2019年吉林省中考数学试卷(解析版)

2019 年吉林省中考数学试卷一、单项选择题（每小题 2 分，共 12 分）1．（2 分）如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．﹣12．（2 分）如图，由 6 个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（）A ．C ．B ．D ．3．（2 分）若 a 为实数，则下列各式的运算结果比 a 小的是（ ）A ．a +1B ．a ﹣1C ．a ×1D ．a ÷14．（2 分）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角 度至少为（）A ．30°B ．90°C ．120°D ．180°5．（2 分）如图，在⊙O 中，所对的圆周角∠ACB ＝50°，若 P 为上一点，∠AOP ＝55°，则∠POB 的度数为（）A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°6．（2 分）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，A 、B 两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度， 其中蕴含的数学道理是（）A ．两点之间，线段最短B ．平行于同一条直线的两条直线平行C ．垂线段最短D ．两点确定一条直线二、填空题（每小题 3 分，共 24 分）7．（3 分）分解因式：a ﹣1＝．8．（3 分）不等式 3x ﹣2＞1 的解集是．9．（3 分）计算：• ＝ ．10．（3 分）若关于 x 的一元二次方程（x +3） ＝c 有实数根，则 c 的值可以为 （写出一个即可）．11．（3 分）如图，E 为△ABC 边 CA 延长线上一点，过点 E 作 ED ∥BC ．若∠BAC ＝70°， ∠CED ＝50°，则∠B ＝°．12．（3 分）如图，在四边形 ABCD 中，AB ＝10，BD ⊥AD ．若将△BCD 沿 BD 折叠，点 C 与边 AB 的中点 E 恰好重合，则四边形 BCDE 的周长为．2 213．（3分）在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时同地测得一栋楼的影长为90m，则这栋楼的高度为m．14．（3分）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°．D，E分别是半径OA，OB上的点，以OD，OE为邻边的▱ODCE 的顶点C在积是（结果保留π）．上．若OD＝8，OE＝6，则阴影部分图形的面三、解答题（每小题5分，共20分）15．（5分）先化简，再求值：（a﹣1）+a（a+2），其中a＝．16．（5分）甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子除颜色外无其他差别；乙口袋中装有红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别．从甲口袋中随机取出一把扇子，从乙口袋中随机取出一条手绢，用画树状图或列表的方法，求取出的扇子和手绢都是红色的概率．17．（5分）已知y是x的反比例函数，并且当x＝2时，y＝6．（1）求y关于x的函数解析式；（2）当x＝4时，求y的值．18．（5分）如图，在▱ABCD 中，点E在边AD上，以C为圆心，AE长为半径画弧，交边BC于点F，连接BE、DF．求证：△ABE≌△CDF．2四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）图①，图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB，在图②中已画出线段CD，其中A、B、C、D均为格点，按下列要求画图：（1）在图①中，以AB为对角线画一个菱形AEBF，且E，F为格点；（2）在图②中，以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH，且G，H为格点，∠CGD＝∠CHD＝90°．20．（7分）问题解决糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4 个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？反思归纳现有a根竹签，b个山楂．若每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，则下列等式成立的是（填写序号）．（1）bc+d＝a；（2）ac+d＝b；（3）ac﹣d＝b．21．（7分）墙壁及淋浴花洒截面如图所示．已知花洒底座A与地面的距离AB为170cm，花洒AC的长为30cm，与墙壁的夹角∠CAD为43°．求花洒顶端C到地面的距离CE（结果精确到1cm）．（参考数据：sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93）22．（7分）某地区有城区居民和农村居民共80万人．某机构准备采用抽取样本的方法调查该地区居民“获取信息的最主要途径”．（1）该机构设计了以下三种调查方案：方案一：随机抽取部分城区居民进行调查；方案二：随机抽取部分农村居民进行调查；方案三：随机抽取部分城区居民和部分农村居民进行调查．其中最具有代表性的一个方案是；（2）该机构采用了最具有代表性的调查方案进行调查．供选择的选项有：电脑、手机、电视、广播、其他，共五个选项．每位被调查居民只选择一个选项．现根据调查结果绘制如下统计图，请根据统计图回答下列问题：①这次接受调查的居民人数为人；②统计图中人数最多的选项为；③请你估计该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数．五、解答题（每小题8分，共16分）23．（8分）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B地，乙车立即以原速原路返回到B 地．甲、乙两车距B地的路程y （km）与各自行驶的时间x（h）之间的关系如图所示．（1）m＝，n＝；（2）求乙车距B 地的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当甲车到达B地时，求乙车距B地的路程．24．（8分）性质探究如图①，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，则底边AB与腰AC的长度之比为．理解运用（1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为8+4，则它的面积为；（2）如图②，在四边形EFGH中，EF＝EG＝EH．①求证：∠EFG+∠EHG＝∠FGH；②在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN．若∠FGH＝120°，EF＝10，直接写出线段MN的长．类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为（用含α的式子表示）．六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）如图，在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝3cm，E为边BC上一点，BE＝AB，连接AE．动点P、Q从点A 同时出发，点P以cm/s的速度沿AE向终点E运动；点Q以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC向终点C运动．设点Q运动的时间为x（s），在运动过程中，点P，点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y（cm）．（1）AE＝cm，∠EAD＝°；（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当PQ＝cm时，直接写出x的值．226．（10 分）如图，抛物线 y ＝（x ﹣1） +k 与 x 轴相交于 A ，B 两点（点 A 在点 B 的左侧）， 与 y 轴相交于点 C （0，﹣3）．P 为抛物线上一点，横坐标为 m ，且 m ＞0．（1）求此抛物线的解析式；（2）当点 P 位于 x 轴下方时，求△ABP 面积的最大值；（3）设此抛物线在点 C 与点 P 之间部分（含点 C 和点 P ）最高点与最低点的纵坐标之 差为 h ．①求 h 关于 m 的函数解析式，并写出自变量 m 的取值范围；②当 h ＝9 时，直接写出△BCP 的面积．22019 年吉林省中考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（每小题 2 分，共 12 分）1．（2 分）如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．﹣1【考点】13：数轴．【分析】直接利用数轴得出结果即可．【解答】解：数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为﹣1，故选：D ．【点评】本题考查了数轴、根据数轴﹣1 是解题关键．2．（2 分）如图，由 6 个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（）A ．C ．B ．D ．【考点】U2：简单组合体的三视图．【分析】找到从上面看所得到的图形即可．【解答】解：从上面看可得四个并排的正方形，如图所示：故选：D ．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 3．（2 分）若 a 为实数，则下列各式的运算结果比 a 小的是（）A ．a +1B ．a ﹣1C ．a ×1D ．a ÷1【考点】2A：实数大小比较．【分析】根据一个数加上一个正数的和大于本身，加上一个负数小于本身，减去一正数小于本身，减去一个负数大于本身，乘以1等于本身，除以1也等于本身，逐一进行比较便可．【解答】解：A．a+1＞a，选项错误；B．a﹣1＜a，选项正确；C．a×1＝a，选项错误；D．a÷1＝a，选项错误；故选：B．【点评】本题主要考查了实数的大小比较，具体考查了一个数加1，减1，乘1，除以1，值的大小变化规律．基础题．4．（2分）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（）A．30°B．90°C．120°D．180°【考点】R3：旋转对称图形．【分析】根据图形的对称性，用360°除以3计算即可得解．【解答】解：∵360°÷3＝120°，∴旋转的角度是120°的整数倍，∴旋转的角度至少是120°．故选：C．【点评】本题考查了旋转对称图形，仔细观察图形求出旋转角是120°的整数倍是解题的关键．5．（2分）如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°【考点】M4：圆心角、弧、弦的关系；M5：圆周角定理．【分析】根据圆心角与圆周角关系定理求出∠AOB的度数，进而由角的和差求得结果．【解答】解：∵∠ACB＝50°，∴∠AOB＝2∠ACB＝100°，∵∠AOP＝55°，∴∠POB＝45°，故选：B．【点评】本题是圆的一个计算题，主要考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2信倍．6．（2分）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，A、B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（）A．两点之间，线段最短B．平行于同一条直线的两条直线平行C．垂线段最短D．两点确定一条直线【考点】IB：直线的性质：两点确定一条直线；I C：线段的性质：两点之间线段最短；J4：垂线段最短；J8：平行公理及推论．【分析】利用两点之间线段最短进而分析得出答案．【解答】解：这样做增加了游人在桥上行走的路程，其中蕴含的数学道理是：利用两点 之间线段最短，可得出曲折迂回的曲桥增加了游人在桥上行走的路程．故选：A ．【点评】此题主要考查了两点之间线段最短，正确将实际问题转化为数学知识是解题关 键．二、填空题（每小题 3 分，共 24 分）7．（3 分）分解因式：a ﹣1＝ （a +1）（a ﹣1） ．【考点】54：因式分解﹣运用公式法．【分析】符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式： a ﹣b ＝（a +b ）（a ﹣b ）．【解答】解：a ﹣1＝（a +1）（a ﹣1）．故答案为：（a +1）（a ﹣1）．【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键．8．（3 分）不等式 3x ﹣2＞1 的解集是 x ＞1 ．【考点】C6：解一元一次不等式．【分析】利用不等式的基本性质，将两边不等式同时加上 2 再除以 3，不等号的方向不变． 【解答】解：∵3x ﹣2＞1，∴3x ＞3，∴x ＞1，∴原不等式的解集为：x ＞1．故答案为 x ＞1．【点评】本题考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．9．（3 分）计算：• ＝ ．【考点】6A ：分式的乘除法．【分析】根据分式乘除法的法则计算即可．2 2 22【解答】解：• ＝ ，故答案为： ．【点评】本题考查了分式的乘除法，熟记法则是解题的关键．10．（3 分）若关于 x 的一元二次方程（x +3） ＝c 有实数根，则 c 的值可以为 5（答案不 唯一，只有 c ≥0 即可） （写出一个即可）．【考点】A5：解一元二次方程﹣直接开平方法．【分析】由于方程有实数根，则其根的判别式△≥0，由此可以得到关于 c 的不等式，解 不等式就可以求出 c 的取值范围．【解答】解：一元二次方程化为 x +6x +9﹣c ＝0，∵△＝36﹣4（9﹣c ）＝4c ≥0，解上式得 c ≥0．故答为 5（答案不唯一，只有 c ≥0 即可）．【点评】本题主要考查根与系数的关系，根的判别式，关键在于求出 c 的取值范围．11．（3 分）如图，E 为△ABC 边 CA 延长线上一点，过点 E 作 ED ∥BC ．若∠BAC ＝70°， ∠CED ＝50°，则∠B ＝ 60 °．【考点】JA ：平行线的性质．【分析】利用平行线的性质，即可得到∠CED ＝∠C ＝50°，再根据三角形内角和定理， 即可得到∠B 的度数．【解答】解：∵ED ∥BC ，∴∠CED ＝∠C ＝50°，又∵∠BAC ＝70°，∴△ABC 中，∠B ＝180°﹣50°﹣70°＝60°，故答案为：60．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意运用两直线平行，内错角相等．12．（3 分）如图，在四边形 ABCD 中，AB ＝10，BD ⊥AD ．若将△BCD 沿 BD 折叠，点 C22与边AB的中点E恰好重合，则四边形BCDE的周长为20．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到D E＝BE＝AB＝5，再根据折叠的性质，即可得到四边形BCDE的周长为5×4＝20．【解答】解：∵BD⊥AD，点E是AB的中点，∴DE＝BE＝AB＝5，由折叠可得，CB＝BE，CD＝ED，∴四边形BCDE的周长为5×4＝20，故答案为：20．【点评】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．13．（3分）在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时同地测得一栋楼的影长为90m，则这栋楼的高度为54m．【考点】SA：相似三角形的应用；U5：平行投影．【分析】根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论．【解答】解：设这栋楼的高度为hm，∵在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为60m，∴＝，解得h＝54（m）．故答案为：54．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．14．（3分）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°．D，E分别是半径OA，OB上的点，以OD，OE为邻边的ODCE 的顶点C在积是25π﹣48（结果保留π）．上．若OD＝8，OE＝6，则阴影部分图形的面【考点】L5：平行四边形的性质；MO ：扇形面积的计算．【分析】连接 OC ，根据同样只统计得到 ▱ ODCE 是矩形，由矩形的性质得到∠ O DC ＝90°．根据勾股定理得到 OC ＝10，根据扇形的面积公式和矩形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：连接 OC ，∵∠AOB ＝90°，四边形 ODCE 是平行四边形，∴▱ ODCE 是矩形，∴∠ODC ＝90°．∵OD ＝8，OE ＝6，∴OC ＝10，∴阴影部分图形的面积＝故答案为：25π﹣48．﹣8×6＝25π﹣48．【点评】本题考查了扇形的面积的计算，矩形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅 助线是解题的关键．三、解答题（每小题 5 分，共 20 分）15．（5 分）先化简，再求值：（a ﹣1）+a （a +2），其中 a ＝．【考点】4J ：整式的混合运算—化简求值．【分析】原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结 果，把 a 的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝a ﹣2a +1+a+2a ＝2a+1，当时，原式＝5．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2 2 2 216．（5分）甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子除颜色外无其他差别；乙口袋中装有红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别．从甲口袋中随机取出一把扇子，从乙口袋中随机取出一条手绢，用画树状图或列表的方法，求取出的扇子和手绢都是红色的概率．【考点】X6：列表法与树状图法．【分析】画出树状图，共有4种可能结果，其中取出的扇子和手绢都是红色的有1种可能，由概率公式即可得出结果．【解答】解：画树状图如下：共有4种可能结果，其中取出的扇子和手绢都是红色的有1种结果，则取出的扇子和手绢都是红色的概率为．【点评】此题主要考查了列表法与树状图法以及概率公式，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．17．（5分）已知y是x的反比例函数，并且当x＝2时，y＝6．（1）求y关于x的函数解析式；（2）当x＝4时，求y的值．【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；G7：待定系数法求反比例函数解析式．【分析】（1）直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）直接利用x＝4代入求出答案．【解答】解：（1）y是x的反例函数，所以，设，当x＝2时，y＝6．所以，k＝xy＝12，所以，；（2）当x＝4时，y＝3．【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，正确假设出解析式是解题关键．18．（5分）如图，在ABCD中，点E在边AD上，以C为圆心，AE长为半径画弧，交边BC于点F，连接BE、DF．求证：△ABE≌△CDF．【考点】KB：全等三角形的判定；L5：平行四边形的性质．【分析】直接利用已知作图方法结合全等三角形的判定方法分析得出答案．【解答】证明：由题意可得：AE＝FC，在平行四边形ABCD中，AB＝DC，∠A＝∠C在△ABE和△CDF中，，所以，△ABE≌△CDF（SAS）．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定，正确掌握基本作图方法是解题关键．四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）图①，图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB，在图②中已画出线段CD，其中A、B、C、D均为格点，按下列要求画图：（1）在图①中，以AB为对角线画一个菱形AEBF，且E，F为格点；（2）在图②中，以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH，且G，H为格点，∠CGD＝∠CHD＝90°．【考点】LA：菱形的判定与性质；N4：作图—应用与设计作图．【分析】（1）根据菱形的定义画出图形即可（答案不唯一）．（2）利用数形结合的思想解决问题即可．【解答】解：（1）如图，菱形AEBF即为所求．（2）如图，四边形CGDH即为所求．【点评】本题考查作图﹣应用与设计，菱形的判定和性质，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．（7分）问题解决糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4 个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？反思归纳现有a根竹签，b个山楂．若每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，则下列等式成立的是（2）（填写序号）．（1）bc+d＝a；（2）ac+d＝b；（3）ac﹣d＝b．【考点】8A：一元一次方程的应用；9A：二元一次方程组的应用．【分析】问题解决设竹签有x根，山楂有y个，由题意得出方程组：方程组即可；反思归纳由每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，得出ac+d＝b 即可．，解【解答】问题解决解：设竹签有x根，山楂有y个，由题意得：，解得：，答：竹签有20根，山楂有104个；反思归纳解：∵每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，则ac+d＝b，故答案为：（2）．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；根据题意列出方程组是解题的关键．21．（7分）墙壁及淋浴花洒截面如图所示．已知花洒底座A与地面的距离AB为170cm，花洒AC的长为30cm，与墙壁的夹角∠CAD为43°．求花洒顶端C到地面的距离CE（结果精确到1cm）．（参考数据：sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93）【考点】T8：解直角三角形的应用．【分析】过C作CF⊥AB于F，于是得到∠AFC＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过C作CF⊥AB于F，则∠AFC＝90°，在△R t ACF中，AC＝30，∠CAF＝43°，∵cos∠CAF＝，∴AF＝AC•cos∠CAF＝30×0.73＝21.9，∴CE＝BF＝AB+AF＝170+21.9＝191.9≈192（cm），答：花洒顶端C到地面的距离CE为192cm．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是正确理解题意以及灵活运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．22．（7分）某地区有城区居民和农村居民共80万人．某机构准备采用抽取样本的方法调查该地区居民“获取信息的最主要途径”．（1）该机构设计了以下三种调查方案：方案一：随机抽取部分城区居民进行调查；方案二：随机抽取部分农村居民进行调查；方案三：随机抽取部分城区居民和部分农村居民进行调查．其中最具有代表性的一个方案是方案三；（2）该机构采用了最具有代表性的调查方案进行调查．供选择的选项有：电脑、手机、电视、广播、其他，共五个选项．每位被调查居民只选择一个选项．现根据调查结果绘制如下统计图，请根据统计图回答下列问题：①这次接受调查的居民人数为1000人；②统计图中人数最多的选项为手机；③请你估计该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数．【考点】V5：用样本估计总体；VC：条形统计图；W5：众数．【分析】（1）根据三个方案选出最具有代表性的一个方案即可；（2）①把电脑、手机、电视、广播、其他，这五个选项的总人数相加即可；②从统计图中找出人数最多的选项即可；③用80×该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的人数所占的百分比即可得到结论．【解答】解：（1）最具有代表性的一个方案是方案三，故答案为：方案三；（2）①这次接受调查的居民人数为260+400+150+100+90＝1000人；②统计图中人数最多的选项为手机；③80×＝52.8万人，答：该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数52.8万人．故答案为：1000，手机．【点评】本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；也考查了用样本估计总体．五、解答题（每小题8分，共16分）23．（8分）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B地，乙车立即以原速原路返回到B 地．甲、乙两车距B地的路程y （km）与各自行驶的时间x（h）之间的关系如图所示．（1）m＝4，n＝120；（2）求乙车距B 地的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当甲车到达B地时，求乙车距B地的路程．【考点】FH：一次函数的应用．【分析】（1）观察图象即可解决问题；（2）运用待定系数法解得即可；（3）把x＝3代入（2）的结论即可．【解答】解：（1）根据题意可得m＝2×2＝4，n＝280﹣2（280÷3.5）＝120；故答案为：4；120；（2）设y关于x的函数解析式为y＝kx（0≤x≤2），因为图象经过（2，120），所以2k＝120，解得k＝60，所以y关于x的函数解析式为y＝60x，设y关于x的函数解析式为y＝k x+b（2≤x≤4），1因为图象经过（2，120），（4，0）两点，所以，解得，所以y关于x的函数解析式为y＝﹣60x+240（2≤x≤4）；（3）当x＝3.5时，y＝﹣60×3.5+240＝30．所以当甲车到达B地时，乙车距B地的路程为30km．【点评】此题考查的知识点是一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数的解析式．24．（8分）性质探究．如图①，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，则底边AB与腰AC的长度之比为理解运用（1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为8+4，则它的面积为4；（2）如图②，在四边形EFGH中，EF＝EG＝EH．①求证：∠EFG+∠EHG＝∠FGH；②在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN．若∠FGH＝120°，EF＝10，直接写出线段MN的长．类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为2sinα（用含α的式子表示）．【考点】LO：四边形综合题．【分析】性质探究作CD⊥AB于D，则∠ADC＝∠BDC＝90°，由等腰三角形的性质得出AD＝BD，∠ACD，得出AB＝2AD＝＝∠B＝30°，由直角三角形的性质得出AC＝2CD，A D＝2CD，即可得出结果；理解运用（1）同上得出则AC＝2CD，A D＝CD，由等腰三角形的周长得出4CD+2CD＝8+4，解得：CD＝2，得出AB＝4，由三角形面积公式即可得出结果；（2）①由等腰三角形的性质得出∠EFG＝∠EGF，∠EGH＝∠EHG，得出∠EFG+∠EHG＝∠EGF+∠EGH＝∠FGH即可；②连接FH，作EP⊥FH于P，由等腰三角形的性质得出PF＝PH，由①得：∠EFG+∠EHG＝∠FGH＝120°，由四边形内角和定理求出∠FEH＝120°，由等腰三角形的性质得出∠EFH＝30°，由直角三角形的性质得出PE＝EF＝5，PF＝PE＝5，得出FH＝2PF＝10，证明MN是△FGH的中位线，由三角形中位线定理即可得出结果；类比拓展作AD⊥BC于D，由等腰三角形的性质得出BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝α，由三角函数得出BD＝AB×sinα，得出BC＝2BD＝2AB×sinα，即可得出结果．【解答】性质探究解：作CD⊥AB于D，如图①所示：则∠ADC＝∠BDC＝90°，∵AC＝BC，∠ACB＝120°，∴AD＝BD，∠A＝∠B＝30°，∴AC＝2CD，AD＝CD，∴AB＝2AD＝2CD，∴＝＝；故答案为：；理解运用（1）解：如图①所示：同上得：AC＝2CD，AD＝CD，，∵AC+BC+AB＝8+4，∴4CD+2CD＝8+4解得：CD＝2，，∴AB＝4∴△ABC的面积＝AB×CD＝×4×2＝4；故答案为：4（2）①证明：∵EF＝EG＝EH，∴∠EFG＝∠EGF，∠EGH＝∠EHG，∴∠EFG+∠EHG＝∠EGF+∠EGH＝∠FGH；②解：连接FH，作EP⊥FH于P，如图②所示：则PF＝PH，由①得：∠EFG+∠EHG＝∠FGH＝120°，∴∠FEH＝360°﹣120°﹣120°＝120°，∵EF＝EH，∴∠EFH＝30°，∴PE＝EF＝5，∴PF＝PE＝5，∴FH＝2PF＝10，∵点M、N分别是FG、GH的中点，∴MN是△FGH的中位线，∴MN＝FH＝5；类比拓展解：如图③所示：作AD⊥BC于D，∵AB＝AC，∴BD ＝CD ，∠BAD ＝ ∠BAC ＝α， ∵sin α＝ ，∴BD ＝AB ×sin α，∴BC ＝2BD ＝2AB ×sin α，∴ ＝＝2sin α；故答案为：2sin α．【点评】本题是四边形综合题目，考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形中位线定理、四边形内角和定理、就直角三角形等知识；本题综合性强，熟练掌握等 腰三角形的性质和含 30°角的直角三角形的性质是解题的关键．六、解答题（每小题 10 分，共 20 分）25．（10 分）如图，在矩形 ABCD 中，AD ＝4cm ，AB ＝3cm ，E 为边 BC 上一点，BE ＝AB ，连接 AE ．动点 P 、Q 从点 A 同时出发，点 P 以cm /s 的速度沿 AE 向终点 E 运动；点 Q以 2cm/s 的速度沿折线 AD ﹣DC 向终点 C 运动．设点 Q 运动的时间为 x （s ），在运动过程中，点 P ，点 Q 经过的路线与线段 PQ 围成的图形面积为 y （cm ）．（1）AE ＝ 3cm ，∠EAD ＝ 45 °；（2）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围；2（3）当 PQ ＝ cm 时，直接写出 x 的值．【考点】LO ：四边形综合题．【分析】（1）由勾股定理可求 AE 的长，由等腰三角形的性质可求∠EAD 的度数； （2）分三种情况讨论，由面积和差关系可求解；（3）分三种情况讨论，由勾股定理可求解．【解答】解：（1）∵AB ＝3cm ，BE ＝AB ＝3cm ，∴AE ＝∵∠BAD ＝90°∴∠DAE ＝45°＝3 cm ，∠BAE ＝∠BEA ＝45°故答案为：3，45（2）当 0＜x ≤2 时，如图，过点 P 作 PF ⊥AD ，∵AP ＝x ，∠DAE ＝45°，PF ⊥AD∴PF ＝x ＝AF ，∴y ＝S ＝ ×AQ ×PF ＝x ，（2）当 2＜x ≤3 时，如图，过点 P 作 PF ⊥AD ，2 △ PQA∵PF ＝AF ＝x ，QD ＝2x ﹣4∴DF ＝4﹣x ，∴y ＝ x + （2x ﹣4+x ）（4﹣x ）＝﹣x +8x ﹣8当 3＜x ≤ 时，如图，点 P 与点 E 重合．∵CQ ＝（3+4）﹣2x ＝7﹣2x ，CE ＝4﹣3＝1cm∴y ＝ （1+4）×3﹣ （7﹣2x ）×1＝x +4 （3）当 0＜x ≤2 时∵QF ＝AF ＝x ，PF ⊥AD ∴PQ ＝AP∵PQ ＝ cm∴x ＝∴x ＝当 2＜x ≤3 时，过点 P 作 PM ⊥CD∴四边形 MPFD 是矩形∴PM ＝DF ＝4﹣2x ，MD ＝PF ＝x ，2 2∴MQ ＝x ﹣（2x ﹣4）＝4﹣x∵MP +MQ ＝PQ ，∴（4﹣2x ） +（4﹣x ） ＝ ∵△＜0∴方程无解当 3＜x ≤ 时，∵PQ ＝CP +CQ ，∴∴x ＝＝1+（7﹣2x ），综上所述：x ＝或【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性 质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．26．（10 分）如图，抛物线 y ＝（x ﹣1） +k 与 x 轴相交于 A ，B 两点（点 A 在点 B 的左侧）， 与 y 轴相交于点 C （0，﹣3）．P 为抛物线上一点，横坐标为 m ，且 m ＞0．（1）求此抛物线的解析式；（2）当点 P 位于 x 轴下方时，求△ABP 面积的最大值；（3）设此抛物线在点 C 与点 P 之间部分（含点 C 和点 P ）最高点与最低点的纵坐标之 差为 h ．①求 h 关于 m 的函数解析式，并写出自变量 m 的取值范围；②当 h ＝9 时，直接写出△BCP 的面积．2 2 2 222 2 2 2 2。