线综合题．二、填空题12．已知实数x ，y 满足2040240x y x y x y ≤≤≥-+⎧⎪+-⎨⎪+-⎩，则2y x -的最小值为___________．【答案】1．【解析】试题分析：根据不等式组获得可行域如下图，令2z y x =-，可化为2y x z =+，因此当直线过点(1,3)时，z 取得最小值为1，故填：1．【考点】线性规划．13．已知向量(13)a =r ，，2(0,1)b t =+r ，则当[3,2]t ∈-时，||||b a t b -rr r 的取值范围是_________． 【答案】[113]．【解析】试题分析：由题意，||b b r r 为(0,1)，根据向量的差的几何意义，||||ba tb -rr r 表示||b t b r r向量终点到a r终点的距离，当3t =1，当3t =时，根据13||||ba tb -r r r 的取值范围是[113]，故填：[113]．【考点】平面向量的线性运算． 14．已知0>a ，6()x x-展开式的常数项为15，则22(4aax x x dx -++-=⎰___________．【答案】22333π++ 【解析】试题分析：由6)x x 的常数项为44615C a =，可得1a =，因此原式为1112222221(42(4)2(4)x x x dx x x dx x dx x dx -++-=+-=+-⎰⎰⎰⎰2121222(13)3312233ππ⋅=++⨯=++22333π++【考点】1．二项式定理；2．定积分的计算．15．已知数列{}n a 中，对任意的*n N ∈，若满足123n n n n a a a a s ++++++=（s 为常数），则称该数列为4阶等和数列，其中s 为4阶公和；若满足12n n n a a a t ++⋅⋅=（t 为常数），则称该数列为3阶等积数列，其中t 为3阶公积，已知数列{}n p 为首项为1的4阶等和数列，且满足3423212p p p p p p ===；数列{}n q 为公积为1的3阶等积数列，且121q q ==-，设n S 为数列{}n n p q ⋅的前n 项和，则2016S = ___________．【答案】2520-．【解析】试题分析：由题意可知，11p =，22p =，34p =，48p =，51p =，62p =，74p =，88p =，91p =，102p =，114p =，128p =，131p =，……，又∵{}n p 是4阶等和数列，因此该数列将会照此规律循环下去，同理，11q =-，21q =-，31q =，41q =-，51q =-，61q =，71q =-，81q =-，91q =，101q =-，111q =-，121q =，131q =-，……，又∵{}n q 是3阶等积数列，因此该数列将会照此规律循环下去，由此可知对于数列{}n n p q ⋅，每12项的和循环一次，易求出11221212...15p q p q p q ⋅+⋅++⋅=-，因此2016S 中有168组循环结构，故2016151682520S =-⨯=-，故填：2520-．【考点】1．新定义问题；2．数列求和．三、解答题16．已知函数2()2sin cos f x x x x =+．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调减区间；（2）已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中7a =，若锐角A 满足()26A f π-=，且sin sin 14B C +=，求ABC ∆的面积．【答案】（1）最小正周期：π，单调递减区间：7[,]1212k k ππππ++()k Z ∈；（2） 【解析】试题分析：（1）对()f x 的表达式进行三角恒等变形，再利用三角函数的性质即可求解；（2）首先求得A 的值，再结合正余弦定理列出相应的式子，即可求解．试题解析：（1）2()2sin cos sin 22f x x x x x x =+=2sin(2)3x π=+，因此()f x 的最小正周期为22T ππ==，()f x 的单调递减区间为3222232k x k πππππ≤≤+++，即7[,]1212x k k ππππ∈++()k Z ∈；（2）由()2sin(2())2sin 26263A A f A πππ-=-+==， 又∵A 为锐角，∴3A π=，由正弦定理可得2sin a R A ===，sin sin 214b c B C R ++==，则1314b c +==，由余弦定理可知，22222()21cos 222b c a b c bc a A bc bc +-+--===，可求得40bc =，故1sin 2ABC S bc A ∆== 【考点】1．三角恒等变形；2．正余弦定理解三角形．17．近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0．6，对服务的好评率为0．75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次． （1）是否可以在犯错误概率不超过0．1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？ （2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ：①求对商品和服务全好评的次数X 的分布列（概率用组合数算式表示）； ②求X 的数学期望和方差．2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828P K k k≥（22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）【答案】（1）可以；（2）详见解析． 【解析】试题分析：（1）得到对应的列联表，根据条件中给出的数据以及公式计算相应的值，比较大小即可判断；（2）计算离散型随机变量X 取到各个可能值时对应的概率，列出分布列后即可求解．试题解析：由题意可得关于商品和服务评价的列联表：对商品好评 80 40 120 对商品不满意 70 10 80 合计1505020022200(80104070)11.11110.8281505012080K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，可以在犯错误概率不超过0．1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关；（2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为25，且X 的取值可以是0，1，2，3，4，5， 其中53(0)()5P X ==；14523(1)()()55P X C ==；223523(2)()()55P X C ==；332523(3)()()55P X C ==；441523(4)()()55P X C ==；52(5)()5P X ==，X 0 1 2 3 4 5 P 53()514523()()55C 223523()()55C 332523()()55C 441523()()55C 52()5 由于2~(5,)5X B ，则2525EX =⨯=，2265(1)555DX =⨯⨯-=． 【考点】1．独立性检验；2．离散型随机变量的概率分布与期望和方差．18．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PD ⊥平面ABCD ，点1D 为棱PD 的中点，过1D 作与平面ABCD 平行的平面与棱PA ，PB ，PC 相交于1A ，1B ，1C ，60BAD ︒∠=．（1）证明：1B 为PB 的中点；（2）若2AB =，且二面角1A AB C --的大小为60︒，AC ，BD 的交点为O ，连接1B O ，求三棱锥1B ABO -外接球的体积．【答案】（1）详见解析；（2）12548π． 【解析】试题分析：（1）根据已知条件中面//ABCD 面1111A B C D ，再利用面面平行的性质可知11//BD B D ，从而得证；（2）根据题意可以建立空间直角坐标系，根据二面角1A AB C --的大小可求出1OB 的长度，进而进一步通过补形确定外接球的球心与半径．试题解析：（1）连接11B D ，∵面//ABCD 面1111A B C D ，面PBD I 面ABCD BD =，面PBD I 面111111A B C D B D =，∴11//BD B D ，即11B D 为PBD ∆的中位线，∴1B 为PB 中点；（2）以O 为原点，OA 方向为x 轴，OB 方向为y 轴，1OB 方向为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -， 则(3,0,0)A ，(0,1,0)B ，1(0,0,)B t，(3,0,0)C -，从而(3,0,)AP t =-u u u r ，(3,1,0)AB =-u u u r ，则13(3,3,)n t=u r ，又∵2(0,0,1)n =u u r ，∴12121223||1cos ,2||||939n n t n n n n t ⋅<>===⋅++u r u u ru r u u r ur u u r ，则32t =，由题可知，OA OB ⊥，1OA OB ⊥，1OB OB ⊥，即三棱锥1B ABO -外接球为以OA ，OB ，1OB 为长、宽、高的长方体外接球，则该长方体的体对角线长为2223513()22d =++=，即外接球半径为54，则三棱锥1B ABO -外接球的体积为33445125()33448V R πππ===．【考点】1．面面平行的性质；2．二面角的求解；3．空间向量在立体几何中的运用．19．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，且离心率为12，点P 为椭圆上一动点，12F PF ∆内切圆面积的最大值为3π． （1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为1A ，过右焦点2F 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，连结1A A ，1A B 并延长交直线4x =分别于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）详见解析． 【解析】试题分析：（1）分析题意可知点P 为短轴端点时12F PF S ∆取到最大值，再根据条件中数据求出a ，b ，c 的值即可；（2）设直线AB 的方程为1x ty =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，再将以PQ 为直径的圆的方程表示出来，说明其方程上有点的坐标与t 的取值无关即可．试题解析：（1） 已知椭圆的离心率为12，不妨设c t =，2a t =，即b =，其中0t >，又12F PF ∆内切圆面积取最大值3π时，半径取最大值为r =，由12122F PF F PF r S C ∆∆=⋅，由12F PF C ∆为定值，因此12F PF S ∆也取得最大值，即点P 为短轴端点，因此12(22)22rc b a c ⋅⋅=⋅+，112(42)223t t t ⋅=⋅+，解得1t =， 则椭圆的方程为22143x y +=；（2）设直线AB 的方程为1x ty =+，11(,)A x y ，22(,)B x y 联立221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得22(34)690t y ty ++-=，则122634t y y t -+=+，122934y y t -=+， 直线1AA 的方程为11((2))(2)y y x x =----， 直线1BA 的方程为22((2))(2)y y x x =----，则116(4,)2y P x +，226(4,)2y Q x +，假设PQ 为直径的圆是否恒过定点(,)M m n ， 则116(4,)2y MP m n x =--+u u u r ，226(4,)2y MQ m n x =--+u u u u r ， 2121266(4)()()022y y MP MQ m n n x x ⋅=-+--=++u u u r u u u u r ，即2121266(4)()()033y y MP MQ m n n ty ty ⋅=-+--=++u u u r u u u u r ，即22121221212(3612)18()(4)03()9nt y y n y y n m t y y t y y --+++-=+++，2222(3612)(9)18(6)(4)093(6)9(34)nt n t n m t t t t ----++-=-+-++，即2269(4)0nt n m -++-=，若PQ 为直径的圆是否恒过定点(,)M m n ，即不论t 为何值时，0MP MQ ⋅=u u u r u u u u r恒成立，因此，0n =，1m =或7m =，即恒过定点(1,0)和(7,0)．【考点】1．椭圆的标准方程及其性质；2．直线与椭圆的位置关系；3．圆锥曲线中的定点问题． 20．已知函数22ln ()a xf x x-=在点(1,(1))f 处的切线与直线41y x =-+平行． （1）求实数a 的值及()f x 的极值； （2）若对任意1x ，2x 1(0,]e∈，有1222221212()()||>f x f x kx x x x --⋅，求实数k 的取值范围； 【答案】（1）1a =，()f x 有极小值为21()f e e=-；（2）(,4]-∞． 【解析】试题分析：（1）首先求导，根据导数的几何意义可求得a 的值，再根据导数的取值情况确定原函数的极值点；（2）将原不等式变形为122212()()||411f x f x x x ->-，再构造对应函数，将问题等价转化为求函数最值即可．试题解析：（1）由题意得3224ln ()a xf x x --+'=，又∵(1)4f '=-，解得1a =， 令33224ln 44ln ()0a x xf x x x --+-+'===，解得x e =，即()f x 有极小值为21()f e e =-；（2）由1222221212()()||f x f x k x x x x ->-⋅，可得122212()()||11f x f x k x x ->-，令21()()g f x x =，则()ln g x x x x =+，其中2[,)x e ∈+∞，()2ln g x x '=+，又∵2[,)x e ∈+∞，则()2ln 4g x x ≥'=+，即122212()()||411f x f x x x ->-，因此实数k 的取值范围是(,4]-∞． 【考点】导数的综合运用．21．选修4—1：几何证明选讲．如图，过圆O 外一点P 的作圆O 的切线PM ，M 为切点，过PM 的中点N 的直线交圆O 于A ，B 两点，连接PA 并延长交圆O 于点C ，连接PB 交圆O 于点D ，若MC BC =．（1）求证：APM ∆∽ABP ∆；（2）求证：四边形PMCD 是平行四边形． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．【解析】试题分析：（1）证明NA NPNP NB=，MAP BAP ∠=∠，再根据相似三角形的判定即可得证；（2）证明//MC PD ，//MP CD ，根据平行四边形的判定即可得证．试题解析：（1）由题意可知，2MN NA NB =⋅，则N 为PM 的中点，则2PN NA NB =⋅，即NA NPNP NB=，因此NAP ∆∽NPB ∆，则NBP NPA ∠=∠，由CM CB =可得MAC BAC ∠=∠，即MAP BAP ∠=∠，则APM ∆∽ABP ∆；（2）由（1）PMA APB ∠=∠，又∵PMA PCM ∠=∠，则PCM APB ∠=∠，可得//MC PD ，由NBP NPA ∠=∠，NBP ACD ∠=∠，则NPA ACD ∠=∠，可得//MP CD ，因此四边形PMCD 是平行四边形．【考点】1．割线定理；2．相似三角形的判定；3．平行四边形的判定． 22．选修4—4：坐标系与参数方程．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 3sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为8cos()3πρθ=-．（1）求曲线2C 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）若曲线1C 与曲线2C 交于A ，B 两点，求||AB 的最大值和最小值．【答案】（1）曲线2C 的直角坐标方程为224430x y x +--=，其表示一个圆；（2）最小值为138．【解析】试题分析：（1）利用cos x ρθ=，sin y ρθ=可将2C 的极坐标方程化为相应直角方程，即可求解；（2）联立1C ，2C 的方程，将||AB 表示为相应的函数关系式，从而求解．试题解析：（1）对于曲线2C 有8cos()3πρθ=-，即24cos 3sin ρρθρθ=+，因此曲线2C 的直角坐标方程为224430x y x y +--=，其表示一个圆；（2）联立曲线1C 与曲线2C 的方程可得：223sin 130t t α-⋅-=，22121212||||()4(23sin )4(13)AB t t t t t t α=-=+-=--212sin 52α=+，因此||AB 的最小值为213，最大值为8．【考点】1．极坐标方程与直角坐标方程的相互转化；2．直线与圆的位置关系． 23．选修4—5：不等式选讲． 设函数()|2|||()f x x x a a R =++-∈．（1）若不等式()0f x a +≥恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若不等式3()2f x x ≥恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）1a ≥-；（2）(,4]-∞．【解析】试题分析：（1）对a 的取值分类讨论，将问题等价转化为不等号左边的最小值不小于0即可；（2）由题意可知，问题等价于函数()y f x =的图象恒在32y x =的上方，画出两个函数图象，即可得到关于a 的不等式，从而求解．试题解析：（1）当0a ≥时，()0f x a +≥恒成立，当0a <时，要保证()f x a ≥-恒成立，即()f x 的最小值|2|a a ≥--，解得1a ≥-；（2）根据函数()f x 图象的性质可知，当322a a +=时，3()2f x x ≥恒成立，即4a =，∴a 的取值范围是(,4]-∞时，3()2f x x ≥恒成立．【考点】1．绝对值不等式；2．分类讨论的数学思想；3．恒成立问题；4数形结合的数学思想．。
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长春市普通高中2016届高三质量监测（四） 数学理科第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1.已知集合{|A y y x ==+，{3,1,2,4}B =--，则A B 中元素的个数为A. 1B. 2C. 3D. 42. 已知复数z 满足 512z i=-，则z z ⋅= A. 23 D. 53. 设a b ∈R ,，则“22log log a b >”是“21a b->”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知2=|a |=|b |，2⋅-=-（）a b a ，则|2|-=a b A. 2B. C. 4 D. 85. 执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是A. 4s ≤B. 56s ≤C. 1112s ≤D. 2524s ≤ 6. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则体积相等.已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为A. 42π-B. 483π-C. 8π-D. 82π-7. 函数()sin()(000)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<,,的部分图象如图所示，则2()9f π=B. 1D. 28. 已知实数x y ,满足202204100x y x y x y -+⎧⎪++⎨⎪--⎩≥≥≤， +()z kx y k =∈R 仅在(4,6)处取得最大值，则k 的取值范围是A. 1k >B. 1k >-C. 12k <-D. 4k <-9. 如图，从高为h 的气球()A 上测量待建规划铁桥()BC 的长，如果测得桥头()B 的俯角是α，桥头()C 的俯角是β，则桥BC 的长为A. sin()sin sin hαβαβ- B. cos()sin sin h αβαβ- C. sin()cos cos h αβαβ- D. cos()cos cos h αβαβ-10. M 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>右支上一点，A 、F 分别为双曲线的左顶点和右焦点，且MAF ∆为等边三角形，则双曲线C 的离心率为A.1 B.2 C. 4 D. 611. 棱长为1的正四面体ABCD 中，E 为棱AB 上一点（不含,A B 两点），点E 到平面ACD 和平面BCD 的距离分别为a b ,，则(1)()ab a b ab++的最小值为A. 2B.C.D.312. 已知()f x '是定义在R 上的函数()f x 的导数，满足()2()0f x f x '+>，且(1)0f -=，则()0f x <的解集为A. (,1)-∞-B. (1,1)-C. (,0)-∞D. (1,)-+∞第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题—24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13.已知圆C 的圆心在直线210x y +-=上，且经过原点和点(15)--,，则圆C 的方程为 ___________.14. 任取实数[01]x y ∈,,，则满足12x y ≤≤_________. 15. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知100S =，1525S =，则使(1)n n S +取最小值的n 等于_ _.16. 下列说法中正确的有：___________.①已知直线,m n 与平面,αβ，若m α∥，n β⊥，αβ⊥，则m n ∥；②用数学归纳法证明*(1)(2)()213(21)()n n n n n n n +++=⋅⋅+∈N ，从n k =到1n k =+时，等式左边需乘的代数式是(21)(22)k k ++；③对命题“正三角形与其内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体与其内切球切于各面中心；④在判断两个变量y 与x 是否相关时，选择了3个不同的模型，它们的相关指数2R 分别为：模型1为0.98，模型2为0.80，模型3为0.50.其中拟合效果最好的是模型1；⑤在空间直角坐标系中，点(121)A ,,关于y 轴的对称点A '的坐标为(121)--,,. 三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17.（本小题满分12分）已知函数()cos(2)sin 26f x x x π=+-.（1）利用“五点法”列表，并画出()f x 在5[]66ππ-,上的图象；（2）a b c ,,分别是锐角ABC ∆中角A B C ,,的对边.若a =()f A =求ABC ∆的周长的取值范围. 18. （本小题满分12分） 某便携式灯具厂的检验室，要检查该厂生产的某一批次产品在使用时的安全性.检查人员从中随机抽取5件，通过对其加以不同的电压（单位：伏特）测得相应电流（单位：安培），数据见下表：10152025300608141215x y 产品编号①②③④⑤电压电流.....()() （1）试估计如对该批次某件产品加以110伏电压，产生的电流是多少？（2）依据其行业标准，该类产品电阻在[18,22]内为合格品.以上述抽样中得到的频率为合格品概率，再从该批次产品中随机抽取5件，记随机变量X 表示其中合格品个数，求随机变量X 的分布列、期望和方差.（附：回归方程：ˆybx a =+，其中：1221()ni ii nii x y nx yb a y bx xnx==-==--∑∑，参考数据：552ii=1i=1=20,11,=1212250i ix y x yx==,.∑∑）19. （本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，AD BC ，DC AD ⊥，PA ⊥平面ABCD ，2AD=BC =，30DAC =︒∠，M 为PB 中点.（1）证明：AM 平面PCD ；（2）若二面角M PC D --的余弦值为PA 的长.20．（本小题满分12分）已知椭圆:1(>0)x y C +=a b a b>2222的左、右焦点分别为12F F ,，过点1F 的直线l 交椭圆于A B ,两点，AB ||的最小值为3，且△2ABF 的周长为8.（1）求椭圆的方程；（2）当直线l 不垂直于x 轴时，点A 关于x 轴的对称点为A '，直线A B '交x 轴于点M ，求△ABM 面积的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数()ln ()f x =x+a x a R ∈.（1）若曲线()y =f x 在点(1(1))f ,处与直线32y =x -相切，求a 的值； （2）函数2()()g x f x kx =-有两个零点12x x ,,试判断122x x g +⎛⎫'⎪⎝⎭的符号，并证明. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲.如图，AB 是圆O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点M ，MN 垂直BA 的延长线于点N .（1）求证：DA 是CDN ∠的角平分线； (2) 求证：2222BM AB AM AB AN =++⋅.23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程.在极坐标系中，点P 的坐标是(1,0)，曲线C 的方程为)4πρθ=-.以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为1-的直线l 经过点P . （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 和曲线C 相交于两点A B ,，求22||||PA PB +的值. 24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲.已知函数()|1||2|f x x x =++-，不等式()f x t ≥对x ∀∈R 恒成立. (1)求t 的取值范围；(2) 记t 的最大值为T ，若正实数a b ,满足22a b T +=，求证：211a b+≤.长春市普通高中2016届高三质量监测（四）数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1. B2. D3. A4. B5. C6. C7. B8. B9. A 10. C 11. D 12. A 简答与提示：1. 【试题解析】B 由题意可知{|0}A y y =≥，所以{2,4}A B = . 故选B .2. 【试题解析】D复数i z i iz 2121215-=+=-=，,则5=⋅z z . 故选D . 3. 【试题解析】A “b a 22log log >”等价于“0>>b a ”，“12>-ba ”等价于“b a >”，故选A .4. 【试题解析】B 由2,()2a b a b a ==⋅-=- 可知2a b ⋅= ，则2a b -= 故选B.5. 【试题解析】C 由程序框图可知，要输出8=k ，需1211614121=++=s 时条件成立，当242581614121=+++=s 时条件不成立，从而1211≤s . 故选C.6. 【试题解析】C 由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图几何体体积相等，图示几何体是一个正方体去掉一个半圆柱，从而其体积为8π-. 故选C. 7. 【试题解析】B 由题意可知3,,26A πωϕ===，进而()2sin 36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，从而2()19f π=. 故选B .8. 【试题解析】B 可行域如图所示，目标函数可化为y kx z =-+，若目标函数仅在(4,6)处取最大值，则1k -<，即1->k . 故选B.9. 中，sin hAB α=，在ABC ∆中，sin()sin()sin sin sin AB BC h αβαββαβ-=-=⋅. 故选A. 10. 【试题解析】C 由题意可知，设双曲线左焦点为F'，由MAF ∆为等边三角形，所以||||MF AF a c ==+，从而||3MF a c '=+，在MFF '∆中，由余弦定理得，222(3)()42()a c a c c c a c +=++-⋅+，解得4e =或1e =-(舍).故选C .11. 【试题解析】D 连结,CE DE ，由正四面体棱长为1，有3OA =，由于A BCD E BCD E ACD V V V ---=+，有3a b =+，由a b +≥2146()ab a b ≥=+，所以(1)()1)33ab a b abab++=+≥. 故选D.12. 【试题解析】A 由0)(2)(>+'x f x f 可知0)()()(22>'+'x f e x f e x x ，即)()(2x f e x g x =在R 上单调递增，由0)1(=-f 得0)1(=-g ，则当0)(<x f 时，()1-∞-∈，x . 故选A.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13. 22(2)(3)13x y -++=14.51215. 6或7 16. ③④⑤简答与提示：13. 【试题解析】由题意可知，该圆心原点和点(1,5)--的中垂线210260x y ++=上，又在直线210x y +-=上，因此圆心为(2,3)-22(2)(3)13x y -++=.14. 【试题解析】由题意，点(,)x y 所满足的区域如图所示，因此[]1,0,∈y x条件下，x y x ≤≤21的概率即为图中阴影面积与正方形面积的比值，其中阴影面积为3211200125)()|23412x x dx x =-=⎰，由几何概型可知概率为5512112=.15. 【试题解析】由题意可知，380a a +=，而853a =，故公差23d =，13a =-，则(10)3n n n S -=，现要求(1)(10)(1)3n n n n n S +-+=的最小值，对上式求导可知，当6n =或7n =时取最小值.16. 【试题解析】由题意可知，①中m 的位置不确定，因此①错误；②用数学归纳法证明*(1)(2)()213(21)()n n n n n n n +++=⋅⋅+∈N ，从k n =到1+=k n 时，等式左边需乘的代数式应为2(21)k +，因此②错误；③满足合情推理，因此③正确；④根据相关指数的定义可知，相关指数越接近于1，模型的拟合效果越好，因此④正确；⑤根据空间直角坐标系的性质可知，关于y 轴对称的点对为(,,)x y z 和(,,)x y z --，因此⑤正确. 故答案为③④⑤.三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分) 17. (本小题满分12分)【试题解析】(1) 将函数x x x f 2sin )62cos()(-+=π化简成为())f x x π=+，根据列表可知函数图像如图所示.(6分)(2) 在锐角ABC ∆中，3)(,3-==A f a ， 可知3A π=，由正弦定理可知2sin sin sin a b cA B C===， 即2sin b B =，2sin c C =，周长22sin 2sin 2sin()2sin )36L B C C C C ππ=+=-+=+，其中62C ππ<<，因此L 的取值范围是(3.(12分)18. (本小题满分12分)【试题解析】(1)由题意可得0.044,0.22b a ==，所以回归直线ˆ0.0440.22yx =+，故当电压加为110伏时，估计电流为5.06安培 (6分)(2)经计算，产品编号为①③的不合格品，其余为合格品，合格概率为35则3~(5,)5X B ，有5532()()()(0,1,2,3,4,5)55iiiP X i C i -===X由于~(5,)5X B ，则535EX =⨯=；5(1)555DX =⨯⨯-=. (12分)19. (本小题满分12分)【试题解析】解：取PC 的中点为N ，连结,MN DN(1) M 是PB 的中点，1//,2MN BC MN BC ∴=//AD BC ，且2BC AD =， //NM AD NM AD ∴=且，∴四边形AMND 为平行四边形，//AM ND ∴， 又 AM ⊄ 平面PCD ，ND ⊂平面PCD 所以//AM 平面PCD (6分)(2)以A 为坐标原点，AN 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.设 (0)PA t t =>，30,1DAC CD ∠=︒∴= ，由题意可求得：(1,0,0),(1)BC DC PC t ===-. 设(,,1)m x y =- 为平面PMC 的法向量，(,,1)n x y ''=为平面PCD 的法向量，则有：00000m PC x t x ty m BC ⎧⎧⋅=+==-⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=⋅==⎩⎪⎪⎩⎩，所以(,0,1)m t =--00000x n PC x t y x n DC '=⎧⎧⎧⋅=''+-=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨'='=⎪⋅=⎪⎩⎪⎩⎩，所以,1)n = 二面角M PC D --的余弦值为，4||||m n m n ⋅∴==-化简得42450t t +-=，所以1t =，即1PA = (12分)20. (本小题满分12分)【试题解析】解：(1) 因为AB 是过焦点1F 的弦，所以当AB x ⊥轴时，||AB 最小，且最小值为22b a，由题意可知223b a=，再由椭圆定义知，2ABF ∆的周长为4a，所以2,a b ==，所以椭圆的方程为22143x y += (4分) (2)设AB 方程为112211(1),(,),(,),(,)y k x A x y B x y A x y '=+-，则22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得2222(34)84120k x k x k +++-=所以2122834k x x k -+=+①，212241234k x x k -=+② 则2121,A B y y k A B x x '+'=∴-方程为211121()y yy y x x x x ++=--化简有1212122121()22()k x x k kx x k x x y x x x x x ++++=---，将①②代入可得 ()22221211624643434(34)()k k ky x x x x k k k x x ⎛⎫=+=+ ⎪-+++-⎝⎭， 所以直线A B '恒过定点(4,0)-，所以1213||2ABM S y y ∆=⨯⨯-设:1(0)AB x my m =-≠，则221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22(34)690m y my +--=，12122269,3434m y y y y m m -+==++，所以 222122222222636144(1)||34349(1)6(1)114414491169(1)61m m y y m m m m m m +⎛⎫-=+= ⎪++++++⎝⎭=≤=++++ 因为0m ≠，所以120||3y y <-<，所以90,2ABM S ∆⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ (12分)21. (本小题满分12分)【试题解析】解：(1) ()1,(1)=3,2af x f a x''=+∴∴= (4分) (2)易知0a ≠，2111122222()ln 0,()ln 0g x x a x kx g x x a x kx ⎧=+-=⎨=+-=⎩不妨设1122,1x x x t x >=> 所以12121212(ln ln )()()x x a x x k x x x x -+-=-+ 所以121212(ln ln )1()a x x k x x x x -+=+-12121212121212121222()12,(ln ln )22()1()112ln ln 22ln 12(1)ln 1111ag x kx xx x a x x a a g k x x x x x x x x x x a t a t a t x x x x x t t x t t '=+-+-'=+-+=+--++-⎛⎫--⎛⎫⎛⎫=-=-=⋅- ⎪ ⎪ ⎪+-+--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭令2(1)()ln (1)1t h t t t t -=-≥+，22241(1)()0(1)(1)t h t t t t t -'=-=-≤++ 所以()h t 在(0,)+∞上单调递减，而(1)0h =，所以当1t >时，()0h t <，所以当0a >时，12()02x x g +'<；当0a <时，12()02x xg +'>. (12分) 22. (本小题满分10分)【试题解析】解(1) AB 是圆O 的直径， BD AD ⊥∴,即︒=∠90ADM又MN 垂直BA 的延长线于点N ，即︒=∠90ANM∴M 、N 、A 、D 四点共圆，∴NAM MDN ∠=∠MDN BDC BDC BAC NAM BAC ∠=∠∴∠=∠∠=∠,,由于︒=∠=∠90ADB ADM ，所以ADN ADC ∠=∠ 所以DA 是CDN ∠的角分线 (5分)(2) M 、N 、A 、D 四点共圆，∴BD BM NB AB ⋅=⋅① B 、C 、A 、D 四点共圆，∴MC MA MB MD ⋅=⋅②① +②有ANAB AC MA AB MA BM AN AB AB AC MA MA BM BN AB MC MA BD MB MB MD ⋅+⋅++=+⋅++⋅=⋅+⋅=⋅+⋅2222)()( B 、C 、M 、N 四点共圆，所以AN AB AC MA ⋅=⋅所以2222BM AB AM AB AN =++⋅ (10分)23. (本小题满分10分)【试题解析】解(1)由曲线C22cos 2sin ρρθρθ=+，因此曲线C 的直角坐标方程为2222x y x y +=+点P 的直角坐标为(1,0)，直线l 的倾斜角为135︒，所以直线l的参数方程为1,(,2x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数).(5分)(2)将1,2(,2x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)代入2222x y x y +=+，有210t -=， 设A ，B 对应参数分别为12,t t，有12121t t t t +=-，根据直线参数方程t 的几何意义有，22||||PB PA +=222121212()24t t t t t t +=+-=.(10分)24. (本小题满分10分)【试题解析】(1)()|1||2||12|3f x x x x x =++-++-=≥，所以3t ≤. (5分)(2)由(1)知3,T =所以223(0,0)a b a b +=>>因为222a b ab +≥，所以32ab ≤，又因为11a b +≥，所以211a b≤+（当且仅当a b =时取“=”）.。