信息光学_第三章第三讲

其中
x y fx x A0 ( , ) F{U ( x0 , y0 )} | y z fy z z z
信息光学(或傅里叶光学)的基本思想
理想夫琅和费衍射系统起到空间频率分析器的作用.当单色光波 入射到待分析的图象上时,通过夫琅禾费衍射,一定空间频率的信 息就被一特定方向的平面衍射波输送出来。 这些衍射波在近场彼此交织在一起,到了远场它们彼此分开,从而 达到分频的目的.常用远场分频装置是透镜，将不同方向的平面 波汇聚到后焦面上不同的点上，形成一个个衍射斑。 这些衍射斑和图象的空间频率一一对应，后焦面就是图象的傅立 叶频谱面，称为傅立叶面，夫琅和费衍射斑称为谱斑。这就是现 代光学对夫琅和费衍射的新认识。
The propagated wave follows the periphery of the wavelets.
Huygens, just add the wavelets considering interference!
衍射双雄: Fresnel and Fraunhofer
别来 无恙
别来 无恙
三、菲涅耳衍射的空域分析
1、菲涅耳衍射的卷积形式
exp( jkr ) 1 U ( P) U ( P0 ) ds j z
指数中的r不能用z近似，必需采用更高一级的近似：
r z 2 x x0 y y0
2 2
1 x x0 2 1 y y0 2 1 z 1 z [(x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ] 2z 2 z 2 z
fx x z y fy z
--------此即菲涅耳衍射的傅里叶变换形式
3、菲涅耳衍射的频域分析

hx x0 , y y0
1 k 2 2 exp jkzexp j x x0 y y0 jz 2z


U ( x, y) U x0 , y0 h( x x0 , y y0 )dx0 dy0 U 0 ( x, y) h( x, y) 因为：
Fresnel diffraction： occurs when either S or P are close enough to the aperture that wavefront curvature is not negligible
From Fresnel to Fraunhofer diffraction
Contemporaries, but not collaborators (nor competitors).
一、 菲涅耳衍射与夫琅和费衍射的定性区别
S
P
Fraunhofer diffraction： both incident and diffracted waves may be considered to be planar (i.e. both S and P are far from the aperture)
2 2 x0 y0 x 2 y 2 xx0 yy0 z 2z 2z z
夫琅禾费衍射区：
x 2 y 2 xx0 yy0 r z 2z z
From Fresnel to Fraunhofer diffraction
入射平面波
近场衍射 Fresnel
远场衍射 Fraunhofer
六、夫琅和费衍射计算实例及MATLAB仿真
1、矩形孔衍射
• 矩形孔复振幅透过率：
x0 y0 t ( x0 , y0 ) rect ( , ) a b
• 矩形孔复振幅透过率函数对应的频谱：
第三讲 菲涅耳衍射和夫琅和费衍射
主要内容
• 菲涅耳衍射的空域形式 • 菲涅耳衍射的频域形式 • 夫琅和费衍射的空域形式 • 夫琅和费衍射的MATLAB仿真
Huygens-Fresnel 原理
波前上的每一个面元都可以看做是一个次级扰动中心，它们能产生球面子波，后 一时刻的波前位置是所有这些子波波前的包络面。----《论光》C.Huygens
S
P
Fraunhofer diffraction： both incident and diffracted waves may be considered to be planar (i.e. both S and P are far from the aperture)
Fresnel diffraction： occurs when either S or P are close enough to the aperture that wavefront curvature is not negligible

exp jkz k 2 2 x z U ( x, y) exp[ j ( x y )]F{U x0 , y0 } ff xy y z jz 2z
上式表明：观察平面上的光场分布正比于孔径平面透射光场分 布的傅里叶变换。 观察平面上衍射图样的强度分布是：
I ( x, y ) U ( x, y )U ( x, y ) ( 1 2 1 x y ) | F{U ( x0 , y0 )} |2 ( ) 2 | A0 ( , ) |2 z z z z
500nm, 孔径直径d 2m m
夫琅和费成立要求： zmin 6.3m
很容易实现
菲涅耳衍射区：
r z x x0 y y0
2 2
2
1 x x0 2 1 y y0 2 z 1 2 z 2 z
第一步“分频”；
第二步“合成”.
阿贝成像真正意义：提供了新的频谱语言描述信息，启发人们用改变
频谱的手段来改造信息，即信息光学处理基础
光信息处理的典型实验：
物平面
频谱面
像平面
五、菲涅耳衍射与夫琅禾费衍射的定量关系
500nm, 孔径直径d 2mm
菲涅耳衍射成立要求： zmin 30mm
1 k 2 2 U x, y exp jkz U x0 , y0 exp j x x0 y y0 dx0dy0 jz 2z



1 k 2 2 U x, y exp jkz U x0 , y0 exp j x x0 y y0 dx0dy0 jz 2z
k 2 2 ( x0 y0 ) 1 2z
即：
k z ( x02 y02 ) 2
则，平方相位因子（上述红色）在整个孔径上近似为1。
Fra Baidu bibliotek
于是，菲涅耳衍射公式可以进一步简化为夫琅和费衍射公式：
exp jkz k 2 2 2 U ( x, y) exp[j ( x y )] U x0 , y0 exp[ j ( xx0 yy0 )]dx0 dy0 jz 2z z

A0 ( f x , f y ) U0 ( x, y) H ( f x , f y ) h( x, y)
Az ( f x , f y ) U ( x, y)
两边进行傅里 叶变换：
Az ( f x , f y ) A0 ( f x , f y )H ( f x , f y )
hx, y 其中： 1 k 1 exp jkz exp[ j ( x 2 y 2 )] exp jkz exp[ j ( x 2 y 2 )] jz 2z jz z
A B
C
透 镜
C
B
A
现代光学对透镜成像的新观点
阿贝成像原理: 物是一系列不同空间频率的集合。入射光经物平面发生夫 琅和费衍射，在透镜焦面（频谱面）上形成一系列衍射光斑,各衍射光斑 发出的球面次波在相面上相干叠加，形成像。
F
A B C C’ B’ A’
阿贝成像原理将成像过程分为两步:

z
exp jkz k 2 2 k 2 2 exp[j ( x y )] U x0 , y0 exp[j ( x0 y0 )]exp[ j 2 ( f x x0 f y y0 )]dx0dy0 jz 2z 2z
exp jkz k 2 2 k 2 2 exp[ j ( x y )] F{U x0 , y0 exp[ j ( x0 y0 )]} jz 2z 2z
h(x,y):脉冲响应； 对上式进行傅里叶变换；

线性空不变系统； 必存在传递函数；
e jkz j z ( x 2 y 2 ) H ( f x , f y ) F {h( x, y)} F { e } e jkz exp[ jz ( f x2 f y2 )] jz
其中：
fx x
z
fy y
z
H ( f x , f y ) F {h( x, y)} e jkz exp[ jz( f x2 f y2 )]
e
jkz
总体的位相延迟； 和空间频率有关的位相“色散”；
exp[ jz( f x2 f y2 )]
A0 ( f x , f y )
入射平面波
近场衍射 Fresnel
远场衍射 Fraunhofer
二、衍射公式的初步近似
exp(jkr ) 1 U ( P) U ( P0 ) K ( )ds j r
旁轴近似： K ( ) 1 ，所以分母中的 r z 则：
exp( jkr ) 1 U ( P) U ( P0 ) ds j z
指数展开并移项：



exp jkz k 2 2 k 2 2 2 exp[j ( x y )] U x0 , y0 exp[j ( x0 y0 )]exp[ j ( xx0 yy0 )]dx0dy0 jz 2z 2z z

令： f x x z
fy y
指数展开并移项：



exp jkz k k 2 2 2 exp[j ( x 2 y 2 )] U x0 , y0 exp[j ( x0 y0 )]exp[ j ( xx0 yy0 )]dx0dy0 jz 2z 2z z

若观察平面离开孔径平面的距离z进一步增大，使其不仅满足菲 涅耳近似条件，而且还满足

U ( x, y) U 0 ( x, y) h( x, y)
此即菲涅耳衍 射的卷积形式
2、菲涅耳衍射的傅里叶变换形式
1 k 2 2 U x, y exp jkz U x0 , y0 exp j x x0 y y0 dx0dy0 jz 2z



令： hx x0 , y y0

1 k 2 2 exp jkzexp j x x0 y y0 脉冲响应 jz 2z


U ( x, y) U x0 , y0 h( x x0 , y y0 )dx0 dy0
y y’
F
x
fx cos
x’


1 X
fy
cos


1 Y
衍射屏 光学图象
透镜 频谱分析器
夫琅禾费衍射场 傅立叶频谱面
透镜成像的几何光学解释
几何光学：自物点Ａ，Ｂ，Ｃ发出的球面波,经透镜折 射后,各自会聚到它们的像点Ａ,Ｂ,Ｃ.
图中光线不同的 颜色表示发自不 同的物点.
像 面

H( fx , f y )

Az ( f x , f y )
四、夫琅和费衍射的空域分析
对于菲涅耳衍射公式：
1 k 2 2 U x, y exp jkz U x0 , y0 exp j x x0 y y0 dx0dy0 jz 2z