SPSS主成分分析

y1 u11 x1 u12 x2 ......u1 p x p y2 u21 x1 u22 x2 ......u2 p x p ..................................................... yP 1 u p1 x1 u p 2 x2 ......u pp x p 其中ui12 ui 2 2 ......uip 2 1(i 1、、、 2 ... p）
7、在主窗口中单击Scores按钮选择计算因子得分的方法。 选中Save as variables项表示将因子得分保存到SPSS 变量中，生成几个因子便产生几个SPSS变量。变量名的形 式为FACn_m，其中n为因子编号，以数字序号的形式表 示；m表示是第几次分析的结果。选中Display factor score coefficient matrix项表示输出因子得分函数中 的各因子得分系数。在Method框中指定计算因子得分的方 法，其中Regression为回归法。
第十一章
SPSS 的因子分析
本章内容
• 11.1 因子分析概述 • 11.2 因子分析的基本内容 • 11.3 因子分析的基本操作及案例
11.1 因子分析概述
• 11.1.1因子分析的意义
在实际问题的分析过程中，人们往往希望尽可能多的 搜集关于分析对象的数据信息，进而能够比较全面的、完 整的把握和认识它。于是，对研究对象的描述就会有很多 指标。但是效果如何呢？如果搜集的变量过多，虽然能够 比较全面精确的描述事物，但在实际建模时这些变量会给 统计分析带来计算量大和信息重叠的问题。而消减变量个 数必然会导致信息丢失和信息不完整等问题的产生。 因子分析是解决上述问题的一种非常有效的 方法。它以最少的信息丢失，将原始众多变量综合成较少的几 个综合指标（因子），能够起到有效降维的目的。
S j 2 aij 2
i 1
11.2 因子分析的基本内容
• 11.2.1
因子分析的基本步骤 1、因子分析的前提条件； 因子分析的前提条件是原始变量之间应存在较 强的相关关系。 2、因子提取； 3、使因子更具有命名可解释性； 4、计算各样本的因子得分。
• 11.2.2因子分析的前提条件
1、计算相关系数矩阵 如果相关系数矩阵中的大部分相关系数小于0.3，那么 这些变量不适合进行因子分析。 2、计算反映象相关矩阵（MSAi：在0~1之间）

2、变量共同度(是衡量因子分析效果的重要依据) 变量共同度也称为变量方差。第i个变量的共同度定义 为因子载荷矩阵中第i行元素的平方和，即：
hi aij
2 j 1
k
2
h 1
2 i 2 i
变量共同度越接近于1，说明因子对变量的解释程度越 高，变量信息丢失程度越少。（若大于0.8，则效果很好） 3、因子的方差贡献(衡量因子重要性的指标) 因子方差贡献是因子载荷矩阵中第j列元素的平方和， 反映了第j个因子对原有变量总方差的解释能力。该数值越 p 高，说明相应因子的重要性越高。
式中的系数按以下原则进行求解： （1） yi与y j 相互独立(i j,i，j=1、2、3、...、p) （2） y1是所有线性组合中方差最大的；
y2是与y1不相关的一切线性组合中方差最大的； y p 是与y1、y2、...、y p 1都不相关的一切线性组合中方差最大的。
根据以上原则确定的变量依次为原始变量的第1、第 2…第p个主成分。其中第一个主成分在总方差中所占比例 最大，其余主成分在总方差中所占比例依次递减，即主成分 综合原始变量的能力依次减弱。在主成份的实际应用中，一 般只选取前面几个主成分即可，这样既减少了变量的数目， 又能够用较少的主成分反映原始变量的绝大部分信息。
r MSA KMO r p
2 i j ij i 2 i j ij i j
2
ij
其中rij 为第i个变量与第j个变量的简单相关系数； pij 为第i个变量与第j个变量在控制了剩余变量下 的偏相关系数。
• 11.2.3因子提取和因子载荷矩阵的求解
因子载荷矩阵的求解一般采用主成分法。主成份分析 法通过坐标变换的手段，将原有的p个变量标准化后进行线 性组合，转换成另一组不相关的变量y，即：
5、在主窗口中单击Extraction按钮指定提取因子的方法。 在Method框中提供了多种提取因子的方法，其中 Principal components是主成分分析法，是SPSS默认 的方法；在Analyze框中指定提取因子的依据，其中 Correlation matrix为相关系数矩阵，当原有变量存在 数量级的差异时，通常选择该选项；Covariance matrix为协方差阵。在Extract框中选择如何确定因子数 目：在Eigenvaluse over后输入一个特征根值（默认值 为1），SPSS将提取大于该值的特征根；也可在Number of factors框后输入提取因子的个数。在Display框中选 择输出哪些与因子提取有关的信息，其中Unrotated factor solution表示输出未旋转的因子载荷矩阵； Scree plot表示输出因子的碎石图。
8、在主窗口中单击Options按钮指定缺失值的处理方法和因 子载荷矩阵的输出方法。在Missing Values框中指定如 何处理缺失值。在Coefficient Display Format框中指 定因子载荷矩阵的输出方式，其中Sorted by size表示以 第一因子得分的降序输出因子载荷矩阵；在Suppress absolute values less than框后输入一数值，表示输 出大于该值的因子载荷。
MSAi
2 r ij
r
i j
i j 2
ij
pij 2
i j
其中rij 为第i个变量与第j个变量的简单相关系数； pij 为第i个变量与第j个变量在控制了剩余变量下 的偏相关系数。
3、Bartlett’s球度检验（原假设R=I） 以原有变量的相关系数矩阵为出发点，假设相关系数 为单位矩阵。如果该检验对应的P值小于给定的显著性水平 a，则应拒绝原假设，认为原有变量适合进行因子分析。 4、KMO检验 该统计量取值在0-1之间，越接近于1说明变量间的相 关性越强，原有变量适合做因子分析。0.9以上表示非常合 适；0.8-0.9表示合适；0.7-0.8表示一般；0.6-0.7表 示尚可；0.5-0.6表示不太合适；0.5以下表示极不合适。பைடு நூலகம்
6、在主窗口中单击Rotation按钮选择因子旋转方法。在 Method框中选择因子旋转方法，其中None表示不旋转（ 默认选项）；Varimax为方差最大法；Quartimax为四 次方最大法；Equamax为等量最大法；其他为斜交旋转法 。在Display框指定输出与因子旋转相关的信息，其中 Rotated Solution表示输出旋转后的因子载荷矩阵B； Loading plots表示输出旋转后的因子载荷散点图。
在这个数学模型中，F称为公共因子，因为它出现在每个 变量的线性表达式中，简称因子。因子可理解为高维空间中 aij 称为因子载 互相垂直的k个坐标轴；A称为因子载荷矩阵， 荷，是第i个原始变量在第j个因子上的负荷； 称为特殊因子 ，表示原始变量不能被因子解释的部分。其均值为0，相当于 多元线性回归模型中的残差。 • 因子分析的几个相关概念 1、因子载荷 在因子不相关的前提下，因子载荷是第i个变量与第j个因 子的相关系数。因子载荷越大说明因子与变量的相关性越强 ，所以因子载荷说明了因子对变量的重要作用和程度。其绝 对值小于等于1。
• 因子分析的特点
1、因子个数远远少于原有变量的个数； 2、因子能够反应原有变量的绝大部分信息； 3、因子之间不存在线性关系； 4、因子具有命名解释性。
• 11.1.2因子分析的数学模型和相关概念 • 数学模型
... x p 假设原有变量有p个，分别用 x1、x2、x3、、 表示，且每个变量的均值是0，标准差是1，现将每个 ... f k 的线性 原有变量用k（k<p）个因子f1、f 2、、 组合来表示，即：
可见，主成分分析关键的步骤是如何求出上述方程 中的系数。通过方程的推导可以发现，每个方程中的系 数向量是原始变量相关系数矩阵的特征值对应的特征向 量。具体求解步骤如下： （1）将原有变量进行标准化处理； （2）计算变量的相关系数矩阵； （3）求相关系数矩阵的的特征根 1 2 ... p 及对应的特 ... u p 征向量 u1、u2、、
S12 1 , S2 2 2 ....
• 11.2.4 因子的命名
观察因子载荷矩阵，如果因子载荷的绝对值在第j列的 多个行上都有较大的取值，则表明因子fj能够同时解释许 多变量的信息，且对每个变量只能揭示较少部分信息，但 不能代表任何一个原有变量。这种情况下，因子fj的含义 是模糊不清的，为解决这个问题，可通过因子旋转的方式 使一个变量值在尽可能少的因子上有比较高的载荷。因子 旋转一般采用正交旋转使新生成的变量仍可保持不相关， 正交旋转一般采用方差最大法（varimax）。然后再根据 各因子对各原始变量的解释程度进行命名。
• 11.2.5 计算因子得分
在因子分析实际应用中，当因子确定以后，便可计算各 因子在每个样本上的具体数值，这些数值称为因子得分， 形成的变量称为因子变量。计算因子得分的途径是用原有 变量描述因子，第j个因子在第i个样本上的值可表示为：
f j w j1x1 w j2 x 2 ... w jp x p （j =1、、 2 ....、k）
估计因子得分系数的方法有很多，通常采用最小二乘 意义下的回归法进行估计。
11.3 因子分析的基本操作
1、选择菜单Analyze－Dimension Reduction －Factor，出现主窗口：
2、把参与因子分析的变量选到Variables框中。 3、选择参与因子分析的样本。把作为条件变量的变量指定到 Selection Variable框中并单击Value按钮输入变量值 ，只有满足条件的样本数据才参与因子分析。 4、在主窗口中单击Descriptives按钮指定输出结果。 Statistics框中指定输出哪些基本统计量，其中 Univariate descriptives表示输出各个变量的基本描述 统计量；Initial solution表示输出因子分析的初始解。 Correlation Matrix框中指定考察因子分析条件的方法及 输出结果，其中Coefficients表示输出相关系数矩阵； Significance levels表示输出相关系数检验的概率p值； Determinant表示输出变量相关系数矩阵的行列式值； Inverse表示输出相关系数矩阵的逆矩阵；Anti-image 表示输出反映象相关矩阵；KMO and Bartlett’s test of sphericity表示进行巴特利特球度检验和KMO检验。