【精品学习】九年级数学下册第2章二次函数1复习导学案

第二章二次函数（1）
一、知识梳理
1．二次函数的概念
一般地，形如 (a，b，c是常数，)的函数，叫做二次函数．
[注意] (1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当b＝0，c＝0时，y ＝ax2是特殊的二次函数．
2．二次函数的图象
二次函数的图象是一条，它是轴对称图形，其对称轴平行于轴．[注意] 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的形状、大小、开口方向只与a有关．
3．二次函数的性质
4.二次函数图象的平移
一般地，平移二次函数y＝ax2的图象可得到二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象．
[注意] 抓住顶点坐标的变化，熟记平移规律，左加右减，上加下减．
二、题型、技巧归纳
类型一二次函数的定义应用
例1 已知抛物线y＝(m＋1)xm2＋m的开口向下，求m的值．
[解析] 本题容易考虑不全面，只考虑m＋1＜0，而忽略抛物线是二次函数的图象，自变量x的次数为2.由抛物线开口向下得m＋1＜0且m2＋m＝2，即m＝－2.
解：
方法技巧
解答这类问题要明确两点：(1)函数图象是抛物线，所以是二次函数；(2)抛物线的开口只与二次项系数有关．
类型二二次函数图象的平移
例2 如果将抛物线y＝x2＋bx＋c沿直角平面坐标向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线y＝x2－2x＋1，则b＝________，c＝________.
[解析]
方法技巧
在平移的过程中，抛物线的形状始终保持不变，而抛物线的形状只与二次项系数有关，所以要求平移后(或前)抛物线的表达式，只需求出平移后的抛物线的顶点坐标即可．解这一类题目，需将一般表达式化为顶点式，抓住顶点位置的改变，根据平移规律进行解答．
类型三二次函数与一次函数的综合应用
例3 已知矩形ABCD
中，AB＝2，AD＝4，以AB的垂直平分线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图X2－1)．
(1)写出A，B，C，D及AD的中点E的坐标；
(2)求以E为顶点、对称轴平行于y轴，并且经过点B，C的抛物线的表达式；
(3)求对角线BD与上述抛物线除点B以外的另一交点P的坐标；
(4)△PEB的面积与△PBC的面积具有怎样的关系？证明你的结论．
[解析] 利用矩形的性质可以得到A，B，C，D及AD的中点E的坐标，然后利用顶点式求出抛物线的表达式．
解：
类型四二次函数的图象和性质的应用
例4 已知抛物线y＝a x2＋bx＋c(a＜0)过A(－2,0)，O(0,0)，B(－3，y1)，C(3，y2)四点，则y1与y2的大小关系是( )
A．y1＞y2B．y1＝y2
C．y1＜y2D．不能确定
[解析]
方法技巧
解决此类问题的关键是求出抛物线的对称轴，由a的正负性就可以知道抛物线的增减性，可以结合图形进行判别．如果所给的点没有在对称轴的同一侧，可以利用抛物线的对称性，找到这个点的对称点，然后根据增减性再作判断．
类型五求二次函数的表达式
例5 已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图X2－2所示，它与x轴的一个交点坐标为(－1,0)，与y轴的交点坐标为(0,3)．
(1)求出b，c的值，并写出此二次函数的表达式；
(2)根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．
[解析] 由于二次函数经过具体的两个点，可以把这两个点的坐标代入即可求出表达式，然后根据图象求出自变量x的取值范围．
解：
方法技巧
求二次函数的表达式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的表达式：(1)若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式y＝ax2＋bx＋c；(2)若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式y＝a(x－h)2＋k；(3)若给出抛物线与x轴的交点，或对称轴和对称轴与x轴的交点距离，通常可设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)．
典例精析：
例6 如图，已知二次函数y＝ax2－4x＋c的图象与坐标轴交于点A(－1,0)和点B(0，－5)．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．
[解析]把点A(－1,0)和点B(0，－5)代入表达式即可求出a和c的值，△ABP的周长中的边长AB是确定的，只要求出PA与PB的和最小即可，因此要把PA和PB转化到一条线上，在此还要利用抛物线的对称性．
解：
三、随堂检测
1.二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象如图所示，则一次函数y ＝bx ＋a 的图象不经过( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 中，函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示： 点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)在函数的图象上，则当1<x 1<2,3<x 2<4时，y 1与y 2的大小关系正确的是( )
A ．y 1>y 2
B ．y 1<y 2
C ．y 1≥y 2
D ．y 1≤y 2
3．已知二次函数y ＝－x 2
＋x －15，当自变量x 取m 时，对应的函数值大于0，当自变量
x 分别取m －1，m ＋1时对应的函数值为y 1、y 2，则y 1，y 2满足( )
A ．y 1>0，y 2>0
B ．y 1<0，y 2<0
C ．y 1<0，y 2>0
D ．y 1>0，y 2<0
4．抛物线y ＝x 2
＋bx ＋c 的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的
表达式为y ＝x 2
－2x －3，则b 、c 的值为( )
A ．b ＝2，c ＝2
B ．b ＝2，c ＝0
C ．b ＝－2，c ＝－1
D ．b ＝－3，c ＝2
5．坐标平面上，若移动二次函数y ＝2(x －175)·(x －176)＋6的图形，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1单位，则移动方式可为( )
A ．向上移动3单位
B ．向下移动3单位
C ．向上移动6单位
D ．向下移动6单位
6．将抛物线y ＝x 2
－2x 向上平移3个单位，再向右平移4个单位等到的抛物线是________________________________．
7.如图为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像，A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA ＝OC ＝1，则下列关系中正确的是( )
A ．a ＋b ＝－1
B ．a －b ＝－1
C ．b<2a
D ．ac<0
8.如图所示，若正方形的棱长不变，CM ＝12DM ，NH ＝3
4EH ，MN 与CH 的延长线交于P 点，
则tan ∠NPH 的值为________．
9.将直角边长为6的等腰Rt △AOC 放在如图所示的平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点C 、A 分别在x 、y 轴的正半轴上，一条抛物线经过点A 、C 及点B(－3,0)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点P 是线段BC 上一动点，过点P 作AB 的平行线交AC 于点E ，连接AP ，当△APE 的面积最大时，求点P 的坐标．
【答案】 1.D 2.B 3.B 4.B 5.D
6. y ＝(x －5)2
＋2或y ＝x 2
－10x ＋27 7.B 8.
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9. 解：(1)由题意知：A(0,6)，C(6,0)，
设经过点A 、B 、C 的抛物线解析式为y ＝ax 2
＋bx ＋c ， 则⎩⎪⎨⎪
⎧
6＝c ，0＝9a －3b ＋c ，0＝36a ＋6b ＋c ，
解得：⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－1
3
，b ＝1，
c ＝6，
∴该抛物线的解析式为y ＝－13x 2
＋x ＋6.
(2)如图，设点P(x,0)， ∵PE ∥AB ，∴△CPE ∽△CBA. ∴
S △CPE S △CBA ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫CP BC 2
. 又∵S △ABC ＝1
2BC ×OA ＝27，
∴
S △CPE 27＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫6－x 92
. ∴S △CPE ＝
6－x
2
3＝13
x 2
－4x ＋12. S △ABP ＝1
2
BP ×OA ＝3x ＋9.
设△APE 的面积为S ，
则S ＝S △ABC －S △ABP －S △CPE ＝－13x 2＋x ＋6＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋27
4.
当x ＝32时，S 最大值为274.点P 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，0.。