分析非线性系统的方法

非线性系统稳定性问题的判定方法和发展趋势

任何一个实际系统总是在各种偶然和持续的干扰下运动或工作的。所以，当系统承受干扰之后，能否稳妥地保持预订的运动轨迹或者工作状态，即系统的稳定性是首要考虑的。一个系统的稳定性，包括平衡态的稳定性问题和任一运动的稳定性问题。而对于给定运动的稳定性可以变换成关于平衡点的稳定性问题。

对平衡点的稳定性进行分析可将平衡点的稳定性定义为李雅普诺夫稳定、一致稳定、渐进稳定、一致渐近稳定、按指数渐进稳定和全局渐进稳定，除了全局渐进稳定，其他都是局部的概念。

非线性系统的数学模型不满足叠加原理或其中包含非线性环节。包括非本质非线性（能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性）和本质非线性（用小偏差线性化方法不能解决的非线性）。它与线性系统有以下主要区别：

1．线性控制系统只能有一个平衡点或无穷多的平衡点。但非线性系统可以有一个、二个、多个、以至无穷多个平衡点。非线性系统与线性定常系统明显不同，其稳定性是针对各个平衡点而言的。通常不能说系统的稳定性如何，而应说那个平衡点是稳定的或不稳定的。2．在线性系统中，系统的稳定性只与系统的结构和参数有关，而与外作用及初始条件无关。非线性系统的稳定性除了与系统的结构和参数有关外，还与外作用及初始条件有关。

由于非线性控制系统与线性控制系统有很大的差异，因此，不能直接用线性理论去分析它，否则会导致错误的结论。对非线性控制系统的分析，还没有一种象线性控制系统那么普遍的分析、设计方法。

现代广泛应用于非线性系统上的分析方法有基于频率域分析的描述函数法和波波夫超稳定性，还有基于时间域分析的相平面法和李雅普诺夫稳定性理论等。这些方法分别在一定的假设条件下，能提供关于系统稳定性或过渡过程的信息。而计算机技术的迅速发展为分析和设计复杂的非线性系统提供了有利的条件。另外，在工程上还经常遇到一类弱非线性系统，即特性和运动模式与线性系统相差很小的系统。对于这类系统通常以线性系统模型作为一阶近似，得出结果后再根据系统的弱非线性加以修正，以便得到较精确的结果。摄动方法是处理这类系统的常用工具。而对于本质非线性系统，则需要用分段线性化法等非线性理论和方法来处理。目前分析非线性控制系统的常用方法如下：

1、线性化方法

采用线性化模型来近似分析非线性系统。

这种近似一般只限于在工作点附近的小信号情况下才是正确的。这种线性化近似，只是对具有弱非线性（或称非本质非线性）的系统。

常用线性化方法，有正切近似法和最小二乘法。

此外，对一些物理系统的非线性特性比较显著，甚至在工作点附件的小范围内也是非线性的，并且不能用一条简单的直线来代表整个非线性系统特性的系统，可采用分段线性化方法。2、相平面法

相平面法是一种基于时域的分析方法，一种用图解法求解一、二阶非线性常微分方程的方法。

该方法通过图解法将一阶和二阶系统的运动过程转化为位置和速度平面上的相轨迹，从而比较直观、准确地反映系统的稳定性、平衡状态和稳态精度以及初始条件及参数对系统运动的影响。相轨迹的绘制方法步骤简单、计算量小，特别适用于分析常见非线性特性和一阶、二阶线性环节组合而成的非线性系统

对于分段线性的非线性系统来说，相平面分析法的步骤为：

（1）用n条分界线（开关线，转换线）将相平面分成n个线性区域；（2）分别写出各个线性区域的微分方程；（3）求出各线性区的奇点位置并画出相平面图；

（4）将各相邻区的相轨迹联成连续曲线------非线性系统的相轨迹。根据绘制出的xx

相轨迹图，去研究非线性系统的稳定性和动态性能。这种方法只适用于一、二阶系统和由阶跃或斜坡输入信号激励的情况。

3、描述函数法又称为谐波线性化法

描述函数法是一种基于频率域的分析方法，一种工程近似方法。

在一定的条件下，用非线性元件输出的基波信号代替在正弦作用下的非正弦输出，使非线性元件近似于一个线性元件，从而可以应用乃奎斯特稳定判据对系统的稳定性进行判别。

这种方法主要用于研究非线性系统的稳定性和自振荡问题。如系统产生自振荡，如何求出其振荡的频率和幅值，以及寻求消除自振荡的方法等。但不能直接给出有关暂态响应方面的可靠信息。

4、李雅普诺夫第一法

李雅普诺夫第一法又称间接法,它是研究动态系统的一次近似数学模型(线性化模型)稳定性的方法。它的基本思路是：首先求系统的平衡状态（非线性系统有多个平衡点）；将状态方程在平衡点附近进行线性化（包括不同的平衡点）；求出线性化后状态方程的特征值，根据全部特征值在复平面上的分布情况来判定系统在零输入情况下的稳定性。若出现特征值为0的情形需要用到中心流形定理。

李雅普诺夫第一方法与经典控制理论中稳定性判据的思路一致，需求解线性化状态方程或线性状态方程的特征值，根据特征值在复平面的分布来分析稳定性。

但它具有局限性，李雅普诺夫第一方法只讨论了系统状态的稳定性问题，而没有讨论经典控制理论中的输出稳定性问题；由于李雅普诺夫第一法需要求解线性化后系统的特征值,因此该方法也仅能适用于非线性定常系统或线性定常系统,而不能推广至时变系统；仅适用于分析弱非线性问题。

5、李雅普诺夫第二法

考虑到李雅普诺夫第一法的局限性提出了李雅普若夫第二法。李雅普诺夫第二法又称为直接法，它是一种对线性系统和非线性系统、定常系统和时变系统都适用的方法。它是在用能量观点分析稳定性的基础上建立起来的。基于这样的观点,只要能找出一个能合理描述动态系统的n维状态的某种形式的能量正性函数,通过考察该函数随时间推移是否衰减,就可判断系统平衡态的稳定性。根据非线性系统动态方程的特征，用相关的方法求出李雅普诺夫函数V(x)，然后根据V(x)和)(xV

的性质去判别非线性系统的稳定性。

寻找李雅普诺夫函数的方法：

（1）特殊类型自治系统的Lyapunov函数：首次积分组合法、分离变量法（2）雅克比矩阵法又称克拉索夫斯基方法（3）变量梯度法

（4）递推设计的Lyapunov函数

对非线性控制系统的研究，到本世纪四十年代，已取得一些明显的进展。主要的分析方法有：相平面法、李亚普诺夫法和描述函数法等。非线性系统稳定性的早期研究都是针对一些个别或特殊类型开展的。例如，Poincare于1885年提出的相平面法是一种求解非线性常微分方程的图解方法，虽然能够获得系统的全部特征，如稳定性、过渡过程等，但仅适用于二阶及简单的三阶系统。 Lyapunov稳定性理论是分析和研究非线性控制系统稳定性的重要理论，多年来被大家广泛采用。 Lyapunov方法具有一般性，但要构造出合适的Lyapunov函数却并非易事。除一些特殊类型的非线性系统外，尚无构造Lyapunov函数的通用方法。所以，虽然这些方法都已经被广泛用来解决实际的非线性系统问题，但是这些方法都有一定的局限性，都不能成为分析非线性系统的通用方法。

这些年来，国内外有不少学者一直在这方面进行研究，也研究出一些新的方法，如频率域的

波波夫判据，广义圆判据，输入输出稳定性理论等。但总的来说，非线性控制系统理论目前仍处于发展阶段，远非完善，很多问题都还有待研究解决，领域十分宽广。非线性控制理论作为很有前途的控制理论，将成为二十一世纪的控制理论的主旋律，将为我们人类社会提供更先进的控制系统，使自动化水平有更大的飞越。