非线性系统的分析

共轭虚根。此时方程(7 2 3)就成为：
dx1 dx2
x2 n 2 x1
分离变量后，对上式等号两侧分别积分得
x12
x2
n
2
R2
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式中
R2
x10 2
x20
n
2 ,
x10、x20为初始状态。
上式所表示的系统的相轨迹是一族同心的椭 圆，每一椭圆对应一个简谐运动(参见图7-21a)。在相平面原点处有一孤立奇点，被周围 封闭的椭圆曲线包围。此种奇点称为中心点。
(7-2-10) (7-2-11)
相平面原点[0，0]是系统的平衡点。 此非线性系统在平衡点附近小范围线性化方程为
•
x1 (t) x2 (t)
•
x2 (t) x1(t) 2x2 (x)
(7-2-12)
将式(7-2-11)与式(7-2-2)比较可知：
当 0, x(t) 1时，等效阻尼比 x2(t) 1 0，
(4)当1、2为实根，且 1位于根平面左半不部， 2
位于根平面右半部时， 系统的零输入响应也是非周期发散的。相应的相 轨迹如图7-2-1d所示。此种奇点称为鞍点。
(5)当1 0时，1、2为位于根平面右半部的 一对
共轭复根。系统的零输入响应是发散振荡的。对应 的相轨迹为由相平面原点出发的对数螺旋线(参见 图7-2-1e)。此种奇点称为不稳定的焦点。
可利用继电控制实现快速跟踪。
带死区的继电特性，将会增加系统的定 位误差，对其他动态性能的影响，类似 于死区、饱和非线性特性的综合效果。
式中
a — —继电器吸合电压； ma — —继电器释放电压； M — —常值输出。
当a=0时，继电器的吸合及释放电压为零，此种情况亦 称零值切换，又称理想继电器特性，如 图7-1-5a所示。
4、继电器特性
如图7-1-4d所示，其数学描述是
0
-ma xt a,
0 -a xt ma, yt M sgn xt
M xt ma,
M xt ma,
•
x(t) 0
•
x(t) 0
x(t) a
(7-1-6)
•
x(t) 0
•
x(t) 0
继电器特性的影响
理想继电控制系统最终多半处于自振工 作状态。
r1x1, x2 a11x1 a12 x2 r1 x1, x2
f2 x1, x2 a 21x1 a 22 x2 r2 x1, x2
(7-2-7)
式中
aij
fi x j
x1 0
x2 0
i, j 1、2
r1、r2 — —余项或称高次项
于是，式(7-2-5)、式(7-2-6)在其平衡点[0，0]附 近小范围内线性化方程为
2、饱和特性
如图7-1-4b所示，其数学描述是
yt
k k
xt
asgn
xt
x(t) a x(t) a
(7-1-4)
式中 a — —线性区宽度；
k — —线性区特性的斜率，k tan
饱和特性的影响
使系统开环增益下降，对动态响应的 平稳性有利。
使系统的快速性和稳态跟踪精度下降
3、间隙特性
(2)当0 1时，系统处于欠阻尼运 动状态，1、2
位于根平面左半部的一对共轭复根。系统的零输入 响应呈衰减振荡，最终趋于零。对应的相轨迹是对 数螺旋线，收敛于相平面原点(参见图7-2-1b)。此 种奇点称为稳定的焦点。
(3)当 1时，系统处于过阻尼运 动状态， 1、2为
位于根平面左半部的两个负实根，这时系统的零输 入响应是随时间非周期地衰减到零。对应的相轨迹 是一族趋向相平面原点的抛物线(参见图7-2-1c)。 相 平面原点为奇点，并称其为稳定的节点。
图7-2-2范德波尔方程在 0 时的相轨迹
7-3 非线性系统的相平面分析
➢ 用相轨迹分析非线性系统
用相平面法分析含有非线性特性的二阶系统简单 易行，能得到比较直观明确的结论。下面将举例 说明。
分析比较两者的时间响应。
解
以x0表示以上系统的初始状 态。线性系统的解是
x(t) x0et
非线性系统的解是
x(t)
1
x0et x0 x0et
非线性系统的时间响应如图7-1-6所示。
图7-1-6 非线性系统的时间响应
当x0 1时，
非线性系统的运动形式，即时间响应的特征与线
性系统一样，都是在t=0时，x(t) x0 随着时间的
3、频率响应畸变
对于非线性系统，如输入为正弦函数，其输出通 常包含有一定数量的高次谐波的非正弦周期函数， 周期则同于输入。非线性系统有时还可能出现跳 跃谐振、倍频和分频振荡等现象。
图7-1-8表示是一正弦输入信号通过间隙非线性 元件后，其响应发生畸变的情况。
图7-1-8 间隙特性的正弦响应
7-2 二阶线性和非线性系统的相平面分析
7-1 非线性系统的基本概念
➢ 非线性系统的数学描述
在构成系统的环节中有一个或一个以上的 非线性特性时，称此系统为非线性系统。
图7-1-1a是用弹簧悬挂带有阻尼力的质量为m的 物体的示意图，显研究其上下振动的运动状态。 弹簧力的特性如图7-1-1b所示。
图 7-1-1 a)由质量、弹簧、阻尼器构成的系统
x•
1 (t) a11x1(t) a12 x2 (t)
•
x2 (t) a 21x1(t) a 22 x2 (t)
(7-2-8)
显然，线性化系统的平衡点仍为[0，0]
在大多数情况下，这种线性化系统的相轨迹与原 非线性系统的相轨迹在相平面原点（平衡点）某
个适当小范围内有着相同的定性特性。表7-2-1总 结了这些情况。
图 7-1-1 b) 弹簧力的非线性特性
考虑到作用于质量m上的全部力，其运动 可用下面的非线性微分方程描述：
m
d2y dt 2
fv
dy dt
kyy
F
(7-1-1)
描述大多数非线性物理系统的数学模型是n阶非线性 微分方程，其形式为
m
dn dt
y
n
h t, yt, dyt
dt, d 2 yt
dt2 ,, d n1 yt
(7-1-3)
式中 a — —死区宽度；
k — —线性输出特性的斜率，k tan
sgn xt— —当xt 0时，sgn xt 1； 当xt 0时，sgn xt 1
死区（不灵敏区）特性的影响
增大了系统的稳态误差，降低了定 位精度。
减小了系统的开环增益，提高了系 统的平稳性，减弱动态响应的振荡 倾向。
增长，时间响应都逐渐衰减为零，非线性系统也 是稳定系统 。
当x0 1时， 线性系统的响应仍与 x0 1时一样。
但非线性系统的响应则不然，它随时间增长而发散
到。系统呈不稳定状态。
2、系统的自持振荡
在非线性系统中，在无外部激励时，发生某一固定 振幅和频率的振荡，称为自持振荡（或自激振荡）。
例 7-1-2 范德波尔方程是
dt n1, u
式中 u(t) — —输入函数
y(t)— —输出函数
为了求非线性系统的时域响应，必须求出式(7-1-2) 的解。 通常情况下，可以将构成系统的环节分为线性与 非线性两部分。用框图表示如图7-1-2所示。
图7-1-2 非线性系统框图的基本形式
式(7-1-1)描述的系统，也可以用图7-1-3所示的框 图表示。
➢ 非线性系统的特点
1、稳定性
非线性系统的稳定性及零输入响应的性质不仅仅 取决于系统本身的结构和参量，而且还与系统的 初始状态有关。
例7-1-1 比较以下两个系统的特征。其一为线性 系统，描述其运动的微分方程为
•
x(t) x(t)
另一为非线性系统，其微分方程为
•
x(t) x(t) x2(t) x(t)1 x(t)
•
x2 (t) f2x1(t), x2 (t)
(7-2-5) (7-2-6)
式(7-2-5)、式(7-2-6)所表示的系统的平衡点是[0，0]。 根据泰勒定理，将函数 f1及f2 展开成下式
f1 x1, x2
f1
0,0
f1 x1
x1 0 x2 0
x1
f1 x2
x2
x1 0
x2 0
如果在式(7-1-6)中，参量m=1，即继电器的吸合 电压与释放电压相等，无回环。此即为有死区的 单值继电器特性，如图7-1-5b所示。
图7-1-5 几种特殊的继电器特性
如果在式(7-1-6)中，参量m=-1，即继电器的正向 释放电压与其反向吸上电压相等时，这就是有回 环的继电器特性，如图7-1-5c所示。
➢ 二阶线性系统的特征
二阶线性系统的微分方程为
••
•
x x 2 n
2 n
x
0
(7-2-1)
如令x x1，则式(7 2 1)可写成下列一阶微分
方程组：
•
x1 x2
•
x2
n2 x1
2
n
x2
(7-2-2)
合并以上两式，得到
•
x1
•
n2 x1
x2
2
n
x2
x2
•
•
考虑到x1 dx1 / dt, x2 dx2 / dt,则上式可写为：
(6)当 1时，1、2为位于根平面右半部的 两个
正实根。系统的零输入响应为非周期发散的， 对应的相轨迹是由相平面原点出发的发散型抛 物线族(参见图7-2-1f)。此种奇点称为不稳定的 节点。
➢二阶非线性系统的特征
二阶非线性自治系统在零输入情况下，其数学描 述可写为
•
x1 (t) f1 x1(t), x2 (t)
表7-2-1 线性化系统与非线性系统的相轨迹特征
例 7-2-1 范德波尔方程是
••
x(t
)
2
1
x2
(t
)
•
x(t)
x(t)
0
(7-2-9)
试分析其相轨迹的特征。
解 如令x(t) x1(t) 则范德波尔方程可写成下列形式
•
x1 (t) x2 (t)
•
x2 (t) x1(t) 2 x12 (t) 1 x2 (t)
••
x(t
)
2
1
x
2
(t)x(•t
)
x(t
)
0
0
或
••
x(t
)
2
x
2
(t)
1
•
x(t)
x(t
)
0
0
现分析其响应的特征。
解
二阶系统的微分方程是：
••
•
x(t) 2n x(t) n2x(t) 0
将此方程与范德波尔方程比较可知：
当x(t) 1时，等效阻尼比 x2(t) 1 0，则系统
的零输入响应将随时间增长而发散，如图7 1 7。
dx1 dx2
2 n
x1
x2
2
n
x2
(7-2-3)
式(7 2 3)解得x1与x2的关系式就是二阶线性 系统 的相轨迹方程。
另一方面，式(7-2-1)的特征方程为
2 2n n2 0
于是特征根为
1, 2 n n 2 1
(7-2-4)
下面分别情况加以分析：
(1)当 0时，系统处于无阻尼运动状态，1、2为
当x(t) 1时，等效阻尼比 x2(t) 1 0，则系统
的零输入响应将随时间增长而逐渐收敛。
图7-1-7 非线性系统的自持振荡
由此推论，此系统x(t) 1的响应最终随时间推移而 收敛到 x(t) 1，即等效阻尼比为零的状态，而所有 x(t) 1的响应均将随时间推移而发散至x(t) 1，即 阻尼比为零的状态而不再发散。而x(t) 1，即零阻尼 比时，系统响应呈等幅振荡形式，这就是非线性系统 的自持振荡。
如图7-1-4c所示，其数学描述是
kxt a
yt kxt a
c sgn xt
•
y(t) 0
•
y(t) 0
(7-1-5)
•
y(t) 0
式中 a — —间隙宽度；
k — —线性输出特性的斜率，k tan
间隙（回环）特性的影响
降低了定位精度，增大了系统的静差。
使系统动态响应的振荡加剧，稳定性 变坏。
非线性系统分析
介绍非线性系统的基本概念、常见的几种非 线性环节的特点及其对系统的影响，主要阐述了 如何利用描述函数法对非线性系统进行分析，同 时简要介绍了改善非线性系统性能的措施以及非 线性特性的利用。
▪ 要求正确理解非线性系统与线性系统的差异， 重点掌握利用描述函数法对非线性系统进行分析， 了解非线性系统的特点。
图7-1-3 质量、弹簧、阻尼系统的框图
当用框图作为非线性系统的数学模型时，只需将 系统的线性部分用传递函数或脉冲响应表示，非 线性部分用非线性等效增益或描述函数表示。
➢非线性特性的分类
图 7-1-4 典型非线性特性
1、死区特性
如图7-1-4a所示，其数学描述是
yt
0
kxt
a
sgn
xt
x(t) a x(t) a
则系统的零输入响应将随时间增长而发散。
当 0, x(t) 1时，等效阻尼比 x2 (t) 1 0，则系统
的零输入响应将随时间增长而逐渐收敛。由于所有从初 始状态 x10 (t) 1出发的相轨迹都随时间增长向平衡状态 [0，0]收敛；而所有的从初始状态 x10 (t) 1出发的相轨迹 都随时间增长离开平衡状态向外发散。又因在相平面上 不存在其他平衡点，故知在相平面上存在一封闭曲线， 它将是相轨迹的一部分，如图7 2 2所示。这一孤立 的封闭曲线就是极限环，对应于系统响应出现的振荡 称为自持振荡。