黄东坡数学培优竞赛新方法(答案)
2020-2021中考数学培优(含解析)之相似及答案
2020-2021中考数学培优(含解析)之相似及答案一、相似1．定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点.（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=3，MN=4求BN的长；（2）已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图2所示，请在BC上画一点D，使C，D 是线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可）；（3）如图3，正方形ABCD中，M，N分别在BC，DC上，且BM≠DN，∠MAN=45°，AM，AN分别交BD于E，F.求证：①E、F是线段BD的勾股分割点；②△AMN的面积是△AEF面积的两倍．【答案】（1）解：（1）①当MN为最大线段时，∵点M，N是线段AB的勾股分割点，∴BM= = = ，②当BN为最大线段时，∵点M，N是线段AB的勾股分割点，∴BN= = =5，综上，BN= 或5；（2）解：作法：①在AB上截取CE=CA；②作AE的垂直平分线，并截取CF=CA；③连接BF，并作BF的垂直平分线，交AB于D；点D即为所求；如图2所示．（3）解：①如图3中，将△ADF绕点A顺时针性质90°得到△ABH，连接HE．∵∠DAF+∠BAE=90°﹣∠EAF=45°，∠DAF=∠BAH，∴∠EAH=∠EAF=45°，∵EA=EA，AH=AF，∴△EAH≌△EAF，∴EF=HE，∵∠ABH=∠ADF=45°=∠ABD，∴∠HBE=90°，在Rt△BHE中，HE2=BH2+BE2，∵BH=DF，EF=HE，∵EF2=BE2+DF2，∴E、F是线段BD的勾股分割点．②证明：如图4中，连接FM，EN．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，∠BDC=∠ADB=45°，∵∠MAN=45°，∴∠EAN=∠EDN，∵∠AFE=∠FDN，∴△AFE∽△DFN，∴∠AEF=∠DNF，，∴，∵∠AFD=∠EFN，∴△AFD∽△EFN，∴∠DAF=∠FEN，∵∠DAF+∠DNF=90°，∴∠AEF+∠FEN=90°，∴∠AEN=90°∴△AEN是等腰直角三角形，同理△AFM是等腰直角三角形；∵△AEN是等腰直角三角形，同理△AFM是等腰直角三角形，∴AM= AF，AN= AE，∵S△AMN= AM•AN•sin45°，S△AEF= AE•AF•sin45°，∴ =2，∴S△AMN=2S△AEF．【解析】【分析】（1）此题分两种情况：①当MN为最大线段时，②当BN为最大线段时，根据线段的勾股分割点的定义，利用勾股定理分别得出BM的长；（2）利用尺规作图，将线段AC,CD,DB转化到同一个直角三角形中，①在AB上截取CE=CA；②作AE的垂直平分线，并截取CF=CA；这样的作图可以保证直角的出现，及AC 是一条直角边，③连接BF，并作BF的垂直平分线，交AB于D；这样的作图意图利用垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，即BD=DF，从而实现将三条线段转化到同一直角三角形的目的；（3）①如图3中，将△ADF绕点A顺时针性质90°得到△ABH，连接HE．根据正方形的性质及旋转的性质得出∠EAH=∠EAF=45°，AH=AF，利用SAS判断出△EAH≌△EAF，根据全等三角形对应边相等得出EF=HE，根据正方形的每条对角线平分一组对角，及旋转的性质得出∠ABH=∠ADF=45°=∠ABD，故∠HBE=90°，在Rt△BHE中，HE2=BH2+BE2，根据等量代换得出结论；②证明：如图4中，连接FM，EN．根据正方形的性质及对顶角相等判断出△AFE∽△DFN，根据相似三角形对应角相等，对应边成比例得出∠AEF=∠DNF， AF∶DF =EF∶FN ，根据比例的性质进而得出AF∶EF =DF∶FN,再判断出△AFD∽△EFN，根据相似三角形对应角相等得出∠DAF=∠FEN，根据直角三角形两锐角互余，及等量代换由∠DAF+∠DNF=90°，得出∠AEF+∠FEN=90°，即∠AEN=90°，从而判断出△AEN是等腰直角三角形，同理△AFM是等腰直角三角形；根据等腰直角三角形的边之间的关系AM= AF，AN= AE，从而分别表示出S△AMN与S△AEF，求出它们的比值即可得出答案。
(完整版)数学培优竞赛新方法(九年级)-第23讲几何定值
第23讲 几何定值知识纵横几何定值，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些集合性质或位置关系不变。
解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量和变量，运用极端位置、特殊位置、直接计算等方法，先探求出定值，再给出一般情形下的证明。
例题求解【例1】 （1）如图1，圆内接ABC ∆中，CA BC AB ==，OE OD ,为圆O 的半径，BC OD ⊥于点F ，AC OE ⊥于点G ，求证：阴影部分四边形OFCG 的面积是ABC ∆的面积的31. （2）如图2，若DOE ∠保持︒120角度不变，求证：DOE ∠绕着O 点旋转时，由两条半径和ABC ∆的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是ABC ∆的面积的31．（广东省中考题）思路点拨 对于（1），连OC OA 、，则要证明ABC OAC S S ∆∆=31，只需证明OCF OAG ∆≅∆；对于（2），类比（1）的证明方法证明。
【例2】如图，⊙1O 和⊙2O 外切于点A ，BC 是⊙1O 和⊙2O 的公切线，C B ,为切点． （1）求证：AC AB ⊥；（2）过点A 的直线分别交⊙1O 和⊙2O 于点E D ,，且DE 是连心线时，直线DB 与直线EC 交于点F ．请在图中画出图形，并判断DF 与EF 是否互相垂直，请证明；若不垂直，请说明理由；（3）在（2）的其他条件不变的情况下，将直线DE 绕点A 旋转（DE 不与点C B A ,,重合），请另画出图形，并判断DF 与EF 是否互相垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．（沈阳市中考题）思路点拨 按题意画出图形，充分运用角的知识证明若︒=∠90DFE ，则EF DF ⊥这一位置关系不变。
【例3】如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足，求证：不管ST 滑到什么位置，SPM ∠是一定角．（第18届加拿大数学竞赛题）思路点拨 不管ST 滑到什么位置，弧ST 及SOT ∠的度数都是定制，从探寻SPM ∠与SOT ∠的关系入手。
数学培优竞赛新方法(九年级)-配方法
配方法把一个式子或一个式子的部分改写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种解题方法叫配方法。
配方法的作用在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具；配方法的实质在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段。
运用配方法解题的关键在于“配凑”，“拆”与“添”是配方中常用的技巧。
熟悉以下基本等式：1.222)(2b a b ab a ±=+±2.2222)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++； 3.[]222222)()()(21a c cb b a ca bc ab c b a ±+±+±=±±±++ 4.a b ac a b x a c bx ax 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++ 【例1】已知y x ,实数满足0332=-++y x x ，则y x +的最大值为（镇江市中考题）思路点拨 把y 用x 的式子表示，通过配方法求出y x +的最大值。
【例2】已知c b a 、、，满足722=+b a ，122-=-c b ， 1762-=-a c ，则c b a ++的值等于（ ）A.2B.3C.4D.5（河北省竞赛题）思路点拨 由条件等式的特点，从整体叠加配方入手【例3】已知a 是正整数，且a a 20042+是一个正整数的平方，求a 的最大值。
（北京市竞赛题）思路点拨 设222004m a a =+（m 为正整数），解题的关键是把等式左边配成完全平方式。
【例4】已知c b a 、、是整数，且01,422=-+=-c ab b a ，求c b a ++的值（浙江省竞赛题）【例5】若y x 、是实数，且y x y xy x m 446422--+-=，确定m 的最小值（北京市竞赛题）分析与解 选择x 为主元，将条件等式重新整理成x 的二次三项式，利用配方求m 的最小值。
练习1.设mn n m n m 4,022=+>>，则mnn m 22-的值等于（ ）A.32B.3C.6D.3（2011年南通市中考题）2.已知m m Q m P 158,15172-=-=（m 为任意实数），则Q P 、的大小关系为（ ） A.Q P > B.Q P = C.Q P < D.不能确定（泰州市中考题）3.若实数z y x 、、，满足0))((4)(2=----z y y x z x ，则下列式子一定成立的是（ ）A.0=++z y xB.02=-+z y xC.D.02=-+y x z（2011年天津市中考题）4.化简2121722321217223---++的结果是（ ） A.2 B.2- C.2 D.2-（2011年江西省竞赛题）5.已知实数c b a 、、满足016,72=++++=+-c b bc ab c b a ，则ab的值等于 （天津市竞赛题）6.当2>x 时，化简代数式1212--+-+x x x x 得（“希望杯”邀请赛试题）7.已知z y x 、、为实数，且满足52,352-=--=-+z y x z y x ，则222z y x ++的最小值为 。
黄东坡：2021年中考数学重难点，你必须掌握的“万能代数模型”解题秘器
黄东坡：2021年中考数学重难点，你必须掌握的“万能代数模型”解题秘器近代科学始祖笛卡尔把⽅程思想称为“万能代数模型”，认为⼀切问题最终可化为⽅程求解。
说它万能有些夸张，但它确实能⽤于许多场合，⽜顿、爱因斯坦、杨振宁等⼀众科学家⽆不青睐于它。
⽽⼀元⼆次⽅程作为⽅程家族⾥的重要成员，在各类⽅程中都可能找到它的踪影，它能在全部代数知识的学习中起着承上启下的作⽤，还能⼴泛地应⽤于实际⽣活，是解决各类问题的解题秘器。
数学家研究的是什么？英国著名数学家阿蒂亚指出：“答案应该不会使任何⼈感到惊讶——他研究的是⽅程。
⾸先，在最低层次上，是代数⽅程；然后，在较⾼⽔平上，是微分⽅程。
这个极度的简化⾄少有容易被理解的优点。
”回顾数学史，⽅程犹如⼀条明显的红线贯穿始终，⼀部早期代数史就是研究⽅程、讨论⽅程解的历史。
⽽⼀元⼆次⽅程位于其中有着⽆与伦⽐的奠基地位，堪称初中数学的⼤BOSS，古中国的《九章算术》、古埃及的纸草⽂书、古希腊的欧⼏⾥得等，都研究过特殊的⼀元⼆次⽅程的解法。
它是中学阶段学习各类⽅程的基础，许多⽅程最终都可归结为解⼀元⼆次⽅程。
它在代数学习中起着承上启下的作⽤，即是对已学过的知识(实数、整式、分式、根式和⼀元⼀次⽅程）的巩固和加深，⼜是为今后学习指数、对数、三⾓函数⽅程、不等式、函数等内容奠定基础。
它是解决问题的有⼒武器，很多题⽬与⽣活中许多实际复杂问题的解决都与它有关。
它也是初中数学学习的重难点，中考必考的重要内容，在全国各地的中考数学试卷中所占分数⼤约如下：不管是选择题、填空题，还是解答题都常光临。
纵观近年来与⼀元⼆次⽅程相关的开放题、探索题、阅读理解题更逐渐成为中考命题的热点，多以社会关注点为素材，分值较⾼。
因此，2021年想学好初中数学就⼀定要把⼀元⼆次⽅程学扎实，这对分式⽅程、⼆次函数等综合问题都有很⼤帮助。
⽽在这过程中，如果能掌握这⼀张图涵盖的相关知识点，也就基本意味着能横扫这个初中3年数学的⼤BOSS。
七年级数学培优竞赛二合一讲练教程(共15讲,含答案)
数的整除（一）【知识精读】如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.一些数的整除特征能被7整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。
如 1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99（能11整除）又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）【分类解析】例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。
求x,y解：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6. ∵328＋92x ＝567，∴x=31234能被12整除，求X。
例2己知五位数x解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，当1＋2＋3＋4＋X能被3整除时，x=2，5，84能被4整除时，X＝0，4，8当末两位X∴X＝8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数。
解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行调整末两位数为30，41，52，63，均可，∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。
【实战模拟】1分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）①593②1859③1287④3276⑤10101⑥10296987能被3整除，那么a=_______________2若四位数a12X能被11整除，那么X＝__________-3若五位数3435m能被25整除4当m=_________时，59610能被7整除5当n=__________时，n6能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________ 88个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6________,8__________,9_________,11__________9从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除但不是5的倍数的共______个。
《新思维》、《新方法》对比简测
《新思维》、《新方法》对比简测《新思维》、《新方法》以及《大视野》都是黄东坡老师的著作，作为初中数学拔高类的教辅，一直以来都被老师、家长和学生所推崇。
其中《大视野》因为主要是涉及竞赛内容，在此我们不再赘述，《新思维》和《新方法》则是一直被认为是初中数学拔高类教辅中的佼佼者，有不少名校培优班的数学老师会选择两者之一作为补充练习。
普遍认为，《新思维》偏课内一些，《新方法》偏竞赛一些，难度更高。
但是到底《新思维》与《新方法》有什么区别，我们说《新方法》偏竞赛，到底有多“偏”？我们说《新方法》比《新思维》难，到底难到什么程度？想必朋友们市很好奇这件事情的，正好前一段朋友们打赏我的文章，我用这些钱又购置了一些教辅，其中就有七年级的《新方法》，正好可以和我手头的七年级《新思维》做一个简单的对比评测，为朋友选择教辅提供参考。
关于《新思维》的评测，我在之前已经写过。
见书识人——黄东坡《数学探究应用新思维（七年级数学）》评测所有这里我着重比较两者的区别，更侧重对新方法的分析。
目录一、《新思维》与《新方法》的结构对比二、《新思维》与《新方法》的题目结构与难度对比（一）、知识简析（二）、例题对比（三）、习题对比三、《新思维》与《新方法》到底怎么选？怎么用？（一）、怎么选？（二）、怎么用？四、小结一、《新思维》与《新方法》的结构对比两本书拿到手里，厚薄差不多，《新方法》略厚一些，去掉答案，《新方法》多了大概十几页。
两本书的体例都比较类似，大体都是以七年级数学教材为纲，但是又按照代数、几何、概率统计分别整合成几大块。
不过《新方法》又额外多了一部分拓展内容，这是它与《新思维》的区别。
我将两本书在各部分中的内容对照表整理出来，大家一看便知。
显然可以看出，在代数部分，《新方法》在内容上是包含了《新思维》的内容的，相较于《新思维》，《新方法》多了一些数学思维的拓展——走进美妙的数学世界、跨越——从算术到代数、创造的基石——观察、归纳与猜想；在一些知识上做了细化，比如一元一次方程中专门设置了绝对值与一元一次方程一节；增添了整式的乘法与除法、乘法公式等章节。
初三数学培优新方法练习题
初三数学培优新方法练习题1. 填空题：a) 3.14是圆周率的近似值，它是一个________数。
b) 7的负数是_________。
c) 38÷2的余数是_________。
d) 在数轴上，-2和2之间有________个整数。
e) 4/5是一个_________数。
2. 选择题：a) 下列哪个数是无理数？1) √22) 1.53) -54) 0.25b) 计算：(2 + 3) × 4 ÷ 2 =1) 82) 113) 64) 10c) 下列哪个数是正数？1) -92) 03) 54) -2d) 定义域是实数的函数图像是一条_________。
1) 直线2) 抛物线3) 高尔夫球杆4) 温度计3. 解答题：a) 用计算器验证下列方程是否成立：(2 + 3) × 4 ÷ 2 = 5b) 请列举2个无理数的例子，并说明它们的性质。
c) 如果一个数的绝对值是9，它可能是什么数？d) 请你举例说明正数与负数相加的规律。
4. 应用题：题干：一张圆形纸片的直径为14厘米，如图所示，将此圆形纸片剪成一个扇形，剪掉那一部份，使剩余的部份在对称轴上折上后叠起来刚好封闭形成一个圆锥形纸帽，问剪掉部分的圆心角是多少？(π取近似值3.14)图片部分省略，仅文字描述。
5. 拓展题：某商场进行打折促销，某商品原价100元。
第一天打9折出售，第二天再对折出售，以后每天都再对折出售。
请计算经过多少天后这个商品的售价低于10元？6. 相关题：题干：小明和小华合计有48个糖果，两人约定，将糖果分成若干份，每份4块。
剩下的2块，如果不够每份都分一块，就交给妈妈。
询问：小明和小华最多可得到多少个糖果，妈妈最多可能得到几块糖果？7. 推理题：a) 下列哪个数不是整数？1) -102) -√253) 04) 1/2b) 如果a是一个正数，那么a的相反数是__________。
8. 综合题：题干：某公司在一年内举办了两次员工聚餐，第一次聚餐花费了总预算的3/5，第二次聚餐花费了剩下预算的2/3。
黄东坡数学培优新方法详细解析第十节列方程解应用题有趣的行程问题
七年级 第十节列方程解应用题 有趣的行程问题 24题扫描二维码，下载客户端，随时随地做题支持iPhone/Android手机1.设计方案：学生乙先步行，老师带学生甲乘摩托车走出一定路程，让学生甲步行，老师返回接学生乙，然后老师带乘学生乙，与学生甲步行同时到达博物馆即可要确定摩托车中途接乙的返回点.分）设两个学生为甲、乙二人.学生乙先步行，老师带学生甲乘摩托车走了千米，共用了小时.他们比乙多行了千米)。
这时老师让甲步行前进，而自己返回接乙，中途遇到学生乙时，用了小时)。
乙遇到老师时，已经步行了千米)，离博物馆还有千米)。
如果甲、乙二人搭乘摩托车的路程相同，那么，解得千米分）这样，在路上学生甲共计用的时间为小时），学生乙共计用的时间为小时分）因此，上述方案可使师生人同时出发后只用小时就可同时到达博物馆.设甲每分钟走米，乙每分钟走米，丙每分钟走米，甲出发分钟后追上乙车，由题意，得，老师带着两个学生到离学校千米的博物馆参观.老师开一辆摩托车，速度为千米小时.这辆摩托车后坐可带乘一名学生，带人后速度为千米小时.学生如果步行，速度为千米小时.请你设计一种方案，使得师生人同时出发后用个小时同时到达博物馆.2.甲、乙、丙三辆车都匀速从地驶往地.乙车比丙车晚分钟出发，出发后分钟追上丙车；甲车比乙车晚分钟出发，出发后分钟追上丙车，则甲车出发后＿＿＿＿＿＿分钟追上乙车.3.①②③A. 上设甲的速度是每小时千米，则乙的速度是每小时千米，由题意得.检验：当时，是原方程的解.，，.此时是上午点分.故选.设乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是秒.由题意，有，解得.经检验，是原方程的解.即乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是秒.故答案为：.9.甲、乙两列客车的长分别为米和米，它们相向行驶在平行的轨道上，已知甲车上某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间是秒，那么乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是＿＿＿秒.10.铁路旁的一条平行小路上有一行人与一骑车人同时向东行进，行人速度为千11. 3.6设火车的速度是则解得:答:这列火车的车身长为米（1）出发后＿＿＿分钟时，甲乙两人第一次在正方形的顶点处相遇；（1）a=1或a=7；（2）t 的值为0.5、2、8或9.5．正确答案： B DA 边上设、两地之间的距离为千米，若在的上游时：动点Q 从B 出发，以3 cm/s 的速度，按同样的方向运动．设运动时间为t (s)，当t ＝ 5时，动点P 、Q 第一次相遇．(1)求a 的值；(2)若a > 3，在P 、Q 第二次相遇前，当动点P 、Q 在轨道上相距12cm 时，求t 的值．如图，甲、乙两人沿着边长为90米的正方形，按A →B →C →D →A …方向，甲从A 以65米/分的速度，乙从B 以72米/分的速度同时行走，当乙第一次追上甲时在正方形的（ ）A AB 边上B DA 边上C BC 边上D CD 边上23.某人乘船由地顺流而下到地，然后又逆流而上到地，共乘船小时，已知船在静水中的速度为每小时千米，水流速度为每小时千米，若、两地的距离为千米，求、两地的距离.24.。
2021年高三数学暑假培优暨竞赛辅导(5) Word版含答案
2021年高三数学暑假培优暨竞赛辅导（5） Word 版含答案1、已知数列，，前n 项部分和满足，则2、如果二次方程 N*) 的正根小于3, 那么这样的二次方程有 个3、下列三数的大小关系4、设无穷数列 的各项都是正数, 是它的前 项之和, 对于任意正整数 , 与 2 的等差中项等于 与 2 的等比中项, 则该数列的通项公式为5、设为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如.记，，则＝6、函数 R ) 的最小值是7、方程的解集合为8、数列满足：，且对每个，是方程的两根，则 .9、已知数列满足关系式，则的值是___________________10、设)}8(log ,log ,2min{log ,1,122x y S y x y x =>>则S 的最大值为11、已知函数在时有最大值1，，并且时，的取值范围为． 试求m ，n 的值．12、已知,设,记（1）求的表达式;（2）定义正数数列。
试求数列的通项公式。
13、已知x、y、z均为正数（1）求证：（2）若,求的最小值14、已知数列中，，前n 项之和为.若24321(1)(21)2322n n n a n S n n n n ++⋅=+⋅+++++，试求及的表达式（用关于n 的最简式子表示）.答案：1、解：.于是 221(21)(23)8(1)n n n a S S n n n -=-=---=-，（）2、7解：由 , 知方程的根为一正一负．设 ，则 , 即 .由于 N*， 所以 或 . 于是共有7组 符合题意．3、解： 因为 ，。
令，则。
又因为，所以 。
再令，则，而，所以 。
综上所述，有 。
4、N*)解：由题意知 ， 即 . ……… ①由 得 , 从而 .又由 ① 式得 , ……… ②于是有 ,整理得 . 因 , 故．所以数列 是以 为首项、 为公差的等差数列，其通项公式为 ，即 . 故填 N*)．5、145解：将记做，于是有→→→→→→→→→→→164204214589583716402006 从16开始，是周期为8的周期数列。
2020-2021中考数学培优(含解析)之一元二次方程组附答案解析
2020-2021中考数学培优(含解析)之一元二次方程组附答案解析一、一元二次方程1．阅读下列材料计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）（+），令+＝t，则：原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣+t2＝在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题：（1）计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）×（+）（2）因式分解：（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4（3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝3【答案】（1）；（2）（a2﹣5a+5）2；（3）x1＝0，x2＝﹣4，x3＝x4＝﹣2【解析】【分析】（1）仿照材料内容，令+＝t代入原式计算．（2）观察式子找相同部分进行换元，令a2﹣5a＝t代入原式进行因式分解，最后要记得把t换为a．（3）观察式子找相同部分进行换元，令x2+4x＝t代入原方程，即得到关于t的一元二次方程，得到t的两个解后要代回去求出4个x的解．【详解】（1）令+＝t，则：原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣﹣t+t2+＝（2）令a2﹣5a＝t，则：原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2（3）令x2+4x＝t，则原方程转化为：（t+1）（t+3）＝3t2+4t+3＝3t（t+4）＝0∴t1＝0，t2＝﹣4当x2+4x＝0时，x（x+4）＝0解得：x 1＝0，x 2＝﹣4当x 2+4x ＝﹣4时，x 2+4x +4＝0（x +2）2＝0解得：x 3＝x 4＝﹣2【点睛】本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程．利用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算．2．解方程：x 2－2x ＝2x ＋1.【答案】x 1＝2，x 2＝2【解析】试题分析：根据方程，求出系数a 、b 、c ，然后求一元二次方程的根的判别式，最后根据求根公式2b x a-=求解即可. 试题解析：方程化为x 2－4x －1＝0.∵b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×(－1)＝20，∴x ＝42±＝， ∴x1＝2，x 2＝23．发现思考：已知等腰三角形ABC 的两边分别是方程x 2﹣7x+10=0的两个根，求等腰三角形ABC 三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．涵涵的作业解：x 2﹣7x+10=0a=1 b=﹣7 c=10∵b 2﹣4ac=9＞0∴732± ∴x 1=5，x 2=2所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．探究应用：请解答以下问题：已知等腰三角形ABC 的两边是关于x 的方程x 2﹣mx+m 2﹣14=0的两个实数根． （1）当m=2时，求△ABC 的周长；（2）当△ABC 为等边三角形时，求m 的值．【答案】错误之处及错误原因见解析；（1）当m=2时，△ABC 的周长为72；（2）当△ABC 为等边三角形时，m 的值为1．【解析】【分析】根据三角形三边关系可以得到等腰三角形的三条边不能为2、2、5．（1）先解方程，再确定边，从而求周长；（2）是等边三角形，则两根相等，即△=（﹣m ）2﹣4（m 2﹣14）=m 2﹣2m+1，可求得m. 【详解】解：错误之处：当2为腰，5为底时，等腰三角形的三条边为2、2、5． 错误原因：此时不能构成三角形．（1）当m=2时，方程为x 2﹣2x+34=0， ∴x 1=12，x 2=32． 当12为腰时，12+12<32， ∴12、12、32不能构成三角形； 当32为腰时，等腰三角形的三边为32、32、12， 此时周长为32+32+12=72． 答：当m=2时，△ABC 的周长为72． （2）若△ABC 为等边三角形，则方程有两个相等的实数根，∴△=（﹣m ）2﹣4（m 2﹣14）=m 2﹣2m+1=0， ∴m 1=m 2=1．答：当△ABC 为等边三角形时，m 的值为1．【点睛】本题考核知识点：二元一次方程的运用.解题关键点：熟练掌握二元一次方程的解法和等腰三角形性质.4．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x+a ﹣1=0．（1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x 1，x 2，求a 的取值范围；（3）若方程两个实数根x 1，x 2满足[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，求a 的值．【答案】（1）123,4x x =-=（2）54a ≤（3）-4【解析】分析：（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案；（2）根据判别式即可求出a 的范围；（3）根据根与系数的关系即可求出答案．详解：（1）把a =﹣11代入方程，得x 2﹣x ﹣12=0，（x +3）（x ﹣4）=0，x +3=0或x ﹣4=0，∴x 1=﹣3，x 2=4；（2）∵方程有两个实数根12x x ，，∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a ﹣1）≥0，解得54a ≤：； （3）∵12x x ，是方程的两个实数根，222211221122101011x x a x x a x x a x x a -+-=-+-=∴-=--=-，，，．∵[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，∴221122229x x x x ⎡⎤⎡⎤+-+-=⎣⎦⎣⎦，把22112211x x a x x a -=--=-， 代入，得：[2+a ﹣1][2+a ﹣1]=9，即（1+a ）2=9，解得：a =﹣4，a =2（舍去），所以a 的值为﹣4．点睛：本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系．5．解方程：（3x+1）2=9x+3．【答案】x 1=﹣13，x 2=23． 【解析】试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可.试题解析：方程整理得：（3x+1）2﹣3（3x+1）=0，分解因式得：（3x+1）（3x+1﹣3）=0，可得3x+1=0或3x ﹣2=0，解得：x 1=﹣13，x 2=23． 点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点，然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择即可.6．解下列方程：(1)2x 2－4x －1＝0(配方法)；(2)(x ＋1)2＝6x ＋6.【答案】(1)x 1＝1＋2x 2＝1－21＝－1，x 2＝5. 【解析】试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可.试题解析：(1)由题可得，x 2－2x ＝12，∴x 2－2x ＋1＝32. ∴(x －1)2＝32.∴x －1＝.∴x 1＝1x 2＝1 (2)由题可得，(x ＋1)2－6(x ＋1)＝0，∴(x ＋1)(x ＋1－6)＝0.∴x ＋1＝0或x ＋1－6＝0.∴x 1＝－1，x 2＝5.7．小王经营的网店专门销售某种品牌的一种保温杯，成本为30元/只，每天销售量y（只）与销售单价x （元）之间的关系式为y ＝﹣10x+700（40≤x≤55），求当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元【解析】【分析】表示出一件的利润为（x ﹣30）,根据总利润=单件利润乘以销售数量,整理成顶点式即可解题.【详解】设每天获得的利润为w 元，根据题意得：w ＝（x ﹣30）y ＝（x ﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x 2+1000x ﹣21000＝﹣10（x ﹣50）2+4000．∵a ＝﹣10＜0，∴当x ＝50时，w 取最大值，最大值为4000．答：当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元．【点睛】本题考查了一元二次函数的实际应用,中等难度,熟悉函数的性质是解题关键.8．关于x 的一元二次方程()22210x k x k +-+=有两个不等实根1x ，2x . （1）求实数k 的取值范围；（2）若方程两实根1x ，2x 满足121210x x x x ++-=，求k 的值.【答案】(1) k ＜14;(2) k=0. 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式得出△＞0，求出不等式的解集即可；（2）根据根与系数的关系得出x 1+x 2=-（2k-1）=1-2k ，x 1•x 2=k 2，代入x 1+x 2+x 1x 2-1=0，即可求出k 值．【详解】解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2+（2k-1）x+k 2=0有两个不等实根x 1，x 2， ∴△=（2k-1）2-4×1×k 2=-4k+1＞0，解得：k ＜14， 即实数k 的取值范围是k ＜14； （2）由根与系数的关系得：x 1+x 2=-（2k-1）=1-2k ，x 1•x 2=k 2，∵x 1+x 2+x 1x 2-1=0，∴1-2k+k 2-1=0，∴k 2-2k=0∴k=0或2，∵由（1）知当k=2方程没有实数根，∴k=2不合题意，舍去，∴k=0．【点睛】本题考查了解一元二次方程根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根的判别式和根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意用根与系数的关系解题时要考虑根的判别式，以防错解．9．设m 是不小于﹣1的实数，关于x 的方程x 2+2（m ﹣2）x+m 2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x 1、x 2，（1）若x 12+x 22=6，求m 值；（2）令T=121211mx mx x x +--，求T 的取值范围．【答案】（1）m=52；（2）0＜T≤4且T≠2． 【解析】【分析】由方程方程由两个不相等的实数根求得﹣1≤m ＜1，根据根与系数的关系可得x 1+x 2=4﹣2m ，x 1•x 2=m 2﹣3m+3；（1）把x 12+x 22=6化为（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=6，代入解方程求得m 的值，根据﹣1≤m ＜1对方程的解进行取舍；（2）把T 化简为2﹣2m ，结合﹣1≤m ＜1且m≠0即可求T 得取值范围.【详解】∵方程由两个不相等的实数根，所以△=[2（m ﹣2）]2﹣4（m 2﹣3m+3）=﹣4m+4＞0，所以m ＜1，又∵m 是不小于﹣1的实数，∴﹣1≤m ＜1∴x 1+x 2=﹣2（m ﹣2）=4﹣2m ，x 1•x 2=m 2﹣3m+3；（1）∵x 12+x 22=6，∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=6，即（4﹣2m ）2﹣2（m 2﹣3m+3）=6整理，得m 2﹣5m+2=0解得m=； ∵﹣1≤m ＜1所以m=． （2）T=+ = = ===2﹣2m ． ∵﹣1≤m ＜1且m≠0所以0＜2﹣2m≤4且m≠0即0＜T≤4且T≠2．【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．10．已知1x 、2x 是关于x 的方程222(1)50x m x m -+++=的两个不相等的实数根.(1)求实数m 的取值范围;(2)已知等腰ABC ∆的一边长为7，若1x 、2x 恰好是ABC ∆另外两边长，求这个三角形的周长.【答案】（1）m>2; (2)17【解析】试题分析：（1）由根的判别式即可得；（2）由题意得出方程的另一根为7，将x =7代入求出x 的值，再根据三角形三边之间的关系判断即可得．试题解析：解：（1）由题意得△=4（m +1）2﹣4（m 2+5）=8m －16＞0，解得：m ＞2； （2）由题意，∵x 1≠x 2时，∴只能取x 1=7或x 2=7，即7是方程的一个根，将x =7代入得：49﹣14（m +1）+m 2+5=0，解得：m =4或m =10．当m =4时，方程的另一个根为3，此时三角形三边分别为7、7、3，周长为17； 当m =10时，方程的另一个根为15，此时不能构成三角形；故三角形的周长为17．点睛：本题主要考查判别式、三角形三边之间的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键．11．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？【答案】（1）两次下降的百分率为10%；（2）要使每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则商品应降价2.5元．【解析】【分析】（1）设每次降价的百分率为 x ，（1﹣x ）2 为两次降价后的百分率，40元 降至 32.4元 就是方程的等量条件，列出方程求解即可；（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可【详解】解：（1）设每次降价的百分率为 x ．40×（1﹣x ）2＝32.4x ＝10%或 190%（190%不符合题意，舍去）答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 32.4元，两次下降的百分率为10%；（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元， 由题意，得()4030y (448)5100.5y --⨯+= 解得：1y ＝1.5，2y ＝2.5，∵有利于减少库存，∴y ＝2.5．答：要使商场每月销售这种商品的利润达到 510 元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 2.5 元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．12．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．【答案】（1）m≤4；（2）3≤m≤4．【解析】试题分析：（1）根据判别式的意义得到△=（-6）2-4（2m+1）≥0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=6，x1x2=2m+1，再利用2x1x2+x1+x2≥20得到2（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m的取值范围．试题解析：（1）根据题意得△＝（－6）2－4（2m＋1）≥0，解得m≤4；（2）根据题意得x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1，而2x1x2＋x1＋x2≥20，所以2（2m＋1）＋6≥20，解得m≥3，而m≤4，所以m的范围为3≤m≤4．13．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【答案】（1）4元或6元；（2）九折.【解析】【详解】解：（1）设每千克核桃应降价x元.根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+x2×20）=2240，化简，得 x2﹣10x+24=0，解得x1=4，x2=6.答：每千克核桃应降价4元或6元.（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元.此时，售价为：60﹣6=54（元），54100%=90% 60.答：该店应按原售价的九折出售.14．阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x 2＝y ，那么x 4＝y 2，于是原方程可变为y 2﹣5y +4＝0 ①，解得y 1＝1，y 2＝4． 当y ＝1时，x 2＝1，∴x ＝±1；当y ＝4时，x 2＝4，∴x ＝±2；∴原方程有四个根：x 1＝1，x 2＝﹣1，x 3＝2，x 4＝﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到 的目的，体现了数学的转化思想．（2）解方程（x 2+x ）2﹣4（x 2+x ）﹣12＝0．【答案】（1）换元，降次；（2）x 1=﹣3，x 2=2．【解析】【详解】解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想;（2）设x 2+x =y ，原方程可化为y 2﹣4y ﹣12=0，解得y 1=6，y 2=﹣2．由x 2+x =6，得x 1=﹣3，x 2=2．由x 2+x =﹣2，得方程x 2+x +2=0，b 2﹣4ac =1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x 1=﹣3，x 2=2．15．阅读材料:若22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值.解: 22228160m mn n n -+-+=Q ，222(2)(816)0m mn n n n ∴-++-+=22()(4)0m n n ∴-+-=，0,40m n n ∴-=-=，4,4n m ∴==.根据你的观察，探究下面的问题:（1）己知2222210x xy y y ++++=，求x y -的值.（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足2268250a b a b +--+=，求边c 的最大值.（3） 若己知24,6130a b ab c c -=+-+=，求a b c -+的值.【答案】（1）2（2）6（3）7【解析】【分析】（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x 与y 的值，即可求出x ﹣y 的值；（2）将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a 与b 的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c 的长；（3）由a ﹣b =4，得到a =b +4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b 与c 的值，进而求出a 的值，即可求出a﹣b+c的值．【详解】（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1=0∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）=0∴（x+y）2+（y+1）2=0∴x+y=0 y+1=0解得：x=1，y=﹣1∴x﹣y=2；（2）∵a2+b2﹣6a﹣8b+25=0∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）=0∴（a﹣3）2+（b﹣4）2=0∴a﹣3=0，b﹣4=0解得：a=3，b=4∵三角形两边之和＞第三边∴c＜a+b，c＜3+4，∴c＜7．又∵c是正整数，∴△ABC的最大边c的值为4，5，6，∴c 的最大值为6；（3）∵a﹣b=4，即a=b+4，代入得：（b+4）b+c2﹣6c+13=0，整理得：（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）=（b+2）2+（c﹣3）2=0，∴b+2=0，且c﹣3=0，即b=﹣2，c=3，a=2，则a﹣b+c=2﹣（﹣2）+3=7．故答案为7．【点睛】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．。
数学培优竞赛新方法(九年级)第8讲抛物线
抛物线
知识纵横
一般地，我们称函数 y ax2 bx c(a、b、c为常数，a 0) 为 x 的二次函数，其图像为一条抛物
线，与抛物线相关的知识有：
1、 a 、 b 、 c 的符号决定抛物线的大致位置；
2、抛物线关于
x
b 2a
对称，抛物线开口方向、开口大小仅与
a
相关，抛物线在顶点
b 2a
.
(2011 年全国初中数学联赛题）
13、若关于 x 的函数 y (a 3)x2 (4a 1)x 4a 的图像与坐标轴有两个交点，
则 a 的值为
。
正△AOB 的面积为（
（天津市竞赛题）
14、已知正△AOB 的三个顶点都在抛物线 y 1 x2 上，其中 O 为坐标原点，则 2
）
6
A、 4 3
（2011 年江西省中考题）
10、如图所示，已知点 A（-1，0），B（3，0），C（0，t），且 t＞0，tan∠BAC=3，抛物线经过 A、B、C 三点，点 P（2，m）是抛物线与直线 l：y=k（x+1）的一个交点． （1）求抛物线的解析式； （2）对于动点 Q（1，m），求 PQ+QB 的最小值； （3）若动点 M 在直线 l 上方的抛物线上运动，求△AMP 的边 AP 上的高 h 的最大值．
,
4ac 4a
b2
处取得最值； 3、抛物线的解析式有下列三种形式：
一般式： y ax2 bx c ；
顶点式： y a(x h)2 k ；
交点式： y a(x x1)(x x2 ) ，这里 x1 、 x2 是方程 ax2 bx c 0 的两个实根。确定抛物线的解析式
一般要两个或三个独立条件，灵活地选用不同方法求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的关键。 例题求解
培优竞赛答案解析
八年级数学提优练习题参考答案与试题解析一•选择题（共7小题）点，OP=OC，下面的结论：①/ APO+ / DCO=30 °②厶OPC是等边三角形；③AC=AO+AP ;④S^ABC=S四边形AOCP・其中正确的有（）个.考点：等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质. 分析：① 利用等边对等角，即可证得：/ APO= / ABO, / DCO= / DBO，贝U/ APO+ / DCO= / ABO+ / DBO= / ABD，据此即可求解；②证明/ POC=60。
且OP=OC，即可证得△ OPC是等边三角形；③首先证明•••△ OPABA CPE，贝U AO=CE , AC=AE+CE=AO+AP .④过点C作CH丄AB于H，根据S四边形AOCP=S A ACP+S A AOC，利用三角形的面积公式即可求解. 解答：解：连接OB,•/ AB=AC , AD 丄BC ,• BD=CD , / BAD=2 / BAC== X120 °60 °• OB=OC , / ABC=90 °-Z BAD=30 °•/ OP=OC ,• OB=OC=OP ,•/ APO= / ABO , / DCO= / DBO ,•/ APO+ / DCO= / ABO+ / DBO= / ABD=30 ° 故①正确；•// APC+ / DCP+ / PBC=180 ° °•/ APC+ / DCP=150 ° °•// APO+ / DCO=30 °°•••/ OPC+ / OCP=120 ° °•/ POC=180°-(/ OPC+ / OCP) =60 ° °•/ OP=OC ,•••△OPC是等边三角形；故②正确；在AC上截取AE=PA ,•// PAE=180°-Z BAC=60 °•△ APE是等边三角形，•/ PEA= / APE=60 ° PE=PA ,•/ APO+ / OPE=60 °•// OPE+ / CPE=/ CPO=60 °°•/ APO= / CPE ,•/ OP=CP ,在厶OPA和厶CPE中，B .①②④C •①③④D .①②③④A •①②③1「PA二PE“ Z APO =Z C :PB ，[OF=CF•••△ OPA ^A CPE ( SAS ), ••• AO=CE ,• AC=AE+CE=AO+AP ; 故③正确；过点C 作CH 丄AB 于H ,•••/ PAC=Z DAC=60 ° AD 丄 BC ,• CH=CD , •- S A ABC = AB?CH ,S 四边形 AOCP =S A ACP +S A AOC =—AP?CH+—OA?CD=—AP?CH+ —OA?CH=—CH? (AP+OA ) =—CH?AC ,2 2 2 S 2 2点评：本题考查了等腰 三角形的判定与性质，关键是正确作出辅助线.2.如图，四边形 ABCD 是直角梯形，AB // CD , AD 丄AB ，点P 是腰AD 上的一个动点，要使 PC+PB 最小，则点 P 应该满足（）考点：轴对称-最短路线问题；直角梯形. 专题：压轴题；动点型.分析：首先根据轴对称的知识，可知 P 点的位置是连接点 B 和点C 关于AD 的对称点E 与AD 的交点，利用轴对 称和对顶角相等的性质可得.解答： 解：如图，作点 C 关于AD 的对称点E ,连接BE 交AD 于P ,连接CP .A . PB=PCB . PA=PDC . / BPC=90 / APB= / DPC•- S A ABC =S 四边形 AOCP ； 故④正确. 故选D .根据轴对称的性质，得/ DPC= / EPD, 根据对顶角相等知/ APB= / EPD, 所以/ APB= / DPC .故选D.点评：此题的关键是应知点P是怎样确定的•要找直线上一个点和直线同侧的两个点的距离之和最小，则需要利用轴对称的性质进行确定.如图，△ ABC是等腰直角三角形，△ DEF是一个含30°角的直角三角形，将D放在BC的中点上，转动△ DEF ,DE, DF分别交AC , BA的延长线于E, G,则下列结论:AG=CE ② DG=DE其中总是成立的是（）A .①②③B .①②③④C .②③④ 考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质.专题：开放型.分析：连DA ,由厶ABC是等腰直角三角形，D点为BC的中点，根据等腰直角三角形的性质得AD丄BC, AD=DC , / ACD= / CAD=45 °,得到/ GAD= / ECD=135 °,由/ EDF=90 °,根据同角的余角相等得到/ 仁/ 2，所以△ DAG ◎△ DCE , AG=EC , DG=DE，由此可分别判断.解：连DA，如图，•••△ ABC是等腰直角三角形，D点为BC的中点，••• AD 丄BC , AD=DC，/ ACD= / CAD=45 °•••/ GAD= / ECD=135 °又•••△ DEF是一个含30°角的直角三角形,• / EDF=90 ° • / 1 = / 2,•△ DAG ◎△ DCE ,•AG=EC , DG=DE，所以①② 正确;-AB=AC ,• BG - AC=BG - AB=AG=EC，所以③正确;故选B .BG - AC=CE ④BDG - S^ CDE=』S A ABC3.D .①②④解答:•' BDG-CDE=S A BDG- j ADG=S A ADB= ABC•所以④正确.Ax£点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等•也考查了等腰直三角形的性质，特别是斜边上的中线垂直斜边并且等于斜边的半.4.如图：△ ABC 中，/ ACB=90 ° / CAD=30 ° AC=BC=AD , CE 丄CD，且CE=CD，连接BD , DE, BE,则下列结论：①/ ECA=165 ° ②BE=BC ;③AD丄BE;④ 0=1 .其中正确的是（）BDA .① ②③B .①②④C .①③④|D .① ②③④考点：等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形.分析：①根据：/ CAD=30 ° AC=BC=AD，禾U用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出/ ECA=165 °从而得证结论正确；②根据CE丄CD，/ ECA=165 °利用SAS求证△ ACD ◎△ BCE即可得出结论；③根据/ ACB=90 ° / CAD=30 ° , AC=BC ,利用等腰三角形的性质和△ ACD ◎△ BCE ,求出/ CBE=30 ° ,然后即可得出结论；④过D作DM丄AC于M,过D作DN丄BC于N .由/ CAD=30 °可得CM=丄AC ,求证△ CMD CND ,2可得CN=CM= >!A C=2BC ,从而得出CN=BN .然后即可得出结论.___________ 2 2解答：-解：①•••/ CAD=30 ° °AC=BC=AD , /-Z ACD= / ADC=三（180°- 30°=75° °2•/ CE丄CD, /.Z DCE=90 ° ,•••Z ECA=165 °••① 正确；②•/ CE 丄CD , Z ECA=165 ° （已证），•Z BAE= Z ECA -Z ACB=165 - 90=75 ° ,ACD ◎△ BCE （SAS）,• BE=BC , •② 正确；③T Z ACB=90 ° , Z CAD=30 ° , AC=BC ,•Z CAB= Z ACB=45 °•Z BAD= Z BAC -Z CAD=45 - 30=15 °•/△ ACD ◎△ BCE,•Z CBE=30 ° ,•Z ABF=45+30=75 ° ,•Z AFB=180 - 15 - 75=90 °• AD 丄BE .④证明：如图，过D作DM丄AC于M，过D作DN丄BC于N .•••/ CAD=30 ° 且DM=丄AC ,2•/ AC=AD，/ CAD=30 ° /-Z ACD=75 °•••/ NCD=90 °-Z ACD=15 ° Z MDC= Z DMC -Z ACD=15 °CMD ◎△ CND ,• CN=CM= 4C=〉BC ,2 2•C N=BN .•/ DN 丄BC ,•B D=CD .•••④ 正确.所以4个结论都正确.故选D.点评：此题主要考查等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形等知识点的理解和掌握，此题有一定的拔高难度，属于难题.5.如图，BC // AM , Z A=90 ° Z BCD=75 °点E在AB上，△ CDE为等边三角形，BM交CD于F,下列结论：①Z ADE=45 ° ②AB=BC ,③EF丄CD ,④若Z AMB=30 °则CF=DF .其中正确的有（）A .① ②③B .①②④C .①③④|D .② ③④考点：直角梯形；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形.分析：由BC // AM得Z CDA=105 °根据等边三角形的性质得Z CDE=60 °则Z EDA=105 °-60°=45 °过C作CG丄AM，则四边形ABCG为矩形，于是Z DCG=90。
黄东坡数学培优竞赛新方法(部分答案)
例1（1）本题先结合平行四边形性质，根据ASA 得出△ABM ≌△CDN ，从而得出DN=BM ，AM=CN ；再由三角形中位线得出CN=MN ，BM=DN=2NF ，同时推翻AM=AC 、S △AMB=21S △ABC ．（2）用大五边形面积减去3个三角形面积即可求得结果（三角形ABD 、三角形ACE 、三角形ABC ）；∴△BDF 、△EFC 均为RT 三角形例2平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定，任取两个进行推理．解：根据平行四边形的判定，符合四边形ABCD 是平行四边形条件的有九种：（1）（2）；（3）（4）；（5）（6）；（1）（3）；（2）（4）；（1）（5）；（1）（6）；（2）（5）；（2）（6）共九种．例3熟记平行四边形的判定，其中对角线互相平分，是平行四边形，延长AC 后，证明AD ∥BC ，然后再证明三角形全等，证得对角线互相平分，得到结论．证明：延长AC ，在C 上方取N ，A 下方取M ，使AM=AE ，CN=CF ，则由已知可得PM=PN ，易证△PME ≌△PNF ，且△AME ，△CNF 都是等腰三角形． ∴∠M=∠N ，MEP=∠NFP∴∠AEP=∠PFC ∴AD ∥BC ，可证得△PAE ≌△PCF ，得PA=PC ， 再证△PED ≌△PFB ．得PB=PD ． ∴ABCD 为平行四边形．例4（1）先过点E 作EG ∥CD 交AF 的延长线于点G ，由EG ∥CD ，AB ∥CD ，可得，CD ∥GE ，再有BE ∥AG ，那么四边形ABEG 是平行四边形，就可得，AB=GE=CD ，而GE ∥CD ，会出现两对内错角相等，故△EGF ≌△DCF ，即EF=DF ．（2）有AC ⊥DC ，∠ADC=60°，可得CD=21AD=21a ，利用勾股定理，可求AC=a 23，而CF=21AC ，那么再利用勾股定理，又可求DF ，而由（1）知，DE=2DF ，故可求∵AD=a∴CD=a 21，AC=a 23 又AC=2CF ，CF=FG ∴AG=a 3∵四边形ABEG 为平行四边形 ∴BE=AG=a 3(3)∵AC ⊥DC ，∴∠G 为Rt 角， 又∵△EFG ≌△DFC∴S ABED =S 正方形ABEG +S △ACD=a a a a 212321213⨯⨯+⨯=2835a 例5（1）（2）（3）13=2×6=124解：由a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，可整理为(a-c)2+(b-d)2=0，即a=c，b=d．则这个四边形一定是平行四边形．568在图2中，因为四边形PEAF为平行四边形，所以PE=AF，又三角形FDC为等腰三角形，所以FD=PF+PD=FC，即PE+PD+PF=AC=AB，在图3中，PE=AF可证，FD=PF-PD=CF，即PF-PD+PE=AC=AB．9证明：（1）∵ABCD平行四边形∴OD=OB=1/2BD AD=BC AB=CD又∵BD=2AD∴BC=OB又∵E是OC的中点∴BE⊥OC即BE⊥AC（2）由（1）可得△ABE是直角三角形又∵G是AB的中点∴EG=1/2AB （直角三角形斜边中线等于斜边一半）E,F,分别是OC,OD,的中点∴EF=1/2CD∴EG=EF（3）∵BG∥EF，BG=EF∴∠AGF=∠ABE=∠GFE又∵EG=EF∴∠GFE=∠FGE∴∠FGE=∠AGF③成立101112解：：①一组对边相等，一组对角相等的四边形，不能证明另一组对边也相等或平行，故四边形不一定是平行四边形（无角边边全等判定定理）；故①错误；②两组对角的内角平分线分别平行的四边形，证明两组对角相等，故四边形是平行四边形，故②正确；证明：∵AF∥CE，BM∥DN∴∠DGA=∠CHB∴∠DAG+∠ADG=∠HCB+∠HBC (1)∠GAE+∠GNA=∠HCM+∠HMC (2)(1)+(2)得∠ADN+∠AND+∠A =∠BMC+∠MBC+∠C∵内角平分和平行∴∠ADN=∠BMC, ∠AND=∠MBC∴∠A =∠C同理∠D =∠B∴四边形为平行四边形③一组对边中点的距离等于另一组对边边长的和的一半的四边形，梯形中两腰中点的连线也可以符合等于上下底的一半，故③错误；④两条对角线都平分四边形的面积的四边形是平行四边形，可证明两组对边平行，故④正确；证明：设四边形ABCD，AC，BD是对角线，AC与BD交点为O过A作AE垂直BD，过C作CF垂直BD，垂足是E，F然后根据对角线平分面积，证明AE＝CF再根据"角角边”相等，证明三角形AEO与三角形CFO全等从而得到AO＝CO同理得到BO＝DO则四边形为平行四边形13平行四边形有两组分别平行的边，因此只需要在第一组中取两条,在第二组中取两条，就可以构成平行四边形，共C23×C25=[(3×2)/2]×[(5×4)/2]=30个14证明：过D，F，B做EF，AB，CD的平行线，∵BC-EF=DE-AB=AF-CD，∴△MPN为正三角形．∴∠NPM=∠PMN=∠MNP=60°．∴∠BMD=∠BNF=∠FPD=120°．又∵AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，∴分割构成3个平行四边形．∴六个内角都相等．15证明：如图所示过B作BM∥AC，过C作CM∥AB，则四边形ABMC为平行四边形，∴CM=AB，BM=AC=BD，BM∥AC，又∵∠DOC=60°，∴∠DBM=∠DOC=60°即三角形DBM为等边三角形，∴BM=AC=DM在△CDM中，CM+CD＞DM，即AB+CD＞AC．解：过D 作DF ∥BC ，且使DF=BC ，连CF 、EF ，则四边形BDFC 是平行四边形，∴BD=CF ，DA ∥FC ， ∴∠EAD=∠ECF ， ∵AD=CE ， ∴AE=BD=CF ，∴△ADE ≌△CEF （SAS ） ∴ED=EF ，∵ED=BC ，BC=DF ， ∴ED=EF=DF∴△DEF 为等边三角形设∠BAC=x °，因为等腰三角形，则∠ADF=∠ABC=2180︒-︒x ， ∴∠DAE=180°-x °，∴∠ADE=180°-2∠DAE=180°-2（180°-x °）=2x °-180°， ∵∠ADF+∠ADE=∠EDF=60° ∴2180︒-︒x +（2x °-180°）=60° ∴x=100． ∴∠BAC=100°（1）因为S △ABC =3，所以S 1+S 2+S 3＜3 （2）结论成立证明：延长OB 到H 使BH=OE ，延长OA 到G 使AG=OD ，连接HG ∵OA+AG=OA+DO=AD=2 OB+BH=OB+OE=BE=2 ∠AOB=60° ∴△GHO 是等边三角形 ∵OG=OH=HG=2 ∴S △GHO=3在HG 上取点M ，使MG=OC ∵HM+MG=HG=2 OC+OF=CF=2 ∴HM=OF在△MGA 和△COD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=︒=∠=∠=OD GA 60COD CO MG G∴△MGA ≌△COD 同理可证：△MHB ≌△FOE ∴S 2=S △MHB ，S 3=S △MGA由图形可知：S △ABO +S △MHB +S △MGA +＜S △GHO ∴S 1+S 2+S 3＜S △GHO =3 即S 1+S 2+S 3＜3例1根据二次根式有意义的条件被开方数为非负数可得出x 2和y 的值，代入即可得出答案．验证了几个数字，感觉该题目不对 或许应该为：例3 （1）原式=)36(3)23(1)23)(36()23(3)36(+++=+++++263623-=-+-=（2）原式=7*35*37*22*57*35*37*22*5+++--+562)32()32()32()75)(32()75)(32(2-=--=+-=+++-=（3）观察规律，将每一个二次根式分为两个二次根式，寻找抵消规律；原式=21（1-31）+ 21（31-51）+ 21（51-71）+…+21（471-491）=21（1-491）=73；例4 （1）32131313231323=-++=+-+++=（2）分两步同理得：原式=24+ 例51根据根式性质：2x-3≥0；3-2x ≥0联立得 x=23，y=2，所以2x+y=52a-b>0；所以 原式=a-b-a=-b 34因为x 》3/2，所以原式=2x-1-2x+3=2 5运用二次根式的性质和绝对值的性质化简．6 因为 b a 1= 所以原式=2)12(121=--+=-aa7根据合并同类项的法则，由x +2y =50，可以得出x 与y 能合并的所有的可能，即可得出的答案8因为32321-=+=a a ＜1所以原式=33213211)1(1)1(=++--=+-=----aa a a a a9（1）224)22229(=÷-+=（2）233242232312+-=+-++=10（1）设n=1999，从而可将根号里面的数化为完全平方的形式，继而可得出答案．（2）分别将各二次根式配方可得出答案．（3）将分子及分母分别化简，然后运用提公因式的知识将分子及分母简化，继而得出答案．（4）设1997=a ，1999=b ，2001=c ，从而可将原式化简，继而可得出答案11（1）（2）12先分母有理化13 只能观察无详解14151622)223()12(2-+-=223222-+-= 此处后一个根式不能为322-（小于0）=117由条件得 x<0，所以 原式=1-x （可画数轴辅助思考）18()()71033373103-+⨯-⨯+⨯=76632)2121010(3))37(10(3))37(10))(37(10(32==+-=--=---+=192)33()13(323232632222=-+-=-⨯++-⨯+-⨯=20（4）2122（1）将定义的式子根据立方差公式化简，找出一般规律，再代值计算，寻找抵消规律；（2）已知等式右边为整数，左边的两个二次根式必为整数，故设x-116=m2，x+100=n2，两式相减利用平方差公式进行求解．23该题话费时间颇多，林老师好好研究研究，前半段我感觉思路合适，后面感觉怪怪的 暂时将我思路放上 （不好意思 又撂挑子了^^） 原式=2222)01())1(0())1(0()0(--+--+--+-x x 为两线长度之和： 将（1-x ，0）隐射到三象限 ①由直线距离最短 两线斜率相等：xx -=111得 21=x 代入原式=5 ②由斜率相差最大时，两线长度之和最大 即x=0 或x=1时得 原式=1+2因为10<<x ，所以原式成立 24实数的概念与性质20.证明：（1）、当c=0时，因为 bc=ad 所以 a=0，且d ≠0，（Y 分母不能为零）， y=db，为有理数。
小学培优竞赛数学试卷答案
一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列各数中，既是质数又是合数的是（）A. 2B. 4C. 9D. 11答案：B解析：质数是指只有1和它本身两个因数的数，合数是指除了1和它本身还有其他因数的数。
4除了1和它本身还有2，所以既是质数又是合数。
2. 一个正方形的周长是24厘米，那么它的面积是（）A. 36平方厘米B. 48平方厘米C. 54平方厘米D. 64平方厘米答案：B解析：正方形的周长是4个边长之和，所以边长是24÷4=6厘米。
正方形的面积是边长的平方，即6×6=36平方厘米。
3. 小明有5个苹果，小红有8个苹果，他们一共有多少个苹果？（）A. 13个B. 14个C. 15个D. 16个答案：D解析：小明有5个苹果，小红有8个苹果，他们一共有5+8=13个苹果。
4. 一个长方形的长是8厘米，宽是5厘米，那么它的周长是（）A. 18厘米B. 20厘米C. 22厘米D. 24厘米答案：B解析：长方形的周长是长和宽的两倍之和，即（8+5）×2=20厘米。
5. 下列各数中，能被3整除的是（）A. 16B. 18C. 20D. 22答案：B解析：一个数能被3整除，当且仅当它的各位数字之和能被3整除。
18的各位数字之和是1+8=9，能被3整除。
二、填空题（每题5分，共25分）1. 2的平方是（），3的立方是（）。
答案：4，27解析：2的平方是2×2=4，3的立方是3×3×3=27。
2. 下列各数中，最小的质数是（），最大的合数是（）。
答案：2，99解析：质数中最小的是2，合数中最大的是99。
3. 一个长方形的长是10厘米，宽是5厘米，那么它的面积是（）平方厘米。
答案：50解析：长方形的面积是长和宽的乘积，即10×5=50平方厘米。
4. 一个数既是偶数又是3的倍数，那么它一定是（）。
答案：6的倍数解析：偶数是指能被2整除的数，3的倍数是指能被3整除的数。
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∴△BDF、△EFC 均为 RT 三角形
例 2 平行四边形的五种判定方法分别是： （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边
分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （4）两组对角分别相
等的四边形是平行四边形； （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定，任取两 个进行推理．
解： 根据平行四边形的判定， 符合四边形 ABCD 是平行四边形条件的有九种： （1） （2） ； （3） （4） ； （ 5） （6） ； （1） （3 ） ； （2） （ 4） ； （1 ） （5） ； （ 1） （6） ； （2） （5 ） ； （2） （6）共九种． 例 3 熟记平行四边形的判定，其中对角线互相平分，是平行四边形，延长 AC 后，证明 AD∥BC，然后再
FD=PF+PD=FC， 即 PE+PD+PF=AC=AB，在图 3 中， PE=AF 可证， FD=PF-PD=CF， 即 PF-PD+PE=AC=AB．
9 证明： （1）∵ABCD 平行四边形 ∴OD=OB=1/2BD AD=BC AB=CD 又∵BD=2AD ∴BC=OB 又∵E 是 OC 的中点 ∴BE⊥OC 即 BE⊥AC （2） 由（1）可得△ABE 是直角三角形 又∵G 是 AB 的中点 ∴EG=1/2AB （直角三角形斜边中线等于斜边一半）
证明：设四边形 ABCD，AC，BD 是对角线，AC 与 BD 交点为 O
过 A 作 AE 垂直 BD，过 C 作 CF 垂直 BD，垂足是 E，F 然后根据对角线平分面积，证明 AE＝CF 再根据"角角边”相等，证明三角形 AEO 与三角形 CFO 全等 从而得到 AO＝CO 同理得到 BO＝DO 则 四边形为平行四边形
∵AD= a
∴CD=
1 3 a ，AC= a 2 2
又 AC=2CF，CF=FG ∴AG=
3a
∵四边形 ABEG 为平行四边形 ∴BE=AG=
3a
(3)
∵AC⊥DC，
∴∠G 为 Rt 角， 又∵△EFG≌△DFC
∴SABED=S 正方形 ABEG+S△ACD
1 1 3 1 5 3 2 = 3a a a a = a 2 2 2 2 8
②两组对角的内角平分线分别平行的四边形，证明两组对角相等，故四边形是平行四边形， 故②正确； 证明：∵ AF∥CE，BM∥DN ∴ ∠DGA=∠CHB
∴∠DAG+∠ADG=∠HCB+∠HBC ∠GAE+∠GNA=∠HCM+∠HMC
(1) (2)
(1)+(2)得 ∠ADN+∠AND+∠A =∠BMC+∠MBC+∠C
BE∥AG，那么四边形 ABEG 是平行四边形，就可得，AB=GE=CD，而 GE∥CD，会出现两对内错角相等， 故△EGF≌△DCF，即 EF=DF．
（ 2 ）有 AC ⊥ DC ，∠ ADC=60° ，可得 CD=
1 2
AD=
1 3 a ，利用勾股定理，可求 AC= a ，而 2 2
CF=
1 AC，那么再利用勾股定理，又可求 DF，而由（1）知，DE=2DF，故可求 2
E,F,分别是 OC,OD,的中点 ∴EF=1/2CD ∴EG=EF （3） ∵BG∥EF，BG=EF ∴∠AGF=∠ABE=∠GFE 又∵EG=EF ∴∠GFE=∠FGE ∴∠FGE=∠AGF ③成立 10
11
12
解： ：①一组对边相等，一组对角相等的四边形，不能证明另一组对边也相等或平行，故四 边形不一定是平行四边形（无角边边全等判定定理） ；故①错误；
证明三角形全等，证得对角线互相平分，得到结论．
证明：延长 AC，在 C 上方取 N，A 下方取 M，使 AM=AE，CN=CF，则由已知 可得 PM=PN，易证△PME≌△PNF，且△AME，△CNF 都是等腰三角形． ∴∠M=∠N，MEP=∠NFP ∴∠AEP=∠PFC ∴AD∥BC， 可证得△PAE≌△PCF，得 PA=PC， 再证△PED≌△PFB．得 PB=PD． ∴ABCD 为平行四边形． 例 4（1）先过点 E 作 EG∥CD 交 AF 的延长线于点 G，由 EG∥CD，AB∥CD，可得，CD∥GE，再有
例5 （1）
（2）
（3）
1
2
3
=2×6=12 4 解：由 a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，可整理为(a-c)2+(b-d)2=0，即 a=c，b=d．则这个四 边形一定是平行四边形． 5
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在图 2 中， 因为四 边形 PEAF 为平 行四边 形，所 以 PE=AF ，又 三角形 FDC 为等 腰三角 形，所 以
例1 （1）本题先结合平行四边形性质，根据 ASA 得出△ABM≌△CDN，从而得出 DN=BM，AM=CN；再由
三角形中位线得出 CN=MN，BM=DN=2NF，同时推翻 AM=AC、S△AMB=
1 S△ABC． 2
（2）用大五边形面积减去 3 个三角形面积即可求得结果
（三角形 ABD、三角形 ACE、三角形 ABC） ；
∵ 内角平分和平行 ∴∠ADN=∠BMC, ∠AND=∠MBC ∴∠A =∠C 同理 ∠D =∠B ∴ 四边形为平行四边形
③一组对边中点的距离等于另一组对边边长的和的一半的四边形， 梯形中两腰中点的连线也 可以符合等于上下底的一半，故③错误；
④两条对角线都平分四边形的面积的四边形是平行四边形， 可证明两组对边平行， 故④正确；
15 证明：如图所示过 B 作 BM∥AC，过 C 作 CM∥AB， 则四边形 ABMC 为平行四边形， ∴CM=AB，BM=AC=BD，BM∥AC， 又∵∠DOC=60°， ∴∠DBM=∠DOC=60° 即三角形 DBM 为等边三角形， ∴BM=AC=DM 在△CDM 中，CM+CD＞DM， 即 AB+CD＞AC．
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平行四边形有两组分别平行的边，因此只需要在第一组中取两条,在第二组中取两条，就可 以构成平行四边形，共 C 3 ×C 5 =[(3×2)/2]×[(5×4)/2]=30 个
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证明：过 D，F，B 做 EF，AB，CD 的平行线， ∵BC-EF=DE-AB=AF-CD， ∴△MPN 为正三角形． ∴∠NPM=∠PMN=∠MNP=60°． ∴∠BMD=∠BNF=∠FPD=120°． 又∵AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF， ∴分割构成 3 个平行四边形． ∴六个内角都相等．