初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题07 一元二次方程的应用

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九年级数学讲义(一元二次方程)

九年级数学讲义（一元二次方程）I 、理理知识要点（一）一元二次方程的有关概念1．对于一元二次方程的定义理解应抓住其本质，也就是它必须同时满足这样的三个条件：（1）是整式方程；（2）只含一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。

要注意一元二次方程中的“元”和“次”是对整理化简之后而言的，因此一个方程是否为一元二次方程应“形”、“神”兼备。

如：02)12(23=-+--x x x x 是整式方程，化简后为0222=--x x 应是一元二次方程，而不是三次方程。

2．一元二次方程的一般式：我们把)0(02≠=++a c bx ax 叫做一元二次方程的一般式，其中2ax 、bx 、c 分别叫做二次项、一次项、常数项，a 、b 分别叫做二次项系数、一次项系数。

需要注意的是（1）“a≠0”是一般式的重要组成部分，不可遗漏；（2）方程的右边必须为0；（3）每一项及其系数都包括它本身的符号。

（二）一元二次方程的解法1．直接开平方法：用此法可解形如c x =2、)0()(2≥=+c c b ax 或可化为这种形式的一类方程，这种解法的优点是能迅速准确地求出方程的解，缺点是只适用于一些特殊的方程。

2．配方法：配方法是一种重要的数学思想方法，它的应用非常广泛，解方程只是它的一个具体应用。

任何一个形如bx x +2的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来求解的方程。

实际上我们解一元二次方程时，一般是不用此法的，主要是要掌握这种配方的思想方法。

3．公式法：我们可以通过配方法推导出求一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的解的公式)04(2422≥--±-=ac b aac b b x ，称为求根公式。

用公式的一般步骤：（1）把方程化成一般式；（2）求出ac b 42-的值，若ac b 42-≥0，将a 、b 、c 的值代入求根公式，求出方程的根；若ac b 42-＜0，则原方程没有实数根。

中考复习讲座一元二次方程的应用共26页

ab152
该方程是第4个方程
(3)请写出这列方程中第n个方程和它的解，并验证所写出的解适合第n个方程。
内分解二次三项式。 6、会解简单的二元二次方程组。 7、会列一元二次方程解应用题。
二、考点导析：
重点问题1：构造方程求未知数的值。 ①利用两代数式的值相等； ②利用根的判别式； ③利用根与系数关系； ④利用非负数； ⑤利用方程根定义。
例1 如果是一元二次方程 x23xm0
的一根，是一元二次方程 x23xm0
的两根，设s1x1x2,s2x12x22,...
sn x1n x2（n n为自然数），
求 sn219sn9 1 8 20sn0 的值0。
解：
sn219sn9 1 8 20sn00
x 1 n 2 x 2 n 2 19 x 1 n 1 9 x 2 n 8 1 20 x 1 n 0 x 2 n x 1 nx 1 2 1x 9 1 2 90 8 x 2 n 0 x 2 2 0 1x 9 2 2 90
x1,x2是方x程 2199x820000的根 x12199x1820000, x22199x2820000 原式 0
重点问题5：分析观察猜想证明此类问题是中考热门话题，有利于培养学生观察能力，分析问题解决问题能力。
例7 已知，如下表所示，方程1，方程2，方程3……是按一定规律排列的列方程，（1）解方程1，并将解填在表中空白处。（2）若方程 a 1 1(ab)的解是
中考复习讲座一元二次方程的应用
幽默来自智慧，恶语来自无能
一元二次方程的应用
回民中学付灵强
一、考点要求
1、掌握一元二次方程的解法，会用适当方法解一元二次方程。
2、理解一元二次方程根的判别式，及根与系数关系。

九年级数学培优专题一元二次方程

微专题（1）：一元二次方程的解法及应用
1．解方程：（1）0349432=-+x x （2）08
37433832=-+x x 2．在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为a △b ＝a 2－b 2，根据这个规则：
（1）求4△3的值；（2）求(x ＋2)△5＝0中x 的值．
3．求证：不论m 为任何实数，关于x 的一元二次方程x 2－2mx ＋6m －10＝0总有两个不相等的实数根．
4．关于x 的一元二次方程x 2＋(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不等实根x 1，x 2.
（1）求实数k 的取值范围；（2）若方程两实根x 1，x 2满足x 1＋x 2＝3－x 1·x 2，求k 的值．
5.已知关于x 的一元二次方程0)12(2
2=+++-k k x k x .
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若等腰三角形ABC 的两边AB ，AC 的长是上述方程的两个根，当BC 为5时，
求k 的值．6．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为11米)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．
（1）如果要围成面积为45平方米的花圃，那么AD 的长为多少米？
（2）能否围成面积为60平方米的花圃？若能，请求出AD 的长；若不能，请说明理由．
7．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6厘米，BC ＝12厘米，点P 从A 开始沿AB 边向点B 以1厘米/秒的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2厘米/秒的速度移动，如果P ，Q 分别是从A ，B 同时出发，设时间为x 秒．
（1）经过几秒时，△PBQ 的面积等于8平方厘米？
（2）经过几秒时，△PBQ 的面积等于矩形面积的112？。

第07课一元二次方程的应用(销售利润问题)(教师版) 九年级数学上册精品讲义(人教)

答：应定价 4 元/个，才可获得 800 元的利润.
点睛：本题主要考查的是一元二次方程的应用，属于基础题型．列出方程是解决这个问题的关键．
考法 04 销量为一次函数类型
【典例 7】在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为 20 元/千克，售价不低于 20 元/千克，且不超过 32 元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量 y（千克）与该天的售价 x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．
总利润=（x-进价）×（一次函数）
能力拓展
考法 01 问“降价多少元”
【典例 1】一商店销售某种商品，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于 25 元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件. （1）若降价 3 元，则平均每天销售数量为________件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为 1200 元？【答案】（1）26；（2）每件商品降价 10 元时，该商店每天销售利润为 1200 元. 【详解】分析：（1）根据销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件，可得若降价 3 元，则平均每天可多售出 2×3=6
解得 x1 10 ， x2 30 ．
经检验， x1 10 ， x2 30 都符合题意．
当 x 10 时， 50 x 60 ， 500 10x 400 ；
当 x 30 时， 50 x 80 ， 500 10x 200 ．
所以，要赚取 8000 元的利润，售价应定为 60 元或 80 元．售价定为 60 元时，应进货 400 件；售价定为 80
斤（用含 x 的代数式表示）；
（2）销售这种水果要想每天盈利 300 元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？

第一讲培优竞赛一元二次方程的解法辅导

第一讲一元二次方程的定义及解法培优竞赛辅导【基础知识回顾】知识点一、一元二次方程的定义：1、一元二次方程：含有个未知数，并且未知数最高次数是2的方程2、一元二次方程的一般形式：,其中二次项是,一次项是，是常数项。

3 、一元一次方程的解:常用的两个结论是：①a ＋b ＋c=0,则方程ax 2＋bx ＋c=0﹙a ≠0﹚必有一根为1；②a －b ＋c=0,则方程ax 2＋bx ＋c=0﹙a ≠0﹚必有一根为－1;若c=0呢?题型一：一元二次方程的概念例1.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（）A 02=++c bx axB 02112=-+x xC 1222+=+x x xD ()()12132+=+x x 变:（1)当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

(2)方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为。

题型二：一元二次方程的解例2.关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为变:（1）已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为(2)若n ﹙n ≠0﹚是关于x 的方程x 2＋mx ＋2n ＝0的根，则m ＋n 的值。

(3)设设a 是方程x 2－2005x ＋1＝0的一个根，则a 2－2004a ＋＝ (4)已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为。

知识点二、一元二次方程的常用解法：1、直接开平方法：如果2ax b =( )，则2x = ，1x = ，2x = 。

2、因式分解法：一元二次方程化为一般形式后，如果左边能分解因式，即产生0A B = 的形式，则可将原方程化为两个方程，即、从而得方程的两根.3、配方法：解法步骤：①化二次项系数为即方程两边都二次项系数；②移项：把项移到方程的边；③配方：方程两边都加上把左边配成完全平方的形式；④解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程。

初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题07 一元二次方程的应用_答案[精品]

专题07一元二次方程的应用例1 6 例2 C例3 （1）B （－1，0），C （4，0），，由1,33,4y x y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩得8,7157x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴A （87，157）（2）设点D 的坐标为（x ，y ），BC ＝5.， ①当BD 1＝D 1C 时，过点D 1作D 1M 1⊥x 轴于M 1，则BM 1＝52，OM 1＝32，x ＝32，∴y ＝－34×32＋3＝158，∴D 1（32，158）..②当BC ＝BD 2时，过点D 2作D 2M 2⊥x 轴于M 2，则222D M ＋22M B ＝22D B ,.∵M 2B ＝－x －1，D 2M 2＝－34x ＋3，D 2B ＝5.③当CD 3＝BC 或CD 4＝BC 时，同理，可得D 3（0，3），D 4（8，－3），故点的坐标为D 1（32，158），D 2（－125，245），D 3（0，3），D 4（8，－3）. 例4（1）S △AEF ＝25x （6－x ）（2）假设存在直线E F 将△ABC 的周长和面积同时平分，AE ＝x .①若点F 在斜边AB 上，则由（1）知25x （6－x ）＝12×6，解得x 1＝3x 2＝3AF ＝6－（335.，②若点F 和B 重合，不满足题设要求的直线EF ；③若点F 在BC 上，由AE ＝x ，得CE ＝3－x ，CF ＝3＋x ，S △CEF ＝12（3－x ）（3＋x ）＝12×6，解得x 1x 2，由于3＋x＋3＞4，故不存在直线EF 满足题设要求. 例5 （1）24间（2）设每间商铺的年租金增加x 万元，则（30＋0.5x ）×（10＋x ）－（30－0.5x ）×1－0.5x×0.5＝275，解得x 1＝0.5，x 2＝5，故设每间商铺的年租金定为15万元或10.5万元. 例6 (1) AP ＝5－t , AQ ＝2t ,若PQ ∥BC ,则△APQ ∽△ABC ,∴AQ AC ＝AP AB ,即24t ＝55t -, t ＝107. (2)过点P 作PH ⊥AC ,由△APH ∽△ABC ,得PH BC ＝AP AB ,即3PH ＝55t-, PH ＝3－35t ,＝3.∴y ＝12×AQ ×PH ＝12×2 t ×（3－35t ）＝－35t 2＋3t . （3）若PQ 把△ABC 周长平分,则AP ＋AQ ＝BP ＋BC ＋CQ,,∴（5－t ）＋2t ＝t ＋3＋（4－2t ）, t ＝1.若PQ 把△ABC 面积平分,则S △APQ ＝12S △ABC ,即－35t 2＋3t ＝3,但t ＝1代入此方程不成立.故不存在这一时刻,使线段PQ 把△ABC 的周长和面积同时平分.(4)过点P 作PM ⊥AC 于M , PN ⊥BC 于N .若四边形PQP ′C 是菱形,则PQ ＝PC .由△PBN ∽△ABC ,得PN AC ＝BPAB, 即4PN ＝5t ,PN ＝45t ,∴QM ＝CM ＝45t ,由45t ＋45t ＋2t ＝4,得t ＝109.此时PM ＝3－35t ＝73,CM ＝45t＝89,PC ∴菱形PQP ′C .A 级1. 500（1＋x ）（x ＋8%）＝1122. 2cm3. 800元4. A5. D6. B7. A8.（1）A 型汽车能装45台，B 型汽车能装60台.（2）A 型汽车2辆，B 型汽车3辆，运费为1900元. 9. 50度10.设每轮感染中平均每台电脑会感染x 台电脑，则1＋x ＋（1＋x ）x ＝81，解得x 1＝8，x 2＝－10（舍去），（1＋x ）3＝（1＋8）3＝729＞700，故三轮感染后，被感染的电脑会超过700台.11.（1）80－x 200＋10x 800－200－（200＋10x ）（2）根据题意，得80×200＋（80－x ）（200＋10x ）＋40[800－200－（20＋10x ）] －50×800＝9000，整理得x 2－20x ＋100＝0，斛方程得x 1＝x 2＝10.当x ＝10时，80－x ＝70＞50.故第二个月的单价应是70元.B 级 1． 1 2． 1或7．753．甲、乙两同学所用的时间分别为26秒、24秒，乙同学获胜．4． (1)①240＜x ≤300 ②x m 12- 6012+-x m(2)由题意得15·x m 12-－15·6012+-x m =1，整理得x 2＋60x －900（m 2－1）=0，解得x 1=30(m －1)，x 2=－30（m +1）(舍去)，解得m =11， x =300．5．（1）150公里（2）120公里/小时提示：设比赛路程是x 公里，第二辆车的速度是y 公里/小时，由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+-6055.76035y x y x y x y x即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+605)5.7(5.7603)5(5y y x y y x ，解得⎩⎨⎧==120150y x 6． 9人提示：设共有选手（n ＋2）人，除2人得8分外，n 个人平均得k 分（k 为整数），由题意得21(n ＋1)(n ＋2)=8＋nk ，整理得n 2＋(3－2k )n －14=0，人数只能是奇数，n =7． 7．设道路宽为x ， AB =a ，AD =b ，则有(a －2x )(b －2x )=21ab ，即8 x 2－4(a ＋b )＋ab =0，解得x =41[(a ＋b )－22b a ＋]．量法是：用绳量出（a ＋b ）之长，从中减去BD （BD =22b a ＋），得l =AB ＋AD －BD ，再将l 对折两次即得到道路宽度x ．8． (1)1，2，2，5，10(2)由(1)知，从小明的5张人民币中取2张，和小于10的情况只有4种，1＋2=3， 2＋2=4， 1＋5=6， 2＋5=7，即y 值只可能是3，4，6，7．再分别讨论，只有当y =6时，方程610+x =x6－0．5有整数解，解得x =4．9． (1)设AP =x ，当点P 在线段AB 上时，则AP =CQ =x ，BP =2－x ，由21(2x －x 2)=2，方程无解；当点P 在AB 延长线上时，AP =CQ =x ，PB =x －2，由21(x 2－2x )=2，得x =1＋5 (2)过P 作PF ∥BC 交AC 或AC 延长线于F ，可以证明当P ，Q 运动时，线段DE 的长度保持不变，始终等于210．设每千克水果应涨价x元，则(500－20x)(10＋x)=6000，解得x1=5，x2=10，要使顾客得到实惠，应取x=5．11．设ab=x，cd=y，则x，y为正整数，且10≤x≤99，0≤y≤99．由题设可知(x＋y)2 =100x＋y①，即x2－2(50－y)x＋y2－y=0，而x，y为正整数，∴∆=4(2500－99y)为完全平方数，从而2500－99y 为完全平方数．设2500－99y=k2 (k∈Z， 0≤k≤50)，则(50＋k) (50－k) =99y，故11|(50＋k)与11|(50－k)至少有一个成立． 50≤50＋k≤100，0≤50－k≤50∴50＋k=55，66，77，88，99或50－k=0，11，22，33，44．故99y=55×45，66×34， 77×23， 88×12， 99×1，或99y=100×0，89×11， 78×22， 67×33， 56×44．因此，使y为非负整数的只有y=25，y=1，y=0．回到方程①，解得x=30或20，x=98或0，x=0或100．显然x=0或100不符合条件，故符合条件的四位数共有三个：3025， 2025， 9801．。

2019-2020学年度九年级数学培优讲义：《一元二次方程》全章复习与巩固

2019-2020学年度九年级数学培优讲义：《一元二次方程》全章复习与巩固【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1. 一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2. 一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．要点二、一元二次方程的解法1．基本思想降次一元一次方程一元二次方程−−−→2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆.（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么abx x -=+21，ac x x =21.注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0. 要点诠释：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．要点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 (写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．已知（m －1）x |m|+1+3x －2＝0是关于x 的一元二次方程，求m 的值. 【答案与解析】依题意得|m|+1＝2，即|m|＝1，解得m ＝±1，又∵m －1≠0，∴m ≠1，故m ＝－1.【总结升华】依题意可知m －1≠0与|m|+1＝2必须同时成立，因此求出满足上述两个条件的m 的值即可.特别是二次项系数应为非零数这一隐含条件要注意. 举一反三：【变式】若方程2(310m m x mx --=是关于x 的一元二次方程，求m 的值．【答案】根据题意得22,0,m m ⎧=⎪⎨≠⎪⎩ 解得所以当方程2()310m m x mx --=是关于x 的一元二次方程时，m =类型二、一元二次方程的解法2．解下列一元二次方程．(1)224(3)25(2)0x x ---=； (2)225(3)9x x -=-； (3)2(21)4(21)40x x ++++=．【答案与解析】(1)原方程可化为：22[2(3)][5(2)]0x x---=，即(2x-6)2-(5x-10)2＝0，∴ (2x-6+5x-10)(2x-6-5x+10)＝0，即(7x-16)(-3x+4)＝0，∴ 7x-16＝0或-3x+4＝0，∴116 7x=，24 3x=． (2)25(3)(3)(3)x x x-=+-，25(3)(3)(3)0x x x--+-=，∴ (x-3)[5(x-3)-(x+3)]＝0，即(x-3)(4x-18)＝0，∴ x-3＝0或4x-18＝0，∴13x=，292x=．(3)2(21)4(21)40x x++++=，∴2(212)0x++=．即2(23)0x+=，∴123 2x x==-．【总结升华】 (1)方程左边可变形为22[2(3)][5(2)]x x---，因此可用平方差公式分解因式；(2)中方程右边分解后为(x-3)(x+3)，与左边中的(x-3)2有公共的因式，可移项后提取公因式(x-3)后解题；(3)的左边具有完全平方公式的特点，可用公式变为(2x+1+2)2＝0再求解．举一反三：【变式】解方程： (1)3x+15＝-2x2-10x； (2)x2-3x＝(2-x)(x-3)．【答案】(1)移项，得3x+15+(2x 2+10x)＝0，∴ 3(x+5)+2x(x+5)＝0，即(x+5)(3+2x)＝0，∴ x+5＝0或3+2x ＝0，∴ 15x =-，232x =-．(2)原方程可化为x(x-3)＝(2-x)(x-3)，移项，x(x-3)-(2-x)(x-3)＝0， ∴ (x-3)(2x-2)＝0，∴ x-3＝0或2x-2＝0，∴ 13x =，21x =．类型三、一元二次方程根的判别式的应用3．关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根．则a 满足（）A ．a ≥1B ．a ＞1且a ≠5C ．a ≥1且a ≠5D ．a ≠5【答案】A ；【解析】①当50a -=，即5a =时，有410x --=，14x =-，有实数根；②当50a -≠时，由△≥0得2(4)4(5)(1)0a --⨯-⨯-≥，解得1a ≥且5a ≠．综上所述，使关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根的a 的取值范围是1a ≥．答案：A【总结升华】注意“关于x 的方程”与“关于x 的一元二次方程”的区别，前者既可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程，所以必须分类讨论，而后者隐含着二次项系数不能为0．4． k 为何值时，关于x 的二次方程2690kx x -+=（1）k 满足时,方程有两个不等的实数根；（2）k 满足时,方程有两个相等的实数根；（3）k 满足时,方程无实数根. 【答案】（1）10k k ≠＜，且；（2）1k =；（3）1k ＞. 【解析】求判别式，注意二次项系数的取值范围. 【总结升华】根据判别式ac b 42-=∆及k ≠0求解.类型四、一元二次方程的根与系数的关系5．（2016•凉山州）已知x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根，则x 1﹣x 1x 2+x 2的值是（） A ．B ．C ．D ．【思路点拨】由x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根，结合根与系数的关系可得出x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=﹣2，将其代入x 1﹣x 1x 2+x 2中即可算出结果．【答案】D ．【解析】解：∵x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根， ∴x 1+x 2=﹣=﹣，x 1•x 2==﹣2， ∴x 1﹣x 1x 2+x 2=﹣﹣（﹣2）=．故选D ．【总结升华】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是得出x1+x2=﹣，x1•x2=﹣2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键．举一反三：【变式】已知关于x的方程2(1)(23)10k x k x k-+-++=有两个不相等的实数根1x、2x．(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数?如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)根据题意，得△＝(2k-3)2-4(k-1)(k+1)＝224129412130k k k k-+-=-+>，所以1312k<．由k-1≠0，得k≠1.当1312k<且k≠1时，方程有两个不相等的实数根；(2) 不存在．如果方程的两个实数根互为相反数，则12231kx xk -+=-=-，解得32k=．当32k=时，判别式△＝-5＜0，方程没有实数根．所以不存在实数k，使方程的两个实数根互为相反数．类型五、一元二次方程的应用6．（2015•青岛模拟）随着青奥会的临近，青奥特许商品销售逐渐火爆．甲、乙两家青奥商品专卖店一月份销售额分别为10万元和15万元，三月份销售额甲店比乙店多10万元．已知甲店二、三月份销售额的月平均增长率是乙店二、三月份月平均增长率的2倍，求甲店、乙店这两个月的月平均增长率各是多少？【答案与解析】解：设乙店销售额月平均增长率为x，由题意得：10（1+2x）2﹣15（1+x）2=10，解得x1=60%，x2=﹣1（舍去）．2x=120%．答：甲、乙两店这两个月的月平均增长率分别是120%、60%．【总结升华】此题考查了一元二次方程的应用，为运用方程解决实际问题的应用题型．举一反三：【变式】某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。

中考数学培优复习第7讲一元二次方程

2019-2020年中考数学培优复习第7讲一元二次方程一：【知识梳理】1. 一元二次方程：只含有一个，且未知数的指数为的整式方程叫一元二次方程。

它的一般形式是（其中、）它的根的判别式是△= ；当△＞0时，方程有实数；当△=0时，方程有实数根；当△＜0时，方程有实数根；一元二次方程根的求根公式是、（其中）2．一元二次方程的解法：⑴配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上的绝对值一半的平方；④化原方程为的形式；⑤如果就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n=＜0，则原方程无解．⑵公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法。

它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是注意：用求根公式解一元二次方程时，一定要将方程化为。

⑶因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做．它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0，因式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．3．一元二次方程的注意事项：⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．如关于x的方程（k2－1）x2+2kx+1=0中，当k=±1时就是一元一次方程了．⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的一般形式；②确定a、b、c的值；③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4a＜0，则方程无解．⑶方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）⑷ 注意：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法．二：【经典考题剖析】1. 分别用公式法和配方法解方程：2. 选择适当的方法解下列方程：（1）；（2）（3）；（4）2(21)3(21)20x x ++++=3. 已知22222()()60a b a b +-+-=，求的值。

初中数学九年级培优教程整理(全)

初中数学九年级培优目录第1讲二次根式的性质和运算(P2----7)第2讲二次根式的化简与求值(P7----12)第3讲一元二次方程的解法(P13----16)第4讲根的判别式及根与系数的关系(P16----22)第5讲一元二次方程的应用(P23----26)第6讲一元二次方程的整数根(P27----30)第7讲旋转和旋转变换（一）(P30----38)第8讲旋转和旋转变换（二）(P38----46)第9讲圆的基本性质(P47----51)第10讲圆心角和圆周角(P52----61)第11讲直线与圆的位置关系（P62----69）第12讲圆内等积证明及变换((P70----76)第13讲弧长和扇形面积(P76----78)第14讲概率初步(P78----85)第15讲二次函数的图像和性质(P85----91)第16讲二次函数的解析式和综合应用(P92----98)第17讲二次函数的应用(P99----108)第18讲相似三角形的性质(P109----117)第19讲相似三角形的判定(P118-----124)第20讲相似三角形的综合应用(P124-----130)第1讲二次根式的性质和运算考点·方法·破译1．了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析；2．掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简；3．会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值范围）.经典·考题·赏析【例１】（荆州）下列根式中属最简二次根式的是（）【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B 中含分母，C 、D 含开方数4、9，故选A.【变式题组】1．⑴（中山）下列根式中不是最简二次根式的是（）A.A ．①,②B ．③,④C ．①,③D ．①,④【例２】(黔东南)方程480x -=，当y ＞0时，m 的取值范围是（）A ．0＜m ＜1B ．m ≥2C ．m ＜2D ．m ≤2【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为0的结论.由题意得4x －8＝0，x －y －m ＝0.化为y ＝2－m ，则2－m ＞0，故选C.【变式题组】2．（宁波）若实数x 、y 2(0y =，则xy 的值是__________.3．2()x y =+，则x －y 的值为（）A ．－ 1B ．1C ．2D ．34．有意义的x 的取值范围是（） A ．x ＞3B ．x ≥3C ．x ＞4D ．x ≥3且x ≠45.（怀化）22(4)0a c --=，则a －b －c ＝________.【例３是同类二次根式的是（）A BCD 【解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式，再看被开方数是否一样.A =；B 不能化简；=；D ==.故本题应选D.【变式题组】6a ＝________． 7．在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）A B C D8．已知最简二次根式b a ＝_______，b ＝______. 【例４】下列计算正确的是（）A =B 4=C =D ．(11+=【解法指导】正确运用二次根式的性质①2(0)a a =≥；(0)0(0)(0)a a a a a a ⎧⎪===⎨⎪-⎩＞＜；③0,0)a b =≥≥；④0,0)b a =≥＞进行化简计算，并能运用乘法公式进行计算.A 、B 中的项不能合并.D. 2(111-=-=-.故本题应选C.【变式题组】9. （聊城）下列计算正确的是（） A．= B=C3=D3=-10．计算：200720074)(4⋅=_____________ 11．22-=_____________12．(济宁)已知a） A ．a B ．－a C ．－1 D ．0 13．已知a ＞b ＞0，a ＋b ＝的值为（）A．2B ．2CD ．12【例５】已知xy ＞0，化简二次根式的正确结果为（） ABC．D．【解法指导】先要判断出y ＜0，再根据xy ＞0知x ＜0.故原式=选D. 【变式题组】14．已知a 、b 、c 为△AB C三边的长，则化简a b c --_______. 15===并利用这一规律计算：1)++⋅=L _________.16．已知，则0＜x ＜1=_________.【例６】（辽宁）⑴先化简吗，再求值：11b++，其中1a =，1b =.⑵已知x =，y =值为________. 【解法指导】对于⑴，先化简代数式再代入求值；对于⑵，根据已知数的特征求xy 、x ＋y 的值，再代入求值.【解】⑴原式＝22()()()()ab a a b b a b a b ab a b ab a b ab +++++==++，当12a =，12b -=时，ab ＝1，a ＋b .⑵由题意得：xy ＝1，x ＋y ＝10, 10199=-. 【变式题组】17．（威海）先化简，再求值：(a ＋b )2＋(a －b)(2a ＋b)－3a 2，其中2a =--2b =.18．（黄石）已知a 是4的小数部分，那么代数式22224()()442a a a a a a a a a+-+⋅-+++的值为________.【例７】已知实数x 、y 满足(2008x y =，则3x 2－2y 2＋3x －3y －2007的值为（）A ．－2008B ．2008C ．－1D ．1【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，找出a 、b 的关系，再代入求值.解:∵(2008x y =，∴(x =y =(y =x =，由以上两式可得x ＝y .∴(2008x =, 解得x 2＝2008，所以3x 2－2y 2＋3x －3y －2007＝3x 2－2x 2＋3x －3x －2007＝x 2－2007＝1，故选D.【变式题组】19．若a ＞0，b ＞0=的值.演练巩固·反馈提高01．若4m =，则估计m 的值所在的范围是（）A ．1＜m ＜2B ．2＜m ＜3C ．3＜m ＜4D ．4＜m ＜502．n 的最大值为（）A ．12B ．11C ．8D ．303．（黄石）下列根式中，不是．．最简二次根式的是（）A.04．（贺州）下列根式中，不是最简二次根式的是（）A.05．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A.06．（常德）设a ＝20， b ＝(－3)2, c =11()2d -=, 则a 、b 、c 、d 、按由小到大的顺序排列正确的是（）A ．c ＜a ＜d ＜bB ．b ＜d ＜a ＜cC ．a ＜c ＜d ＜bD ．b ＜c ＜a ＜d07．（十堰）下列运算正确的是（）A =B =C ．21)31=-D 53=-08．如果把式子(1a -根号外的因式移入根号内，化简的结果为（）A ．B C ．D ．09．2x -化简的结果为2x －3，则x 的取值范围是（）A ．x ≤1B ．x ≥2C ．1≤x ≤2D ．x ＞010．（怀化）函数y =中自变量的取值范围是________.11．（湘西）对于任意不相等的两个数a ，b ，定义一种运算a ※b =那么12※4＝________.12．（荆州）先化简，再求值：22321121a a a a a a-+÷-+-，其中a =13．（广州）先化简，再求值：((6)a a a a -+--，其中12a =. 培优升级01．（凉山州）已知一个正数的平方根是3x －2和5x ＋6，则这个数是________.02．已知a 、b 是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有________对.03．（全国）设12a =，则5432322a a a a a a a+---+=-________. 04．（全国）设x =a 是x 的小数部分,b 是x 的小数部,则a 3＋b 3＋3ab ＝________.05．（重庆）已知2y =，则x 2＋y 2＝________.06．（全国）已知1a =，a =2a =，那么a 、b 、c 的大小关系是（）07．（武汉）已知y =（x ，y 均为实数），则y 的最大值与最小值的差为（）A 3B ．3C 3D08．（全国）已知非零实数a 、b 满足24242a b a -+++=，则a ＋b 等于（） A ．－1B ．0C ．1D ．209．（全国））A ．5-B ．1C ．5D ．110．已知0(0,0)x y x y -=>>的值为（）A ．13 B ．12C ．23 D ．3411．已知152a b c +-=-，求a ＋b ＋c 的值.12．已知9+9a 和b ，求ab －3a ＋4b ＋8的值.第2讲二次根式的化简与求值考点·方法·破译1．会灵活运用二次根式的运算性质化简求值.2．会进行二次根式的有理化计算，会整体代入求值及变形求值. 3．会化简复合二次根式，会在根式范围内分解因式.经典·考题·赏析【例１】2=的值等于__________ 【解法指导】通过平方或运用分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用1x x+表示或化简变形. 解：两边平方得，124x x ++=，12x x+= ，两边同乘以x 得，212x x += ，∵2315x x x ++=，29111x x x ++=，∴原式511- 【变式题组】 1．若14a a +=（0＜a ＜1）=________ 2=-） A ．1a a -B ．1a a-C ．1a a+D ．不能确定【例２】（全国）满足等式＝2003的正整数对（x ,y ）的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解.0=，∴0=0>0=，则xy ＝2003，且2003是质数，∴正整数对（x ,y ）的个数有2对，应选B . 【变式题组】3．若a ＞0，b ＞0=的值.【例３】1)a =<<，求代数式22632x x x x x x +-+÷-. 【解法指导】视x －2，x 2-4x=a 的代数式表示x －2，x 2-4x ，注意0＜a ＜1的制约.解：平方得，12x a a =++，∴12x a a -=+，2221442x x a a-+=++， 222142x x a a-=+-，∴化简原式＝(3)(2)(2)3x x x x x x +--+g ＝2211()1()211()a a a a a a a a a a a++-+-=++--【变式题组】4．（武汉）已知32x x +=+，求代数式35(2)242x x x x -÷----的值.5．（五羊杯）已知1m =1n =，且22(714)(367)8m m a n n -+--=，则a 的值等于（） A ．－5B ．5C ．－9D ．9【例４】（全国）如图，点A 、C都在函数0)y x =>的图像上，点B 、D 都在x 轴上，且使得△OAB 、△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为________.【解法指导】解：如图，分别过点A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F .设OE=a ，BF=b ，则a ，CF，所以，点A 、C 的坐标为（a）、（2a ＋b），所以2(2)a b =+=a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此，点D的坐标为（,0）【变式题组】6．（邵阳）阅读下列材料，然后回答问题. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如1323235+，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 335333535=⨯⨯=；（一） 36333232=⨯⨯=；（二） ()()()131313132132-=-+-⨯=+；（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化，132+还可以用以下方法化简：()()()13131313131313131322-=+-+=+-=+-=+；（四）（1）请你用不同的方法化简352+；①参照（三）试得：352+=_____________________________；（要有简化过程）②参照（四）试得：352+=_____________________________；（要有简化过程）（2++L【例５】（五羊杯）设a 、b 、c 、d 为正实数，a ＜b ，c ＜d ，bc ＞ad，【解法指导】虽然不能用面积公式求三角形面积(为什么?)a 、c 为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形入手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决.解：如图，作长方形ABCD ，使AB ＝b －a ，AD ＝c ，延长DA 至E ，使DE ＝d ，延长DC 至F ，使DF ＝b ，连结EF 、FB 、EB ，则BF＝，EF＝，BE ，从而－S △DEF ＝(b －a )c ＋12(d －知△BEF 就是题设的三角形，而S △BEF ＝S 长方形ABCD ＋S △BCF ＋S △ABE c )(b －a )－12bd ＝12(bc －ad )【变式题组】7．(北京)已知a 、b 均为正数，且a＋b ＝2，求U演练巩固·反馈提高01．已知x =，y =值为__________ 02．设1a =，则32312612a a a +--＝（）A ． 24B ．25C．10D．1203．（天津）计算2001200019991)1)1)2001--+=__________ 04．（北京）若有理数x 、y 、z 1()2x y z =++，则2()x yz -=__________05．（北京）正数m 、n 满足430m n +-==__________06．（河南）若1x =+，则32(2(15x x x -++的值是（）A ．2B ．4C ．6D ．807．已知实数a 满足2000a a -=，那么22000a -的值是（） A ．1999B ．2000C ．2001D ．200208．设a =b =c =a 、b 、c 之间的大小关系是（） A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b09．已知1x =培优升级01．（信利）已知1x =+2111242x x x +-=+--__________025==__________03．（江苏）已知(2002x y =，则2234x xy y --6658x y --+=__________04．7x =，则x ＝__________05．已知x =，y =，那么22y x x y +=__________06．（武汉）如果a b +=a b -=3333b c b c +=-，那么333a b c -的值为（）A ．B ．2001C ．1D ．007．（绍兴）当x =32003(420052001)x x --的值是（） A ．0B ．－1C ．1D ．20032-08．（全国）设a 、b 、c 为有理数，且等式a +=成立，则29991001a b c ++的值是（） A ．1999B ．2000C ．2001D ．不能确定09．计算：（1（2（3+++L（410．已知实数a 、b 满足条件1b a b a -=<，化简代数式11()a b-，将结果表示成不含b 的形式.11．已知21(0)a x a a +=>12．已知自然数x 、y 、z 0=，求x ＋y ＋z 的值.第3讲一元二次方程的解法考点·方法·破译1．掌握一元二次方程根的定义并能应用根的定义解题；2．掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活应用各种解法解方程； 3．会应用一元二次方程解实际应用题。

人教版九年级上册数学补课讲义第7讲一元二次方程的应用(二)

第7讲一元二次方程的应用(二)（四）销售问题售价—进价=利润=进价×利润率一件商品的利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额总销售额—总成本=总利润例1.某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价x(元)满2，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？足关系：P=100-x每天要售出这种商品多少件？例2.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为４０只，且每日产出的产品全部售出，已知生产x170 。

只熊猫的成本为Ｒ（元），售价每只为Ｐ（元），且Ｒ、Ｐ与x的关系式分别为R=500+30x，P=x2（１）当日产量为多少时每日获得的利润为１７５０元？（２）若可获得的最大利润为１９５０元，问日产量应为多少？例 3.服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出２０件，每件盈利４０元。

为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。

经市场调查发现，如果每件童装每降价４元，那么平均每天就可多售出８件。

要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？（五）动态几何问题：例1、已知：如图3-9-3所示，在△ABC 中，cm 7cm,5,90==︒=∠BC AB B ,点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动.（1）如果Q P ,分别从B A ,同时出发，那么几秒后，△PBQ 的面积等于4cm 2？（2）如果Q P ,分别从B A ,同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于5cm ？（3）在（1）中，△PQB 的面积能否等于7cm 2?说明理由.（六）数字问题数值与数字的关系:例如2013=3101100010002+⨯+⨯+⨯例1.有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字之和是6，如果把它的个位数字与十位数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积等于1008，求调换位置后得到的两位数。

武汉九年级培优讲义——第1讲一元二次方程的解法及判别式的运用(word版)

第1讲一元二次方程的解法及判别式的运用一、知识要点1．一元二次方程的一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）．2．解一元二次方程的常用方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等．用配方法解一元二次方程的步骤：①移项，把常数项移到方程的右边，左边只含二次项和一次项；②二次项系数化为1；③配方，方程两边加上一次项系数一半的平方，然后将方程化为()n m x =+2的形式．④降次，若n ≥0，则用直接开平方法求其解；若n ＜0，则原方程无实根．公式法解方程：求根公式：)240x b ac =-≥．因式分解法：若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0．3．一元二次方程根的判别式（1）叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式；（2）当240b ac ->时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有实数根；当240b ac -=时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有实数根；当240b ac -<时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）实数根．注：利用判别式求一元二次方程中的字母的范围时特别要注意当二次项系数中含待定系数时，不要忽视二次项系数不为零这个条件．“方程有两个实数根”隐含方程是一元二次方程，“方程有实数根”则要分是二次方程还是一次方程两种情况讨论．二、综合·提高·创新类型一一元二次方程的定义及其应用例1（1）下列关于x 的方程：①x 2－2x ＝0；②x3－2x 2＝2；③(x －1)2＋16＝(6－x )2；④x 2＝0； ⑤x 2＋2x ＋3＝0；⑥(m 2＋1)x 2－2mx －1＝0．其中是一元二次方程的是_______________．（填序号）（2）已知a 是方程2201710x x -+=的一个根，试求22201720161a a a -++的值．【练1】1．关于x 的一元二次方程()2110a x x a -++-=的一个根为0，则实数a 的值为（）A ．－1B ．0C ．1D ．－1或12．方程20x bx a -+=有一个根是－a （a ≠0），则下列代数式的值恒为常数的是（）A ．abB ．a bC ．a ＋bD ．a －b 3．已知m 是方程210x x --=的根，则3222017m m -++的值为____________．4．已知关于x 的方程(k ＋1)x 12+k－4kx ＋k ＋2＝0是一元二次方程，求k 的值并指出二次项系数、一次项系数和常数项．5．已知x ＝2017－1，求x 3－2020x －2的值．类型二一元二次方程的常见解法例2用适当的方法解下列方程：（1）2310x x --=；（2）()()221327x x x -=+-；（3）2129964x x -=．【练2】1．用配方法解方程2410x x ++=，配方后的方程是（）A ．()322=+xB ．()322=-xC ．()522=-xD ．()522=+x 2．方程()022=-+-x x x 的解是（）A ．2B ．－2，１C ．－1D ．2，－13．方程2221x x x -=+的解是___________．类型三配方法的应用例3若M ＝2210276a b a +-+，N ＝22251a b a +++，则M ，N 的大小关系是______________．【练3】已知223730216b a a b -+-+=，求a -类型四可化为一元二次方程的其他方程例4 已知10a -=，求方程1a bx x+=的解．【练4】解方程：（1）231222x x x -=+；（21x -．类型五一元二次方程的阅读理解型问题例5阅读材料，回答问题．材料：为解方程4260x x --=，可将方程变形为222()60x x --=，然后设2x y =，则222()x y =，原方程化为260y y --=……①，解得12y =-，23y =．当y ＝－2时，x 2＝－2无意义，舍去；当y ＝3时，x 2＝3，即x ＝．原方程的解为1x =2x =问题：（1）在原方程到方程①的变化过程中，利用______法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想．（2）解方程()()2224120x x x x ----=．【练5】1．解下列方程：（1）256011x x x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭；（2）()()()()2221312220x x x x +++---=；（3）()()()()12343x x x x ++++=．2．解关于x 的方程：2220x x a a +--=．类型六利用根的判别式判断一元二次方程根的情况例6 （1）不解方程，判断下列根的情况．①2x 2＋3＝0； ②x 2＋2kx ＋k －1＝0．（2）已知a ，b ，c 分别是三角形的三边长，则方程(a ＋b )x 2＋2cx ＋(a ＋b )＝0的根的情况是（）A ．没有实数根B ．可能有且只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不等的实数根【练6】1．对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，下列说法：①当a ＜0，且b ＞a ＋c 时，方程一定有实根；②若ac ＜0，则方程有两个不相等实根；③若a －b ＋c ＝0，则方程一定有一个根为－1；④若方程有两个不等的实根，则方程bx 2＋ax ＋c ＝0一定有两个不相等的实数根，其中正确的有（）A ．①②③B ．①②④C ．②③D ．①②③④2．如果关于x 的方程mx 2－2(m ＋2)x ＋m ＋5＝0没有实数根，那么关于x 的方程(m －6)x 2－4(m ＋2)x ＋m ＝0的实数根的个数是（）A ．1B ．2C ．0D ．非以上答案类型七利用根的判别式确定一元二次方程中字母系数的值（2）当a ，b 为何值时，方程x 2＋2(1＋a )x ＋3a 2＋4ab ＋4b 2＋2＝0有实根．【练7】1．已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋1＝0(a ≠0)有两个相等的实数根．求222(2)4ab a b -+-的值．2．已知多项式x 2－kx ＋1是一个完全平方式，则函数1k y x-=的解析式为___________．类型八根据根的判别式确定一元二次方程中字母的取值范围例8如果关于x 的一元二次方程210kx +=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（）A ．k ＜12B ．k ＜12且k ≠0C ．12-≤k ＜12D ．12-≤k ＜12且k ≠0【练8】1．如果关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋c ＝0(c 是常数)没有实数根，那么c 的取值范围是_______．2．已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是________．3．关于x 的方程(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根，则a 满足（）A ．a ≥1B ．a ＞1且a ≠5C ．a ≥1且a ≠5D ．a ≠5例9 满足(x －2)2＋y 2＝3的所有实数对(x ，y )中，y x的最大值是多少？例10若实数a ，b 满足21202a ab b -++=，则a 的取值范围是（） A ．a ≤－2B ．a ≥4C ．a ≤－2或a ≥4D ．－2≤a ≤4【练10】求分式22365112x x x x ++++的最小值．总结：1．利用判别式法求最值的问题可通过引入参数转化为一元二次方程，然后根据参数的存在性确定判别式的符号，将问题转化为求不等式的解．2．当问题中含有多个变元(字母)时，把某个变元作为主要变元(不妨称为主元)，其他变元作为辅助变元（不妨称为辅元）进行处理．三、反馈练习1．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且关于x 的一元二次方程(c －b )x 2＋2(b －a )x ＋(a －b )＝0有两个相等的实数根，则这个三角形是（）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．不等边三角形2．用[x ]表示不大于x 的最大整数，则方程03][22=--x x 的解的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知三个关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0，(m －1)x 2＋2x ＋1＝0和(m －2)x 2＋2x －1＝0，若其中至少有两个方程有实数根，则实数m 的取值范围为（）A ．m ≤2B ．m ≤14或1≤m ≤2C ．m ≥1D ．14≤m ≤1 4．关于x ，y 的方程x 2＋xy ＋2y 2＝29的整数解(x ，y )的组数为（）A ．2组B ．3组C ．4组D ．无穷多组5．关于x的方程2(1)10a x -+=是一元二次方程，则a 的取值范围是______________．6．已知一个等腰三角形两边长满足方程0862=+-x x ，则这个三角形的周长是_____________．7．将4个数a ，b ，c ，d 排成2行、两列，两边各加一条竖直线记成b d ac ，定义bd a c ＝ad －bc ，上述记号就叫做2阶行列式，若1111-++-x x x x ＝6，则x ＝____________．8．若10b -，且一元二次方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个实数根，则k 的取值范围是_________．9．已知整数k ＜5，若△ABC 的边长均满足关于x 的方程x 2－＋8＝0，则△ABC 的周长是_______．10．若关于x 的方程ax 2＋2(a ＋2)x ＋a ＝0有实数解，那么实数a 的取值范围是____________．11．方程023=+-x x x 的实数根为____________．12．已知a 是方程0152=+-x x 的一个根，则44-+a a 的个位数字为__________．13．方程()220172016201810x x -⨯-=的较大根为a ，方程2201620170x x +-=较小的根为b ，则a －b14．解下列方程：（1）04222=-++x x ；（2）()()()83211=++-+x x x ；（3）()()015238232=++-+x x ．15．设a ，b 都是整数，关于x 的方程02=++b ax x 有一根是32-，求a ＋b 的值．16．关于x 的一元二次方程(a －6)x 2－8x ＋9＝0有实数根．（1）求a 的最大整数值；（2）当a 取最大整数值时，①求出该方程的根；②求223272811x x x x ---+的值．17．已知关于x 的一元二次方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋k ＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC 的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值．18．已知关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋2k －4＝0有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．19．已知关于x 的方程02=++q px x 与02=++p qx x （p ≠q ）有一个公共根，求()2017q p +的值．20．已知方程02=--b ax x 的两根为α=1x ，β=2x ，设βα+=1S ，222βα+=S ，⋯⋯，n n n S βα+=（n 为自然数），求11-+--n n n bS aS S 的值．21．设方程24x ax +=只有三个不相等的实数根，求a 的值和相应的三个根．。

初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题07 一元二次方程的应用-精选

专题07 一元二次方程的应用阅读与思考一元二次方程是解数学问题的有力工具，许多数学问题都可转化为解一元二次方程、研究一元二次方程根的性质等而获解. 现阶段，一元二次方程的应用主要有以下两方面： 1. 求代数式的值；2. 列二次方程解应用题.从本质上讲，列二次方程解应用题与前面我们已经学过的列一元二次方程解应用题没有区别，通常都要经过设、列、解、答等四个步骤，解题的关键是寻找实际问题中的等量关系. 特别需要注意的是，列出的一元二次方程一般会有两个不同的实数根，所以在检验时应特别注意，很可能其中有不符合实际问题的根，必须舍去.例题与求解【例1】甲、乙两地分别在河的上、下游，每天各有一班船准点以匀速从两地对开，通常它们总在11时于途中相遇，一天乙地的船因故晚发了40分钟，结果两船在上午11时15分在途中相遇，已知甲地开出的船在静水中的速度数值为44千米/时，而乙地开出的船在静水中的速度为水流速度ν千米/时数值的平方，则ν的值为___________.（安徽省竞赛试题）解题思路：利用甲船15分钟所行路程是乙船（40-15）分钟所行路程建立方程.【例2】自然数n 满足()()1616247222222-+--=--n n n n n n ，这样的n 的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（江苏省竞赛试题）解题思路：运用幂的性质，将问题转化为解方程.【例3】如图，在平面直角坐标系中，直线1+=x y 与343+-=x y 交于点A ，分别交x 轴于点B 和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点. （1）求点A ，B ，C 的坐标；（2）当△CBD 为等腰三角形时，求点D 的坐标.（太原市中考试题）解题思路：对于（2），利用“腰相等”建立方程，解题的关键是分类讨论.yx BCAO【例4】如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点E在直角边AC上（点E与A，C两点均不重合）.；（1）若点F在斜边AB上，且EF平分Rt△ABC的周长，设AE＝x，试用x的代数式表示SAEF（2）若点F在折线ABC上移动，试问：是否存在直线EF将Rt△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，则求出AE的长；若不存在直线EF，请说明理由. （常州市中考试题）解题思路：几何计算问题代数化，通过定量分析回答是否存在这样的直线EF，将线段的计算转化为解方程.【例5】某公司投资新建了一商场，共有商铺30间，据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出. 每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间，该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元.（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益＝租金－各种费用）为275万元？（绍兴市中考试题）解题思路：解题的关键是把复杂的数量关系分解成若干个小问题，再寻找各个小问题间量与量的关系.【例6】已知：如图1，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝4cm ，BC ＝3cm ，点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm /s ；点Q 由点A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2 cm /s .连结PQ .若设运动的时间为t （s ）（0＜t ＜2），解答下列问题：（1）当t 为何值时，PQ ∥BC ？（2）设△AQP 的面积为y （2cm ），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt △ACB 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；（4）如图2，连结PC ，并把△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP ´C ，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP ´C 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由. （青岛市中考试题）解题思路：对于（3），先求出PQ 平分Rt △ACB 周长时t 的值，再看求出t 的值是否满足由面积关系建立的方程.图2图1P'ACB B CAQ PQ P能力训练A 级1. 某工厂把500万元资金投入新产品生产，第一年获得了一定的利润，在不抽调资金和利润（即将第一年获得的利润也作为生产资金）的前提下，继续生产，第二年的利润率（即所获利润与投入生产资金的比）比第一年的利润率增加了8%.如果第二年的利润为112万元，为求第一年的利润率，可设它为x ，那么所列方程为_______________. （济南市中考试题）2. 如图，在长为10cm 、宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下阴影部分面积是原矩形面积的80%，则所截去的小正方形的边长是_________. （广东省中考试题）3. 有一旅客携带了30千克行李从南京禄口国际机场乘飞机去天津. 按民航规定，旅客最多可免费携带20千克行李，超重部分每千克按飞机票价的1.5%购买行李票，现该旅客买了120元的行李票，则他的4. 已知实数x 、y 满足3,3243424=+=+y y xx ，则444y x +的值为（） A.7 B.2131+ C.2137+ D. 5 5. 一个跳水运动员从10米高台上跳水，他每一时刻所在的高度（单位：米）与所用时间（单位：秒）的关系式是()()125+--=t t h ，则运动员起跳到入水所用的时间是（）A. －5秒B. 1秒 C . －1秒 D. 2秒6. 某种出租车的收费标准时：起步价7元（即行驶距离不超过3千米都需付7元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2.4元（不足1千米按1千米计），某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是x 千米，那么x 的最大值是（） A. 11 B. 8 C . 7 D.57. 如图，菱形ABCD 的边长为a ，O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a ＝（） A .215+ B . 215- C . 1 D .2DCABO第2题图第7题图8. 我市向民族地区的某县赠送一批计算机，首批270台将于近期起运. 经与某物流公司联系，得知用A 型汽车若干辆刚好装完；用B 型汽车不仅可少用1辆，而且有一辆车差30台计算机才装满.（1）已知B 型汽车比A 型汽车每辆车可多装15台，则A ，B 两种型号的汽车各能装计算机多少台？（2）已知A 型汽车的运费是每辆350元，B 型汽车的运费是每辆400元。

初中数学课件初三专题复习——一元二次方程及其应用(学案和作业)

专题复习七一元二次方程及其应用学案一、知识梳理1、一元二次方程的定义： .一元二次方程的一般形式： .问题：方程x2+2x+1=x（x+1)是一元二次方程吗？2、一元二次方程的解法：等四种。

（1）因式分解法解一元二次方程是通过把一元二次方程化成两个的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解的问题。

（2）一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的求根公式为 .3、一元二次方程的根的判别式是： .当时一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）有两个不相等的实数根;当时一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）有两个相等的实数根;当时一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）没有实数根.4、当解含字母已知数的一元一次方程和一元二次方程时要注意什么？5、利用一元二次方程求根公式对二次三项式ax2+bx+c进行因式分解时要注意什么？二、经典例题学习例1.指出方程5x2−5x−2=0的二次项系数，一次项系数和常数项。

变式练习：指出方程(1−2x)(x+2)=3x2+1的二次项系数，一次项系数和常数项。

例2.用直接开平方法解方程4x2=9 .变式练习：用直接开平方法解49（x.-）22=5例3. 用因式分解法解方程x2+x−6=0 .变式练习：用因式分解法解方程x2+2x−8=0例4 .用配方法解方程x2−2x−4=0.变式练习：用配方法解方程4x2+12x−7=0 .例5. 用公式法解方程x2−2x=4 .例6.当m取何值时，关于x的一元二次方程mx2−3x+5=0有两个不相等的实数根？变式练习：当m取何值时，关于x的一元二次方程mx2−3x+5=0有两个相等的实数根？没有实数根？例7. 解关于x的方程ax+x=2(x−2) .例8. 在实数范围内因式分解 .（1）x2+3x−1 (2)2x2−3xy−3y2四、课后作业 .专题练习七一元二次方程及其应用1、已知关于x 的方程230x x m --=没有实数根，那么m 的取值范围是 .2、若关于x 的方程032=--m x x 有两个相等的实数根，则m 的值是 .3、如果关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 .4、关于x 的方程=2(1)ax x a +≠的解是 .5、方程01x k -x 2=+有实数根,那么k 的取值范围是（）.（A ）k ＞0 （B ）k ≥0 （C ） k ＞4 （D ） k ≥46、下列方程中没有实数根的是（）.（A ）210x x +-=；（B ）210x x ++=；（C ）210x -=；（D ）20x x +=7、用配方法解方程241=0x x -+，配方后所得的方程是（）.（A ）2(2)=3x -；（B ）2(+2)=3x ；（C ）2(2)=3x --；（D ）2(+2)=3x -8、关于x 的方程022=--mx x 根的情况是（）.（A ）有两个不相等的实数根；（B ）有两个相等的实数根；（C ）没有实数根；（D ）无法确定．9、如果关于的方程022=++c x x 没有实数根，那么c 在2、1、0、3-中取值是 ··········································································································································· （）.（A ）2；（B ）1；（C ）0；（D ）3-．10、如果关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（）.A ．1k <；B ．10k k <≠且；C ．1k >；D ．10k k >≠且 . 11、用适当的方法解下列方程.38.002.012=+x ）（ 75)2(3)2(2=-xx x 5232=）（ 12)3)(14=+-x x ）（3252-=-x x ）（ )2(2)12(62+=-x x ）（ x。

人教版九年级上册数学一元二次方程的定义、解法和应用培优讲义

人教版九年级上册数学一元二次方程的定义、解法和应用培优讲义一、主要知识点回顾1．一元二次方程：只含有个未知数，并且未知数的最高次数是，这样的方程叫一元二次方程，它的一般形式是20ax bx c ++=（a 、b 、c 是已知数且a ≠0），其中ax 2叫做，bx 叫做，a 叫做系数，b 叫做系数，c 叫做。

2．解一元二次方程的方法（1）直接开平方法：如果一元二次方程能化成2x p =或()()20≥mx n p p +=的形式，那么可以得x =± 。

或mx n +=± 的形式，从而通过解一元一次方程得到一元二次方程的两根。

（2）配方法：先将原方程变为 2()x m n +=的形式，再两边直接开平方。

用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①化二次项系数为1； ②移项,使方程左边．．为二次项和一次项,右边．．为常数项； ③方程两边都加上一次项系数一半．．．．．．．的平方．．； ④把原方程变为2()x m n +=的形式；⑤如果方程右边是非负数，就可以直接用开平方法求出方程的解。

（3）公式法：求根公式为=x （ ≥0）（4）因式分解法：因式分解法的步骤是： ①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。

3．一元二次方程的四种解法的灵活运用：对于方程20ax bx c ++=（a ≠0，240b ac -≥）（1）若b ＝0，即20ax c +=，则宜用法解；（2）若c ＝0，即20ax bx +=，则宜用法解；（3）若b ≠0，c ≠0，则要准确把握方程的特征，选用适当的解法。

①方程化为标准形式ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）后，左边易于因式分解的，用因式分解法。

②若方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）中，a ＝1、b 是偶数，可以考虑用配方法。

华师大初三上册培优讲义第三讲一元二次方程的应用

第三讲一元二次方程的应用学习目标 1、知识目标：能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型；掌握列一元二次方程解应用题的一般步骤；会列一元二次方程解平均变化率问题、商品销售问题、面积问题的应用题；能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。

2、能力目标：经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并能用一元二次方程对之进行描述；体验解决问题的多样性，发展实践应用意识。

3、情感目标：通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识的应用价值，提高学生学习数学的兴趣。

一、知识讲解课前测评 1、（2012秋合浦县期中）一个两位数字,十位数字比个位数字大3,且这两个数字之积等于这个两位数字的27，若设个位数字为x ，则可列出方程____________. 2．（2017秋鼓楼区期中）某企业2014年底缴税400万元，2016年底缴税484万元，设这两年该企业缴税额年平均增长率为x ，根据题意可列方程．3．（2017秋凤庆县期末）如图，某小区规划在一个长30m 、宽20m 的长方形ABCD 上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m 2，那么通道的宽应设计成多少m ？知识点回顾（或新课预习）1、掌握列一元二次方程解应题一般步骤：①审题；①设未知数；①找等量关系；①列方程；①解答。

2、面积问题：理解平移法的作用；3、数字问题：一个两位数，个位数字是a,十位数字是b ，则这个两位数可表示为；一个三位数，个位数字是a,十位数字是b ，百位数字是c ，则这个三位数可表示为；4、增长率问题：2(1)a x b ±=。

5、利润问题：利润＝售价－进价；总利润＝1件利润×件数；二、例题辨析【考点1、面积问题】例1、（2013年秋南雅中学入学考）在一幅长80厘米，宽50厘米的矩形风景画的四周镶一条金色的纸边,制成一幅矩形挂图，如图,如果要使整个挂图的面积是5400平方厘米,设金色纸边的宽为x 厘米,那么满足的方程是( )A. x 2+130x−1400=0B. x 2+65x−350=0C. x 2−130x−1400=0D. x 2−65x−350=0变式练习：1．（2017秋靖远县校级月考）如图所示要建一个面积为150m2的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长为am，另三边用竹篱笆围成，已知篱笆总长为35m．（1）求鸡场的长与宽各为多少米？（2）题中的墙长度am对题目的解起着怎样的作用？2．（2017秋江都区校级期中）在一块长16m、宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半．下面分别是小明和小颖的设计方案．小明说：我的设计方案如图（1），其中花园四周小路的宽度相等．通过解方程，我得到小路的宽为2m．小颖说：我的设计方案如图（2），其中花园中每个角上的扇形相同．（1）你认为小明的结果对吗？请计算说明；（2）请你帮助小颖求出图中的x（结果保留根号和π）【考点2、数字问题】例2、（2016秋孝南区校级月考）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，若设个位数字为a，则可列方程为（）A．a2（a-4)2=10（a-4）+a-4 B．a2+（a+4)2=10a+a-4-4C．a2+（a+4)2=10（a+4）+a-4 D．a2+（a-4)2=10a+（a-4)-4变式练习：1．（2016秋新民市期中）一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是（）A．不存在B．25 C．36 D．25或362．（2014秋双峰县校级月考）有一个两位数比它的个位数字的平方小2，个位数字比十位数字大3，求这个两位数．如果设十位数字为x，则可列方程为：．【考点3、增长率问题】例3、（2017年春长郡中学期中）“屠呦呦成为我国首位获得诺贝尔奖的科学家，这说明，只要坚持，梦想总是可以实现的”“推动‘一带一路’建设取得实质性进展”，为响应这一经济发展战略，树立品牌意识，我市2014年投入科研经费500万元，2016年投入科研经费720万元。

初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题07 一元二次方程的应用

九年级数学讲义(一元二次方程)

中考复习讲座一元二次方程的应用共26页

九年级数学培优专题 一元二次方程

第07课 一元二次方程的应用(销售利润问题)(教师版) 九年级数学上册精品讲义(人教)

第一讲 培优竞赛一元二次方程的解法辅导