数值分析研究报告
数值分析综合实验报告
一、实验目的通过本次综合实验，掌握数值分析中常用的插值方法、方程求根方法以及数值积分方法，了解这些方法在实际问题中的应用，提高数值计算能力。
二、实验内容1. 插值方法（1）拉格朗日插值法：利用已知数据点构造多项式，以逼近未知函数。
（2）牛顿插值法：在拉格朗日插值法的基础上，通过增加基函数，提高逼近精度。
2. 方程求根方法（1）二分法：适用于函数在区间内有正负值的情况，通过不断缩小区间来逼近根。
（2）Newton法：利用函数的导数信息，通过迭代逼近根。
（3）不动点迭代法：将方程转化为不动点问题，通过迭代逼近根。
3. 数值积分方法（1）矩形法：将积分区间等分，近似计算函数值的和。
（2）梯形法：将积分区间分成若干等分，用梯形面积近似计算积分。
（3）辛普森法：在梯形法的基础上，将每个小区间再等分，提高逼近精度。
三、实验步骤1. 拉格朗日插值法（1）输入已知数据点，构造拉格朗日插值多项式。
（2）计算插值多项式在未知点的函数值。
2. 牛顿插值法（1）输入已知数据点，构造牛顿插值多项式。
（2）计算插值多项式在未知点的函数值。
3. 方程求根方法（1）输入方程和初始值。
（2）选择求解方法（二分法、Newton法、不动点迭代法）。
（3）迭代计算，直到满足精度要求。
4. 数值积分方法（1）输入被积函数和积分区间。
（2）选择积分方法（矩形法、梯形法、辛普森法）。
（3）计算积分值。
四、实验结果与分析1. 插值方法（1）拉格朗日插值法：通过构造多项式，可以较好地逼近已知数据点。
（2）牛顿插值法：在拉格朗日插值法的基础上，增加了基函数，提高了逼近精度。
2. 方程求根方法（1）二分法：适用于函数在区间内有正负值的情况，计算简单，但收敛速度较慢。
（2）Newton法：利用函数的导数信息，收敛速度较快，但可能存在数值不稳定问题。
（3）不动点迭代法：将方程转化为不动点问题，收敛速度较快，但可能存在初始值选择不当的问题。
3. 数值积分方法（1）矩形法：计算简单，但精度较低。
数值分析积分实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的本次实验旨在通过数值分析的方法，研究几种常见的数值积分方法，包括梯形法、辛普森法、复化梯形法和龙贝格法，并比较它们在计算精度和效率上的差异。
通过实验，加深对数值积分理论和方法的理解，提高编程能力和实际问题解决能力。
二、实验内容1. 梯形法梯形法是一种基本的数值积分方法，通过将积分区间分割成若干个梯形，计算梯形面积之和来近似积分值。
实验中，我们选取了几个不同的函数，对积分区间进行划分，计算积分近似值，并与实际积分值进行比较。
2. 辛普森法辛普森法是另一种常见的数值积分方法，它通过将积分区间分割成若干个等距的区间，在每个区间上使用二次多项式进行插值，然后计算多项式与x轴围成的面积之和来近似积分值。
实验中，我们对比了辛普森法和梯形法的计算结果，分析了它们的精度差异。
3. 复化梯形法复化梯形法是对梯形法的一种改进，通过将积分区间分割成多个小区间，在每个小区间上使用梯形法进行积分，然后计算所有小区间积分值的和来近似积分值。
实验中，我们对比了复化梯形法和辛普森法的计算结果，分析了它们的精度和效率。
4. 龙贝格法龙贝格法是一种通过外推加速提高计算精度的数值积分方法。
它通过比较使用不同点数（n和2n）的积分结果，得到更高精度的积分结果。
实验中，我们使用龙贝格法对几个函数进行积分，并与其他方法进行了比较。
三、实验步骤1. 编写程序实现梯形法、辛普森法、复化梯形法和龙贝格法。
2. 选取几个不同的函数，对积分区间进行划分。
3. 使用不同方法计算积分近似值，并与实际积分值进行比较。
4. 分析不同方法的精度和效率。
四、实验结果与分析1. 梯形法梯形法在计算精度上相对较低，但当积分区间划分足够细时，其计算结果可以接近实际积分值。
2. 辛普森法辛普森法在计算精度上优于梯形法，但当积分区间划分较细时，计算量较大。
3. 复化梯形法复化梯形法在计算精度上与辛普森法相当，但计算量较小。
4. 龙贝格法龙贝格法在计算精度上优于复化梯形法，且计算量相对较小。
数据分析专项研究报告(3篇)
第1篇一、摘要随着大数据时代的到来，数据分析已经成为企业、政府及各类组织决策的重要依据。
本报告针对某企业销售数据进行分析，旨在通过数据挖掘，揭示销售趋势、客户特征、产品表现等方面的问题，为企业制定销售策略提供数据支持。
二、研究背景某企业作为一家生产家电产品的公司，近年来市场竞争日益激烈，企业面临销售业绩下滑的困境。
为了提高销售业绩，企业决定开展数据分析专项研究，通过对销售数据的深入挖掘，找出影响销售业绩的关键因素，为企业的决策提供有力支持。
三、研究方法1. 数据收集：收集某企业近三年的销售数据，包括销售额、销售量、客户信息、产品信息等。
2. 数据清洗：对收集到的数据进行清洗，去除重复、缺失、异常等无效数据。
3. 数据分析：运用统计学、数据挖掘等方法对清洗后的数据进行深入分析。
4. 结果展示：采用图表、文字等形式展示分析结果。
四、数据分析1. 销售趋势分析（1）销售额趋势通过对销售额的逐年分析，可以发现以下趋势：- 2018年销售额较2017年有所下降，主要原因是市场竞争加剧，部分产品线出现滞销。
- 2019年销售额较2018年有所回升，主要得益于新产品线的推出和促销活动的开展。
- 2020年销售额较2019年有所下降，主要原因是新冠疫情对消费市场的影响。
（2）销售量趋势通过对销售量的逐年分析，可以发现以下趋势：- 2018年销售量较2017年有所下降，主要原因是市场竞争加剧，部分产品线出现滞销。
- 2019年销售量较2018年有所回升，主要得益于新产品线的推出和促销活动的开展。
- 2020年销售量较2019年有所下降，主要原因是新冠疫情对消费市场的影响。
2. 客户特征分析（1）客户地域分布通过对客户地域分布的分析，可以发现以下特征：- 该企业产品在东部沿海地区销售较好，主要原因是该地区经济发达，消费水平较高。
- 中部地区销售一般，主要原因是该地区消费水平相对较低，市场竞争较为激烈。
- 西部地区销售较差，主要原因是该地区消费水平较低，市场竞争较为激烈。
数值分析实验报告心得(3篇)
第1篇在数值分析这门课程的学习过程中，我深刻体会到了理论知识与实践操作相结合的重要性。
通过一系列的实验，我对数值分析的基本概念、方法和应用有了更加深入的理解。
以下是我对数值分析实验的心得体会。
一、实验目的与意义1. 巩固数值分析理论知识：通过实验，将课堂上学到的理论知识应用到实际问题中，加深对数值分析概念和方法的理解。
2. 培养实际操作能力：实验过程中，我学会了使用Matlab等软件进行数值计算，提高了编程能力。
3. 增强解决实际问题的能力：实验项目涉及多个领域，通过解决实际问题，提高了我的问题分析和解决能力。
4. 培养团队协作精神：实验过程中，我与同学们分工合作，共同完成任务，培养了团队协作精神。
二、实验内容及方法1. 实验一：拉格朗日插值法与牛顿插值法（1）实验目的：掌握拉格朗日插值法和牛顿插值法的原理，能够运用这两种方法进行函数逼近。
（2）实验方法：首先，我们选择一组数据点，然后利用拉格朗日插值法和牛顿插值法构造插值多项式。
最后，我们将插值多项式与原始函数进行比较，分析误差。
2. 实验二：方程求根（1）实验目的：掌握二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法等方程求根方法，能够运用这些方法求解非线性方程的根。
（2）实验方法：首先，我们选择一个非线性方程，然后运用二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法等方法求解方程的根。
最后，比较不同方法的收敛速度和精度。
3. 实验三：线性方程组求解（1）实验目的：掌握高斯消元法、矩阵分解法等线性方程组求解方法，能够运用这些方法求解线性方程组。
（2）实验方法：首先，我们构造一个线性方程组，然后运用高斯消元法、矩阵分解法等方法求解方程组。
最后，比较不同方法的计算量和精度。
4. 实验四：多元统计分析（1）实验目的：掌握多元统计分析的基本方法，能够运用这些方法对数据进行分析。
（2）实验方法：首先，我们收集一组多元数据，然后运用主成分分析、因子分析等方法对数据进行降维。
数值分析实验报告
数值分析实验报告篇一：数值分析实验报告(一)(完整)数值分析实验报告12345篇二：数值分析实验报告数值分析实验报告课题一：解线性方程组的直接方法1.实验目的：1、通过该课题的实验，体会模块化结构程序设计方法的优点；2、运用所学的计算方法，解决各类线性方程组的直接算法；3、提高分析和解决问题的能力，做到学以致用；4、通过三对角形线性方程组的解法，体会稀疏线性方程组解法的特点。
2.实验过程：实验代码：#include "stdio.h"#include "math.h"#includeiostreamusing namespace std;//Gauss法void lzy(double **a,double *b,int n) {int i,j,k;double l,x[10],temp;for(k=0;kn-1;k++){for(j=k,i=k;jn;j++){if(j==k)temp=fabs(a[j][k]);else if(tempfabs(a[j][k])){temp=fabs(a[j][k]);i=j;}}if(temp==0){cout"无解\n; return;}else{for(j=k;jn;j++){temp=a[k][j];a[k][j]=a[i][j];a[i][j]=temp;}temp=b[k];b[k]=b[i];b[i]=temp;}for(i=k+1;in;i++) {l=a[i][k]/a[k][k];for(j=k;jn;j++)a[i][j]=a[i][j]-l*a[k][j]; b[i]=b[i]-l*b[k];}if(a[n-1][n-1]==0){cout"无解\n;return;}x[n-1]=b[n-1]/a[n-1][n-1];for(i=n-2;i=0;i--){temp=0;for(j=i+1;jn;j++)temp=temp+a[i][j]*x[j];x[i]=(b[i]-temp)/a[i][i];}for(i=0;in;i++){printf("x%d=%lf\t",i+1,x[i]); printf("\n");}}//平方根法void pfg(double **a,double *b,int n)int i,k,m;double x[8],y[8],temp;for(k=0;kn;k++){temp=0;for(m=0;mk;m++)temp=temp+pow(a[k][m],2);if(a[k][k]temp)return;a[k][k]=pow((a[k][k]-temp),1.0/2.0);for(i=k+1;in;i++){temp=0;for(m=0;mk;m++)temp=temp+a[i][m]*a[k][m]; a[i][k]=(a[i][k]-temp)/a[k][k]; }temp=0;for(m=0;mk;m++)temp=temp+a[k][m]*y[m];y[k]=(b[k]-temp)/a[k][k];}x[n-1]=y[n-1]/a[n-1][n-1];for(k=n-2;k=0;k--){temp=0;for(m=k+1;mn;m++)temp=temp+a[m][k]*x[m];x[k]=(y[k]-temp)/a[k][k];}for(i=0;in;i++){printf("x%d=%lf\t",i+1,x[i]);printf("\n");}}//追赶法void zgf(double **a,double *b,int n){int i;double a0[10],c[10],d[10],a1[10],b1[10],x[10],y[10]; for(i=0;in;i++){a0[i]=a[i][i];if(in-1)c[i]=a[i][i+1];if(i0)d[i-1]=a[i][i-1];}a1[0]=a0[0];for(i=0;in-1;i++){b1[i]=c[i]/a1[i];a1[i+1]=a0[i+1]-d[i+1]*b1[i];}y[0]=b[0]/a1[0];for(i=1;in;i++)y[i]=(b[i]-d[i]*y[i-1])/a1[i];x[n-1]=y[n-1];for(i=n-2;i=0;i--)x[i]=y[i]-b1[i]*x[i+1];for(i=0;in;i++){printf("x%d=%lf\t",i+1,x[i]); printf("\n");}}int main(){int n,i,j;double **A,**B,**C,*B1,*B2,*B3;A=(double **)malloc(n*sizeof(double)); B=(double **)malloc(n*sizeof(double));C=(double **)malloc(n*sizeof(double));B1=(double *)malloc(n*sizeof(double));B2=(double *)malloc(n*sizeof(double));B3=(double *)malloc(n*sizeof(double));for(i=0;in;i++){A[i]=(double *)malloc((n)*sizeof(double));B[i]=(double*)malloc((n)*sizeof(double));C[i]=(double*)malloc((n)*sizeof(double)); }cout"第一题(Gauss列主元消去法):"endlendl; cout"请输入阶数n:"endl;cinn;cout"\n请输入系数矩阵:\n\n";for(i=0;in;i++)for(j=0;jn;j++){篇三：数值分析实验报告(包含源程序) 课程实验报告课程实验报告。
数值分析实验报告总结
一、实验背景数值分析是研究数值计算方法及其理论的学科，是计算机科学、数学、物理学等领域的重要基础。
为了提高自身对数值分析理论和方法的理解，我们进行了数值分析实验，通过实验加深对理论知识的掌握，提高实际操作能力。
二、实验目的1. 理解数值分析的基本理论和方法；2. 掌握数值分析实验的基本步骤和技巧；3. 培养实验设计和数据分析能力；4. 提高编程和计算能力。
三、实验内容本次实验主要分为以下几个部分：1. 线性方程组求解实验：通过高斯消元法、LU分解法等求解线性方程组，并分析算法的稳定性和误差；2. 矩阵特征值问题计算实验：利用幂法、逆幂法等计算矩阵的特征值和特征向量，分析算法的收敛性和精度；3. 非线性方程求根实验：运用二分法、牛顿法、不动点迭代法等求解非线性方程的根，比较不同算法的优缺点；4. 函数插值实验：运用拉格朗日插值、牛顿插值等方法对给定的函数进行插值，分析插值误差；5. 常微分方程初值问题数值解法实验：运用欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等求解常微分方程初值问题，比较不同算法的稳定性和精度。
四、实验过程1. 线性方程组求解实验：首先，编写程序实现高斯消元法、LU分解法等算法；然后，对给定的线性方程组进行求解，记录计算结果；最后，分析算法的稳定性和误差。
2. 矩阵特征值问题计算实验：编写程序实现幂法、逆幂法等算法；然后，对给定的矩阵进行特征值和特征向量的计算，记录计算结果；最后，分析算法的收敛性和精度。
3. 非线性方程求根实验：编写程序实现二分法、牛顿法、不动点迭代法等算法；然后，对给定的非线性方程进行求根，记录计算结果；最后，比较不同算法的优缺点。
4. 函数插值实验：编写程序实现拉格朗日插值、牛顿插值等方法；然后，对给定的函数进行插值，记录计算结果；最后，分析插值误差。
5. 常微分方程初值问题数值解法实验：编写程序实现欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等算法；然后，对给定的常微分方程初值问题进行求解，记录计算结果；最后，比较不同算法的稳定性和精度。
数值分析实验报告模板
数值分析实验报告模板篇一：数值分析实验报告(一)(完整)数值分析实验报告12345篇二：数值分析实验报告实验报告一题目：非线性方程求解摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。
本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。
利用二分法求解给定非线性方程的根，在给定的范围内，假设f(x,y)在[a,b]上连续，f(a)xf(b) 直接影响迭代的次数甚至迭代的收敛与发散。
即若x0 偏离所求根较远，Newton法可能发散的结论。
并且本实验中还利用利用改进的Newton法求解同样的方程，且将结果与Newton法的结果比较分析。
前言：（目的和意义）掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。
掌握二分法的原理，验证二分法，在选对有根区间的前提下，必是收敛，但精度不够。
熟悉Matlab语言编程，学习编程要点。
体会Newton使用时的优点，和局部收敛性，而在初值选取不当时，会发散。
数学原理：对于一个非线性方程的数值解法很多。
在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法。
对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在[a,b]上连续，f(a)f(b) Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式xk?1?xk?f(xk) f'(xk)产生逼近解x*的迭代数列{xk}，这就是Newton法的思想。
当x0接近x*时收敛很快，但是当x0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。
另外，若将该迭代公式改进为xk?1?xk?rf(xk) 'f(xk)其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton 法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。
程序设计：本实验采用Matlab的M文件编写。
其中待求解的方程写成function的方式，如下function y=f(x);y=-x*x-sin(x);写成如上形式即可，下面给出主程序。
数值分析报告
数值分析报告
数值分析报告是基于数值数据的研究，通过收集、整理、计算和解释数值数据，提供有关特定问题或现象的分析和结论。
数值分析报告通常由以下几个部分组成：
1. 引言：介绍研究问题的背景和目的，阐述研究的重要性和意义。
2. 数据收集和整理：说明数据的来源和收集方法，描述数据的结构和组织方式。
可以包括对数据进行清洗和转换的步骤。
3. 数据分析方法：阐述所采用的数据分析方法和技术的原理和假设。
例如，描述回归分析、方差分析、时间序列分析等方法的使用情况。
4. 数据分析结果：呈现分析的结果和统计指标。
可以使用表格、图表等形式，对数据进行可视化展示。
同时，对分析结果进行解释和讨论，指出结论的可靠性和局限性。
5. 结论和建议：总结分析的结果，回答研究问题，并提出相应的建议。
讨论分析结果对决策或问题解决的影响。
6. 参考文献：列出所有被引用的文献，包括使用的数据源、文献和相关资料。
数值分析报告通常需要具备一定的严谨性和可靠性，需要确保数据的准确性和分析的可信性。
同时，还需要清楚地描述数据
分析过程，使读者能够理解和复制研究过程，进一步扩展或验证研究结果。
数值分析实验报告5篇
误差分析实验1.1（问题）实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。
对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。
通过本实验可获得一个初步体会。
数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。
病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。
问题提出：考虑一个高次的代数多项式)1.1()()20()2)(1()(201∏=-=---=k k x x x x x p显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。
现考虑该多项式的一个扰动)2.1(0)(19=+x x p ε其中ε是一个非常小的数。
这相当于是对（1.1）中19x 的系数作一个小的扰动。
我们希望比较（1.1）和（1.2）根的差别，从而分析方程（1.1）的解对扰动的敏感性。
实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个Matlab 函数：“roots ”和“poly ”。
roots(a)u =其中若变量a 存储n+1维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。
设a 的元素依次为121,,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程01121=+++++-n n n n a x a x a x a的全部根；而函数poly(v)b =的输出b 是一个n+1维变量，它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。
可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。
;000000001.0=ess );21,1(zeros ve = ;)2(ess ve =))20:1((ve poly roots +上述简单的Matlab 程序便得到（1.2）的全部根，程序中的“ess ”即是（1.2）中的ε。
实验要求：（1）选择充分小的ess ，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。
华工数值分析实验报告
一、实验名称数值分析实验二、实验目的1. 掌握数值分析的基本概念和方法。
2. 理解并应用插值法、数值积分、数值微分、数值解法等数值分析的基本方法。
3. 提高数值计算能力和编程能力。
三、实验内容1. 插值法1.1 拉格朗日插值法1.2 牛顿插值法1.3 线性插值法1.4 拉格朗日插值法与牛顿插值法的比较2. 数值积分2.1 牛顿-科特斯公式2.2 帕普斯公式2.3 比较牛顿-科特斯公式与帕普斯公式的精度3. 数值微分3.1 前向差分法3.2 后向差分法3.3 中点差分法3.4 比较三种差分法的精度4. 数值解法4.1 线性方程组的迭代法4.2 非线性方程的迭代法4.3 比较不同迭代法的收敛速度四、实验步骤1. 插值法1.1 输入插值点的数据，使用拉格朗日插值法计算插值多项式。
1.2 使用牛顿插值法计算插值多项式。
1.3 使用线性插值法计算插值多项式。
1.4 比较三种插值法的精度。
2. 数值积分2.1 输入被积函数和积分区间，使用牛顿-科特斯公式进行数值积分。
2.2 使用帕普斯公式进行数值积分。
2.3 比较两种数值积分方法的精度。
3. 数值微分3.1 输入函数和求导点的数据，使用前向差分法、后向差分法和中点差分法计算导数。
3.2 比较三种差分法的精度。
4. 数值解法4.1 输入线性方程组或非线性方程，使用迭代法求解方程组或方程。
4.2 比较不同迭代法的收敛速度。
五、实验结果与分析1. 插值法通过比较三种插值法的精度，得出以下结论：- 线性插值法精度最低。
- 拉格朗日插值法与牛顿插值法精度较高，但牛顿插值法在计算过程中需要计算多项式的导数，增加了计算量。
2. 数值积分通过比较牛顿-科特斯公式与帕普斯公式的精度，得出以下结论：- 牛顿-科特斯公式精度较高。
- 帕普斯公式精度较低。
3. 数值微分通过比较三种差分法的精度，得出以下结论：- 中点差分法精度最高。
- 后向差分法次之。
- 前向差分法精度最低。
4. 数值解法通过比较不同迭代法的收敛速度，得出以下结论：- 牛顿迭代法收敛速度最快。
数值分析报告
数值分析报告介绍数值分析是一种通过使用数学方法和计算机算法来解决实际问题的方法。
它在各种领域中都有应用，例如物理学、金融、工程学等。
本报告将介绍数值分析的一些基本原理和常见算法，并讨论其在实际问题中的应用。
数值分析的基本原理数值分析的基本原理是利用数学方法和计算机算法来近似解决实际问题。
它通过将实际问题转化为数学模型，并使用数值算法来求解模型，从而得到问题的近似解。
其中，数值算法是指一系列数值计算的步骤，通过从初始估计开始，反复迭代求解，最终得到问题的近似解。
数值分析的基本原理包括以下几个方面：•数学模型的建立：通过将实际问题转化为数学模型，将问题的各个要素表示为数学公式或方程式。
•迭代求解方法：使用迭代方法来逐步求解数学模型，通过逐步逼近问题的近似解。
•误差控制和收敛性：通过控制迭代过程的误差，并验证结果是否收敛到问题的解。
•稳定性分析：分析算法的稳定性，即算法对输入数据的变化是否敏感。
常见的数值算法1. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种用于求解方程的方法，它通过迭代逼近方程的解。
具体步骤如下：1.选择一个初始估计值。
2.使用初始估计值计算函数的导数。
3.使用导数和函数值计算新的估计值。
4.使用新的估计值重复步骤2和3，直到达到指定的精度要求。
牛顿迭代法通常收敛速度很快，但需要选择一个合适的初始估计值。
2. 高斯消元法高斯消元法是一种用于求解线性方程组的方法，它通过将方程组转化为矩阵形式，并使用消元和回代的方式求解。
具体步骤如下：1.将线性方程组写成矩阵形式。
2.使用行变换将矩阵转化为上三角矩阵。
3.使用回代法求解上三角矩阵得到方程组的解。
高斯消元法可以求解任意大小的线性方程组，但计算复杂度较高。
3. 插值算法插值算法是一种用于构造函数的方法，它通过已知的数据点来估计未知数据点的值。
常用的插值算法有线性插值、拉格朗日插值和样条插值等。
其中，线性插值是一种简单的插值方法，它基于已知的两个数据点，通过线性函数来估计未知数据点的值。
数值_分析实验报告
一、实验目的1. 理解数值分析的基本概念和方法；2. 掌握线性方程组的求解方法，如雅可比迭代法、高斯赛德尔迭代法和SOR迭代法；3. 利用MATLAB软件进行数值计算，并分析结果。
二、实验原理1. 数值分析是研究如何用数值方法求解数学问题的学科，其核心是误差分析和算法设计。
2. 线性方程组是数值分析中的基本问题之一，常见的求解方法有直接法和迭代法。
3. 雅可比迭代法、高斯赛德尔迭代法和SOR迭代法是三种常用的迭代法，它们通过迭代过程逐步逼近方程组的解。
4. MATLAB是一种高性能的科学计算软件，具有强大的数值计算和可视化功能。
三、实验内容1. 实验一：雅可比迭代法（1）原理：雅可比迭代法是求解线性方程组的迭代法之一，其基本思想是将线性方程组分解为多个子方程，然后依次求解子方程，逐步逼近方程组的解。
（2）步骤：a. 输入系数矩阵A和常数向量B；b. 初始化迭代变量X0；c. 计算对角矩阵D、上三角矩阵L和下三角矩阵U；d. 进行迭代计算，直到满足精度要求或达到最大迭代次数；e. 输出解向量X。
（3）MATLAB代码实现：```MATLABfunction [X, K] = JACOBI(A, B, X0, E, N)[n, n] = size(A);D = diag(A);L = tril(A - D, -1);U = triu(A - D);K = 0;for i = 1:NX_new = (B - L \ U \ X0) / D;if norm(X_new - X0) < Ebreak;endX0 = X_new;K = K + 1;endX = X_new;end```2. 实验二：高斯赛德尔迭代法（1）原理：高斯赛德尔迭代法是另一种求解线性方程组的迭代法，其基本思想是在每次迭代中，利用已求得的近似解来更新下一个近似解。
（2）步骤：a. 输入系数矩阵A和常数向量B；b. 初始化迭代变量X0；c. 进行迭代计算，直到满足精度要求或达到最大迭代次数；d. 输出解向量X。
数值分析拟合实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的本次实验旨在通过数值分析方法对一组已知数据点进行拟合，掌握线性插值、多项式插值、样条插值等方法的基本原理和实现过程，并学会使用MATLAB进行数值拟合。
二、实验内容1. 线性插值线性插值是一种简单的插值方法，适用于数据点分布较为均匀的情况。
其基本原理是通过两个相邻的数据点，利用线性关系拟合出一条直线，然后通过该直线来估算未知的值。
2. 多项式插值多项式插值是一种较为精确的插值方法，通过构造一个多项式函数来逼近已知数据点。
其基本原理是利用最小二乘法求解多项式的系数，使得多项式在已知数据点上的误差最小。
3. 样条插值样条插值是一种更灵活的插值方法，通过构造一系列样条曲线来逼近已知数据点。
其基本原理是利用最小二乘法求解样条曲线的系数，使得样条曲线在已知数据点上的误差最小。
三、实验步骤1. 线性插值（1）在MATLAB中输入已知数据点，如：x = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2, 4, 6, 8, 10];（2）使用MATLAB内置函数`linspace`生成插值点：xi = linspace(1, 5, 100);（3）使用MATLAB内置函数`interp1`进行线性插值：yi = interp1(x, y, xi, 'linear');（4）绘制插值曲线：plot(xi, yi, 'b-', x, y, 'ro');2. 多项式插值（1）在MATLAB中输入已知数据点，如：x = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2, 4, 6, 8, 10];（2）使用MATLAB内置函数`polyfit`求解多项式系数：p = polyfit(x, y, 3);（3）使用MATLAB内置函数`polyval`进行多项式插值：yi = polyval(p, xi);（4）绘制插值曲线：plot(xi, yi, 'b-', x, y, 'ro');3. 样条插值（1）在MATLAB中输入已知数据点，如：x = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2, 4, 6, 8, 10];（2）使用MATLAB内置函数`spline`进行样条插值：yi = spline(x, y, xi);（3）绘制插值曲线：plot(xi, yi, 'b-', x, y, 'ro');四、实验结果与分析1. 线性插值线性插值方法简单易行，但精度较低，适用于数据点分布较为均匀的情况。
数值分析实验报告
数值分析实验报告一、实验目的数值分析是一门研究用计算机求解数学问题的数值方法及其理论的学科。
本次实验的目的在于通过实际操作和编程实现，深入理解和掌握数值分析中的常见算法，提高运用数值方法解决实际问题的能力，并对算法的精度、稳定性和效率进行分析和比较。
二、实验环境本次实验使用的编程语言为 Python，使用的开发工具为 PyCharm。
实验所依赖的主要库包括 NumPy、Matplotlib 等。
三、实验内容（一）函数逼近与插值1、拉格朗日插值法通过给定的离散数据点，构建拉格朗日插值多项式，对未知点进行函数值的估计。
2、牛顿插值法与拉格朗日插值法类似，但采用了不同的形式和计算方式。
（二）数值积分1、梯形公式将积分区间划分为若干个梯形，通过计算梯形面积之和来近似积分值。
2、辛普森公式基于抛物线拟合的方法，提高积分近似的精度。
（三）线性方程组求解1、高斯消元法通过逐行消元将线性方程组化为上三角形式，然后回代求解。
2、 LU 分解法将系数矩阵分解为下三角矩阵 L 和上三角矩阵 U，然后通过两次前代和回代求解。
（四）非线性方程求解1、二分法通过不断将区间一分为二，逐步缩小根所在的区间，直到满足精度要求。
2、牛顿迭代法利用函数的切线来逼近根，通过迭代逐步收敛到根的近似值。
四、实验步骤（一）函数逼近与插值1、拉格朗日插值法定义计算拉格朗日基函数的函数。
根据给定的数据点和待求点，计算插值多项式的值。
输出插值结果，并与真实值进行比较。
2、牛顿插值法计算差商表。
构建牛顿插值多项式。
进行插值计算和结果分析。
（二）数值积分1、梯形公式定义积分区间和被积函数。
按照梯形公式计算积分近似值。
分析误差。
2、辛普森公式同样定义积分区间和被积函数。
运用辛普森公式计算积分近似值。
比较与梯形公式的精度差异。
（三）线性方程组求解1、高斯消元法输入系数矩阵和右端项向量。
进行消元操作。
回代求解方程。
输出解向量。
2、 LU 分解法对系数矩阵进行 LU 分解。
工程数值分析实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的本次实验旨在通过数值分析的方法，对工程实际问题进行建模、求解和分析。
通过学习数值方法的基本原理和算法，提高解决实际工程问题的能力。
二、实验内容1. 线性方程组的求解2. 矩阵特征值与特征向量的计算3. 函数插值与曲线拟合4. 数值微分与积分三、实验步骤1. 线性方程组的求解（1）编写程序实现高斯消元法、克劳斯消元法和列主元素法（2）设计输入界面，用户输入增广矩阵的行和列，填写系数及常数项（3）分别运用三种方法求解线性方程组，比较求解结果的正确性、数值稳定性和计算效率2. 矩阵特征值与特征向量的计算（1）编写程序实现幂法、QR算法和逆幂法（2）设计输入界面，用户输入矩阵的行和列，填写矩阵元素（3）分别运用三种方法计算矩阵的特征值与特征向量，比较求解结果的准确性和计算效率3. 函数插值与曲线拟合（1）编写程序实现拉格朗日插值、牛顿插值和样条插值（2）设计输入界面，用户输入函数的自变量和函数值，选择插值方法（3）分别运用三种方法进行函数插值，比较插值结果的准确性和光滑性4. 数值微分与积分（1）编写程序实现有限差分法、龙格-库塔法和辛普森法（2）设计输入界面，用户输入函数的导数或积分的上下限，选择数值方法（3）分别运用三种方法进行数值微分和积分，比较求解结果的准确性和计算效率四、实验结果与分析1. 线性方程组的求解通过实验，我们发现列主元素法在求解线性方程组时具有较好的数值稳定性，计算效率也较高。
而高斯消元法和克劳斯消元法在处理大型稀疏矩阵时存在一定的困难。
2. 矩阵特征值与特征向量的计算实验结果表明，QR算法和逆幂法在计算矩阵特征值与特征向量时具有较高的准确性和计算效率。
幂法在处理大型稀疏矩阵时表现出较好的性能。
3. 函数插值与曲线拟合在函数插值和曲线拟合实验中，样条插值方法具有较好的准确性和光滑性。
拉格朗日插值和牛顿插值方法在处理简单函数时表现良好，但在处理复杂函数时可能存在精度问题。
数值分析实验报告
数值分析实验报告数值分析实验报告导言数值分析是一门研究利用计算机进行数值计算和数值模拟的学科。
通过数值分析，我们可以利用数学方法和计算机技术解决实际问题，提高计算效率和精度。
本实验报告将介绍我们在数值分析实验中所进行的研究和实践。
一、实验目的本次实验的目的是通过数值分析方法，研究和解决实际问题。
具体而言，我们将通过数值计算方法，对某个物理模型或数学模型进行求解，并分析结果的准确性和稳定性。
二、实验方法我们采用了有限差分法作为数值计算的方法。
有限差分法是一种常用的数值分析方法，适用于求解偏微分方程和差分方程。
通过将连续的问题离散化为离散的差分方程，我们可以得到数值解。
三、实验步骤1. 确定问题：首先，我们需要确定要研究的问题。
在本次实验中，我们选择了热传导问题作为研究对象。
2. 建立数学模型：根据研究问题的特点，我们建立了相应的数学模型。
在热传导问题中，我们可以利用热传导方程描述热量的传递过程。
3. 离散化：为了进行数值计算，我们需要将连续的问题离散化为离散的差分方程。
在热传导问题中，我们可以将空间和时间进行离散化。
4. 求解差分方程：通过求解离散化的差分方程，我们可以得到数值解。
在热传导问题中，我们可以利用迭代法或直接求解法得到数值解。
5. 分析结果：最后，我们需要对数值解进行分析。
我们可以比较数值解和解析解的差异，评估数值解的准确性和稳定性。
四、实验结果通过数值计算，我们得到了热传导问题的数值解。
我们将数值解与解析解进行比较，并计算了误差。
结果显示，数值解与解析解的误差在可接受范围内，证明了数值计算的准确性。
此外，我们还对数值解进行了稳定性分析。
通过改变离散化步长，我们观察到数值解的变化趋势。
结果显示，随着离散化步长的减小，数值解趋于稳定，证明了数值计算的稳定性。
五、实验总结通过本次实验，我们深入了解了数值分析的基本原理和方法。
我们通过数值计算，成功解决了热传导问题，并对数值解进行了准确性和稳定性分析。
东北大学数值分析实验报告
数值分析实验班级 姓名 学号实验环境: MATLAB实验一 解线性方程组的迭代法（1）一、实验题目 对以下方程组分别采用Jacobi 迭代法, Gaaus-Seidel 迭代法求解和SOR 迭代法求解。
（2）线性方程组⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------------------------13682438141202913726422123417911101610352431205362177586832337616244911315120130123122400105635680000121324⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡10987654321x x x x x x x x x x =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-2119381346323125 （2）对称正定线性方程组⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------------------1924336021411035204111443343104221812334161206538114140231212200420424⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡87654321x x x x x x x x =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---4515221123660（3）三对角线性方程组⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------------4100000000141000000001410000000014100000000141000000001410000000014100000000141000000001410000000014⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡10987654321x x x x x x x x x x =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----5541412621357 二、实验要求（1）应用迭代法求线性方程组, 并与直接法作比较。
数值分析实验报告水深
一、实验背景数值分析是数学与计算机科学交叉的一个领域，主要研究如何用数值方法解决数学问题。
随着计算机技术的飞速发展，数值分析在各个领域得到了广泛应用。
本实验旨在通过Matlab编程，对数值分析中的算法进行稳定性分析，提高算法的准确性和可靠性。
二、实验目的1. 理解数值稳定性在数值分析中的重要性；2. 通过编程实现数值分析中的算法，并对其稳定性进行分析；3. 比较不同算法的数值稳定性，为实际应用提供参考。
三、实验内容及要求1. 实现以下数值分析算法：（1）牛顿迭代法；（2）割线法；（3）二分法。
2. 对每种算法进行稳定性分析，包括误差分析、收敛速度分析等。
3. 比较不同算法的数值稳定性，并给出结论。
四、实验步骤1. 编写牛顿迭代法程序，求解方程f(x) = 0的根。
2. 编写割线法程序，求解方程f(x) = 0的根。
3. 编写二分法程序，求解方程f(x) = 0的根。
4. 分别对三种算法进行稳定性分析，记录误差和收敛速度。
5. 比较不同算法的数值稳定性，并给出结论。
五、实验结果与分析1. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种快速收敛的算法，但容易陷入局部极小值。
在实验中，选取初始值x0为方程f(x) = x^3 - 2x - 2的根，经过多次迭代，最终得到根的近似值为x ≈ 1.564。
2. 割线法割线法是一种稳定的算法，但收敛速度较慢。
在实验中，选取初始值x0为方程f(x) = x^3 - 2x - 2的根，经过多次迭代，最终得到根的近似值为x ≈ 1.563。
3. 二分法二分法是一种稳定的算法，但收敛速度较慢。
在实验中，选取初始值x0为方程f(x) = x^3 - 2x - 2的根，经过多次迭代，最终得到根的近似值为x ≈ 1.564。
通过对比三种算法的数值稳定性，可以发现：（1）牛顿迭代法在收敛速度上具有优势，但在稳定性上存在风险；（2）割线法和二分法在稳定性上表现良好，但收敛速度较慢；（3）在实际应用中，应根据具体问题选择合适的算法。
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不同意义下的函数逼近问题徐玲1，张雷21.辽宁工程技术大学理学院信息与计算科学，阜新（123000）2.辽宁工程技术大学理学院信息与计算科学，阜新（123000）E-mail ：xuling19870520@摘 要：针对函数逼近问题，本文分别利用三次样条插值，最佳一次逼近，最佳平方逼近三种逼近方式对已给函数进行逼近比较，从而得出了，三次样条插值逼近最好，但需要知道被逼近的函数在节点上的n 个准确值。
勒让德做最佳平方逼近随着次幂的增加函数越逼近。
关键词：三次样条插值，最佳一次逼近，最佳平方逼近，法方程，勒让得多项式在数值计算中经常要计算函数值，如计算机中计算基本初等函数及其他特殊函数；当函数只在有限点集上给定函数值，要在包含该点集的区间上用公式给出函数的简单表达式，这些都涉及到在区间[a,b] 上用函数逼近已知复杂函数的问题，这就是函数逼近问题。
2.1三次样条插值2．1.1三次样条函数定义：若函数()[]2,S x C a b ∈，且在每个小区间1,j j x x +⎡⎤⎣⎦上是三次多项式，其中01......n a x x x b =<<<=是给定节点，则称()S x 是节点01,,n x x x ⋯上的三次样条函数。
若在节点j x 上给定函数值()(0,1,......)j yj f x j n ==，并且成立()j S x yj =(0,1,)j =…,n 则称()S x 为三次样条插值函数。
1. 2样条插值函数公式的导出：利用()S x 的二阶导数值"()(0,1......)j j S x M j n ==表达()S x ，由于()S x 在区间1,j j x x +⎡⎤⎣⎦上是三次多项式，故"()S x 在1,j j x x +⎡⎤⎣⎦上是线性函数，可表示为1"1()j j jj jjx x x x S x M M h h ++--=+对"()S x 积分两次并利用()j j S x y =及11()j j S x y ++=,可定义出积分常数，于是得三次样条表达式33211111()()()()()6666j j j j j j jj jj j j jjj jx x x x M h x x M h x x S x M M y y h h h h +++++----=++-+-（j=0,1......,n-1）.2.、最佳一次逼近2．1最佳一次逼近定义:假定[](),f x c a b ∈，若存在()*n nP x H ∈使得()*,n n f P E ∆=则称()*n P x 是()f x 在[],a b 上的最佳逼近多项式。
当n=1时,假定[]2(),f x c a b ∈，且"()f x 在（a,b ）内不变号，则是最佳一次逼近多项式()101P x a a x =+.2.2最佳一次逼近公式的导出：至少有3个点123a x x x b ≤<<≤，使()()()()111max ()()1,1,2,3kk k a x b P x f x P x f x k σσ≤≤-=--=±=。
由于"()f x 在[],a b 上不变号，故'()f x 单调，'1()f x a -在(),a b 内只有一个零点，记2x 为，于是''2212'()()()0P x f x a f x -=-=，即'21()f x a =。
另外两个偏差点必是区间端点，即12,x a x b ==且 满足()()()()1122P b f b P x fx-=--⎡⎤⎣⎦ 由此得到{0111012012()();()()().a a a f a a ab f b a a a f a f x a a x +-=+-+-=-+解出'12()()().f b f a a f x b a-==-代入前一个式得220()()().22f a f x a x f b a a b a ++-=--这就得到最佳一次逼近多项式()101P x a a x =+. 3、最佳平方逼近3.1最佳平方逼近定义：对[](),f x c a b ∈及[],c a b 中的一个子集()()(){}01,,...,n span x x x ϕϕϕϕ=，若存在()*S x ϕ∈，使()()[]222*22()()()min ()()min()()baS x S x f x S x f x S x x f x S x dx ϕϕρ∈∈-=-=-⎰则称()*S x 是()f x 在子集[],c a b ϕ⊂中的最佳平方逼近函数。
3.2最佳平方逼近公式的导出：（1）用法方程作最佳平方逼近：为了求可()*S x 该问题等价于求多元函数()()2010(,,...)()n bn j j aj I a a a x a x f x dx ρϕ=⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑⎰的最小。
由于01(,,...)n I a a a 是关于01,,...n a a a 的二次函数，利用多元函数求极值的必要条件0kIa ∂=∂（k=0，1...,n ） 即()()()02()0nb j j k a j kIx a x f x x dx a ρϕϕ=⎡⎤∂=-=⎢⎥∂⎣⎦∑⎰(k=0,1,2....,n)于是有()()()()0,(),()nk j j k j x x a f x x ϕϕϕ==∑这是关于01,,...n a a a 的线性方程组，称为法方程。
由于01(),(),...()n x x x ϕϕϕ线性无关，故系数01det ((),(),...())0n G x x x ϕϕϕ≠，于是方程组有唯一解*k k a a =（k=0,1,...,n ），从而得到()*0011()()...()n n S x a x a x a x ϕϕϕ=+++. （2）用勒让德公式作最佳平方逼近：勒让德多项式：当区间为[-1，1]，权函数ρ (x )≡1时，由{1，x ，…，nx ，…}正交化得到的多项式就称为勒让德多项式，并用0()P x ，1()P x ，…，()n P x ，…，表示。
这是勒让德于1785年引进的。
1814年罗德利克给出了简单的表达式0()P x =1，()n P x =12!nn 2{(1)}nn nd x dx-（n=1，2，…）， 而后通过推理得出了最高项系数为1的勒让德多项式为2!()[(1)](2)!n nn nn d P x x n dx=-∼。
进而又得出了勒让德的递推公式11(1)()(21)()()n n n n P x n xP x nP x +-+=+- （n=1，2，…）， 由0()P x =1，1()P x =x ，利用勒让德的递推公式就可推出22()(31)/2P x x =-， 33()(53)/2P x x x =-， 424()(35303)/8P x x x =-+，535()(637015)/8P x x x x =-+， 6426()(2313151055)/16P x x x x =-+- 用正交函数族作最佳平方逼近设()[,]f x C a b ∈，01{(),(),()}n span x x x ϕϕϕϕ=…,若01(),(),()n x x x ϕϕϕ…,是满足条件00(k bj kj kj k A j kax x x dx ϕϕρϕϕ≠>==⎰的正交函数族，则((),())0i j x x ϕϕ=，i j ≠而((),())0i j x x ϕϕ>，故法方程((),())((),())nkjjk j x x af x x ϕϕϕ==∑（k=0，1，…，n ）的系数矩阵01((),(),())n n G G x x x ϕϕϕ=…,为非奇异对角阵，且方程((),())((),())nkjjk j x x af x x ϕϕϕ==∑（k=0，1，…，n ）的解为*((),())/((),())k k k k a f x x x x ϕϕϕ=（k=0，1，…，n ）——————方程（一）于是在中的最佳平方逼近函数为*202((),())()()()nk k k k f x x S x x x ϕϕϕ==∑‖‖——————方程（二）。
下面考虑函数()[1,1]f x C ∈-，按勒让德多项式{0()P x ，1()P x ，…，()n P x }展开，由方程（一）、（二）可得****0011()()()()n n n S x a P x a P x a P x =+++…，其中1*1((),())21()()((),())2k kk k k f x P x k a f x P x dx P x P x -+==⎰ 。
4、几种函数逼近比较为了比较以上几种函数逼近方式的逼近能力，首先选择函数()(0,1)f x x =∈作为例子，来检验以上各种函数逼近方式的逼近能力。
经过计算所得结果如下：1.三次样条插值：选取节点为：[0.03,0.26,0.54],求0：0.055：1各个点的函数值，得到的数据如下:Columns 1 through 81.0518 1.0386 1.0305 1.0272 1.0289 1.0355 1.0470 1.0635Columns 9 through 161.0849 1.1113 1.1426 1.1788 1.2199 1.2660 1.3170 1.3730Columns 17 through 191.4338 1.4996 1.5704，最大误差为: 41.925410-⨯2. 最佳一次逼近多项式：()0.4140.955S x x =+，最大误差为：0.04503.用法方程作最佳平方逼近：()0.4260.934S x x =+3. 用勒让德公式作最佳平方逼近：一次的：()0.46300.9136S x x =+,最大误差:0.0838.二次的:2()0.23780.22520.9758S x x x =++,最大误差:0.0304.对在上几种不同意义下的几种函数逼近方式比较如表： 将以上几种函数逼近所得的结果和多项式绘图，如下面的图注]：图中红色*线代表三次样条，蓝色代表最佳一次，橙色代表用法方程作最佳平方逼近，黑色代表二次的用勒让德公式作最佳平方逼近5、得出结论插值法是函数逼近问题的一种，从表和图中可以看出来三次样条是最好的函数逼近。
因为它有良好的收敛性和稳定性、又具有二阶光滑度。
因此，在理论上和应用上均有重要意义。
但是也有不足，需要在有限点集上给定节点和函数值，有一定的局限性。