高中数学选修4-4全套教案坐标系与参数方程

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高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修4-4：坐标系与参数方程直线和圆锥曲线的参数方程》2

直线的参数方程黄煜芳一、教材分析本节课节选自《高中数学北师大版选修4-4》第二章第二节直线的参数方程二、学情分析学生上节课刚学了参数方程的概念以及参数方程与普通方程的互化，接受程度良好，印象还比较清晰，有助于本节课的学习但学生对于平面向量的相关知识已经淡忘，所以课前需要简单的复习一下三、教学目标1 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用；2通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想；3 通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研的科学精神、严谨的科学态度．四、教学重点直线的参数方程及参数的几何意义五、教学难点参数的几何意义六、教学方法与手段引导探究式教学，多媒体课件辅助教学七、教学过程（一）知识回顾教师提出问题：1.共线向量的条件是什么？→→→→→→=⇔≠a b a a b λ)0(// 2.直线方程的有几种形式？这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善。

【设计意图】引导学生从几何条件思考参数的选择，为学生推导直线的参数方程做好准备．（二）探索新知1直线的参数方程问题1：已知直线上一点M 0（1,2）,倾斜角为6π，求直线的方程问题2：如何建立的参数方程？问题3：如何建立经过点M 0,0,倾斜角为⎪⎭⎫ ⎝⎛≠2παα的直线的参数方程【设计意图】有特殊到一般推导出直线的参数方程有助于学生更好理解【师生活动】（1）回顾数轴，引出向量数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？教师提问后，让学生思考并回答问题．教师引导学生明确：如果数轴原点为O ，数1所对应的点为A ，数轴上点M 的坐标为t ，那么： ①OA 为数轴的单位方向向量，OA 方向与数轴的正方向一致，且OM tOA =；②当OM 与OA 方向一致时（即OM 的方向与数轴正方向一致时），0t >；当OM 与OA 方向相反时（即OM 的方向与数轴正方向相反时），0t <；当M 与O 重合时，0t =；【设计意图】回顾数轴概念，通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义，为选择参数做准备．（2）类比分析：问题1：类比数轴概念，平面直角坐标系中的任意一条直线能否定义成数轴？问题2：把直线当成数轴后，直线上任意一点就有两种坐标．怎样选取单位长度和方向才有利于建立这两种坐标之间的关系？教师提出问题后，引导学生思考并得出以下结论：选取直线l 上的定点0M 为原点，与直线l 平行且方向向上l 的倾斜角不为0时或向右（l 的倾斜角为0时）的单位向量e 确定直线l 的正方向，同时在直线l 上确定进行度量的单位长度，这时直线l 就变成了数轴．于是，直线l 上的点就有了两种坐标（一维坐标和二维坐标）．在规定数轴的单位长度和方向时，与平面直角坐标系的单位长度和方向保持一致，有利于建立两种坐标之间的联系．【设计意图】使学生明确平面直角坐标系中的任意直线都可以在规定了原点、单位长度、正方向后成为数轴，为建立直线参数方程作准备．（3）选取参数问题1：当点M 在直线l 上运动时，点M 满足怎样的几何条件？让学生充分思考后，教师引导学生得出结论：将直线l 当成数轴后，直线l 上点M 运动就等价于向量0M M 变化，但无论向量怎样变化，都有0M M te =．因此点M 在数轴上的坐标t 决定了点M 的位置，从而可以选择t 作为参数来获取直线l 的参数方程．【设计意图】明确参数．问题2：如何确定直线l 的单位方向向量e ？教师启发学生：如果所有单位向量起点相同，那么终点的集合就是一个圆．为了研究问题方便，可以把起点放在原点，这样所有单位向量的终点的集合就是一个单位圆．因此在单位圆中来确定直线的单位方向向量．教师引导学生确定单位方向向量，在此基础上启发学生得出(cos ,sin )e αα=，从而明确直线l 的方向向量可以由倾斜角α来确定．当0απ<<时，sin 0α>，所以直线l 的单位方向向量e 的方向总是向上．【设计意图】综合运用所学知识，获取直线的方向向量，培养学生探索精神，体会数形结合思想．（4）等价转化，深入探究问题：如果点0M ,M 的坐标分别为00(,)(,)x y x y 、，怎样用参数t 表示,x y ？教师启发学生回顾向量的坐标表示，待学生通过独立思考并写出参数方程后再全班交流．过程如下：因为(cos ,sin )e αα=，（[0,)απ∈），00000(,)(,)(,)M M x y x y x x y y =-=--，0//M M e 又，所以存在实数t R ∈，使得0M M te =，即 00(,)(cos ,sin )x x y y t αα--=．于是0cos x x t α-=，0sin y y t α-=，即0cos x x t α=+，0sin y y t α=+．因此，经过定点00(,)M x y ，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）．牛刀小试：1.若直线l 经过点（x 0 , y 0）且倾斜角α＝0，则直线l 的参数方程是什么？2. 设直线l 经过点M 0(1,5)、倾斜角为π3,求直线l 的参数方程.3. 已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3＋32t ，y ＝2＋12t ，(t 为参数)．求：( 1) 直线l 过哪个定点；（2）直线l 的倾斜角.【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会直线的参数方程2 参数的几何意义思考探究：①直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？②参数t 的系数有何数量关系？③参数t 的几何意义是什么？总结如下：①00,x y ，α是常量，,,x y t 是变量；②系数的平方和为1；③由于||1e =，且0M M te =，得到0M M t =，因此t 表示直线上的动点M 到定点0M 的距离．当0M M 的方向与数轴（直线）正方向相同时，0t >；当0M M 的方向与数轴（直线）正方向相反时，0t <；当0t =时，点M 与点0M 重合．【设计意图】把向量转化为坐标，获得了直线的参数方程，在此基础上分析直线参数方程的特点，体会参数的几何意义．（三）简单运用，培养能力例1.已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3＋32t ，y ＝2＋12t ，(t 为参数)．点M (－33，0)在直线l 上，求t ，并说明t 的几何意义．【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会直线的参数方程，以及在标准形式下参数t 的几何意义⎪⎩⎪⎨⎧--=+=,221222t x t y 2y x =,B 两点，求线段AB 的长度和点(1,2)M -到A,B 两点的距离之积．先由学生思考并动手解决，教师适时点拨、引导，鼓励一题多解，学生可能有以下解法：解法一：由210x y y x +-=⎧⎨=⎩，得210(*)x x +-=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ,由韦达定理得：121211x x x x +=-⋅=-，．AB ∴===由（*）解得12x x ==12y y ∴==．所以A B ，．则MA MB ⋅=2===．解法二、因为直线l 过定点M ，且l 的倾斜角为34π，所以它的参数方程是31cos 432sin 4x t y t ππ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数），即1222x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数）．把它代入抛物线的方程，得220t +-=，解得1t =，2t = 由参数t的几何意义得：12AB t t =-=122MA MB t t ⋅==．在学生解决完后，教师投影展示学生的解答过程，予以纠正、完善．然后进行比较：在解决直线上线段长度问题时多了一种解决方法．【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会直线的参数方程，并能利用参数解决有关线段长度问题，培养学生从不同角度分析问题和解决问题能力以及动手能力．【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会利用参数解决有关线段长度问题的方法，对比总结，查漏补缺，培养学生从不同角度分析问题和解决问题能力以及动手能力．（四）归纳总结，提升认识先让学生从知识、思想方法以及对本节课的感受等方面进行总结．教师在学生总结的基础上再进行概括．变式训练：在平面直角坐标系O 中，已知直线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,221222t x ty t 参直线与椭圆1222=+y x 相交于A ，B 两点，点M （1,2）在直线上，求:（1）线段AB 的长；（2）点M 到A 、B 两点的距离之和．1．知识方面本节课联系数轴、向量等知识，推导出了直线的参数方程，并进行了简单应用，体会了直线参数方程在解决有关问题时的作用．2．数学思想方法方面在研究直线参数方程过程中渗透了运动与变化、类比、数形结合、转化等数学思想．【设计意图】对学习内容有一个整体的认识，培养归纳、概括能力．（五）布置作业，巩固提高1 书面作业：教材P39—1；课后练习：三维设计P34~352 思考题：若直线l 的参数方程为 ⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00 （b a ,为常数，t 为参数），请思考参数t 的意义．【设计意图】使学生进一步巩固所学知识，加深对知识的理解，为学有余力的学生提供思考的空间．八、板书设计九、教案设计说明本节课研究了直线的参数方程，并进行了简单的应用．本节课注重知识的产生过程，培养学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．在教学过程中渗透运动与变化、数形结合、类比、转化等数学思想，关注学生的参与和知识的落实．本节课选择直线的参数方程的参数是比较困难的，这是因为从确定直线的几何条件较难联想到“距离”．因此在教学中除了复习预备知识以外，还复习了数轴．联系数轴上点的坐标的几何意义，类比得到平面直角坐标系中的任意一条直线都可以当成数轴，这样直线上任意一点就可以用坐标t 表示，因此可以选择坐标t 为直线参数方程中的参数．从而，建立直线的参数方程就转化为建立坐标t 与坐标00,x y 及倾斜角之间关系的问题．这样设计既注重了知识的产生过程，又使学生深刻理解了参数的几何意义．在教学过程中，注重以教师为主导，学生为主体的教学模式．在实施教学和完成教学目标的过程中，适时将学生分组讨论、师生对话、学生动手、学生归纳小结等方式服务于“参数方程”知识的重点和难点的教学中，充分体现了以人为本，鼓励全体学生参与以及重视学法指导的教学新理念．本节课恰当地利用多媒体辅助教学，增强了教学中的直观性．。

高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修4-4：坐标系与参数方程直线和圆锥曲线的参数方程》53

直线的参数方程（1）教学设计一、教学目标：知识与技能：（1）了解直线参数方程的条件及参数t 的几何含义（2）会使用t 的几何意义解简单的题目。

（3）体会什么条件下使用直线的参数方程。

过程与方法：（1）利用翻转课堂形式自学直线的参数方程，课堂上应用主要联系应用。

（2）使用生活中的汽车行驶来发现t 的集合含义。

（3）课堂上由学生讨论解决问题。

情感、态度与价值观：（1）培养学生自学的能力，并体会自主学习的快乐。

（2）体会观察、探索、查错的过程，培养解决问题的方向和信心。

二教学重点：直线参数方程中t 的几何含义教学难点：利用t 的几何含义解决问题三、教学方法：启发、诱导发现教学四教学过程：课前导学：（1）利用多媒体的优势建立高速公路实景，对引入t 的几何含义有决定性的作用。

学生可以在实景中体会直线上的任意一点与一个实数一一对应关系。

（2）视频有助于学生反复观看，对学生的学习有很好的作用。

课堂教学：例1 引入：同学们，昨天我们在家里通过视频学习了直线的参数方程，那么直线的参数方程怎么写呢？ T 有没有几何含义？是什么呢？（|t |=|PM |－1,2到A ，B 两点的距离之积（我们用普通方程可以解吗？让同学说出思路，指出麻烦之处，关键是由MA,MB 引起PMt )1(的，什么里面可以有MA,MB 联想到参数方程）问题1 ：怎么把直线普通方程写成参数方程（学生活动）主要是由斜率找到倾斜角解: 的参数方程为:问题2：怎么表达两个曲线相交（学生活动）把它代入＝2中,得t 2+√2t −2=0 问题3：你要什么？（距离的积）小结例题1中的三个问题。

学生活动练一练：在平面直角坐标系中，已知直线：（为参数），曲线的方程为设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为，求的值解：）将代入②式，得，点M 的直角坐标为（0，3）．设这个方程的两个实数根分别为t 1，t 2，则t 1t 2=-3 =3∴ t 1＜0， t 2＜0则由参数t 的几何意义即得（注意引导学生分析t 1＜0， t 2＜0）挑战一下（合作探究）21(222x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即为参数）21t t B A 、对应的参数分别为、设2,22121-=-=+t t t t 则2||||||||||2121==⋅=⋅t t t t MB MA在平面直角坐标系中，已知点，曲线C 的参数方程为为参数设直线L 与曲线C 交于A,B 两个不同的点，求的值本题的难点：（1）在于圆是参数方程，直线是普通方程，如何选取方程形式是关键（2）如何表达解：曲线的普通方程为①，直线的参数方程为（为参数）②，把②代入①得，得，，又∵，，且与异号， ∴回顾：为什么直线写参数方程，圆写普通方程？本题中为什么|t 1|+|t 2|=|t 1−t 2 |例题1中求AB 的长度。

新人教版高中数学选修4-4《极坐标与参数方程》优质教案

（3.5学案）第1讲极坐标系与参数方程(大题)教学目标1.会将参数方程，极坐标方程化为普通方程2.理解极坐标方程中ρ，θ含义，参数方程中直线中的t 的含义，圆与椭圆中θ几何意义，及应用教学重点：ρ，θ应用及直线参数方程中t 应用椭圆中θ应用教学难点：椭圆中θ的含义题型一：极坐标.参数方程与普通方程互化 1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y)和(ρ，θ)，则⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎨⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx x ≠0.2．在与曲线的直角坐标方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．（1）．直线的参数方程过定点M(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋tcos α，y ＝y 0＋tsin α(t为参数)．（2）．圆的参数方程圆心为点M(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋rcos θ，y ＝y 0＋rsin θ(θ为参数)．（3）．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝acos θ，y ＝bsin θ(θ为参数)．(2)抛物线y 2＝2px(p>0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)．（4）．(1)参数方程的实质是将曲线上每一点的横、纵坐标分别用同一个参数表示出来，所以有时处理曲线上与点的坐标有关的问题时，用参数方程求解非常方便；(2)充分利用直线、圆、椭圆等参数方程中参数的几何意义，在解题时能够事半功倍．例1、（1）方程表示的曲线是（）A. 双曲线B.双曲线的上支C.双曲线的下支D.圆分析：把参数方程化为我们熟悉的普通方程，再去判断它表示的曲线类型是这类问题的破解策略.解析：注意到t与互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含的项，即有，又注意到，可见与以上参数方程等价的普通方程为.显然它表示焦点在轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B.点评：这是一类将参数方程化为普通方程的检验问题，转化的关键是要注意变量范围的一致性.（2）、设P 是椭圆上的一个动点，则的最大值是，最小值为 .分析：注意到变量的几何意义，故研究二元函数的最值时，可转化为几何问题.若设，则方程表示一组直线，（对于取不同的值，方程表示不同的直线），显然既满足，又满足，故点是方程组的公共解，依题意得直线与椭圆总有公共点，从而转化为研究消无后的一元二次方程的判别式问题.解析：令，对于既满足，又满足，故点是方程组的公共解，依题意得，由，解得：，所以的最大值为，最小值为.点评：对于以上的问题，有时由于研究二元函数有困难，也常采用消元，但由满足的方程来表示出或时会出现无理式，这对进一步求函数最值依然不够简洁，但若通过三角函数换元，则可实现这一途径.即，因此可通过转化为的一元函数.以上二个思路都叫“参数法”.（3）、极坐标方程表示的曲线是（）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 抛物线分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断.解析：由，化为直角坐标系方程为，化简得.显然该方程表示抛物线，故选D.点评：若直接由所给方程是很难断定它表示何种曲线，因此通常要把极坐标方程化为直角坐标方程，加以研究.（4）、极坐标方程转化成直角坐标方程为（）A． B． C． D．分析：极坐标化为直解坐标只须结合转化公式进行化解.解析：，因此选C.点评：此题在转化过程中要注意不要失解，本题若成为填空题，则更要谨防漏解.通关练习一1. 已知点M的极坐标为，下列所给出的四个坐标中不能表示点M的坐标是（）A. B. C. D.2．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（）A． B． C． D．3．下列在曲线上的点是（）A． B． C． D．4．将参数方程化为普通方程为（）A． B． C．D．5．参数方程为表示的曲线是（）A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线6．直线和圆交于两点，则的中点坐标为（） A． B． C． D．7．极坐标方程表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆8．直线的参数方程为，上的点对应的参数是，则点与之间的距离是（）A． B． C． D．9. 圆心为C，半径为3的圆的极坐标方程为10 若A，B，则|AB|=__________，___________（其中O是极点）11. ，若A、B是C上关于坐标轴不对称的任意两点，AB 的垂直平分线交x轴于P（a，0），求a的取值范围.一、选择题：1.A 解析：能表示点M的坐标有3个，分别是B、C、D.2．D 解析：3．B 解析：转化为普通方程：，当时，4．C 解析：转化为普通方程：，但是5、D 解析：表示一条平行于轴的直线，而，所以表示两条射线6．D 解析：，得，因此中点为7．C 解析：，则或8、C 解析：距离为9、解析：如下图，设圆上任一点为P（），则10、解析：在极坐标系中画出点A、B，易得，11. 解析：，，，，题型二极坐标，参数方程综合应用例2 (2019·全国Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ)(ρ>0)在曲线C：ρ＝4sin θ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l 的极坐标方程； (2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．解 (1)因为M(ρ0，θ0)在C 上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π3＝2 3. 由已知得|OP|＝|OA|cosπ3＝2. 设Q(ρ，θ)为l 上除P 的任意一点，连接OQ ，在Rt △OPQ 中，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝|OP|＝2.经检验，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3在曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上．所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2.(2)设P(ρ，θ)，在Rt △OAP 中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ.因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，故θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.跟踪演练1 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x ＋3y ＝53，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.射线OP ：θ＝π6(ρ≥0)与圆C 的交点为O ，A ，与直线l 的交点为B ，求线段AB 的长．解由题意知ρA ＝4sinπ6＝2， ρB ＝532sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π6＝5，所以|AB|＝|ρA －ρB |＝3.例 3 (2019·六安质检)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，过点P(－2,0)作斜率为k 的直线l 与圆C交于A ，B 两点．(1)若圆心C 到直线l 的距离为455，求k 的值；(2)求线段AB 中点E 的轨迹方程．解 (1)由题意知，圆C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，即圆C 的圆心为C(2,0)，半径r ＝2.依题意可得过点P(－2,0)的直线l 的方程为y ＝k(x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，设圆心C(2,0)到直线l 的距离为d ，则d ＝|2k ＋2k|1＋k 2＝|4k|1＋k2＝455，解得k ＝±12.(2)设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋tcos θ，y ＝tsin θ(t 为参数)，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π6，代入圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，得t 2－8tcos θ＋12＝0. 设A ，B ，E 对应的参数分别为t A ，t B ，t E ，则t E ＝t A ＋t B2，所以t A ＋t B ＝8cos θ，t E ＝4cos θ. 又点E 的坐标满足⎩⎨⎧x ＝－2＋t E cos θ，y ＝t E sin θ，所以点E 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋4cos 2θ，y ＝4sin θcos θ，即⎩⎨⎧x ＝2cos 2θ，y ＝2sin 2θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π6，化为普通方程为x 2＋y 2＝4(1<x ≤2)．例4在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin θ＋1＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)．(1)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值；(2)直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，已知点M(1,1)，求|MA|·|MB|的值．解 (1)设曲线C 上任意一点N(2cos α，3sin α)，直线l ：x －2y ＋1＝0，则点N 到直线l 的距离d ＝|2cos α－23sin α＋1|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＋15≤5，∴曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为 5. (2)设直线l 的倾斜角为θ，则由(1)知tan θ＝12，∴cos θ＝255，sin θ＝55. ∴直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋255t ，y ＝1＋55t (t 为参数)，曲线C ：x 24＋y 23＝1，联立方程组，消元得165t 2＋45t －5＝0，设方程两根为t 1，t 2，则t 1t 2＝－2516，由t 的几何意义，得|MA|·|MB|＝－t 1t 2＝2516. 通关练习二1．(2019·东莞调研)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝34＋3t ，y ＝a ＋3t(t 为参数)，圆C 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝4.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求直线l 和圆C 的极坐标方程； (2)若射线θ＝π3与l 的交点为M ，与圆C 的交点为A ，B ，且点M 恰好为线段AB 的中点，求a 的值．解(1)∵直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝34＋3t ，y ＝a ＋3t(t 为参数)，∴在直线l 的参数方程中消去t 可得直线l 的普通方程为x －y －34＋a ＝0，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入直线l 的普通方程中，得到直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ－34＋a ＝0.∵圆C 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝4，∴圆C 的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ－6ρsin θ＋14＝0.(2)在极坐标系中，由已知可设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ1，π3，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，π3，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ3，π3，联立⎩⎨⎧θ＝π3，ρ2－6ρcos θ－6ρsin θ＋14＝0，得ρ2－(3＋33)ρ＋14＝0， ∴ρ2＋ρ3＝3＋3 3. ∵点M 恰好为AB 的中点， ∴ρ1＝3＋332，即M ⎝⎛⎭⎪⎫3＋332，π3. 把M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋332，π3代入ρcos θ－ρsin θ－34＋a ＝0，得3()1＋32×1－32－34＋a ＝0，解得a ＝94.2．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P(m,2)，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝m ＋t ，y ＝2－t(t 为参数，m ∈R )，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋8cos θ－ρ＝0. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若已知曲线C 1和曲线C 2交于A ，B 两点，且|PA|＝2|PB|，求实数m 的值．解 (1)C 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝m ＋t ，y ＝2－t(t 为参数，m ∈R )，消参得普通方程为x ＋y －m －2＝0.C 2的极坐标方程化为ρ(2cos 2θ－1)＋8cos θ－ρ＝0，两边同乘ρ得2ρ2cos 2θ＋8ρcos θ－2ρ2＝0，即y 2＝4x. 即C 2的直角坐标方程为y 2＝4x.(2)将曲线C 1的参数方程标准化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m －22t ，y ＝2＋22t (t 为参数，m ∈R )，代入曲线C 2：y 2＝4x ，得12t 2＋42t ＋4－4m ＝0，由Δ＝(42)2－4×12×(4－4m)>0，得m>－3，设A ，B 对应的参数为t 1，t 2，由题意得|t 1|＝2|t 2|，即t 1＝2t 2或t 1＝－2t 2，当t 1＝2t 2时，⎩⎨⎧t 1＝2t 2，t 1＋t 2＝－82，t 1·t 2＝24－4m，解得m ＝－239，满足m>－3；当t 1＝－2t 2时，⎩⎨⎧t 1＝－2t 2，t 1＋t 2＝－82，t 1·t 2＝24－4m解得m ＝33，满足m>－3. 综上，m ＝－239或33. 3．(2019·衡水中学调研)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ. (1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)已知直线C 3的极坐标方程为θ＝α(0<α<π，ρ∈R )，A 是C 3与C 1的交点，B 是C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，|AB|＝42，求α的值．解 (1)由⎩⎨⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ，得C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，又y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2，所以C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4. (2)由(1)知曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，所以其极坐标方程为ρ＝4cos θ.设点A ，B 的极坐标分别为(ρA ，α)，(ρB ，α)，则ρA ＝4cos α，ρB ＝4sin α，所以|AB|＝|ρA －ρB |＝4|cos α－sin α| ＝42⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝42，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝±1，即α－π4＝k π＋π2(k ∈Z )，解得α＝k π＋3π4(k ∈Z )，又0<α<π，所以α＝3π4. 4．(2019·保山模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．⊙O 的极坐标方程为ρ＝2，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝tcos α，y ＝－2＋tsin α(t 为参数)，直线l 与⊙O 交于A ，B 两个不同的点．(1)求倾斜角α的取值范围；(2)求线段AB 中点P 的轨迹的参数方程．解 (1)直线l 的倾斜角为α，当α＝π2时，直线l(即y 轴)与⊙O 交于A ，B 两个不同的点，符合题目要求；当α≠π2时，记k ＝tan α，直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝tcos α，y ＝－2＋tsin α 化为普通方程为kx －y －2＝0，圆心O 到直线l 的距离d ＝21＋k 2.因为直线l 与⊙O 交于不同的两点，所以21＋k2<2，解得k>1或k<－1.当k<－1时，直线l 的倾斜角α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4；当k>1时，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，综上，直线l 的倾斜角α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(2)⊙O 的极坐标方程为ρ＝2，其直角坐标方程为x 2＋y 2＝2，因直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝tcos α，y ＝－2＋tsin α(t 为参数)，代入x 2＋y 2＝2中得，t 2－4tsin α＋2＝0，故可设A(t 1cos α，－2＋t 1sin α)，B(t 2cos α，－2＋t 2sin α)，注意到t 1 ，t 2为方程的根，故t 1＋t 2＝4sin α，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫t 1＋t 22cos α，－2＋t 1＋t 22sin α，即(sin 2α，－1－cos 2α)，所以点P 的轨迹的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝sin 2α，y ＝－1－cos 2α(α为参数)．。

马井堂-高中数学选修4-4坐标系与参数方程完整教案

选修4-4教案教案1平面直角坐标系（1课时）教案2平面直角坐标系中的伸缩变换（1课时）教案3极坐标系的的概念（1课时）教案4极坐标与直角坐标的互化（1课时）教案5圆的极坐标方程（2课时）教案6直线的极坐标方程（2课时）教案7球坐标系与柱坐标系（2课时）教案8参数方程的概念（1课时）教案9圆的参数方程及应（2课时）教案10圆锥曲线的参数方程（1课时）教案11圆锥曲线参数方程的应用（1课时）教案12直线的参数方程（2课时）教案13参数方程与普通方程互化（2课时）教案14圆的渐开线与摆线（1课时）课题：1、平面直角坐标系教学目的：知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法能力与与方法：体会坐标系的作用情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

教学重点：体会直角坐标系的作用教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题授课类型：新授课教学模式：互动五步教学法教具：多媒体、实物投影仪复习及预习提纲：1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法2坐标系的作用————教学过程————复习回顾和预习检查1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法2坐标系的作用创设情境，设置疑问情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位置机器运动的轨迹。

情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。

要出现正确的背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置。

问题1：如何刻画一个几何图形的位置？问题2：如何创建坐标系？分组讨论刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定2、平面直角坐标系在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。

2014数学文补教案---选修4-4坐标系与参数方程

选修4-4 坐标系与参数方程
第一节坐标系
课时计划：
实际教学课时：
教学方法：
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知识点：
1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：______________的作用下，点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.
2.极坐标系与点的极坐标
(1)极坐标系：在平面内取一个定点O，叫做_____，自极点O引一条射线Ox，叫做_____；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，就建立了极坐标系.
(2)点的极坐标：对于极坐标系所在平面内的任一点M，若设|OM|=ρ(ρ≥0)，以极轴Ox 为始边，射线OM为终边的角为θ，则点M可用有序数对______表示.
(3)极坐标与直角坐标的互化公式：
设点P的直角坐标为(x,y)，它的极坐标为(ρ,θ)，则相互转化公式为
3.直线的极坐标方程
(1)特殊位置的直线的极坐标方程：
(2)一般位置的直线的极坐标方程：若直线l经过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，直线l的极坐标方程为：ρsin(α-θ)=______________.
4.半径为r的圆的极坐标方程
(1)特殊位置的圆的极坐标方程：
(2)一般位置的圆的极坐标方程：圆心为M(ρ0,θ0)，半径为r
的圆的极坐标方程为______________________________.
板书设计与典例分析：。

人教版高中数学选修4-4坐标系与参数方程全套教案(可编辑)

人教版高中数学选修4-4坐标系与参数方程全套教案课型：复习课课时数：讲学时间： 20101月18号班级：学号： 1、了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。

2、能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。

3、能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程。

通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义。

4、分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程，能进行参数方程与普通方程的互化。

二、【回归教材】：1、阅读《》,试了解1）设点是平面直角坐标系中的任意一点，在伸缩变换公式的作用下，如何找到点P的对应点？试找出变换为的伸缩变换公式 .（2）极坐标系是如何建立的？试类比平面直角坐标系的建立过程画一个，并写出点M的极径与极角来表示它的极坐标，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，写出极坐标和直角坐标的互化公式 .（3）在平面直角坐标系中，曲线C可以用方程来表示，在极坐标系中，我们用什么方程来表示这段曲线呢？例如圆，直线，你是如何用极坐标方程表示它们的？2、阅读选修4-4《》2）将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型，我们是如何做到的？在互化的过程中，必须注意什么问题？试探究一下圆锥曲线的参数方程与普通方程的互化。

三、【达标练习与作业】：1、在同一平面直角坐标系中，曲线经过一个伸缩变换后变为，则这个伸缩变换为 .2、已知点的极坐标为，则它的直角坐标为；而如果点的直角坐标为，则它的极坐标为 .3、化极坐标方程为直角坐标方程是；则极坐标方程表示的曲线是；而圆心为，半径为3的圆所表示的极坐标方程为 .4、直线（t为参数）的倾斜角的大小是 .5、极坐标方程为，它所表示的圆的半径为 .6、（t为参数）上到点的距离为的点坐标为 .7、已知为参数，求点到方程表示的曲线的距离的最小值 .8、已知直线（t为参数），求被双曲线截得的弦长 .四、【课后反思】：书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。

高二数学选修4-4 坐标系及参数方程教学案

第一章坐标系第一课时平面直角坐标系一、理解新知 1．平面直角坐标系（1）平面直角坐标系的作用：使平面上的点与、曲线与建立联系，从而实现的结合．（2）坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的元素，将几何问题转化为问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成结论． 2．平面直角坐标系中的伸缩变换（1）平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归纳为伸缩变换，这就是用研究变换．（2）平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P (x ，y )是平面直角坐标系中任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ＞0)y ′＝μy (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．二、考点例题考点一求轨迹方程[例1] (2012·湖北高考改编)设A 是单位圆122=+y x 上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足|DM |＝m |DA |(m >0，且m ≠1)．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标．方法规律小结求轨迹的常用方法(1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可用求曲线方程的五个步骤直接求解．(2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程．(3)代入法：如果动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (11,y x )，而Q (11,y x )又在某已知曲线上，则可先列出关于x ，y ，11,y x 的方程组，利用x 、y 表示11,y x ，把11,y x 代入已知曲线方程即为所求． (4)参数法：动点P (x ，y )的横纵坐标用一个或几个参数来表示，消去参数即得其轨迹方程．变式训练1．二次方程x 2－ax ＋b ＝0的两根为sin θ，cos θ，求点P (a ，b )的轨迹方程(其中|θ|≤π4)．2．△ABC 中，若BC 的长度为4，中线AD 的长为3，求A 点的轨迹方程．考点二用坐标法解决几何问题[例2] 已知△ABC 中，AB ＝AC ，BD 、CE 分别为两腰上的高．求证：BD ＝CE . 方法规律小结建立平面直角坐标系的原则根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则：①如果图形有对称中心，选对称中心为原点，②如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴， ③使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上．变式训练1．求证等腰梯形对角线相等．已知：等腰梯形ABCD .求证：AC ＝BD . 2．已知△ABC 中，BD ＝CD ，求证：AB 2＋AC 2＝2(AD 2＋BD 2)．考点三直角坐标系中的伸缩变换[例3] 求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线x 2＋y 2＝1变成曲线x ′29＋y ′24＝1.方法规律小结坐标伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx λ＞0y ′＝μy μ＞0注意变换中的系数均为正数．在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，即在同一坐标系下只对点的坐标进行伸缩变换．利用坐标伸缩变换φ可以求变换前和变换后的曲线方程．已知前换前后曲线方程也可求伸缩变换φ. 变式训练1．求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线x 24＋y 29＝1变成曲线x ′216＋y ′29＝1.2．求4x 2－9y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝3y 后的图形所对应的方程．第二课时极坐标系理解新知1．极坐标系的概念（1）极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，叫做，自极点O 引一条射线Ox ，叫做；再选定一个，一个角度单位(通常取弧度)及其 (通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．（2）极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一点M ，用ρ表示，用θ表示，ρ叫做点M 的，θ叫做点M 的，有序数对就叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． 2．极坐标和直角坐标的互化（1）互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．（2）互化公式，二、考点例题考点一求点的极坐标[例1] 已知点Q (ρ，θ)，分别按下列条件求出点P 的极坐标．（1）点P 是点Q 关于极点O 的对称点；（2）点P 是点Q 关于直线θ＝π2的对称点．方法规律小结设点M 的极坐标是),(θρ，则M 点关于极点的对称点的极坐标是),(θρ-或),(πθρ+；M 点关于极轴的对称点的极坐标是),(θρ-；M 点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是),(θπρ-或),(θρ--．另外要注意，平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的．变式训练1．设点A (1，π3)，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求：（1）点A 关于极轴的对称点；（2）点A 关于直线l 的对称点；（3）点A 关于极点的对称点．(限定ρ>0，－π＜θ≤π)．2．在极坐标系中，点A 的极坐标是(3，π6)，求点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标(规定ρ>0，θ∈[0,2π])．考点二点的极坐标与直角坐标的互化[例2] （1）把点A 的极坐标(2，7π6)化成直角坐标；（2）把点P 的直角坐标(1，－3)化成极坐标．(ρ>0，0≤θ<2π)．方法规律小结（1）极坐标和直角坐标互化的前提条件有三，即极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，有相同的长度单位，三者缺一不可．（2）熟记互化公式，必要时可画图来分析．变式训练1．点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为 ( ) A ．(2，π4) B ．(2，3π4) C ．(2，5π4) D ．(2，7π4)2．若以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．（1）已知点A 的极坐标(4，5π3)，求它的直角坐标；（2）已知点B 和点C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标．(ρ＞0,0≤θ＜2π)第三课时圆的极坐标方程理解新知1．曲线的极坐标方程（1）在极坐标系中，如果曲线C 上的极坐标中有一个满足方程0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点，那么方程0),(=θρf 叫做曲线C 的．（2）建立曲线的极坐标方程的方法步骤是：①建立适当的极坐标系，设),(θρP 是曲线上任意一点． ②列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式． ③将列出的关系式整理、化简．④证明所得方程就是曲线的极坐标方程．2．圆的极坐标方程（1）圆心在C (a,0)(a ＞0)，半径为a 的圆的极坐标方程为 . （2）圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程为 . （3）圆心在点(a ，π2)处且过极点的圆的方程为二、考点例题考点一圆的极坐标方程[例1] 求圆心在),(00θρ，半径为r 的圆的方程．方法规律小结几种特殊情形下的圆的极坐标方程当圆心在极轴上即θ0＝0时，方程为r 2＝ρ20＋ρ2－2ρρ0cos θ，若再有ρ0＝r ，则其方程为ρ＝2ρ0cos θ＝2r cos θ，若ρ0＝r ，θ0≠0，则方程为ρ＝2r cos(θ－θ0)，这几个方程经常用来判断图形的形状和位置．变式训练1．在极坐标系中，以(a 2，π2)为圆心，a2为半径的圆的方程是________．2．求圆心在A (2，3π2)处并且过极点的圆的极坐标方程．考点二极坐标方程与直角坐标的互化[例2] 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化：（1）y 2＝4x ；（2）x 2＋y 2－2x －1＝0；（3）ρ＝12－cos θ.方法规律小结在进行两种坐标方程间的互化时，要注意：（1）互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同．（2）由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但这里约定只在0≤θ＜2π范围内求值．（3）由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要注意化简．（4）由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形．变式训练1．把下列直角坐标方程化为极坐标方程．（1）y ＝3x ；（2）x 2－y 2＝1.2．把下列极坐标方程化为直角坐标方程．（1）ρ2cos 2θ＝1；（2）ρ＝2cos(θ－π4)．第四课时直线的极坐标方程理解新知1．直线的极坐标方程（1）若直线经过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则直线l 的极坐标方程为．（2）当直线l 过极点，即ρ0＝0时，l 的方程为 .（3）当直线l 过点M (a,0)且垂直于极轴时，l 的方程为 . （4）当直线l 过点M (b ，π2)且平行于极轴时，l 的方程为 .2．图形的对称性（1）若ρ(θ)＝ρ(－θ)，则相应图形关于对称．（2）若ρ(θ)＝ρ(π－θ)，则图形关于射线所在直线对称．（3）若ρ(θ)＝ρ(π＋θ)，则图形关于对称．二、考点例题考点一求直线的极坐标方程[例1] 求从极点出发，倾斜角是π4的射线的极坐标方程．方法规律小结求直线的极坐标方程，首先应明确过点),(00θρM ，且极轴到此直线的角为α的直线极坐标方程的求法．另外，还要注意过极点、与极轴垂直和平行的三种特殊情况的直线的极坐标方程．变式训练1．求过A (2，π4)且垂直于极轴的直线的方程．2．设点A 的极坐标为(2，π6)，直线l 过点A 且与极轴所成的角为π3，求直线l 的极坐标方程．考点二直线的极坐标方程的应用[例2] 在极坐标系中，直线l 的方程是ρsin(θ－π6)＝1，求点P (2，－π6)到直线l 的距离．方法规律小结对于研究极坐标方程下的距离及位置关系等问题，通常是将它们化为直角坐标方程，在直角坐标系下研究．变式训练1．在极坐标系),(θρ(0≤θ<2π)中，曲线θρsin 2=与1cos -=θρ的交点的极坐标为________ 2．已知直线的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝22，则点A (2，7π4)到这条直线的距离是________第五课时柱坐标系理解新知柱坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系O xyz ，设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用),(θρ(ρ≥0,0≤θ＜2π)来表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标．这时点P 的位置可用有序数组 (z ∈R)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组),,(z θρ之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组),,(z θρ叫做点P 的柱坐标，记作，其中 (2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标),,(z θρ之间的变换公式为二、考点例题考点一将直角坐标化为柱坐标[例1] 设点A 的直角坐标为(1，3，5)，求它的柱坐标．方法规律小结知点的直角坐标，确定它的柱坐标关键是确定ρ和θ，尤其是θ，要注意求出θtan 后，还要根据点M 所在象限确定θ的值(θ的范围是[0,2π))．变式训练1．点A 的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标 2．点M 的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标．考点二把点的柱坐标化为直角坐标[例2] 已知点P 的柱坐标为(4，π3，8)求它的直角坐标．方法规律小结知柱坐标，求直角坐标，利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z 即可．变式训练1．点N 的柱坐标为(2，2π，3)，求它的直角坐标． 2．已知点A 的柱坐标为(1，π，2)，B 的柱坐标为(2，π2，1)，求A 、B 两点间距离．第六课时球坐标系理解新知球坐标系（1）定义：建立空间直角坐标系O xyz ，设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为ϕ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角θ，这样点P 的位置就可以用有序数组表示．这样，空间的点与有序数组),,(θϕr 之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组),,(θϕr 叫做点P 的球坐标，记作，其中（2）空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标),,(θϕr 之间的变换关系为二、考点例题考点一将点的球坐标系化为直角坐标[例1] 已知点P 的球坐标为(4，3π4，π4)求它的直角坐标．方法规律小结已知球坐标求直角坐标，可根据变换公式直接求得，但要分清哪个角是φ，哪个角是θ. 变式训练1．求下列各点的直角坐标：（1）M (2，π6，π3)；（2）N (2，3π4，7π6)．2．将M 的球坐标),,(πππ化成直角坐标．考点二将点的直角坐标化为球坐标[例2] 设点M 的直角坐标为(1,1，2)，求它的球坐标．方法规律小结由直角坐标化为球坐标时，我们可以先设点M 的球坐标为(r ，φ，θ)，再利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，求出r 、θ、φ代入点的球坐标即可；也可以利用r 2＝x 2＋y 2＋z 2，tan θ＝y x ，cos φ＝zr .特别注意由直角坐标求球坐标时，θ和φ的取值应首先看清点所在的象限，准确取值，才能无误．变式训练1．求下列各点的球坐标：（1）M (1，3，2)；（2）N (－1,1，－2)．第二章参数方程第一课时参数方程的概念理解新知1．参数方程的概念在平面直角坐标系中，曲线上任一点的坐标x ，y 都是某个变数t (θ，φ，…)的函数：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝fty ＝gt ①，并且对于每一个t 的允许值，方程组①所确定的点(x ，y ) ，那么方程组①就叫这条曲线的，t 叫做，相对于参数方程而言，直接给出坐标间关系的方程叫．2．参数的意义是联系变数x ，y 的桥梁，可以是有意义或意义的变数，也可以是的变数．二、考点例题考点一求曲线的参数方程[例1] 如图，△ABP 是等腰直角三角形，∠B 是直角，腰长为a ，顶点B 、A 分别在x 轴、 y 轴上滑动，求点P 在第一象限的轨迹的参数方程．方法规律小结求曲线参数方程的主要步骤第一步，画出轨迹草图，设M (x ，y )是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系．第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x ，y 与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x ，y 的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．变式训练1．设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀角速度运动，角速度为π60 rad/s ，试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．2．选取适当的参数，把直线方程y ＝2x ＋3化为参数方程．考点二参数方程表示曲线上的点（1）判断点M 1(0,1)，M 2(5,4)与曲线C 的位置关系．（2）已知点M 3(6，a )在曲线C 上，求a 的值．方法规律小结参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是一致的．变式训练1．曲线4)1(22=+-y x 上的点可以表示为( ) A ．(－1＋cos θ，sin θ) B ．(1＋sin θ，cos θ) C ．(－1＋2cos θ，2sin θ) D ．(1＋2cos θ，2sin θ)2．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(其中t 为参数，a ∈R)．点M (5,4)在该曲线上，求常数a .第二课时圆的参数方程理解新知圆的参数方程（1）在t 时刻，圆周上某点M 转过的角度是θ，点M 的坐标是(x ，y )，那么θ＝ωt (ω为角速度)．设|OM |＝r ，那么由三角函数定义，有cos ωt ＝，sin ωt ＝，即圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为 (t 为参数)．其中参数t 的物理意义是：（2）若取θ为参数，因为θ＝ωt ，于是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为 (θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM 0(M 0为t ＝0时的位置)绕点O 时针旋转到的位置时，OM 0转过的角度．（3）若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为R ，则圆的参数方程为二、考点例题考点一求圆的的参数方程[例1] 圆)0()(222>=+-r r y r x ，点M 在圆上，O 为原点，以∠MOx ＝φ为参数，求圆的参数方程．方法规律小结（1）确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题容易把参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos φ，y ＝r sin φ.（2）由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．变式训练1．已知圆的方程为x y x 222=+，写出它的参数方程．2．已知点P (2,0)，点Q 是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ上一动点，求PQ 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．考点二圆的参数方程的应用[例2] 若x ，y 满足4)2()1(22=++-y x ，求2x ＋y 的最值．方法规律小结圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题．变式训练1．求原点到曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2sin θ，y ＝－2＋2cos θ(θ为参数)的最短距离．2．已知圆C ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围．第三课时参数方程与普通方程的互化一、理解新知1．参数方程转化为普通方程曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过_________而从参数方程得到普通方程．2．普通方程转化为参数方程如果知道变数y x ,中的一个与参数t 的关系，例如)(t f x =，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系)(t g y =，那么⎩⎨⎧==)()(t g y t f x 就是曲线的参数方程。

选修4-4数学坐标系与参数方程

选修4-4数学坐标系与参数方程一、基础知识与考点梳理坐标系是解决几何问题的工具之一，包括平面直角坐标系和极坐标系。

参数方程是通过参数的变化来描述图形的方程，常用于描述曲线的运动或变化。

考点：1. 平面直角坐标系：了解坐标系的定义、坐标轴的性质、平面点的坐标表示方法以及表示直线和曲线的方程的求解方法。

2. 极坐标系：了解极坐标系的定义、坐标轴的性质、平面点的极坐标表示方法以及表示曲线的方程的求解方法。

3. 参数方程：了解参数方程的定义和解题步骤，熟练掌握参数方程求交点和极值点的方法。

二、典型例题解析例1、已知函数y=x²-2x+3，求其图像与x轴、y轴、直线x=1、y=3所围成的面积。

【解析】：1. 求该函数的根，即当y=0时x满足的条件：x=1±√2。

2. 绘制函数图像。

由于该函数为二次函数，故开口向上，图像开口向上，存在顶点，而顶点的横坐标为x=-b/2a，即x=1。

当x=0时，y=3，即函数在y轴上截距为3，因此y轴上的一点为(0，3)。

3. 按要求计算所求面积=△x=1△x=-∫1√2(y-3)dx+∫√2^3(y-x²+2x)dx=2-2√2/3例2、考虑曲线x=2cost+cos2t，y=2sint-sin2t的形状和特征，求其极坐标方程，指出极点和极轴，找出曲线上各点的对称点。

【解析】：1. 观察曲线方程，发现x的系数为2，y的系数为-1。

而2cos2t+1=2cos²t-2sin²t+1，故有x=4cos²t-1-y。

2. 代入x²+y²=r²，消去t，即得其极坐标方程r=4cos2θ-3。

3. 极点为(θ=r=0)，为对称中心，且曲线轨迹在极轴之上。

4. 若要求曲线上一点的对称点，可先求该点的极坐标系(r,θ)，则其对称点的极坐标系为(r,-θ)，再用x=rcosθ,y=rsinθ回代直角坐标系。

高中数学选修4-4极坐标与参数方程全册教案

二、极坐标系【基础知识导学】1．极坐标系和点的极坐标极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。

规定：当点M 在极点时，它的极坐标θρ,0=可以取任意值。

2．平面直角坐标与极坐标的区别在平面直角坐标系内，点与有序实数对（x ，y ）是一一对应的，可是在极坐标系中，虽然一个有序实数对),(θρ只能与一个点P 对应，但一个点P 却可以与无数多个有序实数对对应),(θρ，极坐标系中的点与有序实数对极坐标),(θρ不是一一对应的。

3．极坐标系中，点M ),(θρ的极坐标统一表达式Z k k ∈+),2,(θπρ。

4．如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示，同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。

5．极坐标与直角坐标的互化（1）互化的前提：①极点与直角坐标的原点重合；②极轴与X 轴的正方向重合；③两种坐标系中取相同的长度单位。

（2）互化公式⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ，⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=0,tan 222x x yy x θρ。

【知识迷航指南】【例1】在极坐标系中，描出点)3,2(πM ，并写出点M 的统一极坐标。

【点评】点)3,2(πM 的统一极坐标表示式为)32,2(ππ+k ，如果允许0<ρ，还可以表示为)3)12(,2(ππ++-k 。

OMX【例2】已知两点的极坐标)6,3(),2,3(ππB A ，则|AB|=______,AB 与极轴正方向所成的角为________.解:根据极坐标的定义可得|AO|=|BO|=3,∠AOB=600,即∆AOB 为等边三角形,所以|AB|=|AO|=|BO|=3, ∠ACX=65π 【点评】在极坐标系中我们没有定义两点间的距离,我们只要画出图形便可以得到结果. 【例3】化下列方程为直角坐标方程,并说明表示的曲线. (1)43πθ=,()R ∈ρ (2)θθρcos 2sin +=【解】(1)根据极坐标的定义,因为x y xy-==即,43tanπ,所以方程表示直线. (2)因为方程给定的ρ不恒为0,用ρ同乘方程的两边得:θρθρρcos 2sin 2+=化为直角坐标方程为,222x y y x +=+即45)21()1(22=-+-y x ,这是以(1,21)为圆心,半径为25的圆. 【点评】①若没有R ∈ρ这一条件,则方程表示一条射线.②极坐标方程化为直角坐标方程,方程两边同乘ρ,使之出现ρ2是常用的方法.【解题能力测试】1．已知点的极坐标分别为)4,3(π-A ，)32,2(πB ，),23(πC ，)2,4(π-D ，求它们的直角坐标。

高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修4-4：坐标系与参数方程柱坐标系和球坐标系》

柱坐标系亳州二中王信一、学习目标1、理解柱坐标系。

并通过实例了解在柱坐标系中刻画空间中点的位置方法2、体会柱坐标系与空间直角坐标系的区别与联系。

3、了解柱坐标与空间直角坐标的互化关系并进行简单的数学应用。

二、教学重难点重点：在柱坐标系中刻画空间中点的位置的方法，难点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系利用它们进行简单的数学应用三、教学过程（一）情景导入引例1：怎样准确的表示室内灯泡的位置？引例2：欣赏图片思考：如何确定圆柱形物体侧面商标或字的位置呢？试一试：给定一个底面半径为r，高为h的圆柱，适当建立空间直角坐标系，利用直角坐标描述圆柱侧面点oPρ,θ,ZAθP()531，，因此θ=π3,故点A 的柱坐标为 2,π3,5 .的直角坐标为()21-1-，，,求它的柱坐标解:设点M 的柱坐标为(ρ,θ,z ).因为tan θ=yx =1,所以,θ=π4.所以点M 的柱坐标为 2,π4, 2 .正解点M 的为柱坐标为 2,5π4, 2 . 注：已知点的直角坐标,确定它的柱坐标的关键是确定ρ和θ,尤其是θ,要注意求出tan θ后,还要根据点在O 平面内的射影所在的象限确定θ的值θ的取值范围是[0,2π类型二：柱坐标化成直角坐标【例2】根据下列点的柱坐标,分别求直角坐标:(1) 2,5π6,3 ;(2) 2,π4,5 . 分析：解答本题直接利用公式 x =ρcos θ,y =ρsin θ,z =z计算即可.解：(1)设所求点的直角坐标为(x ,y ,z ). 因为(ρ,θ,z )= 2,5π6,3 , 所以x =ρcos θ=2cos 5π6=- 3,y =ρsin θ=2sin5π6=1,z =3,故(- 3,1,3)为所求.(2)设所求点的直角坐标为(x ,y ,z ). 因为(ρ,θ,z )= 2,π4,5 ,所以 x =ρcos θ= 2cos π4=1,y =ρsin θ= 2sin π4=1,z =5,故(1,1,5)为所求.变式训练将柱坐标点⎪⎭⎫⎝⎛162，，π化为直角坐标:解：设所求点的直角坐标为(x ,y ,z ). 因为(ρ,θ,z )= 2,π6,1 ,所以 x =ρcos θ=2cos π6= 3,y =ρsin θ=2sin π6=1,z =1,即( 3,1,1)为所求.三、作业教材的柱坐标为⎪⎭⎫⎝⎛142，，π,求点M 关于原点O 对称的点的柱坐标 2、在确定空间物体位置时怎样选取坐标系，使研究过程方便、简捷？ 3、在地理学、天文学中，科学家们在确定航天器或其他星球的准确位置时又该选取什么坐标系更好呢？课后作业：预习下一节：球坐标系！。

选修4-4坐标系与参数方程

建立联系．
Y＝byb>0
(2)已知变换后的曲线方程 f(x，y)＝0，一般都要改写为方程 f(X，Y)＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．
能力练通
抓应用体验的“得”与“失”
x′＝3x，
1，－2
1．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：
求点 A 3
经过φ变换所得的点 A′的坐标．
2y′＝y.
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解析：设曲线 C′上任意一点 P′(x′，y′)，
x＝1x′，由题意，将 3
y＝2y′
代入 x2－ y2 ＝1 64
得x′2－4y′2＝1，化简得x′2－y′2＝1，
9 64
9 16
即x2－ y2 ＝1 为曲线 C′的方程，可见经变换后的曲线仍是双曲线， 9 16
则所求焦点坐标为 F1(－5,0)，F2(5,0)．
选修 4－4 坐标系与参数方程
第一节坐标系
本节主要包括 2 个知识点： 1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换； 2.极坐标系.
突破点(一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换
基础联通
抓主干知识的“源”与“流”
x′＝λ·xλ＞0，
设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：
的作用下，点 P(x，y)对应到点
4．将圆 x2＋y2＝1 变换为椭圆x2＋y2＝1 的一个伸缩变换公式为φ： X＝axa>0，求 a，b 的值．
94
Y＝byb>0，
X＝ax，解y＝1Y， b
代入 x2＋y2＝1 中得Xa22＋Yb22＝1，所以 a2＝9，b2＝4，即 a＝3，b＝2.
突破点(二) 极坐标系
(2)直线 C3 的极坐标方程为θ＝α0，其中α0 满足 tan α0＝2，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上，求 a. 解析：(1)消去参数 t 得到 C1 的普通方程为 x2＋(y－1)2＝a2，

选修4-4坐标系和参数方程

数学选修4-4坐标系与参数方程2016-7第一讲坐标系一、平面直角坐标系1.平面直角坐标系在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。

它使平面上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y ）确定.例1 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s ，已知各观测点到中心的距离都是1020m ，试确定该巨响的位置。

（假定当时声音传播的速度为340m/s ，各相关点均在同一平面上）以接报中心为原点O ，以BA 方向为x 轴，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点，则 A(1020,0), B(－1020,0), C(0,1020) 设P （x,y ）为巨响为生点，由B 、C 同时听到巨响声，得|PC|=|PB|，故P 在BC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因A 点比B 点晚4s 听到爆炸声，故|PA|－ |PB|=340×4=1360，由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线22221x y a b-=上，2222222222680,1020102068053401(0)6805340a c b c a x y x ∴==∴=-=-=⨯-=<⨯故双曲线方程为用y=－x代入上式，得x =± ， ∵|PA|>|PB|,(x y P PO ∴=-=-=即故答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.上述问题的解决体现了坐标法的思想. 建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系:(1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点； (2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； (3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。

变式训练1．一炮弹在某处爆炸,在A 处听到爆炸的时间比在B 处晚2s,已知A 、B 两地相距800米，并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程.2．在面积为1的PMN ∆中，2tan ,21tan -=∠=∠MNP PMN ，建立适当的坐标系，求以M ，N 为焦点并过点P 的椭圆方程.课后作业1.若P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，且PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为( )． A.53 B.23 C.13 D.122.设F 1、F 2是双曲线x23－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为2时，1PF ·2PF 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6 3.若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点在圆x 2＋y 2＋2x －3＝0上，则p ＝( )A.12B ．1C ．2D ．3 4.已知两定点A (1,1)，B (－1，－1)，动点P 满足P A →·PB →＝x22，则点P 的轨迹方程是_________.5.△ABC 的顶点A (－5,0)、B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是___________.6. 已知动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．7.已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程．8. 已知长方形ABCD ，22=AB ，BC=1。

高中数学选修4-4坐标系与参数方程全套教案

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高中数学选修 4-4 坐标系与参数方程全套教案
第一讲坐标系一平面直角坐标系课题：1、平面直角坐标系教学目的：知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法能力与与方法：体会坐标系的作用情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。教学重点：体会直角坐标系的作用教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学. 教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：情境 1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位置机器运动的轨迹。情境 2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置。问题 1：如何刻画一个几何图形的位置？问题 2：如何创建坐标系？二、学生活动学生回顾刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点 P 都可以由惟一的实数 x 确定 2、平面直角坐标系在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点 P 都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点 P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定三、讲解新课：

高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修4-4：坐标系与参数方程直线和圆锥曲线的参数方程》1

直线的参数方程濉溪县孙疃中学张玉梅教学目标知识与技能：掌握直线的参数方程的标准形式并理解其参数的几何意义；会应用参数的几何意义解决与距离有关的问题过程与方法：通过参数方程的推导过程学会直线普通方程与参数方程之间互化方法；通过参数几何意义的讨论，树立数形结合的思想情感、态度与价值观：在直线参数方程的推导过程中，培养学生逻辑思维的严谨性；在师生间平等、和谐的交流中，激发学生学习数学的热情教学重难点重点：直线的几何条件，选择适当的参数写出直线的参数方程难点：从直线的几何条件联系到向量法，并选择“有向线段的数量”为参数教学过程知识回顾问题 1）在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？2）已知一条直线过点()3,2P ，倾斜角为O 45，你能画出这条直线并写出它的的普通方程？ yo x提问我们能用第三个量把直线上的点的坐标x 与y 联系起来吗？新知讲解已知直线经过点()00,y x P ，倾斜角是α，它的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）直线的参数方程中哪些是参数，哪些是常数？思考参数t 有怎样的几何意义呢？巩固练习例11）求过点（3，0），倾斜角为 20的直线的参数方程2）直线01=-+y x 的一个参数方程？例2 直线⎪⎩⎪⎨⎧=+=o o t y t x 20cos 20sin 3()为参数t 的倾斜角是（） A 020 B 070 C 0110 D 0160例3 已知直线l 过点()1,1P ,倾斜角6πα=1）写出直线的参数方程；2）设直线l 与圆122=+y x 相交于A ,B 两点，求PB PA ⋅的值思考上例条件不变，求AB 的值xy课后小结本节课你有何收获？课后作业教材38P 5~2。

数学选修4-4_坐标系与参数方程教学案

数学选修4-4 坐标系与参数方程本章考试说明要求：1．坐标系的有关概念（A级）2．简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的极坐标方程（B级）3．极坐标方程与直角坐标方程的互化（B级）4．参数方程（B级）5．直线、圆和椭圆的参数方程（B级）6．参数方程与普通方程的互化（B级）7．参数方程的简单应用（B级）本章具体内容：一、坐标系的有关概念（A级）1．平面直角坐标系的建立：在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系.2．空间直角坐标系的建立：在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系.3．极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位xx和计算角度的正方向（通常取方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。

（其中O称为，射线OX称为）如图，设M是平面上的任一点，表示OM的xx，表示以射线OX 为始边，射线OM为终边所成的角。

那么有序数对称为点M的极坐标。

其中称为，称为.由极径的意义可知.当极角的取值范围是时，平面上的点（除去极点）就与极坐标建立一一对应的关系.约定：极点的极坐标是=0，可以取任意角.4．极坐标的统一形式一般地，如果是点M的极坐标，那么或,都可以作为点M的极坐标.二、简单图形的极坐标方程（B级）1．直线的极坐标方程：若直线过点，且极轴到此直线的角为，则它的方程为：.注：几个特殊位置的直线的极坐标方程（1）直线过极点方程：图：（2）直线过点M（a,0）且垂直于极轴方程：图：（3）直线过且平行于极轴方程：图：练习：按下列条件写出直线的极坐标方程：①经过极点，且倾斜角为的直线；②经过点，且垂直于极轴的直线；③经过点，且平行于极轴的直线；④经过点，且倾斜角为的直线.2．圆的极坐标方程：若圆心为，半径为r的圆方程为：.注：几个特殊位置的圆的极坐标方程（1）当圆心位于极点方程：图：（2）当圆心位于方程：图：（3）当圆心位于方程：图：练习：按下列条件写出圆的极坐标方程：①以为圆心，2为半径的圆；②以为圆心，4为半径的圆；③以为圆心，且过极点的圆；④以为圆心，1为半径的圆.三、极坐标方程与直角坐标方程的互化（B级）以直角坐标系的O为极点，x轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位xx平面内的任一点P的直角坐标极坐标分别为（x，y）和，则x=2ρ=y=tanθ=练习：①将下列各点的极坐标化为直角坐标：=；=；=；=； =； =.②将下列各点的直角坐标化为极坐标：=；=；=；=； =； =.考点1 极坐标与直角坐标互化例1 在极坐标中，求两点之间的距离以及过它们的直线的极坐标方程.练习1 已知圆C：，则圆心C的极坐标为___练习2 在极坐标中，求两点间的距离：（1），（2），（3）练习3 （1）在极坐标中，点关于极轴的对称点的坐标为；（2）在极坐标中，求点关于直线的对称点的坐标为.考点2 极坐标方程与直角坐标方程互化例2 已知曲线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的方程是，点是曲线上的动点，点是直线上的动点，求的最小值．练习1 在极坐标系中，圆ρ=cosθ与直线ρcosθ=1的位置关系是．练习2 在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值是___ __．练习3 在极坐标系中，过点作圆的切线，则切线的极坐标方程是．练习4设过原点的直线与圆：的一个交点为，点为线段的中点.⑴求圆C的极坐标方程；⑵求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．三、参数方程1．参数方程的意义在平面直角坐标系中，若曲线C上的点满足，该方程叫曲线C 的参数方程，变量t是参变数，简称参数.2．参数方程与普通方程的互化（1）参数方程化为普通方程常见参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：①（为参数）；②；③；④（t为参数）；⑤（为参数）.注：参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围！（2）普通方程化为参数方程①经过点P的参数方程；②圆的参数方程；③椭圆的参数方程；④抛物线的参数方程.注：普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样。

高中数学新湘教版精品教案《湖南教育出版社高中数学选修4-4：坐标系与参数方程 2.2 直线的参数方程

直线的参数方程教学设计教材：湘教版《选修4—4》执教人：林禄云指导教师：苏华春学校：宁德市民族中学直线的参数方程宁德市民族中学林禄云教材：湘教版普通高中课程标准实验教科书《数学》选修4—4 坐标系与参数方程0M M te =在直线L 上运动时，都有哪些量在发生变化？可以用以前数学中学过的什么量表示？【师生活动】教师提出问题，并引发学生探究思考，通过提问方式，对学生所得结论进行展示。

【设计意图】结合多媒体动态功能，展示动点M 在直线上的变化，帮助提升学生的直观想象能力，根据学生探究结果的反馈时引导学生用向量来描述问题中的变化情况，为后面引入参数t 做好必要的铺垫。

问题 2 是否可以引入一个实数t 来刻画点M 在直线上的位置，如何引入？【师生活动】引导学生去建立数量和向量的联系，回忆必修四中的平面向量共线定理，引出直线的方向向量，为了接下来的计算简便，选定与直线向上方向同向的单位向量e 。

【设计意图】回忆旧知识，加强知识间的联系与串通，促进知识网络的构建。

用一元参数来控制点的变化，探究过程也促进数学建模思想的生成，提升学生跨维度研究问题的能力，培养创新思维。

问题3 如何描述e 的坐标，思考如何求得直线的参数方程？直线的标准参数方程有何特点？【师生活动】教师通过多媒体软件动态功能，确定判断单位向量e 的坐标的方法，并通过0M M te = 过程求得直线的参数方程，具体过程如下：一般地，设直线l 经过点000M x y （，），且倾斜角为α，动点M x y （，）为直线上任意一点，直线l 的单位方向向量记作cos sin e αα=（，）,[)0απ∈，，那么0//M M e ，因此根据共线向量的充要条件可知，存在实数t ，使得0=M M te ，即00cos sin x x y y t αα--=（，）（，），于是，有00cos sin x x t t y y t αα-=⎧⎨-=⎩（为参数）因此，把上面的方程叫做经过点000M x y （，），倾斜角为α的直线l 的参数方程．直线参数方程的文字表述：直线上任意动点的纵横坐标等于定点相应坐标加上参数乘以倾斜角的正余弦．注意：直线上的任意一个点都唯一对应一个参数t ．并探究思考该参数方程的形式特征为：≤≤0(1)两t 前系数平方和为1.（2）y =y +tsin θ中的系数0sin θ 1.故也可称该形式方程为直线标准的参数方程。