第8章平面向量

→ → → →
； ⑵⎜λ a ⎟⋅b ＝
⎛ ⎝
→
⎞ ⎠
→
＝ a⋅ ⎜ λ b ⎟ ； ⑶ ⎜ a + b ⎟ ⋅ c ＝
→
⎛ ⎝
→
⎞ ⎠
⎛→ ⎝
→
⎞ ⎠
→
.
【提醒】 ①若 a ⋅ b > 0 ，则夹角为锐角或者为 0 ，若 a ⋅ b < 0 ，则夹角为钝角或者为 π ； ②| a ⋅ b |＝ a b 可以用来证明 a ∥ b ；
9．已知 a = (1,2) ， b = ( x,1) ，当 a + 2b 与 2a − b 共线时， x 的值为____________． 10．当 m = ______时，向量 a = (2, m − 1) 与 b = ( m − 2,6) 共线且方向相同；当 m = _____ 时， a 与 b 共线且方向相反． 11．若三点 A(1,1) ， B (2,−4) ， C ( x,9) 共线，则 x = ____________．
∠AOB = θ ( 0° ≤ θ ≤ 180° ) 叫做向量 a 与 b 的
．当 θ = 0 时， a 与 b
°
；当 ． 叫
a 与b θ = 180° 时，
； 如果 a 与 b 的夹角是 90°， 我们说 a 与 b 垂直， 记作
（2） 两个向量的数量积的定义： 已知两个非零向量 a 与 b ， 它们的夹角为 θ ， 则 做 a 与 b 的数量积， 记作 a ⋅ b ， 即 a⋅ b ＝
， a 的相反向量是 .
→
；
（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 AB ，注意起点在前，终点在后； （2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 a ， b ， c 等； （3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i ，
→ →
→
→
→
→
j 为基底，则平面内的任一向量 a 可表示为 a = x i + y j ，称
第8章 考情分析
考查内容 2009 年
平面向量的坐标表示
五年考情分析 2010 年 2011 年
理/文第 5 题 （约 2 分） 理第 11 题 文第 12 题 （约 3 分） 理/文第 13 题 理第 17 题 文第 18 题 （约 4 分）
2012 年
理/文第 12 题 （约 1 分） 理/文第 23 题 （1） （约 4 分）
平分线所在直线)； ⑤ OA = OB = OC ⇔ O 是 ΔABC 的外心；
PB、 PC 中 三 终 点 A、B、C 共 线 ⇔ 存 在 实 数 α、β 使 得 （ 4 ） 向 量 PA、
PA = α PB + β PC 且 α + β = 1 .
分节练习
8.1 向量的坐标表示及其运算
巩固基础
1．已知 A( x,2) ， B (5, y − 2) ，若 AB = (4, 6) ，则 x, y 的值分别为_________． 2．已知向量 a = ( 2 x,7) ， b = (6, x + 4) ，若 a = b ，则 x = _________． 3 ．已知平行四边形 ABCD 的顶点 A(−1,−2) 、 B (3,−1) 、 C (5,6) ，则顶点 D 的坐标为 _________． 4．若向量 a = (3,2) ， b = (0,−1) ，则向量 2b − a 的坐标是_________． 5．若 a = ( 2,3) ， b = ( 4,−1 + y ) ，且 a // b ，则 y 等于_________． 6．若 M 为 ΔABC 的重心，则下列各向量中与 AB 共线的是（ A． AB + BC + AC C． AM + BM + CM 7．在矩形 ABCD 中， AB = A． 2 B． 2 3 B． AM + MB + BC D． AM + AM + AM + AC ）
(
)
特别地， PA + PB + PC = 0 ⇔ P 为 ΔABC 的重心；
5
→
③ PA ⋅ PB = PB ⋅ PC = PC ⋅ PA ⇔ P 为 ΔABC 的垂心； ④向量 λ ⎜
⎛ AB AC ⎞ ⎟ ( λ ≠ 0 ) 所在直线过 ΔABC 的内心(是 ∠BAC 的角 + ⎜ AB AC ⎟ ⎝ ⎠
→
→
→
→
→
为向量 a 的坐标，
→
a = ( x, y ) 叫做向量 a 的坐标表示，如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点
坐标相同. 【提醒】 向量的起点不在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标就不相同.
3．实数与向量的积 实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，记作 λ a ，它的长度和方向规定如下： （1）
2 2
→ →
（1）交换律： a + b = b + a ， λ ( μ a ) = (λμ ) a ， a ⋅ b = b ⋅ a ； ( 2 ) 结合律： ⎜ a + b ⎟ + c = a + ⎜ b + c ⎟ ， a − b − c = a − ( b + c ) ； （3）分配律：(λ + μ ) a = λ a + μ a ，λ ( a + b ) = λ a + λ b ，( a + b ) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c . 8. 向量平行(共线)的充要条件 (1) 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是 当 a 与 b 同向时，
→ → → →
． 规定零向量与任一向量的数量积为 0． 若 ．
a = ( x1 , y1 ), b = ( x2 , y2 ) ，则 a⋅ b ＝
→
→ →
（3） b 在 a 上的投影: b cos θ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影 ( θ 是向量 a 与 b 的夹角)．
→ →
（4）向量 a ⋅ b 的数量积的几何意义：
→ → → → → →
b 同向或有 0 ⇔ a + b = a + b ≥ a − b = a − b ； 当 a、 b 反向或有 0 ⇔ a − b = a + b ≥ a − b = a + b ； 当 a、 b 不共线 ⇔ a − b < a ± b < a + b 当 a、
（3）在 ΔABC 中， ① 若
b 作基底有 c = pa + qb ， b = (−1,1) ， c = (3,−2) ， 用a、 则 p = ______， 12． 设 a = ( −1,2) ，
→ → → → → → → → → → → → → →
→
→
→
→
→
→
→
→
(这些和实数比较类似).
A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 )
，
则
其
重
心
的
坐
标
为
⎛ x + x + x y + y + y3 ⎞ G⎜ 1 2 3 , 1 2 ⎟； 3 3 ⎝ ⎠ 1 PA + PB + PC ⇔ G 为 ΔABC 的重心， ② PG = 3
1
本章知识网络
知识梳理
1.理解向量的有关概念 （1）向量的概念：既有 （2）零向量：长度为 是 ； 又有 的量（注意向量和数量的区别） ； 的向量叫零向量，记作： ，注意零向量的方向 ， 给定一个非零向量 a ，a 的单位向量是 ； ，相等向量有传递性； ，规定零向量和任何向量平行；
→ →
（3） 单位向量： （4）相等向量： （5）平行向量（也叫共线向量） ：
→ →
→
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→
→
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→
→ →
→ → →
⎛→ ⎝
→
⎞ ⎠
→
→
⎛→ ⎝
→
⎞ ⎠
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→ →
→ →
→
，其中实数λ是唯一存在的， ；
→
；当 a 与 b 异向时，
(2) 若 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ，则 a / / b ⇔ 9．向量垂直的充要条件
3 ， BC = 1 ，则向量 AB + AD + AC 的长度等于（
C． 3 D． 4
(
)
）
6
综合训练
8．在 ΔABC 中， D 、 E 、 F 分别为边 AB 、 BC 、 CA 的中点，已知 D 点坐标为 (1,2) ，
E 点坐标为 (3,5) ， F 点坐标为 (2,7) ，则点 A 坐标为____________．
2013 年
理第 18 题 （约 4 分） 文第 14 题 （约 4 分）
平面向量的数量 积
平面向量的分解 定理
（约 1 分） 理/文第 23 题 （3） （约 4 分）
向量的坐标表示 向量运算的坐标 表示 理第 21 题 向量平行及向量 垂直的坐标关系 （约 2 分） 文第 ห้องสมุดไป่ตู้0 题 （约 4 分） 向量的度量计算 总分 理约 2 分 文约 4 分 理/文约 9 分 理/文约 9 分 理/文约 10 分 理/文约 4 分 理/文第 23 题 （约 4 分） 理/文第 12 题 （约 3 分） 理/文第 4 题 （约 1 分） 理/文第 16 题 （约 1 分）
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