吉林省中考数学试题及答案
2023年吉林省中考数学真题试卷及答案
2023年吉林省中考数学真题试卷一、选择题（本大题共8小题,每小题3分,共24分）1. 实数a ,b ,c ,d 伍数轴上对应点位置如图所示,这四个数中绝对值最小的是（ ）A. aB. bC. cD. d2. 长春龙嘉国际机场T3A 航站楼设计创意为“鹤舞长春”,如图所示,航站楼的造型如仙鹤飞翔,蕴含了对吉春大地未来发展的美好愿景．本期工程按照满足2030年旅客吞吐量38000000人次目标设计的,其中38000000这个数用科学记数法表示为（ ）A. 80.3810⨯B. 63810⨯C. 83810⨯D. 73.810⨯ 3. 下列运算正确的是（ ）A. 32a a a -=B. 23a a a ⋅=C. ()325a a =D. 623a a a ÷= 4. 下图是一个多面体的表面展开图,每个面都标注了数字．若多面体的底面是面③,则多面体的上面是（ ）A. 面③B. 面③C. 面③D. 面③5. 如图,工人师傅设计了一种测零件内径AB 的卡钳,卡钳交叉点O 为AA '、BB '的中点,只要量出A B ''的长度,就可以道该零件内径AB 的长度．依据的数学基本事实是（ ）A. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等C. 两余直线被一组平行线所截,所的对应线段成比例D. 两点之间线段最短6. 学校开放日即将来临,负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB 到地面,如图所示．已彩旗绳与地面形成25︒角（即25BAC ∠=︒）、彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即32AC =米）,则彩旗绳AB 的长度为（ ）A. 32sin 25︒米B. 32cos 25︒米C. 32sin 25︒米D. 32cos 25︒米 7. 如图,用直尺和圆规作MAN ∠的角平分线,根据作图痕迹,下列结论不一定正确的是（ ）A. AD AE =B. AD DF =C. DF EF =D. AF DE ⊥8. 如图,在平面直角坐标系中,点A ,B 在函数(0,0)k y k x x=>>的图象上,分别以A ,B 为圆心,1为半径作圆,当A 与x 轴相切,B 与y 轴相切时,连结AB ,AB =则k 的值为（ ）A. 3B.C. 4D. 6二、填空题（本大题共6小题,每小题3分,共8分）9. 分解因式：21a -=____．10. 若关于x 的方程220x x m -+=有两个不相等的实数根,则m 的取值范围是_________．11. 2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑,某同学参加了7.5公里健康跑项目,他从起点开始以平均每分钟x 公里的速度跑了10分钟,此时他离健康跑终点的路程为__________公里．（用含x 的代数式表示）12. 如图,ABC 和A B C '''是以点O 为位似中心的位似图形,点A 在线段OA '上．若12OA AA '=::,则ABC 和A B C '''的周长之比为__________．13. 如图,将正五边形纸片ABCDE 折叠,使点B 与点E 重合,折痕为AM ,展开后,再将纸片折叠,使边AB 落在线段AM 上,点B 的对应点为点B ',折痕为AF ,则AFB '∠的大小为__________度．14. 2023年5月8日,C919商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．12时31分航班抵达北京首都机场,穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图③,在一次“水门礼”的预演中,两辆消防车面向飞机喷射水柱,喷射的两条水柱近似看作形状相同的地物线的一部分．如图③,当两辆消防车喷水口A,B 的水平距离为80米时,两条水柱在物线的顶点H 处相遇,此时相遇点H 距地面20米,喷水口A,B 距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米,两条水柱的形状及喷水口A ',B '到地面的距离均保持不变,则此时两条水柱相遇点H '距地面__________米．三、解答题（本大题共10小题,共78分）15. 先化简．再求值：2(1)(1)a a a ++-,其中3a =．16. 班级联欢会上有一个抽奖活动,每位同学均参加一次抽奖,活动规则下：将三个完全相同的不透明纸杯倒置放在桌面上,每个杯子内放入一个彩蛋,彩蛋颜色分别为红色、红色、绿色．参加活动的同学先从中随机选中一个杯子,记录杯内彩蛋颜色后再将杯子倒置于桌面,重新打乱杯子的摆放位置,再从中随机选中一个杯子,记录杯内彩蛋颜色．若两次选中的彩蛋颜色不同则获一等奖,颜色相同则获二等奖．用画树状图（或列表）的方法,求某同学获一等奖的概率．17. 某工厂计划制作3000个玩偶摆件,为了尽快完成任务,实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍,结果提前5天完成任务．问原计划平均每天制作多少个摆件？18. 将两个完全相同的含有30 角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A ,E ,B ,D 依次在同一直线上,连结AF ,CD ．（1）求证：四边形AFDC 是平行四边形;（2）己知6cm BC ,当四边形AFDC 是菱形时．AD 的长为__________cm ．19. 近年来,肥胖经成为影响人们身体健康的重要因素．目前,国际上常用身体质量指数（Body Mass Indcx ,缩写BMI ）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康,其计算公式是22kg BMI=m 体重（单位：）身高（位置：）例如：某人身高1.60m ,体重60kg ,则他的260BMI 23.41.60=≈． 中国成人的BMI 数值标准为：BMI<18.5为偏瘦;18.5BMI 24≤<为正常;24BMI 28≤<为偏胖;BMI 28≥为肥胖．某公司为了解员工的健康情况,随机抽取了一部分员工的体检数据,通过计算得到他们的BMI 值并绘制了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息回答下列问题：（1）补全条形统计图;（2）请估计该公司200名员工中属于偏胖和肥胖的总人数;（3）基于上述统计结果,公司建议每个人制定健身计划．员工小张身高1.70m ,BMI 值为27,他想通过健身减重使自己的BMI 值达到正常,则他的体重至少需要减掉_________kg ．（结果精确到1kg ）20. 图③,图③,图③均是55⨯的正方形网格,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点．点A,B 均在格点上,只用无刻度的直尺,分别在给定的网格中按下列要求作ABC ,点C 在格点上．（1）在图③中,ABC 的面积为92; （2）在图③中,ABC 的面积为5（3）在图③中,ABC 是面积为52的钝角三角形． 21. 甲、乙两个相约登山,他们同时从入口处出发,甲步行登山到山顶,乙先步行15分钟到缆车站,再乘坐缆车到达山顶．甲、乙距山脚的垂直高度y （米）与甲登山的时间x （分钟）之间的函数图象如图所示．（1）当1540x ≤≤时,求乙距山脚的垂直高度y 与x 之间的函数关系式;（2）求乙乘坐缆车上升过程中,和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度．22. 【感知】如图③,点A ,B,P 均在O 上,90AOB ∠=︒,则锐角APB ∠的大小为__________度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图③,O 是等边三角形ABC 的外接圆,点P 在AC 上（点P 不与点A,C 重合）,连结PA ，PB ，PC ．求证：PB PA PC =+．小明发现,延长PA 至点E ,使AE PC =,连结BE .通过证明PBC EBA ≌△△,可推得PBE 是等边三角形,进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长PA 至点E ,使AE PC =,连结BE四边形ABCP 是O 的内接四边形180BAP BCP ∴∠+∠=︒．180BAP BAE ∠+∠=︒BCP BAE ∴∠=∠． ABC 是等边三角形．BA BC ∴=(SAS)PBC EBA ∴≌请你补全余下的证明过程．【应用】如图③,O 是ABC 的外接圆,90ABC AB BC ∠=︒=，,点P 在O 上,且点P 与点B 在AC 的两侧,连结PA ,PB ,PC ．若PB =,则PB PC 的值为__________． 23. 如图③．在矩形ABCD ．35AB AD ==，,点E 在边BC 上,且2BE =．动点P 从点E 出发,沿折线EB BA AD --以每秒1个单位长度的速度运动,作90PEQ ∠=︒,EQ 交边AD 或边DC 于点Q ,连续PQ ．当点Q 与点C 重合时,点P 停止运动．设点P 的运动时间为t 秒．（0t >）（1）当点P 和点B 重合时,线段PQ 的长为__________;（2）当点Q 和点D 重合时,求tan PQE ∠;（3）当点P 在边AD 上运动时,PQE 的形状始终是等腰直角三角形．如图③．请说明理由; （4）作点E 关于直线PQ 的对称点F ,连接PF ,QF ,当四边形EPFQ 和矩形ABCD 重叠部分图形为轴对称四边形时,直接写出t 的取值范围．24. 在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,抛物线22y x bx =-++（b 是常数）经过点(2,2)．点A 的坐标为(,0)m ,点B 在该抛物线上,横坐标为1m -．其中0m <．（1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标;（2）当点B 在x 轴上时,求点A 的坐标;（3）该抛物线与x 轴的左交点为P ,当抛物线在点P 和点B 之间的部分（包括P 、B 两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为2m -时,求m 的值．（4）当点B 在x 轴上方时,过点B 作BC y ⊥轴于点C ,连结AC ,BO ．若四边形AOBC 的边和抛物线有两个交点（不包括四边形AOBC 的顶点）,设这两个交点分别为点E ,点F ,线段BO 的中点为D ．当以点C ,E ,O ,D （或以点C ,F ,O ,D ）为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半时,直接写出所有满足条件的m 的值．2023年吉林省中考数学真题试卷答案一、选择题.1. B2. D3. B4. C5. A6. D7. B8. C解：如图所示,过点A B ，分别作y x ，轴的垂线,垂足分别为E D ，,AE BD ，交于点C .依题意,B 的横坐标为1,A 的纵坐标为1,设(),1A k ,()1,B k③()1,1C .则1,1AC k BC k =-=-.又③90ACB ∠=︒,AB =③()()(22211k k -+-= ③13k -=（负值已舍去）解得：4k =.故选：C ． 二、填空题.9. ()()11a a +-．10. 1m <11. ()7.510x -12. 1:313. 45解：③正五边形的每一个内角为()5218101508-⨯︒=︒. 将正五边形纸片ABCDE 折叠,使点B 与点E 重合,折痕为AM . 则111085422BAM BAE ∠=∠=⨯︒=︒. ③将纸片折叠,使边AB 落在线段AM 上,点B 的对应点为点B ',折痕为AF . ③11542722FAB BAM '∠=∠=⨯︒=︒,108AB F B '∠=∠=︒. 在AFB '中,1801801082745AFB B FAB ''∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒. 故答案为：45．14. 19解：由题意可知：()40,4A -,()40,4B ,()0,20H .设抛物线解析式为：220y ax =+.将()40,4A -代入解析式220y ax =+. 解得：1100a =-. 220100x y ∴=-+. 消防车同时后退10米,即抛物线220100x y =-+向左（右）平移10米. 平移后的抛物线解析式为：()21020100x y +=-+.令0x =,解得：19y =.故答案为：19． 三、解答题.15. 31a +1 16. 4917.原计划平均每天制作200个摆件．解：设原计划平均每天制作x 个,根据题意得. 3000300051.5x x=+ 解得：200x =经检验,200x =是原方程的解,且符合题意. 答：原计划平均每天制作200个摆件． 18. （1）见解析;（2）18【小问1详解】证明：由题意可知ACB DFE △≌△. AC DF =∴,30CAB FDE ∠=∠=︒. DF AC //∴四边形AFDC 地平行四边形;【小问2详解】如图,在Rt ACB △中,90ACB ∠=︒,30CAB ∠=︒,6cm BC . 212cm AB BC ∴==,60ABC ∠=︒. 四边形AFDC 是菱形.AD ∴平分CDF ∠.30CDA FDA ∴∠=∠=︒.ABC CDA BCD ∠=∠+∠.603030BCD ABC CDA ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒. BCD CDA ∴∠=∠.6cm BC BD ∴==.18cm AD AB BD ∴=+=.故答案为：18．19. （1）见解析 （2）110人（3）9【小问1详解】抽取了735%20÷=人.属于偏胖的人数为：202738---=.补全统计图如图所示.【小问2详解】8320011020+⨯=（人） 【小问3详解】设小张体重需要减掉kg x .依题意,227241.70x -< 解得：8.67x >答：他的体重至少需要减掉9kg.故答案为：9．20. 【小问1详解】解：如图所示.以3AB =为底,设AB 边上的高为h . 依题意得：19·22ABC SAB h == 解得：3h =即点C 在AB 上方且到AB 距离为3个单位的线段上的格点即可.答案不唯一;【小问2详解】由网格可知.AB =以10AB 为底,设AB 边上的高为h .依题意得：1·52ABC S AB h ==解得：h =将AB 绕A 或B 旋转90︒,过线段的另一个端点作AB 的平行线,与网格格点的交点即为点C . 答案不唯一.【小问3详解】如图所示. 作5BD AB ==,过点D 作CD AB ∥,交于格点C .由网格可知.BD AB ==,AD =③ABD △是直角三角形,且AB BD ⊥③CD AB ∥ ③15·22ABC S AB BD ==． 21. （1）12180y x =-（2）180【小问1详解】解：设乙距山脚的垂直高度y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+,将()15,0,()40,300代入得. 15040300k b k b +=⎧⎨+=⎩. 解得：12180k b =⎧⎨=-⎩. ③12180y x =-()1540x ≤≤【小问2详解】设甲距山脚的垂直高度y 与x 之间的函数关系式为11y k x b =+()2560x ≤≤将点()()25,16060,300，代入得.11112516060300k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得：11460k b =⎧⎨=⎩. ③460y x =+()2560x ≤≤;联立12180460y x y x =-⎧⎨=+⎩解得：30180x y =⎧⎨=⎩ ③乙乘坐缆车上升过程中,和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为180米22. 感知：45;探究：见解析;应用：3． 【详解】感知：由圆周角定理可得1245APB AOB ∠=∠=︒. 故答案为：45;探究： 证明：延长PA 至点E ,使AE PC =,连结BE . 四边形ABCP 是O 的内接四边形.180BAP BCP ∴∠+∠=︒．180BAP BAE ∠+∠=︒.BCP BAE ∴∠=∠． ABC 是等边三角形．BA BC ∴=.(SAS)PBC EBA ∴≌.③PB EB =,PBC EBA ∠=∠.60EBA ABP PBC ABP ABC ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒. PBE ∴是等边三角形.PB PE ∴=.PB PE PA AE PA PC ∴==+=+.即PB PA PC =+;应用：延长PA 至点E ,使AE PC =,连结BE .四边形ABCP 是O 的内接四边形.180BAP BCP ∴∠+∠=︒．180BAP BAE ∠+∠=︒.BCP BAE ∴∠=∠．AB CB =.(SAS)PBC EBA ∴≌.③PB EB =,PBC EBA ∠=∠.90EBA ABP PBC ABP ABC ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒. PBE ∴是等腰直角三角形.222PB BE PE ∴+=.222PB PE ∴=.即PE =.PE PA AE PA PC =+=+.PA PC ∴+=. 2PB =.4PA PC PA ∴+==. 3PC PA ∴=.33PB PC PA ∴==.故答案为：3．23. （1（2）32（3）见解析（4）0t <≤176t =或7t =【小问1详解】解：如图所示,连接BQ .③四边形ABCD 是矩形③90BAQ ABE ∠=∠=︒③90PEQ ∠=︒.③四边形ABEQ 是矩形.当点P 和点B 重合时.③3QE AB ==,2BE =在Rt QBE △中,BQ ===【小问2详解】如图所示.③90PEQ ∠=︒,90PBE ECD ∠=∠=︒. ③1290,2390∠+∠=︒∠+∠=︒.③13∠=∠③PBE ECD ∽. ③PE BE DE CD=. ③2BE =,3CD AB ==. ③2tan 3PE BE PQE DE CD ∠===; 【小问3详解】如图所示,过点P 作PH BC ⊥于点H .③90PEQ ∠=︒,90PHE ECQ ∠=∠=︒. ③1290,2390∠+∠=︒∠+∠=︒.则四边形ABHP 是矩形.③PH AB =3=又③523EC BC BE =-=-=③PH EC =.③PHE ECQ ≌③PE QE =③PQE 是等腰直角三角形;【小问4详解】③如图所示,当点P 在BE 上时.③3,2QE QF AQ BE ====.在Rt AQF △中,AF ===则3BF =③PE t =,则2BP t =-,PF PE t ==. 在Rt PBF 中,222PF PB FB =+.③(()22232t t =-+-解得：t =当92t -<时,点F 在矩形内部,符合题意.③902t -<≤符合题意.③当P 点在AB 上时,当,F A 重合时符合题意,此时如图.则2PB t BE t =-=-,PE =()325AP AB PB t t =-=--=-. 在Rt PBE △中,222PE PB BE =+()()222522t t -=-+. 解得：176t =. ③当点P 在AD 上,当,F D 重合时,此时Q 与点C 重合,则PFQE 是正方形,此时2327t =++=综上所述,0t <≤或176t =或7t =． 24. （1）222y x x =-++;顶点坐标为()1,3（2）()A（3）1m =-或2m =-或m =或12m =（4）2m =-+2m =-或12m =- 【小问1详解】解：将点(2,2)代入抛物线22y x bx =-++,得. 2422b =-++解得：2b =③抛物线解析式为222y x x =-++;③222y x x =-++()213x =--+.③顶点坐标为()1,3.【小问2详解】解：由222y x x =-++.当0y =时,2220x x -++=.解得：1211x x ==.③抛物线上的点B 在x 轴上时,横坐标为1m -．其中0m <． ③1m 1->③11m -=解得：m =③点A 的坐标为(,0)m .③()A ;【小问3详解】③如图所示,当1113m <-<+,即30m -<<时.抛物线在点P 和点B 之间的部分（包括P 、B 两点）的最高点为顶点,最低点为点P .③顶点坐标为()1,3,()1P则纵坐标之差为303-=依题意,32m =-解得：1m =-;③当11m -≥+即m ≤.③()()()21,1212B m m m ---+-+,即()21,3B m m --+. 依题意,()2332m m --+=-.解得：2m =-或1m =（舍去）. ③当1311m -<-<,即03m <<时.则232m m -+=-.解得：12m =或12m -=（舍去）.③当11m -≤-即m ≥.则()2032m m --+=-.解得：m =m =.综上所述,1m =-或2m =-或m =或m = 【小问4详解】解：如图所示.③B 在x 轴的上方.③111m <-<③m <<③以点C ,E ,O ,D 为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半,线段BO 的中点为D ③BCD COD S S =③AOBC AOC BOC S S S =+,BOC BCD COD S S S =+③当E 是AC 的中点,如图所示则2AOBC CEOD S S =. ③23,22m m E ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭代入222y x x =-++. 即22322222m m m -+⎛⎫=-+⨯+ ⎪⎝⎭.解得：2m =（舍去）或2m =-③同理当F 为AO 的中点时,如图所示,ACF CFO SS =,BCD COD S S =,则点C ,F ,O ,D 为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半.③12m =解得：2m =-.③如图所示,设BOC S S =,则12DBC S S =. ③以点C ,E ,O ,D 为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半,线段BO 的中点为D ③12CDF FDB AOC S S S S +=+ 即1122CDF CDF AOC S S S S S +=-+ ③12AOC CDF S S = ③CF AO =.③()2,3F m m --+.③,B F 关于1x =对称.③112m m -+-=. 解得：12m =-.综上所述,2m =-或2m =-12m =-．。
精品解析：2023年吉林省中考数学真题(解析版)
吉林省2023年初中学业水平考试数学试题数学试卷共7页，包括六道大题，共26道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．一、单项选择题（每小题2分，共12分）1. 月球表面的白天平均温度零上126C °，记作+126C °，夜间平均温度零下150C °，应记作（ ） A. +150C ° B. 150C −°C. +276C °D. 276C −°【答案】B 【解析】【分析】根据正负数表示相反意义的量，平均温度零上表示正，平均温度零下表示负即可求解． 【详解】解：平均温度零上126C °，记作+126C °，夜间平均温度零下150C °，应记作150C −°， 故选：B ．【点睛】本题主要考查正负数与实际问题的综合，掌握正负数表示相反意义的量是解题的关键． 2. 图①是2023年6月11日吉林市全程马拉松男子组颁奖现场．图②是领奖台的示意图，则此领奖台的主视图是（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】主视图是从几何体正面观察到的视图．【详解】解：领奖台从正面看，是由三个矩形组成的．三个矩形，右边最低，中间最高， 故选A ．【点睛】本题考查主视图，掌握三视图的特征是解题关键．3. 下列算式中，结果等于5a 的是（ ） A. 23a a + B. 23a a ⋅C. 23()aD. 102a a ÷【答案】B 【解析】【分析】根据同底数幂的运算法则即可求解．【详解】解：A 选项，不是同类项，不能进行加减乘除，不符合题意；B 选项，根据同底数幂的乘法可知，底数不变，指数相加，结果是235a a +=，符合题意；C 选项，根据幂的乘方可知，底数不变，指数相乘，结果是236a a ×=，不符合题意；D 选项，根据同底数幂的除法可知，底数不变，指数相减，结果是1028a a −=，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题主要考查同底数幂的混合运算法则，掌握同底数幂的运算法则是解题的关键． 4. 一元二次方程2520x x −+=根的判别式的值是（ ） A. 33 B. 23 C. 17D.【答案】C 【解析】24b ac =−△求出答案． 【详解】解：∵1a =，=5b −，2c =， ∴()224541172b ac =−=−××−= ． 故选：C ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，正确记忆公式是解题关键．5. 如图，在ABC 中，点D 在边AB 上，过点D 作DE BC ∥，交AC 于点E ．若23AD BD ==，，则AEAC的值是（ ）的A.25B.12C.35D.23【答案】A 【解析】【分析】利用平行线分线段成比例定理的推论得出AE ADAC AB=，即可求解． 【详解】解：∵ABC 中，DE BC ∥， ∴AE ADAC AB=， ∵23AD BD ==， ∴22235AE AD ACAD BD ===++， 故选：A ．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，解题关键是牢记“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例”．6. 如图，AB ，AC 是O 的弦，OB ，OC 是O 的半径，点P 为OB 上任意一点（点P 不与点B 重合），连接CP ．若70BAC ∠=°，则BPC ∠的度数可能是（ ）A. 70°B. 105°C. 125°D. 155°【答案】D 【解析】【分析】根据圆周角定理得出2140BOC BAC ∠=∠=°，进而根据三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：∵ BCBC =，70BAC ∠=°， ∴2140BOC BAC ∠=∠=°， ∵140BPC BOC PCO ∠=∠+∠≥°， ∴BPC ∠的度数可能是155° 故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共24分）7. .． 【解析】【分析】根据负数绝对值是它的相反数，可得答案． 【详解】解：|．8. 不等式480x −>的解集为__________． 【答案】2x > 【解析】【分析】根据移项、化系数为1，的步骤解一元一次不等式即可求解． 【详解】解：480x −>48x >解得：2x >， 故答案为：2x >．【点睛】本题考查了求一元一次不等式的解集，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 9. 计算：(3)a b +=_________． 【答案】3ab a + 【解析】【分析】根据单项式乘多项式的运算法则求解． 【详解】解：(3)3a b ab a +=+． 故答案为：3ab a +．【点睛】本题主要考查了单项式乘多项式的运算法则，掌握单项式乘多项式的运算法则是解答关键． 10. 如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是__________．【答案】三角形具有稳定性 【解析】的【分析】根据三角形结构具有稳定性作答即可． 【详解】解：其数学道理是三角形结构具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性．【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，解题的关键是熟练的掌握三角形形状对结构的影响． 11. 如图，在ABC 中，AB AC =，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两孤交于点D ，作直线AD 交BC 于点E ．若=110BAC ∠°，则BAE ∠的大小为__________度．【答案】55 【解析】【分析】首先根据题意得到AD 是BAC ∠角平分线，进而得到1552BAE CAE BAC ∠=∠=∠=°． 【详解】∵由作图可得，AD 是BAC ∠的角平分线∴1552BAE CAE BAC ∠=∠=∠=°． 故答案为：55．【点睛】此题考查了作角平分线，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握以上知识点．12. 《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱．问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为x 人，可列方程为__________． 【答案】54573x x +=+ 【解析】【分析】根据题中钱的总数列一元一次方程即可． 【详解】解：设合伙人数为x 人， 根据题意列方程54573x x +=+； 故答案为：54573x x +=+．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确分析列方程是解题的关键．的13. 如图①，A ，B 表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点O 是圆心，半径r 为15m ，点A ，B 是圆上的两点，圆心角120AOB ∠=°，则 AB 的长为_________m ．（结果保留π）【答案】10π 【解析】分析】利用弧长公式π180n rl =直接计算即可． 【详解】∵半径15m OA =，圆心角120AOB ∠=°， ∴ AB120π1510π180××=， 故答案为：10π．【点睛】本题考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式π180n rl =，并规范计算是解题的关键． 14. 如图，在Rt ABC △中，90C BC AC ∠=°<，．点D ，E 分别在边AB ，BC 上，连接DE ，将BDE 沿DE 折叠，点B 的对应点为点B ′．若点B ′刚好落在边AC 上，303CB E CE ′∠=°=，，则BC 的长为__________．【答案】9 【解析】【分析】根据折叠的性质以及含30度角的直角三角形的性质得出26B E BE CE ′===，即可求解．【详解】解：∵将BDE 沿DE 折叠，点B 的对应点为点B ′．点B ′刚好落在边AC 上，在Rt ABC△中，90C BC AC ∠=°<，，303CB E CE ′∠=°=，， ∴26B E BE CE ′===，∴369BC CE BE =+=+=， 故答案为：9．【点睛】本题考查了折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．【三、解答题（每小题5分，共20分）15. 下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M 是单项式．请写出单项式M ，并将该例题的解答过程补充完整．【答案】M a =，11a −，99100，过程见解析 【解析】【分析】先根据通分的步骤得到M ，再对原式进行化简，最后代入100a =计算即可． 【详解】解：由题意，第一步进行的是通分，∴()()2111M a a a a a M a a ⋅==+++， ∴M a =， 原式()()2111a a a a a −++()211a a a −=+ ()()()111a a a a +−=+1a a −=11a=−，当100a =时，原式1991100100=−=． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确对分式进行化简是解题的关键．16. 2023年6月4日，“神舟”十五号载人飞船返回舱成功着陆．某校为弘扬爱国主义精神，举办以航天员事迹为主题的演讲比赛，主题人物由抽卡片决定，现有三张不透明的卡片，卡片正面分别写着费俊龙、邓清明、张陆三位航天员的姓名，依次记作A ，B ，C ，卡片除正面姓名不同外，其余均相同．三张卡片正面向下洗匀后，甲选手从中随机抽取一张卡片，记录航天员姓名后正面向下放回，洗匀后乙选手再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率． 【答案】13【解析】【分析】分别使用树状图法或列表法将甲乙两位选手抽取卡片的结果表示出来，第一次共有3种不同的抽取情况，第二次同样也各有3种不同的抽取情况，所有等可能出现的结果有9种，找出两次卡片相同的抽取结果，即可算出概率．【详解】解：解法一：画树状图，根据题意，画树状图结果如下：由树状图可以看出，所有等可能出现的结果一共有9种，而两张卡片中相同的结果有3种，所以甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率3193P==． 解法二：用列表法，根据题意，列表结果如下：由表格可以看出，所有等可能出现的结果一共有9种，而两张卡片中相同的结果有3种，所以甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率3193P==． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，用图表的形式将第一次、第二次抽取所可能发生的情况一一列出，避免遗漏．17. 如图，点C 在线段BD 上，在ABC 和DEC 中，A D AB DE B E ∠=∠=∠=∠，，． 求证：AC DC =．【答案】证明见解析 【解析】【分析】直接利用ASA 证明ABC DEC ≌△△，再根据全等三角形的性质即可证明． 【详解】解：在ABC 和DEC 中，A D AB DE B E ∠=∠= ∠=∠∴()ASA ABC DEC ≌ ∴AC DC =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 18. 2022年12月28日查干湖冬捕活动后，某商家销售A ，B 两种查干湖野生鱼，如果购买1箱A 种鱼和2箱B 种鱼需花费1300元：如果购买2箱A 种鱼和3箱B 种鱼需花费2300元．分别求每箱A 种鱼和每箱B 种鱼的价格．【答案】每箱A 种鱼的价格是700元，每箱B 种鱼的价格是300元． 【解析】【分析】设每箱A 种鱼的价格是x 元，每箱B 种鱼的价格是y 元，根据题意建立方程组，解方程组即可得．【详解】解：设每箱A 种鱼的价格是x 元，每箱B 种鱼的价格是y 元，由题意得：21300232300x y x y += +=，解得700300x y == ，答：每箱A 种鱼的价格是700元，每箱B 种鱼的价格是300元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用用，正确建立方程组是解题关键．四、解答题（每小题7分，共28分）19. 图①、图②、图③均是55×的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB 的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以AB为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．【答案】见解析 【解析】【分析】根据勾股定理可得AB = 【详解】解：如图所示，如图①，AC AB ===，则ABC 是等腰三角形，且ABC 是锐角三角形，如图②，AD AB ===，BD ==，则222AD AB BD +=，则ABD △是等腰直角三角形，如图③，AE AB ===ABE 是等腰三角形，且ABE 是钝角三角形，【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，等腰三角形的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 20. 笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长λ（单位：m ）会随着电磁波的频率f （单位：MHz ）的变化而变化．已知波长λ与频率f 是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 频率f （MHz ） 10 15 50 波长λ（m ） 30206（1）求波长λ关于频率f 的函数解析式． （2）当75MHz f =时，求此电磁波的波长λ． 【答案】（1）300fλ=；（2）4m 【解析】【分析】（1）设解析式为kfλ=()0k ≠，用待定系数法求解即可； （2）把75MHz f =值代入（1）所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长λ． 【小问1详解】解：设波长λ关于频率f 的函数解析式为kfλ=()0k ≠， 把点()10,30代入上式中得：3010k=， 解得：300k =，300fλ∴=； 【小问2详解】解：当75MHz f =时，300475λ==， 答：当75MHz f =时，此电磁波的波长λ为4m ．【点睛】本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，21. 某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：填写人：王朵 综合实践活动报告 时间：2023年4月20日活动任务：测量古树高度 活动过程【步骤一】设计测量方案小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量．α=________．1.54m AB =． 请结合图①、图④和相关数据写出α的度数并完成【步骤四】． 【答案】40°，9.9m CD = 【解析】【分析】根据测角仪显示的度数和直角三角形两锐角互余即可求得α的度数，证明四边形ABDE 是矩形得到DE AB =，再解直角三角形求得CE 的度数，即可求解． 【详解】解：测角仪显示的度数为50°， ∴905040α=°−°=°，∵AB BD ⊥，ED BD ⊥，CE AE ⊥， ∴90ABD EDB AED ∠=∠=∠=°，∴四边形ABDE 是矩形，10m AE BD ==， 1.54m ED AB ==在Rt CAE △中，tan 8.39m CE AE α==， ∴8.39 1.549.939.9m CD CE ED =+=+=≈．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用和矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的运算是解题的关键．22. 为了解20182022−年吉林省粮食总产量及其增长速度的情况，王翔同学查阅相关资料，整理数据并绘制了如下统计图：20182022−年吉林省粮食总产量及其增长速度（以上数据源于《2022年吉林省国民经济和社会发展统计公报》） 注：-=100%×本年粮食总产量去年粮食总产量增长速度去年粮食总产量．根据此统计图，回答下列问题：（1）2021年全省粮食总产量比2019年全省粮食总产量多__________万吨． （2）20182022−年全省粮食总产量的中位数是__________万吨．（3）王翔同学根据增长速度计算方法得出2017年吉林省粮食总产量约为4154.0万吨． 结合所得数据及图中信息对下列说法进行判断，正确的画“√”，错误的画“×”①20182022−年全省粮食总产量增长速度最快的年份为2019年，因此这5年中，2019年全省粮食总产量最高．（ ）②如果将20182022−年全省粮食总产量的中位数记为a 万吨，20172022−年全省粮食总产量的中位数记为b 万吨，那么a b <．（ ） 【答案】（1）161.3 （2）3877.9 （3）①×；②√ 【解析】【分析】（1）根据条形统计图，可知2021年全省粮食总产量为4039.2；2019年全省粮食总产量为3877.9，作差即可求解．（2）根据中位数的定义，即可求解．（3）①根据统计图可知2019年全省粮食总产量不是最高； ②根据中位数的定义可得3877.94039.23877.92b +>，即可求解．【小问1详解】解：根据统计图可知，2021年全省粮食总产量为4039.2；2019年全省粮食总产量为3877.9，∴2021年全省粮食总产量比2019年全省粮食总产量多4039.23877.9161.3−=（万吨）； 故答案为：161.3． 【小问2详解】将20182022−年全省粮食总产量从小到大排列为：3632.7,3803.2,3877.9,4039.2,4080.8； ∴20182022−年全省粮食总产量的中位数是3877.9万吨 故答案为：3877.9． 【小问3详解】①20182022−年全省粮食总产量增长速度最快的年份为2019年，但是在这5年中，2019年全省粮食总产量不是最高． 故答案为：×．②依题意，3877.9a =，3877.94039.23877.92b +>∴b a >， 故答案为：√．【点睛】本题考查了条形统计图与折线统计图，中位数的计算，从统计图中获取信息是解题的关键．五、解答题（每小题8分，共16分）23. 甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和()m y 与甲组挖掘时间x （天）之间的关系如图所示．（1）甲组比乙组多挖掘了__________天．（2）求乙组停工后y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．（3）当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组己停工的天数．【答案】（1）30 （2）()312060y x x =+30<≤ （3）10天 【解析】【分析】（1）由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，据此计算即可；（2）设乙组停工后y 关于x 的函数解析式为y kx b =+，用待定系数法求解，再结合图象即可得到自变量x 的取值范围；（3）先计算甲乙两组每天各挖掘多少千米，再计算乙组挖掘的总长度，设乙组己停工的天数为a ，根据甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等列方程计算即可． 【小问1详解】解：由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做， ∴甲组挖掘了60天，乙组挖掘了30天，603030−=（天）∴甲组比乙组多挖掘了30天， 故答案为：30； 【小问2详解】解：设乙组停工后y 关于x 的函数解析式为y kx b =+， 将()30,210和()60,300两个点代入，可得2103030060k b k b =+=+ ，解得3120k b = =，∴()312060y x x =+30<≤ 【小问3详解】解：甲组每天挖30021036030−=−（千米）甲乙合作每天挖210730=（千米） ∴乙组每天挖734−=（千米），乙组挖掘的总长度为304120×=（千米） 设乙组己停工的天数为a ，则()330120a +=， 解得10a =，答：乙组己停工的天数为10天．【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，理解题意观察图象得到有用信息是解题的关键．24. 【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形EFMN ．转动其中一张纸条，发现四边形EFMN 总是平行四边形其中判定的依据是__________．【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条ABCD 和EFGH （AB BC <，FG BC ≤），其中AB EF =，B FEH ∠=∠EF 落在边BC 上，FG EH ，与边AD 分别交于点M ，N ．求证：EFMN 是菱形．【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条ABCD 不动，将平行四边形纸条EFGH 沿BC 或CB 平移，且EF 始终在边BC 上．当MD MG =时，延长CD HG ，交于点P ，得到图③．若四边形ECPH 的周长为40，4sin 5EFG ∠=（EFG ∠为锐角），则四边形ECPH 的面积为_________．【答案】（操作发现），两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（探究提升），见解析；（结论应用），8 【解析】【分析】（操作发现），根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答即可；（探究提升），证明四边形ABEN 是平行四边形，利用邻边相等的平行四边形是菱形即可证明结论成立；（结论应用），证明四边形ECPH 是菱形，求得其边长为10，作GQ BC ⊥于Q ，利用正弦函数的定义求解即可．【详解】解：（操作发现），∵两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起， ∴MN EF ∥，NE MF ∥，∴四边形EFMN 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， 故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （探究提升），∵MN EF ∥，NE MF ∥， ∴四边形EFMN 是平行四边形， ∵B FEH ∠=∠， ∴NE AB ∥， 又AN BE ∥，∴四边形ABEN 是平行四边形， ∴EF AB NE ==，∴平行四边形EFMN 是菱形；（结论应用），∵平行四边形纸条EFGH 沿BC 或CB 平移， ∴MD GP ∥，PD MG ∥，∴四边形MNHG 、CDMF 、PGMD 是平行四边形， ∵MD MG =，∴四边形PGMD 是菱形， ∵四边形EFMN 是菱形， ∴四边形ECPH 是菱形， ∵四边形ECPH 的周长为40， ∴10FH GF ==， 作GQ BC ⊥于Q ， ∵4sin 5EFG ∠=， ∴45GQ GF =， ∴8GQ =，∴四边形ECPH 的面积为10880×=． 故答案为：80．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．六、解答题（每小题10分，共20分）25. 如图，在正方形ABCD 中，4cm AB =，点O 是对角线AC 的中点，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，点P 以1cm/s 的速度沿边AB 向终点B 匀速运动，点Q 以2cm/s 的速度沿折线BC CD −向终点D 匀速运动．连接PO 并延长交边CD 于点M ，连接QO 并延长交折线DA AB −于点N ，连接PQ ，QM ，MN ，NP ，得到四边形PQMN ．设点P 的运动时间为x （s ）（04x <<），四边形PQMN 的面积为y （2cm ）（1）BP 的长为__________cm ，CM 的长为_________cm ．（用含x 的代数式表示） （2）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围． （3）当四边形PQMN 是轴对称图形时，直接写出x 的值． 【答案】（1）()4x −；x（2）()()2412160241624x x x y x x −+<≤ = −+<≤ （3）43x =或83x = 【解析】【分析】（1）根据正方形中心对称的性质得出,OM OP OQ ON ==，可得四边形PQMN 是平行四边形，证明ANP CQM ≌即可；（2）分02x <≤，24x <≤两种情况分别画出图形，根据正方形的面积，以及平行四边形的性质即可求解；（3）根据（2）的图形，分类讨论即可求解． 【小问1详解】解：依题意，1AP x x =×=()cm ，则()4PB AB AP x cm =−=−， ∵四边形ABCD 是正方形，∴,90AD BC DAB DCB ∠=∠=°∥， ∵点O 是正方形对角线AC 的中点，∴,OM OPOQ ON ==，则四边形PQMN 是平行四边形， ∴MQ PN =，MQ NP ∥，∴PNQ MQN ∠=∠， 又AD BC ∥，∴ANQ CQN ∠=∠， ∴ANP MQC ∠=∠， 在,ANP CQM 中，ANP MQC NAP QCM NP MQ ∠=∠∠=∠ =， ∴ANP CQM ≌，∴()cm MCAP x == 故答案为：()4x −；x ． 【小问2详解】解：当02x <≤时，点Q 在BC 上，由（1）可得ANP CQM ≌，同理可得PBQ MDN ≌，∵4,2,PB x QB x MC x =−==，42QC x =−， 则222MCQ BPQ y AB S S =−− ()()164242x x x x =−−×−−241216x x =−+；当24x <≤时，如图所示，则AP x =，224AN CQ x CB x ==−=−，()244PN AP AN x x x =−=−−=−+，∴()44416y x x =−+×=−+；综上所述，()()2412160241624x x x y x x −+<≤ = −+<≤； 【小问3详解】依题意，①当四边形PQMN 是矩形时，此时PB QB = 即42x x −= 解得：43x =，当四边形PQMN 是菱形时，则PQ MQ =，∴()()()22224242x x x x −+=+−，解得：0x =（舍去）； ②如图所示，当PB CQ =时，424x x −−，解得83x =， 当四边形PQMN 是菱形时，则4PN PQ ==，即44x −+=，解得：0x =（舍去）， 综上所述，当四边形PQMN 是轴对称图形时，43x =或83x =． 【点睛】本题考查了正方形的性质，动点问题，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质，轴对称图形，熟练掌握以上知识是解题的关键．26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y x x c =−++经过点(0,1)A ．点P ，Q 在此抛物线上，其横坐标分别为,2(0)m m m >，连接AP ，AQ ．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点Q 与此抛物线的顶点重合时，求m 的值．（3）当PAQ ∠的边与x 轴平行时，求点P 与点Q 的纵坐标的差．（4）设此抛物线在点A 与点P 之间部分（包括点A 和点P ）的最高点与最低点的纵坐标的差为1h ，在点A 与点Q 之间部分（包括点A 和点Q ）的最高点与最低点的纵坐标的差为2h ．当21h h m −=时，直接写出m 的值．【答案】（1）221y x x =−++（2）12m = （3）点P 与点Q 的纵坐标的差为1或8（4）13m =或54m = 【解析】【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）化为顶点式，求得顶点坐标，进而根据点Q 的横坐标为2m ，即可求解；（3）分AQ x ∥轴时，AP x ∥轴时分别根据抛物线的对称性求得Q 的横坐标与P 的横坐标，进而代入抛物线解析式，求得纵坐标，即可求解；（4）分四种情况讨论，①如图所示，当,P Q 都在对称轴1x =的左侧时，当,P Q 在对称轴两侧时，当点P 在1x =的右侧时，当P 的纵坐标小于1时，分别求得12,h h ，根据21h h m −=建立方程，解方程即可求解．【小问1详解】解：∵抛物线22y xx c =−++经过点(0,1)A ． ∴1c =∴抛物线解析式为221y x x =−++；【小问2详解】解：∵221y x x =−++()212x =−−+， 顶点坐标为()1,2，∵点Q 与此抛物线的顶点重合，点Q 的横坐标为2m∴21m =， 解得：12m =； 【小问3详解】①AQ x ∥轴时，点,A Q 关于对称轴1x =对称，22Qx m ==， ∴1m =，则212112−+×+=，222211−+×+=， ∴()1,2P ，Q ()2,1∴点P 与点Q 的纵坐标的差为211−=；②当AP x ∥轴时，则A P ，关于直线1x =对称，∴2P x m ==，24Qx m == 则242417−+×+=−∴()2,1P ，()4,7Q −；∴点P 与点Q 的纵坐标的差为()178−−=； 综上所述，点P 与点Q 的纵坐标的差为1或8；【小问4详解】①如图所示，当P Q ，都在对称轴1x =的左侧时，则021m << ∴102m << ∵()2,21P m m m −++，()()()22,2221Q m m m −++即()22,441Q m m m −++ ∴()21211P A h y y m m =−=−++−22m m =−+； 222441144Q A h y y m m m m =−=−++−=−+∵21h h m −=∴22442m m m m m −++−= 解得：13m =或0m =（舍去）；②当,P Q 在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，则211m m ≥≤，，即112m ≤≤， 则2122,211h m m h =−+=−=， ∴212m m m +−=，解得：m =； ③当点P 在1x =的右侧且在直线0y =上方时，即12m <<，1211h =−=，()2222441441h m m m m =−−++=−+∴24411m m m −+−= 解得：54m =或0m =（舍去）； ④当P 在直线1y =上或下方时，即2m ≥，，()22122121h m m m m =−−++=−+，()2222441441h m m m m =−−++=−+，()2244121m m m m m ∴−+−−+=解得：1m =（舍去）或0m =（舍去） 综上所述，13m =或54m =． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，顶点式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．。
2022年吉林省中考数学试卷(含答案)
2022年吉林省中考数学试卷一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．（2分）（2022•吉林）吉林松花石有“石中之宝”的美誉，用它制作的砚台叫松花砚，能与中国四大名砚媲美．如图是一款松花砚的示意图，其俯视图为（）A．B．C．D．2．（2分）（2022•吉林）要使算式（﹣1）□3的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（）A．+B．﹣C．×D．÷3．（2分）（2022•吉林）y与2的差不大于0，用不等式表示为（）A．y﹣2＞0B．y﹣2＜0C．y﹣2≥0D．y﹣2≤04．（2分）（2022•吉林）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a，b的大小关系为（）A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定5．（2分）（2022•吉林）如图，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，其依据可以简单说成（）A．两直线平行，内错角相等B．内错角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等D．同位角相等，两直线平行6．（2分）（2022•吉林）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（）A．2B．3C．4D．5二、填空题（每小题3分，共24分）7．（3分）（2022•吉林）﹣的相反数是．8．（3分）（2022•吉林）计算：a•a2＝．9．（3分）（2022•吉林）篮球队要购买10个篮球，每个篮球m元，一共需要元．（用含m的代数式表示）10．（3分）（2022•吉林）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒x斛、1个小桶可以盛酒y斛．根据题意，可列方程组为．11．（3分）（2022•吉林）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角α（0°＜α＜360°）后能够与它本身重合，则角α可以为度．（写出一个即可）12．（3分）（2022•吉林）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点B在y 轴正半轴上，以点B为圆心，BA长为半径作弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为．13．（3分）（2022•吉林）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF＝AC，连接EF．若AC＝10，则EF＝．14．（3分）（2022•吉林）如图，在半径为1的⊙O上顺次取点A，B，C，D，E，连接AB，AE，OB，OC，OD，OE．若∠BAE＝65°，∠COD＝70°，则与的长度之和为（结果保留π）．三、解答题（每小题5分，共20分）15．（5分）（2022•吉林）如图，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD．求证：BD＝CD．16．（5分）（2022•吉林）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中A是关于m的多项式．请写出多项式A，并将该例题的解答过程补充完整．例：先去括号，再合并同类项：m（A）﹣6（m+1）．解：m（A）﹣6（m+1）＝m2+6m﹣6m﹣6＝．17．（5分）（2022•吉林）长白山国家级自然保护区、松花湖风景区和净月潭国家森林公园是吉林省著名的三个景区．甲、乙两人用抽卡片的方式决定一个自己要去的景区．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上长白山、松花湖、净月潭．卡片除正面景区名称不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，甲先从中随机抽取一张卡片，记下景区名称后正面向下放回，洗匀后乙再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求两人都决定去长白山的概率．18．（5分）（2022•吉林）图①，图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点A，B，C均在格点上，请在给定的网格中按要求画四边形．（1）在图①中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形；（2）在图②中，找一格点E，使以点A，B，C，E为顶点的四边形是中心对称图形．四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）（2022•吉林）刘芳和李婷进行跳绳比赛．已知刘芳每分钟比李婷多跳20个，刘芳跳135个所用的时间与李婷跳120个所用的时间相等．求李婷每分钟跳绳的个数．20．（7分）（2022•吉林）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）求密度ρ关于体积V的函数解析式．（2）当V＝10m3时，求该气体的密度ρ．21．（7分）（2022•吉林）动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）22．（7分）（2022•吉林）为了解全国常住人口城镇化率的情况，张明查阅相关资料，整理数据并绘制统计图如下：（以上数据来源于《中华人民共和国2021年国民经济和社会发展统计公报》）注：城镇化率＝×100%．例如，城镇常住人口60.12万人，总人口100万人，则城镇化率为60.12%．回答下列问题：（1）2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率的中位数是%．（2）2021年年末全国人口141260万人，2021年年末全国城镇常住人口为万人．（只填算式，不计算结果）（3）下列推断较为合理的是（填序号）．①2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率逐年上升，估计2022年年末全国常住人口城镇化率高于64.72%．②全国常住人口城镇化率2020年年末比2019年年末增加1.18%，2021年年末比2020年年末增加0.83%，全国常住人口城镇化率增加幅度减小，估计2022年年末全国常住人口城镇化率低于64.72%．五、解答题（每小题8分，共16分）23．（8分）（2022•吉林）李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快．在一段时间内，水温y（℃）与加热时间x（s）之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图象如下：（1）加热前水温是℃．（2）求乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式．（3）当甲壶中水温刚达到80℃时，乙壶中水温是℃．24．（8分）（2022•吉林）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．【作业】如图①，直线l1∥l2，△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？解：相等．理由如下：设l1与l2之间的距离为h，则S△ABC＝BC•h，S△DBC＝BC•h．∴S△ABC＝S△DBC．【探究】（1）如图②，当点D在l1，l2之间时，设点A，D到直线l2的距离分别为h，h′，则＝．证明：∵S△ABC＝．（2）如图③，当点D在l1，l2之间时，连接AD并延长交l2于点M，则＝．证明：过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为F，则∠AEM＝∠DFM ＝90°．∴AE∥．∴△AEM∽．∴＝．由【探究】（1）可知＝，∴＝．（3）如图④，当点D在l2下方时，连接AD交l2于点E．若点A，E，D所对应的刻度值分别为5，1.5，0，则的值为．六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）（2022•吉林）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B匀速运动．以P A为一边作∠APQ＝120°，另一边PQ与折线AC﹣CB相交于点Q，以PQ为边作菱形PQMN，点N在线段PB上．设点P的运动时间为x（s），菱形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为y（cm2）．（1）当点Q在边AC上时，PQ的长为cm．（用含x的代数式表示）（2）当点M落在边BC上时，求x的值．（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．26．（10分）（2022•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过点A（1，0），点B（0，3）．点P在此抛物线上，其横坐标为m．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点P在x轴上方时，结合图象，直接写出m的取值范围．（3）若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为2﹣m．①求m的值．②以P A为边作等腰直角三角形P AQ，当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点Q的坐标．2022年吉林省中考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．（2分）（2022•吉林）吉林松花石有“石中之宝”的美誉，用它制作的砚台叫松花砚，能与中国四大名砚媲美．如图是一款松花砚的示意图，其俯视图为（）A．B．C．D．【分析】由物体的正面示意图可得物体的俯视图为两同心圆．【解答】解：俯视图是从物体的上面向下面投射所得的视图，由松花砚的示意图可得其俯视图为C．故选：C．【点评】本题考查物体的三视图，解题关键是掌握物体的三视图的有关概念．2．（2分）（2022•吉林）要使算式（﹣1）□3的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（）A．+B．﹣C．×D．÷【分析】分别把加、减、乘、除四个符号填入括号，计算出结果即可．【解答】解：当填入加号时：﹣1+3＝2；当填入减号时﹣1﹣3＝﹣4；当填入乘号时：﹣1×3＝﹣3；当填入除号时﹣1÷3＝﹣，∵2＞﹣＞﹣3＞﹣4，∴这个运算符号是加号．故选：A．【点评】本题考查的是有理数的运算及有理数的大小比较，根据题意得出填入加、减、乘、除四个符号的得数是解答此题的关键．3．（2分）（2022•吉林）y与2的差不大于0，用不等式表示为（）A．y﹣2＞0B．y﹣2＜0C．y﹣2≥0D．y﹣2≤0【分析】不大于就是小于等于的意思，根据y与2的差不大于0，可列出不等式．【解答】解：根据题意得：y﹣2≤0．故选：D．【点评】本题主要考查了一元一次不等式，解答本题的关键是理解“不大于”的意思，列出不等式．4．（2分）（2022•吉林）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a，b的大小关系为（）A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定【分析】由数轴上b在a的右侧可得b与a的大小关系．【解答】解：∵b＞0，a＜0，∴a＜b，故选：B．【点评】本题考查实数与数轴，解题关键是掌握数轴的定义．5．（2分）（2022•吉林）如图，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，其依据可以简单说成（）A．两直线平行，内错角相等B．内错角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等D．同位角相等，两直线平行【分析】由平行的判定求解．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），故选：D．【点评】本题考查平行线的判定与性质，解题关键是掌握平行线的判定方法及平行线的性质．6．（2分）（2022•吉林）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（）A．2B．3C．4D．5【分析】由勾股定理求出AC的长度，再由点C在⊙A内且点B在⊙A外求解．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝＝4，∵点C在⊙A内且点B在⊙A外，∴3＜r＜5，故选：C．【点评】本题考查点与圆的位置关系，解题关键是掌握勾股定理．二、填空题（每小题3分，共24分）7．（3分）（2022•吉林）﹣的相反数是．【分析】根据相反数的意义，相反数是只有符号不同的两个数，改变﹣前面的符号，即可得﹣的相反数．【解答】解：﹣的相反数是．故答案为：．【点评】本题考查了相反数．解题的关键是掌握相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．8．（3分）（2022•吉林）计算：a•a2＝a3．【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a m•a n＝a m+n 计算即可．【解答】解：a•a2＝a1+2＝a3．故答案为：a3．【点评】本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．9．（3分）（2022•吉林）篮球队要购买10个篮球，每个篮球m元，一共需要10m元．（用含m的代数式表示）【分析】根据题意直接列出代数式即可．【解答】解：篮球队要买10个篮球，每个篮球m元，一共需要10m元，故答案为：10m．【点评】本题主要考查了通过实际问题列出代数式，理解题意是解答本题的关键．10．（3分）（2022•吉林）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒x斛、1个小桶可以盛酒y斛．根据题意，可列方程组为．【分析】根据题意列出二元一次方程组即可．【解答】解：设1个大桶可以盛酒x斛、1个小桶可以盛酒y斛，由题意得：，故答案为：．【点评】本题考查的是二元一次方程组的应用，找等量关系是列方程组的关键和难点．11．（3分）（2022•吉林）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角α（0°＜α＜360°）后能够与它本身重合，则角α可以为72（答案不唯一）．度．（写出一个即可）【分析】先求出正五边形的中心角，再根据旋转变换的性质解答即可．【解答】解：360°÷5＝72°，则这个图案绕着它的中心旋转72°后能够与它本身重合，故答案为：72（答案不唯一）．【点评】本题考查的是旋转对称图形、正多边形的性质，求出正五边形的中心角是解题的关键．12．（3分）（2022•吉林）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点B在y 轴正半轴上，以点B为圆心，BA长为半径作弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为（2，0）．【分析】由图象可得OB与圆的直径重合，由BO⊥AC及垂径定理求解．【解答】解：由图象可得OB与直径重合，∵BO⊥AC，∴OA＝OC，∵A（﹣2，0），∴C（2，0），故答案为：（2，0）．【点评】本题考查与圆的有关计算，解题关键是掌握垂径定理及其推论．13．（3分）（2022•吉林）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF＝AC，连接EF．若AC＝10，则EF＝．【分析】由AF＝AC可得点F为AO中点，从而可得EF为△AOD的中位线，进而求解．【解答】解：在矩形ABCD中，AO＝OC＝AC，AC＝BD＝10，∵AF＝AC，∴AF＝AO，∴点F为AO中点，∴EF为△AOD的中位线，∴EF＝OD＝BD＝．故答案为：．【点评】本题考查矩形的性质，解题关键是掌握三角形的中位线的性质．14．（3分）（2022•吉林）如图，在半径为1的⊙O上顺次取点A，B，C，D，E，连接AB，AE，OB，OC，OD，OE．若∠BAE＝65°，∠COD＝70°，则与的长度之和为（结果保留π）．【分析】由圆周角定理可得∠BOE的大小，从而可得∠BOC+∠DOE的大小，进而求解．【解答】解：∵∠BAE＝65°，∴∠BOE＝130°，∴∠BOC+∠DOE＝∠BOE﹣∠COD＝60°，∴+的长度＝×2π×1＝，故答案为：π．【点评】本题考查圆周角定理，解题关键是掌握圆心角与圆周角的关系，掌握计算弧长的方法．三、解答题（每小题5分，共20分）15．（5分）（2022•吉林）如图，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD．求证：BD＝CD．【分析】由AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD可证明△ABD≌△ACD，从而可得BD ＝CD．【解答】证明：在△ABD与△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴BD＝CD．【点评】本题考查全等三角形的判定及性质，解题关键是掌握全等三角形的判定方法及全等三角形的性质．16．（5分）（2022•吉林）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中A是关于m的多项式．请写出多项式A，并将该例题的解答过程补充完整．例：先去括号，再合并同类项：m（A）﹣6（m+1）．解：m（A）﹣6（m+1）＝m2+6m﹣6m﹣6＝m2﹣6．【分析】根据题意合并同类项即可．【解答】解：由题知，m（A）﹣6（m+1）＝m2+6m﹣6m﹣6＝m2﹣6，∵m2+6m＝m（m+6），∴A为：m+6，故答案为：m2﹣6．【点评】本题主要考查整式的加减，熟练掌握整式的运算是解题的关键．17．（5分）（2022•吉林）长白山国家级自然保护区、松花湖风景区和净月潭国家森林公园是吉林省著名的三个景区．甲、乙两人用抽卡片的方式决定一个自己要去的景区．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上长白山、松花湖、净月潭．卡片除正面景区名称不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，甲先从中随机抽取一张卡片，记下景区名称后正面向下放回，洗匀后乙再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求两人都决定去长白山的概率．【分析】根据题意作图得出概率即可．【解答】解：由题意作树状图如下：由图知，两人都决定去长白山的概率为．【点评】本题主要考查概率的知识，熟练掌握列表法和树状图法求概率是解题的关键．18．（5分）（2022•吉林）图①，图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点A，B，C均在格点上，请在给定的网格中按要求画四边形．（1）在图①中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形；（2）在图②中，找一格点E，使以点A，B，C，E为顶点的四边形是中心对称图形．【分析】（1）作点B关于直线AC的对称点D，四边形ABCD为筝形．（2）将点A向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得点D，四边形ABCD为平行四边形．【解答】解：（1）作点B关于直线AC的对称点D，连接ABCD，四边形ABCD为筝形，符合题意．（2）将点A向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得点D，连接ABCD，AD∥BC 且AD＝BC，∴四边形ABCD为矩形，符合题意．【点评】本题考查网格无刻度尺作图，解题关键是掌握平行四边形的性质．四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）（2022•吉林）刘芳和李婷进行跳绳比赛．已知刘芳每分钟比李婷多跳20个，刘芳跳135个所用的时间与李婷跳120个所用的时间相等．求李婷每分钟跳绳的个数．【分析】设李婷每分钟跳绳x个，则刘芳每分钟跳绳x+20个，根据时间相等列方程求解即可．【解答】解：设李婷每分钟跳绳x个，则刘芳每分钟跳绳x+20个，根据题意列方程，得，即135x＝120（x+20），解得x＝160，经检验x＝160是原方程的解，答：李婷每分钟跳绳160个．【点评】本题主要考查分式方程，根据时间相等列方程求解是解题的关键．20．（7分）（2022•吉林）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）求密度ρ关于体积V的函数解析式．（2）当V＝10m3时，求该气体的密度ρ．【分析】（1）通过待定系数法求解．（2）将V＝10代入函数解析式求解．【解答】解：（1）设ρ＝，将（4，2.5）代入ρ＝得2.5＝，解得k＝10，∴ρ＝．（2）将V＝10代入ρ＝得ρ＝1．∴该气体的密度为1kg/m3．【点评】本题考查反比例函数的应用，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握函数与方程的关系．21．（7分）（2022•吉林）动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）【分析】由AB，BC的长度求出AC长度，然后根据sin∠BCD＝求解．【解答】解：∵AB＝34cm，BC＝70cm，∴AC＝AB+BC＝104cm，在Rt△ACE中，sin∠BCD＝，∴AE＝AC•sin∠BCD＝104×0.85≈88cm．答：点A到CD的距离AE的长度约88cm．【点评】本题考查解直角三角形，解题关键是掌握锐角三角函数的定义．22．（7分）（2022•吉林）为了解全国常住人口城镇化率的情况，张明查阅相关资料，整理数据并绘制统计图如下：（以上数据来源于《中华人民共和国2021年国民经济和社会发展统计公报》）注：城镇化率＝×100%．例如，城镇常住人口60.12万人，总人口100万人，则城镇化率为60.12%．回答下列问题：（1）2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率的中位数是62.71%．（2）2021年年末全国人口141260万人，2021年年末全国城镇常住人口为141260×64.72%万人．（只填算式，不计算结果）（3）下列推断较为合理的是①（填序号）．①2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率逐年上升，估计2022年年末全国常住人口城镇化率高于64.72%．②全国常住人口城镇化率2020年年末比2019年年末增加1.18%，2021年年末比2020年年末增加0.83%，全国常住人口城镇化率增加幅度减小，估计2022年年末全国常住人口城镇化率低于64.72%．【分析】（1）将2017﹣2021年年末的城镇化率从小到大排列，从而可得中位数．（2）根据城镇化率＝×100%可得2021年年末全国城镇常住人口为141260×64.72%（万人）．‘（3）由折线图可得全国常住人口城镇化率在逐年增加．【解答】解：（1）∵2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率分别为60.24%，61.50%，62.71%，63.89%，64.72%，∴中为数是62.71%，故答案为：62.71．（2）∵2021年年末城镇化率为64.72%，∴常住人口为141260×64.72%（万人），故答案为：141260×64.72%．（3）∵2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率逐年上升，∴估计2022年年末全国常住人口城镇化率高于64.72%．故答案为：①．【点评】本题考查数据的收集与整理，解题关键是掌握中位数的概念，读懂折线图．五、解答题（每小题8分，共16分）23．（8分）（2022•吉林）李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快．在一段时间内，水温y（℃）与加热时间x（s）之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图象如下：（1）加热前水温是20℃．（2）求乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式．（3）当甲壶中水温刚达到80℃时，乙壶中水温是65℃．【分析】（1）由图象x＝0时y＝20求解．（2）通过待定系数法求解．（3）由图象可求出甲壶的加热速度，求出甲壶中水温达到80℃时的x，将其代入（2）中解析式求解．【解答】解：（1）由图象得x＝0时y＝20，∴加热前水温是20℃，故答案为：20．（2）设乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式为y＝kx+b，将（0，20），（160，80）代入y＝kx+b得，解得，∴y＝x+20．（3）甲水壶的加热速度为（60﹣20）÷80＝℃/s，∴甲水壶中温度为80℃时，加热时间为（80﹣20）÷＝120s，将x＝120代入y＝x+20得y＝65，故答案为：65．【点评】本题考查一次函数的应用，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握一次函数与方程的关系．24．（8分）（2022•吉林）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．【作业】如图①，直线l1∥l2，△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？解：相等．理由如下：设l1与l2之间的距离为h，则S△ABC＝BC•h，S△DBC＝BC•h．∴S△ABC＝S△DBC．【探究】（1）如图②，当点D在l1，l2之间时，设点A，D到直线l2的距离分别为h，h′，则＝．证明：∵S△ABC＝BC•h．（2）如图③，当点D在l1，l2之间时，连接AD并延长交l2于点M，则＝．证明：过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为F，则∠AEM＝∠DFM ＝90°．∴AE∥DF．∴△AEM∽△DFM．∴＝．由【探究】（1）可知＝，∴＝．（3）如图④，当点D在l2下方时，连接AD交l2于点E．若点A，E，D所对应的刻度值分别为5，1.5，0，则的值为．【分析】（1）由S△ABC＝BC•h，S△DBC＝BC•h′即可证明．（2）由AE∥DF可得△AEM∽△DFM，再由相似三角形的性质可得＝，然后结合【探究】（1）结论可得＝．（3）作DK∥AC交l2于点K，由【探究】（1）（2）可得＝，进而求解．【解答】（1）证明：∵S△ABC＝BC•h，S△DBC＝BC•h′，∴＝．（2）证明：过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为F，则∠AEM＝∠DFM＝90°．∵AE∥DF，∴△AEM∽△DFM，∴＝，由【探究】（1）可知＝，∴＝．故答案为：DF，△DFM，．（3）作DK∥AC交l2于点K，∵DK∥AC，∴△ACE∽△DKE，∵DE＝1.5，AE＝5﹣1.5＝3.5，∴＝＝，由【探究】（2）可得＝＝．故答案为：．【点评】本题考查图形的探究题型，解题关键是掌握三角形的面积公式，掌握相似三角形的判定及性质．六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）（2022•吉林）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B匀速运动．以P A为一边作∠APQ＝120°，另一边PQ与折线AC﹣CB相交于点Q，以PQ为边作菱形PQMN，点N在线段PB上．设点P的运动时间为x（s），菱形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为y（cm2）．（1）当点Q在边AC上时，PQ的长为2x cm．（用含x的代数式表示）（2）当点M落在边BC上时，求x的值．（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．【分析】（1）作PE⊥AC于点E，由含30°角的直角三角形可得AE的长度，再由等腰三角形的性质可得AQ的长度．（2）作出点M落在边BC上的图象，由AP+PN+NB＝AB求解．（3）分类讨论0≤x≤1，1＜t≤，＜x≤3并作出图象求解．【解答】解：（1）作PE⊥AC于点E，在Rt△APE中，cos30°＝，∴AE＝AP•cos30°＝x，∵∠APQ＝120°，∴∠AQP＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∴AP＝PQ，∴点E为AQ中点，∴AQ＝2x（cm），故答案为：2x．（2）如图，∵∠APQ＝120°，∴∠MNB＝∠PQB＝60°，∵∠B＝60°，∴△MNB为等边三角形，∴AP＝PQ＝PN＝MN＝NB，即AP+PN+NB＝3AP＝AB，∴3×2x＝6，解得x＝1．（3）当0≤x≤1时，作QF⊥AB于点F，∵∠A＝30°，AQ＝2x，∴QF＝AQ＝x，∵PN＝PQ＝AP＝2x，∴y＝PN•QF＝2x•x＝2x2．当1＜t≤时，QM，NM交BC于点H，K，∵AB＝6cm，∠A＝30°，∴AC＝AB＝3cm，∴CQ＝AC﹣AQ＝3﹣2x，∴QH＝CQ＝（3﹣2x）＝6﹣4x，∴HM＝QM﹣QH＝2x﹣（6﹣4x）＝6x﹣6，∵△HKM为等边三角形，∴S△HKM＝HM2＝9x2﹣18x+9，∴y＝2x2﹣（9x2﹣18x+9）＝﹣7x2+18x﹣9．当＜x≤3时，重叠图形△PQM为等边三角形，PQ＝PB＝AB﹣AP＝6﹣2x，∴y＝PB2＝（6﹣2x）2＝x2﹣6x+9．综上所述，y＝．【点评】本题考查图形的综合题，解题关键是掌握解直角三角形的方法，掌握菱形的性质，通过分类讨论求解．26．（10分）（2022•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过点A（1，0），点B（0，3）．点P在此抛物线上，其横坐标为m．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点P在x轴上方时，结合图象，直接写出m的取值范围．（3）若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为2﹣m．①求m的值．②以P A为边作等腰直角三角形P AQ，当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点Q 的坐标．【分析】（1）通过待定系数法求解．（2）令y＝0，求出抛物线与x轴交点坐标，结合图象求解．（3）①分类讨论点P在抛物线对称轴右侧及左侧两种情况，分别求出顶点为最低点和点P为最低点时m的值．②根据m的值，作出等腰直角三角形求解．【解答】解：（1）将（1，0），（0，3）代入y＝x2+bx+c得，解得，∴y＝x2﹣4x+3．（2）令x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴抛物线与x轴交点坐标为（1，0），（3，0），∵抛物线开口向上，∴m＜1或m＞3时，点P在x轴上方．（3）①∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x＝2，当m＞2时，抛物线顶点为最低点，∴﹣1＝2﹣m，解得m＝3，当m≤2时，点P为最低点，将x＝m代入y＝x2﹣4x+3得y＝m2﹣4m+3，∴m2﹣4m+3＝2﹣m，解得m1＝（舍），m2＝．∴m＝3或m＝．②当m＝3时，点P在x轴上，AP＝2，∵抛物线顶点坐标为（2，﹣1），∴点Q坐标为（2，﹣1）或（2，1）符合题意．当m＝时，如图，∠QP A＝90°过点P作y轴平行线，交x轴于点F，作QE⊥PF 于点E，∵∠QPE+∠APF＝∠APF+∠P AF＝90°，∴∠QPE＝∠P AF，又∵∠QEP＝∠PF A＝90°，QP＝P A，∴△QEP≌△PF A（AAS），∴QE＝P A，即2﹣m＝m2﹣4m+3，解得m1＝（舍），m2＝．∴PF＝2﹣，AF＝PE＝1﹣，∴EF＝PF+PE＝2﹣+1﹣＝，∴点Q坐标为（2，）．综上所述，点Q坐标为（2，﹣1）或（2，1）或（2，）．【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，通过数形结合求解．。
2024年长春市中考数学试卷
选择题在平面直角坐标系中，点A(3, -2)关于x轴对称的点的坐标是：A. (-3, 2)B. (-3, -2)C. (3, 2)（正确答案）D. (2, 3)已知等腰三角形的两边长分别为3和5，则这个等腰三角形的周长为：A. 8B. 11C. 13（正确答案）D. 11或13函数y = 2x + 1与y = 2x - 3的图象：A. 平行且关于x轴对称B. 平行且关于y轴对称C. 相交且交点在y轴上D. 平行且关于直线y = x对称（正确答案）若关于x的一元二次方程x2 - 4x + m = 0有两个相等的实数根，则m的值为：A. -4B. 4（正确答案）C. 2D. -2下列计算正确的是：A. 3a + 2b = 5abB. a2 · a3 = a6C. (a2)3 = a6（正确答案）D. a6 ÷ a3 = a1已知圆的半径为r，圆心到直线l的距离为d，若直线l与圆相切，则：A. d > rB. d < rC. d = r（正确答案）D. d与r的大小关系不确定在比例尺为1:1000的地图上，测得某矩形区域的图上面积为2cm2，则该矩形区域的实际面积为：A. 2m2B. 20m2C. 200m2（正确答案）D. 2000m2下列不等式组中，解集为x > 2的是：A. {x | x > 1, x > 3}B. {x | x > 1, x ≤ 2}C. {x | x ≥ 2, x < 3}D. {x | x > 1, x > 2}（正确答案）若a、b、c为三角形的三边长，且满足(a - 5)2 + |b - 12| + c2 - 26c + 169 = 0，则此三角形的形状为：A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形（正确答案）D. 等腰直角三角形。
吉林省2022年中考数学真题试题(含解析)
吉林省2022年中考数学真题试题(含解析) 2022年吉林省中考数学试卷一、单项选择题（每题2分，共12分）1.计算（-1）的正确结果是（）。
A。
1B。
2C。
-1D。
-2答案】A解析】考点：有理数的乘方。
2.如图是一个正六棱柱的茶叶盒，其俯视图为（）。
A。
B。
C。
D。
答案】B解析】试题解析：正六棱柱的俯视图为正六边形。
应选B。
考点：简单几何体的三视图。
3.以下计算正确的选项是（）。
A。
a+a=aB。
a×a=aC。
[a]=aD。
[ab]=ab答案】C解析】试题解析：A。
a与a不是同类项，故A错误；B。
原式=a，故B错误；D。
原式=ab，故D错误。
应选C。
考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法。
4.不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的选项是（）。
A。
B。
C。
D。
答案】A解析】考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集。
5.如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，连接AD。
假设∠B=40°，∠C=36°，那么∠DAC的度数是（）。
A。
70°B。
44°C。
34°D。
24°答案】C解析】试题解析：∵AB=BD，∠B=40°，∴∠ADB=70°，∵∠C=36°，∴∠DAC=∠ADB-∠C=34°。
应选C。
考点：三角形内角和定理。
6.如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C。
假设AB=12，OA=5，那么BC的长为（）。
A。
5B。
6C。
7D。
8答案】D解析】考点：切线的性质。
二、填空题（每题3分，共24分）7.2022年我国资助各类家庭困难学生超过84,000,000人次。
将84,000,000这个数用科学记数法表示为（）。
答案】8.4×10^7解析】试题解析：84,000,000=8.4×10^7.考点：科学记数法——表示较大的数。
吉林省长春市中考数学试卷及答案(Word解析版)
吉林省长春市中考数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）（•长春）的绝对值等于（）A．B．4C．D．﹣4考点：绝对值．分析：根据负数的绝对值等于它的相反数解答．解答：解：﹣的绝对值等于，即|﹣|=．故选A．点评：本题考查了绝对值，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．（3分）（•长春）如图是由四个相同的小长方体组成的立体图形，这个立体图形的正视图是（）A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．分析：找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．解答：解：从正面看易得第一层有1个长方形，位于左边，第二层有2个长方形．故选D．点评：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．3．（3分）（•长春）我国第一艘航空母舰辽宁航空舰的电力系统可提供14 000 000瓦的电力．14 000 000这个数用科学记数法表示为（）A．14×106B．1.4×107C．1.4×108D．0.14×108考点：科学记数法—表示较大的数分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于14 000 000有8位，所以可以确定n=8﹣1=7．解答：解：14 000 000=1.4×107．故选B．点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．4．（3分）（•长春）不等式2x＜﹣4的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式分析：首先解不等式求得不等式的解集，根据数轴上点的表示法即可判断．解答：解：解不等式得：x＜﹣2．故选D．点评：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．5．（3分）（•长春）如图，含30°角的直角三角尺DEF放置在△ABC上，30°角的顶点D 在边AB上，DE⊥AB．若∠B为锐角，BC∥DF，则∠B的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．75°考点：平行线的性质；直角三角形的性质．分析：首先根据垂直定义可得∠ADE=90°，再根据∠FDE=30°，可得∠ADF=60°，然后根据两直线平行同位角相等可得∠B的大小．解答：解：∵DE⊥AB，∴∠ADE=90°，∵∠FDE=30°，∴∠ADF=90°﹣30°=60°，∵BC∥DF，∴∠B=∠ADF=60°，故选：C．点评：此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行同位角相等．6．（3分）（•长春）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=71°，∠CAB=53°，点D在AC 弧上，则∠ADB的大小为（）A．46°B．53°C．56°D．71°考点：圆周角定理．分析：根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据圆周角定理得出∠C，求出即可．解答：解：∵∠ABC=71°，∠CAB=53°，∴∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=56°，∵弧AB对的圆周角是∠ADB和∠ACB，∴∠ADB=∠ACB=56°，故选C．点评：本题考查了圆周角定理和三角形内角和定理的应用，关键是求出∠ACB的度数和得出∠ACB=∠ADB．7．（3分）（•长春）如图，∠ABD=∠BDC=90°，∠A=∠CBD，AB=3，BD=2，则CD的长为（）A．B．C．2D．3考点：相似三角形的判定与性质．专题：探究型．分析：先根据题意判断出△ABD∽△BDC，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出CD的长．解答：解：∵∠ABD=∠BDC=90°，∠A=∠CBD，AB=3，BD=2，∴△ABD∽△BDC，∴=，即=，解得CD=．故选B．点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．8．（3分）（•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），△OAB沿x 轴向右平移后得到△O′A′B′，点A的对应点在直线y=x上一点，则点B与其对应点B′间的距离为（）A．B．3C．4D．5考点：一次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-平移分析：根据平移的性质知BB′=AA′．由一次函数图象上点的坐标特征可以求得点A′的坐标，所以根据两点间的距离公式可以求得线段AA′的长度，即BB′的长度．解答：解：如图，连接AA′、BB′．∵点A的坐标为（0，3），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，∴点A′的纵坐标是3．又∵点A的对应点在直线y=x上一点，∴3=x，解得x=4．∴点A′的坐标是（4，3），∴AA′=4．∴根据平移的性质知BB′=AA′=4．故选C．点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化﹣﹣平移．根据平移的性质得到BB′=AA′是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共18分）9．（3分）（•长春）计算：a2•5a=5a3．考点：单项式乘单项式专题：计算题．分析：利用单项式乘单项式法则计算即可得到结果．解答：解：原式=5a3．故答案为：5a3．点评：此题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．（3分）（•长春）吉林广播电视塔“五一”假期第一天接待游客m人，第二天接待游客n人，则这2天平均每天接待游客人（用含m、n的代数式表示）．考点：列代数式分析：用两天接待的游客总人数除以天数，即可得解．解答：解：2天平均每天接待游客．故答案为：．点评：本题考查了列代数式，比较简单，熟练掌握平均数的求法是解题的关键．11．（3分）（•长春）如图，MN是⊙O的弦，正方形OABC的顶点B、C在MN上，且点B是CM的中点．若正方形OABC的边长为7，则MN的长为28．考点：垂径定理；正方形的性质．分析：根据正方形性质得出BC=7，∠OCB=90°，根据垂径定理得出CM=2BC，推出MN=4BC，代入求出即可．解答：解：∵四边形OABC是正方形，∴BC=7，∠OCB=90°，∴OC⊥MN，∴由垂径定理得：MN=2CM，∵点B是CM的中点，∴CM=2BC，∴MN=4BC=4×7=28，故答案为：28．点评：本题考查了垂径定理和正方形性质的应用，关键是推出MN=4BC．12．（3分）（•长春）如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连结AD、CD．若∠B=65°，则∠ADC 的大小为65度．考点：全等三角形的判定与性质．分析：根据作法可得AB=CD，BC=AD，然后利用“边边边”证明△ABC和△CDA全等，再根据全等三角形对应角相等解答．解答：解：∵以点A为圆心，以BC长为半径作弧；以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D，∴AB=CD，BC=AD，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA，∴∠ADC=∠B=65°．故答案为：65．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，根据作法得到全等三角形相等的边是解题的关键．13．（3分）（•长春）如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合，点A在x轴上，点B在反比例函数位于第一象限的图象上，则k 的值为．考点：正多边形和圆；反比例函数图象上点的坐标特征．分析：连接OB，过B作BM⊥OA于M，得出等边三角形AOB，求出OB，根据锐角三角函数求出BM和OM，即可得出B的坐标，代入即可求出答案．解答：解：连接OB，过B作BM⊥OA于M，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB==60°，∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=6，∴BM=OB•sin∠BOA=6×sin60°=3，OM=OB•COS60°=3，即B的坐标是（3，3），∵B在反比例函数位于第一象限的图象上，∴k=3×3=9，故答案为：9．点评：本题考查了正多边形性质，锐角三角函数，反比例函数的性质，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出B的坐标．14．（3分）（•长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y=于点B、C，则BC的长值为6．考点：二次函数图象上点的坐标特征．分析：先由y轴上点的横坐标为0求出A点坐标为（0，3），再将y=3代入y=，求出x的值，得出B、C两点的坐标，进而求出BC的长度．解答：解：∵抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，∴A点坐标为（0，3）．当y=3时，=3，解得x=±3，∴B点坐标为（﹣3，3），C点坐标为（3，3），∴BC=3﹣（﹣3）=6．故答案为6．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，两函数交点坐标的求法，平行于x轴上的两点之间的距离，比较简单．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）（•长春）先化简，再求值：，其中x=．考点：分式的化简求值专题：计算题．分析：将的分子因式分解，然后约分；再将（x﹣2）2展开，合并同类项后再代入求值即可．解答：解：原式==4x+x2﹣4x+4=x2+4．当x=时，原式==11．点评：本题考查了分式的化简求值，熟悉因式分解及约分、通分是解题的关键．16．（6分）（•长春）甲、乙两人各有一个不透明的口袋，甲的口袋中装有1个白球和2个红球，乙的口袋中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外其他都相同．甲、乙两人分别从各自口袋中随机摸出1个球，用画树状图（或列表）的方法，求两人摸出的球颜色相同的概率．考点：列表法与树状图法专题：计算题．分析：列表得出所有等可能的情况数，找出两人摸出的求颜色相同的情况数，即可求出所求的概率．解答：解：列表如下：甲乙结果白红红白（白，白）（红，白）（红，白）白（白，白）（红，白）（红，白）红（白，红）（红，红）（红，红）所有等可能的情况有9种，其中颜色相同的情况有4种，则P（两人摸出的球颜色相同）=．点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17．（6分）（•长春）某班在“世界读书日”开展了图书交换活动，第一组同学共带图书24本，第二组同学共带图书27本．已知第一组同学比第二组同学平均每人多带1本图书，第二组人数是第一组人数的1.5倍．求第一组的人数．考点：分式方程的应用．分析：首先设第一组有x人，则第二组人数是1.5x人，根据题意可得等量关系：第一组同学共带图书24本÷第一组的人数﹣第二组同学共带图书27本÷第二组的人数=1，根据等量关系列出方即可．解答：解：设第一组有x人．根据题意，得=，解得x=6．经检验，x=6是原方程的解，且符合题意．答：第一组有6人．点评：此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，不要忘记检验．18．（7分）（•长春）在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别是AC、BC、BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形．求证：AD=BF．考点：平行四边形的性质专题：证明题．分析：根据平行四边形的对边平行且相等可得AD=EF，AD∥EF，再根据两直线平行，同位角相等可得∠ACB=∠FEB，根据等边对等角求出∠ACB=∠B，从而得到∠FEB=∠B，然后根据等角对等边证明即可．解答：证明：∵四边形ADEF为平行四边形，∴AD=EF，AD∥EF，∴∠ACB=∠FEB，∵AB=AC，∴∠ACB=∠B，∴∠FEB=∠B，∴EF=BF，∴AD=BF．点评：本题考查了平行四边形对边平行且相等的性质，平行线的性质，等角对等边的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．19．（7分）（•长春）如图，岸边的点A处距水面的高度AB为2.17米，桥墩顶部点C距水面的高度CD为23.17米．从点A处测得桥墩顶部点C的仰角为26°，求岸边的点A与桥墩顶部点C之间的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin26°=0.44，cos26°=0.90，tan26°=0.49）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题分析：在Rt△CAE中，利用CD、DE的长和已知的角的度数，利用正弦函数可求得AC的长．解答：解：由题意知，DE=AB=2.17，∴CE=CD﹣DE=12.17﹣2.17=10．在Rt△CAE中，∠CAE=26°，sin∠CAE=，∴AC===≈22.7（米）．答：岸边的点A与桥墩顶部点C之间的距离约为22.7米．点评：本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．20．（7分）（•长春）某校学生会为了解学生在学校食堂就餐剩饭情况，随机对上周在食堂就餐的n名学生进行了调查，先调查是否剩饭的情况，然后再对其中剩饭的每名学生的剩饭次数进行调查．根据调查结果绘制成如下统计图．（1）求这n名学生中剩饭学生的人数及n的值．（2）求这n名学生中剩饭2次以上的学生占这n名学生人数的百分比．（3）按上述统计结果，估计上周在学校食堂就餐的1 200名学生中剩饭2次以上的人数．考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图专题：计算题．分析：（1）由条形统计图中的数据相加即可求出n名学生中剩饭的学生人数，除以剩饭学生所占的百分比即可求出学生的总数，即为n的值；（2）根据条形统计图得到剩饭2次以上的人数，除以n的值，即可求出结果；（3）根据（2）中求出的百分比，乘以1200即可得到结果．解答：解：（1）根据题意得：这n名学生中剩饭学生的人数为58+41+6=105（人），n的值为105÷70%=150，则这n名学生中剩饭的学生有105人，n的值为150；（2）根据题意得：6÷150×100%=4%，则剩饭2次以上的学生占这n名学生人数的4%；（3）根据题意得：1200×4%=48（人）．则估计上周在学校食堂就餐的1200名学生中剩饭2次以上的约有48人．点评：此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．21．（8分）（•长春）甲、乙两工程队维修同一段路面，甲队先清理路面，乙队在甲队清理后铺设路面．乙队在中途停工了一段时间，然后按停工前的工作效率继续工作．在整个工作过程中，甲队清理完的路面长y（米）与时间x（时）的函数图象为线段OA，乙队铺设完的路面长y（米）与时间x（时）的函数图象为折线BC﹣CD﹣DE，如图所示，从甲队开始工作时计时．（1）分别求线段BC、DE所在直线对应的函数关系式．（2）当甲队清理完路面时，求乙队铺设完的路面长．考点：一次函数的应用分析：（1）先求出乙队铺设路面的工作效率，计算出乙队完成需要的时间求出E的坐标，再由待定系数法就可以求出结论．（2）由（1）的结论求出甲队完成的时间，把时间代入乙的解析式就可以求出结论．解答：（1）设线段BC所在直线对应的函数关系式为y=k1x+b1．∵图象经过（3，0）、（5，50），∴∴线段BC所在直线对应的函数关系式为y=25x﹣75．设线段DE所在直线对应的函数关系式为y=k2x+b2．∵乙队按停工前的工作效率为：50÷（5﹣3）=25，∴乙队剩下的需要的时间为：（160﹣50）÷25=，∴E（，160），∴，解得：∴线段DE所在直线对应的函数关系式为y=25x﹣112.5．（2）由题意，得甲队每小时清理路面的长为 100÷5=20，甲队清理完路面的时间，x=160÷20=8．把x=8代入y=25x﹣112.5，得y=25×8﹣112.5=87.5．答：当甲队清理完路面时，乙队铺设完的路面长为87.5米．点评：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，工作总量=工作效率×工作时间的运用，解答时求出函数的解析式是关键．22．（9分）（•长春）探究：如图①，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，AE⊥CD于点E．若AE=10，求四边形ABCD的面积．应用：如图②，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，AE⊥BC于点E．若AE=19，BC=10，CD=6，则四边形ABCD的面积为152．考点：全等三角形的判定与性质；正方形的判定与性质．分析：探究：过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，先判定四边形AFCE为矩形，根据矩形的四个角都是直角可得∠FAE=90°，然后利用同角的余角相等求出∠FAB=∠EAD，再利用“角角边”证明△AFB和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，从而得到四边形AFCE是正方形，然后根据正方形的面积公式列计算即可得解；应用：过点A作AF⊥CD交CD的延长线于F，连接AC，根据同角的补角相等可得∠ABC=∠ADF，然后利用“角角边”证明△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=AE，再根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD列式计算即可得解．解答：探究：如图①，过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，∵AE⊥CD，∠BCD=90°，∴四边形AFCE为矩形，∴∠FAE=90°，∴∠FAB+∠BAE=90°，∵∠EAD+∠BAE=90°，∴∠FAB=∠EAD，∵在△AFB和△AED中，，∴△AFB≌△AED（AAS），∴AF=AE，∴四边形AFCE为正方形，∴S四边形ABCD=S正方形AFCE=AE2=102=100；应用：如图，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于F，连接AC，则∠ADF+∠ADC=180°，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADF，∵在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AF=AE=19，∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=BC•AE+CD•AF=×10×19+×6×19=95+57=152．故答案为：152．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，（1）作辅助线构造出全等三角形是解题的关键；（2）作辅助线构造出全等三角形并把四边形分成两个三角形是解题的关键．23．（10分）（•长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣2 与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）．点M、N在x轴上，点N在点M右侧，MN=2．以MN为直角边向上作等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°．设点M的横坐标为m．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式．（2）求点C在这条抛物线上时m的值．（3）将线段CN绕点N逆时针旋转90°后，得到对应线段DN．①当点D在这条抛物线的对称轴上时，求点D的坐标．②以DN为直角边作等腰直角三角形DNE，当点E在这条抛物线的对称轴上时，直接写出所有符合条件的m值．（参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（，））考点：二次函数综合题分析：（1）将A（﹣1，0）、B（4，0）两点的坐标代入y=ax2+bx﹣2，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）先根据等腰直角三角形的性质求出点C的坐标为（m，2），再将C的坐标代入y=x2﹣x﹣2，即可求出m的值；（3）①先由旋转的性质得出点D的坐标为（m，﹣2），再根据二次函数的性质求出抛物线y=x2﹣x﹣2的对称轴为直线x=，然后根据点D在直线x=上，即可求出点D的坐标；②以DN为直角边作等腰直角三角形DNE时，分别以D、N为直角顶点，在DN的两侧分别作出等腰直角三角形DNE，E点的位置分四种情况讨论．针对每一种情况，都可以先根据等腰直角三角形的性质求出点E的坐标，然后根据点E在直线x=上，列出关于m的方程，解方程即可求出m的值．解答：解：（1）∵抛物线经过点A（﹣1，0）、B（4，0），∴解得∴抛物线所对应的函数关系式为y=x2﹣x﹣2；（2）∵△CMN是等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°，∴CM=MN=2，∴点C的坐标为（m，2），∵点C（m，2）在抛物线上，∴m2﹣m﹣2=2，解得m1=，m2=．∴点C在这条抛物线上时，m的值为或；（3）①∵将线段CN绕点N逆时针旋转90°后，得到对应线段DN，∴∠CND=90°，DN=CN=CM=MN，∴CD=CN=2CM=2MN，∴DM=CM=MN，∠DMN=90°，∴点D的坐标为（m，﹣2）．又∵抛物线y=x2﹣x﹣2的对称轴为直线x=，点D在这条抛物线的对称轴上，∴点D的坐标为（，﹣2）；②如图，以DN为直角边作等腰直角三角形DNE，E点的位置有四种情况：如果E点在E1的位置时，∵点D的坐标为（m，﹣2），MN=ME1=2，点N的坐标为（m+2，0），∴点E1的（m﹣2，0），∵点E1在抛物线y=x2﹣x﹣2的对称轴x=上，∴m﹣2=，解得m=；如果E点在E2的位置时，∵点D的坐标为（m，﹣2），点N的坐标为（m+2，0），∴点E2的（m+2，﹣4），∵点E2在抛物线y=x2﹣x﹣2的对称轴x=上，∴m+2=，解得m=﹣；如果E点在E3的位置时，∵点D的坐标为（m，﹣2），∴点E3的（m，2），∵点E3在抛物线y=x2﹣x﹣2的对称轴x=上，∴m=；如果E点在E4的位置时，∵点D的坐标为（m，﹣2），点N的坐标为（m+2，0），∴点E4的（m+4，﹣2），∵点E4在抛物线y=x2﹣x﹣2的对称轴x=上，∴m+4=，解得m=﹣；综上可知，当点E在这条抛物线的对称轴上时，所有符合条件的m的值为m=﹣或m=﹣或m=或m=．点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质等知识，综合性较强，难度适中．其中（3）②要注意分析题意分情况讨论E点可能的位置，这是解题的关键．24．（12分）（•长春）如图①，在▱ABCD中，AB=13，BC=50，BC边上的高为12．点P从点B出发，沿B﹣A﹣D﹣A运动，沿B﹣A运动时的速度为每秒13个单位长度，沿A ﹣D﹣A运动时的速度为每秒8个单位长度．点Q从点 B出发沿BC方向运动，速度为每秒5个单位长度．P、Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．连结PQ．（1）当点P沿A﹣D﹣A运动时，求AP的长（用含t的代数式表示）．（2）连结AQ，在点P沿B﹣A﹣D运动过程中，当点P与点B、点A不重合时，记△APQ的面积为S．求S与t之间的函数关系式．（3）过点Q作QR∥AB，交AD于点R，连结BR，如图②．在点P沿B﹣A﹣D运动过程中，当线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分时t的值．（4）设点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，直接写出C′D′∥BC时t的值．考点：四边形综合题．分析：（1）分情况讨论，当点P沿A﹣D运动时，当点P沿D﹣A运动时分别可以表示出AP的值；（2）分类讨论，当0＜t＜1时，当1＜t＜时，根据三角形的面积公式分别求出S 与t的函数关系式；（3）分情况讨论，当0＜t＜1时，当1＜t＜时，当＜t＜时，利用三角形的面积相等建立方程求出其解即可；（4）分情况讨论当P在A﹣D之间或D﹣A之间时，如图⑥，根据轴对称的性质可以知道四边形QCOC′为菱形，根据其性质建立方程求出其解，当P在D﹣A之间如图⑦，根据菱形的性质建立方程求出其解即可．解答：解：（1）当点P沿A﹣D运动时，AP=8（t﹣1）=8t﹣8．当点P沿D﹣A运动时，AP=50×2﹣8（t﹣1）=108﹣8t．（2分）（2）当点P与点A重合时，BP=AB，t=1．当点P与点D重合时，AP=AD，8t﹣8=50，t=．当0＜t＜1时，如图①．作过点Q作QE⊥AB于点E．S△ABQ==，∴QE===．∴S=﹣30t2+30t．当1＜t≤时，如图②．S==，∴S=48t﹣48；（3）当点P与点R重合时，AP=BQ，8t﹣8=5t，t=．当0＜t≤1时，如图③．∵S△BPM=S△BQM，∴PM=QM．∵AB∥QR，∴∠PBM=∠QRM，∠BPM=∠MQR，在△BPM和△RQM中，∴△BPM≌△RQM．∴BP=RQ，∵RQ=AB，∴BP=AB∴13t=13，解得：t=1当1＜t≤时，如图④．∵BR平分阴影部分面积，∴P与点R重合．∴t=．当＜t≤时，如图⑤．∵S△ABR=S△QBR，∴S△ABR＜S四边形BQPR．∴BR不能把四边形ABQP分成面积相等的两部分．综上所述，当t=1或时，线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分．（4）如图⑥，当P在A﹣D之间或D﹣A之间时，C′D′在BC上方且C′D′∥BC 时，∴∠C′OQ=∠OQC．∵△C′OQ≌△COQ，∴∠C′OQ=∠COQ，∴∠CQO=∠COQ，∴QC=OC，∴50﹣5t=50﹣8（t﹣1）+13，或50﹣5t=8（t﹣1）﹣50+13，解得：t=7或t=．当P在A﹣D之间或D﹣A之间，C′D′在BC下方且C′D′∥BC时，如图⑦．同理由菱形的性质可以得出：OD=PD，∴50﹣5t+13=8（t﹣1）﹣50，解得：t=．∴当t=7，t=，t=时，点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，且C′D′∥BC．点评：本题考查了平行四边形的性质的运用，菱形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，分类讨论的数学思想的运用，轴对称的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时灵活运用动点问题的解答方法确定分界点是解答本题的关键和难点．。
2023年吉林省长春市中考数学真题(解析)
2023年长春市初中学业水平考试数学一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1.【答案】B 【解析】解：由图可知，3a >，01b <<，01c <<，23d <<，比较四个数的绝对值排除a 和d ，根据绝对值的意义观察图形可知，c 离原点的距离大于b 离原点的距离，<b c ∴，∴这四个数中绝对值最小的是b .故选：B .2.【答案】D【解析】解：738000000 3.810=⨯，故选：D ．3.【答案】B【解析】A 选项，3a 与2a 不能合并，故该选项不正确，不符合题意；B 选项，23a a a ⋅=，故该选项正确，符合题意；C 选项，()326a a =，故该选项不正确，不符合题意；D 选项，624a a a ÷=，故该选项不正确，不符合题意；故选：B ．4.【答案】C【解析】解：依题意，多面体的底面是面③，则多面体的上面是面⑤，故选：C ．5.【答案】A【解析】解：O 为AA '、BB '的中点，OA OA ∴'=，OB OB '=，AOB A OB ''∠=∠ （对顶角相等），∴在AOB 与A OB ''△中，OA OA AOB A OB OB OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=''⎩'，()SAS AOB A OB ''∴△≌△，AB A B ''∴=，故选：A ．6.【答案】D【解析】解： AC 表示的是地面，BC 表示是图书馆，AC BC ∴⊥，ABC ∴ 为直角三角形，32cos 25cos 25AC AB ∴==︒︒（米）.故选：D .7.【答案】B【解析】解：根据作图可得,AD AE DF EF ==，故A ，C 正确；∴,A F 在DE 的垂直平分线上，∴AF D E ⊥，故D 选项正确，而DF EF =不一定成立，故B 选项错误，故选：B ．8.【答案】C【解析】解：如图所示，过点A B ，分别作y x ，轴的垂线，垂足分别为E D ，，AE BD ，交于点C，依题意，B 的横坐标为1，A 的纵坐标为1，设(),1A k ，()1,B k ∴()1,1C ，则1,1AC k BC k =-=-，又∵90ACB ∠=︒，AB =，∴()()(22211k k -+-=∴13k -=（负值已舍去）解得：4k =，故选：C ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共8分）9.【答案】()()11a a +-．【解析】解：()()2111a a a -=+-．故答案为：()()11a a +-10.【答案】1m <【解析】解： 关于x 的方程220x x m -+=有两个不相等的实数根，2(2)41440m m ∴∆=--⨯⨯=->解得：1m <，故答案为：1m <．11.【答案】()7.510x -【解析】根据题意可得，他离健康跑终点的路程为()7.510x -．故答案为：()7.510x -．12.【答案】1:3【解析】解：12OA AA '= ::，:1:3OA OA '∴=，设ABC 周长为1l ，设A B C ''' 周长为2l ，ABC 和A B C ''' 是以点O 为位似中心的位似图形，1213l OA l OA ∴=='．12:1:3l l ∴=．ABC ∴ 和A B C ''' 的周长之比为1:3．故答案为：1:3．13.【答案】45【解析】解：∵正五边形的每一个内角为()5218101508-⨯︒=︒，将正五边形纸片ABCDE 折叠，使点B 与点E 重合，折痕为AM ，则111085422BAM BAE ∠=∠=⨯︒=︒，∵将纸片折叠，使边AB 落在线段AM 上，点B 的对应点为点B '，折痕为AF ，∴11542722FAB BAM '∠=∠=⨯︒=︒，108AB F B '∠=∠=︒，在AFB 'V 中，1801801082745AFB B FAB ''∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故答案为：45．14.【答案】19【解析】解：由题意可知：()40,4A -、()40,4B 、()0,20H ，设抛物线解析式为：220y ax =+，将()40,4A -代入解析式220y ax =+，解得：1100a =-，220100x y ∴=-+，消防车同时后退10米，即抛物线220100x y =-+向左（右）平移10米，平移后的抛物线解析式为：()21020100x y +=-+，令0x =，解得：19y =，故答案为：19．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15.【答案】31a +1+【解析】解：2(1)(1)a a a ++-2221a a a a =+++-31a =+当33a =时，原式33113=⨯+=16.【答案】49【解析】解：画树状图如下：共有9种可能，获一等奖即两次颜色不相同的可能有4种，则某同学获一等奖的概率为：49，答：某同学获一等奖的概率为49．17.【答案】原计划平均每天制作200个摆件．【解析】解：设原计划平均每天制作x 个，根据题意得，3000300051.5x x=+解得：200x =经检验，200x =是原方程的解，且符合题意，答：原计划平均每天制作200个摆件．18.【答案】（1）见解析；（2）18【解析】（1）证明：由题意可知ACB DFE △≌△，AC DF =∴，30CAB FDE ∠=∠=︒，AC DF \∥，∴四边形AFDC 地平行四边形；（2）如图，在Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，6cm BC =，212cm AB BC ∴==，60ABC ∠=︒，四边形AFDC 是菱形，AD ∴平分CDF ∠，30CDA FDA ∴∠=∠=︒，ABC CDA BCD ∠=∠+∠ ，603030BCD ABC CDA ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，BCD CDA ∴∠=∠，6cm BC BD ∴==，18cm AD AB BD ∴=+=，故答案为：18．19.【答案】（1）见解析（2）110人（3）9【解析】（1）抽取了735%20÷=人，属于偏胖的人数为：202738---=，补全统计图如图所示，（2）8320011020+⨯=（人）（3）设小张体重需要减掉kg x ，依题意，227241.70x -<解得：8.67x >,答：他的体重至少需要减掉9kg ，故答案为：9．20.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】（1）解：如图所示，以3AB =为底，设AB 边上的高为h ，依题意得：19·22ABC S AB h == 解得：3h =即点C 在AB 上方且到AB 距离为3个单位的线段上的格点即可，答案不唯一；（2）由网格可知，AB ==以AB =为底，设AB 边上的高为h ，依题意得：1·52ABC S AB h ==解得：h =将AB 绕A 或B 旋转90︒，过线段的另一个端点作AB 的平行线，与网格格点的交点即为点C ，答案不唯一，（3）如图所示，作5BD AB ==，过点D 作CD AB ∥，交于格点C ，由网格可知，22215BD AB ==+=，10AD =，∴ABD △是直角三角形，且AB BD⊥∵CD AB∥∴15·22ABC S AB BD == ．21.【答案】（1）12180y x =-（2）180【解析】（1）解：设乙距山脚的垂直高度y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+，将()15,0，()40,300代入得，15040300k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：12180k b =⎧⎨=-⎩，∴12180y x =-()1540x ≤≤；（2）设甲距山脚的垂直高度y 与x 之间的函数关系式为11y k x b =+()2560x ≤≤将点()()25,16060,300，代入得，11112516060300k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：11460k b =⎧⎨=⎩，∴460y x =+()2560x ≤≤；联立12180460y x y x =-⎧⎨=+⎩解得：30180x y =⎧⎨=⎩∴乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为180米22.【答案】感知：45；探究：见解析；应用：223．【解析】感知：由圆周角定理可得1245APB AOB ∠=∠=︒，故答案为：45；探究：证明：延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，四边形ABCP 是O 的内接四边形，180BAP BCP ∴∠+∠=︒．180BAP BAE ∠+∠=︒ ，BCP BAE ∴∠=∠．ABC 是等边三角形．BA BC ∴=，(SAS)PBC EBA ∴ ≌，∴PB EB =，PBC EBA ∠=∠，60EBA ABP PBC ABP ABC ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，PBE ∴ 是等边三角形，PB PE ∴=，PB PE PA AE PA PC ∴==+=+，即PB PA PC =+；应用：延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ， 四边形ABCP 是O 的内接四边形，180BAP BCP ∴∠+∠=︒．180BAP BAE ∠+∠=︒ ，BCP BAE ∴∠=∠．AB CB = ，(SAS)PBC EBA ∴ ≌，∴PB EB =，PBC EBA ∠=∠，90EBA ABP PBC ABP ABC ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，PBE ∴ 是等腰直角三角形，222PB BE PE ∴+=，222PB PE ∴=，即PE =，PE PA AE PA PC =+=+ ，PA PC ∴+=，PB =，4PA PC PA ∴+==，3PC PA ∴=，33PB PC PA ∴==，故答案为：3．23.【答案】（1）13（2）32（3）见解析（4）93502t -<≤或176t =或7t =【解析】（1）解：如图所示，连接BQ ，∵四边形ABCD 是矩形∴90BAQ ABE ∠=∠=︒∵90PEQ ∠=︒，∴四边形ABEQ 是矩形，当点P 和点B 重合时，∴3QE AB ==，2BE =在Rt QBE △中，22223213BQ BE QE =+=+=13（2）如图所示，∵90PEQ ∠=︒，90PBE ECD ∠=∠=︒，∴1290,2390∠+∠=︒∠+∠=︒，∴13∠=∠∴PBE ECD∽∵2BE =，3CD AB ==，∴2tan 3PE BE PQE DE CD ∠===；（3）如图所示，过点P 作PH BC ⊥于点H ，∵90PEQ ∠=︒，90PHE ECQ ∠=∠=︒，∴1290,2390∠+∠=︒∠+∠=︒，则四边形ABHP 是矩形，∴PH AB =3=又∵523EC BC BE =-=-=∴PH EC =，∴PHE ECQ≌∴PE QE=∴POE △是等腰直角三角形；（4）①如图所示，当点P 在BE 上时，∵3,2QE QF AQ BE ====，在Rt AQF △中，2222325AF QF AQ =-=-=，则35BF =-，∵PE t =，则2BP t =-，PF PE t ==，在Rt PBF 中，222PF PB FB =+，∴(()222352t t =-+-解得：9352t -=当9352t -<时，点F 在矩形内部，符合题意，∴93502t -<≤符合题意，②当P 点在AB 上时，当,F A 重合时符合题意，此时如图，则2PB t BE t =-=-，PE =()325AP AB PB t t =-=--=-，在Rt PBE △中，222PE PB BE =+()()222522t t -=-+，解得：176t =，③当点P 在AD 上，当,F D 重合时，此时Q 与点C 重合，则PFQE 是正方形，此时2327t =++=综上所述，93502t -<≤或176t =或7t =．24.【答案】（1）222y x x =-++；顶点坐标为()1,3（2）()3,0A （3）1m =-或2m =-或512m +=或2112m -=（4）22m =-+23m =-或12m =-【解析】（1）解：将点(2,2)代入抛物线22y x bx =-++，得，2422b =-++解得：2b =∴抛物线解析式为222y x x =-++；∵222y x x =-++()213x =--+，∴顶点坐标为()1,3，（2）解：由222y x x =-++，当0y =时，2220x x -++=，解得：1213,13x x ==+，∵抛物线上的点B 在x 轴上时，横坐标为1m -．其中0m <．∴1m 1->∴113m -=+解得：3m =-，∵点A 的坐标为(,0)m ，∴()A ；（3）①如图所示，当111m <-<+，即0m <<时，抛物线在点P 和点B 之间的部分（包括P 、B 两点）的最高点为顶点，最低点为点P ，∵顶点坐标为()1,3，()1P 则纵坐标之差为303-=依题意，32m=-解得：1m =-；②当11m -≥+m ≤时，∵()()()21,1212B m m m ---+-+，即()21,3B m m --+，依题意，()2332m m --+=-，解得：2m =-或1m =（舍去），③当111m <-<，即0m <<则232m m -+=-，解得：512m =或152m -=（舍去），④当113m -≤3m ≥，则()2032m m --+=-，解得：2112m -=（舍去）或2112m =，综上所述，1m =-或2m =-或512m =或2112m =；（4）解：如图所示，∵B 在x 轴的上方，∴13113m -<-<+∴33m <<∵以点C 、E 、O 、D 为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半，线段BO 的中点为D ∴BCD CODS S = ∵AOBC AOC BOC S S S =+ ,BOC BCD CODS S S =+ ①当E 是AC 的中点，如图所示则2AOBC CEOD S S =，∴23,22m m E ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭代入222y x x =-++，即22322222m m m -+⎛⎫=-+⨯+ ⎪⎝⎭，解得：2m =-（舍去）或2m =-②同理当F 为AO 的中点时，如图所示，ACF CFO S S = ，BCD COD S S = ，则点C 、F 、O 、D 为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半，∴12m =解得：2m =-，③如图所示，设BOC S S = ，则12DBC S S = ，∵以点C 、E 、O 、D 为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半，线段BO 的中点为D ∴12CDF FDB AOC S S S S +=+ 即1122CDF CDF AOC S S S S S +=-+ ∴12AOC CDF S S = ，∴CF AO =，∴()2,3F m m --+，∵,B F 关于1x =对称，∴112m m -+-=，解得：12m =-，综上所述，2m =-+或2m =-或12m =-．。
吉林省中考数学试卷【含答案及解析】
吉林省中考数学试卷一、单项选择题（每小题2 分，共12 分）1．（2 分）如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（）A．3 B．2 C．1 D．﹣12．（2 分）如图，由6 个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（）A． B．C．D．3．（2 分）若a 为实数，则下列各式的运算结果比a 小的是（）A．a+1 B．a﹣1 C．a×1 D．a÷14．（2 分）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（）A．30°B．90°C．120°D．180°5．（2 分）如图，在⊙O 中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P 为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB 的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°6．（2 分）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，A、B 两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（）A．两点之间，线段最短B．平行于同一条直线的两条直线平行C．垂线段最短D．两点确定一条直线二、填空题（每小题3 分，共24 分）7．（3 分）分解因式：a2﹣1＝．8．（3 分）不等式3x﹣2＞1 的解集是．9．（3 分）计算：•＝．10．（3 分）若关于x 的一元二次方程（x+3）2＝c 有实数根，则c 的值可以为（写出一个即可）．11．（3 分）如图，E 为△ABC 边CA 延长线上一点，过点E 作ED∥BC．若∠BAC＝70°，∠CED＝50°，则∠B＝°．12．（3 分）如图，在四边形ABCD 中，AB＝10，BD⊥AD．若将△BCD 沿BD 折叠，点C 与边AB 的中点E 恰好重合，则四边形BCDE 的周长为．13．（3 分）在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m，同时同地测得一栋楼的影长为90m，则这栋楼的高度为m．14．（3 分）如图，在扇形OAB 中，∠AOB＝90°．D，E 分别是半径OA，OB 上的点，以OD，OE 为邻边的▱ODCE 的顶点C 在上．若OD＝8，OE＝6，则阴影部分图形的面积是（结果保留π）．三、解答题（每小题5 分，共20 分）15．（5 分）先化简，再求值：（a﹣1）2+a（a+2），其中a＝．16．（5 分）甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子除颜色外无其他差别；乙口袋中装有红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别．从甲口袋中随机取出一把扇子，从乙口袋中随机取出一条手绢，用画树状图或列表的方法，求取出的扇子和手绢都是红色的概率．17．（5 分）已知y 是x 的反比例函数，并且当x＝2 时，y＝6．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）当x＝4 时，求y 的值．18．（5 分）如图，在▱ABCD 中，点E 在边AD 上，以C 为圆心，AE 长为半径画弧，交边BC 于点F，连接BE、DF．求证：△ABE≌△CDF．四、解答题（每小题7 分，共28 分）19．（7 分）图①，图②均为4×4 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB，在图②中已画出线段CD，其中A、B、C、D 均为格点，按下列要求画图：（1）在图①中，以AB 为对角线画一个菱形AEBF，且E，F 为格点；（2）在图②中，以CD 为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH，且G，H 为格点，∠CGD＝∠CHD＝90°．20．（7 分）问题解决糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5 个山楂，还剩余4 个山楂；如果每根竹签串8 个山楂，还剩余7 根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？反思归纳现有a 根竹签，b 个山楂．若每根竹签串c 个山楂，还剩余d 个山楂，则下列等式成立的是（填写序号）．（1）bc+d＝a；（2）ac+d＝b；（3）ac﹣d＝b．21．（7 分）墙壁及淋浴花洒截面如图所示．已知花洒底座A 与地面的距离AB 为170cm，花洒AC 的长为30cm，与墙壁的夹角∠CAD 为43°．求花洒顶端C 到地面的距离CE（结果精确到1cm）．（参考数据：sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93）22．（7 分）某地区有城区居民和农村居民共80 万人．某机构准备采用抽取样本的方法调查该地区居民“获取信息的最主要途径”．（1）该机构设计了以下三种调查方案：方案一：随机抽取部分城区居民进行调查；方案二：随机抽取部分农村居民进行调查；方案三：随机抽取部分城区居民和部分农村居民进行调查．其中最具有代表性的一个方案是；（2）该机构采用了最具有代表性的调查方案进行调查．供选择的选项有：电脑、手机、电视、广播、其他，共五个选项．每位被调查居民只选择一个选项．现根据调查结果绘制如下统计图，请根据统计图回答下列问题：①这次接受调查的居民人数为人；②统计图中人数最多的选项为；③请你估计该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数．五、解答题（每小题8 分，共16 分）23．（8 分）甲、乙两车分别从A，B 两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B 地，乙车立即以原速原路返回到B 地．甲、乙两车距B 地的路程y （km）与各自行驶的时间x（h）之间的关系如图所示．（1）m＝，n＝；（2）求乙车距B 地的路程y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当甲车到达B 地时，求乙车距B 地的路程．24．（8 分）性质探究如图①，在等腰三角形ABC 中，∠ACB＝120 °，则底边AB 与腰AC 的长度之比为．理解运用（1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为8+4，则它的面积为；（2）如图②，在四边形EFGH 中，EF＝EG＝EH．①求证：∠EFG+∠EHG＝∠FGH；②在边FG，GH 上分别取中点M，N，连接MN．若∠FGH＝120°，EF＝10，直接写出线段MN 的长．类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为（用含α的式子表示）．六、解答题（每小题10 分，共20 分）25．（10 分）如图，在矩形ABCD 中，AD＝4cm，AB＝3cm，E 为边BC 上一点，BE＝AB，连接AE．动点P、Q 从点A 同时出发，点P 以cm/s 的速度沿AE 向终点E 运动；点Q 以2cm/s 的速度沿折线AD﹣DC 向终点C 运动．设点Q 运动的时间为x（s），在运动过程中，点P，点Q 经过的路线与线段PQ 围成的图形面积为y（cm2）．（1）AE＝cm，∠EAD＝°；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当PQ＝cm 时，直接写出x 的值．26．（10 分）如图，抛物线y＝（x﹣1）2+k 与x 轴相交于A，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C（0，﹣3）．P 为抛物线上一点，横坐标为m，且m＞0．（1）求此抛物线的解析式；（2）当点P 位于x 轴下方时，求△ABP 面积的最大值；（3）设此抛物线在点C 与点P 之间部分（含点C 和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为h．①求h 关于m 的函数解析式，并写出自变量m 的取值范围；②当h＝9 时，直接写出△BCP 的面积．2019 年吉林省中考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（每小题2 分，共12 分）1．（2 分）如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（）A．3 B．2 C．1 D．﹣1【分析】直接利用数轴得出结果即可．【解答】解：数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为﹣1，故选：D．【点评】本题考查了数轴、根据数轴﹣1 是解题关键．2．（2 分）如图，由6 个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（）A． B．C．D．【分析】找到从上面看所得到的图形即可．【解答】解：从上面看可得四个并排的正方形，如图所示：故选：D．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．3．（2 分）若a 为实数，则下列各式的运算结果比a 小的是（）A．a+1 B．a﹣1 C．a×1 D．a÷1【分析】根据一个数加上一个正数的和大于本身，加上一个负数小于本身，减去一正数小于本身，减去一个负数大于本身，乘以1 等于本身，除以1 也等于本身，逐一进行比较便可．【解答】解：A．a+1＞a，选项错误；B．a﹣1＜a，选项正确；C．a×1＝a，选项错误；D．a÷1＝a，选项错误；故选：B．【点评】本题主要考查了实数的大小比较，具体考查了一个数加1，减1，乘1，除以1，值的大小变化规律．基础题．4．（2 分）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（）A．30° B．90° C．120° D．180°【分析】根据图形的对称性，用360°除以3 计算即可得解．【解答】解：∵360°÷3＝120°，∴旋转的角度是120°的整数倍，∴旋转的角度至少是120°．故选：C．【点评】本题考查了旋转对称图形，仔细观察图形求出旋转角是120°的整数倍是解题的关键．5．（2 分）如图，在⊙O 中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P 为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB 的度数为（）A．30° B．45° C．55°D．60°【分析】根据圆心角与圆周角关系定理求出∠AOB 的度数，进而由角的和差求得结果．【解答】解：∵∠ACB＝50°，∴∠AOB＝2∠ACB＝100°，∵∠AOP＝55°，∴∠POB＝45°，故选：B．【点评】本题是圆的一个计算题，主要考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2 信倍．6．（2 分）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，A、B 两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（）A．两点之间，线段最短B．平行于同一条直线的两条直线平行C．垂线段最短D．两点确定一条直线【分析】利用两点之间线段最短进而分析得出答案．【解答】解：这样做增加了游人在桥上行走的路程，其中蕴含的数学道理是：利用两点之间线段最短，可得出曲折迂回的曲桥增加了游人在桥上行走的路程．故选：A．【点评】此题主要考查了两点之间线段最短，正确将实际问题转化为数学知识是解题关键．二、填空题（每小题3 分，共24 分）7．（3 分）分解因式：a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）．【分析】符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．【解答】解：a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）．故答案为：（a+1）（a﹣1）．【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键．8．（3 分）不等式3x﹣2＞1 的解集是 x＞1 ．【分析】利用不等式的基本性质，将两边不等式同时加上2 再除以3，不等号的方向不变．【解答】解：∵3x﹣2＞1，∴3x＞3，∴x＞1，∴原不等式的解集为：x＞1．故答案为x＞1．【点评】本题考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．9．（3 分）计算：•＝．【分析】根据分式乘除法的法则计算即可．【解答】解：•＝，故答案为：．【点评】本题考查了分式的乘除法，熟记法则是解题的关键．10．（3 分）若关于x 的一元二次方程（x+3）2＝c 有实数根，则c 的值可以为 5（答案不唯一，只有c≥0 即可）（写出一个即可）．【分析】由于方程有实数根，则其根的判别式△≥0，由此可以得到关于c 的不等式，解不等式就可以求出c 的取值范围．【解答】解：一元二次方程化为x2+6x+9﹣c＝0，∵△＝36﹣4（9﹣c）＝4c≥0，解上式得c≥0．故答为5（答案不唯一，只有c≥0 即可）．【点评】本题主要考查根与系数的关系，根的判别式，关键在于求出c 的取值范围．11．（3 分）如图，E 为△ABC 边CA 延长线上一点，过点E 作ED∥BC．若∠BAC＝70°，∠CED＝50°，则∠B＝60 °．【分析】利用平行线的性质，即可得到∠CED＝∠C＝50°，再根据三角形内角和定理，即可得到∠B 的度数．【解答】解：∵ED∥BC，∴∠CED＝∠C＝50°，又∵∠BAC＝70°，∴△ABC 中，∠B＝180°﹣50°﹣70°＝60°，故答案为：60．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意运用两直线平行，内错角相等．12．（3 分）如图，在四边形ABCD 中，AB＝10，BD⊥AD．若将△BCD 沿BD 折叠，点C 与边AB 的中点E 恰好重合，则四边形BCDE 的周长为 20 ．【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到DE＝BE＝AB＝5，再根据折叠的性质，即可得到四边形BCDE 的周长为5×4＝20．【解答】解：∵BD⊥AD，点E 是AB 的中点，∴DE＝BE＝AB＝5，由折叠可得，CB＝BE，CD＝ED，∴四边形BCDE 的周长为5×4＝20，故答案为：20．【点评】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．13．（3 分）在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m，同时同地测得一栋楼的影长为90m，则这栋楼的高度为 54 m．【分析】根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论．【解答】解：设这栋楼的高度为hm，∵在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为60m，∴＝，解得h＝54（m）．故答案为：54．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．14．（3 分）如图，在扇形OAB 中，∠AOB＝90°．D，E 分别是半径OA，OB 上的点，以OD，OE 为邻边的▱ODCE 的顶点C 在上．若OD＝8，OE＝6，则阴影部分图形的面积是 25π﹣48 （结果保留π）．【分析】连接OC，根据同样只统计得到▱ODCE 是矩形，由矩形的性质得到∠ODC＝90°．根据勾股定理得到OC＝10，根据扇形的面积公式和矩形的面积公式即可得到结论．【解答】解：连接OC，∵∠AOB＝90°，四边形ODCE 是平行四边形，∴▱ODCE 是矩形，∴∠ODC＝90°．∵OD＝8，OE＝6，∴OC＝10，∴阴影部分图形的面积＝﹣8×6＝25π﹣48．故答案为：25π﹣48．【点评】本题考查了扇形的面积的计算，矩形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．三、解答题（每小题5 分，共20 分）15．（5 分）先化简，再求值：（a﹣1）2+a（a+2），其中a＝．【分析】原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a 的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝a2﹣2a+1+a2+2a＝2a2+1，当时，原式＝5．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．（5 分）甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子除颜色外无其他差别；乙口袋中装有红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别．从甲口袋中随机取出一把扇子，从乙口袋中随机取出一条手绢，用画树状图或列表的方法，求取出的扇子和手绢都是红色的概率．【分析】画出树状图，共有4 种可能结果，其中取出的扇子和手绢都是红色的有1 种可能，由概率公式即可得出结果．【解答】解：画树状图如下：共有4 种可能结果，其中取出的扇子和手绢都是红色的有1 种结果，则取出的扇子和手绢都是红色的概率为．【点评】此题主要考查了列表法与树状图法以及概率公式，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．17．（5 分）已知y 是x 的反比例函数，并且当x＝2 时，y＝6．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）当x＝4 时，求y 的值．【分析】（1）直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）直接利用x＝4 代入求出答案．【解答】解：（1）y 是x 的反例函数，所以，设，当x＝2 时，y＝6．所以，k＝xy＝12，所以，；（2）当x＝4 时，y＝3．【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，正确假设出解析式是解题关键．18．（5 分）如图，在▱ABCD 中，点E 在边AD 上，以C 为圆心，AE 长为半径画弧，交边BC 于点F，连接BE、DF．求证：△ABE≌△CDF．【分析】直接利用已知作图方法结合全等三角形的判定方法分析得出答案．【解答】证明：由题意可得：AE＝FC，在平行四边形ABCD 中，AB＝DC，∠A＝∠C在△ABE 和△CDF 中，，所以，△ABE≌△CDF（SAS）．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定，正确掌握基本作图方法是解题关键．四、解答题（每小题7 分，共28 分）19．（7 分）图①，图②均为4×4 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB，在图②中已画出线段CD，其中A、B、C、D 均为格点，按下列要求画图：（1）在图①中，以AB 为对角线画一个菱形AEBF，且E，F 为格点；（2）在图②中，以CD 为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH，且G，H 为格点，∠CGD＝∠CHD＝90°．【分析】（1）根据菱形的定义画出图形即可（答案不唯一）．（2）利用数形结合的思想解决问题即可．【解答】解：（1）如图，菱形AEBF 即为所求．（2）如图，四边形CGDH 即为所求．【点评】本题考查作图﹣应用与设计，菱形的判定和性质，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．（7 分）问题解决糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5 个山楂，还剩余4 个山楂；如果每根竹签串8 个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？反思归纳现有a 根竹签，b 个山楂．若每根竹签串c 个山楂，还剩余d 个山楂，则下列等式成立的是（2）（填写序号）．（1）bc+d＝a；（2）ac+d＝b；（3）ac﹣d＝b．【分析】问题解决设竹签有x 根，山楂有y 个，由题意得出方程组：，解方程组即可；反思归纳由每根竹签串c 个山楂，还剩余d 个山楂，得出ac+d＝b 即可．【解答】问题解决解：设竹签有x 根，山楂有y 个，由题意得：，解得：，答：竹签有20 根，山楂有104 个；反思归纳解：∵每根竹签串c 个山楂，还剩余d 个山楂，则ac+d＝b，故答案为：（2）．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；根据题意列出方程组是解题的关键．21．（7 分）墙壁及淋浴花洒截面如图所示．已知花洒底座A 与地面的距离AB 为170cm，花洒AC 的长为30cm，与墙壁的夹角∠CAD 为43°．求花洒顶端C 到地面的距离CE（结果精确到1cm）．（参考数据：sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93）【分析】过C 作CF⊥AB 于F，于是得到∠AFC＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过C 作CF⊥AB 于F，则∠AFC＝90°，在Rt△ACF 中，AC＝30，∠CAF＝43°，∵cos∠CAF＝，∴AF＝AC•cos∠CAF＝30×0.73＝21.9，∴CE＝BF＝AB+AF＝170+21.9＝191.9≈192（cm），答：花洒顶端C 到地面的距离CE 为192cm．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是正确理解题意以及灵活运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．22．（7 分）某地区有城区居民和农村居民共80 万人．某机构准备采用抽取样本的方法调查该地区居民“获取信息的最主要途径”．（1）该机构设计了以下三种调查方案：方案一：随机抽取部分城区居民进行调查；方案二：随机抽取部分农村居民进行调查；方案三：随机抽取部分城区居民和部分农村居民进行调查．其中最具有代表性的一个方案是方案三；（2）该机构采用了最具有代表性的调查方案进行调查．供选择的选项有：电脑、手机、电视、广播、其他，共五个选项．每位被调查居民只选择一个选项．现根据调查结果绘制如下统计图，请根据统计图回答下列问题：①这次接受调查的居民人数为 1000 人；②统计图中人数最多的选项为手机；③请你估计该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数．【分析】（1）根据三个方案选出最具有代表性的一个方案即可；（2）①把电脑、手机、电视、广播、其他，这五个选项的总人数相加即可；②从统计图中找出人数最多的选项即可；③用80×该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的人数所占的百分比即可得到结论．【解答】解：（1）最具有代表性的一个方案是方案三，故答案为：方案三；（2）①这次接受调查的居民人数为260+400+150+100+90＝1000 人；②统计图中人数最多的选项为手机；③80×＝52.8 万人，答：该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数52.8 万人．故答案为：1000，手机．【点评】本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；也考查了用样本估计总体．五、解答题（每小题8 分，共16 分）23．（8 分）甲、乙两车分别从A，B 两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B 地，乙车立即以原速原路返回到B 地．甲、乙两车距B 地的路程y（km）与各自行驶的时间x（h）之间的关系如图所示．（1）m＝ 4 ，n＝ 120 ；（2）求乙车距B 地的路程y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当甲车到达B 地时，求乙车距B 地的路程．【分析】（1）观察图象即可解决问题；（2）运用待定系数法解得即可；（3）把x＝3 代入（2）的结论即可．【解答】解：（1）根据题意可得m＝2×2＝4，n＝280﹣280÷3.5＝120；故答案为：4；120；（2）设y 关于x 的函数解析式为y＝kx（0≤x≤2），因为图象经过（2，120），所以2k＝120，解得k＝60，所以y 关于x 的函数解析式为y＝60x，设y 关于x 的函数解析式为y＝k1x+b（2≤x≤4），因为图象经过（2，120），（4，0）两点，所以，解得，所以y 关于x 的函数解析式为y＝﹣60+240（2≤x≤4）；（3）当x＝3.5 时，y＝﹣60×3.5+240＝30．所以当甲车到达B 地时，乙车距B 地的路程为30km．【点评】此题考查的知识点是一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数的解析式．24．（8 分）性质探究如图①，在等腰三角形ABC 中，∠ACB＝120°，则底边AB 与腰AC 的长度之比为．理解运用（1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为8+4，则它的面积为 4 ；（2）如图②，在四边形EFGH 中，EF＝EG＝EH．①求证：∠EFG+∠EHG＝∠FGH；②在边FG，GH 上分别取中点M，N，连接MN．若∠FGH＝120°，EF＝10，直接写出线段MN 的长．类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为 2sinα（用含α的式子表示）．【分析】性质探究作CD⊥AB 于D，则∠ADC＝∠BDC＝90°，由等腰三角形的性质得出AD＝BD，∠A＝∠ B＝30°，由直角三角形的性质得出AC＝2CD，AD＝CD，得出AB＝2AD＝2CD，即可得出结果；理解运用（1）同上得出则AC＝2CD，AD＝CD，由等腰三角形的周长得出4CD+2CD＝8+4，解得：CD＝2，得出AB＝4，由三角形面积公式即可得出结果；（2）①由等腰三角形的性质得出∠EFG＝∠EGF，∠EGH＝∠EHG，得出∠EFG+∠EHG ＝∠EGF+∠EGH＝∠FGH 即可；②连接FH，作EP⊥FH 于P，由等腰三角形的性质得出PF＝PH，由①得：∠EFG+∠EHG＝∠FGH＝120°，由四边形内角和定理求出∠FEH＝120°，由等腰三角形的性质得出∠EFH＝30°，由直角三角形的性质得出PE＝EF＝5，PF＝PE＝5 ，得出FH＝2PF ＝10 ，证明MN 是△FGH 的中位线，由三角形中位线定理即可得出结果；类比拓展作AD⊥BC 于D，由等腰三角形的性质得出BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝α，由三角函数得出BD＝AB×sinα，得出BC＝2BD＝2AB×sinα，即可得出结果．【解答】性质探究解：作CD⊥AB 于D，如图①所示：则∠ADC＝∠BDC＝90°，∵AC＝BC，∠ACB＝120°，∴AD＝BD，∠A＝∠B＝30°，∴AC＝2CD，AD＝CD，∴AB＝2AD＝2CD，∴＝＝；故答案为：；理解运用（1）解：如图①所示：同上得：AC＝2CD，AD＝CD，∵AC+BC+AB＝8+4，∴4CD+2CD＝8+4，解得：CD＝2，∴AB＝4，∴△ABC 的面积＝AB×CD＝×4 ×2＝4 ；故答案为：4（2）①证明：∵EF＝EG＝EH，∴∠EFG＝∠EGF，∠EGH＝∠EHG，∴∠EFG+∠EHG＝∠EGF+∠EGH＝∠FGH；②解：连接FH，作EP⊥FH 于P，如图②所示：则PF＝PH，由①得：∠EFG+∠EHG＝∠FGH＝120°，∴∠FEH＝360°﹣120°﹣120°＝120°，∵EF＝EH，∴∠EFH＝30°，∴PE＝EF＝5，∴PF＝PE＝5，∴FH＝2PF＝10，∵点M、N 分别是FG、GH 的中点，∴MN 是△FGH 的中位线，∴MN＝FH＝5 ；类比拓展解：如图③所示：作AD⊥BC 于D，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝α，∵sinα＝，∴BD＝AB×sinα，∴BC＝2BD＝2AB×sinα，∴＝＝2sinα；故答案为：2sinα．【点评】本题是四边形综合题目，考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形中位线定理、四边形内角和定理、就直角三角形等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．六、解答题（每小题10 分，共20 分）25．（10 分）如图，在矩形ABCD 中，AD＝4cm，AB＝3cm，E 为边BC 上一点，BE＝AB，连接AE．动点P、Q 从点A 同时出发，点P 以cm/s 的速度沿AE 向终点E 运动；点Q 以2cm/s 的速度沿折线AD﹣DC 向终点C 运动．设点Q 运动的时间为x（s），在运动过程中，点P，点Q 经过的路线与线段PQ 围成的图形面积为y（cm2）．（1）AE＝ 3 cm，∠EAD＝45 °；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当PQ＝cm 时，直接写出x 的值．【分析】（1）由勾股定理可求AE 的长，由等腰三角形的性质可求∠EAD 的度数；（2）分三种情况讨论，由面积和差关系可求解；（3）分三种情况讨论，由勾股定理可求解．【解答】解：（1）∵AB＝3cm，BE＝AB＝3cm，∴AE＝＝3cm，∠BAE＝∠BEA＝45°∵∠BAD＝90°∴∠DAE＝45°故答案为：3，45（2）当0＜x≤2 时，如图，过点P 作PF⊥AD，∵AP＝x，∠DAE＝45°，PF⊥AD∴PF＝x＝AF，∴y＝S△PQA＝×AQ×PF＝x2，（2）当2＜x≤3 时，如图，过点P 作PF⊥AD，∵PF＝AF＝x，QD＝2x﹣4∴DF＝4﹣x，∴y＝x2+（2x﹣4+x）（4﹣x）＝﹣x2+8x﹣8当3＜x≤时，如图，点P 与点E 重合．∵CQ＝（3+4）﹣2x＝7﹣2x，CE＝4﹣3＝1cm∴y＝（1+4）×3﹣（7﹣2x）×1＝x+4 （3）当0＜x≤2 时∵QF＝AF＝x，PF⊥AD∴PQ＝AP∵PQ＝cm∴x＝∴x＝当2＜x≤3 时，过点P 作PM⊥CD∴四边形MPFD 是矩形∴PM＝DF＝4﹣2x，MD＝PF＝x，∴MQ＝x﹣（2x﹣4）＝4﹣x∵MP2+MQ2＝PQ2，∴（4﹣2x）2+（4﹣x）2＝∵△＜0∴方程无解当3＜x≤时，∵PQ2＝CP2+CQ2，∴＝1+（7﹣2x）2，∴x＝综上所述：x＝或【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．26．（10 分）如图，抛物线y＝（x﹣1）2+k 与x 轴相交于A，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C（0，﹣3）．P 为抛物线上一点，横坐标为m，且m＞0．（1）求此抛物线的解析式；（2）当点P 位于x 轴下方时，求△ABP 面积的最大值；（3）设此抛物线在点C 与点P 之间部分（含点C 和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为h．①求h 关于m 的函数解析式，并写出自变量m 的取值范围；②当h＝9 时，直接写出△BCP 的面积．【分析】（1）将点C（0，﹣3）代入y＝（x﹣1）2+k 即可；（2）易求A（﹣1，0），B（3，0），抛物线顶点为（1，﹣4），当P 位于抛物线顶点时，△ABP 的面积有最大值；）①当0＜m≤1 时，h＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m；当1＜m≤2 时，h＝﹣1（3）﹣（﹣4）＝1；当m＞2 时，h＝m2﹣2m﹣3﹣（﹣4）＝m2﹣2m+1；②当h＝9 时若﹣m2+2m＝9，此时△＜0，m 无解；若m2﹣2m+1＝9，则m＝4，则P （4，5），△BCP 的面积＝8×4﹣5×1﹣（4+1）×3＝6；【解答】解：（1）将点C（0，﹣3）代入y＝（x﹣1）2+k，得k＝﹣4，∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；（2）令y＝0，x＝﹣1 或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4；抛物线顶点为（1，﹣4），当P 位于抛物线顶点时，△ABP 的面积有最大值，S＝＝8；（3）①当0＜m≤1 时，h＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m；当1＜m≤2 时，h＝﹣1﹣（﹣4）＝1；当m＞2 时，h＝m2﹣2m﹣3﹣（﹣4）＝m2﹣2m+1；②当h＝9 时若﹣m2+2m＝9，此时△＜0，m 无解；若m2﹣2m+1＝9，则m＝4，∴P（4，5），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴△BCP 的面积＝8×4﹣5×1﹣（4+1）×3＝6；【点评】本题考查二次函数的图象及性质，是二次函数综合题；熟练掌握二次函数的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．。
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吉林省中考数学试题全卷满分120分，考试时间为120分钟.一、单项选择题（每小题2分共12分）1．（2014年吉林省 1，2分）在1，-2，40小的数是 （A ）-2. （B ）1. （C. （D ）4.【答案】C 2．（2014年吉林省2，2分）用4个完全相同的小正方体组成如图所示的立体图形，它的俯视图是（A ）（B ）（C） （D ） 【答案】B 3．（2014年吉林省 3，2分）如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=65°，则∠2的度数为（A ）10°. （B ）15°. （C ）20°. （D ）25°. 【答案】D 4．（2014年吉林省 4，2分）如图，四边形ABCD 、AEFG 是正方形，点E 、G 分别在AB ，AD 上，连接FC ，过点E 作EH //FC ，交BC 于点H .若AB =4，AE =1，则BH 的长为 （A ）1. （B ）2. （C ）3. （D ）. 【答案】C（第3题） （第4题） （第5题）5．（2014年吉林省 5，2分）如图，△ABC 中，∠C =45°，点D 在AB 上，点E 在BC 上，若AD =DB =DE ，AE =1，则AC 的长为 （A （B ）2. （C （D .【答案】D 6．（2014年吉林省 6，2分）小军家距学校5千米，原来他骑自行车上学，学校为保障学生安全，新购进校车接送学生，若校车速度是他骑自行车速度的2倍，现在小军乘班车上学可以从家晚出发，结果与原来到校的时间相同.设小军骑车的速度为x 千米/时，则所列方程正确的为正面（A ）51562x x +=. （B ）51562x x -=. （C ）55102x x +=. （D ）55102x x-=.【答案】B二、填空题（每小题3分，共24分） 7．（2014年吉林省 7，3分）经统计，截止到2013年末，某省初中在校学生只有645 000人，将数据645 000用科学记数法表示为 . 【答案】6.45×5108．（2014年吉林省 8，3分）不等式组24,30x x -<⎧⎨->⎩的解集是 .【答案】x ＞39．（2014年吉林省 9，3分）若a b <，且a ，b 为连续正整数，则22b a -= .【答案】710.（2014年吉林省 10，3分）某校举办“成语听写大赛”15名学生进入决赛，他们所得分数互不相同，比赛共设8个获奖名额，某学生知道自己的分数后，要判断自己能否获奖，他应该关注的统计量是 （填“平均数”或“中位数”）. 【答案】平均数11．（2014年吉林省 11，3分）如图，矩形ABCD 的面积为__________（用含x 的代数式表示）. 【答案】（x+3）（x+2）（第11题） （第12题） （第13题）12．（2014年吉林省 12，3分）如图，直线24y x =+与x 、y 轴分别交于点A 、B 两点，以OB 为边在y 轴右侧作等边三角形OBC ，将点C 向左平移，使其对应点'C 恰好落在直线AB 上，则点C ’的坐标为 .【答案】 （-113．（2014年吉林省 13，3分）如图，OB 是⊙O 的半径，弦AB =OB ，直径CD ⊥AB ，若点P 是线段OD 上的动点，连接PA ，则∠PAB 的度数可以是 （写出一个即可）.【答案】60°14．（2014年吉林省 14，3分）如图，将半径为3的圆形纸片，按下列顺序折叠，若AB 和 BC 都经过圆心O ，则阴影部分的面积是 （结果保留π）. 【答案】3（第14题）三、解答题（每小题5分，共20分）15．（2014年吉林省 15，5分）先化简，再求值：2(3)(1)x x x +-+，其中1x . 【答案】解：原式=323)2)(2(--÷--+a a a a a … ………………………………（1分）= 3)2)(2(--+a a a ·23--a a= 2+a ……………………………………………………（3分） 当3-=a 时，原式=－3＋2=－1 ………………………………………………（5分） 16．（2014年吉林省 16，5分）为促进教育均衡发展，A 市实行“阳光分班”，某校七年级一班共有新生45人，其中男生比女生多3人，求该班男生、女生各有多少人.【答案】解：设2B 铅笔和涂卡尺的单价分别为x 元、y 元，根据题意，得 ⎩⎨⎧=+=+4.5235.55y x y x …………………………………………（3分）解得⎩⎨⎧==5.18.0y x ……………………………………… （5分）答：2B 铅笔和涂卡尺的单价分别为0.8元和1.5元. 17．（2014年吉林省 17，5分）如图所示，从一副普通扑克牌中选取红桃10、方块10、梅花5、黑桃8四张扑克牌，洗匀后正面朝下放在桌子上，甲先从中任意抽取一张后，乙再从剩余三张扑克牌中任意抽取一张，用画树形图或列表的方法，求甲、乙两人抽取的扑克牌的点数都是10的概率. 【答案】解： 12 12 14 1512 14 15 12 14 15 12 12 15 12 12 14 ……（3分）∴ P (长度相同)=61122= 评分说明：用其他方法解答均给分，没约分不扣分.18．（2014年吉林省 18，5分）如图，△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，连接BD，CE，求证：△ABD≌△AEC.（第18题）【答案】（1）证明：∵C是线段AB的中点，∴AC=BCAE⊥AB，BF⊥AB，∴∠EAC=∠FBC=90°又∠ACE=∠BCF∴△ACE≌BCF∴CE=CF …………………………………………（2分）（2）解：∠F=45°，∠FBC=90°∠BCF=90°－45°= 45°∴BC=BF …………………………………………（3分）∴AB=2BF= 4∵△ACE≌BCF∴AE=BF= 2 …………………………………………（4分）在Rt△ABE中52422222=+=+=ABAEBE………………（5分）四、解答题（每小题7分，共28分）19．（2014年吉林省 19，7分）图①是电子屏幕的局部示意图，4×4网格的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形顶点叫做格点，点A，B，C，D在格点上，光点P从AD的中点出发，按图②的程序移动.（1）请在图①中用圆规画出光点P经过的路径；（2）在图①中，所画图形是图形（填“轴对称”或“中心对称”），所画图形的周长是（结果保留π）.（图①）（图②）（第19题）(第18题)EA CFB【答案】19.解：（1）解： AB ∥y 轴，∴S △ABC =21A B ·OA=21×3×OA=23∴ OA=1 …………………………（2分） ∴B （1，3） ………………………（3分）（2）解：AB=BD=3 ……………………… （4分） ∠ABD=90°∴DB ∥x 轴∴DF=3－1=2∴D （－2，3） ………………………（6分）设反比例解析式为xk y =， 23-=k，得6-=k . ∴xy 6-= …………………（7分）20．（2014年吉林省 20，7分）某校组织了主题为“让勤俭节约成为时尚”的电子小报作品征集活动，先从中随机抽取部分作品，按A ，B ，C ，D 四个等级进行评分，并根据统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图.（第20题）（1）求抽取了多少份作品；（2）此次抽取的作品中等级为B 的作品有 份，并补全条形统计图； （3）若该校共征集到800份作品，请估计等级为A 的作品约有多少份.【答案】.解：(1) 200 ……………………… （1分） (2) ……………………… （4分）（3）54 …………………………………………（5分） （4）1200×（25%＋60%）=1020名. ………………（7分） 【答案】解：（1）在Rt △ACE 中，cos22°=ACCE……………… （1分） ∴AC =22cos CE=93.05.22≈24.2 m …………………（3(2) 在Rt △ACE 中， tan22°=CEAE…………………（4 ∴AE =CE tan22°=22.5×0.4=9 m …………………（6分）∴AB=AE ＋BE=9＋3=12m …………（7分）21．（2014年吉林省 21，7分）某校九年级四个数学活动小组参加测量操场旗杆高度的综合时间活动，如图是四个小组在不同位置测量后绘制的示意图，用测角仪测得旗杆顶端A 的仰角级记为α，CD 为测角仪的高，测角仪CD 的底部C 处与旗杆的底部B 处之间的距离记为CB ，四个小组测量和计算数据如下表所示： 【答案】解：（1）在Rt △ACE 中，cos22°=ACCE……………… （1分） ∴AC =22cos CE(第20题) (第21题) （ ）% （ ）% 30120 60 15=93.05.22 ≈24.2 m …………………（3(2) 在Rt △ACE 中， tan22°=CEAE…………………（4 ∴AE =CE tan22° =22.5×0.4=9 m …………………（6分）∴AB=AE ＋BE=9＋3=12m (7)（1）利用第四组学生测量的数据，求旗杆AB 的高度（精确到0.1m ）； （2）四组学生测量旗杆高度的平均值为 m （精确到0.1m ）. 【答案】解：(1) 200 ……………………… （1分） (2) ……………………… （4分）（3）54 …………………………………………（5分） （4）1200×（25%＋60%）=1020名. ………………（7分） 评分说明：第（3）小题写54°，不扣分. 22．（2014年吉林省 22，7分）甲，乙两辆汽车分别从A ，B 两地同时出发，沿同一条公路相向而行，乙车出发2h 后休息，与甲车相遇后，继续行驶.设甲，乙两车与B 地的路程分别为y 甲（km ），y 乙（km ），甲车行驶的时间为x （h ）, y 甲，y 乙与x 之间的函数图象如图所示，结合图象解答下列问题：（注：横轴的3应该为5）（1）乙车休息了 h ；（2）求乙车与甲车相遇后y 乙与x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当两车相距40km 时，直接写出x 的值.(第21题) （ ）% （ ）% 30120 60 15 (第20题)（第22题）【答案】解：（1）ABCD 是平行四边形， ∴CF ∥ED∴∠FCD=∠GCD. …………………（1分） 又∠CGF=∠EGD. G 是CD 的中点，CG=DG∴△EFG ≌△EDG …………………（4分） （2）3.5 …………………………（5分） 2 …………………………（7分）五、解答题（每小题8分，共16分） 23．（2014年吉林省 23，8分）如图，四边形OABC 是平行四边形，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB于D ，延长AO 交⊙O 于E ，连接CD ，CE ，若CE 是⊙O 的切线，解答下列问题： （1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若BC =3，CD =4，求平行四边形OABC 的面积.（第23题）【答案】（1）证明：E 是边AD 的中点，∴DE=AE=FE …………………（1分） 又ABCD 是矩形∴∠D=∠A=∠BFE=90°∴∠D=∠EFG=90°. 又EG=EG∴Rt △EFG ≌Rt △EDG ………………（4分） （2）解：△EFG ≌△EDG ∴DG=FG=3设CG=x ,DC=3－x ,DC=AB=BF= DC=3－x BG=3－x ＋3=6－x 在Rt △ABE 中A D CB G E F (第22题) (第23题)BG 2 = BC 2 ＋CG 2222)62()6(x x +=- …………………………（7分） 解得 1=x ………………………………（8分） 即CG=124．（2014年吉林省 24，8分）如图①，直角三角形AOB 中，∠AOB =90°，AB 平行于x 轴，OA =2OB ，AB =5，反比例函数(0)ky x x=>的图象经过点A . （1）直接写出反比例函数的解析式；（2）如图②，P （x ,y ）在（1）中的反比例函数图象上，其中1<x <8，连接OP ，过O 作OQ ⊥OP ，且OP =2OQ ，连接PQ .设Q 坐标为（m ,n ），其中m <0,n >0,求n 与m 的函数解析式，并直接写出自变量m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若Q 坐标为（m ,1），求△POQ 的面积.（图①） （图②）（第24题）【答案】解：（1）2400， 4 ………………………………（2分） （2）设b kx y +=, 直线过点（0，2400），（5，2000）得得 ⎩⎨⎧=+=200052400b k b ………………………………（3分）解得⎩⎨⎧=-=240080b k∴240080+-=x y ………………………………（4分） （3）步行的速度是80520002400=-m /分 ……………… （5分）自行车速度是80×3=240 m /分小明骑自行车时的解析式为)12(2402400--=x y ，=5280240+-x …………（6分）∴⎩⎨⎧+-=+-=5280240240080x y x y解得⎩⎨⎧==96018y x ………………………………（7分）答：爸爸从家里出发后，经18分钟时，小明追上了爸爸.（4）8 分钟 ……………………………………………（8分）六、解答题（每小题10分，共20分） 25．（2014年吉林省 25，10分）如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且AC =6cm,BD =8cm ，动点P ，Q 分别从点B ，D 同时出发，运动速度均为1cm/s ，点P 沿B →C →D 运动，到点D 停止，点Q 沿D →O →B 运动，到点O 停止1s 后继续运动，到B 停止，连接AP ，AQ ，PQ .设△APQ 的面积为y（cm 2）（这里规定：线段是面积0的几何图形），点P 的运动时间为x （s ）. （1）填空：AB = cm,AB 与CD 之间的距离为 cm ； （2）当4≤x ≤10时，求y 与x 之间的函数解析式；（3）直接写出在整个运动过程中，使PQ 与菱形ABCD 一边平行的所有x 的值.（备用图）（第25题）【答案】 解：(1) 2， ……………………………………………（1分） (2) ∵ QR ∥BC∴△AQR ∽△ABC …………………………………………（2分）∴AD AE BC QR = 2262t t -=解得，t = 56 …………………………………………（4分） （其他方法也有, 比如BC=B P ＋PS ＋SC, SR=2RS, t ＋2t ＋2t=6） (3) ① 当0＜t ≤56时（图1）， ∠B= 45°，∠BPQ= 90°， ∴∠BQP= 90°－45°= 45°∴PQ=BP= tA DC B P Q R SE 图1∴S=S 矩形PQRS =2t · t =2t 2. ………………………………（6分）② 当56＜t ＜2时（图2） ∠BAD=90°－45°= 45° BD=AD=2cm CD=6－2=4cm. SF ∥AD∴△FSC ∽△ADC∴DC SCAD SF = 4362tSF -= t SF 233-=∴325).233(-=--=t t t FR ER ∥SC∴∠REF=∠C又∠REF=∠ADC=90° ∴△ERF ∽△CDA∴ADRFDC ER = 23254-=t ER 65-=t ER∴S= S 矩形PQRS －S △ERF =2t 2－.21(5t －6)(25t －3)=417-t 2＋15t －9. ……………………………（8分） ③ 当2≤t ＜6时（图3）∵ PQ ∥AD∴△ERF ∽△CDA∴CD PCAD QP = 462t QP -= t QP 213-= ∴S= S △QPC =)6)(.213(21t t --=41t 2－3t ＋9. …………………………………（10分）图2(S) 图326．（2014年吉林省 26，10分）如图①，直线l :(0,0)y mx n m n =+<>与x ,y 轴分别相交于A ，B 两点，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°，得到△COD ，过点A ，B ，D 的抛物线P 叫做l 的关联抛物线，而l 叫做P 的关联直线.（1）若l :22y x =-+,则P 表示的函数解析式为 ，若P :234y x x =--+，则l 表示的函数解析式为 .（2）求P 的对称轴（用含m ,n 的代数式表示）；（3）如图②，若l :24y x =-+，P 的对称轴与CD 相交于点E ，点F 在l 上，点Q 在P 的对称轴上.当以点C ，E ，Q ，F 为顶点的四边形是以CE 为一边的平行四边形时，求点Q 的坐标；（4）如图③，若l :4y mx m =-，G 为AB 中点，H 为CD 中点，连接GH ，M 为GH 中点，连接OM .若OM，直接写出l ，P 表示的函数解析式.（图①） （图②） （图③）（第26题）【答案】解：（1）①21，－2， 2 ……………………………（3分） ② －10，10 ……………………………… （5分） （2）y E = －y F (或y E ＋y F =0)证明：点A （m ，0），B （n ，0）, AC ⊥x 轴, BD ⊥x 轴, 点C 、D 在抛物线2x y -=上，当m x =时，2m y -=， 当n x =时，2n y -=， ∴C （m ，－2m ），D （n ，－2n ） AC ∥BD∴ △OAC ∽△OBEOBOABE AC =nmBE m =2, ABOF y∴mn BE =.∴ y E =－mn ………………（6分） ∵OF ∥DE∴△OFC ∽△EDC∴AB OACE OC ED OF == m n mmn n OF -=-2∴ y F =mn∴ y E = －y F …………………………………………（7分）（3）amn ，－amn …………………………………………（9分） （4）21………………………………………………（10分）吉林省2014年初中毕业生学业模拟考试数学试题参考答案及平分标准一、单项选择题（每小题2分，共12分）1.C2.B3.D4.C5.D6.B 二、填空题（每小题3分，共18分）7. －4 8. x =39. x ＞－2 10. 29 11. 20 12. 213. 2π 14.3 三、解答题（每小题5分，共20分） 15.解：原式=323)2)(2(--÷--+a a a a a … ………………………………（1分）= 3)2)(2(--+a a a ·23--a a= 2+a ……………………………………………………（3分） 当3-=a 时，原式=－3＋2=－1 ………………………………………………（5分）16.解：设2B 铅笔和涂卡尺的单价分别为x 元、y 元，根据题意，得 ⎩⎨⎧=+=+4.5235.55y x y x …………………………………………（3分）解得⎩⎨⎧==5.18.0y x ……………………………………… （5分）答：2B 铅笔和涂卡尺的单价分别为0.8元和1.5元. 17.解： 12 12 14 1512 14 15 12 14 15 12 12 15 12 12 14 ……（3分）∴ P (长度相同)=61122= 评分说明：用其他方法解答均给分，没约分不扣分. 18.（1）证明：∵C 是线段AB 的中点，∴AC=BC AE ⊥AB ，BF ⊥AB ，∴∠EAC=∠FBC=90°又∠ACE=∠BCF ∴△ACE ≌BCF∴CE=CF …………………………………………（2分）（2）解：∠F=45°，∠FBC=90° ∠BCF=90°－45°= 45°∴BC=BF …………………………………………（3分） ∴AB=2BF= 4 ∵△ACE ≌BCF∴AE=BF= 2 …………………………………………（4分） 在Rt △ABE 中 52422222=+=+=AB AE BE ………………（5分）四、解答题（每小题7分，共28分） 19.解：（1）解： AB ∥y 轴，∴S △ABC =21A B ·OA =21×3×OA=23∴ OA=1 …………………………（2 ∴B （1，3） ………………………（3分）（2）解：AB=BD=3 ……………………… （4分） ∠ABD=90°∴DB ∥x 轴(第18题) E A CFB (第19题)∴DF=3－1=2∴D （－2，3） ………………………（6分）设反比例解析式为xk y =， 23-=k，得6-=k . ∴xy 6-= …………………（7分）20.解：（1）在Rt △ACE 中，cos22°=ACCE……………… （1∴AC =22cos CE=93.05.22≈24.2 m …………………（3分） (2) 在Rt △ACE 中， tan22°=CEAE…………………（4分） ∴AE =CE tan22° =22.5×0.4=9 m …………………（6分）∴AB=AE ＋BE=9＋3=12m …………（7分）21.解：(1) 200 ……………………… （1分） (2) ……………………… （4分）（3）54 …………………………………………（5分） （4）1200×（25%＋60%）=1020名. ………………（7分） 评分说明：第（3）小题写54°，不扣分.22.解：（1）ABCD 是平行四边形， ∴CF ∥ED(第20题)(第21题) （ ）% （ ）% 30120 60 15∴∠FCD=∠GCD. …………………（1分） 又∠CGF=∠EGD. G 是CD 的中点，CG=DG∴△EFG ≌△EDG …………………（4分） （2）3.5 …………………………（5分） 2 …………………………（7分）五、解答题（每小题8分，共16分） 23.（1）证明：E 是边AD 的中点，∴DE=AE=FE …………………（1分）又ABCD 是矩形 ∴∠D=∠A=∠BFE=90° ∴∠D=∠EFG=90°.又EG=EG∴Rt △EFG ≌Rt △EDG ………………（4（2）解：△EFG ≌△EDG ∴DG=FG=3设CG=x ,DC=3－x ,DC=AB=BF= DC=3－x BG=3－x ＋3=6－x 在Rt △ABE 中 BG 2 = BC 2 ＋CG 2 222)62()6(x x +=- …………………………（7分） 解得 1=x ………………………………（8分） 即CG=124．解：（1）2400， 4 ………………………………（2分） （2）设b kx y +=, 直线过点（0，2400），（5，2000）得得 ⎩⎨⎧=+=200052400b k b ………………………………（3分）解得⎩⎨⎧=-=240080b k∴240080+-=x y ………………………………（4分） （3）步行的速度是80520002400=-m /分 ……………… （5分）自行车速度是80×3=240 m /分小明骑自行车时的解析式为)12(2402400--=x y ，A D CB G E F (第22题) (第23题) （ ）%=5280240+-x …………（6分） ∴⎩⎨⎧+-=+-=5280240240080x y x y解得⎩⎨⎧==96018y x ………………………………（7分）答：爸爸从家里出发后，经18分钟时，小明追上了爸爸.（4）8 分钟 ……………………………………………（8分）评分说明：用其他方法解答均给分.六、解答题（每小题10分，共20分）25. 解：(1) 2， ……………………………………………（1分） (2) ∵ QR ∥BC∴△AQR ∽△ABC …………………………………………（2分）∴AD AE BC QR = 2262t t -=解得，t = 56 …………………………………………（4分） （其他方法也有, 比如BC=B P ＋PS ＋SC, SR=2RS, t ＋2t ＋2t=6） (3) ① 当0＜t ≤56时（图1）， ∠B= 45°，∠BPQ= 90°，∴∠BQP= 90°－45°= 45° ∴PQ=BP= t∴S=S 矩形PQRS =2t · t =2t 2. ………………………………（6分） ② 当56＜t ＜2时（图2） ∠BAD=90°－45°= 45° BD=AD=2cm CD=6－2=4cm. SF ∥AD∴△FSC ∽△ADC∴DC SCAD SF = 4362tSF -= t SF 233-=图2A DC B Q RE 图1∴325).233(-=--=t t t FR ER ∥SC∴∠REF=∠C又∠REF=∠ADC=90° ∴△ERF ∽△CDA∴ADRFDC ER = 23254-=t ER 65-=t ER∴S= S 矩形PQRS －S △ERF =2t 2－.21(5t －6)(25t －3)=417-t 2＋15t －9. ……………………………（8分） ③ 当2≤t ＜6时（图3）∵ PQ ∥AD∴△ERF ∽△CDA∴CD PCAD QP = 462t QP -= t QP 213-= ∴S= S △QPC =)6)(.213(21t t --=41t 2－3t ＋9. …………………………………（10分）评分说明：用其他方法解答均给分.26．解：（1）① 21，－2， 2 ……………………………（3分）② －10，10 ……………………………… （5分） （2）y E = －y F (或y E ＋y F =0)证明：点A （m ，0），B （n ，0）, AC ⊥x 轴, BD ⊥x 轴, 点C 、D 在抛物线2x y -=上，当m x =时，2m y -=， 当n x =时，2n y -=， ∴C （m ，－2m ），D （n ，－2n ） AC ∥BD(S) 图3∴ △OAC ∽△OBEOBOABE AC =nmBE m =2, ∴mn BE =.∴ y E =－mn ………………（6分） ∵OF ∥DE∴△OFC ∽△EDC∴AB OACE OC ED OF == m n mmn n OF -=-2∴ y F =mn∴ y E = －y F …………………………………………（7分）（3）amn ，－amn …………………………………………（9分） （4）21………………………………………………（10分） 评分说明：用其他方法解答均给分.A B CDOF E y 图1。