第7章图像处理 课后答案

7.1.1 图像金字塔
一系列以金字塔形状排列的分辨率逐步降低的图集合。 金字塔的底部是待处理图像的高分辨率表示，而顶部 是低分辨率的近似。基级J的尺寸是2J×2J或N×N (J=log2N)， 中间级j的尺寸是2j×2j ，其中0<= j <=J。
图7.2b表示，各级的近似值和预测残差金字塔都是以 一种迭代的方式进行计算的。第一次迭代和传递时， j = J ，并且2J×2J的原始图像作为J级的输入图像，从 而产生J-1级近似值和J级预测残差，而J-1级近似值又 作为下一次迭代的输入，得到J-2级近似值和J-1级预 测残差。 迭代算法：
1, 0 x 0.5 ψ( x) 1, 0.5 x 1 0,在，有了尺度函数和小波函数，可以正式定义小 波变换了，它包括：一般小波序列展开、离散小波 变换和连续小波变换。
7.3.1 小波序列展开
首先根据小波函数ψ( x)和尺度函数 ( x)为函数f(x)定 义小波序列展开：
高斯近似值和预测残差金字塔
基级，第9级
第8级 第7级 第6级
图像重建
7.1.2 子带编码
另一种与多分辨率分析相关的重要图像技术是子带 编码。在子带编码中，一幅图像被分解成为一系列 限带分量的集合，称为子带，它们可以重组在一起 无失真地重建原始图像。最初是为语音（一维信号） 和图像压缩而研制的，每个子带通过对输入进行带 通滤波而得到（相当于分解一个频段为若干个子频 段）。因为得到的子带的带宽要比原始图像的带宽 小，子带可以无信息损失的抽样。 原始图像的重建可以通过内插、滤波和叠加单个子 带来完成。
k
V Spk an{k ( x)}
7.2.2 尺度函数
现在来考虑由整数平移和实数二值尺度、平方可积 函数 ( x) 组成的展开函数集合，即集合{ j ,k ( x)} ： j/2 j j ,k ( x) 2 (2 x k ) 式7.2.10 k决定了 j ,k ( x)在x轴的位置（平移k个单位），j决定 了 j ,k ( x) 的宽度，即沿x轴的宽或窄的程度，而2j/2 控制其高度或幅度。由于 j ,k ( x)的形状随j发生变化， ( x) 被称为尺度函数。 如果为赋予一个定值，即j = j0，展开集合 { j0 ,k ( x)} 将是 { j ,k ( x)}的一个子集，一个子空间：

f ( x) c j0 (k ) j0 ,k ( x) d j (k ψ ( x) ) j,κ
k j j0 k
尺度系数
小波系数
第一个和式用尺度函数提供了f(x)在尺度j0处的近似； 对于第二个和式中每一个较高尺度的j>=j0，更细分 辨率的函数（一个小波和）被添加到近似值中以获 得细节的增加。 展开系数的求解：
7.1.3 哈尔变换
哈尔变换——与多分辨率分析有关的图像处理手段 哈尔变换本身是可分离的，也是对称的： T = HFH 其中，F是一个N×N图像矩阵， H是一个N×N变换 矩阵， T是N×N变换的结果。 哈尔变换矩阵H包含哈尔基函数hk(z)，z定义在连续 闭区间[0,1]，k=0,1,2,…,N-1，这里N=2n。为生成H 矩阵，定义整数k，使k=2p+q-1（这里0<=p<=n-1， p=0时，q=0或1，p≠0时， 1<=p<=2p）。
n
h (n)
( j 1) / 2
(2 x n)
j 1
而 ( x) 0,0 ( x) ，j和k都置为0，得到较简单的无下标 的表达式： ( x) h (n) 2 (2 x n) 式7.2.18

n
系数 h (n)被称为尺度函数系数；h 为尺度向量。
式7.2.18表示，任意子空间的展开函数都可以从它们 自身的双倍分辨率拷贝中得到，即从相邻较高分辨 率的空间中得到。 例7.5 哈尔尺度函数系数 对哈尔函数的尺度函数系数是 h (0) h (1) 1/ 2
1, 0 x 1 ( x) 0, others
由例7.4得到的，即式7.1.28中矩阵H2的第一行，由 式7.2.18可得：
( x) (2 x) (2 x 1)
7.2.3 小波函数
给定满足条件的尺度函数，就能够定义小波函数ψ(x) 及其小波集合{ψj,k(x)}:
V ... V1 V0 V1 ... V
当满足上述条件时，子空间Vj的展开函数可以表述 为Vj+1的展开函数的加权和，即：
j ,k ( x) n j 1,n ( x)
n
将式7.2.10带入 j 1,n ( x) ，并将变量αn改写成
j ,k ( x) h (n)2
图7.4a显示了两段子带编译系统的基本部分。分析 滤波器h0(n)和h1(n)将x(n)分解成y0(n)和y1(n)，然后 再通过综合滤波器g0(n)和g1(n)综合得到。注意，滤 波器h0(n)和h1(n)是半波数字滤波器，其传递函数H0 和H1如图7.4b所示， H0是一个低通滤波器， H1是 一个高通滤波器。
例7.4 哈尔尺度函数 考虑单位高度、单位宽度的尺度函数（Haar1910）
1, 0 x 1 ( x) 0, others
图7.9e，用三项展开来表示该函数：
图7.9f，说明了将 0,0 ( x)分解作为V1展开函数之和。 简而言之，V0的展开函数可以用下式分解： 1 1 0,k ( x) 1,2 k ( x) 1,2 k 1 ( x) 2 2 因此，如果f(x)是V0的元素，它还是V1的元素。这 是由于V0的所有展开函数都属于V1 。从数学角度看， V0是V1的一个子空间，记为：
h0(n)、h1(n)、g0(n)和g1(n)的确定将是子带编码的关 键，有Smith和Barnwell滤波器，Daubechies滤波器 等等。 对于分离二维的图像，可分离滤波器首先应用于某 一维（如行向量），再应用于另一维（如列向量）
子带图像编码 的二维4频段滤 波器组
对图7.1中花瓶的512×512图像进行基于图7.5的子带 编码系统的4频段分离。
则4×4变换矩阵H4为：
1 H4 4 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 1 0 0 2 2 1
用哈尔基函数获得的变换矩阵进行离散小波变换， 即T = HFH：
7.2 多分辨率展开
7.2.1 序列展开
信号或函数f(x)常常可以很好地分解为一系列展开 函数的线性组合： f ( x) kk ( x) 如果展开是唯一的，也就是说对任何指定的f(x)只 k 有一个 系列与之相对应，则( x) 称为基函数，展 k k 开序列{ ( x) }称为可被这样表示的一类函数的基。 可展开的函数组成了一个函数空间，被称为展开函 数的闭合跨度，表示为：
7.1 背景
如果观察的物体的尺寸很小或对比度不高，通常采 用较高的分辨率来观察；如果观察的物体的尺寸较 大或对比度很强，只需要较低的分辨率；但如果物 体有大有小，或对比度有强有弱的情况同时存在， 以若干分辨率对它们进行研究将具有优势——这就 是多分辨率处理的魅力所在。
一幅自然图像和它的局部直方图
第7章 小波变换和多分辨率 处理
20世纪50年代以来，傅里叶变换就一直是变换域图 像处理的基石，而近20年来，一种新的变换——小 波变换，使得压缩、传输和分析许多图像变得更为 便捷。
图a 傅里叶变换DFT是频率变化及持续时间无限的正弦波 图b 小波变换DWT是持续时间有限及频率变化的“小波”
1987年，在一种全新而有效的信号处理与分析方 法——多分辨率理论（Mallat1987）中，小波首次 作为分析基础出现了。其优势很明显——某种分辨 率下所无法发现的特性在另一种分辨率下很容易被 发现，也就是说，在高分辨率下，图像细节更易被 识别和发现。
c j0 (k ) f ( x), j0 ,k ( x) f ( x) j0 ,k ( x)dx
d j (k ) f ( x),ψj,κ ( x) f ( x) j,κ ( x)dx ψ
例7.7 y = x2的哈尔小波序列展开 考虑图7.13a中显示的简单函数：
f ( x) 0.51,0 ( x) 1,0 ( x) 0.251,4 ( x) 所以，f ( x) V1
V0 V1
从上边的例子中，简单的尺度函数遵循了多分辩率 分析的4个基本要求，其中之一由上例引申出： 由低尺度的尺度函数跨越的子空间在低尺度处嵌套 在由高尺度跨越的子空间内。 如图7.10所示，包含高分辨率函数的子空间必须同 时包含所有低分辨率函数，即：
N×N哈尔变换矩阵的第i行包含了元素hi(z) ，其中 z=0/N, 1/N, 2/N,…, N-1/N（其实就是矩阵的列元 素）。
若N=4时，k，q和p值如下： k q p 0 0 0 1 0 1 2 1 1 3 1 2 利用公式k=2p+q-1，k其实就是行数，只是行从0开 始算起，到N-1结束。
V j0 Spk an{ j0 ,k ( x)}
如果 f ( x) V j0，可写成： f ( x ) k j , k ( x)
0
更一般的情况下，定义下式代表对任何j, k上的跨度 子空间：
k
V j Spk an{ j ,k ( x)}
j增大时，用于表示子空间的函数 j ,k ( x) 范围变窄 （因为j增大，会压缩信号），
ψ ( x) 2 ψ(2 x k ) j,κ
j/2 j
W j Spk an{ j,κ ( x)} ψ
如果 f ( x) Wj ， f ( x) k j,κ ( x) ψ 小波函数子空间：
k
V j 1 V j Wj
尺度函数空间及小波函数空间的关系：
由于小波空间存在于由相邻较高分辨率尺度函数跨 越的空间中，任何小波函数——类似于式7.2.18中其 尺度函数的对应部分——可以表示成平移的双倍分 辨率尺度函数的加权和：