辽宁吉林黑龙江3省中考数学试题分类解析汇编 专题11 圆
2022年中考数学真题分类汇编：圆类几何证明题(含答案)
2022年中考数学真题汇编圆类几何证明题1.(2022·湖南省郴州市)如图，在△ABC中，AB=AC.以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．2.(1)求证：直线PE是⊙O的切线；3.(2)若⊙O的半径为6，∠P=30°，求CE的长．4.(2022·广西壮族自治区贵港市)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边的中∠BDC．点，点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，∠FAC=125.(1)求证：AF是⊙O的切线；6.(2)若BC=6，sinB=4，求⊙O的半径及OD的长．57.(2022·山东省烟台市)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=45°．8.(1)请用尺规作出⊙O的切线AD(保留作图痕迹，不写作法)；9.(2)在(1)的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．10.(2022·山东省聊城市)如图，点O是△ABC的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F，∠AOD=∠EOD．11.(1)连接AF，求证：AF是⊙O的切线；12.(2)若FC=10，AC=6，求FD的长．13.(2022·辽宁省营口市)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．14.(1)求证：∠D=∠EBC；15.(2)若CD=2BC，AE=3，求⊙O的半径．16.(2022·湖南省张家界市)如图，四边形ABCD内接于圆O，AB是直径，点C是BD⏜的中点，延长AD交BC的延长线于点E．17.(1)求证：CE=CD；18.(2)若AB=3，BC=√3，求AD的长．19.(2022·辽宁省盘锦市)如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=45°，连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，过点C作CE//AD与BA的延长线交于点E．20.(1)求证：CE与⊙O相切；21.(2)若AD=4，∠D=60°，求线段AB，BC的长．22.(2022·贵州省铜仁市)如图，D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D的切线DE交AB的延长线于点E，过点B作BC⊥DE交AD的延长线于点C，垂足为点F．23.(1)求证：AB=CB；24.(2)若AB=18，sinA=1，求EF的长．325.(2022·辽宁省铁岭市)如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过OA上的点P作PD⊥AC，交CB的延长线于点D，交AB于点E，点F为DE的中点，连接BF．26.(1)求证：BF与⊙O相切；27.(2)若AP=OP，cosA=4，AP=4，求BF的长．528.(2022·四川省广安市)如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC=∠BAD．29.(1)求证：CD是⊙O的切线．30.(2)若tan∠BED=2，AC=9，求⊙O的半径．331.32.(2022·内蒙古自治区呼和浩特市)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交线段CA的延长线于点E，连接BE．33.(1)求证：BD=CD；34.(2)若tanC=1，BD=4，求AE．235.(2022·北京市)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD．36.(1)求证：∠BOD=2∠A；37.(2)连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F.若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．38.(2022·广西壮族自治区百色市)如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点M，作AD⊥MC，垂足为D，已知AC平分∠MAD．39.(1)求证：MC是⊙O的切线；40.(2)若AB=BM=4，求tan∠MAC的值．41.(2022·山东省临沂市)如图，AB是⊙O的切线，B为切点，直线AO交⊙O于C，D两点，连接BC，BD.过圆心O作BC的平行线，分别交AB的延长线、⊙O及BD于点E，F，G．42.(1)求证：∠D=∠E；43.(2)若F是OE的中点，⊙O的半径为3，求阴影部分的面积．44.(2022·辽宁省)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，▱ODEF的顶点O，D在斜边AB上，顶点E，F分别在边BC，AC上，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O恰好经过点D和点E．45.(1)求证：BC与⊙O相切；46.(2)若sin∠BAC=3，CE=6，求OF的长．547.(2022·湖北省恩施土家族苗族自治州)如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交⊙O于点D、E，交AB于点C．48.(1)求证：∠ADE=∠PAE．49.(2)若∠ADE=30°，求证：AE=PE．50.(3)若PE=4，CD=6，求CE的长．51.(2022·内蒙古自治区赤峰市)如图，已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O外一点，AC=BC，连接OC，DF是AC的垂直平分线，交OC于点F，垂足为点E，连接AD、CD，且∠DCA=∠OCA．52.(1)求证：AD是⊙O的切线；53.(2)若CD=6，OF=4，求cos∠DAC的值．54.(2022·湖北省潜江市)如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为AB的中点，连接CE交BD于点F，延长CE交⊙O于点G，连接BG．55.(1)求证：FB2=FE⋅FG；56.(2)若AB=6，求FB和EG的长．57.(2022·贵州省毕节市)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F．58.(1)求证：BF=BD；59.(2)若CF=1，tan∠EDB=2，求⊙O的直径．60.(2022·贵州省黔东南苗族侗族自治州)(1)请在图1中作出△ABC的外接圆⊙O(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；61.(2)如图2，⊙O是△ABC的外接圆，AE是⊙O的直径，点B是CE⏜的中点，过点B的切线与AC的延长线交于点D．62.①求证：BD⊥AD；63.②若AC=6，tan∠ABC=3，求⊙O的半径．464.65.(2022·山东省威海市)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E．66.(1)若AB=AC，求证：∠ADB=∠ADE；67.(2)若BC=3，⊙O的半径为2，求sin∠BAC．68.(2022·江苏省无锡市)如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点(点A、C除外)，BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．69.(1)求证：△CED∽△BAD；70.(2)当DC=2AD时，求CE的长．71.(2022·陕西省)如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P．72.(1)求证：∠CAB=∠APB；73.(2)若⊙O的半径r=5，AC=8，求线段PD的长．74.(2022·新建生产建设兵团)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC=CD，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E．75.(1)求证：∠ABC=∠CAD；76.(2)求证：BE⊥CE；77.(3)若AC=4，BC=3，求DB的长．78.(2022·江苏省扬州市)如图，AB为⊙O的弦，OC⊥OA交AB于点P，交过点B的直线于点C，且CB=CP．79.(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；80.(2)若sinA=√5，OA=8，求CB的长．5参考答案1.(1)连接OD，根据AB=AC，OB=OD，得∠ACB=∠ODB，从而OD//AC，由DE⊥AC，即可得PE⊥OD，故PE是⊙O的切线；(2)连接AD，连接OD，由DE⊥AC，∠P=30°，得∠PAE=60°，又AB=AC，可得△ABC 是等边三角形，即可得BC=AB=12，∠C=60°，而AB是⊙O的直径，得∠ADB=90°，BC=6，在Rt△CDE中，即得CE的长是3．可得BD=CD=12本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线，等腰三角形性质及应用，含特殊角的直角三角形三边关系等，解题的关键是判定△ABC是等边三角形．2.(1)作OH⊥FA，垂足为H，连接OE，利用直角三角形斜边上中线的性质得AD=CD，再通过导角得出AC是∠FAB的平分线，再利用角平分线的性质可得OH=OE，从而证明结论；(2)根据BC=6，sinB=4，可得AC=8，AB=10，设⊙O的半径为r，则OC=OE=r，5利用Rt△AOE∽Rt△ABC，可得r的值，再利用勾股定理求出OD的长．本题主要考查了圆的切线的性质和判定，直角三角形的性质，三角函数，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．3.(1)过点A作AD⊥AO即可；(2)连接OB，OC.证明∠ACB=75°，利用三角形内角和定理求出∠CAB，推出∠BOC=120°，求出CH可得结论．本题考查作图−复杂作图，三角形的外接圆，切线的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．4.(1)根据SAS证△AOF≌△EOF，得出∠OAF=∠OEF=90°，即可得出结论；(2)根据勾股定理求出AF，证△OEC∽△FAC，设圆O的半径为r，根据线段比例关系列方程求出r，利用勾股定理求出OF，最后根据FD=OF−OD求出即可．本题主要考查切线的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．5.(1)根据切线的性质可得∠DAO=90°，从而可得∠D+∠ABD=90°，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BEC=90°，从而可得∠ACB+∠EBC=90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠ACB=∠ABC，从而利用等角的余角相等即可解答；(2)根据已知可得BD=3BC，然后利用(1)的结论可得△DAB∽△BEC，从而利用相似三角形的性质可得AB=3EC，然后根据AB=AC，进行计算即可解答．本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．6.(1)连接AC，通过证明△ACE≌△ACB，利用全等三角形的性质分析推理；(2)通过证明△EDC∽△EBA，利用相似三角形的性质分析计算．本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，理解相关性质定理，正确添加辅助线是解题关键．7.(1)连接OC，根据圆周角定理得∠AOC=90°，再根据AD//EC，可得∠OCE=90°，从而证明结论；(2)过点A作AF⊥EC交EC于F，由AD是圆O的直径，得∠ABD=90°，又AD=4，∠D=60°，即得AB=√3BD=2√3，根据∠ABC=45°，知△ABF是等腰直角三角形，AF=BF=√2AB=√6，又△AOC是等腰直角三角形，OA=OC=2，得AC=2√2，故CF=2√AC2−AF2=√2，从而BC=BF+CF=√6+√2．本题主要考查了圆周角定理，切线的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，作辅助线构造特殊的直角三角形是解题的关键．8.(1)连接OD，则OD⊥DE，利用BC⊥DE，可得OD//BC，通过证明得出∠A=∠C，结论得证；(2)连接BD，在Rt△ABD中，利用sinA=1求得线段BD的长；在Rt△BDF中，利用3sin∠A=sin∠FDB，解直角三角形可得结论．本题主要考查了圆的切线的性质，垂径定理，圆周角定理，三角形相似的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的判定与性质．连接过切点的半径和直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．9.(1)连接OB，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABC=90°，从而可得∠ABD=90°，AD，然后利用等腰三角形的进而利用直角三角形三角形斜边上的中线可得BF=EF=12性质可得∠FEB=∠FBE，从而可得∠FBE=∠AEP，最后根据垂直定义可得∠EPA=90°，从而可得∠A+∠AEP=90°，再利用等腰三角形的性质可得∠A=∠OBA，从而可得∠OBA+∠FBE=90°，进而可得∠OBF=90°，即可解答；(2)在Rt△AEP中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，从而利用勾股定理求出PE的长，然后利用同角的余角相等可得∠AEP=∠C，从而可证△APE∽△DPC，进而利用相似三角形的性质可求出DP的长，最后求出DE的长，即可解答．本题考查了解直角三角形，切线的判定与性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，直线与圆的位置关系，熟练掌握解直角三角形，以及切线的判定与性质是解题的关键．10.(1)连接OD，由圆周角定理得出∠ADB=90°，证出OD⊥CD，由切线的判定可得出结论；(2)证明△BDC∽△DAC，由相似三角形的性质得出CDAC =BCCD=BDDA=23，由比例线段求出CD和BC的长，可求出AB的长，则可得出答案．本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．11.(1)连接AD，利用直径所对的圆周角是直角可得∠ADB=90°，然后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答；(2)利用(1)的结论可得BD=DC=4，BC=8，然后在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而利用勾股定理求出AC的长，最后证明△CDA∽△CEB，利用相似三角形的性质求出CE的长，进行计算即可解答．本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，以及解直角三角形是解题的关键．12.(1)连接AD，首先利用垂径定理得BC⏜=BD⏜，知∠CAB=∠BAD，再利用同弧所对的圆心角等于圆周角的一半可得结论；(2)连接OC，首先由点F为AC的中点，可得AD=CD，则∠ADF=∠CDF，再利用圆的性质，可说明∠CDF=∠OCF，∠CAB=∠CDE，从而得出∠OCD+∠DCE=90°，从而证明结论．本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．13.(1)根据垂直定义可得∠D=90°，然后利用等腰三角形和角平分线的性质可证OC//DA，从而利用平行线的性质可得∠OCM=90°，即可解答；(2)先在Rt△OCM中，利用勾股定理求出MC的长，然后证明A字模型相似三角形△MCO ∽△MDA，从而利用相似三角形的性质可求出AD，CD的长，进而在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出tan∠DAC的值，即可解答．本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．14.(1)连接OB，由切线的性质得出∠E+∠BOE=90°，由圆周角定理得出∠D+∠DCB= 90°，证出∠BOE=∠OCB，则可得出结论；(2)求出∠BOG=60°，由三角形面积公式及扇形的面积公式可得出答案．本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，圆周角定理，扇形的面积公式，熟练掌握切线的性质是解题的关键．15.(1)连接OE，利用平行四边形的性质和圆的性质可得四边形AOEF是平行四边形，则OE//AC，从而得出∠OEB=90°，从而证明结论；(2)过点F作FH⊥OA于点H，根据sin∠CFE=sin∠CAB=35，可得EF的长，由OA=OE，得▱AOEF是菱形，则AF=AO=EF=10，从而得出FH和AH的长，进而求出OF的长．本题主要考查了圆的切线的判定，平行四边形的判定与性质，三角函数的定义，勾股定理等知识，熟练运用相等角的三角函数值相等是解题的关键．16.(1)连接OA，利用切线的性质定理，圆周角定理，同圆的半径相等，等腰三角形的性质和等角的余角相等解答即可；(2)利用(1)的结论，直径所对的圆周角为直角，三角形的外角的性质和等腰三角形的判定定理解答即可；(3)CE=x，则DE=CD+CE=6+x，OA=OE=6+x2，OC=OE−CE=6−x2，OP=OE+PE=14+x2，利用相似三角形的判定与性质得出比例式即可求得结论．本题主要考查了圆的切线的性质，切线长定理，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，连接OA是解决此类问题常添加的辅助线．17.(1)利用等腰三角形的三线合一，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可；(2)利用全等三角形的判定与性质得到CF=CD=6，利用相似三角形的判定与性质求得线段AC，再利用直角三角形的边角关系定理在Rt△AOC中，求得cos∠OCA，则结论可得．本题主要考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，灵活应用等量代换是解题的关键．18.(1)利用相似三角形的判定与性质解答即可；(2)连接OE，利用平行线分线段成比例定理求得FB；利用相交弦定理求EG即可．本题主要考查了正方形的性质，圆周角定理，垂径定理及其推论，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，相交弦定理，灵活运用上述定理及性质是解题的关键．19.(1)连接OE，利用圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，同圆的半径相等和等腰三角形的判定定理解答即可；(2)连接BE，利用直径所对的圆周角为直角，直角三角形的边角关系定理和相似三角形的判定与性质解答即可．本题主要考查了圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．相似三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，连接经过切点的半径和直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．20.(1)利用尺规作图分别作出AB、AC的垂直平分线交于点O，以O为圆心、OA为半径作圆即可；(2)①连接OB，根据切线的性质得到OB⊥CD，证明OB//AD，根据平行线的性质证明结论；②连接EC，根据圆周角定理得到∠AEC=∠ABC，根据正切的定义求出EC，根据勾股定理求出AE，得到答案．本题考查的是切线的性质、圆周角定理、解直角三角形，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．21.(1)根据圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质即可求证；(2)连接CO并延长交⊙O于点F，连接BF，根据圆周角定理得出∠FBC=90°，∠F=∠BAC，解直角三角形即可得解．此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键．22.(1)由对顶角的性质，圆周角定理得出∠CDE=∠BDA，∠A=∠E，即可证明△CED∽△BAD；(2)过点D作DF⊥EC于点F，由等边三角形的性质得出∠A=60°，AC=AB=6，由DC=2AD，得出AD=2，DC=4，由相似三角形的性质得ECDE =ABAD=62=3，得出EC=3DE，由含30°角的直角三角形的性质得出DE=2EF，设EF=x，则DE=2x，DF=√3x，EC=6x，进而得出FC=5x，利用勾股定理得出一元二次方程(√3x)2+ (5x)2=42，解方程求出x的值，即可求出EC的长度．本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识是解决问题的关键．23.(1)根据平行线的判定和切线的性质解答即可；(2)通过添加辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理和相似三角形的判定和性质解答即可．本题主要考查了切线的性质定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握这些性质定理是解题的关键．24.(1)利用等腰三角形的性质可得∠CAD=∠ADC，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠ABC=∠ADC，即可解答；(2)利用切线的性质可得∠OCE=90°，利用圆内接四边形对角互补以及平角定义可得∠CAD=∠CBE，再利用(1)的结论可得∠OCB=∠CBE，然后可证OC//BE，最后利用平行线的性质可得∠E=90°，即可解答；(3)根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，从而在Rt△ABC中，利用勾股定理求出BA的长，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CAB=∠CDB，进而可证△ACB∽△DEC，然后利用相似三角形的性质可求出DE的长，最后再利用(2)的结论可证△ACB∽△CEB，利用相似三角形的性质可求出BE的长，进行计算即可解答．本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及圆周角定理是解题的关键．25.(1)连接OB，由等腰三角形的性质得出∠A=∠OBA，∠CPB=∠CBP，结合对顶角的性质得出∠APO=∠CBP，由垂直的性质得出∠A+∠APO=90°，进而得出∠OBA+∠CBP=90°，即可得出直线BC与⊙O相切；(2)由sinA=√5，设OP=√5x，则AP=5x，由勾股定理得出方程(√5x)2+82=(5x)2，5=4，再利用勾股定理得出BC2+82=解方程求出x的值，进而得出OP=√5×4√55(BC+4)2，即可求出CB的长．本题考查了切线的判定，勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握等腰三角形的性质，切线的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，一元二次方程的解法是解决问题的关键．。
辽宁省2019年、2020年中考数学试题分类汇编(11)——圆(含答案)
2019年、2020年辽宁省数学中考试题分类（11）——圆一．圆周角定理（共4小题）1．（2020•阜新）如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若∠ABC＝38°，则锐角∠BDC的度数为（）A．57°B．52°C．38°D．26°2．（2020•营口）如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（）A．110°B．130°C．140°D．160°3．（2019•营口）如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC的度数是（）A．20°B．70°C．30°D．90°̂的中点，BD交OC于4．（2019•辽阳）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是AC点E，∠AOC＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝．二．三角形的外接圆与外心（共3小题）5．（2020•鞍山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为2cm，若BC＝2cm，则∠A的度数为（）A．30°B．25°C．15°D．10°̂的长为．6．（2020•锦州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝30°，AC＝6，则AC7．（2019•盘锦）如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，连接BD，半径OE⊥BC，连接EA，EA⊥BD于点F．若OD＝2，则BC＝．三．直线与圆的位置关系（共2小题）8．（2020•丹东）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，连接BD，∠CBD的平分线交⊙O于点E，交AC于点F，且AF＝AB．（1）判断BC所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若tan∠FBC=13，DF＝2，求⊙O的半径．9．（2019•抚顺）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点O在△ABC的内部，⊙O 经过B，C两点，交AB于点D，连接CO并延长交AB于点G，以GD，GC为邻边作▱GDEC．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若点B是DBĈ的中点，⊙O的半径为2，求BĈ的长．四．切线的性质（共6小题）10．（2019•阜新）如图，CB为⊙O的切线，点B为切点，CO的延长线交⊙O于点A，若∠A＝25°，则∠C的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°11．（2020•大连）四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AD＝CD．（1）如图1，求证∠ABC＝2∠ACD；（2）过点D作⊙O的切线，交BC延长线于点P（如图2）．若tan∠CAB=512，BC＝1，求PD的长．12．（2020•鞍山）如图，AB是⊙O的直径，点C，点D在⊙O上，AĈ=CD̂，AD与BC相交于点E，AF与⊙O相切于点A，与BC延长线相交于点F．（1）求证：AE＝AF．（2）若EF＝12，sin∠ABF=35，求⊙O的半径．13．（2019•营口）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为点E，以AE为直径的⊙O与边CD相切于点F，连接BF交⊙O于点G，连接EG．（1）求证：CD＝AD+CE．（2）若AD＝4CE，求tan∠EGF的值．14．（2019•沈阳）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，直线MN与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥MN于点D．（1）求证：∠ABC＝∠CBD；（2）若BC＝4√5，CD＝4，则⊙O的半径是．15．（2019•大连）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过点A的切线与CD的延长线相交于点P．且∠APC＝∠BCP（1）求证：∠BAC＝2∠ACD；（2）过图1中的点D作DE⊥AC，垂足为E（如图2），当BC＝6，AE＝2时，求⊙O的半径．五．切线的判定与性质（共11小题）16．（2020•葫芦岛）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，AB＝BC，连接BD，过点D的直线与CA的延长线相交于点E，且∠EDA＝∠ACD．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）若AD＝6，CD＝8，求BD的长．17．（2020•沈阳）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点O为BC边上一点，以点O为圆心，OB长为半径的圆与边AB相交于点D，连接DC，当DC为⊙O的切线时．（1）求证：DC＝AC；（2）若DC＝DB，⊙O的半径为1，请直接写出DC的长为．18．（2020•营口）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与线段AC交于点D．（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）若tan A=34，AD＝2，求BO的长．19．（2020•辽阳）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．（1）求证：DE与⊙A相切；（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．20．（2019•朝阳）如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB 交⊙O于点H，E是BC上的一点，且BE＝BF，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若BF＝2，DH=√5，求⊙O的半径．21．（2019•鞍山）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，其中∠FDE ＝∠DCE．（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）若D是AC的中点，∠A＝30°，BC＝4，求DF的长．22．（2019•盘锦）如图，△ABC内接于⊙O，AD与BC是⊙O的直径，延长线段AC至点G，使AG＝AD，连接DG交⊙O于点E，EF∥AB交AG于点F．（1）求证：EF与⊙O相切．（2）若EF＝2√3，AC＝4，求扇形OAC的面积．̂=BN̂，弦MN交AB 23．（2019•锦州）如图，M，N是以AB为直径的⊙O上的点，且AN于点C，BM平分∠ABD，MF⊥BD于点F．（1）求证：MF是⊙O的切线；（2）若CN＝3，BN＝4，求CM的长．24．（2019•葫芦岛）如图，点M是矩形ABCD的边AD延长线上一点，以AM为直径的⊙O 交矩形对角线AC于点F，在线段CD上取一点E，连接EF，使EC＝EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若cos∠CAD=35，AF＝6，MD＝2，求FC的长．25．（2019•辽阳）如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使∠EAC＝∠EDA．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若CE＝AE＝2√3，求阴影部分的面积．26．（2019•本溪）如图，点P为正方形ABCD的对角线AC上的一点，连接BP并延长交CD于点E，交AD的延长线于点F，⊙O是△DEF的外接圆，连接DP．（1）求证：DP是⊙O的切线；（2）若tan∠PDC=12，正方形ABCD的边长为4，求⊙O的半径和线段OP的长．六．正多边形和圆（共3小题）27．（2020•阜新）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形OA i B i∁i D i E i，则正六边形OA i B i∁i D i E i（i＝2020）的顶点∁i的坐标是（）A．（1，−√3）B．（1，√3）C．（1，﹣2）D．（2，1）28．（2020•葫芦岛）如图，以AB为边，在AB的同侧分别作正五边形ABCDE和等边△ABF，连接FE，FC，则∠EF A的度数是．29．（2019•锦州）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，边长AB＝2，则扇形AOB的面积为．七．弧长的计算（共4小题）30．（2020•盘锦）如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，点E 为线段OB 上的一点，OE ：EB ＝1：√3，连接DE 并延长交CB 的延长线于点F ，连接OF 交⊙O 于点G ，若BF ＝2√3，则BĜ的长是（ ）A ．π3B ．π2C ．2π3D ．3π431．（2020•沈阳）如图，在矩形ABCD 中，AB =√3，BC ＝2，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧交边BC 于点E ，连接AE ，则DÊ的长为（ ）A ．4π3B ．πC ．2π3D ．π332．（2019•鞍山）如图，AC 是⊙O 的直径，B ，D 是⊙O 上的点，若⊙O 的半径为3，∠ADB ＝30°，则BĈ的长为 ．33．（2019•铁岭）如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠A ＝60°，∠C ＝70°，OB ＝9，则AB̂的长为 ．八．扇形面积的计算（共2小题）34．（2020•朝阳）如图，点A ，B ，C 是⊙O 上的点，连接AB ，AC ，BC ，且∠ACB ＝15°，过点O 作OD ∥AB 交⊙O 于点D ，连接AD ，BD ，已知⊙O 半径为2，则图中阴影面积为 ．35．（2019•抚顺）如图，直线l 1的解析式是y =√33x ，直线l 2的解析式是y =√3x ，点A 1在l 1上，A 1的横坐标为32，作A 1B 1⊥l 1交l 2于点B 1，点B 2在l 2上，以B 1A 1，B 1B 2为邻边在直线l 1，l 2间作菱形A 1B 1B 2C 1，分别以点A 1，B 2为圆心，以A 1B 1为半径画弧得扇形B 1A 1C 1和扇形B 1B 2C 1，记扇形B 1A 1C 1与扇形B 1B 2C 1重叠部分的面积为S 1；延长B 2C 1交l 1于点A 2，点B 3在l 2上，以B 2A 2，B 2B 3为邻边在l 1，l 2间作菱形A 2B 2B 3C 2，分别以点A 2，B 3为圆心，以A 2B 2为半径画弧得扇形B 2A 2C 2和扇形B 2B 3C 2，记扇形B 2A 2C 2与扇形B 2B 3C 2重叠部分的面积为S 2………按照此规律继续作下去，则S n ＝ ．（用含有正整数n 的式子表示）九．圆锥的计算（共2小题）36．（2020•营口）一个圆锥的底面半径为3，高为4，则此圆锥的侧面积为．37．（2019•营口）圆锥侧面展开图的圆心角的度数为216°，母线长为5，该圆锥的底面半径为．一十．圆的综合题（共2小题）38．（2020•盘锦）如图，BC是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，AD交BC于点E，连接AB，CD，过点E作EF⊥AB，垂足为F，∠AEF＝∠D．（1）求证：AD⊥BC；（2）点G在BC的延长线上，连接AG，∠DAG＝2∠D．①求证：AG与⊙O相切；②当AFBF =25，CE＝4时，直接写出CG的长．39．（2019•丹东）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，以AD为直径的⊙O 与边BC相切于点E，与边AC相交于点G，且AĜ=EĜ，连接GO并延长交⊙O于点F，连接BF．（1）求证：①AO＝AG．②BF是⊙O的切线．（2）若BD＝6，求图形中阴影部分的面积．2019年、2020年辽宁省数学中考试题分类（11）——圆参考答案与试题解析一．圆周角定理（共4小题）1．【解答】解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝38°，∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝52°，∴∠BDC＝∠BAC＝52°．故选：B．2．【解答】解：如图，连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°，∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝180°﹣50°＝130°．故选：B．3．【解答】解：连接AC，如图，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵∠ACB＝∠ADB＝70°，∴∠ABC＝90°﹣70°＝20°．故选：A．4．【解答】解：连接OB．∵AB̂=BĈ，∴∠AOB＝∠BOC＝50°，∴∠BDC=12∠BOC＝25°，∵∠OED＝∠ECD+∠CDB，∠ECD＝35°，∴∠OED＝60°，故答案为60°．二．三角形的外接圆与外心（共3小题）5．【解答】解：连接OB和OC，∵圆O半径为2，BC＝2，∴OB＝OC＝BC，∴△OBC为等边三角形，∴∠BOC＝60°，∴∠A=12∠BOC＝30°，故选：A ．6．【解答】解：连接OC ，OA ．∵∠AOC ＝2∠ABC ，∠ABC ＝30°，∴∠AOC ＝60°，∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形，∴OA ＝OC ＝AC ＝6，∴AC ̂的长=60⋅π⋅6180=2π， 故答案为2π．7．【解答】解：∵OD ⊥AC ，∴AD ＝DC ，∵BO ＝CO ，∴AB ＝2OD ＝2×2＝4，∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°，∵OE ⊥BC ，∴∠BOE ＝∠COE ＝90°，∴BÊ=EC ̂， ∴∠BAE ＝∠CAE =12∠BAC =12×90°＝45°， ∵EA ⊥BD ，∴∠ABD ＝∠ADB ＝45°，∴AD ＝AB ＝4，∴DC ＝AD ＝4，∴AC＝8，∴BC=√AB2+AC2=√42+82=4√5．故答案为：4√5．三．直线与圆的位置关系（共2小题）8．【解答】解：（1）BC所在直线与⊙O相切；理由：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB，∵BF平分∠DBC，∴∠DBF＝∠CBF，∴∠ABD+∠DBF＝∠CBF+∠C，∴∠ABD＝∠C，∵∠A+∠ABD＝90°，∴∠A+∠C＝90°，∴∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）∵BF平分∠DBC，∴∠DBF＝∠CBF，∴tan∠FBC＝tan∠DBF=DFBD=13，∵DF＝2，∴BD＝6，设AB＝AF＝x，∴AD＝x﹣2，∵AB2＝AD2+BD2，∴x2＝（x﹣2）2+62，解得：x＝10，∴AB＝10，∴⊙O 的半径为5．9．【解答】解：（1）DE 是⊙O 的切线； 理由：连接OD ，∵∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，∴∠ABC ＝45°，∴∠COD ＝2∠ABC ＝90°，∵四边形GDEC 是平行四边形，∴DE ∥CG ，∴∠EDO +∠COD ＝180°，∴∠EDO ＝90°，∴OD ⊥DE ，∴DE 是⊙O 的切线；（2）连接OB ，∵点B 是DBĈ的中点， ∴BĈ=BD ̂， ∴∠BOC ＝∠BOD ，∵∠BOC +∠BOD +∠COD ＝360°，∴∠COB ＝∠BOD ＝135°，∴BC ̂的长=135⋅π×2180=32π．四．切线的性质（共6小题）10．【解答】解：如图：连接OB，∵∠A＝25°，∴∠COB＝2∠A＝2×25°＝50°，∵BC与⊙O相切于点B，∴∠OBC＝90°，∴∠C＝90°﹣∠BOC＝90°﹣50°＝40°．故选：D．11．【解答】（1）证明：∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠ACD，∴∠ADC+2∠ACD＝180°，又∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝2∠ACD；（2）解：连接OD交AC于点E，∵PD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥DP ，∴∠ODP ＝90°，又∵AD̂=CD ̂， ∴OD ⊥AC ，AE ＝EC ，∴∠DEC ＝90°，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠ECP ＝90°，∴四边形DECP 为矩形，∴DP ＝EC ，∵tan ∠CAB =512，BC ＝1，∴CB AC =1AC =512，∴AC =125， ∴EC =12AC =65，∴DP =65．12．【解答】（1）证明：∵AF 与⊙O 相切于点A ， ∴F A ⊥AB ，∴∠F AB ＝90°，∴∠F +∠B ＝90°，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠CAE +∠CEA ＝90°，∵AĈ=CD ̂， ∴∠CAE ＝∠D ，∴∠D +∠CEA ＝90°，∵∠D ＝∠B ，∴∠B +∠CEA ＝90°，∴∠F ＝∠CEA ，∴AE ＝AF ．（2）解：∵AE ＝AF ，∠ACB ＝90°，∴CF ＝CE =12EF ＝6，∵∠ABF ＝∠D ＝∠CAE ，∴sin ∠ABF ＝sin ∠CAE =35，∴CE AE =6AE =35， ∴AE ＝10，∴AC =√AE 2−CE 2=√102−62=8，∵sin ∠ABC =AC AB =8AB =35， ∴AB =403， ∴OA =12AB =203． 即⊙O 的半径为203．13．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∵AE ⊥BC ，∴AD ⊥OA ，∵AO 是⊙O 的半径，∴AD 是⊙O 的切线，又∵DF 是⊙O 的切线，∴AD ＝DF ，同理可得CE ＝CF ，∵CD ＝DF +CF ，∴CD ＝AD +CE ．（2）解：连接OD ，AF 相交于点M ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC．∵AD＝4CE，∴设CE＝t，则AD＝4t，∴BE＝3t，AB＝CD＝5t，∴在Rt△ABE中，AE=√(5t)2−(3t)2=4t，∴OA＝OE＝2t，∵DA，DF是⊙O的两条切线，∴∠ODA＝∠ODF，∵DA＝DF，∠ODA＝∠ODF，∴AF⊥OD，∴在Rt△OAD中，tan∠ODA=AOAD=2t4t=12，∵∠OAD＝∠AMD＝90°，∴∠EAF＝∠ODA，∵EF̂=EF̂，∴∠EGF＝∠EAF，∴∠ODA＝∠EGF，∴tan∠EGF=1 2．14．【解答】（1）证明：连接OC，∵MN为⊙O的切线，∴OC⊥MN，∵BD⊥MN，∴OC∥BD，∴∠CBD＝∠BCO．又∵OC＝OB，∴∠BCO ＝∠ABC ，∴∠CBD ＝∠ABC ．；（2）解：连接AC ，在Rt △BCD 中，BC ＝4√5，CD ＝4，∴BD =√BC 2−CD 2=8，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠ACB ＝∠CDB ＝90°，∵∠ABC ＝∠CBD ，∴△ABC ∽△CBD ，∴AB BC =CB BD ，即4√5=4√58， ∴AB ＝10，∴⊙O 的半径是5，故答案为5．15．【解答】（1）证明：作DF ⊥BC 于F ，连接DB ，∵AP 是⊙O 的切线，∴∠P AC ＝90°，即∠P +∠ACP ＝90°，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC ＝90°，即∠PCA +∠DAC ＝90°，∴∠P ＝∠DAC ＝∠DBC ，∵∠APC ＝∠BCP ，∴∠DBC ＝∠DCB ，∴DB ＝DC ， ∵DF ⊥BC ，∴DF 是BC 的垂直平分线，∴DF 经过点O ，∵OD ＝OC ，∴∠ODC ＝∠OCD ，∵∠BDC ＝2∠ODC ，∴∠BAC ＝∠BDC ＝2∠ODC ＝2∠OCD ；（2）解：∵DF 经过点O ，DF ⊥BC ，∴FC =12BC ＝3，在△DEC 和△CFD 中，{∠DCE =∠FDC∠DEC =∠CFD DC =CD，∴△DEC ≌△CFD （AAS ）∴DE ＝FC ＝3，∵∠ADC ＝90°，DE ⊥AC ，∴DE 2＝AE •EC ，则EC =DE 2AE =92， ∴AC ＝2+92=132，∴⊙O 的半径为134．五．切线的判定与性质（共11小题）16．【解答】（1）证明：连接OD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵AC是直径，∴∠ADC＝90°，∵∠EDA＝∠ACD，∴∠ADO+∠ODC＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是半径，∴直线DE是⊙O的切线．（2）解法一：过点A作AF⊥BD于点F，则∠AFB＝∠AFD＝90°，∵AC是直径，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∵在Rt△ACD中，AD＝6，CD＝8，∴AC2＝AD2+CD2＝62+82＝100，∴AC＝10，∵在Rt△ABC中，AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∵sin∠ACB=AB AC，∴AB=sin45°⋅AC=5√2，∵∠ADB＝∠ACB＝45°，∵在Rt△ADF中，AD＝6，∵sin∠ADF=AF AD，∴AF=sin45°⋅AD=3√2，∴DF=AF=3√2，在Rt△ABF中，BF2=AB2−AF2=(5√2)2−(3√2)2=32，∴BF=4√2，∴BD=BF+DF=7√2．解法二：过点B作BH⊥BD交DC延长线于点H．∴∠DBH＝90°，∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∵∠ABD＝90°﹣∠DBC，∠CBH＝90°﹣∠DBC，∴∠ABD＝∠CBH，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BCD+∠BCH＝180°，∴∠BAD＝∠BCH，∵AB＝CB，∴△ABD≌△CBH（ASA），∴AD＝CH，BD＝BH，∵AD＝6，CD＝8，∴DH＝CD+CH＝14，在Rt△BDH中，∵BD2＝DH2﹣BH2，BD＝BH，则BD2＝98．∴BD=7√2．17．【解答】证明：（1）如图，连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OD，∴∠ODC＝90°，∴∠BDO+∠ADC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠A＝∠ADC，∴CD＝AC；（2）∵DC＝DB，∴∠DCB＝∠DBC，∴∠DCB＝∠DBC＝∠BDO，∵∠DCB+∠DBC+∠BDO+∠ODC＝180°，∴∠DCB＝∠DBC＝∠BDO＝30°，∴DC =√3OD =√3，故答案为：√3． 18．【解答】 （1）证明：过O 作OH ⊥AB 于H ，∵∠ACB ＝90°，∴OC ⊥BC ，∵BO 为△ABC 的角平分线，OH ⊥AB ，∴OH ＝OC ，即OH 为⊙O 的半径，∵OH ⊥AB ，∴AB 为⊙O 的切线；（2）解：设⊙O 的半径为3x ，则OH ＝OD ＝OC ＝3x ，在Rt △AOH 中，∵tan A =34，∴OH AH =34， ∴3xAH =34， ∴AH ＝4x ，∴AO =√OH 2+AH 2=√(3x)2+(4x)2=5x ，∵AD ＝2，∴AO ＝OD +AD ＝3x +2，∴3x +2＝5x ，∴x ＝1，∴OA ＝3x +2＝5，OH ＝OD ＝OC ＝3x ＝3，∴AC ＝OA +OC ＝5+3＝8，在Rt △ABC 中，∵tan A =BCAC ，∴BC ＝AC •tan A ＝8×34=6， ∴OB =√OC 2+BC 2=√32+62=3√5．19．【解答】（1）证明：连接AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABC，∴∠DAE＝∠ABC，∴△AED≌△BAC（SAS），∴∠DEA＝∠CAB，∵∠CAB＝90°，∴∠DEA＝90°，∴DE⊥AE，∵AE是⊙A的半径，∴DE与⊙A相切；（2）解：∵∠ABC＝60°，AB＝AE＝4，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝BE，∠EAB＝60°，∵∠CAB＝90°，∴∠CAE＝90°﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，∠ACB＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，∴∠CAE＝∠ACB，∴AE＝CE，∴CE＝BE，∴S△ABC=12AB•AC=12×4×4√3=8√3，∴S△ACE=12S△ABC=12×8√3=4√3，∵∠CAE＝30°，AE＝4，∴S扇形AEF=30π×AE2360=30π×42360=4π3，∴S阴影＝S△ACE﹣S扇形AEF＝4√3−4π3．20．【解答】（1）证明：如图1，连接DF，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C，∵BF＝BE，∴AB﹣BF＝BC﹣BE，即AF＝CE，∴△DAF≌△DCE（SAS），∴∠DF A＝∠DEC，∵AD是⊙O的直径，∴∠DF A＝90°，∴∠DEC＝90°∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接AH ，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠AHD ＝∠DF A ＝90°，∴∠DFB ＝90°，∵AD ＝AB ，DH =√5，∴DB ＝2DH ＝2√5，在Rt △ADF 和Rt △BDF 中，∵DF 2＝AD 2﹣AF 2，DF 2＝BD 2﹣BF 2，∴AD 2﹣AF 2＝DB 2﹣BF 2，∴AD 2﹣（AD ﹣BF ）2＝DB 2﹣BF 2，∴AD 2−(AD −2)2=(2√5)2−22，∴AD ＝5．∴⊙O 的半径为52． 21．【解答】解：（1）∵∠ACB ＝90°，点B ，D 在⊙O 上， ∴BD 是⊙O 的直径，∠BCE ＝∠BDE ，∵∠FDE ＝∠DCE ，∠BCE +∠DCE ＝∠ACB ＝90°，∴∠BDE +∠FDE ＝90°，即∠BDF ＝90°，∴DF ⊥BD ，又∵BD 是⊙O 的直径，∴DF 是⊙O 的切线．（2）如图，∵∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝4，∴AB＝2BC＝2×4＝8，∴AC=√AB2−BC2=√82−42=4√3，∵点D是AC的中点，∴AD=CD=12AC=2√3，∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB＝90°，∴∠DEA＝180°﹣∠DEB＝90°，∴DE=12AD=12×2√3=√3，在Rt△BCD中，BD=√BC2+CD2=√42+(2√3)2=2√7，在Rt△BED中，BE=√BD2−DE2=√(2√7)2−(√3)2=5，∵∠FDE＝∠DCE，∠DCE＝∠DBE，∴∠FDE＝∠DBE，∵∠DEF＝∠BED＝90°，∴△FDE∽△DBE，∴DFBD =DEBE，即2√7=√35，∴DF=2√21 5．22．【解答】（1）证明：如图1，连接OE，∵OD＝OE，∴∠D＝∠OED，∵AD＝AG，∴∠D＝∠G，∴∠OED＝∠G，∴OE∥AG，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵EF∥AB，∴∠BAF+∠AFE＝180°，∴∠AFE＝90°，∵OE∥AG，∴∠OEF＝180°﹣∠AFE＝90°，∴OE⊥EF，∴EF与⊙O相切；（2）解：如图2，连接OE，过点O作OH⊥AC于点H，∵AC＝4，∴CH=12AC=2，∵∠OHF＝∠HFE＝∠OEF＝90°，∴四边形OEFH是矩形，∴OH=EF=2√3，在Rt△OHC中，OC=√CH2+OH2=√22+(2√3)2=4，∵OA＝AC＝OC＝4，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴S扇形OAC=60π⋅42360=83π．23．【解答】证明：（1）连接OM，∵OM＝OB，∴∠OMB＝∠OBM，∵BM平分∠ABD，∴∠OBM＝∠MBF，∴∠OMB＝∠MBF，∴OM∥BF，∵MF⊥BD，∴OM⊥MF，即∠OMF＝90°，∴MF是⊙O的切线；（2）如图，连接AN，ON̂=BN̂，∵AN∴AN＝BN＝4̂=BN̂，∵AB是直径，AN∴∠ANB＝90°，ON⊥AB∴AB=√AN2+BN2=4√2∴AO＝BO＝ON＝2√2∴OC=√CN2−ON2=√9−8=1∴AC＝2√2+1，BC＝2√2−1∵∠A＝∠NMB，∠ANC＝∠MBC∴△ACN∽△MCB∴ACCM = CNBC∴AC•BC＝CM•CN ∴7＝3•CM∴CM=7 324．【解答】（1）证明：连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD+∠DCA＝90°，∵EC＝EF，∴∠DCA＝∠EFC，∵OA＝OF，∴∠CAD＝∠OF A，∴∠EFC+∠OF A＝90°，∴∠EFO＝90°，∴EF⊥OF，∵OF是半径，∴EF是⊙O的切线；（2）连接MF，∵AM是直径，∴∠AFM＝90°，在Rt△AFM中，cos∠CAD=AFAM=35，∵AF＝6，∴6AM =35，∴AM＝10，∵MD＝2，∴AD＝8，在Rt△ADC中，cos∠CAD=ADAC=35，∴8AC =35，∴AC=40 3，∴FC=403−6=22325．【解答】（1）证明：连接OA，过O作OF⊥AE于F，∴∠AFO＝90°，∴∠EAO+∠AOF＝90°，∵OA＝OE，∴∠EOF＝∠AOF=12∠AOE，∵∠EDA=12∠AOE，∴∠EDA＝∠AOF，∵∠EAC＝∠EDA，∴∠EAC＝∠AOF，∴∠EAO+∠EAC＝90°，∵∠EAC+∠EAO＝∠CAO，∴∠CAO＝90°，∴OA⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵CE＝AE＝2√3，∴∠C＝∠EAC，∵∠EAC+∠C＝∠AEO，∴∠AEO＝2∠EAC，∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠EAO，∴∠EAO＝2∠EAC，∵∠EAO+∠EAC＝90°，∴∠EAC＝30°，∠EAO＝60°，∴△OAE是等边三角形，∴OA＝AE，∠EOA＝60°，∴OA＝2√3，∴S扇形AOE=60⋅π×(2√3)2360=2π，在Rt△OAF中，OF＝OA•sin∠EAO＝2√3×√32=3，∴S△AOE=12AE•OF=12×2√3×3＝3√3，∴阴影部分的面积＝2π﹣3√3．26．【解答】（1）连接OD，∵正方形ABCD中，CD＝BC，CP＝CP，∠DCP＝∠BCP＝45°，∴△CDP ≌△CBP （SAS ），∴∠CDP ＝∠CBP ，∵∠BCD ＝90°，∴∠CBP +∠BEC ＝90°，∵OD ＝OE ，∴∠ODE ＝∠OED ，∠OED ＝∠BEC ，∴∠BEC ＝∠OED ＝∠ODE ，∴∠CDP +∠ODE ＝90°，∴∠ODP ＝90°，∴DP 是⊙O 的切线；（2）∵∠CDP ＝∠CBE ，∴tan ∠CBE =tan ∠CDP =CE BC =12，∴CE =12×4=2， ∴DE ＝2，∵∠EDF ＝90°，∴EF 是⊙O 的直径，∴∠F +∠DEF ＝90°，∴∠F ＝∠CDP ，在Rt △DEF 中，DE DF =12， ∴DF ＝4，∴EF =√DE 2+DF 2=√42+22=2√5，∴OE=√5，∵∠F＝∠PDE，∠DPE＝∠FPD，∴△DPE∽△FPD，∴PEPD =PDPF=DEDF，设PE＝x，则PD＝2x，∴x(x+2√5)=(2x)2，解得x=23√5，∴OP＝OE+EP=√5+2√53=5√53．六．正多边形和圆（共3小题）27．【解答】解：由题意旋转8次应该循环，∵2020÷8＝252…4，∴∁i的坐标与C4的坐标相同，∵C（﹣1，√3），点C与C4关于原点对称，∴C4（1，−√3），∴顶点∁i的坐标是（1，−√3），故选：A．28．【解答】解：∵正五边形ABCDE，∴∠EAB=(5−2)×180°5=108°，∵△ABF是等边三角形，∴∠F AB＝60°，∴∠EAF＝108°﹣60°＝48°，∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE=12×（180°﹣48°）＝66°，故答案为：66°．29．【解答】解：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴∠AOB＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA ＝OB ＝AB ＝2，∴扇形AOB 的面积=60⋅π×22360=2π3， 故答案为：2π3．七．弧长的计算（共4小题）30．【解答】解：连接OD 、BD ，∵在△ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝90°， ∴∠A ＝∠C ＝45°，∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°，∵OA ＝OB ，∴OD ⊥AB ，∴∠AOD ＝90°，∴∠AOD ＝∠ABC ，∴OD ∥FC ，∴△DOE ∽△FBE ，∴BF OD =BE OE ，∵OB ＝OD ，OE ：EB ＝1：√3， ∴tan ∠BOF =BF OB =√3，∴∠BOF ＝60°，∴BF ＝2√3，∴OB ＝2，∴BG ̂的长=60π×2180=23π， 故选：C ．31．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝2，∠B ＝90°，∴AE ＝AD ＝2，∵AB =√3，∴cos ∠BAE =AB AE =√32， ∴∠BAE ＝30°，∴∠EAD ＝60°，∴DÊ的长=60⋅π×2180=2π3， 故选：C ．32．【解答】解：由圆周角定理得，∠AOB ＝2∠ADB ＝60°， ∴∠BOC ＝180°﹣60°＝120°，∴BC ̂的长=120π×3180=2π， 故答案为：2π．33．【解答】解：连接OA ，∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠C ＝70°，∴∠OAB ＝∠OAC ﹣∠BAC ＝70°﹣60°＝10°，∵OA ＝OB ，∴∠OBA ＝∠OAB ＝10°，∴∠AOB ＝180°﹣10°﹣10°＝160°，则AB ̂的长=160π×9180=8π， 故答案为：8π．八．扇形面积的计算（共2小题）34．【解答】解：∵∠ACB ＝15°，∴∠AOB ＝30°，∵OD ∥AB ，∴S △ABD ＝S △ABO ，∴S 阴影＝S 扇形AOB =30π×22360=π3． 故答案为：π3． 35．【解答】解：过A 1作A 1D ⊥x 轴于D ，连接B 1C 1，B 2C 2，B 3C 3，B 4C 4， ∵点A 1在l 1上，A 1的横坐标为32，点A 1（32，√32）， ∴OD =32，A 1D =√32，∴OA 1=√A 1D 2+OD 2=(√32)2+(32)2=√3， ∴在Rt △A 1OD 中，A 1D =12OA 1， ∴∠A 1OD ＝30°，∵直线l 2的解析式是y =√3x ，∴∠B 1OD ＝60°，∴∠A 1OB 1＝30°，∴A 1B 1＝OA 1•tan ∠A 1OB 1＝1，∵A 1B 1⊥l 1交l 2于点B 1，∴∠A 1B 1O ＝60°，∴∠A 1B 1B 2＝120°，∴∠B 1A 1C 1＝60°，∵四边形A 1B 1B 2C 1是菱形，∴△A 1B 1C 1是等边三角形，∴S 1＝2（S扇形B 1A 1C 1−S △B 1A 1C 1）＝2×（60⋅π×12360−√34×12）=π3−√32，∵A 1C 1∥B 1B 2，∴∠A 2A 1C 1＝∠A 1OB 1＝30°，∴A 2C 1=12，A 2B 2＝A 2C 1+B 2C 1=32，∠A 2B 2O ＝60°，同理，S 2＝2（S扇形B 2A 2C 2−S △B 2A 2C 2）＝2×[60⋅π×(32)2360−√34×（32）2]＝（π3−√32）×（32）2， S 3＝（π3−√32）×（32）4， …∴S n ＝（π3−√32）×（32）2（n ﹣1）＝（π3−√32）×（32）2n ﹣2． 故答案为：（π3−√32）×（32）2n ﹣2．九．圆锥的计算（共2小题）36．【解答】解：∵圆锥的底面半径为3，高为4，∴母线长为5，∴圆锥的侧面积为：πrl ＝π×3×5＝15π，故答案为：15π37．【解答】解：设该圆锥的底面半径为r ，根据题意得2πr =216⋅π⋅5180，解得r ＝3． 故答案为3．一十．圆的综合题（共2小题）38．【解答】（1）证明：∵EF ⊥AB ，∴∠AFE＝90°，∴∠AEF+∠EAF＝90°，∵∠AEF＝∠D，∠ABE＝∠D，∴∠ABE+∠EAF＝90°，∴∠AEB＝90°，∴AD⊥BC．（2）①证明：连接OA，AC．∵AD⊥BC，∴AE＝ED，∴CA＝CD，∴∠D＝∠CAD，∵∠GAE＝2∠D，∴∠CAG＝∠CAD＝∠D，∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC，∵∠CEA＝90°，∴∠CAE+∠ACE＝90°，∴∠CAG+∠OAC＝90°，∴OA⊥AG，∴AG是⊙O的切线．②解：过点C作CH⊥AG于H．设CG＝x，GH＝y．∵CA平分∠GAE，CH⊥AG，CE⊥AE，∴CH＝CE，∵∠AEC＝∠AHC＝90°，AC＝AC，EC＝CH，∴Rt△ACE≌Rt△ACH（HL），∴AE＝AH，∵EF⊥AB，BC是直径，∴∠BFE＝∠BAC，∴EF ∥AC ，∴EC BE =AF BF =25， ∵CE ＝4，∴BE ＝10，∵BC ⊥AD ，∴AĈ=CD ̂， ∴∠CAE ＝∠ABC ，∵∠AEC ＝∠AEB ＝90°，∴△AEB ∽△CEA ，∴AE CE =EB EA ，∴AE 2＝4×10，∵AE ＞0，∴AE ＝2√10，∴AH ＝AE ＝2√10，∵∠G ＝∠G ，∠CHG ＝∠AEG ＝90°，∴△GHC ∽△GEA ，∴GH GE =HC EA =GC GA ， ∴y x+4=2√10=2√10+y ， 解得x =283．39．【解答】解：（1）证明：①如图1，连接OE ，∵⊙O 与BC 相切于点E ，∴∠OEB ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACB＝∠OEB，∴AC∥OE，∴∠GOE＝∠AGO，̂=EĜ，∵AG∴∠AOG＝∠GOE，∴∠AOG＝∠AGO，∴AO＝AG；②由①知，AO＝AG，∵AO＝OG，∴∠AO＝OG＝AG，∴△AOG是等边三角形，∴∠AGO＝∠AOG＝∠A＝60°，∴∠BOF＝∠AOG＝60°，由①知，∠GOE＝∠AOG＝60°，∴∠EOB＝180°﹣∠AOG﹣∠GOE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠FOB＝∠EOB，∵OF＝OE，OB＝OB，∴△OFB≌△OEB（SAS），∴∠OFB＝∠OEB＝90°，∴OF⊥BF，∵OF是⊙O的半径，∴BF是⊙O的切线；（2）如图2，连接GE，∵∠A＝60°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝30°，∴OB＝2BE，设⊙O的半径为r，∵OB＝OD+BD，∴6+r＝2r，∴r＝6，∴AG＝OA＝6，AB＝2r+BD＝18，∴AC=12AB＝9，∴CG＝AC﹣AG＝3，由（1）知，∠EOB＝60°，∵OG＝OE，∴△OGE是等边三角形，∴GE＝OE＝6，根据勾股定理得，CE=√GE2−CG2=√62−32=3√3，∴S阴影＝S梯形GCEO﹣S扇形OGE=12（6+3）×3√3−60π⋅62360=27√32−6π．。
辽宁省各市中考数学分类解析 专题11：圆
辽宁各市中考数学试题分类解析汇编专题11：圆 锦元数学工作室 编辑一、选择题1. （辽宁锦州3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=60°.把△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转60°后得到△AB ＇C ＇，若AB=4，则线段BC 在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是 【 】A.32π B. 35π C. 2π D. 4π【答案】C 。
【考点】旋转的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，扇形面积的计算。
【分析】∵∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=4，∴AC=ABcos∠BAC=2，∠CA C′=60°。
∵△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转60°后得到△AB′C′，∴AB C ABC S S ∆''∆=。
∴ABC AB C ABB ACC ABB ACC S S S S S S S ∆∆''''''=-+-=-扇形扇形扇形扇形影部分阴=226046022360360πππ⋅⋅⋅⋅-=。
故选C 。
2. （辽宁铁岭3分）如图，⊙O 中，半径OA=4,∠AOB=120°,用阴影部分的扇形围成的圆锥底面圆的半径长是【 】A.1B. 43C. 53D.2 【答案】B 。
【考点】圆锥的计算。
【分析】利用扇形的半径以及以及在圆中所占比例，得出圆心角的度数，再利用圆锥底面圆周长等于扇形弧长求出即可：∵⊙O中，半径OA=4，∠AOB=120°，∴扇形弧长为：l=12048=1803ππ⋅⋅。
∴圆锥的底面圆的周长为：c=2πr=83π解得：r=43。
故选B。
3. （辽宁营口3分）圆心距为2的两圆相切，其中一个圆的半径为1，则另一个圆的半径为【】(A)1 (B)3 (C)1或2 (D)1或3【答案】 D。
【考点】两圆的位置关系。
2012-2013年中考数学试题分类解析专题11：圆
2011-2012年中考数学试题分类解析汇编专题：圆一、选择题1. （2001江苏苏州3分）如图，已知∠AOB=30°，P 为边OA 上一点，且OP=5 cm ，若以P 为圆心，r 为半径的圆与OB 相切，则半径r 为【 】A ．5cmB ．52cm D 【答案】C 。
【考点】直线与圆的位置关系，含30度角直角三角形的性质。
【分析】作PD⊥OB 于D ，∵在直角三角形POD 中，∠AOB=30°，P 为边OA 上一点，且OP=5 cm ， ∴PD=52（cm ）。
∵根据直线和圆相切，则圆的半径等于圆心到直线的距离， ∴r=52cm 。
故选C 。
2. （2001江苏苏州3分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=8，以AC 为直径作圆与斜边交于点P ，则BP 的长为【 】A ．6.4B ．3.2C ．3.6D ．8 【答案】C 。
【考点】圆周角定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】连接PC ，∵AC 是直径，∴∠APC=90°。
∵在△ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=8，∴∠APC=∠ACB=90°。
∵∠A=∠A，∴△APC∽△ACB。
∴PA ACAC AB=，即PA8810=。
∴PA=6.4。
∴PB=AB－PA=10－6.4=3.6。
故选C。
3.（江苏省苏州市2002年3分）如图，⊙O的弦AB=8cm，弦CD平分AB于点E。
若CE=2 cm，则ED长为【】A. 8cmB. 6cmC. 4cmD. 2cm【答案】A。
【考点】相交弦定理【分析】根据相交弦定理求解：根据相交弦定理，得AE•BE=CE•ED，即ED=4482⨯=（cm）。
故选A。
4.（江苏省苏州市2002年3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=1600，则∠BCD=【】A. 160︒B. 100︒C. 80︒D. 20︒【答案】B。
【考点】圆内接四边形的性质，圆周角定理。
辽宁吉林黑龙江3省中考数学试题分类解析汇编 专题11 圆
辽宁吉林黑龙江3省中考数学试题分类解析汇编 专题11 圆一、选择题1. （吉林省3分）如图，两个等圆⊙A⊙B 分别与直线l 相切于点C 、D,连接AB ，与直线l 相交于点O , ∠AOC=300，连接AC ，BC ，若AB=4，则圆的半径为A 21B 1C 3D 2 【答案】B 。
【考点】圆切线的性质，全等三角形的判定和性质，含300角直角三角形的性质。
【分析】根据圆切线的性质，由AAS 易证△AOC≌△BOD，从而AO ＝BO ＝2，从而根据直角三角形中300角所对的直角边是斜边一半的性质，得圆的半径为AC ＝1。
故选B 。
2.（吉林长春3分）如图，直线l 1//l 2，点A 在直线l 1上，以点A 为圆心，适当 长为半径画弧，分别交直线l 1、l 2于B 、C 两点，连结AC 、BC ．若∠ABC ＝54°， 则∠1的大小为（Ａ）36°． （Ｂ）54°． （Ｃ）72°． （Ｄ）73°． 【答案】C 。
【考点】平行线的性质，圆的性质，等腰三角形的性质，平角的定义。
【分析】由l 1∥l 2，∠ABC=54°，根据两直线平行，内错角相等的性质，即可求得∠BC l 1的度数54°，又由以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l 1、l 2于B 、C 两点，连接AC 、BC ，故AC 和AB 都是圆的半径，可得AC=AB ，即可证得∠ACB=∠ABC=54°，然后由平角的定义即可求得答案：∠1=72°。
故选C 。
3.（黑龙江大庆3分）如图，某宾馆大厅要铺圆环形的地毯，工人师傅只测量了与小圆相 切的大圆的弦AB 的长，就计算出了圆环的面积．若测量得AB 的长为20m ，则圆环的面 积为A ．10m 2B ．π10m 2C ．100m 2D ．π100m 2【答案】D 。
【考点】垂径定理的应用，勾股定理，切线的性质。
中考数学专题11圆(第03期)-2017年中考数学试题分项版解析汇编(解析版)
一、选择题目1．（2017四川省南充市）如图，在Rt △ABC 中，AC =5cm ，BC =12cm ，∠ACB =90°，把Rt △ABC 所在的直线旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的侧面积为（ ）A ．60πcm 2B ．65πcm 2C ．120πcm 2D ．130πcm 2 【答案】B ．考点：1．圆锥的计算；2．点、线、面、体．2．（2017四川省广安市）如图，AB 是⊙O 的直径，且经过弦CD 的中点H ，已知cos ∠CDB =45，BD =5，则OH 的长度为（ ）A ．32B ．65C ．1D ．67【答案】D ． 【解析】试题分析：连接OD ，如图所示：∵AB 是⊙O 的直径，且经过弦CD 的中点H ，∴AB ⊥CD ，∴∠OHD =∠BHD =90°，∵cos ∠CDB =DHBD=45，BD =5，∴DH =4，∴BH3，设OH =x ，则OD =OB =x +3，在Rt △ODH 中，由勾股定理得：x 2+42=（x +3）2，解得：x =67，∴OH =67；故选D ．考点：1．圆周角定理；2．解直角三角形．3．（2017四川省眉山市）如图，在△ABC 中，∠A =66°，点I 是内心，则∠BIC 的大小为（ ）A ．114°B ．122°C ．123°D ．132° 【答案】C ． 【解析】试题分析：∵∠A =66°，∴∠ABC +∠ACB =114°，∵点I 是内心，∴∠IBC =12∠ABC ，∠ICB =12∠ACB ，∴∠IBC +∠ICB =57°，∴∠BIC =180°﹣57°=123°，故选C ．学*科网 考点：三角形的内切圆与内心．4．（2017四川省绵阳市）“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图，已知底面圆的直径AB =8cm ，圆柱体部分的高BC =6cm ，圆锥体部分的高CD =3cm ，则这个陀螺的表面积是（ ）A ．68πcm 2B ．74πcm 2C ．84πcm 2D ．100πcm 2【答案】C．【解析】试题分析：∵底面圆的直径为8cm，高为3cm，∴母线长为5cm，∴其表面积=π×4×5+42π+8π×6=84πcm2，故选C．考点：1．圆锥的计算；2．几何体的表面积．5．（2017四川省达州市）以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A B C．D【答案】A．考点：正多边形和圆．6．（2017山东省枣庄市）如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点），如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（）A．r << Br << C5r << D．5r <<【答案】B ． 【解析】试题分析：给各点标上字母，如图所示． AB==，AC =AD==，AE==，AF==，AG =AM =AN5r <<A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点A 外恰好有3个在圆内．故选B ．考点：1．点与圆的位置关系；2．勾股定理；3．推理填空题目．7．（2017山东省济宁市）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =1，将Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（ ）A ． 6πB ． 3πC ．122π-D ． 12【答案】A．【解析】试题分析：∵∠ACB=90°，AC=BC=1，∴AB，∴S扇形ABD=6π．又∵Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，∴Rt△ADE≌Rt△ACB，∴S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC=S扇形ABD=6π．故选A．考点：1．扇形面积的计算；2．等腰直角三角形；3．旋转的性质．学科*网8．（2017广东省）如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°，则∠DAC的大小为（）A．130°B．100°C．65°D．50°【答案】C．考点：圆内接四边形的性质．9．（2017广西四市）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC=2，∠BAC=30°，则劣弧BC的长等于（）A．2π3B．π3C．2√3π3D．√3π3【答案】A．【解析】试题分析：如图，连接OB 、OC ，∵∠BAC =30°，∴∠BOC =2∠BAC =60°，又OB =OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴BC =OB =OC =2，∴劣弧BC 的长为：602180π⨯ =2π3．故选A ．考点：1．弧长的计算；2．圆周角定理． 二、填空题目10．（2017四川省眉山市）如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB =8cm ，DC =2cm ，则OC = cm ．【答案】5． 【解析】试题分析：连接OA ，∵OC ⊥AB ，∴AD =12AB =4cm ，设⊙O 的半径为R ，由勾股定理得，OA 2=AD 2+OD 2，∴R 2=42+（R ﹣2）2，解得R =5，∴OC =5cm ．故答案为：5．考点：1．垂径定理；2．勾股定理．11．（2017四川省达州市）如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上一点，连接AE ，将矩形沿AE 翻折，使点B 落在CD 边F 处，连接AF ，在AF 上取点O ，以O 为圆心，OF 长为半径作⊙O 与AD 相切于点P．若AB =6，BC=F 是CD 的中点；②⊙O 的半径是2；③AE =92CE；④S =阴影．其中正确结论的序号是 ．【答案】． 【解析】试题分析：①∵AF 是AB 翻折而来，∴AF =AB =6，∵AD =BC=DF=3，∴F 是CD中点；∴①正确；②连接OP ，∵⊙O 与AD 相切于点P ，∴OP ⊥AD ，∵AD ⊥DC ，∴OP ∥CD ，∴AO OP AF DF =，设OP =OF =x ，则636x x -=，解得：x =2，∴②正确；③∵RT △ADF 中，AF =6，DF =3，∴∠DAF =30°，∠AFD =60°，∴∠EAF =∠EAB =30°，∴AE =2EF ； ∵∠AFE =90°，∴∠EFC =90°﹣∠AFD =30°，∴EF =2EC ，∴AE =4CE ，∴③错误；④连接OG ，作OH ⊥FG ，∵∠AFD =60°，OF =OG ，∴△OFG 为等边△；同理△OPG 为等边△；∴∠POG =∠FOG =60°，OHOG，S 扇形OPG =S 扇形OGF ，∴S 阴影=（S 矩形OPDH ﹣S 扇形OPG ﹣S △OGH ）+（S 扇形OGF ﹣S △OFG ）=S 矩形OPDH ﹣32S △OFG=312(222-⨯⨯．∴④正确；故答案为：①②④．考点：1．切线的性质；2．矩形的性质；3．扇形面积的计算；4．翻折变换（折叠问题）；5．综合题．12．（2017山东省枣庄市）如图，在▱ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB=12，∠C=60°，则FE的长为．【答案】π．考点：1．切线的性质；2．平行四边形的性质；3．弧长的计算．学&科网13．（2017山东省济宁市）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则正六边形A4B4C4D4E4F4的面积是．考点：1．正多边形和圆；2．规律型；3．综合题．14．（2017四川省南充市）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以AC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，E 为BC 的中点，连接DE 并延长交AC 的延长线于点F ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若CF =2，DF =4，求⊙O 直径的长．【答案】（1）证明见解析；（2）6． 【解析】试题分析：（1）连接OD 、CD ，由AC 为⊙O 的直径知△BCD 是直角三角形，结合E 为BC的中点知∠CDE=∠DCE，由∠ODC=∠OCD且∠OCD+∠DCE=90°可得答案；（2）设⊙O的半径为r，由OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2可得r=3，即可得出答案．试题解析：（1）如图，连接OD、CD．∵AC为⊙O的直径，∴△BCD是直角三角形，∵E为BC的中点，∴BE=CE=DE，∴∠CDE=∠DCE，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∵∠ACB=90°，∴∠OCD+∠DCE=90°，∴∠ODC+∠CDE=90°，即OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，∵∠ODF=90°，∴OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2，解得：r=3，∴⊙O的直径为6．考点：切线的判定与性质．15．（2017四川省广安市）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与直径AB相交于点F．点E在⊙O外，做直线AE，且∠EAC=∠D．（1）求证：直线AE是⊙O的切线．（2）若∠BAC=30°，BC=4，cos∠BAD=34，CF=103，求BF的长．【答案】（1）证明见解析；（2【解析】试题分析：（1）由直径所对的圆周角是直角得：∠ADB=90°，则∠ADC+∠CDB=90°，所以∠EAC+∠BAC=90°，则直线AE是⊙O的切线；（2）分别计算AC和BD的长，证明△DFB∽△AFC，列比例式得：BF BDFC AC，得出结论．试题解析：（1）连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠ADC+∠CDB=90°，∵∠EAC=∠ADC，∠CDB=∠BAC，∴∠EAC+∠BAC=90°，即∠BAE=90°，∴直线AE是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，Rt△ACB中，∠BAC=30°，∴AB=2BC=2×4=8，由勾股定理得：AC=，Rt△ADB中，cos∠BAD=34=ADAB，∴34=8AD，∴AD=6，∴BD=，∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，∴△DFB∽△AFC，∴BF BDFC AC=，∴103BF=，∴BF=考点：1．切线的判定与性质；2．解直角三角形．16．（2017四川省绵阳市）如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，与AC平行的圆O的一条切线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E，切点为F，连接AF交CD于点N．（1）求证：CA=CN；（2）连接DF，若cos∠DF A=45，AN=，求圆O的直径的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）503．学&科网【解析】试题分析：（1）连接OF，根据切线的性质结合四边形内角和为360°，即可得出∠M+∠FOH=180°，由三角形外角结合平行线的性质即可得出∠M=∠C=2∠OAF，再通过互余利用角的计算即可得出∠CAN=90°﹣∠OAF=∠ANC，由此即可证出CA=CN；（2）连接OC，如图2所示．∵cos∠DF A=45，∠DF A=∠ACH，∴CHAC=45．设CH=4a，则AC=5a，AH=3a，∵CA=CN，∴NH=a，∴AN=a=，∴a=2，AH=3a=6，CH=4a=8．设圆的半径为r，则OH=r﹣6，在Rt△OCH中，OC=r，CH=8，OH=r﹣6，∴OC2=CH2+OH2，r2=82+（r﹣6）2，解得：r=253，∴圆O的直径的长度为2r=503．考点：1．切线的性质；2．勾股定理；3．圆周角定理；4．解直角三角形．17．（2017四川省达州市）如图，△ABC内接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于D，过点D作PQ∥AB分别交CA、CB延长线于P、Q，连接BD．（1）求证：PQ是⊙O的切线；（2）求证：BD2=AC•BQ；（3）若AC、BQ的长是关于x的方程4x mx+=的两实根，且tan∠PCD=13，求⊙O的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【解析】试题分析：（1）根据平行线的性质和圆周角定理得到∠ABD=∠BDQ=∠ACD，连接OB，OD，交AB于E，根据圆周角定理得到∠OBD=∠ODB，∠O=2∠DCB=2∠BDQ，根据三角形的内角和得到2∠ODB+2∠O=180°，于是得到∠ODB+∠O=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）证明：连接AD，根据等腰三角形的判定得到AD=BD，根据相似三角形的性质即可得到结论；试题解析：（1）证明：∵PQ∥AB，∴∠ABD=∠BDQ=∠ACD，∵∠ACD=∠BCD，∴∠BDQ=∠ACD，如图1，连接OB，OD，交AB于E，则∠OBD=∠ODB，∠O=2∠DCB=2∠BDQ，在△OBD中，∠OBD+∠ODB+∠O=180°，∴2∠ODB+2∠O=180°，∴∠ODB+∠O=90°，∴PQ是⊙O的切线；（2）证明：如图2，连接AD，由（1）知PQ是⊙O的切线，∴∠BDQ=∠DCB=∠ACD=∠BCD=∠BAD，∴AD=BD，∵∠DBQ=∠ACD，∴△BDQ∽△ACD，∴AD ACBQ BD=，∴BD2=AC•BQ；（3）解：方程4x mx+=可化为x2﹣mx+4=0，∵AC、BQ的长是关于x的方程4x mx+=的两实根，∴AC•BQ=4，由（2）得BD2=AC•BQ，∴BD2=4，∴BD=2，由（1）知PQ是⊙O的切线，∴OD⊥PQ，∵PQ∥AB，∴OD⊥AB，由（1）得∠PCD=∠ABD，∵tan∠PCD=13，∴tan∠ABD=13，∴BE=3DE，∴DE 2+（3DE ）2=BD 2=4，∴DE=，∴BE=，设OB =OD =R ，∴OE =R﹣，∵OB 2=OE 2+BE 2，∴R 2=（R）2+2，解得：R=，∴⊙O的半径为．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．分式方程的解；3．圆周角定理；4．切线的判定与性质；5．解直角三角形；6．压轴题．18．（2017山东省枣庄市）如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点D ，分别交AC ，AB 于点E ，F ． （1）试判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若BD=BF =2，求阴影部分的面积（结果保留π）．【答案】（1）BC 与⊙O 相切；（2）23π．【解析】试题分析：（1）连接OD ，证明OD ∥AC ，即可证得∠ODB =90°，从而证得BC 是圆的切线；（2）设OF =OD =x ，则OB =OF +BF =x +2，由勾股定理得：OB 2=OD 2+BD 2，即（x +2）2=x 2+12，解得：x =2，即OD =OF =2，∴OB =2+2=4，∵Rt △ODB 中，OD =12OB ，∴∠B =30°，∴∠DOB =60°，∴S扇形AOB =604360π⨯ =23π，则阴影部分的面积为S △ODB ﹣S 扇形DOF =12×2×﹣23π=23π-．故阴影部分的面积为23π．考点：1．直线与圆的位置关系；2．扇形面积的计算；3．探究型．19．（2017山东省济宁市）如图，已知⊙O 的直径AB =12，弦AC =10，D 是BC 的中点，过点D 作DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）求AE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）11． 【解析】试题分析：（1）连接OD ，由D 为弧BC 的中点，得到两条弧相等，进而得到两个同位角相等，确定出OD与AE 平行，利用两直线平行同旁内角互补得到OD 与DE 垂直，即可得证；（2）解：过点O 作OF ⊥AC ，∵AC =10，∴AF =CF=12AC =5，∵∠OFE =∠DEF =∠ODE =90°，∴四边形OFED 为矩形，∴FE =OD =12AB ，∵AB =12，∴FE =6，则AE =AF +FE =5+6=11．考点：1．切线的判定与性质；2．勾股定理；3．垂径定理．20．（2017广东省）如图，AB 是⊙O 的直径，AB =E 为线段OB 上一点（不与O ，B 重合），作CE ⊥OB ，交⊙O 于点C ，垂足为点E ，作直径CD ，过点C 的切线交DB 的延长线于点P ，AF ⊥PC 于点F ，连接CB ．（1）求证：CB 是∠ECP 的平分线； （2）求证：CF =CE ；（3）当34CF CP =时，求劣弧BC 的长度（结果保留π）【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3．【解析】试题分析：（1）根据等角的余角相等证明即可； （2）欲证明CF =CE ，只要证明△ACF ≌△ACE 即可；（3）作BM ⊥PF 于M ．则CE =CM =CF ，设CE =CM =CF =4a ，PC =4a ，PM =a ，利用相似三角形的性质求出BM ，求出tan ∠BCM 的值即可解决问题；试题解析：（1）证明：∵OC =OB ，∴∠OCB =∠OBC ，∵PF 是⊙O 的切线，CE ⊥AB ，∴∠OCP =∠CEB =90°，∴∠PCB +∠OCB =90°，∠BCE +∠OBC =90°，∴∠BCE =∠BCP ，∴BC 平分∠PCE ．（2）证明：连接AC ．∵AB 是直径，∴∠ACB =90°，∴∠BCP +∠ACF =90°，∠ACE +∠BCE =90°，∵∠BCP =∠BCE ，∴∠ACF =∠ACE ，∵∠F =∠AEC =90°，AC =AC ，∴△ACF ≌△ACE ，∴CF =CE ．（3）解：作BM ⊥PF 于M ．则CE =CM =CF ，设CE =CM =CF =4a ，PC =4a ，PM =a ，∵△BMC ∽△PMB ，∴BM CMPM BM =，∴BM 2=CM •PM =3a 2，∴BM=a ，∴tan ∠BCM=BM CM =，∴∠BCM =30°，∴∠OCB =∠OBC =∠BOC =60°，∴BC 的长．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．垂径定理；3．切线的性质；4．弧长的计算．21．（2017江苏省盐城市）如图，△ABC 是一块直角三角板，且∠C =90°，∠A =30°，现将圆心为点O 的圆形纸片放置在三角板内部．（1）如图①，当圆形纸片与两直角边AC 、BC 都相切时，试用直尺与圆规作出射线CO ；（不写作法与证明，保留作图痕迹）（2）如图②，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止，若BC =9，圆形纸片的半径为2，求圆心O 运动的路径长．【答案】（1）作图见解析；（2）15+ 【解析】试题分析：（1）作∠ACB 的平分线得出圆的一条弦，再作此弦的中垂线可得圆心O ，作射线CO 即可； （2）添加如图所示辅助线，圆心O 的运动路径长为12OO O C ∆，先求出△ABC 的三边长度，得出其周长，证四边形OEDO 1、四边形O 1O 2HG 、四边形OO 2IF 均为矩形、四边形OECF 为正方形，得出∠OO 1O 2=60°=∠ABC 、∠O 1OO 2=90°，从而知△OO 1O 2∽△CBA ，利用相似三角形的性质即可得出答案． 试题解析：（1）如图①所示，射线OC 即为所求；（2）如图2，圆心O 的运动路径长为12OO O C ∆，过点O 1作O 1D ⊥BC 、O 1F ⊥AC 、O 1G ⊥AB ，垂足分别为点D 、F 、G ，过点O 作OE ⊥BC ，垂足为点E ，连接O 2B ，过点O 2作O 2H ⊥AB ，O 2I ⊥AC ，垂足分别为点H 、I ，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°、∠A =30°，∴AC =tan 30BC==，AB =2BC =18，∠ABC =60°，∴C △ABC =9++18=27+，∵O 1D ⊥BC 、O 1G ⊥AB ，∴D 、G 为切点，∴BD =BG ，在Rt △O 1BD 和Rt △O 1BG 中，∵BD =BG ，O 1B =O 1B ，∴△O 1BD ≌△O 1BG （HL ），∴∠O 1BG =∠O 1BD=30°，在Rt△O1BD中，∠O1DB=90°，∠O1BD=30°，∴BD=1tan 30O D==，∴OO1=9﹣2﹣=7﹣O1D=OE=2，O1D⊥BC，OE⊥BC，∴O1D∥OE，且O1D=OE，∴四边形OEDO1为平行四边形，∵∠OED=90°，∴四边形OEDO1为矩形，同理四边形O1O2HG、四边形OO2IF、四边形OECF为矩形，又OE=OF，∴四边形OECF为正方形，∵∠O1GH=∠CDO1=90°，∠ABC=60°，∴∠GO1D=120°，又∵∠FO1D=∠O2O1G=90°，∴∠OO1O2=360°﹣90°﹣90°=60°=∠ABC，同理，∠O1OO2=90°，∴△OO1O2∽△CBA，∴1212OO OABCC O OC BC∆∆==，∴12OO OC∆=15+，即圆心O运动的路径长为15+考点：1．轨迹；2．切线的性质；3．作图—复杂作图；4．综合题．学科*网22．（2017江苏省连云港市）如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（﹣2，0）的直线交y轴正半轴于点B，将直线AB绕着点顺时针旋转90°后，分别与x轴、y轴交于点D．C．（1）若OB=4，求直线AB的函数关系式；（2）连接BD，若△ABD的面积是5，求点B的运动路径长．【答案】（1）y=2x+4；（21112．【解析】试题分析：（1）依题意求出点B坐标，然后用待定系数法求解析式；（2）设OB=m，则AD=m+2，根据三角形面积公式得到关于m的方程，解方程求得m的值，然后根据弧长公式即可求得．试题解析：（1）∵OB=4，∴B（0，4）．∵A（﹣2，0），设直线AB的解析式为y=kx+b，则420bk b，解得24kb，∴直线AB的解析式为y=2x+4；（2）设OB=m，则AD=m+2，∵△ABD的面积是5，∴12AD•OB=5，∴12（m+2）•m=5，即22100m m+-=，解得111m 或111m（舍去），∵∠BOD=90°，∴点B 的运动路径长为：1111211142．考点：1．一次函数图象与几何变换；2．轨迹；3．弧长的计算．学#科网23．（2017河北省）如图，AB=16，O为AB中点，点C在线段OB上（不与点O，B重合），将OC绕点O 逆时针旋转270°后得到扇形COD，AP，BQ分别切优弧CD于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP．（1）求证：AP=BQ；（2）当BQ=QD的长（结果保留π）；（3）若△APO的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）143π；（3）4＜OC＜8．（2）∵Rt △APO ≌Rt △BQO ，∴∠AOP =∠BOQ ，∴P 、O 、Q 三点共线，∵在Rt △BOQ 中，cos B =43382QB OB==，∴∠B =30°，∠BOQ =60°，∴OQ =12OB =4，∵∠COD =90°，∴∠QOD =90°+60°=150°，∴优弧QD 的长=2104180π⨯=143π；（3）∵△APO 的外心是OA 的中点，OA =8，∴△APO 的外心在扇形COD 的内部时，OC 的取值范围为4＜OC ＜8．考点：1．切线的性质；2．弧长的计算；3．旋转的性质．24．（2017河北省）平面内，如图，在ABCD 中，AB =10，AD =15，tan A =43．点P 为AD 边上任意一点，连接PB ，将PB 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PQ ．（1）当∠DPQ =10°时，求∠APB 的大小；（2）当tan∠A tan A=3：2时，求点Q与点B间的距离（结果保留根号）；（3）若点Q恰好落在ABCD的边所在的直线上，直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积（结果保留π）．【答案】（1）100°或80°；（2）（3）16π或20π或32π．【解析】试题分析：（1）根据点Q与点B和PD的位置关系分类讨论；（2）因为△PBQ是等腰直角三角形，所以求BQ的长，只需求PB，过点P作PH⊥AB于点H，确定BH，求得AH和BH，解直角△APH求PH，由勾股定理求PB；（2）如图2，过点P作PH⊥AB于点H，连接BQ．∵tan∠A tan A=:3:2PH PHHB AH=，∴HB=3：2．而AB=10，∴AH=6，HB=4．在Rt△PHA中，PH=AH·tan A=8，∴PQ=PB==Rt△PQB中，QBPB=（3）①点Q在AD上时，如图3，由tan A=43得，PB=AB·sin A=8，∴扇形面积为16π．②点A 在CD 上时，如图4，过点P 作PH ⊥AB 于点H ，交CD 延长线于点K ，由题意∠K =90°，∠KDP =∠A ．设AH =x ，则PH =AH ·tan A =43x ．∵∠BPH =∠KQP =90°-∠KPQ ，PB =QP ，∴Rt △HPB ≌Rt △KQP ．∴KP =HB =10-x ，∴AP =53x，PD =()5104x -，AD =15=()551034x x +-，解得x =6．∵22280PB PH HB =+=，∴扇形的面积为20π．③点Q 在BC 延长线上时，如图5，过点B 作BM ⊥AD 于点M ，由①得BM =8．又∠MPB =∠PBQ =45°，∴PB =，∴扇形面积为32π． 所以扇形的面积为16π或20π或32π．考点：1．解直角三角形；2．勾股定理；3．扇形面积的计算；4．分类讨论；5．压轴题．25．（2017浙江省丽水市）如图，在Rt △ABC 中，∠C =Rt ∠，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，切线DE 交AC 于点E ．（1）求证：∠A =∠ADE ；（2）若AD =16，DE =10，求BC 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）15． 【解析】试题分析：（1）只要证明∠A +∠B =90°，∠ADE +∠B =90°即可解决问题；（2）连接CD ．∵∠ADE =∠A ，∴AE =DE ，∵BC 是⊙O 的直径，∠ACB =90°，∴EC 是⊙O 的切线，∴ED =EC ，∴AE =EC ，∵DE =10，∴AC =2DE =20，在Rt △ADC 中，DC 12，设BD =x ，在Rt △BDC 中，BC 2=x 2+122，在Rt △ABC 中，BC 2=（x +16）2﹣202，∴x 2+122=（x +16）2﹣202，解得x =9，∴BC 15．考点：1．切线的性质；2．勾股定理．26．（2017浙江省台州市）如图，已知等腰直角三角形ABC ，点P 是斜边BC 上一点（不与B ，C 重合），PE 是△ABP 的外接圆⊙O 的直径． （1）求证：△APE 是等腰直角三角形； （2）若⊙O 的直径为2，求22PC PB +的值．【答案】（1）证明见解析；（2）4． 【解析】试题分析：（1）只要证明∠AEP =∠ABP =45°，∠P AB =90°即可解决问题；（2）作PM⊥AC于M，PN⊥AB于N，则四边形PMAN是矩形，∴PM=AN，∵△PCM，△PNB都是等腰直角三角形，∴PC=2PM，PB=2PN，∴22PC PB+=222()PM PN+ =222()AN PN+=22PA =2PE =22 =4．考点：1．三角形的外接圆与外心；2．等腰直角三角形．27．（2017湖北省襄阳市）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两点，∠BAC=∠DAC，过点C做直线EF⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若DE=1，BC=2，求劣弧BC的长l．【答案】（1）证明见解析；（2）23π．【解析】试题分析：（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠DAC，求得∠DAC=∠OCA，推出AD∥OC，得到∠OCF=∠AEC=90°，于是得到结论；（2）连接OD，DC，∵∠DAC=12∠DOC ，∠OAC=12∠BOC，∴∠DAC=∠OAC，∵ED=1，DC=2，∴sin∠ECD=12DEDC=，∴∠ECD=30°，∴∠OCD=60°，∵OC=OD，∴△DOC是等边三角形，∴∠BOC=∠COD=60°，OC=2，∴l=602180π⨯=23π．考点：1．切线的判定与性质；2．弧长的计算．祝你考试成功!祝你考试成功!。
中考数学试题分项版解析汇编(第02期)专题11 圆(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题
专题11：圆一、选择题1.(2017某某第8题)如图，AB 是O 的直径，,C D 是O 上位于AB 异侧的两点．下列四个角中，一定与ACD ∠互余的角是（ ）A ．ADC ∠B ．ABD ∠C ． BAC ∠D ．BAD ∠【答案】D【解析】∵AB 是直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAD+∠B=90°，∵∠ACD=∠B ，∴∠BAD+∠ACD=90°，故选D.2. (2017某某第10题)如图，将半径为2，圆心角为120︒的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60︒，点O ，B 的对应点分别为'O ，'B ，连接'BB ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．23πB ．233π C.2233π D ．2433π 【答案】C.【解析】试题分析：连接O 'O 、'O B ，根据旋转的性质及已知条件易证四边形AOB 'O 为菱形，且∠'O OB=∠O 'O B=60°，又因∠A 'O 'B =∠A 'O B=120°，所以∠B 'O 'B =120°，因∠O 'O B+∠B 'O 'B =120°+60°=180°，即可得O 、'O 、'B 三点共线，又因'O 'B ='O B ，可得∠'O 'B B=∠'O B 'B ，再由∠O 'O B=∠'O 'B B+∠'O B 'B =60°，可得∠'O 'B B=∠'O B 'B =30°，所以△OB 'B 为Rt 三角形，由锐角三角函数即可求得B 'B =3所以2''16022=S 2232323603OBB BOO S S ππ⨯-=⨯⨯=阴影扇形，故选C.考点：扇形的面积计算.3. （2017某某某某第9题）如图5，在O 中，在O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB CD ⊥，垂足为E ，连接0,,20CO AD BAD ∠=，则下列说法中正确的是（ ）A ．2AD OB = B ．CE EO = C. 040OCE ∠= D ．2BOC BAD ∠=∠【答案】D考点： 垂径定理的应用4.（2017某某某某第6题）如图3，O 是ABC ∆的内切圆，则点O 是ABC ∆的（ ）图3A ． 三条边的垂直平分线的交点B ．三角形平分线的交点C. 三条中线的交点 D ．三条高的交点【答案】B【解析】试题分析：内心到三角形三边距离相等，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上，故选B 。
2021年全国中考数学真题分类汇编--圆：与圆的有关性质(试卷版)
6. （2021•山东省临沂市）如图，已知在⊙O 中， ＝ ＝ ，OC 与 AD 相交于点 E． 求证：（1）AD∥BC； （2）四边形 BCDE 为菱形．
（1）求 sin AOQ 的值； （2）求 AM 值；
MN
的 （3）令 ME = x ，QD = y ，直径 AB = 2R（ R 0 ，R 是常数），求 y 关于 x 的函数解析
式，并指明自变量 x 的取值范围．
． 4. （2021•江苏省苏州市）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，∠1＝∠2，使得 CE＝AB，连接
E，若 OE = 3， OB = 5 ，则 CD 的长度是（ ）
A. 9.6
B. 4 5
C. 5 3
D. 19
18. （2021•浙江省金华市）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，以该三角形的三条边为
边向形外作正方形，正方形的顶点 E，F，G，H，M，N 都在同一个圆上．记该圆面积为 S1，
4.（2021•长沙市）如图，在⊙O 中，弦 AB 的长为 4，圆心 O 到弦 AB 的距离为 2，则 AOC
的度数为______．
5. （2021•江苏省连云港）如图，OA 、OB 是 O 的半径，点 C 在 O 上，AOB = 30 ， OBC = 40 ，则 OAC = ______ ．
6. （2021•江苏省南京市）如图，AB 是 O 的弦，C 是 AB 的中点，OC 交 AB 于点 D．若 AB = 8cm,CD = 2cm ，则 O 的半径为________ cm ．
数为（ ）
A．18°
B．21°
C．22.5°
D．30°
专题11 圆(第01期)-2021年中考数学试题分项版解析汇编(解析版)
专题11 圆一、选择题1.（2021浙江衢州第10题）运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB 是⊙O 的直径，CD ，EF 是⊙O 的弦，且AB ∥CD ∥EF ，AB =10，CD =6，EF =8。
则图中阴影部分的面积是（ ）A. π225B. π10C. π424+D. π524+【答案】A.【解析】试题解析：作直径CG ，连接OD 、OE 、OF 、DG ．∵CG 是圆的直径，∴∠CDG =90°，则DG 2222106CG CD -=-=8，又∵EF =8，.∴DG =EF ，∴DG EF =，∴S 扇形ODG =S 扇形OEF ，∵AB ∥CD ∥EF ，∴S △OCD =S △ACD ，S △OEF =S △AEF ，∴S 阴影=S 扇形OCD +S 扇形OEF =S 扇形OCD +S 扇形ODG =S 半圆=12π×52=252π．考点：1.圆周角定理；2.扇形面积的计算.2.（2021浙江宁波第9题）如图，在Rt ABC △中，90A ∠°，22BC ，以BC 的中点O 为圆心分别与AB ，AC 相切于D ，E 两点，则DE 的长为( )A.4B.2C.D.2 【答案】B.【解析】试题解析：如图，连接OD ，OE∵AC ，AB 是圆O 的切线∴OE ⊥AC ，OD ⊥AB∵O 是BC 的中点∴点E ，点D 分别是AC ，AB 的中点∴OE =12AB ，OD = 12AC∵OE =OD∴AC =AB∵BC 2由勾股定理得AB =2∴OE =1DE 的弧长=901180π⨯⨯=2π.考点：1.三角形的中位线；2.弧长的计算.3.（2021重庆A 卷第9题）如图，矩形ABCD 的边AB =1，BE 平分∠ABC ，交AD 于点E ，若点E 是AD 的中点，以点B 为圆心，BE 为半径画弧，交BC 于点F ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．24π-B ．324π-C ．28π-D ．328π- 【答案】B.∴图中阴影部分的面积=S 矩形ABCD ﹣S △ABE ﹣S 扇形EBF=1×2﹣12×1×1﹣245（2）360π⨯ =324π-． 故选B ．考点：1.矩形的性质；2.扇形的面积计算.4.（2021广西贵港第9题）如图，,,,A B C D 是O 上的四个点，B 是AC 的中点，M 是半径OD 上任意一点，若40BDC ∠= ，则AMB ∠的度数不可能是（ ）A．45B．60 C. 75D．85【答案】D【解析】试题解析：∵B是AC的中点，∴∠AOB=2∠BDC=80°，又∵M是OD上一点，∴∠AMB≤∠AOB=80°．则不符合条件的只有85°．故选D．.考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．5.（2021贵州如故经9题）如图，⊙O的直径AB=4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC=5，则AD 的长为（）A．65B．85C．75D．235【答案】B【解析】试题解析：连接B D．∵AB是直径，∴∠ADB=90°．∵OC∥AD，∴∠A=∠BOC，∴cos∠A=cos∠BO C．∵BC切⊙O于点B，∴OB⊥BC，∴cos∠BOC=25 OBOC，∴cos∠A=cos∠BOC=25．又∵cos∠A=ADAB，AB=4，∴AD=85．故选B．考点：解直角三角形；平行线的性质；圆周角定理．6.（2021湖北武汉第9题）已知一个三角形的三边长分别为5，7，8．则其内切圆的半径为（）A．32B．32C．3D．23【答案】C【解析】试题解析：如图，AB=7，BC=5，AC=8过A作AD⊥BC于D，设BD=x，则CD＝5-x由勾腰定理得：72-x2=82-（5-x）2解得：x=1∴AD=43设ΔABC的内切圆的半径为r，则有：1 2（5r+7r+8r）=12×5×43解得：r=3故选C.考点：三角形的内切圆.7.（2021江苏无锡第9题）如图，菱形ABCD的边AB=20，面积为320，∠BAD＜90°，⊙O与边AB，AD 都相切，AO=10，则⊙O的半径长等于（）A ．5B ．6C ．25D ．32【答案】C.【解析】试题解析：如图作DH ⊥AB 于H ，连接BD ，延长AO 交BD 于E ．∵菱形ABCD 的边AB =20，面积为320，∴AB •DH =32O ，∴DH =16，在Rt △ADH 中，AH 22AD DH -，∴HB =AB ﹣AH =8，在Rt △BDH 中，BD 2285DH BH +=设⊙O 与AB 相切于F ，连接AF ．∵AD =AB ，OA 平分∠DAB ，∴AE ⊥BD ，∵∠OAF +∠ABE =90°，∠ABE +∠BDH =90°， ∴∠OAF =∠BDH ，∵∠AFO =∠DHB =90°，∴△AOF ∽△DBH ，∴OA OFBD BH =，10885OF=，∴OF 5．故选C ．考点：1.切线的性质；2.菱形的性质．8.（2021甘肃兰州第4题）如图，在O ⊙中，AB BC ，点D 在O ⊙上，25CDB ∠°，则AOB ∠()A.45°B.50°C.55°D.60°【答案】B考点：圆周角定理．9.（2021甘肃兰州第2题）如图，正方形ABCD 内接于半径为2的O ⊙，则图中阴影部分的面积为()A.1B.2C.1D.2【答案】D ．【解析】试题解析：连接AO ，DO ，∵ABCD 是正方形，∴∠AOD =90°，AD 2222OA OD +=圆内接正方形的边长为2=14[4π﹣（2）2]=（π﹣2）cm 2．故选D ．考点：1正多边形和圆；2.扇形面积的计算．10.（2021贵州黔东南州第5题）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（）A．2 B．﹣1 C．2D．4【答案】A．【解析】试题解析：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，∠CEO=90°，∵∠A=15°，∴∠COE=30°，∵OC=2，∴CE=12OC=1，∴CD=2OE=2，故选A．考点：圆周角定理；勾股定理；垂径定理．11. （2021贵州黔东南州第8题）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD 于O，则∠DOC的度数为（）A．60°B．67.5° C．75°D．54°【答案】A．【解析】试题解析：如图，连接DF 、BF ．∵FE ⊥AB ，AE =EB ，∴F A =FB ，∵AF =2AE ，∴AF =AB =FB ，∴△AFB 是等边三角形，∵AF =AD =AB ，∴点A 是△DBF 的外接圆的圆心，∴∠FDB =12∠F AB =30°， ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD =BC ，∠DAB =∠ABC =90°，∠ADB =∠DBC =45°，∴∠F AD =∠FBC ，∴△F AD ≌△FBC ，∴∠ADF =∠FCB =15°，∴∠DOC =∠OBC +∠OCB =60°．故选A ．考点：正方形的性质．12.（2021山东烟台第9题）如图，□ABCD 中，070=∠B ，6=BC ，以AD 为直径的⊙O 交CD 于点E ，则弧DE 的长为（ ）A ．π31B ．π32 C.π67 D ．π34 【答案】B ．∴DE 的长=40321803ππ⨯=. 故选：B ．考点：弧长的计算；平行四边形的性质；圆周角定理．13.（2021四川泸州第6题）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ．若AB =8，AE =1，则弦CD 的长是（ ）7 7 C ．6 D ．8【答案】B．考点：1.垂径定理；2.勾股定理．14.（2021四川自贡第10题）AB是⊙O的直径，P A切⊙O于点A，PO交⊙O于点C；连接BC，若∠P=40°，则∠B等于（）A．20°B．25°C．30°D．40°【答案】B.【解析】试题解析：∵P A切⊙O于点A，∴∠P AB=90°，∵∠P=40°，∴∠POA=90°﹣40°=50°，∵OC=OB，∴∠B=∠BCO=25°，故选B．考点：切线的性质.15.（2021新疆建设兵团第9题）如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，连接AO并延长交⊙O 于点E，连接BE，CE．若AB=8，CD=2，则△BCE的面积为（）A ．12B ．15C ．16D ．18【答案】A.【解析】考点：圆周角定理；垂径定理．16.（2021江苏徐州第6题）如图，点,,A B C ，在⊙O 上，72AOB ∠=，则ACB ∠=（）A ．28B ．54 C.18 D ．36【答案】D ．【解析】试题解析：根据圆周角定理可知，∠AOB =2∠ACB =72°，即∠ACB =36°，故选D ．考点：圆周角定理．二、填空题1.（2021浙江衢州第15题）如图，在直角坐标系中，⊙A 的圆心A 的坐标为（-1，0），半径为1，点P 为直线343+-=x y 上的动点，过点P 作⊙A 的切线，切点为Q ，则切线长PQ 的最小值是__________【答案】22．【解析】试题解析：连接AP ，PQ ，当AP 最小时，PQ 最小，∴当AP ⊥直线y =﹣34x +3时，PQ 最小， ∵A 的坐标为（﹣1，0），y =﹣34x +3可化为3x +4y ﹣12=0，∴AP =22|3(1)4012|34⨯-+⨯-+=3，∴PQ =223-1=22．考点：1.切线的性质；2.一次函数的性质.2.（2021山东德州第17题）某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示.圆O 的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E 为上切点），与左右两边相交(,F G 为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域.已知圆的半径为1m ，根据设计要求，若45EOF ∠= ，则此窗户的透光率（透光区域与矩形窗面的面枳的比值）为 ．【答案】（+2）28π 【解析】试题解析：如图，过F 作FG ⊥OF ，连接OG ,OM ,ON△OFH 是等腰直角三角形，∴FH =OFsin 45°=22，AB =2，BC =2OF =2 ∴矩形ABCD 面积=22∴S 空白=2S 扇形FOM +2SΔAOG=290112+2113602π⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+12π ∴窗户的透光率=（+2）28π 考点：扇形的面积及概率3.（2021重庆A 卷第15题）如图，BC 是⊙O 的直径，点A 在圆上，连接AO ，AC ，∠AOB =64°，则∠ACB = ．【答案】32°．【解析】试题解析：∵AO =OC ，∴∠ACB =∠OAC ，∵∠AOB =64°，∴∠ACB +∠OAC =64°，∴∠ACB =64°÷2=32°．考点：圆周角定理.4.（2021甘肃庆阳第14题）如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB =32°，则∠C = °．【答案】58°．【解析】试题解析：如图，连接OB ，∵OA =OB ，∴△AOB 是等腰三角形，∴∠OAB =∠OBA ，∵∠OAB =32°，∴∠OAB =∠OAB =32°，∴∠AOB =116°，∴∠C =58°．考点：圆周角定理．5. （2021甘肃庆阳第17题）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =1，AB =2，以点A 为圆心、AC 的长为半径画弧，交AB 边于点D ，则弧CD 的长等于 ．（结果保留π）【答案】3π. 【解析】考点：弧长的计算；含30度角的直角三角形．6.（2021广西贵港第17题）如图，在扇形OAB 中，C 是OA 的中点，,CD OA CD ⊥ 与AB 交于点D ，以O 为圆心，OC 的长为半径作CE 交OB 于点E ，若4,120OA AOB =∠=，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）【答案】4233π+．【解析】试题解析：连接OD、AD，∵点C为OA的中点，∴∠CDO=30°，∠DOC=60°，∴△ADO为等边三角形，∴S扇形AOD=260483603ππ⨯=，∴S阴影=S扇形AOB﹣S扇形COE﹣（S扇形AOD﹣S△COD）=221204120281(223) 36036032πππ⨯⨯---⨯⨯=164823 333πππ--+=4233π+．考点：扇形面积的计算；线段垂直平分线的性质．7.（2021湖南怀化第14题）如图，O⊙的半径为2，点A，B在O⊙上，90AOB∠°，则阴影部分的面积为．【答案】π﹣2．考点：扇形面积的计算．8. （2021湖南怀化第16题）如图，在菱形ABCD中，120∠°，10cmAB，点P是这个菱形内部或ABC边上的一点，若以,,P B C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A(P，A两点不重合)两点间的最短距离为cm.【答案】310（cm）.【解析】试题解析：连接BD，在菱形ABCD中，∵∠ABC=120°，AB=BC=AD=CD=10，∴∠A=∠C=60°，∴△ABD，△BCD都是等边三角形，①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P与点D重合时，P A最小，最小值P A=10；②若以边PB为底，∠PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP最小，最小值为310；③若以边PC为底，∠PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D均满足△PBC 为等腰三角形，当点P与点A重合时，P A最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；综上所述，PD的最小值为3﹣10（cm）..考点：菱形的性质；等腰三角形的性质．9.（2021江苏无锡第17题）如图，已知矩形ABCD中，AB=3，AD=2，分别以边AD，BC为直径在矩形ABCD 的内部作半圆O1和半圆O2，一平行于AB的直线EF与这两个半圆分别交于点E、点F，且EF=2（EF与AB在圆心O1和O2的同侧），则由AE，EF，FB，AB 所围成图形（图中阴影部分）的面积等于．【答案】534﹣6π．【解析】试题解析：连接O1O2，O1E，O2F，则四边形O1O2FE是等腰梯形，过E作EG⊥O1O2，过F⊥O1O2，∴四边形EGHF是矩形，∴GH=EF=2，∴O1G=12，∵O1E=1，∴GE3∴111 2O GO E=；∴∠O 1EG =30°，∴∠AO 1E =30°，同理∠BO 2F =30°，∴阴影部分的面积=S 矩形ABO 2O 1﹣2S 扇形AO 1E ﹣S 梯形EFO 2O 1=3×1﹣2×2301360π⨯⨯=12（2+3）×32=3﹣534﹣6π． 考点：1.扇形面积的计算；2.矩形的性质．10.（2021江苏盐城第14题）如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，点C 在AmB 上，点D 在AB 上，若∠ACB =70°，则∠ADB = °．【答案】110°【解析】试题解析：∵点C 在AmB 上，点D 在AB 上，若∠ACB =70°，∴∠ADB +∠ACB =180°，∴∠ADB =110°考点：圆周角定理.11.（2021山东烟台第18题）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB .已知6=OA ，取OA 的中点C ，过点C 作OA CD ⊥交弧AB 于点D ，点F 是弧AB 上一点，若将扇形BOD 沿OD 翻折，点B 恰好与点F 重合.用剪刀沿着线段FA DF BD ,,依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为 .【答案】36π﹣108【解析】试题解析：如图，∵CD⊥OA，∴∠DCO=∠AOB=90°，∵OA=OD=OB=6，OC=12OA=12OD，∴∠ODC=∠BOD=30°，作DE⊥OB于点E，则DE=12OD=3，∴S弓形BD=S扇形BOD﹣S△BOD=2306360π⨯﹣12×6×3=3π﹣9，则剪下的纸片面积之和为12×（3π﹣9）=36π﹣108考点：扇形面积的计算12.（2021四川宜宾第15题）如图，⊙O的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点G，AE=2，则EG的长是．【答案】5﹣1【解析】考点：正多边形和圆．13.（2021四川宜宾第17题）如图，等腰△ABC内接于⊙O，已知AB=AC，∠ABC=30°，BD是⊙O的直径，如果CD=433，则AD=．【答案】4.【解析】试题解析：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=∠ADB=30°，∵BD是直径，∴∠BAD=90°，∠ABD=60°，∴∠CBD=∠ABD﹣∠ABC=30°，∴∠ABC=∠CBD，∴AC CD AB==，∴CB AD=，∴AD=CB，∵∠BCD=90°，∴BC=CD•tan60°=433•3=4，∴AD=BC=4．考点：1.圆周角定理；2.等腰三角形的性质；3.含30°角的直角三角形.14.（2021江苏徐州第15题）正六边形的每个内角等于．【答案】120°.【解析】试题解析：六边形的内角和为：（6-2）×180°=720°，∴正六边形的每个内角为：7206︒=120°.考点：多边形的内角与外角.15. （2021江苏徐州第16题）如图，AB与⊙O相切于点B，线段OA与弦BC垂直，垂足为,2D AB BC==，则AOB∠=．【答案】60°．【解析】考点：切线的性质.ABm=︒，弓16.（2021浙江嘉兴第13题）如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8cm的O，90形ACB（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为．【答案】（32+48π）cm2【解析】试题解析：连接OA、OB，∵AB=90°，∴∠AOB=90°，∴S △AOB =12×8×8=32， 扇形ACB （阴影部分）=22036078π⨯⨯=48π， 则弓形ACB 胶皮面积为（32+48π）cm 2考点：1.垂径定理的应用；2.扇形面积的计算．三、解答题1.（2021浙江衢州第19题）如图，AB 为半圆O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 切半圆O 于点D 。
【中考必备】最新中考数学试题分类解析 专题11 方程(组)的应用
2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）专题11：方程（组）的应用一、选择题1. （2012宁夏区3分）小颖家离学校1200米,其中有一段为上坡路，另一段为下坡路.她去学校共用了16分钟.假设小颖上坡路的平均速度是3千米/时，下坡路的平均速度是5千米/时.若设小颖上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，根据题意可列方程组为【】A．3x5y1200x y16+=⎧⎨+=⎩B．35x y 1.26060x y16⎧+=⎪⎨⎪+=⎩C．3x5y 1.2x y16+=⎧⎨+=⎩D．35x y12006060x y16⎧+=⎪⎨⎪+=⎩【答案】B。
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组。
【分析】要列方程，首先要根据题意找出存在的等量关系。
本题等量关系为：上坡用的时间×上坡的速度＋下坡用的时间×下坡速度=1200，上坡用的时间＋下坡用的时间=16。
把相关数值代入（注意单位的通一），得35x y 1.26060x y16⎧+=⎪⎨⎪+=⎩。
故选B。
2. （2012宁夏区3分）运动会上，初二 (3)班啦啦队，买了两种价格的雪糕，其中甲种雪糕共花费40元，乙种雪糕共花费30元，甲种雪糕比乙种雪糕多20根．乙种雪糕价格是甲种雪糕价格的1.5倍，若设甲种雪糕的价格为x元，根据题意可列方程为【】．A．4030201.5x x-=B.403020x 1.5x-=C．304020x 1.5x-=D.3040201.5x x-=【答案】B。
【考点】由实际问题抽象出分式方程。
【分析】要列方程，首先要根据题意找出存在的等量关系。
本题等量关系为：甲种雪糕数量比乙种雪糕数量多20根。
而甲种雪糕数量为40x，乙种雪糕数量为301.5x。
（数量=金额÷价格）从而得方程：403020x 1.5x-=。
故选B。
3. （2012广东湛江4分）湛江市2009年平均房价为每平方米4000元．连续两年增长后，2011年平均房价达到每平方米5500元，设这两年平均房价年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是【】A．5500（1+x）2=4000 B．5500（1﹣x）2=4000 C．4000（1﹣x）2=5500 D．4000（1+x）2=5500 【答案】D。
辽宁吉林黑龙江3省2011年中考数学试题分类解析专题(1-12)-5
辽宁吉林黑龙江3省2011年中考数学专题8:平面几何基础一、选择题1. （辽宁抚顺3分）七边形内角和的度数是．A. 1 080°B. 1 260°C. 1 620°D. 900°【答案】D。
【考点】多边形内角和定理。
【分析】根据多边形内角和定理直接计算得出结果：（7－2）×180°＝900°。
故选D。
2.（辽宁阜新3分）如图，已知AB∥CD，OM是∠BOF的平分线，∠2＝70°，则∠1的度数为A．100°B．125°C．130°D．140°【答案】D。
【考点】平行线的性质，角平分线的性质。
【分析】由AB∥CD，根据平行线同位角相等的性质得∠BOM＝∠2＝70°，由OM是∠BOF的平分线得∠BOF＝2∠BOM＝140°，又根据平行线内错角相等的性质得∠1＝∠BOF ＝140°。
故选D。
二、填空题1. （辽宁大连3分）如图，直线a∥b，∠1＝115°，则∠2＝▲ °．【答案】65°。
【考点】平行线的性质，互为补角的定义。
【分析】由平行线同位角相等的性质可得，∠3＝∠1＝115°，由互为补角的定义可得∠2＝180°－∠3＝180°－115°＝65°。
2.（辽宁本溪3分）如图：AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠AEF．EG⊥FG于点G，若∠BEM=50°，则∠CFG= ▲ 度。
【答案】65。
【考点】对顶角的性质，平行线的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理。
【分析】首先由AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠CFE的度数，又由内角和定理，求得∠GFE的度数，则可求得∠CFG的度数：∵AB∥CD，∴∠AEF＋∠CFE＝180°。
辽宁吉林黑龙江3省2011年中考数学试题分类解析专题(1-12)-10
辽宁吉林黑龙江3省2011年中考数学专题6：函数的图像与性质 选择题1. （辽宁本溪3分）反比例函数(0)ky k x =≠的图象如图所示，若点A（11x y ，）、B （22x y ，）、C （33x y ，）是这个函数图象上的三点，且1230x x x >>>，则123y y y 、、的大小关系A 、312y y y << B 、213y y y << C 、321y y y << D 、123y y y <<【答案】B 。
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征。
【分析】由反比例函数(0)ky k x =≠的增减性可知，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，∴当x 1＞x 2＞0时，则0＞y 1＞y 2，又C （x 3，y 3）在第二象限，y 3＞0，∴y 2＜y 1＜y 3，故选B 。
2．（辽宁丹东3分）反比例函数ky x =的图象如图所示，则一次函数y kx k =+的图象大致是【答案】D 。
【考点】反比例函数和一次函数的图象。
【分析】根据反比例函数ky x =的图象所在的象限确定k ＞0。
然后根据k ＞0确定一次函数y kx k =+的图象的单调性及与y 轴的交点的大体位置，从而确定该一次函数y kx k =+的图象经过第一、二、三象限故选D 。
3.（辽宁抚顺3分）如图所示，在平面直角坐标系中，直线OM 是正比例函数y ＝－3x 的图象，点A 的坐标为(1,0)，在直线OM 上找点N ，使△ONA 是等腰三角形，符合条件的点N 的个数是．A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 【答案】A 。
【考点】正比例函数图象的性质，锐角三角函数，等腰三角形的判定。
【分析】如图，根据正比例函数图象的性质和锐角三角函数，可以求出∠AON2＝600，故当OA ＝O N2时，A N2＝OA 。
因此符合条件的点N 只有 N1和N2两个。
故选A 。
2020-2021全国中考数学圆的综合的综合中考真题分类汇总附详细答案
2020-2021全国中考数学圆的综合的综合中考真题分类汇总附详细答案一、圆的综合1．如图，△ABC的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC=∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD于E，交AB于F，交⊙O于G．（1）判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：AG2=AF·AB；（3）若⊙O的直径为10，AC=25，AB=45，求△AFG的面积.【答案】（1）PA与⊙O相切，理由见解析；（2）证明见解析；（3）3.【解析】试题分析：（1）连接CD，由AD为⊙O的直径，可得∠ACD=90°，由圆周角定理，证得∠B=∠D，由已知∠PAC=∠B，可证得DA⊥PA，继而可证得PA与⊙O相切．（2）连接BG，易证得△AFG∽△AGB，由相似三角形的对应边成比例，证得结论.（3）连接BD，由AG2=AF•AB，可求得AF的长，易证得△AEF∽△ABD，即可求得AE的长，继而可求得EF与EG的长，则可求得答案．试题解析：解：（1）PA与⊙O相切．理由如下：如答图1，连接CD，∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD=90°.∴∠D+∠CAD=90°.∵∠B=∠D，∠PAC=∠B，∴∠PAC=∠D.∴∠PAC+∠CAD=90°，即DA⊥PA.∵点A在圆上，∴PA与⊙O相切．（2）证明：如答图2，连接BG ，∵AD 为⊙O 的直径，CG ⊥AD ，∴»»AC AD =.∴∠AGF=∠ABG.∵∠GAF=∠BAG ，∴△AGF ∽△ABG.∴AG ：AB=AF ：AG. ∴AG 2=AF•AB.（3）如答图3，连接BD ，∵AD 是直径，∴∠ABD=90°.∵AG 2=AF•AB ，55∴5∵CG ⊥AD ，∴∠AEF=∠ABD=90°.∵∠EAF=∠BAD ，∴△AEF ∽△ABD. ∴AE AF AB AD =545=，解得：AE=2. ∴221EF AF AE =-=. ∵224EG AG AE =-=，∴413FG EG EF =-=-=. ∴1132322AFG S FG AE ∆=⋅⋅=⨯⨯=．考点：1. 圆周角定理；2.直角三角形两锐角的关系；3. 相切的判定；4.垂径定理；5.相似三角形的判定和性质；6.勾股定理；7.三角形的面积.2．在⊙O 中，点C 是AB u u u r上的一个动点(不与点A ，B 重合)，∠ACB=120°，点I 是∠ABC 的内心，CI 的延长线交⊙O 于点D ，连结AD,BD ．（1）求证：AD=BD ．（2）猜想线段AB 与DI 的数量关系，并说明理由．（3）若⊙O 的半径为2，点E ，F 是»AB 的三等分点，当点C 从点E 运动到点F 时，求点I 随之运动形成的路径长．【答案】（1）证明见解析；（2）AB=DI ，理由见解析（323 【解析】分析：（1）根据内心的定义可得CI 平分∠ACB ，可得出角相等，再根据圆周角定理，可证得结论；（2）根据∠ACB=120°，∠ACD=∠BCD ，可求出∠BAD 的度数，再根据AD=BD ，可证得△ABD 是等边三角形，再根据内心的定义及三角形的外角性质，证明∠BID=∠IBD ，得出ID=BD ，再根据AB=BD ，即可证得结论；（3）连接DO ，延长DO 根据题意可知点I 随之运动形成的图形式以D 为圆心，DI 1为半径的弧，根据已知及圆周角定理、解直角三角形，可求出AD 的长，再根据点E ，F 是 弧AB ⌢的三等分点，△ABD 是等边三角形，可证得∠DAI 1=∠AI 1D ，然后利用弧长的公式可求出点I 随之运动形成的路径长.详解：（1）证明：∵点I是∠ABC的内心∴CI平分∠ACB∴∠ACD=∠BCD∴弧AD=弧BD∴AD=BD（2）AB=DI理由：∵∠ACB=120°，∠ACD=∠BCD∴∠BCD=×120°=60°∵弧BD=弧BD∴∠DAB=∠BCD=60°∵AD=BD∴△ABD是等边三角形，∴AB=BD，∠ABD=∠C∵I是△ABC的内心∴BI平分∠ABC∴∠CBI=∠ABI∵∠BID=∠C+∠CBI，∠IBD=∠ABI+∠ABD∴∠BID=∠IBD∴ID=BD∵AB=BD∴AB=DI（3）解：如图，连接DO，延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DI1为半径的弧∵∠ACB=120°，弧AD=弧BD∴∠AED=∠ACB=×120°=60°∵圆的半径为2，DE是直径∴DE=4，∠EAD=90°∴AD=sin∠AED×DE=×4=2∵点E，F是弧AB ⌢的三等分点，△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°∴弧AB的度数为120°，∴弧AM、弧BF的度数都为为40°∴∠ADM=20°=∠FAB∴∠DAI1=∠FAB+∠DAB=80°∴∠AI1D=180°-∠ADM-∠DAI1=180°-20°-80°=80°∴∠DAI1=∠AI1D∴AD=I1D=2∴弧I1I2的长为：点睛：此题是一道圆的综合题，有一定的难度，熟记圆的相关性质与定理，并对圆中的弦、弧、圆心角、圆周角等进行灵活转化是解题关键，注意数形结合思想的渗透.3．在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”．（1）已知点A（2，0），B（0，23），则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为；（2）若点C（1，2），点D在直线y=5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；（3）⊙O的半径为2，点P的坐标为（3，m）．若在⊙O上存在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围．【答案】（1）60°；（2）y=x+1或y=﹣x+3；（3）1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1【解析】分析：（1）根据定义建立以AB为边的“坐标菱形”，由勾股定理求边长AB=4，可得30度角，从而得最小内角为60°；（2）先确定直线CD与直线y=5的夹角是45°，得D（4，5）或（﹣2，5），易得直线CD的表达式为：y=x+1或y=﹣x+3；（3）分两种情况：①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3，根据等腰直角三角形的性质分别求P'B=BD=1，PB=5，写出对应P的坐标；②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4，同理可得结论．详解：（1）∵点A（2，0），B（0，3∴OA=2，OB3．在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB22（），∴∠ABO=30°．223∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC=2∠ABO=60°．∵AB∥CD，∴∠DCB=180°﹣60°=120°，∴以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为60°．故答案为：60°；（2）如图2．∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形，∴直线CD与直线y=5的夹角是45°．过点C作CE⊥DE于E，∴D（4，5）或（﹣2，5），∴直线CD的表达式为：y=x+1或y=﹣x+3；（3）分两种情况：①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3．∵⊙O2，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD2OQ'=2，∴P'D=3﹣2=1．∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5．∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，5），∴当1≤m≤5时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4．∵⊙O的半径为2，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD=2OQ'=2，∴BD=3﹣2=1．∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，﹣1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5．∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，﹣5），∴当﹣5≤m≤﹣1时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；综上所述：m的取值范围是1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1．点睛：本题是一次函数和圆的综合题，考查了菱形的性质、正方形的性质、点P，Q的“坐标菱形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考创新题目．4．已知：AB是⊙0直径,C是⊙0外一点,连接BC交⊙0于点D，BD=CD,连接AD、AC．(1)如图1,求证:∠BAD=∠CAD(2)如图2,过点C作CF⊥AB于点F,交⊙0于点E,延长CF交⊙0于点G.过点作EH⊥AG于点H，交AB于点K,求证AK=2OF；(3)如图3,在(2)的条件下,EH交AD于点L,若0K=1,AC=CG,求线段AL的长.图1 图2 图3【答案】(1)见解析(2)见解析(3)12105 【解析】试题分析：（1）由直径所对的圆周角等于90°，得到∠ADB =90°，再证明△ABD ≌△ACD 即可得到结论；（2）连接BE ．由同弧所对的圆周角相等，得到∠GAB =∠BEG ．再证△KFE ≌△BFE ，得到BF =KF =BK ．由OF =OB -BF ，AK =AB -BK ，即可得到结论． （3）连接CO 并延长交AG 于点M ，连接BG ．设∠GAB =α．先证CM 垂直平分AG ，得到AM =GM ，∠AGC +∠GCM =90°．再证∠GAF =∠GCM =α．通过证明△AGB ≌△CMG ，得到BG =GM =12AG ．再证明∠BGC =∠MCG =α．设BF =KF =a ， 可得GF =2a ，AF =4a ． 由OK =1，得到OF =a +1，AK =2（a +1），AF = 3a +2，得到3a +2=4a ，解出a 的值，得到AF ，AB ，GF ，FC 的值．由tanα=tan ∠HAK =12HK AH =， AK =6，可以求出 AH 的长．再由1tan tan 3BAD BCF ∠=∠= ，利用公式tan ∠GAD =tan tan 1tan tan GAF BAD GAF BAD ∠+∠-∠⋅∠，得到∠GAD =45°，则AL =2AH ，即可得到结论．试题解析：解：（1）∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，∴∠ADC =90°．∵BD =CD ，∠BDA =∠CDA ，AD =AD ，∴△ABD ≌△ACD ，∴∠BAD =∠CAD ．（2）连接BE ．∵BG =BG ，∴∠GAB =∠BEG ．∵CF ⊥AB ，∴∠KFE =90°．∵EH ⊥AG ，∴∠AHE =∠KFE =90°，∠AKH =∠EKF ，∴∠HAK =∠KEF =∠BEF ．∵FE =FE ，∠KFE =∠BFE =90°，∴△KFE ≌△BFE ，∴BF =KF =BK ．∵ OF =OB -BF ，AK =AB -BK ，∴AK =2OF ．（3）连接CO 并延长交AG 于点M ，连接BG ．设∠GAB =α．∵AC =CG ， ∴点C 在AG 的垂直平分线上．∵ OA =OG ，∴点O 在AG 的垂直平分线上， ∴CM 垂直平分AG ，∴AM =GM ，∠AGC +∠GCM =90°．∵AF ⊥CG ，∴∠AGC +∠GAF =90°，∴∠GAF =∠GCM =α．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AGB = 90°，∴∠AGB =∠CMG =90°．∵AB =AC =CG ，∴△AGB ≌△CMG ，∴BG =GM =12AG ． 在Rt △AGB 中， 1tan tan 2GB GAB AG α∠=== ． ∵∠AMC =∠AGB = 90°，∴BG ∥CM ， ∴∠BGC =∠MCG =α．设BF =KF =a ， 1tan tan 2BF BGF GF α∠===，∴GF =2a ，1tan tan 2GF GAF AF α∠=== ，AF =4a ．∵OK =1，∴OF =a +1，AK =2OF =2（a +1），∴AF =AK +KF =a +2（a +1）=3a +2，∴3a +2=4a ，∴a =2， AK =6，∴AF =4a =8，AB =AC =CG =10，GF =2a =4，FC =CG -GF =6． ∵tanα=ta n ∠HAK =12HK AH =，设KH =m ，则AH =2m ，∴AK 22(2)m m +=6，解得：m =655，∴AH =2m 125．在Rt △BFC 中，1tan 3BF BCF FC ∠== ．∵∠BAD +∠ABD =90°， ∠FBC +∠BCF =90°，∴∠BCF =∠BAD ，1tan tan 3BAD BCF ∠=∠= ，∴tan ∠GAD =tan tan 1tan tan GAF BAD GAF BAD ∠+∠-∠⋅∠=1123111123+=-⨯，∴∠GAD =45°，∴HL=AH ，AL 2AH 12105．如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D 作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．（1）求证：DP∥AB；（2）若AC=6，BC=8，求线段PD的长．【答案】详见解析【解析】【分析】（1）连接OD，由AB为⊙O的直径，根据圆周角定理得∠ACB=90°，再由∠ACD=∠BCD=45°，则∠DAB=∠ABD=45°，所以△DAB为等腰直角三角形，所以DO⊥AB，根据切线的性质得OD⊥PD，于是可得到DP∥AB．（2）先根据勾股定理计算出AB=10，由于△DAB为等腰直角三角形，可得到AD5222===△ACE为等腰直角三角形，得到AE CE3222====，在Rt△AED中利用勾股定理计算出DE=2，则CD=2，易证得∴△PDA∽△PCD，得到PD PA AD52PC PD CD72===，所以PA=57PD，PC=75PD，然后利用PC=PA+AC可计算出PD．【详解】解：（1）证明：如图，连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠ACD=∠BCD=45°．∴∠DAB=∠ABD=45°．∴△DAB为等腰直角三角形．∴DO⊥AB．∵PD为⊙O的切线，∴OD⊥PD．∴DP∥AB．（2）在Rt△ACB中，，∵△DAB为等腰直角三角形，∴．∵AE⊥CD，∴△ACE为等腰直角三角形．∴．在Rt△AED中，，∴．∵AB∥PD，∴∠PDA=∠DAB=45°．∴∠PAD=∠PCD．又∵∠DPA=∠CPD，∴△PDA∽△PCD．∴．∴PA=75PD，PC=57PD．又∵PC=PA+AC，∴75PD+6=57PD，解得PD=．6．如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C．（1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求点B的坐标；（2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．【答案】(1) B（，2）．(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）在Rt△ABN中，求出AN、AB即可解决问题；（2）连接MC，NC．只要证明∠MCD=90°即可试题解析：（1）∵A的坐标为（0，6），N（0，2），∴AN=4，∵∠ABN=30°，∠ANB=90°，∴AB=2AN=8，∴由勾股定理可知：NB=，∴B（，2）．（2）连接MC，NC∵AN是⊙M的直径，∴∠ACN=90°，∴∠NCB=90°，在Rt△NCB中，D为NB的中点，∴CD=NB=ND，∴∠CND=∠NCD，∵MC=MN，∴∠MCN=∠MNC，∵∠MNC+∠CND=90°，∴∠MCN+∠NCD=90°，即MC⊥CD．∴直线CD是⊙M的切线．考点：切线的判定；坐标与图形性质．7．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．点E为CD边上一点，AE与BE分别为∠DAB和∠CBA的平分线．（1）请你添加一个适当的条件，使得四边形ABCD是平行四边形，并证明你的结论；（2）作线段AB的垂直平分线交AB于点O，并以AB为直径作⊙O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（3）在（2）的条件下，⊙O交边AD于点F，连接BF，交AE于点G，若AE=4，sin∠AGF=45，求⊙O的半径．【答案】（1）当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由见解析；（2）作出相应的图形见解析；（3）圆O的半径为2.5．【解析】分析：（1）添加条件AD=BC，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形验证即可；（2）作出相应的图形，如图所示；（3）由平行四边形的对边平行得到AD与BC平行，可得同旁内角互补，再由AE与BE为角平分线，可得出AE与BE垂直，利用直径所对的圆周角为直角，得到AF与FB垂直，可得出两锐角互余，根据角平分线性质及等量代换得到∠AGF=∠AEB，根据sin∠AGF的值，确定出sin∠AEB的值，求出AB的长，即可确定出圆的半径．详解：（1）当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由为：证明：∵AD∥BC，AD=BC，∴四边形ABCD为平行四边形；故答案为：AD=BC；（2）作出相应的图形，如图所示；（3）∵AD∥BC，∴∠DAB+∠CBA=180°，∵AE与BE分别为∠DAB与∠CBA的平分线，∴∠EAB+∠EBA=90°，∴∠AEB=90°，∵AB为圆O的直径，点F在圆O上，∴∠AFB=90°，∴∠FAG+∠FGA=90°，∵AE平分∠DAB，∴∠FAG=∠EAB ， ∴∠AGF=∠ABE ， ∴sin ∠ABE=sin ∠AGF=45AE AB=， ∵AE=4， ∴AB=5，则圆O 的半径为2.5．点睛：此题属于圆综合题，涉及的知识有：圆周角定理，平行四边形的判定与性质，角平分线性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质及定理是解本题的关键．8．AB 是⊙O 直径，在AB 的异侧分别有定点C 和动点P ，如图所示，点P 在半圆弧AB 上运动（不与A 、B 重合），过C 作CP 的垂线CD ，交PB 的延长线于D ，已知5AB =，BC ∶CA ＝4∶3． （1）求证：AC ·CD ＝PC ·BC ；（2）当点P 运动到AB 弧的中点时，求CD 的长；（3）当点P 运动到什么位置时，PCD ∆的面积最大？请直接写出这个最大面积．【答案】(1)证明见解析；（2）CD 142；（3）当PC 为⊙O 直径时，△PCD 的最大面积=503. 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理可得∠PCD=∠ACB=90°，可证△ABC ∽△PCD ，可得AC BCCP CD=,即可得证．（2）由题意可求BC=4，AC=3，由勾股定理可求CE 的长，由锐角三角函数可求PE 的长，即可得PC 的长，由AC•CD=PC•BC 可求CD 的值； （3）当点P 在¶AB 上运动时，12PCD S PC CD =⨯⨯V ，由（1）可得：43CD PC =，可得2142233PCD S PC PC PC V =⨯⨯=，当PC 最大时，△PCD 的面积最大，而PC 为直径时最大，故可求解． 【详解】证明：（1）∵AB 为直径， ∴∠ACB =90° ∵PC ⊥CD ， ∴∠PCD =90°∴∠PCD =∠ACB ，且∠CAB =∠CPB ∴△ABC ∽△PCD ∴AC BCCP CD= ∴AC •CD =PC •BC（2）∵AB =5，BC ：CA =4：3，∠ACB =90° ∴BC =4，AC =3，当点P 运动到¶AB 的中点时，过点B 作BE ⊥PC 于点E ∵点P 是¶AB 的中点， ∴∠PCB =45°，且BC =4∴CE =BE 2BC 2 ∵∠CAB =∠CPB∴tan ∠CAB =43=BC AC =tan ∠CAB =BEPE∴PE =322∴PC =PE +CE =3222=22∵AC •CD =PC •BC∴3×CD =22×4∴CD =1423（3）当点P 在¶AB 上运动时，S △PCD =12×PC ×CD ， 由（1）可得：CD =43PC ∴S △PCD =1423PC PC ⨯⨯=23PC 2， ∴当PC 最大时，△PCD 的面积最大， ∴当PC 为⊙O 直径时，△PCD 的最大面积=23×52=503【点睛】本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，锐角三角函数，求出PC 的长是本题的关键．9．如图，已知AB 是⊙O 的直径，P 是BA 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，CD ⊥AB ，垂足为D ．（1）求证：∠PCA ＝∠ABC ；（2）过点A 作AE ∥PC 交⊙O 于点E ，交CD 于点F ，交BC 于点M ，若∠CAB ＝2∠B ，CF 3 【答案】（1）详见解析；（2）6334π-. 【解析】 【分析】（1）如图，连接OC ，利用圆的切线的性质和直径对应的圆周角是直角可得∠PCA=∠OCB ，利用等量代换可得∠PCA=∠ABC.（2）先求出△OCA 是等边三角形，在利用三角形的等边对等角定理求出FA=FC 和CF=FM,然后分别求出AM 、AC 、MO 、CD 的值，分别求出0A E S ∆、BOE S 扇形 、ABM S ∆ 的值，利用0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形，然后通过计算即可解答.【详解】解：（1）证明：连接OC ，如图，∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC,∴∠PCA+∠ACO=90º,∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ACO+OCB=90º∴∠PCA=∠OCB,∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB,∴∠PCA=∠ABC；（2）连接OE，如图，∵△ACB中，∠ACB＝90º,∠CAB＝2∠B,∴∠B＝30º,∠CAB＝60º,∴△OCA是等边三角形，∵CD⊥AB,∴∠ACD+∠CAD＝∠CAD＋∠ABC＝90º,∴∠ACD＝∠B＝30º,∵PC∥AE,∴∠PCA＝∠CAE＝30º,∴FC=FA,同理，CF＝FM,∴AM＝2CF=23,Rt△ACM中，易得AC=23×32=3＝OC,∵∠B＝∠CAE＝30º,∴∠AOC=∠COE=60º,∴∠EOB=60º,∴∠EAB=∠ABC=30º,∴MA=MB,连接OM,EG⊥AB交AB于G点，如图所示，∵OA=OB,∴MO⊥AB,∴MO＝3∵△CDO≌△EDO(AAS)，∴332∴1332ABM S AB MO ∆=⨯=, 同样，易求93AOE S ∆=， 260333602BOES ππ⨯==扇形 ∴0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形=933633332ππ-+-=. 【点睛】本题考查了切线的性质、解直角三角形、扇形面积和识图的能力，综合性较强，有一定难度，熟练掌握定理并准确识图是解题的关键.10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BAD =90°，AD 、BC 的延长线交于点F ，点E 在CF 上，且∠DEC =∠BAC ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）当AB =AC 时，若CE =2，EF =3，求⊙O 的半径．【答案】（1）证明见解析；（235． 【解析】 【分析】（1）先判断出BD 是圆O 的直径，再判断出BD ⊥DE ，即可得出结论；（2）根据余角的性质和等腰三角形的性质得到∠F =∠EDF ，根据等腰三角形的判定得到DE =EF =3，根据勾股定理得到CD 225DE CE -=△CDE ∽△DBE ，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）如图，连接BD ．∵∠BAD =90°，∴点O 必在BD 上，即：BD 是直径，∴∠BCD =90°，∴∠DEC +∠CDE =90°． ∵∠DEC =∠BAC ，∴∠BAC +∠CDE =90°．∵∠BAC =∠BDC ，∴∠BDC +∠CDE =90°，∴∠BDE =90°，即：BD ⊥DE ． ∵点D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线；（2）∵∠BAF =∠BDE =90°，∴∠F +∠ABC =∠FDE +∠ADB =90°． ∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ．∵∠ADB =∠ACB ，∴∠F =∠FDE ，∴DE =EF =3． ∵CE =2，∠BCD =90°，∴∠DCE =90°，∴CD 225DE CE =-=．∵∠BDE =90°，CD ⊥BE ，∴∠DCE =∠BDE =90°． ∵∠DEC =∠BED ，∴△CDE ∽△DBE ，∴CD BD CE DE =，∴BD 533522⨯==，∴⊙O 的半径354=．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，求出DE =EF 是解答本题的关键．11．如图，点A ，B ，C ，D ，E 在⊙O 上，AB ⊥CB 于点B ，tanD=3，BC=2，H 为CE 延长线上一点，且AH=10，CH 52=.（1）求证：AH 是⊙O 的切线；（2）若点D 是弧CE 的中点，且AD 交CE 于点F ，求证：HF=HA ； （3）在（2）的条件下，求EF 的长．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3102【解析】【分析】（1）连接AC，由AB⊥CB可知AC是⊙O的直径，由圆周角定理可得∠C=∠D，于是得到tanC=3，故此可知AB=6，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2= 40，从而可得AC2+AH2=CH2，根据勾股定理的逆定理可得AC⊥AH，问题得证；（2）连接DE、BE，由弦切角定理可知∠ABD=∠HAD，由D是»CE的中点，可得∠CED=∠EBD，再由圆周角定理可得∠ABE=∠ADE，结合三角形的外角即可证明∠HAF=∠AFH，从而可证得AH=HF；（3）由切割线定理可得EH=2，由（2）可知AF=FH=10，从而可得EF=FH﹣EH=10-2．【详解】（1）如图1所示：连接AC．∵AB⊥CB，∴AC是⊙O的直径，∵∠C=∠D，∴tanC=3，∴AB=3BC=3×2=6，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=40，又∵AH2=10，CH2=50，∴AC2+AH2=CH2，∴△ACH为直角三角形，∴AC⊥AH，∴AH是圆O的切线；（2）如图2所示：连接DE、BE，∵AH是圆O的切线，∴∠ABD=∠HAD，∵D是»CE的中点，∴»»，CD ED∴∠CED=∠EBD，又∵∠ABE=∠ADE，∴∠ABE+∠EBD=∠ADE+∠CED，∴∠ABD=∠AFE，∴∠HAF=∠AFH，∴AH=HF；（3）由切割线定理可知：AH2=EH•CH，即（10）2=52EH，解得：EH=2，∵由（2）可知AF=FH=10，∴EF=FH﹣EH=10-2．【点睛】本题主要考查圆的综合应用，解答主要应用了切线的判定定理、弦切角定理、切割线定理、圆周角定理、勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的外角的性质等，正确添加辅助线是解题的关键.12．如图，在中，，以为直径作，交边于点，交边于点，过点作的切线，交的延长线于点，交于点．（1）求证：；（2）若，，求的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）4．【解析】试题分析：（1）连接AD，根据等腰三角形三线合一即可证明．（2）设⊙O的半径为R，则FO=4+R，FA=4+2R，OD=R，连接OD，由△FOD∽△FAE，得列出方程即可解决问题．试题解析：（1）连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC．（2）设⊙O的半径为R，则FO=4+R，FA=4+2R，OD=R，连接OD、∵AB=AC，∴∠ABC=∠C ，∵OB=OD ，∴∠ABC=∠ODB ，∴∠ODB=∠C ，∴OD ∥AC ，∴△FOD ∽△FAE ， ∴， ∴，整理得R 2﹣R ﹣12=0，∴R=4或（﹣3舍弃）．∴⊙O 的半径为4．考点：切线的性质、等腰三角形的性质等知识．13．如图，AB 是O e 的直径，DF 切O e 于点D ，BF DF ⊥于F ，过点A 作AC //BF 交BD 的延长线于点C .（1）求证：ABC C ∠∠=；（2）设CA 的延长线交O e 于E BF ，交O e 于G ，若¼DG的度数等于60o ，试简要说明点D 和点E 关于直线AB 对称的理由.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）作辅助线，连接OD ，由DF 为⊙O 的切线，可得OD ⊥DF ，又BF ⊥DF ，AC ∥BF ，所以OD ∥AC ，∠ODB=∠C ，由OB=OD 得∠ABD=∠ODB ，从而可证∠ABC=∠C ；（2）连接OG，OD，AD，由BF∥OD，»GD=60°，可求证»BG=»»==60°，由平行线GD AD的性质及三角形的内角和定理可求出∠OHD=90°，由垂径定理便可得出结论．【详解】（1）连接OD，∵DF为⊙O的切线，∴OD⊥DF．∵BF⊥DF，AC∥BF，∴OD∥AC∥BF．∴∠ODB=∠C．∵OB=OD，∴∠ABD=∠ODB．∴∠ABC=∠C．（2）连接OG，OD，AD，DE，DE交AB于H，∵BF∥OD，∴∠OBG=∠AOD，∠OGB=∠DOG，∴»»==»BG．GD AD∵»GD=60°，∴»BG=»»==60°，GD AD∴∠ABC=∠C=∠E=30°，∵OD//CE∴∠ODE=∠E=30°．在△ODH中，∠ODE=30°，∠AOD=60°，∴∠OHD=90°，∴AB⊥DE．∴点D和点E关于直线AB对称．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理及垂径定理，解答此题的关键是作出辅助线，利用数形结合解答．14．如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于E，过点A作∠DAF=∠DAB，过点D作AF的垂线，垂足为F，交AB的延长线于点P，连接CO并延长交⊙O于点G，连接EG．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若AD=DP，OB=3，求»BD的长度；（3）若DE=4，AE=8，求线段EG的长．【答案】（1）证明见解析（2）π（3）13【解析】试题分析：（1）连接OD，由等腰三角形的性质得出∠DAB=∠ADO，再由已知条件得出∠ADO=∠DAF，证出OD∥AF，由已知DF⊥AF，得出DF⊥OD，即可得出结论；（2）易得∠BOD=60°，再由弧长公式求解即可；（3）连接DG，由垂径定理得出DE=CE=4，得出CD=8，由勾股定理求出DG，再由勾股定理求出EG即可．试题解析：（1）证明：连接OD，如图1所示：∵OA=OD，∴∠DAB=∠ADO，∵∠DAF=∠DAB，∴∠ADO=∠DAF，∴OD∥AF，又∵DF⊥AF，∴DF⊥OD，∴DF是⊙O的切线；（2）∵AD=DP∴∠P=∠DAF=∠DAB =x0∴∠P+∠DAF+∠DAB =3x o=90O∴x0=300∴∠BOD=60°，∴»BD的长度=π（3）解：连接DG，如图2所示：∵AB⊥CD，∴DE=CE=4，∴CD=DE+CE=8，设OD=OA=x，则OE=8﹣x，在Rt△ODE中，由勾股定理得：OE2+DE2=OD2，即（8﹣x）2+42=x2，解得：x=5，∴CG=2OA=10，∵CG是⊙O的直径，∴∠CDG=90°，∴DG=2222-=-=6，108CG CD∴EG=2222+=+=213.64DG DE15．已知AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆O 上.(1)如图1，若AC＝3，∠CAB＝30°，求半圆O 的半径；(2)如图2，M 是»BC的中点，E 是直径AB 上一点，AM 分别交CE，BC 于点F，D. 过点F 作FG∥AB 交边BC 于点G，若△ACE 与△CEB 相似，请探究以点D 为圆心，GB 长为半径的⊙D 与直线AC 的位置关系，并说明理由.【答案】（1）半圆O的半径为3；（2）⊙D与直线AC相切，理由见解析【解析】试题分析：(1)依据直径所对的圆周角是直角可得∠C＝90°,2再依据三角函数即可求解;(2) 依据△ACE与△CEB相似证出∠AEC＝∠CEB＝90°, 再依据M是»BC的中点,证明CF＝CD, 过点F作FP∥GB交于AB于点P, 证出△ACF≌△APF,得出CF=FP,再证四边形FPBG是平行四边形,得到 FP＝GB从而CD＝GB,点D到直线AC的距离为线段CD的长.试题解析：（1）∵ AB是半圆O的直径，∴∠C＝90°．在Rt△ACB中，AB＝cos AC CAB ∠＝3 cos30︒＝23．∴ OA＝3（2）⊙D与直线AC相切.理由如下：由（1）得∠ACB＝90°．∵∠AEC＝∠ECB＋∠6，∴∠AEC＞∠ECB，∠AEC＞∠6．∵△ACE与△CEB相似，∴∠AEC＝∠CEB＝90°．在Rt△ACD，Rt△AEF中分别有∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°．∵ M是»BC的中点，∴∠COM＝∠BOM．∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠4．∵∠4＝∠5，∴∠3＝∠5．∴ CF＝CD．过点F作FP∥GB交于AB于点P，则∠FPE＝∠6．在Rt△AEC，Rt△ACB中分别有∠CAE＋∠ACE＝90°，∠CAE＋∠6＝90°．∴∠ACE＝∠6＝∠FPE．又∵∠1＝∠2，AF＝AF，∴△ACF≌△APF．∴ CF＝FP．∵ FP∥GB，FG∥AB，∴四边形FPBG是平行四边形．∴ FP＝GB．∴ CD＝GB．∵ CD⊥AC，∴点D到直线AC的距离为线段CD的长∴⊙D与直线AC相切.。
专题11圆(第01期)-2021年中考数学试题分项版解析汇编(东三省专版)(解析版)
【东三省部分】一、选择题1．(2015·辽宁葫芦岛）（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为3，∠A=45°，则BC的长是（）A．34π B．32π C．452π D．94π【答案】B．2．（2015·黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（）A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5【答案】A．考点：1．直线与圆的位置关系；2．勾股定理；3．垂径定理．3.（2015·辽宁营口）将弧长为2πcm、圆心角为120º的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高及侧面积分别是( ).A ．22cm,3πcmB ．222cm,3πcmC ．222cm,6πcmD ．210cm,πcm 6【答案】B.考点：弧长公式及圆锥侧面积公式的灵活运用.二、填空题1．(2015·黑龙江哈尔滨）一个扇形的半径为3cm ，面积为 2cm ,则此扇形的圆心角为【答案】40°.考点：扇形的面积计算.2.（2015·黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）底面周长为10πcm ，高为12cm 的圆锥的侧面积为．考点：圆锥的计算．3．（2015·辽宁营口）圆内接正六边形的边心距为23cm ，则这个正六边形的面积为 cm 2．【答案】243. 考点：圆内接正多边形面积计算.4.（2015·黑龙江绥化）如图，将一块含300角的直角三角版和半圆量角器按如图的方式摆放，使斜边与半圆相切。
若半径OA=2 ,则图中阴影部分的面积为____________.(结果保留π)【答案】43 32π+考点：1.切线的性质；2.直角三角形的性质；3. 扇形的面积计算.5.（2015·辽宁沈阳）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，当AB= cm时，BC与⊙A相切．【答案】6．考点：切线的判定．三、解答题1.(2015·辽宁葫芦岛）（12分）如图，△ABC是等边三角形，AO⊥BC，垂足为点O，⊙O与AC相切于点D，BE⊥AB交AC的延长线于点E，与⊙O相交于G、F两点．（1）求证：AB与⊙O相切；（2）若等边三角形ABC的边长是4，求线段BF的长？．【答案】（1）证明见试题解析；（2）32考点：1．切线的判定与性质；2．勾股定理；3．解直角三角形；4．综合题．2.(2015·黑龙江哈尔滨）（本题10分）AB,CD 是ΘO 的两条弦，直线AB ，CD 互相垂直，垂足为点E ，连接AD ，过点B 作BF ⊥AD,垂足为点F ，直线BF 交直线CD 于点G.(1)、如图1，档点E 在ΘO 外时，连接BC ，求证BE 平分∠GBC ；(2)、如图2，当点E 在ΘO 内时，连接AC ，AG,求证：AC=AG ；(3)、如图3，在（2）的条件下，连接BO 并延长交AD 于点H ，若BH 平分∠ABF,AG=4，tan ∠D=43，求线段AH 的长.【答案】(1)、(2)略；(3)、AH=5.考点：圆的基本性质、勾股定理、三角函数、三角形全等3.（2015·辽宁营口）如图，点P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点A ，AB 是⊙O 的直径，连接OP ，过点B 作BC ∥OP 交⊙O 于点C ，连接AC 交OP 于点D ．(1)求证：PC 是⊙O 的切线；(2)若PD=316cm ，AC=8cm ，求图中阴影部分的面积； (3)在(2)的条件下，若点E 是AB ︵的中点，连接CE ，求CE 的长．第23题图 BAEPO D C考点：1.圆的有关性质；2.三角形全等与相似的判定；3.解直角三角形.4.（2015·黑龙江绥化）如图，以线段AB为直径作⊙O ，CD与⊙O相切于点E ，交AB的延长线于点D , 连接BE ,过点O作OC∥BE交切线DE于点C ,连接AC .(1)求证：AC是⊙O的切线；（2）若BD=OB=4 ,求弦AE的长.【答案】（1）见解析；（2）43.考点：1.切线的判定；2.圆周角定理及其推论；3.锐角三角函数.5.（2015·辽宁大连）如图，AB 是圆O 的直径，点C 、D 在圆O 上，且AD 平分∠CAB.过点D 作AC 的垂线，与AC 的延长线相交于E ，与AB 的延长线相交于点F.(1)求证：EF 与圆O 相切；(2)若AB=6，AD=42，求EF 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）EF=21264.考点：圆的综合题.6.（2015·辽宁丹东）.如图，AB是⊙O的直径,弧ED=弧BD，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C.第22题图2，求阴影部分的面积；（1）若OA=CD=2（2）求证：DE=DM.【答案】(1)4-π；（2）参见解析.考点：圆的性质与三角形综合知识.7.（2015·辽宁沈阳）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC=2∠D，连接OA、OB、OC、AC，OB与AC相交于点E．（1）求∠OCA的度数；（2）若∠COB=3∠AOB，OC=23，求图中阴影部分面积（结果保留π和根号）．π-．【答案】（1）30°；（2）323考点：1．扇形面积的计算；2．圆内接四边形的性质；3．解直角三角形．。
辽宁吉林黑龙江3省中考数学试题分类解析汇编 专题1 实数
辽宁吉林黑龙江3省2011年中考数学试题分类解析汇编专题1：实数一、选择题1. （辽宁沈阳4分）下列各选项中，既不是正数也不是负数的是A．－1 B．0 C2D．π【答案】B。
【考点】实数的定义。
【分析】根据实数中正负数的定义即可解答：由正负数的定义可知，A是负数；C、D是正数；B既不是正数也不是负数。
故选B。
2.（辽宁大连3分）－12的相反数是A．－2 B．－12C．12D．2【答案】C。
【考点】相反数。
【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0。
故选C。
3.（辽宁大连3分）10A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B。
【考点】估算无理数的大小。
【分析】∵9＜10＜16104103。
故选B。
4.（辽宁本溪3分）2-的相反数是A、12- B、12C、2D、±2【答案】C。
【考点】相反数。
【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0。
故选C。
5.（辽宁本溪3分）15A、2B、4C、15D、16【答案】B。
【考点】估算无理数的大小。
【分析】由题意可知15与16最接近，即15与164=最接近，从而得出答案。
故选B。
6．（辽宁丹东3分）用科学记数法表示310000，结果正确的是A．43.110⨯ B．53.110⨯ C．43110⨯ D．60.3110⨯【答案】B。
【考点】科学记数法。
【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为1010na a<⨯≤，其中1，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值。
在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1。
当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）。
310000一共6位，从而310000＝53.110⨯。
故选B。
7.（辽宁抚顺3分）－7的相反数是．A.17B. －7C. －17D. 7【答案】D。
中考数学试题分项版解析汇编(第05期)专题11 圆(含解析)(2021学年)
２017年中考数学试题分项版解析汇编(第０５期）专题１1 圆（含解析) 编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（2０17年中考数学试题分项版解析汇编（第05期)专题1１圆（含解析))的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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专题1１圆一、选择题1.（20１7年贵州省毕节地区第12题)如图,ＡB是⊙O的直径，ＣD是⊙O的弦,∠ＡCＤ=30°，则∠ＢAＤ为( )A.3０°B.5０°ﻩC.６０° D．70°【答案】Ｃ。
考点:圆周角定理2.（2017年贵州省黔东南州第５题)如图,⊙O的直径AB垂直于弦CＤ,垂足为Ｅ,∠A=1５°,半径为２，则弦ＣD的长为（）A．2ﻩB.﹣1 Ｃ.ﻩD.４【答案】A【解析】试题分析:根据垂径定理得到ＣE=ＤE ，∠CEO=90°，根据圆周角定理得到∠C ＯＥ=30°，根据直角三角形的性质得到ＣE ＝12OC=1,最后由垂径定理得出C Ｄ=2ＯＥ=2．故选A.考点：1、圆周角定理；2、勾股定理；３、垂径定理３. (20１7年湖北省宜昌市第11题）如图，四边形ABCD 内接O ,AC 平分BAD ∠，则下列结论正确的是( ）A.AB AD = B ．BC CD = C 。
AB AD = D ．BCA DCA ∠=∠【答案】BC 、∵∠ＡCB 与∠A ＣＤ的大小关系不确定,∴AB 与AD 不一定相等,故本选项错误；D 、∠ＢＣＡ与∠DCA 的大小关系不确定，故本选项错误．故选:Ｂ.考点：圆心角、弧、弦的关系４．(2０17年山东省东营市第8题)若圆锥的侧面积等于其底面积的3倍,则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为（ )Ａ．6０° B.90°ﻩＣ．１２0°D．18０°【答案】Ｃ考点：有关扇形和圆锥的相关计算5. （2０17年山东省泰安市第1２题）如图,ABC∆内接于O，若Aα∠=,则OBC∠等于（）A.1802α- B.2αC。
辽宁吉林黑龙江3省2011年中考数学试题分类解析汇编 专题4 图形的变换
某某某某某某3省2011年中考数学试题分类解析汇编专题4：图形的变换一、选择题1.（某某某某4分）左下图是五个相同的小正方体搭成的几何体，这几个几何体的主视图是【答案】C。
【考点】简单组合体的三视图。
【分析】仔细观察图形找到从正面看所得到的图形即可：从正面看易得下层有2个正方形，上层右边有一个正方形。
故选C。
2.（某某某某4分）下列图形是中心对称图形的是【答案】D。
【考点】中心对称图形。
【分析】根据中心对称图形的定义，在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合的图形的只有D，而A、B、C都不是。
故选D。
3（某某某某3分）图是由四个完全相同的正方体组成的几何体，这个几何体的左视图是【答案】C。
【考点】简单组合体的三视图。
【分析】仔细观察图形找到从左面看所得到的图形即可：从左面看易得下层有1个正方形，上层右边有1个正方形。
故选C。
4.（某某某某3分）如图是某几何体得三视图，则这个几何体是A、球B、圆锥C、圆柱D、三棱体【答案】B。
【考点】由三视图判断几何体。
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形：由于俯视图为圆形可得为球、圆柱、圆锥．主视图和左视图为三角形可得此几何体为圆锥。
故选B。
5．（某某某某3分）一个正方体的每一个面都有一个汉子．其平面展开图如图所示，那么在该正方体中和“城”字相对的字是A．丹 B．东 C．创 D．联【答案】C。
【考点】几何图形展开。
【分析】根据正方体及其表面展开图的特点，让“城”字面不动，分别把各个面围绕该面折成正方体，其中面“城”与面“创”相对，面“丹”与面“四”相对，面“东”与面“联”相对。
故选C。
6.（某某某某3分）一个碗如图所示摆放，则它的俯视图是．【答案】C。
【考点】简单几何体的三视图。
【分析】仔细观察图形找到从上面看所得到的图形即可：从上面看易得只有1个圆形，而下面有一个看不见的圆形。
故选C。
辽宁吉林黑龙江3省中考数学试题分类解析汇编 专题10 四边形
辽宁吉林黑龙江3省2011年中考数学试题分类解析汇编专题10：四边形一、选择题1. （辽宁沈阳4分）如图，矩形ABCD 中，AB ＜BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，则图中的等腰三角形有A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个 【答案】B 。
【考点】矩形的性质，等腰三角形的判定。
【分析】根据矩形的性质得出OA=OB=OC=OD ，从而得出图中等腰三角形中的个数：∵矩形ABCD 中，AB ＜BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，∴OA=OB=OC=OD，∴图中的等腰三角形有△AOB、△AOD、△COD、△BOC 四个。
故选B 。
2.（辽宁大连3分）如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝5，AF 平分∠DAE，EF⊥AE，则CF 等于A ．23B ．1C ．32D ．2【答案】C 。
3.（辽宁本溪3分）如图，正方形ABCD 的边长是4，∠DAC 的平分线交DC 于点E ，若点P 、Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ+PQ 的最小值A 、2B 、4C 、、【答案】C 。
【考点】轴对称的性质，正方形的的性质，勾股定理，垂直线段的性质，三角形的性质。
4.（辽宁阜新3分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点E 是BC 中点，点F 是边CD 上的任意一点，当△AEF 的周长最小时，则DF 的长为A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D 。
【考点】矩形的性质，轴对称的性质，三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解分式方程。
5.（黑龙江哈尔滨3分）如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，∠AOB=600，AB=5，则AD 的长是．（A)53 （B ）52 （C ）5 (D)10【答案】A 。
【考点】矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】∵四边形ABCD 是矩形，∴AO=12AC= 12BD=BO ，又∵∠AOB=60°，∴△AOB 是等边三角形，∴AO=AB=5，∴BD=2AO=10，∴AD 2=BD 2－AB 2=102－52=75A 。
专题11 圆(第04期)-2021年中考数学试题分项版解析汇编(原卷版)
专题11 圆一、选择题1. （2021贵州遵义第8题）已知圆锥的底面积为9πcm 2，母线长为6cm ，则圆锥的侧面积是（ ） A ．18πcm 2 B ．27πcm 2 C ．18cm 2 D ．27cm 22. （2021湖南株洲第6题）下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（ ）A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形3. （2021内蒙古通辽第9题）下列命题中，假命题有（ ）①两点之间线段最短；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④垂直于同一直线的两条直线平行；⑤若⊙O 的弦CD AB ,交于点P ，则PD PC PB PA ⋅=⋅.A ．4个B ．3个 C. 2个 D ．1个4. （2021湖北咸宁第7题）如图，⊙O 的半径为3，四边形ABCD 内接于⊙O ，连接OD OB ,,若BCD BOD ∠=∠，则⋂BD 的长为（）A ．πB ．π23 C. π2 D ．π3 5. （2021广西百色第11题）以坐标原点O 为圆心，作半径为2的圆，若直线y x b =-+与O 相交，则b的取值范围是（ ）A ．022b ≤<B ．2222b -≤≤ C.2323b -<< D ．2222b -<< 6. （2021哈尔滨第7题）如图，O ⊙中，弦AB ，CD 相交于点P ，42A ∠°，77APD ∠°，则B ∠的大小是( )A.43°B.35°C.34°D.44°7. （2021黑龙江齐齐哈尔第9题）一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（ ）A ．120︒B ．180︒C ．240︒D ．300︒8. （2021内蒙古呼和浩特第7题）如图，CD 是O 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为M ，若12AB =，:5:8OM MD =，则O 的周长为（ ）A ．26πB ．13πC ．965πD ．39105π 9. （2021青海西宁第8题）如图，AB 是O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，2,6AP BP ==，030APC ∠=.则CD 的长为 （ ）A 15B ．25 C. 15 D ．810. （2021湖南张家界第3题）如图，在⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，连接OC ，若∠ACO =30°，则∠BOC 的度数是（ ）A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°11. （2021海南第12题）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，AC ∥OB ，∠BAO =25°，则∠BOC 的度数为（ ）A ．25°B ．50°C ．60°D ．80°12. （2021河池第8题）如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦36,=∠CAB CD ，则BCD ∠的大小是（）A ． 18B ． 36 C. 54 D ．7213. （2021新疆乌鲁木齐第8题）如图，是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积是（ ）A ．πB ．2π C.4π D ．5π二、填空题1. （2021贵州遵义第17题）如图，AB 是⊙O 的直径，AB =4，点M 是OA 的中点，过点M 的直线与⊙O 交于C ，D 两点．若∠CMA =45°，则弦CD 的长为 ．2. （2021湖南株洲第15题）如图，已知AM 为⊙O 的直径，直线BC 经过点M ，且AB =AC ，∠BAM =∠CAM ，线段AB 和AC 分别交⊙O 于点D 、E ，∠BMD =40°，则∠EOM = ．3. （2021郴州第14题）已知圆锥的母线长为5cm ，高为4cm ，则该圆锥的侧面积为 2cm （结果保留π）．4. （2021哈尔滨第18题）已知扇形的弧长为4，半径为8，则此扇形的圆心角为. 5. （2021黑龙江齐齐哈尔第15题）如图，AC 是O 的切线，切点为C ，BC 是O 的直径，AB 交O 于点D ，连接OD ，若50A ∠=︒，则COD ∠的度数为 ．6. （2021黑龙江绥化第16题）一个扇形的半径为3cm ，弧长为2cm π，则此扇形的面积为2cm ．（用含π的式子表示）7. （2021黑龙江绥化第18题）半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为 ．8. （2021湖北孝感第15题）已知半径为2的O 中，弦2AC =，弦22AD =，则COD ∠的度数为 ．9. （2021青海西宁第16题）圆锥的主视图是边长为4cm 的等边三角形，则该圆锥侧面展开图的面积是 2cm .10. （2021青海西宁第17题）如图，四边形ABCD 内接于O ，点E 在BC 的延长线上，若0120BOD ∠=，则DCE ∠=______.11. （2021上海第17题）如图，已知Rt △ABC ，∠C =90°，AC =3，BC =4．分别以点A 、B 为圆心画圆．如果点C 在⊙A 内，点B 在⊙A 外，且⊙B 与⊙A 内切，那么⊙B 的半径长r 的取值范围是 ．12. （2021上海第18题）我们规定：一个正n 边形（n 为整数，n ≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n 边形的“特征值”，记为λn ，那么λ6= ．13. （2021辽宁大连第12题）如图，在⊙O 中，弦cm AB 8=，AB OC ⊥，垂足为C ，cm OC 3=，则⊙O 的半径为 cm ．14. （2021海南第18题）如图，AB 是⊙O 的弦，AB =5，点C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB =45°，若点M 、N 分别是AB 、AC 的中点，则MN 长的最大值是 ．15. （2021河池第17题）圆锥的底面半径长为5，将其侧面展开后得到一个半圆，则该半圆的半径长是 ．16. （2021新疆乌鲁木齐第14题）用等分圆周的方法，在半径为1的图中画出如图所示图形，则图中阴影部分面积为．三、解答题1. （2021贵州遵义第24题）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=60°，连接PO并延长与⊙O交于C点，连接AC，B C．（1）求证：四边形ACBP是菱形；（2）若⊙O半径为1，求菱形ACBP的面积．2. （2021湖南株洲第25题）如图示AB为⊙O的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，点F在AE的延长线上，且BE=EF，线段CE交弦AB于点D．①求证：CE∥BF；②若BD=2，且EA：EB：EC=3：1：3，求△BCD的面积（注：根据圆的对称性可知OC⊥AB）．3. （2021内蒙古通辽第24题）如图，AB 为⊙O 的直径，D 为AC 的中点，连接OD 交弦AC 于点F .过点D 作AC DE //，交BA 的延长线于点E .（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）连接CD ，若4==AE OA ，求四边形ACDE 的面积.4. （2021郴州第23题）如图，AB 是O 的弦，BC 切O 于点,B AD BC ⊥垂足为,D OA 是O 的半径，且3OA =.（1）求证：AB 平分OAD ∠；（2）若点E 是优弧AEB 上一点，且060AEB ∠=，求扇形OAB 的面积（计算结果保留π）5. （2021湖北咸宁第21题）如图，在ABC ∆中，AC AB =，以AB 为直径的⊙O 与边AC BC ,分别交于E D ,两点，过点D 作AC DF ⊥，垂足为点F .⑴求证：DF 是⊙O 的切线； ⑵若52cos ,4==A AE ，求DF 的长6. （2021湖北咸宁第23题）定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”.理解：⑴如图1，已知B A ,是⊙O 上两点，请在圆上找出满足条件的点C ，使ABC ∆为“智慧三角形”（画出点C 的位置，保留作图痕迹）；⑵如图2，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CD CF 41=，试判断AEF ∆是否为“智慧三角形”，并说明理由；运用：⑶如图3，在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，点Q 是直线3=y 上的一点，若在⊙O 上存在一点P ，使得OPQ ∆为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P 的坐标.7. （2021湖南常德第22题）如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 与⊙O 相切于C ，BE ∥CO ．（1）求证：BC 是∠ABE 的平分线；（2）若DC =8，⊙O 的半径OA =6，求CE 的长．8. （2021广西百色第25题）已知ABC 的内切圆O 与,,AB BC AC 分别相切于点,,D E F ，若EF DE =，如图1.(1)判断ABC 的形状，并证明你的结论；(2)设AE 与DF 相交于点M ，如图2，24,AF FC ==求AM 的长.9. （2021黑龙江绥化第26题）如图，梯形ABCD 中，//AD BC ，AE BC ⊥于E ，ADC ∠的平分线交AE 于点O ，以点O 为圆心， OA 为半径的圆经过点B ，交BC 于另一点F ．（1）求证：CD 与O 相切；（2）若24,5BF OE ==，求tan ABC ∠的值．10. （2021湖北孝感第23题） 如图，O 的直径10,AB = 弦6,AC ACB =∠的平分线交O 于,D 过点D 作DE AB 交CA 延长线于点E ，连接,.AD BD（1）由AB ，BD ，AD 围成的曲边三角形的面积是 ；（2）求证：DE 是O 的切线；（3）求线段DE 的长.11. （2021内蒙古呼和浩特第24题）如图，点A ，B ，C ，D 是直径为AB 的O 上的四个点，C 是劣弧BD 的中点，AC 与BD 交于点E ．（1）求证：2DC CE AC =⋅；（2）若2AE =，1EC =，求证：AOD ∆是正三角形；（3）在（2）的条件下，过点C 作O 的切线，交AB 的延长线于点H ，求ACH ∆的面积．12. （2021青海西宁第26题）如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径作O 交BC 于点D ，过点D 作O 的切线DE 交AC 于点E ，交AB 延长线于点F .（1）求证：DE AC ⊥；（2）若10,8AB AE ==，求BF 的长.13. （2021上海第25题）如图，已知⊙O 的半径长为1，AB 、AC 是⊙O 的两条弦，且AB =AC ，BO 的延长线交AC 于点D ，联结OA 、O C ．（1）求证：△OAD ∽△ABD ；（2）当△OCD 是直角三角形时，求B 、C 两点的距离；（3）记△AOB 、△AOD 、△COD 的面积分别为S 1、S 2、S 3，如果S 2是S 1和S 3的比例中项，求OD 的长．14. （2021湖南张家界第21题）在等腰△ABC 中，AC =BC ，以BC 为直径的⊙O 分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ．（1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）分别延长CB ，FD ，相交于点G ，∠A =60°，⊙O 的半径为6，求阴影部分的面积．15. （2021辽宁大连第23题）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，AD 平分CAB ∠，BD 是⊙O 的切线，AD 与BC 相交于点E .（1）求证：BE BD =；（2）若5,2==BD DE ，求CE 的长.16. （2021河池第25题）如图，AB 为⊙O 的直径，CD CB ,分别切⊙O 于点CD D B ,,交BA 的延长线于点E ，CO 的延长线交⊙O 于点OG EF G ⊥,于点F .⑴求证ECF FEB ∠=∠；⑵若46==DE BC ，，求EF 的长.17. （2021贵州六盘水第22题）如图，在边长为1的正方形网格中，ABC△的顶点均在格点上.(1)画出ABCA B C△各顶点的坐标.A B C△，并直接写出'''△关于原点成中心对称的'''(2)求点B旋转到点'B的路径(结果保留).18. （2021贵州六盘水第25题）如图，MN是O⊙的直径，4AMN∠°，B为⊙上，30MN，点A在OAN的中点，P是直径MN上一动点.(1)利用尺规作图，确定当PA PB最小时P点的位置(不写作法，但要保留作图痕迹).(2)求PA PB的最小值.19. （2021新疆乌鲁木齐第23题）如图，AB是O的直径，CD与O相切于点C，与AB的延长线交于D.（1）求证：ADC CDB∆∆；（2）若32,2AC AB CD==，求O半径.。
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辽宁吉林黑龙江3省2011年中考数学试题分类解析汇编专题11：圆一、选择题1. （吉林省3分）如图，两个等圆⊙A⊙B 分别与直线l 相切于点C 、D,连接AB ，与直线l 相交于点O , ∠AOC=300，连接AC ，BC ，若AB=4，则圆的半径为A 21B 1C 3D 2 【答案】B 。
【考点】圆切线的性质，全等三角形的判定和性质，含300角直角三角形的性质。
【分析】根据圆切线的性质，由AAS 易证△AOC≌△BOD，从而AO ＝BO ＝2，从而根据直角三角形中300角所对的直角边是斜边一半的性质，得圆的半径为AC ＝1。
故选B 。
2.（吉林长春3分）如图，直线l 1//l 2，点A 在直线l 1上，以点A 为圆心，适当 长为半径画弧，分别交直线l 1、l 2于B 、C 两点，连结AC 、BC ．若∠ABC ＝54°， 则∠1的大小为（Ａ）36°． （Ｂ）54°． （Ｃ）72°． （Ｄ）73°． 【答案】C 。
【考点】平行线的性质，圆的性质，等腰三角形的性质，平角的定义。
【分析】由l 1∥l 2，∠ABC=54°，根据两直线平行，内错角相等的性质，即可求得∠BC l 1的度数54°，又由以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l 1、l 2于B 、C 两点，连接AC 、BC ，故AC 和AB 都是圆的半径，可得AC=AB ，即可证得∠ACB=∠ABC=54°，然后由平角的定义即可求得答案：∠1=72°。
故选C 。
3.（黑龙江大庆3分）如图，某宾馆大厅要铺圆环形的地毯，工人师傅只测量了与小圆相 切的大圆的弦AB 的长，就计算出了圆环的面积．若测量得AB 的长为20m ，则圆环的面 积为A ．10m 2B ．π10m 2C ．100m 2D ．π100m 2【答案】D 。
【考点】垂径定理的应用，勾股定理，切线的性质。
【分析】过O 作OC⊥AB 于C ，连OA ，根据垂径定理得到AC ＝BC ＝10，再根据切线的性质得到OC 为小圆的切线，于是有圆环的面积=π•OA 2－π•OC 2=π（OA 2－OC 2）=π•AC 2=100π。
故选D 。
4.（黑龙江大庆3分）已知⊙O 的半径为1，圆心O 到直线l 的距离为2，过l 上的点A作⊙O 的切线，切点为B ，则线段AB 的长度的最小值为A ．1B ． 2C ． 3D ．2 【答案】C 。
【考点】点到直线的距离的定义，切线的性质，勾股定理。
【分析】先连接OB ，易知△AOB 是直角三角形，再利用勾股定理即可求出AB ：AB 。
故选C 。
5.（黑龙江牡丹江3分）已知⊙O 的直径AB=40，弦CD⊥AB 于点E ，且CD=32，则AE 的长为A ．12 8．8 C ．12或28 D ．8或32 【答案】D 。
【考点】垂径定理，勾股定理。
【分析】在直角△OCE 中，利用勾股定理即可求得OE 的长，则AE=OA+OE 或AE=OB-OE ，据此即可求解：∵弦CD⊥AB 于点E ，∴CE＝12CD ＝16。
在直角△OCE 中，OE ＝12==。
则AE ＝20＋12＝32，或AE ＝20－12＝8。
故AE 的长是8或32。
故选D 。
二、填空题1．（辽宁丹东3分） 己知：线段AB=3.5cm ，⊙A 和⊙B 的半径分别是1.5cm 和4cm ，则⊙A 和⊙B 的位置关系是 ▲ ， 【答案】相交。
【考点】圆与圆的位置关系。
【分析】根据两圆位置关系与圆心距d ，两圆半径R ，r 的数量关系间的联系得出⊙A 和⊙B 的位置关系：∵⊙A 和⊙B 的半径分别是1.5cm 和4cm ，圆心距AB=3.5cm ，又∵4-1.5=2.5，4+1.5=5.5，∴2.5＜AB ＜5.5，∴⊙A 和⊙B 的位置关系是相交。
2.（辽宁阜新3分）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB 、CD 的延长线交于点E ，若AB ＝2DE ，∠E＝18°，则∠AOC 的度数为_ ▲ ． 【答案】54°。
【考点】等腰三角形的性质，三角形外角定理。
【分析】连接OD ，由AB 是⊙O 的直径，AB ＝2DE 得OD ＝DE ，所以∠D OE ＝∠E＝18°，由三角形外角定理得∠ODC＝36°。
又因为OD ＝OC ，所以∠OCD＝∠ODC＝36°。
又由三角形外角定理得 ∠AOC＝∠OCE＋∠E＝36°＋18°＝54°。
3.（辽宁阜新3分）如图，⊙A 与x 轴相切于点O ，点A 的坐标为（0，1），点P 在⊙A 上，且在第一象限，∠PAO＝60°，⊙A 沿x 轴正方向滚动，当点P 第n 次 落在x 轴上时，点P 的横坐标为_ ▲ ． 【答案】2n π－53π。
【考点】分类归纳，扇形弧长分式。
【分析】根据扇形弧长分式，6011OP 1803ππ⋅⋅==，所以点P 第1次落在x 轴上时，点P 的横坐标为13π，点P 第2次落在x 轴上时，点P 的横坐标为2π＋13π，第3次落在x 轴上时，点P 的横坐标为2×2π＋13π，…，第n 次落在x 轴上时，点P 的横坐标为（n －1）·2π＋13π＝2n π－53π。
4.（吉林省2分）如图，⊙O 是⊿ABC 的外接圆，∠BAC＝500，点P 在AO 上（点P 不点A.O 重合）则∠BPC 可能为____ ▲_____度 （写出一个即可）. 【答案】70 （答案不唯一，大于50小于100都可）。
【考点】三角形外角定理，同弧所对圆周角与圆心角的关系。
【分析】根据同弧所对圆周角是圆心角一半的关系，得∠BOC＝1000，由三角形外角定理知，∠BPC 在∠BAC 和∠BOC 之间，即500和1000之间。
5.（吉林长春3分）如图，将三角板的直角顶点放在⊙O 的圆心上，两条直角边分别交⊙O 于A 、B 两点，点P 在优弧AB 上，且与点A 、B 不重合，连结PA 、 PB.则∠APB 的大小为▲ 度．【答案】45。
【考点】圆周角定理。
6.（黑龙江哈尔滨3分）如图，BC 是⊙O 的弦，圆周角 ∠BAC=500，则∠OCB 的度数是 ▲ 度 【答案】40。
【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理。
【分析】根据同弧所对圆周角是圆心角一半的圆周角定理，得∠BOC=1000，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得∠OBC=∠OCB，从而得到∠OCB=（180°－∠COB）÷2=400。
7.（黑龙江龙东五市3分）已知扇形的圆心角为60°，圆心角所对的弦长是2cm ，则此扇形的面积为 ▲ cm 2。
【答案】23π。
【考点】垂径定理，含30°角的直角三角形的性质，扇形面积的计算。
【分析】如图，由题意可得，AB ＝2cm ，作OC⊥AB，所以，AC ＝BC ＝1cm ， ∠AOC＝∠BOC＝30°，可求得半径OA ＝2cm ，然后，利用扇形面积计算公式， 可求出面积，26022S 3603ππ⋅⋅==扇形cm 2。
8.（黑龙江龙东五市3分）如图，已知⊙O 的半径为4，OC 垂直弦AB 于点C ，∠AOB=120°，则弦AB 长为 ▲ 。
【答案】。
【考点】垂径定理，解直角三角形。
【分析】利用垂径定理得到直角三角形，然后解直角三角形求得AB 的一半AC 的长即可求AB 的长： ∵OC 垂直弦AB 于点C ，∴OA＝OB ＝4，AC ＝BC 。
∵∠AOB＝120°，∴∠AOC＝60°。
∴AC＝OAsim60°=2AC ＝。
9.（黑龙江省绥化、齐齐哈尔、黑河、大兴安岭、鸡西3分）如图，A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四个点，AB=AC ，AD 交BC 于点E ，AE=3，ED=4，则AB 的长为 ▲ ．【考点】圆周角定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】由AB=AC ，根据同圆中等弦所对圆周角相等的性质，得∠ABE＝∠ADB，又∠BAE＝∠DAB 从而△ABE∽△ADB，则2AB AE,AB AD AE AD AB=∴=⋅ 。
∴由AE ＝3，ED ＝4，AD ＝7得AB 三、解答题1. （辽宁沈阳10分）如图，点A 、B 在⊙O 上，直线AC 是⊙O 的切线，OD⊥OB，连接AB 交OC 于点D ．⑴求证：AC=CD⑵若AC=2，OD 的长度．【答案】解：⑴证明：∵AC 是⊙切线，∴OA⊥AC。
∴∠OAC=90°。
∴∠OAB＋∠CAB=90°。
∵OD⊥OB，∴∠COB=90°。
∴∠ODB＋∠B=90°。
∵OA=OB，∴∠OAB=∠B。
∴ ∠CAB=∠ODB。
∵∠ODB=∠ADC，∴∠CAB=∠ADC。
∴AC=CD。
⑵ 在Rt△OAC 中，， ∴OD=OC－CD=OC －AC=3－2=1。
【考点】切线的性质，等量代换，勾股定理。
【分析】（1）根据切线的性质可得出，∠OAC=90°，再由已知条件得∠ODB+∠B=90°，由OA=OB 可得出∠OAB=∠B，从而得出∠CAB=∠ADC，即AC=CD 。
（2）利用勾股定理求出OC ，即可得出OD 的长。
2.（辽宁大连9分）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，切点为C ，BE⊥CD，垂足为E ，连接AC 、BC ．⑴△ABC 的形状是______________，理由是_________________； ⑵求证：BC 平分∠ABE；⑶若∠A＝60°，OA ＝2，求CE 的长．【答案】解：（1）直角三角形，直径所对的圆周角是直角。
（2）证明：∵∠ACB 是直角，BE⊥CD，CD 是⊙O 的切线切点为C ， ∴∠OCB=∠EBC。
又∵且OC=OB ，BC 平分∠ABE； ∴∠OCB=∠EBC，即BC 平分∠ABE。
（3）∵OA=2，∴AB=4，在Rt △ABC 中，∠A=60°，AB=4，∴BC=0AB sin A 4sin 604⋅=⋅==【考点】切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，锐角三角函数。
【分析】（1）因为直径所对的圆周角是直角，所以△ABC 是直角三角形。
（2）由∠ACB 是直角，BE⊥CD，且OC=OB ，可证BC 平分∠ABE。
（3）在Rt△ABC 中，应用锐角三角函数可求得BC==，所以在直角三角形CBE 中，CE=12BC=3.（辽宁本溪10分）如图，⊙O 的直径AB 与弦CD （不是直径）相交于点E ，且CE=DE ，过点B 作CD 得平行线AD 延长线于点F ． （1）求证：BF 是⊙O 的切线；（2）连接BC ，若⊙O 的半径为4，sin∠BCD=34，求CD 的长？ 【答案】解：（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，CE=DE 。