高中数学人教版必修4全套教案

1.1．1 任意角

1．回顾角的定义

①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.

②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课：

1．角的有关概念： ①角的定义：

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称：

③角的分类： ④注意：

⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念：

①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？

例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角．

⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°；

答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究：教材P3面

终边相同的角的表示：

所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k ·360

° ，

k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意： ⑴ k ∈Z

⑵ α是任一角；

⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差

360°的整数倍；

⑷ 角α + k ·720

°与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角．

例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角．

正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角

⑵

B 1 y

⑴

O x

45° B 2

O x B 3

y

30°

60o

负角：按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边

顶点

A

O B

⑴－120°；⑵640

°；⑶－950°12＇．

答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角； 例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}． 例5．写出终边在x y =上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． 4．总结

①角的定义； ②角的分类：

③象限角；

④终边相同的角的表示法思考题：已知α角是第三象限角，则2α，2

α

各是第几象限角？ 解：α 角属于第三象限，

∴ k ·360°+180°＜α＜k ·360°+270°(k ∈Z)

因此，2k ·360°+360°＜2α＜2k ·360°+540°(k ∈Z) 即(2k +1)360°＜2α＜(2k +1)360°+180°(k ∈Z)

故2α是第一、二象限或终边在y 轴的非负半轴上的角． 又k ·180°+90°＜

2

α

＜k ·180°+135°(k ∈Z) ． 当k 为偶数时，令k=2n(n ∈Z)，则n ·360°+90°＜2

α

＜n ·360°+135°(n ∈Z) ， 此时，

2

α

属于第二象限角 当k 为奇数时，令k=2n+1 (n ∈Z)，则n ·360°+270°＜2

α

＜n ·360°+315°(n ∈Z) ， 此时，2

α

属于第四象限角 因此2

α

属于第二或第四象限角．

1.1.2弧度制（一）

初中所学的角度制是怎样规定角的度量的 规定把周角的

360

1

作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制． 由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的, 运用起来不太方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制， 2．定 义

我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad ．在实际运算中，常常将rad 单位省略． 3．

（1）一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？

正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角

负角：按顺时针方向旋转形成的角

（2）引导学生完成P6的探究并归纳： 弧度制的性质： ①半圆所对的圆心角为

;ππ=r

r

②整圆所对的圆心角为

.22ππ=r

r

③正角的弧度数是一个正数． ④负角的弧度数是一个负数． ⑤零角的弧度数是零． ⑥角α的弧度数的绝对值|α|=. r

l 4．角度与弧度之间的转换： ①将角度化为弧度：

π2360=︒； π=︒180；rad 01745.0180

1≈=

︒π

；rad n n 180

π

=

︒． ②将弧度化为角度：

2360p = ；180p = ；180

1()57.305718rad p

¢=盎?

；180(

)n

n p

= ． 5．常规写法：

① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数． ② 弧度与角度不能混用． 6．特殊角的弧度 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧

度

0 6

π 4π 3π 2π 32π 43π 65π π

2

3π

π2 7．弧长公式

l l r r

a a =

?

弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积． 例1．把67°30＇化成弧度． 例2．把rad 5

3π化成度． 例3．计算：

4

sin

)1(π

；5.1tan )2(．

例4．将下列各角化成0到2π的角加上2k π（k ∈Z ）的形式：

3

19)

1(π

；︒-315)2(． 例5．将下列各角化成2k π + α(k ∈Z,0≤α＜2π)的形式,并确定其所在的象限．

319)

1(π

；6

31)2(π-． 解: (1),6

72319π

ππ+= 而67π是第三象限的角,193

p

\是第三象限角.

(2) 315316,666

p p p

p -=-+\-是第二象限角. .,,21

6. 是圆的半径是扇形弧长其中积公式利用弧度制证明扇形面例R l lR S =

O R l