一类具有年龄结构的非自治扩散系统的持久性

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一类具有阶段结构的非自治捕食-食饵系统的渐近性质

一
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ｋＬＬ１ｍ１一
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格正的函数．记＝ｉｆｔｊ＝ｓｐ（）ｔ∈ ［ｎ（）－ｆｕｆｔ，０，＋ｏ）系统（）。．且１的系数满足ｍｉ｛，，，，，ｑ，ｋ｝＞０＝１２，ｎｒｒ，Ｊ，／Ｂ，，３ｍｘ，，，，，，，ａ｛Ｆ，ｑ卢ｋ｝＜＋ｏ，ｉ。
Ｉ（）１ｔ２ｔ）（）ｔ）（）一（）ｔｒ，２，
２
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列条件
一
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中图分类号：１１文献标识码：文章编号：０８— ９４２０）４—００ＯＱ４Ａ１０７７（０８００１一２基金项目：吉林省教育厅 “ 十一五” 科学技术研究项目（０７０）２０４０．
收稿日期：ｏ８一１—１２ｏＯ６
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维普资讯
＇１ｔ，（）＝（）Ｏ一ｒ（）一｜ｔ１ｔ（一ｒ７ｊｌ
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带有时滞和年龄结构的非自治的二食饵-捕食系统的周期解与概周期解

的一致持久性和全局吸引性．当该系统是周期解系统时，我们得至其正周期解存在唯一性；ｑ当该系统是概周期系统时，我们获得其正概周期解存在唯一性及一致渐近稳定性．关键词：时滞；阶段结构；一致持久性；周期解；概周期解；全局吸引；一致渐近稳定中图分类号：１５文献标识码：文章编号：０３－００２０）２－１５一７Ｏ７Ａ１０７２｛０７ｏ００ｏ
１０５
维普资讯
体死亡率，ｔ（１２３分别表示种群中成熟个体的死亡率．Ｄ（），，）这些种群个体分别看作在ｔ（＝，，） — ｉ１２３时出生和从不成
收稿日期：０６—１ —２２０１３作者简介：晓洁（９０）女，姚１７一，广西融安人，中学一级教师。
带有时滞和年龄结构的非自治的二食饵一捕食系统的周期解与概周期解
姚晓洁
（柳州师范高等专科学校数学与计算机科学系，西柳州５５０）广４０４
摘要：利用比较原理和Ｌａｕｏｉｎｖ泛函方法，ｐ获得了一类带有时滞和年龄结构的非自治的二食饵一捕食系统
的周期解的存在唯一性和全局吸引性问题，中（）Ｙ（）（）１２分别表示各自种群的成熟和不成熟的密度，。ｉ其ｔ，ｌｔ，ｔ（，）ｒ（＝１２３表示各自种群从出生到成熟的平均时间，ｌｆ（，，）ｂ（）＝１２３分别表示出生率，（）ｉ，，），，）ｆ（＝１２３表示各自种群中不成熟个

具Holling类功能反应周期捕食系统的持久性与全局渐近稳定性

，
证：对于任意ｔ［＋。ｘ，∈ ：由系统（） ∈０ｏ，，）Ｒ，，）ｙｚ１
ｘｔ（（
ｏ｛（（一］０＞）ｓｓ告ｄ＇０ｅ））ｓｘ，）＿ｘ【ａ（ｐ】ｓ）ｌ０＞）（
ｙｙｅ｛【ｓ（— ］）ｙ＞（（ｘ』一ｓｓｉｄ＞（０ｔ０ｐ。（ａ））））ｔ）（一＝ｂｙｓｏｏ，，）
２
福建师大福清分校学报
２１３月０２年
的持久性及全局渐近稳定性，中ｘＹ食饵种群密度，是捕食者种群密度；群ｚ以种群ｘ和Ｙ其，是ｚ种
为食，（（１，表示ｘＹｚａｔｉ，３ｉ＝２）），，的种内竞争率与自然灾害损耗率，ｉ（１，表示内禀增长率，（（ｂｔｉ，３（＝２））ｅｔｉｉ＝）ｌ），表示种群ｚｘ２对，Ｙ的营养转化率，ａｆｉ（１，，（（１）且ｉ，（ｉ，３ｅｔｉ，均为连续有界正值函数，ｉｔｉ（ｂｔ＝２）ｉ＝２）））Ｉｉ（．（＝ｚ）ｃ
文『（ａｔｘ］＝ｂｔｘ＿ｘ一（一））
ｌ１＋ｃ
ｂ（一ｙＬＺ］ｚ）一￣ｔ２Ｘ
（）１
［）（ｅ＋ｔ］ｂＩＩ３）（ｅ昔（ｚ１２ｔ＋）（）
收稿日期：０１０ — ３２１－９１作者简介：贾素娟（９６）女，１８一，河南许昌人，士研究生。硕基金项目：国家自然科学基金（０２０２，１７６６）福建省自然科学基金（Ｏ１００４２１Ｊ１０）福州大学科技发展基金（叭Ｏｘ一４。２１Ｊ５０，００００５，２ — Ｑ２）

具Holling Ⅳ类功能反应的食物链系统的持久性和周期解

２００８年第５期总第８期８
《福建师范大学福清分校学报》
ＪＵＮＦＦＱＮＲＣＦＦ￣ＡＯＭＡＮＶＲＩＹＯＲＡＬＯＵＩＧＢＡＮＨＯＵＮＮＲＬＵＩＥＳＴＳｍ．８ｕＮｏ８
具ＨｏｌｇＩ类功能反应ｌｎｉＶ
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系统（）１中ｘ＇ＥＲ＜２￣０ａｔｉ１，）－（１，４是连续有界正的函数，－，３是正常数．态学Ｉ１式表Ｉ２ｐＲ；（，（（，３，（ｉ，３）ｘｉ＝２ｄｃ＝２，））ｍ（１，）ｉ２生－）（示３种群之间的食物链模型，中ｘ种群是食饵，种群以ｘ种群为食饵，种群以Ｘ种群为食饵．［研究了系统其。Ｘ２。Ｘ３２文５】（）１的持久性和全局吸引性．周知，众所由于环境的变化，人为的干预或外来物的影响，越来越多的现实因素被考虑到
１引
言
在现实生活中，由于竞争食物、种群资源和空间等，而与其它种群存在着某种形式的相互作用．时间以来，一段很多学者致力于研究生物种群的持续生存，了很多好的结果．得到例如，１研究了具第 Ⅱ类功能性反应的３种群捕食文［］链周期系统，得到了该系统存在唯一全局渐近稳定正周期解的充分条件．２研究具有Ｉ类功能性反应的捕食周期文［］ＩＩ
ｍｑｌｆＡＬ１］－１）［＝ｉｉ｛［ｔｈｌｔ≥ｓｍｎ，ｈ
Ｍ［＝ｉｕＡｆ１］ｔ≥ｓｌｍｆｌｓｐ｛［ｔ，ｌ１），ｈｑ－

几类种群生态学模型动力学分析

摘要摘要本文利用常微分方程和泛函微分方程的相关理论，讨论了几类种群生态学模型的动力学性质.本文共由五章组成：第一章,介绍了本文的研究目的、意义以及本文的主要工作.第二章，研究了一类具有阶段结构的非自治捕食者—食饵系统和一类具Holling IV类功能反应的非自治捕食者—食饵系统，通过利用微分方程定性理论证明该系统在适当条件下是一致持久的；并且当系统是周期系统时，利用泛函分析的Brouwer 不动点定理和构造Lyapunov函数的方法，得到该系统周期正解唯一存在且全局渐近稳定的充分条件；对更具普遍意义的概周期现象，也得到了概周期正解存在且全局渐近稳定的充分条件.第三章，基于综合害虫管理策略，提出并研究了一类具有脉冲效应和Holling IV 类功能反应的捕食者—食饵系统，利用脉冲比较定理、Floquent乘子理论及微小扰动法，得到害虫灭绝周期解的局部渐近稳定性与系统持续生存的充分条件，所得结论为现实的害虫治理提供了可靠的策略依据.第四章，运用时滞微分方程的基本理论和脉冲微分方程的比较定理、周期解存在定理，研究了两类具有功能反应和一个固定脉冲时刻的时滞捕食者—食饵系统，得到了食饵灭绝周期解的全局吸引和系统持久的充分条件，也证明了系统所有解的一致完全有界，所得结论为现实的生物资源管理提供了可靠的策略依据，也丰富了脉冲时滞微分方程的理论.第五章，就全文进行了总结，指出了研究中还没有解决的问题，并对以后要研究的工作进行了展望.关键词:捕食者—食饵系统；一致持续生存；脉冲效应；灭绝性；全局吸引AbstractAbstractIn this thesis, dynamical behaviors of serveral types of population models in ecology are studied by using the theory of ordinary differential equation and functional differential equation. It is composed of five chapters.In Chapter 1, the goal, significance and the main works of this thesis are introduced.In Chapter 2, a predator-prey system with nonautonomous stage-structure and a nonautonomous predator-prey system with Holling IV functional response are studied. It is proved by differential equation qualitative theory that the system is persistent under proper conditions. Also, when the system is periodic, by using Brouwer fixed point theory and the way of constructing Lyapunov function, the sufficient conditions are obtained for the unique existence and global asymptotic stability of the periodic positive solution of the system. With respect to the general almost periodic system, we also obtain the sufficient conditions for the existence of general periodic positive solution as well as globally asymptotic stability．In Chapter 3，based on the strategy of integrated pest management, a predator-prey system with impulsive effect and Holling IV functional response is proposed and studied. By using impulsive comparison theorem, Floquent theory and small amplitude perturbation skill, the sufficient conditions for local asymptotic stability of pest-eradication periodic solution and permanence of the system are obtained.The results provide reliable tactical basis for the practical pest management.In Chapter 4，by using delay differential equation basic theory , comparison theorem and periodic solution existing theorem of impulsive differential equation, sufficient conditions which guarantee the global attractivity of prey-extinction periodic solution and permanence of the system are obtained. It is also proved that all solutions of the system are uniformly ultimately bounded.The obtained results provide reliable tactical basis for the practical biological resource management and enrich the theory of impulsive differential equation.In Chapter 5，we summarize the whole paper and point out the problems that are still unsolved in the research .Moreover, the future study is prospected.Key words: predator-prey system；uniform persistence；impulsive effect；extinction;global attractivity目录摘要 (I)Abstract (II)目录 (III)第一章绪论 (1)§1. 1引言 (1)§1. 2研究目的及意义 (2)§1. 3本文的主要工作 (3)第二章非自治捕食者-食饵系统 (4)§2. 1 引言 (4)§2. 2一类具有阶段结构的非自治捕食者-食饵系统的研究 (4)2. 2. 1预备知识 (5)2. 2. 2一致持久生存性 (5)2. 2. 3周期正解的存在唯一性和全局渐近稳定性 (6)2. 2. 4概周期正解的存在唯一性和全局渐近稳定性 (7)2. 2. 5小结 (9)§2. 3具Holling IV类功能反应的捕食者-食饵系统的研究 (9)2. 3. 1预备知识 (10)2. 3. 2一致持久性 (11)2. 3. 3周期正解的存在唯一性和全局渐近稳定性 (12)2. 3. 3结论 (13)第三章一类基于IPM策略的具有脉冲效应的捕食者-食饵系统 (14)§3. 1引言 (14)§3. 2具有脉冲效应和Holling IV类功能反应的捕食者-食饵系统分析 (14)3. 2. 1预备知识 (15)3. 2. 2灭绝性与持久生存性 (17)§3. 3本章小结 (22)第四章两类具时滞和脉冲作用的捕食者-食饵系统的动力学分析 (23)§4. 1引言 (23)§4. 2一类时滞脉冲捕食食饵-系统的全局吸引性和一致持久 (23)4. 2. 1预备知识 (24)4. 2. 2主要结果 (25)4. 2. 3小结 (29)§4. 3食饵具脉冲扰动与捕食者具连续收获的时滞捕食者-食饵系统的动力学行为 (30)4. 3. 1预备知识 (30)4. 3. 2主要结果 (31)4. 3. 3小结 (36)第五章总结与展望 (37)§5. 1 本文研究工作的总结 (37)§5. 2 对今后研究工作的展望 (37)参考文献 (38)致谢 (43)作者在攻读硕士期间主要研究成果 (44)第一章绪论§1. 1引言种群生态学是生物数学中的主要分支，在现实生活中发挥着越来越重要的作用. 种群生态学的研究主要通过建立符合生物发展规律的数学模型，然后利用相应的数学理论和方法对模型进行推理和求解，进而发现其演化规律.微分方程是研究种群生态学的重要理论和方法.人们利用微分方程建立生态数学模型来研究和解决生态学实际问题，并取得了巨大的成功[1-2].从单种群系统到多种群系统,从自治微分动力系统到非自治微分动力系统，从连续动力系统再到脉冲微分系统，生物动力系统经历了一个百年迅速发展的过程,所建立的数学模型越来越能真实确切地反映生命现象的本质及其发展过程.由于整个自然环境常随时间而改变，自治的生物模型无法刻画这一因素,而时变环境下非自治的生物系统能够更加准确的反映现实.因此非自治系统吸引了学者和专家的重视与兴趣并取得了大量的成果[3-7]，主要是研究系统的全局渐近稳定性、持久性、周期解的存在性等.脉冲微分方程作为20世纪末发展特别迅速的一个数学分支，是描述某些运动状态在固定或不固定时刻的快速变化或跳跃，它能更真实地反映自然界中一些瞬时突变的现象.在种群动力学中，很多自然现象或因素都需要用脉冲微分方程来描述才能更加真实的反映自然界事物变化规律，因此它比普通微分方程有更丰富的内容和性质.目前，脉冲微分方程在生物种群中的研究应用主要集中在脉冲发生在固定时刻的情况，对食饵-捕食者系统的研究结果较多.§1. 2研究目的及意义§1.2.1 非自治捕食者—食饵系统在自然界中，捕食现象是普遍存在的，所以对捕食模型的研究显得尤为重要.通过研究捕食模型的稳定性、持久性来解释和预测种群的发展趋势，这对于保持良好的生态平衡，保护生物种群的多样性，维持生态系统的可持续发展有着重要的指导意义.因此，捕食者与食饵之间的相互作用关系一直以来都是生物数学界与生态学界的一个重要的研究课题.在经典的微分系统中，总是假设系统的参数是不随时间的变化而变化的，即通常考虑的是自治系统的情形，这时我们通常研究系统平衡点的性态或极限环周围解的性质.一般来说，在环境不发生巨大的变化，不进行人为的破坏，生态系统的发展过程分布比较均匀，把系统的参数看做是常数有一定的合理性，并且有利于人们建立、分析与研究生态模型.然而，在现实世界中，很多生物种群的增长经常会受到很多自然因素的影响，如季节的影响、生存空间、食物供给的丰富性、种群的交配与生殖等，从而产生波动.也就是说，模型的有关参数往往是与时间有关的，所以研究非自治的捕食者—食饵系统具有重要的实际生物意义.但其不足之处有：(1)考虑环境及种群干扰因素过于简单；(2)对于多种群生物系统,没有较完善的数值模拟的方式从图形上来说明；(3)对于非自治生物系统考虑具有Holling IV功能、避难所和干扰常数的研究很少.对于非自治系统的研究完全可以考虑多种外界因素的干扰[8],以便使模型更贴近现实，达到更合理保护或控制生物.自然界中有很多现象呈现周期性的变化，如气候、昼夜更替、季节变化等，因此生物的生存环境是随时间而周期改变的.近些年来，很多学者对非自治周期系统进行了大量的研究，得到了周期正解和概周期解的存在唯一性和全局渐近稳定性.§1.2.2脉冲微分方程近年来，人们发现自然界中许多实际现象的发展过程并不是连续的，即系统受到一个短时间的外部作用，尽管这个短暂的干扰时间同整个发展过程相比较可以忽略不计，但是它可以改变系统的状态，导致物种的数量突变，若用连续动力系统去描述这些行为，则必定会与实际相差很大，因此不能单纯地用差分方程或微分方程来处理.而脉冲微分方程为研究这种在一个阶段是连续发展，而在一些时间点上是脉冲式的瞬间干扰行为提供了有力的工具，它能恰当的描述连续与脉冲相结合的自然现象.生物种群系统的许多自然现象和人为干预因素都需要用脉冲微分方程来描述.如：生育脉冲[9-10]，物种的迁徙，接种疫苗，生态环境的剧变对种群的影响.在渔业生产中，鱼苗的放养和成鱼的收获是周期性地发生而且是短时间完成的[11]. 在农业生产中，人们经常利用定期投放天敌和喷洒杀虫剂结合起来去控制害虫，即害虫的综合管理策略[12]. 投放天敌和喷洒杀虫剂是瞬时的、不连续的脉冲行为.在微生物培养中，培养基的脉冲输入[13-14].脉冲微分方程是在常微分方程的基础上发展起来的，其突出的特点是能充分考虑到瞬间变化对状态的影响，能够更合理、更精确地反映事物的变化规律.因此，许多学者对脉冲微分方程理论做了广泛而深入的研究.如文献[15]研究了时滞脉冲微分方程解的存在性、可微性与延拓性，文献[16]研究了脉冲微分方程系统的稳定性, 文献[17]研究了解的振动性, 等等.脉冲微分方程是非线性微分系统的一个分支.脉冲微分方程的研究始于20世纪60年代，近三十年来，脉冲微分方程的理论和方法得到了迅速发展[18-19]，已形成一个比较完整的学术体系，被广泛地应用于生物控制、传染病动力学、种群动力学、药物动力学、分子学、遗传学及生物控制论等方面.其代表成果有：癌细胞的化疗[20],脉冲收获[21], 种群生态学[22], 脉冲控制[23-24], 等等.尽管很多学者为脉冲微分方程在各领域的应用做了广泛的研究，但脉冲微分方程在种群动力学和传染病动力学的应用研究中，尚存在某些研究的空白.脉冲微分方程的定性理论尤其是状态依赖的脉冲微分方程的定性理论还处在起步阶段，脉冲自治系统的几何理论几乎是空白的.此外，脉冲从理论转入应用还有一定的困难，在应用方面，特别是在生命科学中的应用，还相对较少.而在最近十年，又不断地向时滞脉冲微分方程推进[25-26].脉冲种群系统与不含脉冲的种群动力系统相比，有着更加复杂的动力学性质.若同时考虑具有时滞和脉冲的种群系统，二者交织会影响解的性态，因此具有更加复杂的性质，其研究就更加困难，而且可供参考的文献不是很多，但这类种群模型是大量存在的，所以研究这类种群模型具有很重要的实际意义和很好的发展前景.§1.3 本文的主要工作本文运用微分方程定性理论、脉冲比较定理、Floquent乘子理论等方法，研究了非自治动力系统和脉冲微分系统的动力学性质，具体如下：第二章，分为两个部分，利用微分方程定性理论、泛函分析的Brouwer不动点定理和构造Lyapunov泛函的方法，讨论了一类食饵具有阶段结构的非自治捕食者—食饵系统和一类具Holling IV类功能反应的非自治捕食者—食饵系统，证明该系统在适当条件下是一致持久的，并且当系数分别为周期函数、概周期函数时，得到了该系统周期正解与概周期正解唯一存在且全局渐近稳定的充分条件.第三章，以农业生产中的害虫治理为背景，利用脉冲比较定理、Floquent乘子理论及分析的方法，建立并讨论了一类在固定时刻具有脉冲效应和Holling IV类功能反应的捕食者—食饵系统，得到了系统的一致最终有界性，并给出食饵灭绝周期解的局部渐近稳定性与系统持续生存的充分条件，所得结论为现实的害虫治理提供了可靠的策略依据.第四章，分为两个部分，分别对两类时滞脉冲微分系统作了讨论.运用时滞泛函微分方程的基本理论和脉冲微分方程的比较定理、周期解存在定理，得到了系统食饵、捕食者灭绝周期解的全局吸引和系统持久的充分条件，也证明了系统所有解的一致完全有界，所得的结论为现实的生物资源管理提供了可靠的策略依据，也丰富了脉冲时滞微分方程的理论.第二章非自治捕食者—食饵系统§2. 1 引言捕食者—食饵系统是生态学中一类非常重要的种群系统,许多学者对它进行广泛而深入的研究，并取得了大量的成果[27-33].在自然界中，种群在其成长发育的不同阶段，会表现各种不同的特征，而且其各项生理机能差别较大，如捕食能力，竞争能力，扩散率等等.因此，研究具有阶段结构的捕食模型具有很重要的现实意义，文[27-28]究了具有阶段结构的自治捕食系统.相比自治的微分方程而言，时变的微分系统[29-31]真实地描绘现实世界，比如：如果考虑气候改变，食物来源结构改变等环境因素的变化，自治的生物模型无法刻画这一因素，而时变微分系统能发挥着重要的作用，能够更加准确地描述现实的生命科学体系.由于季节的周期变化,生物的生存环境的周期变化,从而生物的一些习性,如体温、交配等也表现为周期性.这种周期性往往会影响种群的数量,并且可能导致一些周期性结果.因此,考虑时变环境下系统的参数,如内禀增长率、种群间的竞争系数、种群内的竞争系数等，为周期变化的是符合实际的.此外,在研究自然现象和社会现象中,我们考虑种群和环境、种群和种群之间等等的因素（如功能反应函数、种群干扰现象和阶段结构等等）是各异的.因此对时变环境下的非自治系统进行详细的研究不仅仅理论上的必要性而且还有重要的现实性.本章讨论了一类具有阶段结构的非自治捕食者—食饵系统和一类具Holling IV 类功能反应的非自治捕食者—食饵系统，通过利用微分方程定性理论、泛函分析的Brouwer 不动点定理和构造Lyapunov 函数的方法，对系统的一致持续生存性、周期正解的存在唯一性和渐近稳定性、概周期正解的存在唯一和全局渐近稳定性进行研究，得到出现各种动力学性质的充分条件.§2. 2 一类具有阶段结构的非自治捕食者—食饵系统的研究文[29]中考虑了如下的系统：1112222333()()()x x a b x c y yy a b x c y d z z z a b y c z =--⎧⎪=+--⎨⎪=-+-⎩ ，，，通过利用代数方程、Hurwitz 判别法则，得到了该系统平衡点的存在性、稳定性等相关的结论.本节在文[29]基础上假设环境随时间是周期或概周期变化下,针对食饵的年龄结构，把被捕食群体区分为成年群体和幼年群体，考虑到它们在系统中的不同作用，建立一类非自治具有阶段结构的捕食-被捕食模型.具体模型如下：1112222333()()(()()()()())()()(()()()()()()())()()(()()()()()).x t x t a t b t x t c t y t yt y t a t b t x t c t y t d t z t z t z t a t b t y t c t z t =--⎧⎪=+--⎨⎪=-+-⎩ ，， (2-2-1) 其中()x t ，()y t 1()a t 12(),(c 分别为幼年食饵和成年食饵在t 时刻的密度，为捕食者种群在t 时刻的密度.，分别为食饵幼体和成体的内禀增长率，为捕食者种群的死亡率.为种内密度制约因素，()z t 3(a t ()()t y t 2()a t 3),()c t )b t t 1()c t x -，，，表示种群间的相互作用. 2()()b t x t y =1,2,3),2d ()t ()t 2-()()d t y ()z t t 3()b t y ()()t z t (),a t b (),i i i t c ()t (i 是[0上连续的严格正函数，并且满足,)+∞2min{,,,}0L L L L i i i a b c d >，2max{,,,}M M M M i i i a b c d <+∞，()1,2,3i =，对于一个连续有界函数，记()h t inf{():}L h h t t R +=∈，.sup{():}M h h t t +=∈R §2.2.1 预备知识引理2.2.1[30]设是非负可微函数，若()g t (),g t M M '<为一正常数，且0(),g t dt +∞<+∞⎰则.lim ()0t g t →+∞=引理2.2.2（Brouwer 不动点定理）设n R 是维欧几里德空间，是n A n R 的一个有界凸集，f 是A A →的一个连续映射，那么必有x A ∈，使得()f x x =.定义 2.2.1[34] 系统(2-2-1)是一致持续生存的是指：如果存在正常数和m M ，使得对于系统(2-2-1)的任何正解()((),(),())X t x t y t z t =都存在T ，当t 时有，即. 0>T ≥()m X t M ≤≤lim inf m X →∞()lim sup ()t t t X t →∞≤≤M ≤§2.2.2 一致持续生存性由于一致持久性对于生物系统而言可以解释为种群最终不会消亡，因此对生物系统一致持久性的研究具有特别重要的意义，下面我们给出系统(2-2-1)的一致持久性结果.定理2.2.1 3R +=(){}(),(),()()0,()0,()0x t y t z t x t y t z t >>>是系统(2-2-1)的正向不变集. 证明对于任意和([0,)t ∈+∞(0),(0),(0))x y z 3R +∈，1110()(0)exp{[()()()()()]}0,t x t x a s b s x s c s y s ds =--⎰>>> 22220()(0)exp{[()()()()()()()]}0,ty t y a s b s x s c s y s d s z s ds =+--⎰ . 3330()(0)exp{[()()()()()]}0tz t z a s b s y s c s z s ds =-+-⎰故3R +是系统(2-2-1)的正向不变集..定理2.2.2 若系统(2-2-1)的系数满足条件110L M a c H ->，，22120L L M a b m d H +->3320M L a b m -+>, (2-2-2)则123{((),(),())|(),(),()}x t y t z t m x t H m y t H m z t H Ω=≤≤≤≤≤≤是系统(2-2-1)的最终有界区域，其中：第二章非自治捕食者—食饵系统1111L M M a c H m b -=1ε-，2212222L L M M a b m d H m c ε+-=-，332333M L M a b m m c ε-+=-，(1,2,3i i )ε= 是任意小的正数.证明考虑函数，则有123()()()()s t w x t w y t w z t =++()()st s t λ+= 1111122222(()()())()(()()())(w a t w w b t x t x t w a t w c t y t w y )t λλ+-+-+ 333331122(()()())()(()())()()w a t w w c t z t z t w c t w b t x t y t λ+-+-+-+2233(()())()()w d t w b t y t z t +-+. (2-2-3)令111()()k t w a t w 1λ=+，222()()k t w a t w 2λ=+，333()()k t w a t w 3λ=-+．选取3M a λ>，使 ()0i k t >(1,2,3i =)代入(2-2-3)有111222()()(()()())()(()()())()st s t k t w b t x t x t k t w c t y t y t λ+=-+- +3331122(()()())()(()())()()k t w c t z t z t w c t w b t x t y t -+-+2233(()())()()w d t w b t y t z t +-+，在上式中令2112()()()b t w t c t =，，21w =233()()2()d t w t b t =，选取t 使，，则有 11w ≥21w ≥111222333()()(()()())()(()()())()(()()())()st s t k t w b t x t x t k t w c t y t y t k t w c t z t z t λ+≤-+-+- =2112212()()()())()(()()())()()b t b t k t x t x t k t c t y t y t c t -+-(2333()()(()())()2()d t c t k t z t z t b t +-. 由于上面不等式的右端所有的二次项系数均为负的，所以存在常数，使得0k > ()()st s t k λ+≤ ，即 ()(())k s t s t λλ≤- ，从而有lim sup ()t k s t λ→∞≤　. 因此，对任给小的0ε>，存在T ，当时，有1t T >()k s t ελ≤+. 令,kH ελ=+当时，有 1t T >()x t H ≤，()y t H ≤，()z t H ≤.另外，由系统(2-2-1)中第一个方程，有111111()()(()()()()())()(())L M M xt x t a t b t x t c t y t x t a b x t c H =--≥-- ，所以 111lim inf ()L M M t a c H x t b α→∞-≥=. 因此，对任给10εα<<，存在，当时，有2T T >12t T >1()x t αε≥-.令11m αε=-，当时，有 2t T >1()x t m ≥. (2-2-4)同理可证：存在和，当，有 20m >3T T >23t T >2()y t m ≥ . (2-2-5)存在和，当，有 . (2-2-6)30m >4T T >34t T >3()z t m ≥综合式(2-2-4)、(2-2-5)和(2-2-6)可得，当时，有4t T ≥()(),(),()x t y t z t ∈Ω.因此，Ω是系统(2-2-1)的最终有界区域.定理2.2.3 若条件(2-2-2)成立，则系统(2-2-1)是一致持续生存.证明由定理2.2.2易得结论.§2.2.3 周期正解的存在唯一性和全局渐近稳定性设是[02(),(),(),()(1,2,3)i i i a t b t c t d t i =,)+∞上连续和严格正的ω周期函数，且有上下界，则系统(2-2-1)是一个ω周期系统.定理2.2.4 若条件(2-2-2)成立，且系统(2-2-1)还满足111122233332()2()()()0,()0,()()2()()0a t m b t c t m b t c t a t b t H c t m d t -++->>-++>，(2-2-7) 则系统(2-2-1)有唯一的全局渐近稳定的ω周期正解.证明 {}123((),(),())|(),(),()x t y t z t m x t H m y t H m z t H Ω=≤≤≤≤≤≤为有界闭凸集，且为系统(2-2-1)的正不变集，定义Poincare 映射3:A R R 3++→，使得 00()(,)A x x x ω=， 03x R +∈，则A 映射到自身，即. 由解对初值的连续依赖性可得Ω()A Ω⊂ΩA 连续.由Brouwer 不动点定理，在Ω中映射A 至少存在一个不动点，相应地系统(2-2-1)至少存在一个严格正的ω周期解.设1111()((),(),())p t x t y t z t =是系统(2-2-1)的ω周期正解，()((),(),())p t x t y t z t =是系统(2-2-1)任意一具有正初值的解，构造Lyapunov 函数：111()()()ln ()ln ()()()v t x t x t y t y t z t z t =-+-+-，则 11()(()()ln ()ln ()()())D v t D x t x t y t y t z t z t ++=-+-+-111(()())(ln ()ln ())(()())D x t x t D y t y t D z t z t +++≤-+-+-1=11(()())sgn(()())x t x t x t x t -- +111()()(()())()()yt y t y t y t y t y t -- +. 11(()())sgn(()())zt z t z t z t -- 由11(()())sgn(()())xt x t x t x t -- 1sgn(()())x t x t =-11[()(()())a t x t x t -2211()(()())b t x t x t --11()(()()()())]c t x t y t x t y t --111= 11()(()())sgn(()())a t x t x t x t x t --12211()(()())sgn(()())b t x t x t x t x t ---111()(()()()())sgn(()())c t x t y t x t y t x t x t ---11111()()()()(()())(()())sgn(()())a t x t x t b t x t x t x t x t x t x t ≤---+-11111()(()()()())sgn(()())c t x t y t x t y t x t x t ---1111112()()()2()()()()()()a t x t x t m b t x t x t c t m x t x t ≤-----1，同理可证: 111()()(()())()()y t y t y t y t y t y t -- 21212()()()()()()()()()b t x t x t c t y t y t d t z t z t ≤---+-1， 11(()())sgn(()())zt z t z t z t -- 313133()()()()()()2()()()a t z t z t b t H z t z t c t m z t z t ≤--+---1 所以 1111221()(()2()()())()()D v t a t m b t c t m b t x t x t +≤--+-+2133332(())()()(()()2()())()()c t y t y t a t b t H c t m d t z t z t --+-+-+-1t .令， 111122233332min{()2()()(),(),()()2()()}a a t m b t c t m b t c t a t b t H c t m d =-++--+-由11()(()()()()()())D v t a x t x t y t y t z t z t +≤--+-+-1，得111()()(()()()()()()s 0tT v t v T a x s x s y s y s z s z s d -+-+-+-≤⎰），111()(()()()()()())tTv T x s x s y s y s z s z s ds a-+-+-≤<⎰∞. 则有1lim ()()0t x t x t →∞-=，1lim (t)()0t y y t →∞-=，1lim ()()0t z t z t →∞-=.这说明系统(2-2-1)的ω周期正解是全局渐近稳定的，从而也说明了周期解的唯一性.§2.2.4 概周期正解的存在唯一性和全局渐近稳定性概周期现象以周期现象作为它的特例，在生态学中更具有实际意义，设，是(),(),()i i i a t b t c t (123i =，，)2()d t [)0+∞，上连续的严格正概周期函数，于是得到如下的概周期系统：1112222333()()(()()()()())()()(()()()()()()())()()(()()()()())(0)0,(0)0,(0)0.x t x t a t b t x t c t y t yt y t a t b t x t c t y t d t z t z t z t a t b t y t c t z t x y z =--⎧⎪=+--⎪⎨=+-⎪⎪>>>⎩ ,,-, (2-2-8) 考虑系统 (,)xf t x = ，(,)(,)n f t x C R D R ∈⨯， (2-2-9) 其中是D n R 的一个开集，(,)f t x 是关于t 对n x R ∈上是一致概周期的，对式(2-2-9)的伴随系统(,),(,)x f t x y f t y == . (2-2-10) 引理设存在定义在[上的Lyapunov 函数，满足[35]2.2.3)0,D D +∞⨯⨯(,,)V t x y ()()(,,)(),i a x y V t x y b x y -≤≤-其中和是连续、递增的正定函数； ()a r ()b r 11221212()(,,)(,,){},0ii V t x y V t x y k x x y y k -≤-+->是一个常数；()(,,)iii D V cV t x y +≤-00t t ≥≥S ⊂，这里是一个常数，并且设系统(2-2-9)有一个解，对一切落在紧集内，则系统(2-2-9)在中有唯一概周期解，且此解在上一致渐近稳定.0c >D S D 定理2.2.5 若系统(2-2-8)满足条件(2-2-2)和(2-2-7)，则概周期系统(2-2-8)存在唯一且全局渐近稳定的概周期正解.证明由定理2.2.2和定理2.2.3知，系统(2-2-8)是一致持续生存的，为这个一致持续生存域，显然Ω是紧集，考虑系统(2-2-8)的伴随系统： Ω11111111122121211133131111()()(()()()()()),()()(()()()()()()()),()()(()()()()()),(0)0,(0)0,(0)0.x t x t a t b t x t c t y t yt y t a t b t x t c t y t d t z t z t z t a t b t y t c t z t x y z =--⎧⎪=+--⎪⎨=-+-⎪⎪>>>⎩ ，1111()((),(),())P t x t y t z t =11111111122121211133131111()()(()()()()()),()()(()()()()()()()),()()(()()()()()),(0)0,(0)0,(0)0.ut u t a t b t u t c t v t vt v t a t b t u t c t v t d t w t w t w t a t b t v t c t w t u v w =--⎧⎪=+--⎪⎨=-+-⎪⎪>>>⎩ .1111()((),(),())Q t u t v t w t =在上定义Lyapunov 函数：[0,)+∞⨯Ω⨯Ω 11111111(,,)()()()()()()V P Q x t u t y t v t z t w t τ=-+-+-.取111111()()()()()()()()a r b r x t u t y t v t z t w t ==-+-+-，则为连续递增的正定函数，所以满足引理的条件.(),()a r b r ()V t 2.2.3()i 设是系统(2-2-8)在[0上任意两个解，则有 22222222((),(),()),((),(),())P x t y t z t Q u t v t w t ,)+∞⨯Ω⨯Ω1122(,,)(,,)V t P Q V t P Q -=111111222222()()()()()()()()()()()()x t u t y t v t z t w t x t u t y t v t z t w t -+-+------- 121212121212()()()()()()()()()()()()x t x t y t y t z t z t u t u t v t v t w t w t ≤-+-+-+-+-+-1212P P Q Q =-+-.所以满足引理的条件.()V t 2.2.3()ii 与定理2.2.4的证明相类似，有下式成立：111111111()()()()()()()()()()D V t A t x t u t B t y t v t C t z t w t +≤------，其中111112212313332()()2()()(),()()(),()()2()()A t a t m b t c t m b t B t c t b t H C t a t c t m d t =-++-=-=++111min{(),(),()}0,r A t B t C t =>()()D v t rv t +≤-()V t ()iii .取则，所以满足引理2.2.3的条件，从而由引理2.2.3可知系统(2-2-8)在Ω中有唯一正概周期解，它在中是一致渐近稳定的.当满足条件(2-2-2)和(2-2-7)时，可知其具有唯一全局渐近稳定的概周期正解.Ω§2.2.5 小结本节研究了一类食饵具有阶段结构而捕食者不分阶段的捕食者-食饵系统，由定理 2.2.2与定理 2.2.3可知,当系统参数满足110L M a c H ->，，时,系统是一致持久生存的,也就是这时各物种能够长期共存下去,这对于保护物种的多样性有重要意义.而通过定理2.2.4与定理2.2.5的证明，我们得出了该系统周期正解与概周期正解的唯一存在性和全局渐近稳定性的充分条件.22120LL M a b m d H +->3320ML a b m -+>§2. 3 具Holling IV 类功能反应的非自治捕食者—食饵系统的研究研究捕食系统，特别是具有功能反应的捕食系统有着十分重要的现实生态意义，已被许多学者广泛研究[36-42].而对于形式较为复杂的Holling IV 类功能性的捕食系统的研究较少.文[43]中研究了一类具有Holling IV 类功能反应的自治系统：22012()1()1xy x x a bx cx wx x rxy y y h h y wx x ββ⎧=---⎪++⎪⎨⎪=--+⎪++⎩ ,. 讨论了该系统平衡点的全局稳定性、极限环的唯一存在性.但是由于自然界中各种因素如：食物、环境等会随时间发生改变，因此考虑模型的有关参数与时间有关更符合客观实际，本节在文[43]的基础上分析了一类具有Holling IV 类功能性的非自治系统，讨论了其动力学性质.本文具体模型如下：22012()()()()(()()()()()),1()()()()()()()()()(()()()).1()()()()x t y t x t x t a t b t x t c t x t w t x t t x t r t x t y t y t y t h t h t y t w t x t t x t ββ⎧=---⎪++⎪⎨⎪=--+⎪++⎩ (2-3-11) 其中()x t 表示食饵种群在时刻的密度，表示捕食者种群在t 时刻的密度，是食t ()y t ()a t 饵的内禀增长率，2()/(1()()()())x t w t x t t x β++()t t 为Holling IV 类功能反应函数，表示捕食率.为食饵种群转化为捕食者的转化率.表示食饵的密度制约项，h t 表示捕食者种群的死亡率.()r t ()2()()()()b t x t c t x t --(),(),(),(),a t b t c t r t 01()h t y +0(),(),(),w t t h t β1()h t 是[0上连续和严格正的有界函数，并且满足；,)+∞{}01min ,,,,,,,0,L L L L L L L L a b c r w h h β>{}01max ,,,,,,,M M M M M M M M a b c r w h h β<+∞对于一个连续有界函数()f t ，记{}sup ():M f f t t R +=∈，{}inf ():L f f t t R +=∈.§2.3.1 预备知识设{}2((),())()0,()0R x t y t x t y t +=>>，由生物学意义，只在区域2int R +内考虑系统(2-3-11)，对解((),())x t y t 只考虑其具有正初值的情况，即000()0,()0,0x t y t t >>≥. (2-3-12)引理2.3.1 2R +是系统(2-3-11)的正向不变集.证明由系统(2-3-11)得到：202()()()exp{[()()()()()]}01()()()()tt y s x t x t a s b s x s c s x s ds w s x s s x s β=---++⎰>， 00012()()()()exp{[()()()]}01()()()()t t r s x s y t y t h s h s y s ds w s x s s x s β=--+++⎰>>>. 当时，必有.因此系统(2-3-11)满足正初值的解可以保持恒正，故00()0,()0x t y t >2()0,()0x t y t >R +是系统(2-3-11)的正向不变集. 引理2.3.2 对系统(2-3-11)满足正初值条件(2-3-12)的解((),())x t y t ，若满足条件0(M L L r h w >+ ， (2-3-13)则集合2{((),())0(),0()}T x t y t R x t N y t M +=∈<≤<≤是系统(2-3-11)的最终有界集，其中*M L a N N b >=，*M M >=N *N 与、*M 与M 充分接近.证明设((),())x t y t 是系统(2-3-11)满足正初值条件(2-3-12)的解，从而2((),())x t y t R +∈，由系统(2-3-11)的第一个方程知()()(())M L xt x t a b x t ≤- ，于是有lim sup ()ML t a x t b→+∞≤*N N =<. (1)若0()x t N ≤，则对有0t t ≥()x t N ≤；(2)若0()x t >N ，则存在0ε>，当00[,]t t t ε∈+时有()x t N >.由已知条件知()(N N a >())0M L x t xt b N ≤- <，故存在，当时，有100T t ≥≥1t T ≥()x t N ≤. 再由系统(2-3-11)的第二个方程知：012()()()(()1()(M L LL L r x t y t y t h h y t w x t x t β≤--+++ )1()(()1()()ML L L L r y t h h y t x t w x t β≤--+++01()(()M L L y t h h y t ≤--+.则*lim sup ()t y t M →+∞≤=M <.与前面讨论相同，若0()y t M ≤，则对有0t t ≥()y t M ≤；否则，存在，当时，有200T t ≥≥2t T ≥()y t M ≤.令{}01max ,T T =2T ，当时，有0(0t T ≥),0()x t N y t M <≤<≤，故集合是系统(2-3-11)的最终有界集. T§2.3.2 一致持久性定理2.3.1 设条件(2-3-13)成立，若满足：0L a M ->， 0()L M M r h G w 0-+>， (2-3-14) 则212{((),())(),()}x t y t R m x t N m y t M +Ω=∈≤≤≤≤是系统(2-3-11)的正不变集和最终有界集，则系统(2-3-11)是一致持久的. 其中*11L M Ma M m mbc N -<=+，*0221()()L M M M M r h G w m m G w h -+<=+，并且和足够接近(1. i m *i m ,2)i =证明由引理2.3.2知，存在，对所有的，是系统(2-3-11)的最终有界集.于是，由系统(2-3-11)的第一个方程知00T >0t T ≥()[T ()()()]L M M xt x b c N x t -+ t a ≥-M ，则 *11lim inf ()0L M M t a M x t m m b c N→+∞-≥=>+>1. (1) 若0()x t m ≥，则对有0t t ≥1()x t m ≥；(2) 若0()1x t m <，则存在0ε>，当00[,]t t t ε∈+时有1()x t m <，由已知条件知 11()()[()]0L M M x t m xt m a M b c N m <≥--+> 10，故存在，当时，有 3T T ≥3t T ≥1()x t m ≥. 再根据系统(2-3-11)第二个方程知12()()()(()1()(L M M M M r x t y t y t h h y t w x t x t β≥--+++ )1()(()1()()LM M M M r y t h h y t x t w x t β≥--+++令1()()()M f t x t 1(()m x t N ≤≤x t β=+)，则1111()max ,M M f t m m N ββ⎧⎫N G ≤++⎨⎬⎩⎭=，所以 01()()(())LMM Mr y t y t h h y t G w≥--++ ，则 *021()lim inf ()()L M M M M t r h G w 2y t m G w h →+∞-+≥=+m >. 与前面讨论相仿，若0()2y t m ≥，则对有0t t ≥2()y t m ≥；否则，存在，当 4T T ≥34t T ≥时，有 2()y t m ≥.由上述证明可知，当满足条件(2-3-13)、(2-3-14)时，存在，当时，恒有((.因此Ω是系统(2-3-11)的正向不变集和最终有界集，故系统(2-3-11)是一致持久的.40T >4t T ≥),())x t y t ∈Ω§2.3.3周期正解的存在唯一性和全局渐近稳定性下面假设(),(),(),(),a t b t c t r t 01(),(),(),()w t t h t h t β是[0,)+∞上连续的严格正函数，且有上下界，并且是周期为ω的光滑函数，则系统(2-3-11)是一个ω周期系统. 定理2.3.2 如果ω周期系统(2-3-11)满足条件(2-3-13)、(2-3-14)，则系统(2-3-11)至少有一个严格正的ω周期解.证明 {}12(),()((),())m x t N m y t M x t y t ≤≤≤≤Ω=为有界闭凸集，且为系统(2-3-11)的正向不变集，定义Pioncare 映射2:A R R 2++→，使得,00()(,)A x x x ω=02x R +∈,则映射A Ω到自身，即.由解对初值的连续依赖性可得映射是连续的.由Brouwer 不动点定理，在Ω中，A 至少存在一个不动点，相应地系统(2-3-11)至少存在一个严格正的()A Ω⊂ΩA ω周期解.定理2.3.3 若条件(2-3-13)、(2-3-14)成立，且系统(2-3-11)还满足21221122(1)M M M M M L LL L w M NM r r N b c m w m m βββ++++>++， (2-3-15) 2122111(1)M M LL L w N N h w m m ββ++>++ ， (2-3-16) 则系统(2-3-11)有唯一的、全局渐近稳定的ω周期正解. 证明设((),)()()x t z t y t =是系统(2-3-11)的ω周期正解，()((),())z t x t y t =是系统任一正解,构造Lyapunov 函数：()ln ()ln ()ln ()x t x t y t y t =-+-ln ()v t . 直接计算沿系统(2-3-11)的解的右上导数有()v t ()ln ()ln ()ln ()ln ()D v t D x t x t D y t y t +++≤-+- =(ln ()ln ())sgn(()())(ln ()ln ())sgn(()())d dx t x t x t x t y t y t y t y t dt dt--+--。

一类具有避难所和时滞的非自治阶段结构捕食系统的动力学分析

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11
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2024 年 4 月
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t))(
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t)]d1 (
t)[
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t)]
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t)
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,
(
)
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α1 t y2 t + 1-q1 t x1 (
t)
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t)
t)[
a2 (
t)-b2 (
t)
x2 (
t)= x2 (
d

具有阶段结构和扩散的一类自治捕食系统全局渐近稳定性研究

证明
考虑系统（１１的子系统：
文【研究了两种群均具有阶段结构的非自治１】捕食系统的持久性问题，得到了系统持续生存的一个充分条件．文在文【】本１的基础上继续对其系统的全局渐近稳定性进行研究．型、基本假设及其说模明参照文［】１．
』（帆：（－＊ａ（（）；Ｂ￡）ｔｘ）２）（一）（）２Ｘ￡￡ｙ－ｙ
ｙ（（（＋ｆ劳ｆ）一）
１）ｅ］２１）Ｄ（－１）（（２ＢＹ（）ｔｙ（）ｔｃ￡＋）￡
１
定义
维普资讯
第２４卷第３期
２００８年６月
Ｉ西大同大学学报ｆＩＪ自然科学版）
Ｊｕｎｌｆｈｎｉ）ｔｎｎｖｒ（ａｕａｓｉｅｏｒａｏａ￣ｌｏｇＵｉｅｓｙＮｔｒｌ（ｅ）Ｓａｊｍ・
２
（＝Ｗ２－）Ｂ（－ｌ２）２）￡ｌ－（］ｌｔ０（ｙ（）ｅｘｔ）ｔｔ
｛（＝ｌ）２Ｙ（＋ｌ２）ｌ）Ｙ￡ｙ（（ — ｌ）（（（）￡￡ｙ￡￡）（２）ｔｙ（（］３２）（＋２ｌ）￡ｌ（＝２）３ＢＹ（＋２２）（（（）Ｙ）￡２ｔａｘ￡）ｙ￡）２
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））－ｙ１
ｙ（＝）３Ｂ＋２２）２）Ｙ（））（］３２））（一２）Ｙ＋ｙ￡
！（ｙ（（）ｎ（）ｙ￡）ｙ）２一）（，）＋）＝（

如何进入一个新科研领域

如何进入一个新的科研领域【摘要】以生物数学研究为例，从寻找专业书籍，搜集相关文献综述和科研论文，到精读科研论文，掌握研究方法和技巧，再到泛读科研论文了解最新研究动态，系统的介绍了进入生物数学领域开展研究的基本方法和步骤。

【关键词】科研领域；生物数学；研究方法不管是正在校学习的研究生，还是要转换领域的科研人员，要想进行某领域的科学研究，都要去了解和熟悉该领域，找到经典书籍或文献，静下心来去阅读，总结，发现，讨论和创新。

下面以生物数学研究为例，介绍一下自己是如何了解并进入生物数学领域开展学术研究的。

1.查阅资料、阅读文献综述了解一个科研领域的途径是多种多样的。

拿生物数学来说，要想了解生物数学是干什么的，怎样入手最快捷，需要哪些准备，哪些方面还有很大的研究空间等等，可以从以下两个方面去展开。

1.1咨询老师和已经深入研究的科研人员生物数学是一个很大的研究领域，从研究使用的数学方法划分，生物数学可分为生物统计学、生物信息论、生物系统论、生物控制论和生物方程等。

其分支虽然较多，但我们只需要选择自己感兴趣的方向去展开就好。

我的研究是从导师的指导开始，导师的研究方向为生物控制论和生物方程，他掌握了种群动力学，传染病动力学，神经网络动力学等方面的研究内容和资料，我在导师的推荐下阅读了《数学生态学模型与研究方法》[1]、《传染病动力学的数学建模与研究》[2]和《人工神经网络理论、模型、算法及应用》[3]三本书的方向介绍和基础知识部分，对这三个方向有了大致的了解。

然后，我向已经深入研究的老师们去详细了解了这个方向的研究基础、研究程度以及他们在做该方向时的一些感触，最后选定了种群动力学来研究。

1.2寻找书籍和综述文献了解一个研究领域的另外一个途径可以从阅读专业书籍着手。

首次了解一个研究方向，主要寻找介绍型的专业书籍，理论应用尽量简单，介绍比较全面，最好还能有专业的发展方向和前沿研究。

寻找专业书籍最直接的途径是让熟悉此领域的研究人员推荐，另一方面也可以从网络上或者综述文献的参考文献中获取。

一类时滞非自治Lotka—Volterra扩散生态系统的全局吸引性

Ｖ１４Ｎ．ｏ．７ｏ２
Ｍａ．２８ｒｏｏ
一
类时滞非自治ＬｔａＶｌｒ散生态ｏ — ｏｅａｋｔｒ扩系统的全局吸引性
程惠东，孟新柱，王芳
（东科技大学理学院，山东青岛２６１）山６５０
摘要：研究了一类ｎ维纯时滞Ｌｔ — ｏｅａｏａＶｌ￣扩散生态系统．通过一种新的构造Ｌａｕｏ泛函的方法，获得ｋｔｙｐｎｖ
食模型：
ｆｌ￡１￡［ｌ￡童（）＝（）ｒ（）一ａ（）ｌｔ—Ｊ（）ｌｔｘ（ｒ￡）一ｌ
Ｊ后ｔｔｓｓＩ，］一，（）一＿Ｖ＋（）＋ｄ＿ ∞ ｓ十．
∑ （） — ，
圣＝Ｘ［一ａｘ —ｂｔｔ）一ｉｉｆｉ（ —ｒ（）ｘ
Ｉｔ）ｉｔ）ｓｋ，（＋ｓｄ］＋（ｓ
ｌ
Ｉ
Ｉｌ
∑ ￡￡一￡，＝， …ｎ，（（（（）２，，）））（３）
∑ （）（２３…，）一ｉ，，，ｎ，
＝Ｙ一ｒ１一ａ＋Ｙ—ｂ＋（ —ｒ＋（）［＋ｎｌｎｌｔｔ）一Ｙ
Ｃ｛ ∈ （Ｒ１一训ｄ＜）ｈ咖Ｃ＋：ｓ＝Ｒ）ｕｐｓ ∞，
（（）＝０（，ｔ）ｉｊ＝１２ … ，，＋１都是［，，，／／）＇＇ｔｔ０＋∞ ）
上正的连续有界函数；
，０
文［］利用微分方程理论和构造适当的Ｌａｕｏ１ｙｐｎｖ
函数得到了生物系统（）的持续生存和全局吸引１性．然而文［］在证明持续生存和全局吸引性是１在假设ａ（）＋ｂ（）＞０ｉ＝１２ … ，ｔｔ，，，ｎ的条件下证得的（对这类系统我们称为非纯时滞系统）当，（）为纯时滞系统（各项均为时滞）１即，则文

一类含时滞和扩散Lotka-Volterra竞争模型的持久性与吸引性

设
１基本知识和假设
ｆ＝ｉｆ厂ｔ：Ｒ｝ｆｎ｛（）ｔ∈ ，＝ｓｐ厂ｔ：Ｒ｝ｕ｛（）￡∈ ，其中厂ｔ是连续有界函数．文假设（）本
（）ｒ（）ａ（）Ｃ（）ｅｔ，ｔｔ，ｉｔ，Ｈ１。ｔ，ｔ，ｔ，（）ｆ（）ｇ（）ｉｉ
一
∑ｆ（ｘ￡一ｉ）（一ｉｔｆ）ｇｔｉ），）（（Ｙｔ
‘＝ｌ
ｒ．０
直为数学家和生态学家关注，量的结果被建大
∑Ｊ（ｓ＋），￡）（ｓ），ｙ￡
＝ｌ一ｒ
立 …．其是近年来，尤随着扩散对生物种群的影响被重视，些学者对此进行了有益的探索，群动一种力学的斑块理论逐步建立，Ｙ．Ｔｋｕｋ和Ｋ如ａｅｃｉ．Ｋｓｉｏ讨论了一类含扩散项的ＬｔａＶｈｒｉｍｔｈｏｏ．ｏｅｒｋａ竞争模型，得到解持久和周期解存在的条件；．ＲＪ．Ｚａｇ等和黄玉梅等考虑时滞对种群的影响，ｈｎ研究了一类含时滞和扩散ＬｔａＶｈｒ竞争模型，ｏ－ｏｅａｋｒ建立解持久和稳定的条件；．Ｙ．ＳｎＸｏｇ等将斑块推广到ｎ个情形，得ｎ个斑块捕食与被捕食模型获
‘ ｌ一ｒ＝
ｎ
ｍｎｉ，，：ｉＤｌ，ｌ｛ｉＬｅ，，｝＞，Ｌａ，，０１，ｌＬｇ上，ｅｒｉｋｌ
ｍａ｛＾，Ｃ，ｘ，ａ，＾１ｉ＾ｋｅｒ，ｉｉ，，，ｉ，｝ ∞ ；ｉ｝＜ｇｕｉ村，＜

一类具有扩散的捕食系统的持久性

Ｍａ０８ｙ２０
Ｖｏ．３Ｎｏ３Ｉ２．
文章编号：６３０４２０）３００ —４１７—６Ｘ（０８０ —１５０
一
类具有扩散的捕食系统的持久性
Ｐｒｉｅｃｆａｐｅａｏ－ｒｙｓｓｅｗｉｉｕｉｎｅｓｓｎｅｏｒｄｔｒｐｅｙｔｍｔｄｆｓｏｔｈ
魏朝颖柳卫东２，
（．１西安石油大学理学院，陕西西安７０６；．１０５２武警工程学院基础部，陕西西安７０８）１０６
摘要：究了一类具有Ｍｉａｌｍｅｔｎ型反应函数的扩散系统的持久性问题，用比较原理，研ｃｃｗｎｅｈｉ利得
一一ｊ
ＪＩ（一）＋［）ｚ］Ｄ３（，，Ｊ，（】）
士）ｚ）口１ａｃ＋２一３一（ｚｔｒ。：。［。３（ｓｔｒ＋（ｓｔｒ —）（（一＋ｓｔｒ—）ｃ３２ｚｔ３—（１１）（１ａ２—（３ｔ３３３）２２＋）ｃ
Ｍ＝ｍａ｛１Ｍ２，＝ｍｉ｛１ｍ３｝）Ｍ，｝ｍ（ｎｍ３，２．
证明设（）１ｔ，（）（）Ｙ￡）ｔ＝（（）２ｔ，ｔ，（）为系统（）３１满足初始条件（）２的任意正解，、（）取／ｔ＝，１ｍ）１ｔ，（），ａ｛（）Ｙｔ｝对于任意给定的一个ｔ［，。，（ ∈ ０＋ｏ）由引理２１沿系统（）．知，１计算ＤＶ（）１ｔ卷第３期３
西安石油大学学报（自然科学版）

一类非自治单种群模型的持久性

Ａｂｔａｔｈａｅｘｌｉｅｅｆｒｎｅｅｎｎｎｕｏｏｕｉｇｅ— ｓｃｅｙｔｍｗｔｎｎｔｅａｓａｄＦｅｂｃｏｔｌｙｓｒｃ：ＴｅｐｐｒｅａｎｎｓｔｒｍａｎｅｉｏａｔｎｍｏｓｓｒｌｆｈｅｒｅｐｉｓｓｓｉｉｆｉｄｌｙｎｅｄａｋＣｎｒｓｂｅｈｉｅｏｕｉｇｔｅｃｍｐｒｏｈｏｅｏｉｅｅｔｌｑａｉｎａｄｓｍｅｓｂｌｎｙｉａｅｈｑｅＮｗｓｆｃｅｏｄｆｎｒｂａｎｄ．ｓｏａｉｎｔｅｒｍｆｄｆｒｎｉｕｔｎｏｕｔａａｔｌｔｃｎｕ．ｅｕｉｎｅｎｉｏｓａｅｏｔｅｎｈｓａｅｏｙｌｃｉｉｉｉＫｅｒｓｎｎｔｅａ；ｅｄａｋｃｎｒｌｎｎｕｏｏｕ；ｉｇｅ—ｓｃｅ；ｅｍａｅｃｙｗｏｄ：ｉｉｅｄｌｙｆｅｂｃｏｔ；ｏａｔｎｍｏｓｓｌｉｆｏｎｅｐｉｐｒｎｎｅｓ
中图分类号：１５１Ｏ７．文献标识码：Ａ文章编号：０９５８２ｏ）６— ０８５１０一ｌ４（０８００２ —０
ＰｅｍａｎｅｉａＣｌｓｆＮｏｕｏｏｕｉｇｅ— ｐｃｅｙｔｍｓｒｎｅｃｎａｓｏｎａｔｎｍｏｓＳｎｌ —ｓｅｉｓＳｓｅ
随着经济的发展和科学的进步，态问题已经越来越多地受到许多专家学者的重视，中种群动力学理生其论已经成为生物数学的一个非常重要的分支学科。在种群生态学中一个重要的问题就是找到种群共存的条件，为此许多学者进行了深入地研究。迄今为止，具有时滞和反馈控制的单种群模型而言，们看到许多就我学者对模型周期解的存在性以及周期解的稳定性进行了比较详细的研究，对此类模型的持久性研究较少。而例如，于具有无限分布时滞和反馈系统（）对１：

一类非自治阶段结构捕食系统的持久性与周期解

一类非自治阶段结构捕食系统的持久性与周期解黄兴华，曹成堂(江苏城市职业技术学院，江苏连云港222006)摘要：研究了一类食饵成年后具有捕食其幼年捕食者能力的阶段结构的非自治捕食系统，利Lya punov函数方法得到系统持续生存的条件，以及在一定条件下存在唯一全局渐进稳定的概周期正解。

关键词：阶段结构；持续生存；概周期解；全局稳定中图分类号：Q141文献标识码：A文章编号：1008—8970一(2013)04—0118—02i1‘{、J1日在自然界中，许多种群在一生中经历了幼年与成年两个阶段，这种阶段模型已被许多作者研究¨-“，但是他们所研究的都是捕食者一直扮演捕食者的角色。

本文考虑如下的非自治捕食系统，其中食饵成年后具有捕食其幼年捕食者的能力：f球，)=xl(t X a,，(，)一012(，)一q3(OxI(f)一U14(r)J，O))．{砖(r)=口l：(，)‘(r)一q．(t)xA，)-a32(，)毫(f)，(1) p．(f)=七(f)q。

(f)五(，)y(f)一a2，(f)屯(f)贝，)一ck(r)y(f)一q，(f)，2(r)．这里的五(f)为幼年食饵种群甲，x：(r)为成年的食饵种群甲，yO)表示捕食幼年食饵种群甲的捕食者并且被成年种群甲捕获的种群，a。

(f)表示食饵幼年种群的内禀增长率，a。

，(r)表示食饵幼年到成年的变化率，a。

，(，)，a：，(，)，编：(r)表示种群密度制约因素，a：：(，)，a，。

(，)分别表示死亡率。

本文假设国，(f)，西：0)，a．，(f)，a14(f)，02，(，)，a。

(f)，a。

(f)，仍，(，)，仍：(，)，女(，)都是连续的，严格正的有上界和下界的函数。

若，(f)是定义在【o，+a。

)上的连续有界函数，引进记号：厂=sup驭，)：feR+}，厂‘=i nf{厂(，)：reR+}。

二、持久性SIJ里I：寇={(五，Y,X：l y≥o，X。

一类离散非自治捕食模型持久性与周期解的存在性

０引言
最近，文献［】１讨论了二种群具有 Ⅳ 类功能反应的非自治捕食系统：
影响的情况下，下面的模型：讨论
ｔ）（（ｎｌ（＋）（）ｘ（）（）（一） ‘ ｎｙ１ｌｎ１＝ｅｐ一口Ｈ＂ｆ＿ｏ）ｃ＋（
文章编号：１７－０５２１）１Ｏ２－５６４８８（００－０４０１
一
类离散非自治捕食模型持久性与周期解的存在性
蒲武军，张金战，张明会
（陇南师范高等专科学校数学系，甘肃，成县７２０）４５０
摘要：主要讨论一类具有 Ⅳ 类功能反应的离散非自治捕食模型，利用比较原理和重合度理论，获得了其持久性和周期解的存在性的充分条件。
－
，
一
Ｊ” １＝，＋）（
ｅｐＸ（ｎ一）
（一） ‘（（０ ” 『＋ｆｎｘ１ｌ）ｎ．
－
ｃ＋
：（
一
【Ｘ））－（一）；￣ｒ一考＇（ｔ＝Ｉｙ），）－（一￣一６＋ｔＰ（＝）
卢。
（）３
其中（和ｙｆ分别代表食饵和捕食者的种群密ｆ）（）
且系统（）满足初值条件２
度，口ｆ６ｆｃｆＰ）（，（，（均是严格（，（，（，ｒ））））（，ｆｆ卢ｆ））
正的周期函数，用Ｂｏｗｅ利ｒｕｒ不动点定理和构造Ｌａｏｏ函数的方法，ｉｎｖｐ获得了该系统永久生存和存在唯一全局稳定的周期解的充分条件。但是，系统态本身是离散的，差分系统来描述捕食与被捕食系用

具有时滞和年龄结构的非自治食蚜蝇-蚜虫模型的全局稳定性

证明设ｘ（ｔ），Ｙ（ｔ），Ｙ：（ｔ））为系统（３）的任意正解，由系统（３）的第一个方程得
） ≤ ）（）一（）），
由于（）≤ ｒ（）（）≤ ｒＭｘ（ｔ），在［ｔ一丁，］上积分，可知有ｘ（ｔ一。）≥ ｅ－ｒＭ＇ｒｌ（）．于是
（ｔ）＝一ｄｚｙ２（ｔ）＋ｋｄｙ１（ｔ），
２
２
讨论了系统平衡点及其稳定性和分支，但对正平衡点在时滞情况下没有给出理论分析，仅给出计算机模拟．
系统（２）为自治系统，描述环境因素是常定的情况，然而恒定的环境是不存在的，为了更精确地描述生态现象，我们建立如下时变系统
本文主要讨论该系统的全局稳定性．假定系统系数ｒ（ｔ）、Ｋ（ｔ）、ａ（ｔ）、ｂ（ｔ）、Ｃ（ｔ）、ｅ（ｔ）、ｄ（ｔ）、ｄ。（ｔ）、ｄ（ｔ）、（ｔ）为正的有界连续函数．为了方便起见，引入记号
意，＝堕
： பைடு நூலகம்
，＝
ｆＭ１
，
其中
ｍ
ｍ
ｒ
’
ｍ，．ｌ：
ｒｃ’ ｍ ∈ｌ＼ — ｆｚ一， — ｋ（ｄ） … Ｉｌ ’
∈
ｍ＝ｍｉｎ｛［－
Ｍ＋
＋］，１１＿（ｍ２ｄ￣一ｍｌｅＭ）｝．

一类具有时滞和阶段结构的捕食系统的持久性和全局吸引性

一类具有时滞和阶段结构的捕食系统的持久性和全局吸引性赖尾英;温永仙
【期刊名称】《福建农林大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2012(041)002
【摘要】讨论了一类具有连续时滞和阶段结构的捕食-食饵系统,利用微分方程比较定理得到保证此系统持久性的充分性条件；利用迭代方法探讨了此模型的平衡点问题,得到保证此系统全局稳定的充分条件,并通过具体实例证明该条件是可行的.【总页数】6页(P219-224)
【作者】赖尾英;温永仙
【作者单位】福建农林大学计算机与信息学院,福建福州350002;福建农林大学计算机与信息学院,福建福州350002
【正文语种】中文
【中图分类】O175.14
【相关文献】
1.一类具功能性反应阶段结构捕食系统的持久性和全局吸引性 [J], 翁少群
2.一类时滞非自治具有阶段结构的捕食被捕食系统的持久性 [J], 梁桂珍;高际宇
3.具有变时滞阶段结构捕食系统的全局吸引性 [J], 伍代勇
4.一类具有阶段结构和时滞的非自治捕食系统的持久性与周期性 [J], 张莉敏;郑宗剑
5.具有时滞和阶段结构的捕食系统的持久性和全局吸引性 [J], 赖尾英;占青义
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一类带阶段结构的捕食-食饵扩散系统的稳定性

一类带阶段结构的捕食-食饵扩散系统的稳定性曹怀火;李海燕;张永【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2014(000)015【摘要】The global behavior of positive solutions to a predator-prey diffusive system with stage-structure under homo-geneous Neumann boundary conditions is proved, and stability of the non-negative equilibrium points to system is investi-gated with the assistance of the spectrum analysis and Lyapunov function.%证明一类带有阶段结构和空间扩散的三次捕食者-食饵扩散系统在齐次Neumann边界条件下正解的整体性态，应用谱分析方法和构造Lyapunov泛函讨论系统非负平衡解的渐近稳定性。

【总页数】6页(P42-47)【作者】曹怀火;李海燕;张永【作者单位】陕西师范大学数学与信息科学学院，西安 710062; 池州学院数学与计算机科学系，安徽池州 247100;池州学院数学与计算机科学系，安徽池州247100;兰州大学数学与统计学院，兰州 730000; 池州学院数学与计算机科学系，安徽池州 247100【正文语种】中文【中图分类】O175.26【相关文献】1.一类捕食-食饵系统的持久性和绝灭性——具有扩散的阶段结构Beddington-DeAngelis功能性反应 [J], 林晓2.一类食饵带传染病的捕食者-食饵扩散模型的稳定性 [J], 伏升茂;李红金3.一类食饵带传染病的捕食者-食饵扩散模型的稳定性 [J], 李红金4.一类带有扩散项和阶段结构的非自治捕食-食饵系统解的渐近行为 [J], 胡华书;蒲志林;沈怡心5.一类具有时滞和阶段结构的捕食者-食饵系统的全局稳定性 [J], 王玲书因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。