高中数学竞赛标准讲义：第八章：平面向量
全国高中数学联赛竞赛大纲(修订稿)及全部定理内容
全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容一、平面几何1、数学竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积和面积方法。
2、几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
3、几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。
到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。
三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
4、几何不等式。
5、简单的等周问题。
了解下述定理：在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。
在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。
在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
6、几何中的运动：反射、平移、旋转。
7、复数方法、向量方法。
平面凸集、凸包及应用。
二、代数1、在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。
三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
2、第二数学归纳法。
递归，一阶、二阶递归，特征方程法。
函数迭代，求ｎ次迭代，简单的函数方程。
3、ｎ个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
4、复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。
5、圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。
6、一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
7、简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。
三、立体几何1、多面角，多面角的性质。
三面角、直三面角的基本性质。
2、正多面体，欧拉定理。
3、体积证法。
4、截面，会作截面、表面展开图。
四、平面解析几何1、直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。
2、二元一次不等式表示的区域。
3、三角形的面积公式。
4、圆锥曲线的切线和法线。
5、圆的幂和根轴。
五、其它抽屉原理。
容斤原理。
极端原理。
集合的划分。
全国高中数学联赛竞赛大纲(修订稿)及全部定理内容
全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容一、平面几何1、数学竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积和面积方法。
2、几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
3、几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。
到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。
三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
4、几何不等式。
5、简单的等周问题。
了解下述定理：在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。
在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。
在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
6、几何中的运动：反射、平移、旋转。
7、复数方法、向量方法。
平面凸集、凸包及应用。
二、代数1、在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。
三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
2、第二数学归纳法。
递归，一阶、二阶递归，特征方程法。
函数迭代，求ｎ次迭代，简单的函数方程。
3、ｎ个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
4、复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。
5、圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。
6、一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
7、简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。
三、立体几何1、多面角，多面角的性质。
三面角、直三面角的基本性质。
2、正多面体，欧拉定理。
3、体积证法。
4、截面，会作截面、表面展开图。
四、平面解析几何1、直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。
2、二元一次不等式表示的区域。
3、三角形的面积公式。
4、圆锥曲线的切线和法线。
5、圆的幂和根轴。
五、其它抽屉原理。
容斤原理。
极端原理。
集合的划分。
高中数学竞赛试题汇编五《平面向量》空白讲义
高中数学竞赛试题汇编五《平面向量》1. 在ABC ∆中，BC BA CB CA ⋅=⋅ ，则ABC ∆是 .A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.以上均不对2. 在直角坐标系xoy 中，已知三点(,1),(2,),(3,4)A a B b C ，若向量,OA OB 在OC 上的投影相同，则34a b -= .3. 设,a b 是非零向量，且2a = ，22a b += ，则a b b ++ 的最大值是 .4. 已知()()375a b a b +⊥- ，且()()472a b a b -⊥- ，则a b 与的夹角是 .5. 在ABC ∆中，点O 为BC 的中点,过点O 的直线分别交 直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB mAM = ，AC nAN = ，则m n +的值为 .6. 在ABC ∆中3,5,6AB BC CA ===，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅= .7. 在ABC ∆中，若321AB BC BC CA CA AB ⋅⋅⋅== ，则tan A = .AB CM O N8. 已知O 是ABC ∆的外接圆，8,6AC AB ==，则AO BC ⋅= .9. 在△ABC 中，AB=BC=2，CA=3.①求AB AC ⋅ ；②设△ABC 的内心为O ，求满足AO=pAB+qAC 的实数p 、q 的值.10. 若P 是ABC ∆所在平面内的一点，满足PA PB PC BC --= ，则ABP ABCS S ∆∆= .11. 已知O 是ABC ∆内一点，且432AO AB BC CA =++ ，则ABC OBCS S ∆∆= .12. 若O 是ABC ∆内一点，且1134AO AB AC =+ ，则OAB OBC S S ∆∆= .。
高中数学竞赛讲义
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛〔一试〕所涉及的知识范围不超出教育部2000年【全日制普通高级中学数学教学大纲】中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试〔二试〕与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n 次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
三、高中数学竞赛根底知识第一章 集合与简易逻辑一、根底知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否那么称x 不属于A ，记作A x ∉。
高中数学竞赛讲义(全套)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
高中数学竞赛讲义(全套)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
高中数学竞赛讲义(全套)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
高中数学竞赛讲义(全套)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
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高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试)与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1。
平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点,欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题.几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴.面积方法,复数方法，向量方法,解析几何方法。
2。
代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质,一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式,切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理,多项式的相等，整系数多项式的有理根＊，多项式的插值公式＊。
n次多项式根的个数,根与系数的关系,实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程＊3。
初等数论同余，欧几里得除法,裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数［x］，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理＊.4.组合问题圆排列,有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
高中数学联赛竞赛大纲修订稿及全部定理内容
全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容一、平面几何1、数学竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积和面积方法。
2、几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
3、几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。
到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。
三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
4、几何不等式。
5、简单的等周问题。
了解下述定理：在周长一定的ｎ边形的集合中,正ｎ边形的面积最大。
在周长一定的简单闭曲线的集合中,圆的面积最大。
在面积一定的ｎ边形的集合中,正ｎ边形的周长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中,圆的周长最小。
6、几何中的运动：反射、平移、旋转。
7、复数方法、向量方法。
平面凸集、凸包及应用。
二、代数1、在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期,带绝对值的函数的图像。
三倍角公式,三角形的一些简单的恒等式,三角不等式。
2、第二数学归纳法。
递归,一阶、二阶递归,特征方程法。
函数迭代,求ｎ次迭代,简单的函数方程。
3、ｎ个变元的平均不等式,柯西不等式,排序不等式及应用。
4、复数的指数形式,欧拉公式,棣美弗定理,单位根,单位根的应用。
5、圆排列,有重复的排列与组合,简单的组合恒等式。
6、一元n次方程多项式根的个数,根与系数的关系,实系数方程虚根成对定理。
7、简单的初等数论问题,除初中大纲中所包括的内容外,还应包括无穷递降法,同余,欧几里得除法,非负最小完全剩余类,高斯函数,费马小定理,欧拉函数,孙子定理,格点及其性质。
三、立体几何1、多面角,多面角的性质。
三面角、直三面角的基本性质。
2、正多面体,欧拉定理。
3、体积证法。
4、截面,会作截面、表面展开图。
四、平面解析几何1、直线的法线式,直线的极坐标方程,直线束及其应用。
2、二元一次不等式表示的区域。
3、三角形的面积公式。
4、圆锥曲线的切线和法线。
5、圆的幂和根轴。
五、其它抽屉原理。
容斤原理。
极端原理。
集合的划分。
高中数学竞赛讲义(免费)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
三、高中数学竞赛基础知识第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。
高中数学竞赛向量
高中数学竞赛向量高中数学竞赛专题讲座——向量一、三角函数部分1.在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1)，且C，A sinB都是方程logx=log(4x-4)的根，则△ABC的形状是什么？解：由logb x=logb(4x-4)得：x^2-4x+4=0，所以x1=x2=2，故C=2A，sinB=2sinA，因A+B+C=180°，所以3A+B=180°，因此sinB=sin3A，∴3sinA-4sin3A=2sinA，因为sinA(1-4sin^2A)=0，又sinA≠0，所以sin^2A=1/4，而sinA>0，∴sinA=1/2.因此A=30°,B=90°,C=60°。
故选B。
2.已知函数y=sinx+acosx的图象关于x=5π/3对称，则函数y=asinx+cosx的图象的一条对称轴是什么？3.若三角形的三条高线长分别为12,15,20，则此三角形的形状是什么？4.若a=sinθ+tanθ，b=cosθ+cotθ，则以下诸式中错误的是什么？5.已知△ABC为等腰直角三角形，∠C = 90°，D、E为AB边上的两个点，且点D在AE之间，∠DCE=45°，则以AD、DE、EB为边长构成的三角形的最大角是什么？6.若sinθ-cosθ≥cosθ-sinθ,0≤θ<2π，则角θ的取值范围是什么？7.在△ABC中，tanA=1/2，cosB=1/√5.若△ABC的最长边为1，则最短边的长为多少？9.若sinx+siny=1，则cosx+cosy的取值范围是什么？解：设cosx+cosy=t，那么XXX。
又由sinx+siny=1，所以XXX。
将cos2x+cos2y=1-sin2x-2sinxsiny-sin2y代入得：2cosxcosy=t2+1，即2cos(x-y)=t2+1.由于-1≤cos(x-y)≤1，所以t2≤3，即-3≤t≤3.因此答案是D。
高考数学竞赛平面向量教案讲义
高考数学竞赛平面向量教案讲义一、平面向量的概念1. 向量的定义：在平面直角坐标系中，一个向量可以用一个有序数对(a, b)表示，其中a和b分别是向量在x轴和y轴上的分量。
2. 向量的表示方法：用箭头“→”表示向量，例如→v = (3, 2)。
3. 向量的长度（模）：向量→v的长度等于√(a²+ b²)，表示为|→v|。
4. 向量的方向：向量的方向由其分量的符号确定，正方向为右上方向，负方向为左下方向。
二、向量的加法和减法1. 向量的加法：两个向量→v1 = (a1, b1)和→v2 = (a2, b2)的和表示为→v1 + →v2 = (a1 + a2, b1 + b2)。
2. 向量的减法：两个向量→v1 = (a1, b1)和→v2 = (a2, b2)的差表示为→v1 →v2 = (a1 a2, b1 b2)。
3. 三角形法则：对于任意三个向量→v1, →v2, →v3，有→v1 + →v2 + →v3 = (a1 + a2 + a3, b1 + b2 + b3)。
三、向量的数乘1. 数乘向量：给定向量→v = (a, b)，数k乘以该向量得到k→v = (ka, kb)。
2. 数乘的性质：k(→v1 + →v2) = k→v1 + k→v2，(k1 + k2)→v = k1→v + k2→v。
3. 数乘与向量长度的关系：|k→v| = |k||→v|。
四、向量的数量积（点积）1. 数量积的定义：两个向量→v1 = (a1, b1)和→v2 = (a2, b2)的数量积表示为→v1 ·→v2 = a1a2 + b1b2。
2. 数量积的性质：→v1 ·→v2 = →v2 ·→v1，(k→v1) ·→v2 = k(→v1 ·→v2)，→v1 ·(→v2 + →v3) = →v1 ·→v2 + →v1 ·→v3。
高中数学竞赛讲义(免费)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
高中数学第八章总结知识点
高中数学第八章总结知识点第八章是高中数学课程中的一部分，主要讲解了平面向量的基本概念、向量的加法减法以及数量积的应用。
通过学习本章内容，我们可以加深对向量的理解，掌握向量的运算规则，以及了解向量在几何和物理上的应用。
1. 平面向量的基本概念平面向量是用有序数对(a, b)表示的，也可以表示为向量a。
平面向量有大小和方向，可以进行平移和旋转。
平面向量的大小是其模|a|，方向是与x轴正方向的夹角θ。
2. 向量的加法和减法向量的加法和减法规则是比较简单的，两个向量相加或相减时，只需将它们的对应分量相加或相减即可。
例如，向量a=(a1, a2)和向量b=(b1, b2)相加得到向量c=(a1+b1, a2+b2)。
当然，向量的加法和减法也可以用几何法解释，就是平行四边形法则和三角形法则。
3. 数量积数量积又叫点积，表示为a·b。
数量积的计算方法是a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别是向量a和b的模，θ是向量a和b的夹角。
数量积既可以用向量表示也可以用坐标表示，另外它还有一些有用的性质，比如a·b=0时，a和b垂直；a·b>0时，a和b的夹角小于90°，a·b<0时，a和b的夹角大于90°。
4. 向量的应用向量在几何和物理上有很多应用，比如向量的共线，向量的平行，向量的相等，向量的夹角等等。
这些概念在几何题目中经常会出现，通过学习向量，我们能更好的解题。
总的来说，高中数学第八章主要是向量的介绍和应用。
通过学习这一章的内容，我们能更好的理解和掌握向量的基本概念、运算法则和应用，为之后的学习打下坚实的基础。
2019-2020年高中数学竞赛教案讲义(8)平面向量
2019-2020年高中数学竞赛教案讲义（8）平面向量一、基础知识定义1 既有大小又有方向的量，称为向量。
画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。
向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。
书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。
零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。
定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。
定理1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。
加法和减法都满足交换律和结合律。
定理2 非零向量a, b 共线的充要条件是存在实数0，使得a=f定理3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b 不共线，则对同一平面内任意向是c ，存在唯一一对实数x, y ，使得c=xa+yb ，其中a, b 称为一组基底。
定义3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i, j 作为基底，任取一个向量c ，由定理3可知存在唯一一组实数x, y ，使得c=xi+yi ，则（x, y ）叫做c 坐标。
定义 4 向量的数量积，若非零向量a, b 的夹角为，则a, b 的数量积记作a ·b=|a|·|b|cos=|a|·|b|cos<a, b>，也称内积，其中|b|cos 叫做b 在a 上的投影（注：投影可能为负值）。
定理4 平面向量的坐标运算：若a=(x 1, y 1), b=(x 2, y 2)， 1．a+b=(x 1+x 2, y 1+y 2), a-b=(x 1-x 2, y 1-y 2)， 2 λa=(λx 1, λy 1), a ·(b+c)=a ·b+a ·c ， 3．a ·b=x 1x 2+y 1y 2, cos(a, b)=(a, b0), 4. a//bx 1y 2=x 2y 1, abx1x2+y 1y 2=0.定义5 若点P 是直线P 1P 2上异于p 1，p 2的一点，则存在唯一实数λ，使，λ叫P 分所成的比，若O 为平面内任意一点，则。
(完整版)平面向量全部讲义
第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．例1．若向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量例2．.给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC等价于四边形ABCD为平行四边形；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b等价于|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．④⑤CA2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb例3：化简AC→－BD→＋CD→－AB→得() A.AB→B.DA→C.BC→D．0例4：(1)如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝()A．0B．BE C．AD D．CF(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．巩固练习：1．将4(3a＋2b)－2(b－2a)化简成最简式为______________．2．若|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|，则非零向量OA→，OB→的关系是() A．平行B．重合C．垂直D．不确定3．若菱形ABCD的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝________4．D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD等于()A．－BC＋12BA B．－BC－12BA C．BC－12BA D．BC＋12BA5．若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：①AB＋CD＝BC＋DA；②AC＋BD＝BC＋AD；③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，CA→＝3a，CB→＝2b，求CD→，CE→.DD12巩固练习1。
高中数学竞赛讲义08：平面向量
高中数学竞赛讲义（八）──平面向量一、基础知识定义1 既有大小又有方向的量，称为向量。
画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。
向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。
书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。
零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。
定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。
定理1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。
加法和减法都满足交换律和结合律。
定理2 非零向量a, b共线的充要条件是存在实数0，使得a=f定理3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b不共线，则对同一平面内任意向是c，存在唯一一对实数x, y，使得c=xa+yb，其中a, b称为一组基底。
定义3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底，任取一个向量c，由定理3可知存在唯一一组实数x, y，使得c=xi+yi，则（x, y）叫做c坐标。
定义4 向量的数量积，若非零向量a, b的夹角为，则a, b的数量积记作a·b=|a|·|b|cos=|a|·|b|cos<a,b>，也称内积，其中|b|cos叫做b在a上的投影（注：投影可能为负值）。
定理4 平面向量的坐标运算：若a=(x1, y1), b=(x2, y2)，1．a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2)，2．λa=(λx1, λy1), a·(b+c)=a·b+a·c，3．a·b=x1x2+y1y2, cos(a, b)=(a, b0),4. a//b x1y2=x2y1, a b x1x2+y1y2=0.定义5 若点P是直线P1P2上异于p1，p2的一点，则存在唯一实数λ，使，λ叫P分所成的比，若O为平面内任意一点，则。
(完整版)高中数学平面向量讲义
平面向量（学生专用）专题六平面向量一. 基本知识【1】向量的基本概念与基本运算（1）向量的基本概念：①向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为 0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行③单位向量：模为 1 个单位长度的向量④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量（2）向量的加法uuurruuura r,BCr r uuur b ，则a+b = ABuuuruuur① 0 a a 0a ；②向量加法满足交换律与结合律；uuur uuur uuu uuur uuurAB BC CD L PQ QR AR ，但这时必须“首尾相连”．（3）向量的减法：①相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，③作图法：a b可以表示为从b 的终点指向a的终点的向量（a、b 有共同起点）（4）实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λ a ，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a ；（Ⅱ）当0时，λ a的方向与a 的方向相同；当0时，λa 的方向与a 的方向相反；当0 时，a 0 ，方向是任意的（5）两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线有且只有一个实数，使得b = a（6）平面向量的基本定理：如果e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1, 2使：a 1e1 2e2 ，其中不共线的向量e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2】平面向量的坐标表示平面向量 （学生专用 ）rr r rr 1） 平面向量的坐标表示 ：平面内的任一向量 a 可表示成 a xi yj ，记作 a =（x,y ） 。
2） 平面向量的坐标运算：uuur②若A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则 AB x 2 x 1,y 2 y 1③ 若 a r=(x,y) ，则 a r=( x, y)rx 2, y 2 ，则a//b x 1y 2 x 2y 1 0⑥若 a r b ，则 x 1 x 2 y 1 y 2 0【3】平面向量的数量积（1）两个向量的数量积：r r 已知两个非零向量 a ，它们的夹角为 ，则 a r · b r =︱ a r︱· rr ︱ b ︱ cos 叫做 a r 与数量积（或内积）rr规定 0 a 0r（ 2）向量的投影： ︱ b ︱ cos 为射影rr3）数量积的几何意义： a r ·b 等于 a r 的长度与 b 在a r方向上的投影的乘积 4）向量的模与平方的关系： a r a r a r2 |a r |2（6）平面向量数量积的运算律：y1x12x2y2y12yxra若yx r b ra则xrb ra rR ，称为向量 b r在 a r方向上的投影 投影的绝对值称r r r r 2r 2r 2r 2r a b aab 2ab；ar r r 2 r 2 r rr 2a b b 2a 2ab b5）乘法公式成立：r 2 arr①交换律成立：a r b b a r r r r②对实数的结合律成立：a r b a r b a r b R③分配律成立：a r carr 特别注意：（ 1）结合律不成立： a rb cr a r b c r；rr（ 2）消去律不成立 a r b a r c r 不能得到 b c rr r r r （ 3） a rb =0 不能得到 a r =0 或 b =0（7）两个向量的数量积的坐标运算：r r已知两个向量 a r （ x 1 , y 1）, b （x 2,y 2），则 a r·b =x 1x 2 y 1y 2rr uuur ruuru r（ 8 ） 向 量 的 夹 角 ： 已 知 两 个 非 零 向 量 a 与 b ， 作 OA = a , OB = b , 则 ∠ AOB=0 0rr（001800） 叫 做向 量a与b的 夹 角x 1x 2 y 1y 22 2 2 2x 1 y 1 x 2 y 2r r r（10）两个非零向量垂直的充要条件 ：a ⊥b a ·b ＝O x 1x 2 y 1y 2 0平面向量 数量积的性质 二. 例题分析【模块一】向量的基本运算【例 1】 给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；r r r r uuur uuur ②若 a b ，则a b ③在平行四边形 ABCD 中一定有ABDC ；ur r r ur ur ur r r r r r r ④若 m n,np ，则 m p ； ⑤若 a // b ，b // c ,则 a // cr r r r r r r ⑥任一向量与它的相反下列不相等 . ⑦已知向量 a0，且 a b 0，则 b 0r r r r r r r r r r r r ⑧ a b 的充要条件是 a b 且 a // b ；⑨若 a 与b 方向相同，且 a b ，则 a b ；⑩由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； 其中正确的命题的序号是=cos a,bcos a?当且仅当两个非零向量 a r与b 同方向时， θ=00，当且仅当 a r与b 反方向时θ =1800，同时 0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题r r r （9）垂直 ：如果 a r与b 的夹角为 900则称 a r 与b 垂直，记作 a r⊥b例 2】 已知向量 a,b 夹角为 45 ，且 a 1,2abuur uur r r r r 变式 1】若 a 2， b 3，a b 3求 a b 的值.变式 2】设向量 a ，b 满足| a|=|b |=1 及| 3a-2 b|=3 ，求| 3a+b| 的值【例 3】已知向量 a r 、b r 的夹角为 60o ，|a r | 3，|b r | 2 ，若(3a r 5b r ) (m rab r )，求 m 的 值.例 4】 若向量 a r 1,2 ， b r1, 1 求 2a b 与 a b 的夹角 .a,b 满足 a b a b ，则下列结论一定正确的是A a // bB a bC a【变式 1】设 a , b 是两个非零向量 .A ．若 | a +b |=| a |-| b |, 则 a ⊥ bB ．若 a ⊥b , 则 | a +b |=| a |-| b |C ．若| a +b |=| a |-| b |, 则存在实数 λ,使得 a =λbD ．若存在实数 λ,使得 a =λb ,则| a +b |=| a |-| b |uur10 ；求 b 的变 式 】 设 x,y R, 向 量 ax,1,b 1,y ,c 2, 4 , 且 a c,b//cabA ． 5B ． 10C ． 2 5()D ．10例 5】 已知两个非零向量1) 证明 a b【例 7】设 a r、 b 都是非零向量 ,下列四个条件中 ,使 a |r a| | b r 成立的充分条件是( b|rrrrr r r r r rA ． a bB ． a//bC ． a 2bD ． a//b 且 |a| |b模块二】向量与平面几何ouuur例 1】在△ ABC 中， A 90oAB 1,AC 2 ,设P 、Q 满足 AP变式 2】若平面向量 a,b 满足: 2a b 3; 则agb 的最小值是 ___例 6】 设0, ， a cos ,sin ， b21, 32,22)r 当 2arra 2b 时求角 的uuur AQ uuur1 AC ， uuur uuur R BQ CP2 ，则 = ( )1 2 4A B C D 2 3 3 3uu uruuur uuur例 2】在△ABC 中,AB=2,AC=3, ABgBC = 1 则 BC A ． 3 B ． 7 C ． 2 2D ． 23uuuruuur uuur【变式 1】 若向量 BA2,3 , CA 4,7 , 则 BC （）A ． 2, 4B ． 2,4C ． 6,10D ． 6, 10MA?MBuuur uuurAB ，AQ 1uuu ruuur uuur R BQ CP 3 ，则 = 2 （ ）A1B 1 2C 1 10D 32 222 2例 3】 若等边 ABC 的边 长为 2 3 ， 平面内 一点 M 满足 CM12CB CA , 则uuur 变式 1】已知△ ABC 为等边三角形， AB 2设 P 、Q 满足 APuuur r uuur r r例 4】ABC中, AB边上的高为CD, 若CB a,CA b,a例 5】在平面直角坐标系中uuruOQ ，则点Q 的坐标是A．( 7 2, 2) B．( 7 2, 2)C．( 4 6, 2) D．( 4 6,2)uuur uuur4rra32r1r0,|a r | 1,|b r | 2,则uuru, O(0,0), P(6,8) , 将向量OP 按逆后 , 得向量例 6】在例 7】在平行四边形ABCD中, ∠ A= 3, 边AB、AD的长分别为 2、1. 若M、N分别是边BC、CD上的点,且满足|BM | |CN|,则AM AN 的取值范围是____________|BC | |CD |【例 8】如图,在矩形ABCD 中, AB 2，BC 2，点E为BC的中点,点F在边CD uuur uuur uuur uuur上,若ABgAF 2,则AEgBF 的值是 ____ .ABC中, M是BC的中点 , AM=3, BC=10,则 AB AC=uuur uuur例 9 】已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点 ,则 DE CB 的值为uuur uuur______ ; DE DC 的最大值为 _____例 10】已知直角梯形 ABCD 中， AD // BC , ADC 900 , AD2,BC 1, P 是腰DC 上的动点，则 uuur uuur PA 3PB 的最小值为 ________ 例 11】如图，在VABC 中， AD uuur AB , BCuuur uuur uuur则 ACgAD 3 uuur uuur例 12】 (15) 在四边形 ABCD 中， AB = DC1 uuur uuur BC BC 3 uuur uu 3ur BDuuur uuur则四边形 ABCD的面积是例 13】在VABC 中，若uuur2,3 ,AC 6, 4 ，则VABC面积为【例 14】（2012 年河北二模）uuur 不重合的一个动点，则PAA 2B 0C -9在VABC中，AB 边上的中线 CD=6 ，点P为CD 上（与C,D）uuur uuurPB .PC 的最小值是D -18。
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第八章 平面向量一、基础知识定义1 既有大小又有方向的量，称为向量。
画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。
向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。
书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。
零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。
定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。
定理1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。
加法和减法都满足交换律和结合律。
定理2 非零向量a, b 共线的充要条件是存在实数≠λ0，使得a=.b λ f定理3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b 不共线，则对同一平面内任意向是c ，存在唯一一对实数x, y ，使得c=xa+yb ，其中a, b 称为一组基底。
定义3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i, j 作为基底，任取一个向量c ，由定理3可知存在唯一一组实数x, y ，使得c=xi+yi ，则（x, y ）叫做c 坐标。
定义 4 向量的数量积，若非零向量a, b 的夹角为θ，则a, b 的数量积记作a ·b=|a|·|b|cos θ=|a|·|b|cos<a, b>，也称内积，其中|b|cos θ叫做b 在a 上的投影（注：投影可能为负值）。
定理4 平面向量的坐标运算：若a=(x 1, y 1), b=(x 2, y 2)，1．a+b=(x 1+x 2, y 1+y 2), a-b=(x 1-x 2, y 1-y 2)，2．λa=(λx 1, λy 1), a ·(b+c)=a ·b+a ·c ，3．a ·b=x 1x 2+y 1y 2, cos(a, b)=222221212121y x y x y y x x +⋅++(a, b ≠0),4. a//b ⇔x 1y 2=x 2y 1, a ⊥b ⇔x1x2+y 1y 2=0.定义5 若点P 是直线P 1P 2上异于p 1，p 2的一点，则存在唯一实数λ，使21PP P P λ=，λ叫P 分21P P 所成的比，若O 为平面内任意一点，则λλ++=121OP OP 。
由此可得若P 1，P ，P 2的坐标分别为(x 1, y 1), (x, y), (x 2, y 2)，则..1121212121y y y y x x x x y y y x x x --=--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλλ 定义6 设F 是坐标平面内的一个图形，将F 上所有的点按照向量a=(h, k)的方向，平移|a|=22k h +个单位得到图形'F ，这一过程叫做平移。
设p(x, y)是F 上任意一点，平移到'F 上对应的点为)','('y x p ，则⎩⎨⎧+=+=ky y h x x ''称为平移公式。
定理5 对于任意向量a=(x 1, y 1), b=(x 2, y 2), |a ·b|≤|a|·|b|，并且|a+b|≤|a|+|b|. 【证明】 因为|a|2·|b|2-|a ·b|2=))((22222121y x y x ++-(x 1x 2+y 1y 2)2=(x 1y 2-x 2y 1)2≥0，又|a ·b|≥0, |a|·|b|≥0，所以|a|·|b|≥|a ·b|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.注：本定理的两个结论均可推广。
1）对n 维向量，a=(x 1, x 2,…,x n )，b=(y 1, y 2, …, y n )，同样有|a ·b|≤|a|·|b|，化简即为柯西不等式：≥++++++))((2222122221n n y y y x x x ΛΛ(x 1y 1+x 2y 2+…+x n y n )2≥0，又|a ·b|≥0, |a|·|b|≥0，所以|a|·|b|≥|a ·b|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.注：本定理的两个结论均可推广。
1）对n 维向量，a=(x 1, x 2,…,x n ), b=(y 1, y 2, …, y n )，同样有|a ·b|≤|a|·|b|，化简即为柯西不等式：≥++++++))((2222122221n n y y y x x x ΛΛ(x 1y 1+x 2y 2+…+x n y n )2。
2）对于任意n 个向量，a 1, a 2, …,a n ，有| a 1, a 2, …,a n |≤| a 1|+|a 2|+…+|a n |。
二、方向与例题1．向量定义和运算法则的运用。
例1 设O 是正n 边形A 1A 2…A n 的中心，求证：.21OA OA OA n =+++Λ【证明】 记n OA OA OA +++=Λ21，若≠，则将正n 边形绕中心O 旋转n π2后与原正n 边形重合，所以不变，这不可能，所以.=例2 给定△ABC ，求证：G 是△ABC 重心的充要条件是.=++【证明】必要性。
如图所示，设各边中点分别为D ，E ，F ，延长AD 至P ，使DP=GD ，则.2GP GD AG ==又因为BC 与GP 互相平分，所以BPCG 为平行四边形，所以BG //PC ，所以.= 所以.=++=++充分性。
若=++，延长AG 交BC 于D ，使GP=AG ，连结CP ，则.=因为=++，则=，所以GB //CP ，所以AG 平分BC 。
同理BG 平分CA 。
所以G 为重心。
例 3 在凸四边形ABCD 中，P 和Q 分别为对角线BD 和AC 的中点，求证：AB 2+BC 2+CD 2+DA 2=AC 2+BD 2+4PQ 2。
【证明】 如图所示，结结BQ ，QD 。
因为=+=+,， 所以2222)()(+++=+ =BP PQ DP BP 22222+++·PQ DP PQ ⋅+2 =.2)(22222222PQ DP BP PQ DP BP PQ DP BP ++=⋅++++ ① 又因为,,,=+=+=+同理 222222BQ QC QA BC BA ++=+， ② 222222QD QC QA DA CD ++=+， ③ 由①，②，③可得)(24222222QD BQ QA CD BC BA ++=++ 2222224)22(2PQ BD AC PQ BP AC ++=++=。
得证。
2．证利用定理2证明共线。
例4 △ABC 外心为O ，垂心为H ，重心为G 。
求证：O ，G ，H 为共线，且OG ：GH=1：2。
【证明】 首先32+=+= =)2(31)(31OC OB AO OA AC AB OA +++=++).(31OC OB OA ++= 其次设BO 交外接圆于另一点E ，则连结CE 后得CE .BC ⊥又AH ⊥BC ，所以AH//CE 。
又EA ⊥AB ，CH ⊥AB ，所以AHCE 为平行四边形。
所以,= 所以++=++=+=+=， 所以OH 3=， 所以与OH 共线，所以O ，G ，H 共线。
所以OG ：GH=1：2。
3．利用数量积证明垂直。
例5 给定非零向量a, b. 求证：|a+b|=|a-b|的充要条件是a ⊥b.【证明】|a+b|=|a-b|⇔(a+b)2=(a-b)2⇔a 2+2a ·b+b 2=a 2-2a ·b+b 2⇔a ·b=0⇔a ⊥b. 例6 已知△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，D 为AB 中点，E 为△ACD 重心。
求证：OE ⊥CD 。
【证明】 设c OC b OB a OA ===,,， 则)(21b a +=， .612131)(2131b a c b a c a ++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++= 又c b a -+=)(21， 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⋅c b a b c a 2121613121 c a b a c b a ⋅-⋅+-+=31313112141222 31=a ·(b-c). （因为|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2） 又因为AB=AC ，OB=OC ，所以OA 为BC 的中垂线。
所以a ·(b-c)=0. 所以OE ⊥CD 。
4．向量的坐标运算。
例7 已知四边形ABCD 是正方形，BE//AC ，AC=CE ，EC 的延长线交BA 的延长线于点F ，求证：AF=AE 。
【证明】 如图所示，以CD 所在的直线为x 轴，以C 为原点建立直角坐标系，设正方形边长为1，则A ，B 坐标分别为（-1，1）和（0，1），设E 点的坐标为（x, y ），则=(x, y-1), )1,1(-=AC ，因为//，所以-x-(y-1)=0. 又因为||||AC CE =，所以x 2+y 2=2. 由①，②解得.231,231-=+=y x 所以.324||,231,2332+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=AE AE 设)1,'(x F ，则)1,'(x =。
由和共线得.0231'231=+--x 所以)32('+-=x ，即F )1,32(--，所以2||AF =4+2||32AE =，所以AF=AE 。
三、基础训练题1．以下命题中正确的是__________. ①a=b 的充要条件是|a|=|b|，且a//b ；②(a ·b)·c=(a ·c)·b ；③若a ·b=a ·c ，则b=c ；④若a, b 不共线，则xa+yb=ma+nb 的充要条件是x=m, y=n ；⑤若b a ==,，且a, b 共线，则A ，B ，C ，D 共线；⑥a=(8, 1)在b=(-3,4)上的投影为-4。
2．已知正六边形ABCDEF ，在下列表达式中：①++；②+2；③ +；④-2与，相等的有__________.3．已知a=y-x, b=2x-y, |a|=|b|=1, a ·b=0，则|x|+|y|=__________.4．设s, t 为非零实数，a, b 为单位向量，若|sa+tb|=|ta-sb|，则a 和b 的夹角为__________.5．已知a, b 不共线，=a+kb, =la+b ，则“kl-1=0”是“M ，N ，P 共线”的__________条件.6．在△ABC 中，M 是AC 中点，N 是AB 的三等分点，且NA BN 2=，BM 与CN 交于D ，若BM BD λ=，则λ=__________.7．已知,不共线，点C 分AB 所成的比为2，μλ+=，则=-μλ__________.8．已知a ,==b, a ·b=|a-b|=2，当△AOB 面积最大时，a 与b 的夹角为__________.9．把函数y=2x 2-4x+5的图象按向量a 平移后得到y=2x 2的图象，c=(1, -1), 若b a ⊥，c ·b=4，则b 的坐标为__________.10．将向量a=(2, 1)绕原点按逆时针方向旋转4π得到向量b ，则b 的坐标为__________. 11．在Rt △BAC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，试问与BC 的夹角θ取何值时CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值。