9-1 多元函数的基本概念

(1)
（四）多元函数极限的存在性
例6 讨论下列函数极限的存在性:
(1) f ( x , y )
xy x2 y2
x2 y2 0 x2 y2 0
当 ( x , y ) (0,0) 时
0
x2 y (2) f ( x , y ) 4 x y2
当 ( x , y ) (0,0) 时
是D的聚点, 若存在常数 A , 对任意给定的正数 ,
总存在正数 , 使得当点 P ( x , y ) D U ( P0 , ) 时, 都有 | f ( P ) A || f ( x , y ) A | 成立，那么就称
o
常数 A 为函数 f ( x , y ) 当 ( x, y ) ( x0 , y0 )时的极限,
例7 设 f ( x , y ) sin x , 证明 f ( x , y ) 是 R 2上的连续函数.
定义
设函数 f ( x , y ) 的定义域为D, P0 ( x0 , y0 )是D的聚点, 如果函数
f ( x , y ) 在 P0 ( x0 , y0 ) 不连续, 那么称 P0 ( x0 , y0 )为函数 f ( x , y )
小结
一、多元函数的概念
二、多元函数的极限 三、多元函数的连续性
记作： R 2或 R R
注 (1) 二维空间的几何意义—坐标平面
(2) 二维空间的元素— P ( x, y ) 坐标平面内的点 平面点集： 二维空间的任一子集, 记作： E R2 注 平面点集E通常是坐标平面上具有某种性质的点的集合, 记作： E={(x,y)|(x,y)具有性质P}
D
。 。
例
开 区 域
( x, y )
x y 0
2
y
( x, y ) 1 x
y 4
2
o
y
x
闭 区 域
( x , y )
( x, y )
x y 0
1 x y 4
2 2
o 1 2x
2．有关性质
有界性和最大值最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界， 且能取得它的最大值和最小值． 介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，必取得介于最大值 和最小值之间的任何值.
记作U ( P , ),
0
即： U ( P , ) { P || PP | } 0 0 也就是： U ( P0 , ) {( x, y ) | ( x x0 )2 ( y y0 )2 } 注 若不需要强调邻域半径 ,邻域也可写成 U ( P0 ) 点 P0 的去心邻域记为 U ( P
函数值为z=f(x,y). 当(x,y)遍取D上的一切点时，得到的空间点集
z
M
{( x, y, z ) | z f ( x, y ), ( x, y ) D}
称为二元函数的图形. 二元函数的图形通常是一张曲面. 二元函数的定义域
o y
x
使算式有意义的点的集合.
例3 求下列函数的定义域:
2 f ( x , y ) 1 x (2) (1) z ln( y x ) 1 x y
o 0)
P 0 PP0 δ

聚点
若对任意给定的 , 点P 的去心邻域
U ( P,δ ) 内总有E 中的点 , 则称
P 是 E 的聚点.
注 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E

E
（二）多元函数极限的定义
定义 设二元函数 f ( P ) f ( x , y )的定义域为D, P0 ( x0 , y0 )
S p ( p a )( p b)( p c )
(二)平面点集
例1 圆柱体的体积 底面半径：r 高： h 定义域
D f {( r , h) | r 0, h 0}
二元函数
h r
平面点集
V r 2h
例2 三角形的面积 (1) 三边长：a , b, c
1 p (a b c ) (海伦公式) a C b 2 (2) 两边长： a , b 夹角： C 三元函数 c 1 S ab sin C (正弦定理) 2
2 2 2
二 多元函数的极限
（一）有关概念 （二）多元函数极限的定义
（三）多元函数极限的求法
（四）多元函数极限的存在性
（一）有关概念
邻域 设 P0 ( x0 , y0 )是xoy平面上的一个点, 是某一正数. 与点
P0 ( x0 , y0 ) 的距离小于的点P(x,y)的全体,称为点 P0 的邻域.
三、 多元函数的连续性
（一）多元函数连续性的概念
（二）多元初等函数的连续性
（三）有界闭区域上多元连续函数的性质
（一）多元函数连续性的概念
定义
设二元函数 f ( P ) f ( x , y ) 的定义域为D, P0 ( x0 , y0 )是D的聚点, 且 P0 D. 如果
( x , y ) ( x 0 , y 0 )
例4 证明下列极限:
1 lim ( x y ) sin 2 0 2 ( x , y ) ( 0 , 0 ) x y
2 2
（三）多元函数极限的求法
运算法则 四则法则
复合法则 夹逼准则 例5 求下列极限:
sin xy lim ( x , y )( 0 , 2 ) x 2 sin( x y) (2) lim ( x , y ) ( 0 , 0 ) x 2 y 2
元函数称为多元初等函数. 结论 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的. 例9 求下列函数的极限:
x y (1) lim ( x , y ) ( 1, 2 ) xy
(2)
( x , y ) ( 0 , 0 )
lim
xy 1 1 xy
（三）有界闭区域上多元连续函数的性质 1．有关概念 2．有关性质
例 (1) {( 0, y ) | y R} y轴上的点 第一象限内的点 单位圆内的点
(2) {( x , y ) | x 0, y 0}
(3) {( x, y ) | x 2 y 2 1} n维空间：
n元有序实数组的全体构成的集合, 即：
{( x1 , x2 ,, xn ) | xi R, i 1,2,, n}记作：R n 或R R R
D f {(a , b, c ) | a 0, b 0, c 0} 三元函数 {(a, b, C ) | a 0, b 0,0 C } S p ( p a )( p b)( p c )
空间点集
平面点集的有关概念 二维空间：
二元有序实数组(x,y)的全体, 即： {( x , y ) | x R, y R}
注 E的内点必属于E
E的外点必不属于E E的边界点可能属于E, 也可能不属于E.
开区域及闭区域 若点集E的点都是内点，则称E为开集； E的边界点的全体称为E的边界, 记作E ;
若点集的边界E E, 则称E为闭集；
若点集E内任何两点，都可用折线联结起来，且该折线上 的点都属于E,则称E为连通集 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; 开区域连同它的边界一起称为闭区域. 对于平面点集E,如果存在某一正数r,使得 E U(O,r),其中O是坐标原点，则称E为有界集, 否则称为无界集
n维空间中的元素：
( x1 , x2 ,, xn ) R n 中的一个点或一个n维向量
n维空间中的点集：
R n 中的任一子集
（三）多元函数的定义
二元函数的定义
2 设D是 R 的一个非空子集, 称映射
为定义在D 上
的二元函数 , 记为
因变量
定义域
z f ( x, y ), ( x, y ) D
第一讲
多元函数的基本概念
一、多元函数的概念 （一）引例
（二）平面点集
（三）多元函数的定义
(一)引例
例1 圆柱体的体积 底面半径：r 高： h
h
二元函数
V r 2h
r
例2 三角形的面积 (1) 三边长：a , b, c
三元函数
1 p (a b c ) (海伦公式) a C b 2 (2) 两边长： a , b 夹角： C 三元函数 c 1 S ab sin C (正弦定理) 2
的间断点. 例8 指出下列函数的间断点:
(1) f ( x , y )
xy x2 y2
x2 y2 0 x2 y2 0
0
1 (2) f ( x , y ) sin 2 x y2 1
（二）多元初等函数的连续性
由常数和具有不同自变量的一元基本初等函数经过
有限次的四则运算和复合运算得到的一个式子表示的多
1．有关概念
内点、外点、边界点
2 P R 设有点集 E R 及点 2
E
若存在点P的某邻域U(P),使得U(P) E, 则称P为E的内点；
若存在点P的某邻域U(P),使得U(P)∩E= , 则称P为E的外点;
若点P的任一邻域U(P)内既含有属于E的点也含有不属于 的点, 则称P为E的边界点 .
自变量
f(D)
值域
注 （1） 二元函数也常记作： z f ( P ), P D.
（2） 注意符号f 和f (x,y)的区别. （3） 表示函数的记号可以任意选取. n元函数的定义 把二元函数定义中的平面点集D换成n维空间 R n 的点集D， 映射f:D→R就称为定义在D上的n元函数.
二元函数的图形 对于在z=f(x,y)的定义域内任意取定的点P(x,y)，对应的
lim
f ( x, y ) f ( x0 , y0 ), 那么称函数 f ( x , y )