2015-2016学年高中数学 1.3 组合课件 北师大版选修2-3

2 C4 ·C1 5 种取法;从 4 台甲型电视机中取 1 台且从 5 台乙型电视机中取 2 台
2 有C 1 4 · C5 种取法,所以取出的 3 台电视机中至少要有甲型与乙型电视机各 1
2 1 2 台的取法共有 C4 · C1 5 + C4 ·C5 =70 种.
题型一
题型二
题型三
3 解法二:从所有的 9 台电视机中取 3 台有 C9 种取法,其中全部为甲型电
) C.26 D.27
1
2
3
4
5
97 96 95 3C98 +2C98 + C98 =( 97 A. C99 98 C.C99 97 B.C100 98 D.C100
)
97 96 96 95 97 96 97 解析:原式= C98 + C98 + C98 + C98 = C99 + C99 = C100 .
题型一
题型二
题型三
题型一
组合的概念
【例 1】 判断下列问题是组合问题,还是排列问题. (1)设集合 A={a, b,c,d},则集合 A 的含有 3 个元素的子集有多少个 ? (2)一个班中有 52 人,任意两个人握一次手,共握多少次手? (3)4 个人去干 5 种不同的工作,每人干一种,有多少种分工方法 ? 分析:交换任何两个元素的顺序,看结果有无影响,如无影响则是组合问 题. 解:(1)因为集合中取出元素具有“无序性”,故这是组合问题; (2)因为两人握手是相互的,没有顺序之分,故这是组合问题; (3)因为 5 种工作是不同的,一种分工方法就是从 5 种不同的工作中选 出 4 种,按一定的顺序分配给 4 个人,它与顺序有关,故这是排列问题.
§3 组 合
1.正确理解组合的概念,掌握写出所有组合的方法,加深对分类讨论方法的 理解,发展学生的抽象概括能力和逻辑思维能力. 2.能利用计数原理推导组合数公式,掌握组合数公式的结构特点和性质,并 能利用它们进行简单的计算和证明,以及解简单的组合问题.
1.一般地,从 n 个不同的元素中,任取 m(m≤n) 个元素为一组,叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合,我们把有关求组合的个数的问题 叫作组合问题. 【做一做 1 】 给出下面几个问题,其中是组合问题的有( ①由 1,2,3,4 构成的含有 2 个元素的集合个数; ②五个队进行单循环比赛的比赛场次数; ③由 1,2,3 组成两位数的不同方法数; ④由 1,2,3 组成的无重复数字的两位数的个数. A.①③ 答案: C B.②④ C.①② D.①②④ )
2 第 1 类:共线的 4 个点中有 2 个点作为三角形的顶点,共有 C4 · C1 8 =48
个不同的三角形;
1
2
3
4
5
2 第 2 类:共线的 4 个点中有 1 个点作为三角形的顶点,共有 C1 4 · C8 =112
个不同的三角形;
3 第 3 类:共线的 4 个点中没有点作为三角形的顶点,共有 C8 =56 个不同
题型一
题型二
题型三
4 4 4 4 8 8 4 4 4 4 5 4 (3)C5 + C6 + C7 + C8 + C8 = C8 + C5 + C6 + C7 + C8 = C5 + C5 + 4 4 4 5 4 4 4 5 4 4 5 4 5 4 C6 + C7 + C8 = C6 + C6 + C7 + C8 = C7 + C7 + C8 = C8 + C8 = C9 = C9 =
98 2 1 解:(1)C100 + C199 200 = C100 + C200 =
100×99 +200=5 2
150.

3������ +6 (2)由C18 = C18 ,知 3n+6=4n-2 或 3n+6+(4n-2)=18.解得 n=8 或 n=2.
4������ -2
而 3n+6≤18 且 4n-2≤ 18,即 n≤4 且 n∈N +,∴ n=2.
题型三
题型二
98 【例 2】 (1)计算 C100 + C199 200 ; 4������ -2
组合数公式的应用
3������ +6 (2)已知 C18 = C18 ,求 n; 4 4 4 4 8 (3)化简 C5 + C6 + C7 + C8 + C8 .
分析:先把组合数利用性质进行化简,或利用组合数性质求解.
2.如何解答组合应用题 ? 剖析:解答组合应用题的总体思路为 :(1) 整体分类,对事件进行整体分 类,从集合的意义讲,分类要做到各类的并集等于全集,以保证分类不遗漏, 任意两类的交集等于空集,以保证分类不重复,计算结果时使用分类加法计 数原理.(2)局部分步,整体分类以后,对每一类进行局部分步,分步要做到步 骤连续,以保证分步的不遗漏,同时步骤要独立,以保证分步的不重复,计算 每一类的相应结果时,使用分步乘法计数原理.(3)考察顺序,区别排列与组 合的重要标志是“有序 ”与 “无序”,无序的问题,用组合解答,有序的问题属 排列问题.(4)辩证地看待“元素 ”与 “位置”.排列、 组合问题中的元素与位置, 没有严格的界定标准,哪些事物看成元素或位置,要视具体情况而定.有时 “元素选位置”,问题解决更简捷;有时“位置选元素 ”效果会更好.
第二步 :把取出的 m 个元素进行排列,一共有 A������ ������ 种排法.根据乘法原理, 我们得到“从 n 个不同元素中选出 m(m≤n)个元素进行排列”一共有
������ C������ ·A������ ������ 种排法. ������ ������ 即有 A������ ������ = C������ ·A ������ .
9×8×7×6 =126. 4×3×2×1
������ ������ 在计算C������ 时,要充分利用 m≤n 且 m∈ N,n∈N+来解题 ;当 C������ 中 m, n
为字母或较大时常用阶乘公式,当 m 相对较小时常用连乘计算公式 ;注意
������ C������ = C������ ������ -������
的灵活运用.
题型一
题型二
题型三
题型三
有关组合的应用题
【例 3】 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台,其中至少要有甲 型与乙型电视机各 1 台,则不同的取法共有多少种? 分析:取出的 3 台电视机中要求至少有甲型与乙型各 1 台,它包括两种 可能 :2 台甲型与 1 台乙型、 1 台甲型与 2 台乙型,所以可用分类加法计数原 理和分步乘法计数原理解决.另外,也可以采用间接法. 解法一:从 4 台甲型电视机中取 2 台且从 5 台乙型电视机中取 1 台有
答案:B
1
2
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4
5
4 从 6 名男生和 4 名女生中选取 3 人参加某个竞赛,若这 3 人中必须既 有男生又有女生,则不同的选择方法共有 解析:由题设知选法有两类 :2 男 1 女;1 男 2 女.
2 1 2 故 N=C6 · C1 4 + C6 ·C4 =96(种).
种.
答案:96
1
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3
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5
5 平面内有 12 个点,其中有 4 个点共线,此外再无任何 3 点共线,以这些 点为顶点,可得多少个不同的三角形 ? 解:我们把从共线的 4 个点中取点的多少作为分类的标准.
������ 从 n 个元素中取 m 个元素的组合,组合数为 C������ ;含 a 的这一类,a 必被取出,
从(n+1)个元素中取 m 个元素的组合,相当于从其余的 n 个元素中取(m-1)
������ ������ 个元素的组合,组合数为 C������ .根据分类加法计数原理,有 C������ +1 = C������ + C������ . ������ -1 ������ -1
【做一做 3 】 A6 100 =
6 答案: C100
· A6 6.
������ 4.C������
=
A������ ������ A������ ������
=
������(������-1)(������-2)…(������-������+1) ������!
=
������! 0 ,规定:C������ =1. ������!(������-������)!
2.我们把从 n 个不同元素中取出 m(m≤n) 个元素的所有组合的个数,叫
������ 作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数,用符号 C������ 表示.
【做一做 2 】 某乒乓球队有 9 名队员,其中有两名种子选手,现要选 5 名队员参加运动会,种子选手都必须在内,不同的选法有( A.36 种 B.120 种 C.35 种 D.1 440 种 解析:只需再从其他 7 名队员中选 3 人,
1 1 1 电视机中任取 1 台,有 C1 7 种取法,所以不同的取法共有 C4 · C5 ·C7 =140 种,
这种看起来很不错的解法实际上是错误的,因为它产生了重复.
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5
1 从 5 名同学中推选 4 人去参加一个会议,不同的推选方法总数是( A.10 答案:B B.5 C.4 D.1
)
1
2 3 4 【做一做 4】 C7 + C6 + C5 =
.
答案:46 5.组合数的性质:
������ 性质 1:C������ = C������ ������ -������
.
������ -1