北师大版八年级上册数学第一章勾股定理单元测试卷(一)

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北师大八年级数学上《第1章勾股定理》单元检测试题(含答案)

北师大八年级数学上《第1章勾股定理》单元检测试题(含答案)

八年级数学上册第1章勾股定理单元检测试题班级:__________姓名:__________一、单选题(共10题;共30分)1.下列各组数中,能构成直角三角形的是()A. 4,5,6B. 6,8,11C. 1,1,D. 5,12,22.已知一个Rt△的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是()A. 25B. 14,C. 7D. 7或253.已知a、b、c是三角形的三边长,如果满足(a-6)2+=0,则三角形的形状是( )A. 底与腰不相等的等腰三角形B. 等边三角形C. 钝角三角形D. 直角三角形4.一座建筑物发生了火灾,消防车到达现场后,发现最多只能靠近建筑物底端5m,消防车的云梯最大升长为13m,则云梯可以达到该建筑物的最大高度是()A. 12mB. 13mC. 14mD. 15m5.一块木板如图所示,已知AB=4,BC=3,DC=12,AD=13,∠B=90°,木板的面积为()A. 60B. 30C. 24D. 126.如图,在5×5的正方形网格中,从在格点上的点A,B,C,D中任取三点,所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 47.一个三角形的三边的长分别是3、4、5,则这个三角形最长边上的高是()A. 4B.C.D.8.如图,在△ABD中,∠D=90°,CD=6,AD=8,∠ACD=2∠B,则BD的长是()A. 12B. 14C. 16D. 189.图1是边长为1的六个小正方形组成的图形,它可以围成图2的正方体,则图1中正方形顶点A、B在围成的正方体中的距离是()A. 0B. 1C.D.10.△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c,由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是()A. ∠A+∠B=∠CB. ∠A:∠B:∠C=1:2:3C. a2=c2﹣b2D. a:b:c=3:4:6二、填空题(共8题;共24分)11.如图为某楼梯的侧面,测得楼梯的斜长AB为13米,高BC为5米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要________米.12.在直角三角形ABC中,斜边AB=2,则AB2+AC2+BC2=________.13.一直角三角形的一条斜边和一直角边的长度分别是4和3,则它的另一直角边长是________.14.已知直角三角形的两边的长分别是3和4,则第三边长为________.15.将一根24cm的筷子,置于底面直径为15cm,高8cm的圆柱形水杯中,如图所示,设筷子露在杯子外面的长度为hcm,则h的取值范围是________ .16.在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示).已知斜放置的三个正方形的面积分别是1,2,3,正放置的四个正方形的面积依次是S1,S2,S3,S4,则S1+S2+S3+S4=________17.要在一个长方体中放入一细直木条,现知长方体的长为2,宽为,高为,则放入木盒的细木条最大长度为________ .18.如图,一根旗杆在离地面9米处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处,则旗杆折断之前有________米.三、解答题(共66分)19.已知:如图,在△ABC 中,∠C=90°,D 是BC 的中点,AB=10,A C=6.求AD 的长度.20.求如图的Rt△ABC的面积.21.如图,∠AOB=90°,OA=90cm,OB=30cm,一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O,机器人立即从点B出发,沿直线匀速前进拦截小球,恰好在点C处截住了小球.如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等,那么机器人行走的路程BC是多少?22.一个25米长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时的AO距离为24米,如果梯子的顶端A沿墙下滑4米,那么梯子底端B也外移4米,对吗?为什么?23.铁路上A,B两站(视为直线上的两点)相距50km,C,D为两村庄(视为两个点),DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B(如图).已知DA=20km,CB=10km,现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E,使得C,D 两村庄到收购站E的直线距离相等,请你设计出收购站的位置,并计算出收购站E到A站的距离.24.如图,南北向MN为我国领海线,即MN以西为我国领海,以东为公海,上午9时50分,我国反走私A艇发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海开来,便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意.反走私艇A和走私艇C的距离是13海里,A、B两艇的距离是5海里;反走私艇B 测得距离C艇12海里,若走私艇C的速度不变,最早会在什么时候进入我国领海?25.已知在中,,,.(1)判断△ABC的形状,并说明理由;(2)试在下面的方格纸上补全△ABC,使它的顶点都在方格的顶点上。

北师大版八年级数学上册 第一章 勾股定理单元测试卷(含答案)

北师大版八年级数学上册 第一章 勾股定理单元测试卷(含答案)

第一章勾股定理单元测试卷一.选择题(共12小题)1.如图,四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直,若AB=3,BC=4,CD=5,则AD的长为()A.3B.4 C.2D.4(第1题) (第4题) (第5题)2.△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c,由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是()A.∠A+∠B=∠C B.∠A:∠B:∠C=1:2:3C.a2=c2﹣b2D.a:b:c=3:4:63.三角形的三边长a,b,c满足2ab=(a+b)2﹣c2,则此三角形是()A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等边三角形4.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,点D在BC上,∠ADC=2∠B,AD=,则BC 的长为()A.﹣1 B.+1 C.﹣1 D.+15.如图所示,△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上,BD⊥AC于点D,则BD的长为()A.B.C.D.6.以下列各组线段为边长,能构成直角三角形的是()A.1,1,B.3,4,5 C.5,10,13 D.2,3,47.如图,一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口2小时后,则两船相距()A.25海里B.30海里C.40海里D.50海里(第7题) (第9题) (第10题)8.△ABC中,边AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长是()A.42 B.32 C.42或32 D.不能确定9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=,BC=2,则这个直角三角形的面积为()A.3 B.6 C.D.10.如图,有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形,若大正方形面积是17,小正方形面积是5,直角三角形较长直角边为a,较短直角边为b,则ab的值是()A.4 B.6 C.8 D.1011.如图①所示,有一个由传感器A控制的灯,要装在门上方离地高4、5m的墙上,任何东西只要移至该灯5m及5m以内时,灯就会自动发光.请问一个身高1、5m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光?()A.4米B.3米C.5米D.7米(第11题) (第12题)12.如图表示的是一个十字路口,O是两条公路的交点,点A、B、C、D表示的是公路上的四辆车,若OC=8cm,AC=17cm,AB=5cm,BD=10m,则C,D两辆车之间的距离为()A.5m B.4m C.3m D.2m二.填空题(共5小题)13.如图,在△ABC中,AB=AC=4,AO=BO,P是射线CO上的一个动点,∠AOC=120°,则当△P AB为直角三角形时,AP的长为.(第13题) (第14题) (第15题) 14.如图,一架10米长的梯子斜靠在墙上,刚好梯顶抵达8米高的路灯.当电工师傅沿梯上去修路灯时,梯子下滑到了B′处,下滑后,两次梯脚间的距离为2米,则梯顶离路灯米.15.如图,将一根长24cm的筷子,置于底面直径为5cm,高为12cm的圆柱形茶杯中,设筷子露在杯子外面的长为acm(茶杯装满水),则a的取值范围是.16.如图,四边形ABCD中,AD=3,CD=4,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°,则BD的长为.17.如果矩形的周长是14cm,相邻两边长之比为3:4,那么对角线长为cm.三.解答题(共5小题)18.一架梯子长25米,斜靠在一面墙上,梯子底端离墙7米,(1)这个梯子的顶端距地面有多高?(2)如果梯子的顶端下滑了4米到A′,那么梯子的底端在水平方向滑动了几米?19.在△ABC中,CD是AB边上的高,AC=4,BC=3,DB=求:(1)求AD的长;(2)△ABC是直角三角形吗?为什么?20.如图,AB=BC=CD=DE=1,且BC⊥AB,CD⊥AC,DE⊥AD,求线段AE的长.21.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,边BC的垂直平分线DE交AB于点E,连接CE.求证:BE2=AC2+AE2.22.(1)如图(1),分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个正方形,其面积分别用S1,S2,S3表示,写出S1,S2,S3之间关系.(不必证明)(2)如图(2),分别以Rt△ABC三边为边向外作三个半圆,其面积分别用S1,S2,S3表示,确定它们的关系证明;(3)如图(3),分别以Rt△ABC三边为边向外作正三角形,其面积分别用S1,S2,S3表示,确定它们的关系并证明.参考答案一.选择题(共12小题)1.如图,四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直,若AB=3,BC=4,CD=5,则AD的长为()A.3B.4 C.2D.4【解答】解:在Rt△AOB中,AO2=AB2﹣BO2;Rt△DOC中可得:DO2=DC2﹣CO2;∴可得AD2=AO2+DO2=AB2﹣BO2+DC2﹣CO2=18,即可得AD==3.故选A.2.△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c,由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是()A.∠A+∠B=∠C B.∠A:∠B:∠C=1:2:3C.a2=c2﹣b2D.a:b:c=3:4:6【解答】解:A、∠A+∠B=∠C,又∠A+∠B+∠C=180°,则∠C=90°,是直角三角形;B、∠A:∠B:∠C=1:2:3,又∠A+∠B+∠C=180°,则∠C=90°,是直角三角形;C、由a2=c2﹣b2,得a2+b2=c2,符合勾股定理的逆定理,是直角三角形;D、32+42≠62,不符合勾股定理的逆定理,不是直角三角形.故选D.3.三角形的三边长a,b,c满足2ab=(a+b)2﹣c2,则此三角形是()A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等边三角形【解答】解:∵原式可化为a2+b2=c2,∴此三角形是直角三角形.故选:C.http://www、czsx、com、cn4.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,点D在BC上,∠ADC=2∠B,AD=,则BC 的长为()A.﹣1 B.+1 C.﹣1 D.+1【解答】解:∵∠ADC=2∠B,∠ADC=∠B+∠BAD,∴∠B=∠DAB,∴DB=DA=5,在Rt△ADC中,DC===1,∴BC=+1.故选D.5.如图所示,△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上,BD⊥AC于点D,则BD的长为()A.B.C. D.【解答】解:△ABC的面积=×BC×AE=2,由勾股定理得,AC==,则××BD=2,解得BD=,故选:A.6.以下列各组线段为边长,能构成直角三角形的是()A.1,1,B.3,4,5 C.5,10,13 D.2,3,4【解答】解:A、12+12≠()2,不能构成直角三角形,故此选项错误;B、32+42=52,能构成直角三角形,故此选项正确;C、52+102≠132,不能构成直角三角形,故此选项错误;D、22+32≠42,不能构成直角三角形,故此选项错误.故选B.7.如图,一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口2小时后,则两船相距()A.25海里B.30海里C.40海里D.50海里【解答】解:连接BC,由题意得:AC=16×2=32(海里),AB=12×2=24(海里),CB==40(海里),故选:C.8.△ABC中,边AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长是()A.42 B.32 C.42或32 D.不能确定【解答】解:此题应分两种情况说明:(1)当△ABC为锐角三角形时,在Rt△ABD中,BD===9,在Rt△ACD中,CD===5∴BC=5+9=14∴△ABC的周长为:15+13+14=42;(2)当△ABC为钝角三角形时,在Rt△ABD中,BD===9,在Rt△ACD中,CD===5,∴BC=9﹣5=4.∴△ABC的周长为:15+13+4=32∴当△ABC为锐角三角形时,△ABC的周长为42;当△ABC为钝角三角形时,△ABC的周长为32.综上所述,△ABC的周长是42或32.故选:C.9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=,BC=2,则这个直角三角形的面积为()A.3 B.6 C.D.【解答】解:∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=,BC=2,∴AC==3,∴这个直角三角形的面积=AC•BC=3,故选A.10.如图,有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形,若大正方形面积是17,小正方形面积是5,直角三角形较长直角边为a,较短直角边为b,则ab的值是()A.4 B.6 C.8 D.10【解答】解:根据勾股定理可得a2+b2=17,四个直角三角形的面积是:ab×4=17﹣5=12,即:ab=6.故选:B.11.如图①所示,有一个由传感器A控制的灯,要装在门上方离地高4、5m的墙上,任何东西只要移至该灯5m及5m以内时,灯就会自动发光.请问一个身高1、5m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光?()A.4米B.3米C.5米D.7米【解答】解:由题意可知.BE=CD=1、5m,AE=AB﹣BE=4、5﹣1、5=3m,BD=5m由勾股定理得CE==4m故离门4米远的地方,灯刚好打开,故选A.12.如图表示的是一个十字路口,O是两条公路的交点,点A、B、C、D表示的是公路上的四辆车,若OC=8cm,AC=17cm,AB=5cm,BD=10m,则C,D两辆车之间的距离为()A.5m B.4m C.3m D.2m【解答】解:在RT△AOC中,∵OA2+OC2=AC2,∴OA===15(m),∴OB=0A+AB=20m,在RT△BOD中,∵BD2=OB2+OD2,∴OD===10(m),∴CD=OD﹣OC=2m,故选:D.二.填空题(共5小题)13.如图,在△ABC中,AB=AC=4,AO=BO,P是射线CO上的一个动点,∠AOC=120°,则当△P AB为直角三角形时,AP的长为2或2.【解答】解:当∠APB=90°时,分两种情况讨论,情况一:如图1,∵AO=BO,∴PO=BO,∵∠AOC=120°,∴∠AOP=60°,∴△AOP为等边三角形,∴∠OAP=60°,∴∠∠PBA=30°,∴AP=AB=2;情况二:如图2,∵AO=BO,∠APB=90°,∴PO=BO,∵∠AOC=120°,∴∠BOP=60°,∴△BOP为等边三角形,∴∠OBP=60°,∴AP=AB•sin60°=4×=2;当∠BAP=90°时,如图3,∵∠AOC=120°,∴∠AOP=60°,∴AP=OA•tan∠AOP=2×=2.故答案为:2或2.14.如图,一架10米长的梯子斜靠在墙上,刚好梯顶抵达8米高的路灯.当电工师傅沿梯上去修路灯时,梯子下滑到了B′处,下滑后,两次梯脚间的距离为2米,则梯顶离路灯2米.【解答】解:在直角三角形AOB中,根据勾股定理,得:OB=6m,根据题意,得:OB′=6+2=8m.又∵梯子的长度不变,在Rt△A′OB′中,根据勾股定理,得:OA′=6m.则AA′=8﹣6=2m.15.如图,将一根长24cm的筷子,置于底面直径为5cm,高为12cm的圆柱形茶杯中,设筷子露在杯子外面的长为acm(茶杯装满水),则a的取值范围是11cm≤a≤12cm.【解答】解:当筷子与杯底垂直时h最大,h最大=24﹣12=12cm.当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时a最小,如图所示:此时,AB===13cm,故a=24﹣13=11cm.所以a的取值范围是:11cm≤a≤12cm.故答案是:11cm≤a≤12cm.16.如图,四边形ABCD中,AD=3,CD=4,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°,则BD的长为.【解答】解:作AD′⊥AD,AD′=AD,连接CD′,DD′,如图:∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD,即∠BAD=∠CAD′,在△BAD与△CAD′中,,∴△BAD≌△CAD′(SAS),∴BD=CD′.∠DAD′=90°由勾股定理得DD′==3,∠D′DA+∠ADC=90°由勾股定理得CD′==,∴BD=CD′=,故答案为:.17.如果矩形的周长是14cm,相邻两边长之比为3:4,那么对角线长为5cm.【解答】解:设矩形的相邻两边的长度分别为3acm,4acm,由题意3a+4a=7,a=1,所以矩形的相邻两边分别为3cm,4cm,所以对角线长==5cm,故答案为5.三.解答题(共5小题)18.一架梯子长25米,斜靠在一面墙上,梯子底端离墙7米,(1)这个梯子的顶端距地面有多高?(2)如果梯子的顶端下滑了4米到A′,那么梯子的底端在水平方向滑动了几米?【解答】解:(1)由题意得:AC=25米,BC=7米,AB==24(米),答:这个梯子的顶端距地面有24米;(2)由题意得:BA′=20米,BC′==15(米),则:CC′=15﹣7=8(米),答:梯子的底端在水平方向滑动了8米.19.在△ABC中,CD是AB边上的高,AC=4,BC=3,DB=求:(1)求AD的长;(2)△ABC是直角三角形吗?为什么?【解答】解:(1)∵CD⊥AB,∴∠CDB=∠CDA=90°,在Rt△BCD中,BC=3,DB=,根据勾股定理得:CD==,在Rt△ACD中,AC=4,CD=,根据勾股定理得:AD==;(2)△ABC为直角三角形,理由为:∵AB=BD+AD=+=5,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC为直角三角形.20.如图,AB=BC=CD=DE=1,且BC⊥AB,CD⊥AC,DE⊥AD,求线段AE的长.【解答】解:∵BC⊥AB,CD⊥AC,AC⊥DE,∴∠B=∠ACD=∠ADE=90°,∵AB=BC=CD=DE=1,∴在Rt△ACB中,AC═==,∴在Rt△ACD中,AD===,在Rt△ADE中,AE===2.21.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,边BC的垂直平分线DE交AB于点E,连接CE.求证:BE2=AC2+AE2.【解答】证明:∵如图,边BC的垂直平分线DE交AB于点E,∴CE=BE.∵在Rt△ABC中,∠A=90°,∴由勾股定理得到:CE2=AC2+AE2∴BE2=AC2+AE2.22.(1)如图(1),分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个正方形,其面积分别用S1,S2,S3表示,写出S1,S2,S3之间关系.(不必证明)(2)如图(2),分别以Rt△ABC三边为边向外作三个半圆,其面积分别用S1,S2,S3表示,确定它们的关系证明;(3)如图(3),分别以Rt△ABC三边为边向外作正三角形,其面积分别用S1,S2,S3表示,确定它们的关系并证明.【解答】解:(1)S2+S3=S1,由三个四边形都是正方形则:∵S3=AC2,S2=BC2,S1=AB2,∵三角形ABC是直角三角形,∴AC2+BC2=AB2,∴S2+S3=S1.(2)∵S3=AC2,S2=BC2,S1=AB2,∵三角形ABC是直角三角形,∴AC2+BC2=AB2,∴S2+S3=S1.(3)∵S1=AB2,S2=BC2,S3=AC2,∵三角形ABC是直角三角形,∴AC2+BC2=AB2,∴S2+S3=S1.。

2022-2023学年北师大版八年级数学上册第1章勾股定理单元测试题含答案

2022-2023学年北师大版八年级数学上册第1章勾股定理单元测试题含答案

第1章勾股定理一.选择题(共8小题,满分32分)1.在△ABC中,∠A=25°,∠B=65°,则下列式子成立的是()A.AC2+AB2=BC2B.AB2+BC2=AC2C.AC2﹣BC2=AB2D.AC2+BC2=AB22.在△ABC中,AB=30,AC=25,高AD=24,则BC的长是()A.25B.18C.25或11D.25或183.如图,字母A所代表的正方形的面积是()A.12B.13C.25D.1944.在下列长度的各组线段中,能构成直角三角形的是()A.3,4,5B.7,8,10C.5,12,14D.1,1,25.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=8,点P是边BC上的动点,则AP的长不可能为()A.5B.6C.7D.96.如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少为()A.4米B.8米C.9米D.7米7.勾股定理被誉为“几何明珠”,如图是我国古代著名的“赵爽弦图”,它由4个全等的直角三角形拼成,已知大正方形面积为25,小正方形面积为1,若用a、b表示直角三角形的两直角边(a>b),则下列说法:①a2+b2=25,②a﹣b=1,③ab=12,④a+b=7.正确的是()A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④8.如图,一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上,测得AO=4m,若梯子的顶端沿墙下滑1m,这时梯子的底端也下滑1m,则梯子AB的长度为()A.5m B.6m C.3m D.7m二.填空题(共9小题,满分36分)9.△ABC中,AC=8,BC=6,在△ABE中,DE为AB边上的高,DE=12,S△ABE=60,则AB=,∠C=°.10.一个直角三角形的两条直角边分别为3cm,4cm,则这个直角三角形斜边上的高为cm.11.某住宅小区有一块草坪如图所示,已知AB=3米,BC=4米,CD=12米,DA=13米,且AB⊥BC,这块草坪的面积是米2.12.已知直角三角形斜边长为10cm,周长为22cm,则此直角三角形的面积为.13.如图,已知△ABC中,AB=6,AC=9,AD⊥BC于D,M为AD上任一点,则MC2﹣MB2=.14.如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20分米,3分米和2分米,A和B是这个台阶的两个端点,A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物,则它所走的最短路线长度为.15.如图,要在河边l上修建一个水泵站,分别向A村和B村送水,已知A村、B村到河边的距离分别为2km和7km,且AB两村庄相距13km,则铺设水管的最短长度是km.16.如图,将一根长为20cm的吸管,置于底面直径为5cm,高为12cm的圆柱形水杯中,设吸管露在杯子外面的长度是为hcm,则h的取值范围是.17.已知在△ABC中,AB=13cm,AC=15cm,高AD=12cm.则△ABC的周长为.三.解答题(共7小题,满分58分)18.如图,有两根长杆隔河相对,一杆高3m,另一杆高2m,两杆相距5m.两根长杆都与地面垂直,现两杆顶部各有一只鱼鹰,它们同时看到两杆之间的河面上E处浮出一条小鱼,于是同时以同样的速度飞下来夺鱼,结果两只鱼鹰同时叼住小鱼.求两杆底部距小鱼的距离各是多少米.(假设小鱼在此过程中保持不动)19.如图是“赵爽弦图”,其中△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形,四边形ABCD 和EFGH都是正方形,根据这个图形的面积关系,可以证明勾股定理.设AD=c,AE=a,DE=b,取c =10,a﹣b=2.(1)正方形EFGH的面积为,四个直角三角形的面积和为;(2)求(a+b)2的值.20.如图,∠C=90°,AC=3,BC=4,AD=12,BD=13.(1)求AB的长;(2)求∠BAD的度数.21.一根直立于水中的芦节(BD)高出水面(AC)2米,一阵风吹来,芦苇的顶端D恰好到达水面的C处,且C到BD的距离AC=6米,求水的深度(AB)为多少米?22.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8cm,BC=6cm,CD⊥AB于D,求:(1)斜边AB的长;(2)△ABC的面积;(3)高CD的长.23.在一条东西走向河的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中AB=AC,由于某种原因,由C到A的路现在已经不通,某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在一条直线上),并新修一条路CH,测得CB=3千米,CH=2.4千米,HB=1.8千米.(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路?(即问:CH与AB是否垂直?)请通过计算加以说明;(2)求原来的路线AC的长.24.在一款名为超级玛丽的游戏中,玛丽到达一个高为10米的高台A,利用旗杆顶部的绳索,划过90°到达与高台A水平距离为17米,高为3米的矮台B,(1)求高台A比矮台B高多少米?(2)求旗杆的高度OM;(3)玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN.参考答案一.选择题(共8小题,满分32分)1.解:在△ABC中,∠A=25°,∠B=65°,∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=90°,∴△ABC是直角三角形,∴AC2+BC2=AB2,故选项D正确,选项A、B、C错误,故选:D.2.解:如图1,在Rt△ABD中,BD===18,在Rt△ADC中,CD===7,∴BC=BD+CD=18+7=25,如图2,BC=BD﹣CD=18﹣7=11,综上所述,BC的长为25或11,故选:C.3.解:由勾股定理得:字母A所代表的正方形的面积=169﹣144=25.故选:C.4.解:A、∵32+42=25,52=25,∴32+42=52,∴3,4,5能构成直角三角形,故A符合题意;B、∵72+82=113,102=100,∴72+82≠102,∴7,8,10不能构成直角三角形,故B不符合题意;C、∵52+122=169,142=196,∴52+122≠142,∴5,12,14不能构成直角三角形,故C不符合题意;D、∵1+1=2,∴1,1,2不能构成三角形,故D不符合题意;故选:A.5.解:∵AB=10,BC=8,∴AC==6,则6≤AP≤10,∴AP长不可能是5,故选:A.6.解:由勾股定理得:楼梯的水平宽度==4(米),∵地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和,地毯的长度至少是3+4=7(米).故选:D.7.解:由图可得,a2+b2=c2=25,故①正确;∵小正方形面积为1,∴小正方形的边长为1,∴a﹣b=1,故②正确;∵大正方形面积为25,小正方形面积为1,∴ab=(25﹣1)÷4,解得ab=12,故③正确;∵a2+b2=25,ab=12,∴(a+b)2=a2+2ab+b2=49,∴a+b=7,故④正确;故选:D.8.解:设BO=xm,由题意得:AC=1m,BD=1m,AO=4m,在Rt△AOB中,根据勾股定理得:AB2=AO2+OB2=42+x2,在Rt△COD中,根据勾股定理得:CD2=CO2+OD2=(4﹣1)2+(x+1)2,∴42+x2=(4﹣1)2+(x+1)2,解得:x=3,∴AB===5(m),即梯子AB的长为5m,故选:A.二.填空题(共9小题,满分36分)9.解:∵S△ABE=60,∴AB•DE=60,即×AB×12=60,解得:AB=10,∵AC2+BC2=82+62=100,AB2=102=100,∴AC2+BC2=AB2,∴∠C=90°,故答案为:10,90.10.解:设斜边上的高为h,∵直角三角形的两条直角边为4cm,3cm,∴斜边的长==5cm,∴3×4=5h,解得h=.故答案为:.11.解:连接AC,如图,∵AB⊥BC,∴∠ABC=90°,∵AB=3米,BC=4米,∴AC=5米,∵CD=12米,DA=13米,∴△ACD为直角三角形,∴草坪的面积等于=S△ABC+S△ACD=3×4÷2+5×12÷2=6+30=36米2.故答案为36.12.解:∵直角三角形斜边长为10cm,周长为22cm,∴设一条直角边为acm,另一条直角边为bcm,∴a+b=22﹣10=12(cm),a2+b2=102=100,∴(a+b)2=a2+b2+2ab=12×12=144,∴2ab=144﹣(a2+b2)=144﹣100=44,∴ab=11.∴此三角形的面积为11cm2.故答案为:11cm2.13.解:在Rt△ABD和Rt△ADC中,BD2=AB2﹣AD2,CD2=AC2﹣AD2,在Rt△BDM和Rt△CDM中,BM2=BD2+MD2=AB2﹣AD2+MD2,MC2=CD2+MD2=AC2﹣AD2+MD2,∴MC2﹣MB2=(AC2﹣AD2+MD2)﹣(AB2﹣AD2+MD2)=AC2﹣AB2=45.故答案为:45.14.解:三级台阶平面展开图为长方形,长为20分米,宽为(2+3)×3分米,则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长.可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x分米,由勾股定理得:x2=202+[(2+3)×3]2=252,解得:x=25.答:蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是25分米.故答案为:25分米.15.解:作点A关于河边所在直线l的对称点A′,连接A′B交l于P,则点P为水泵站的位置,此时,(P A+PB)的值最小,即所铺设水管最短;过B点作l的垂线,过A′作l的平行线,设这两线交于点C,过A作AE⊥BC于E,则四边形AA′CE和四边形AMNE是矩形,∴EN=AM=2,EC=AA′=2+2=4,A′C=AE,在Rt△ABE中,依题意得:BE=BN﹣EN=7﹣2=5,AB=13,根据勾股定理可得:AE==12,在Rt△B A′C中,BC=BE+EC=5+4=9,A′C=12,根据勾股定理可得:A′B===15,∵P A=P A′,∴P A+PB=A′B=15(km),故答案为:15.16.解:如图,当吸管、底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形时,h最短,此时AB==13,故h最短=20﹣13=7(cm);当吸管竖直插入水杯时,h最大,此时h最大=20﹣12=8(cm).故答案为:7≤h≤8.17.32cm或42cm解:分两种情况说明:(1)当△ABC为锐角三角形时,在Rt△ABD中,BD===5,在Rt△ACD中,CD===9,∴BC=5+9=14,∴△ABC的周长为:15+13+14=42(cm);(2)当△ABC为钝角三角形时,BC=BD﹣CD=9﹣5=4.∴△ABC的周长为:15+13+4=32(cm);故答案为:42cm或32cm.三.解答题(共7小题,满分52分)18.解:由题意可得:AE=DE,则AB2+BE2=EC2+DC2,故22+BE2=(5﹣BE)2+32,解得:BE=3,则EC=5﹣3=2(m),答:两杆杆底到E处的水平距离分别是3m和2m.19.解:(1)∵HE=a﹣b=2,∴S正方形EFGH=HE2=4,∵AD=c=10,∴S正方形ABCD=AD2=100,∴四个直角三角形的面积和=S正方形ABCD﹣S正方形EFGH=100﹣4=96,故答案为:4;96;(2)由(1)可知四个直角三角形的面积和为96,∴4×ab=96,解得2ab=96,∵a2+b2=c2=100,∴(a+b)2=a2+b2+2ab=100+96=196.20.解:(1)∵在△ABC中,∠C=90°,∴AB2=CB2+AC2=42+32=52,∴AB=5;(2)在△ABD中,AB2+AD2=52+122=132,∴AB2+AD2=BD2,∴△ABD为直角三角形,∴∠BAD=90°.21.解:∵先设水深为x,则AB=x,BC=(x+2),∵AC=6米,在△ABC中,AB2+AC2=BC2,即62+x2=(x+2)2,解得x=8(米).答:水深AB为8米.22.解:(1)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8cm,BC=6cm,∴AB==10cm;(2)△ABC的面积=AC•BC=×6×8=24cm2;(3)由(2)可知,AC•BC=CD•AB=24,∴CD=4.8(cm).23.解:(1)是,理由是:在△CHB中,∵CH2+BH2=(2.4)2+(1.8)2=9BC2=9∴CH2+BH2=BC2∴CH⊥AB,所以CH是从村庄C到河边的最近路(2)设AC=x在Rt△ACH中,由已知得AC=x,AH=x﹣1.8,CH=2.4由勾股定理得:AC2=AH2+CH2∴x2=(x﹣1.8)2+(2.4)2解这个方程,得x=2.5,答:原来的路线AC的长为2.5千米.24.解:(1)10﹣3=7(米)(2)如图:作AE⊥OM,BF⊥OM,∵∠AOE+∠BOF=∠BOF+∠OBF=90°∴∠AOE=∠OBF在△AOE和△OBF中,,∴△AOE≌△OBF(AAS),∴OE=BF,AE=OF即OE+OF=AE+BF=CD=17(m)∵EF=EM﹣FM=AC﹣BD=10﹣3=7(m),∴2EO+EF=17,则2×EO=10,所以OE=5m,OF=12m,所以OM=OF+FM=15m(3))由勾股定理得OB=OA=ON=13,∴MN=15﹣13=2(m).答:玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为2米。

八年级数学上册第一章《勾股定理》单元测试题-北师大版(含答案)

八年级数学上册第一章《勾股定理》单元测试题-北师大版(含答案)

试卷第1页,共8页 八年级数学上册第一章《勾股定理》单元测试题-北师大版(含答案)一、单选题(本大题共12小题,每小题3分,共36分)1.学习了勾股定理之后,老师给大家留了一个作业题,小明看了之后,发现三角形各边都不知道,无从下手,心中着急.请你帮助一下小明.如图,ABC 的顶点A ,B ,C 在边长为1的正方形网格的格点上,BD AC ⊥于点D ,则BD 的长为( )A .45B .85C .165D .2452.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲,如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形,设直角三角形较长直角边长为a ,较短直角边长为b ,若()221a b +=,小正方形的面积为5,则大正方形的面积为( )A .12B .13C .14D .153.如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,此图是由四个全等的直角三角形拼接而成,其中5AE =,13BE =,则2EF 的值是( )试卷第2页,共8页A .128B .64C .32D .1444.如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形,若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3,则中间小正方形的周长是( )A .4B .8C .12D .165.往直径为26cm 的圆柱形容器内装入一些水以后,截面如图所示.若水面宽24cm AB =,则水的最大深度为( )A .8cmB .10cmC .16cmD .20cm6.如图,圆柱的底面周长为12cm ,AB 是底面圆的直径,在圆柱表面的高BC 上有一点D ,且10cm BC =,2cm DC =.一只蚂蚁从点A 出发,沿着圆柱体的表面爬行到点D 的最短路程是( )cm .A .14B .12C .10D .87.观察“赵爽弦图”(如图),若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a ,b ,a b >,根据图中图形面积之间试卷第3页,共8页 的关系及勾股定理,可直接得到等式( )A .2()a a b a ab -=-B .22()()a b a b a b +-=-C .222( )2a b a ab b -=-+D .222()2a b a ab b +=++8.我们知道,如果直角三角形的三边的长都是正整数,这样的三个正整数就叫做一组勾股数.如果一个正整数c 能表示为两个正整数a ,b 的平方和,即22c a b =+,那么称a ,b ,c 为一组广义勾股数,c 为广义斜边数,则下面的结论:①m 为正整数,则3m ,4m ,5m 为一组勾股数;①1,2,3是一组广义勾股数;①13是广义斜边数;①两个广义斜边数的和是广义斜边数;①若2222,12,221a k k b k c k k =+=+=++,其中k 为正整数,则a ,b ,c 为一组勾股数;①两个广义斜边数的积是广义斜边数.依次正确的是( )A .①①①B .①①①①C .①①①D .①①①9.如图, Rt AED △中,90,,3,11AED AB AC AD EC BE ∠=====,则ED 的值为( )A 33B 34C 35D 37110.如图,在①ABC 中,AB =2,①ABC =60°,①ACB =45°,D 是BC 的中点,直线l 经过点D ,AE ①l ,BF ①l ,垂足分别为E ,F ,则AE +BF 的最大值为( )试卷第4页,共8页AB .C .D .11.在Rt①ABC 中,①C =90°,AC =10,BC =12,点D 为线段BC 上一动点.以CD 为①O 直径,作AD 交①O 于点E ,则BE 的最小值为( )A .6B .8C .10D .1212.中国古代称直角三角形为勾股形,如果勾股形的三边长为三个正整数,则称三边长叫“勾股数”;如果勾股形的两直角边长为正整数,那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论:①20是“整弦数”;①两个“整弦数”之和一定是“整弦数”;①若c 2为“整弦数”,则c 不可能为正整数;①若m =a 12+b 12,n =a 22+b 22,11a b ≠22a b ,且m ,n ,a 1,a 2,b 1,b 2均为正整数,则m 与n 之积为“整弦数”;①若一个正奇数(除1外)的平方等于两个连续正整数的和,则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”.其中结论正确的个数为( )A .1个B .2个C .3个D .4个二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)13.如图,OE ①AB 于E ,若①O 的半径为10,OE =6,则AB =_______.试卷第5页,共8页14.一根直立于水中的芦节(BD )高出水面(AC )2米,一阵风吹来,芦苇的顶端D 恰好到达水面的C 处,且C 到BD 的距离AC =6米,水的深度(AB )为________米15.学习完《勾股定理》后,尹老师要求数学兴趣小组的同学测量学校旗杆的高度.同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面并多出了一段,但这条绳子的长度未知.如图,经测量,绳子多出的部分长度为1米,将绳子沿地面拉直,绳子底端距离旗杆底端4米,则旗杆的高度为______米.16.已知2(4)5y x x -+,当分别取1,2,3,……,2020时,所对应y 值的总和是__________.17.一个数的平方根是4a 和25a +,则=a _________,这个正数是_________.18.已知a 、b 、c 是一个三角形的三边长,如果满足2(3)450a b c ---=,则这个三角形的形状是_______.试卷第6页,共8页19732x y --,则2x ﹣18y 2=_____.20.爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题:已知,如图一个棱长为8cm 无盖的正方体铁盒,小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具,他先把甲虫放在正方体盒子外壁A 处,然后遥控甲虫从A 处出发沿外壁面正方形ABCD 爬行,爬到边CD 上后再在边CD 上爬行3cm ,最后在沿内壁面正方形ABCD 上爬行,最终到达内壁BC 的中点M ,甲虫所走的最短路程是 ______cm三、解答题(本大题共5小题,每小题8分,共40分)21.长清的园博园广场视野开阔,阻挡物少,成为不少市民放风筝的最佳场所,某校七年级(1)班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后,为了测得风筝的垂直高度CE ,他们进行了如下操作:①测得水平距离BD 的长为15米;①根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC 的长为25米;①牵线放风筝的小明的身高为1.6米.(1)求风筝的垂直高度CE ;(2)如果小明想风筝沿CD 方向下降12米,则他应该往回收线多少米?试卷第7页,共8页22.在一条东西走向河的一侧有一村庄C ,河边原有两个取水点A ,B ,其中AB =AC ,由于种种原因,由C 到A 的路现在已经不通了,某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H (A ,H ,B 在一条直线上),并新修一条路CH ,测得CB =3千米,CH =2.4千米,HB =1.8千米.(1)问CH 是不是从村庄C 到河边的最近路,请通过计算加以说明;(2)求原来的路线AC 的长.23.如图,一棵竖直生长的竹子高为8米,一阵强风将竹子从C 处吹折,竹子的顶端A 刚好触地,且与竹子底端的距离AB 是4米.求竹子折断处与根部的距离CB .24.太原的五一广场视野开阔,是一处设计别致,造型美丽的广场园林,成为不少市民放风筝的最佳场所,某校八年级(1)班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后,为了测得图中风筝的高度CE ,他们进行了如下操作: ①测得BD 的长为15米(注:BD CE );①根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC 的长为25米;①牵线放风筝的小明身高1.7米.(1)求风筝的高度CE.(2)过点D作DH BC⊥,垂足为H,求BH的长度.25.(12,其中4x=.(2)已知x=y=,求22x xy y-+值.试卷第8页,共8页参考答案1.C2.B3.A4.B5.A6.C7.C8.D9.A10.A11.B12.C13.1614.815.7.5;16.203217.-3118.直角三角形19.2220.1621.(1)风筝的高度CE为21.6米;(2)他应该往回收线8米.22.(1)是;(2)2.5米.23.3米24.(1)风筝的高度CE为21.7米(2)BH的长度为9米25.(1)62,122x(2)11答案第1页,共1页。

新版北师大版八年级数学上册第1章《勾股定理》单元测试试卷及答案(1)

新版北师大版八年级数学上册第1章《勾股定理》单元测试试卷及答案(1)

D C B A FE D C B A 新版北师大版八年级数学上册第1章《勾股定理》单元测试试卷及答案(1)一、填空题(1. 如图,在长方形ABCD 中,已知BC=10cm ,AB=5cm ,则对角线BD= cm 。

2. 如图,在正方形ABCD 中,对角线为22,则正方形边长为 。

3. 把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍,则其斜边扩大到原来的 。

4. 三角形中两边的平方差恰好等于第三边的平方,则这个三角形是 三角形。

5. 飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到小刚头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离小刚5000米,则飞机每小时飞行 千米。

6. 在Rt △ABC 中,∠C=90°,若a:b=3:4,c=20,则a= ,b= 。

7. 已知一个直角三角形的两边长分别是3和4,则第三边长为 。

8. 如图所示,在矩形ABCD 中,AB=16,BC=8,将矩形沿AC 折叠,点D 落在点E 处,且CE 与AB 交于点F ,那么AF= 。

9. 如图,将一根长24cm 的筷子,置于底面直径为5cm ,高为12cm 的圆柱形茶杯中,设筷子露在杯子外面的长为acm (茶杯装满水),则a 的取值范围是 。

10. 如图,数轴上有两个Rt △ABC 、Rt △ABC ,OA 、OC 是斜边,且OB=1,AB=1,CD=1,OD=2,分别以O 为圆心,OA 、OC 为半径画弧交x 轴于E 、F ,则E 、F 分别对应的数是 。

11. 一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行,另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行,则一个半小时后两船相距 海里。

12. 所谓的勾股数就是指使等式a 2+b 2=c 2成立的任何三个自然数。

我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法,即对于任意正整数m 、n (m >n ),取a=m 2-n 2,b=2mn ,c=m 2+n 2,则a 、b 、c 就是一组勾股数。

北师版八上数学 第一章 勾股定理 单元测试卷(含答案)

北师版八上数学 第一章 勾股定理 单元测试卷(含答案)

北师版八上数学第一章勾股定理单元测试卷姓名:__________班级:__________考号:__________一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共15分。

在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1.下列由线段a、b、c组成的三角形,不是直角三角形的是()A.=345a b c==,,B.45 133 a b c===,,C.91215a b c===,,D.2a b c===,,2.如图,已知正方形ABED与正方形BCFE,现从A,B,C,D,E,F六个点中任取三个点,使得这三个点能作为直角三角形的三个顶点,则这样的直角三角形共有()A.10B.12C.14D.163.已知ABC△的三边长分别为5,13,12,则ABC△的面积为()A.30B.60C.78D.不能确定4.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍,那么斜边扩大到原来的()A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍5.已知三角形的三边长为n、n+1、m(其中m2=2n+1),则此三角形().A.一定是等边三角形B.一定是等腰三角形C.一定是直角三角形D.形状无法确定6.如图所示,在ABC∆中,三边a b c,,的大小关系是()A.a b c << B.c a b <<C.c b a << D.b a c<<7.如图,梯子AB 斜靠在墙面上,AC BC AC BC ⊥=,,当梯子的顶端A 沿AC 方向下滑x 米时,梯足B 沿CB 方向滑动y 米,则x 与y 的大小关系是()A.x y =B.x y >C.x y <D.不确定8.以三角形三边为直径向外作三个半圆,若较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积,则这个三角形是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形或钝角三角形9.若三角形中两边的垂直平分线的交点正好落在第三条边上,则这个三角形是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形10.如图,在由单位正方形组成的网格图中标有AB ,CD ,EF ,GH 四条线段,其中能构成一个直角三角形三边的线段是()A.CD ,EF ,GHB.AB ,EF ,GH C.AB ,CD ,GHD.AB ,CD ,EFF HG E D BC A二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)11.如图,正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的ABC △是______三角形.12.△ABC 中,∠C =90°,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边.(1)若a =5,b =12,则c =______;(2)若c =41,a =40,则b =______;(3)若∠A =30°,a =1,则c =______,b =______;(4)若∠A =45°,a =1,则b =______,c =______.14.在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C 的对边分别为a、b、c,若c-a=4,b=16,则a、c 分别为.15.已知ABC ∆的A B C ∠∠∠,,的对边分别是a b c ,,,且满足()22220a b a b c -++-=,则三角形ABC 的形状是.三、解答题(本大题共7小题,共55分)16.已知:三角形ABC 中,∠A =90°,AB =AC ,D 为BC 的中点,(1)如图,E ,F 分别是AB ,AC 上的点,且BE =AF ,求证:△DEF 为等腰直角三角形;(2)若E,F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF是否仍为等腰直角三角形?证明你的结论.17.如图,ON是垂直于地面OM的墙面,AB是一根斜靠在墙面上长为a的木条,当木条端点A沿墙面下滑时,B沿地面向右滑行⑴设木条AB的中点为P,试判断木条滑行过程中,墙角处点O到P的距离怎样变化?说明理由⑵木条在什么位置时,ABO的面积最大?最大面积为多少?18.如图,已知CA⊥AB,DB⊥AB,AC=BE,AE=BD.(1)试猜想线段CE与DE的大小与位置关系,并说明你的结论;(2)若AC=5,BD=12,求CE的长.19.如图,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求EC的长.20.已知a b c ,,为ABC △的三边,且()()()::2:7:1a c a b c b -+-=-,试判断△ABC 的形状.21.阅读理解题:(1)如图所示,在ABC △中,AD 是BC 边上的中线,且12AD BC =.求证:90BAC ∠=︒(2)此题实际上是直角三角形的另一个判定定理,请你用文字语言叙述出来.(3)直接运用这个结论解答下列题目:一个三角形一边长为2,这边上的中线长为1,另两边之和为13,求这个三角形的面积.22.如图,Rt ABC ∆中,90CAB ∠=︒,AB AC =,E 、F 为BC 上的点,且45EAF ∠=︒,求证:222EF BE FC =+.F E CB A答案解析一、选择题1.D2.C;可得到14个直角三角形,分别为ABE △、ADE △、ABD 、△BED 、△BCE CFE 、、△△BCF BEF 、、△△ACF ADF ACD CDF AEC DBF、、、、、△△△△△△3.A;∵22251213+=,∴三角形为直角三角形,∵长为5,12的边为直角边,∴三角形的面积=12×5×12=30.4.B5.C6.D;a =10b 5,c =13.选D.()()2222a a a x a y +=-++化简得()2220a x y x y -=+>,x y>8.B;设最大半圆半径为c ,最小半圆半径为a ,第三个半圆半径为b ,则三角形中最长边为2c ,最短边长为2a ,第三边为2b ;∵较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积,222222a b c πππ+=化简得:222a b c +=∴()()()222222a b c +=,符合勾股定理的逆定理,即三角形为直角三角形.9.B10.B;8AB =,20CD =5EF =13GH =,选B.二、填空题11.直角12.(1)13;(2)9;(3)2,3;(4)1,2.13.182cm ;设AB 为3x ,BC 为4x ,AC 为5x ,∵周长为36,AB +BC +AC =36,∴3x +4x +5x =36得x =3∴AB =9,BC =12,AC =15∵222AB BC AC +=,∴ABC △是直角三角形过3秒时,936236BP BQ =-==⨯=,∴()2119361822PBQ S BP BQ cm =⨯=⨯-⨯=△.14.a =30,c =3415.等腰直角三角形;因为222a b a b c =+=,,所以为等腰直角三角形三、解答题16.(1)先连接AD ,构造全等三角形:△BED 和△AFD .AD 是等腰直角三角形ABC 底边上的中线,所以有∠CAD =∠BAD =45°,AD =BD =CD ,而∠B =∠C =45°,所以∠B =∠DAF ,再加上BE =AF ,AD =BD ,可证出:△BED ≌△AFD ,从而得出DE =DF ,∠BDE =∠ADF ,从而得出∠EDF =90°,即△DEF 是等腰直角三角形;(2)还是证明:△BED ≌△AFD ,主要证∠DAF =∠DBE (∠DBE =180°-45°=135°,∠DAF =90°+45°=135°),再结合两组对边对应相等,所以两个三角形全等.17.⑴木条在滑行过程中,墙角处点O 到P 的距离保持不变,连结OP ,因为木条在滑行过程中,ABO ∆始终是以AB 为斜边的直角三角形,所以斜边上的中线1122OP AB a ==⑵设Rt ABO ∆中AB 边上的高为h ,则12ABC S ah ∆=,在木条滑动的过程中,三角形的面积随h 的变化而变化,显然除OH 与OP 重合外,总有OH OP <,即12h a <,当Rt ABO ∆是等腰直角三角形时,OH 与OP 重合,h 取得最大值12a ,这时三角形的面积最大,所以当木条与底面夹角为45︒时,ABO ∆的面积最大,最大面积为211112224ABC S ah a a a ∆==⋅=18.(1)易证△CAE∽△EBD,∴∠CEA+∠BED=∠CEA+∠ACE=90°,∴∠CED=90°,∴CE⊥DE(2)由(1)可知AC =5,AE =BD =12,∴CE =1319.EC=3cm;设EC=x,则6,CF=4.在Rt CEF △中(8-x)2=x 2+42,解得x=320.∵()():2:7a c a b -+=-∴9270a b c +-=①∵()():2:1a c c b --=-∴20a b c -+=②∵()():7:1a b c b +-=∴870a b c +-=③∵①+②得:3:5a c =,①-③得:3:4a b =∴::3:4:5a b c =∴△ABC 是直角三角形.21.(1)∵BD =CD ,AD =12BC ,∴AD =BD =DC ,∴∠B =∠BAD ,∠C =∠CAD ,∵∠B +∠BAD +∠CAD +∠C =180°,∴∠BAD +∠CAD =90°,即∠BAC =90°.(2)根据题意用语言表述为:如果三角形斜边上的中线等于斜边的一半,那么这个三角形是直角三角形.(3)因为一个三角形一边长为2,这边上的中线长为1,所以这个三角形为直角三角形,又∵1AB AC +=+∴()24AB AC +=+,2224AB AB AC AC +⨯+=+即224AB AC BC ⨯+=+,AB AC ⨯=∴直角三角形的面积可得2.22.过点A 作线段AD ,使CAF BAD ∠=∠,且AD AF =.在ACF ∆和ABD ∆中,AC AB CAF BAD AF AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACF ABD∆∆≌∴CF BD =,DBA FCA∠=∠90DBE DBA ABE FCA ABE ∠=∠+∠=∠+∠=︒在ADE ∆和AFE ∆中,45AE AE EAF EAD AD AF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴ADE AFE ∆∆≌∴ED EF =在Rt BDE ∆中,222DE BD BE =+,∴222EF BE FC =+.D F E C B A。

北师大版八年级数学勾股定理单元测试1

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北师大版八年级数学勾股定理单元测试1姓名_____________班级____________学号____________分数_____________按住ctrl 键 点击查看更多初中八年级资源1 .一、选择题:(每小题4分,共计20分)1.如图1,在山坡上种树,沿山坡走了10米,高度上升了6米,如果要求树的株距(相邻两棵树之间的水平距离)是4米,那么,斜坡上相邻两棵树之间的坡面距离应是 ( )A .10米B .6米C .5米D .4米 .图15米,13米长的梯子可以达到建筑物的高度是( ) A .12米 B .13 米 C .14米 D .15米.3.如图2,是一块长、宽、高分别是4cm ,2cm 和1cm A 处,沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物,那么它需要爬行的最短路径的长是( ) A .5cm B .5.4cm C .6.1cm D .7cm .、底边和高的长,但他把这三个数据与其它的数据弄混了,请你帮助他找出来,是第( )组( ) A .13,12,12 B .12,12,8 C .13,10,12 D .5,8,4. 5.如图3, 一个高,宽的大门,需要在相对的顶点间用一条木板加固,则这条木板的长度是( ) A . B . C .4米 D .二、填空题(每小题4分,共计32分)70cm 的长的木棒放到一个长、宽、高分别为50cm 、40cm 、30cm 的木箱中,他能放进去吗?_______. 1200米,接着向正东方向走到离家2000米远的地方,这时,李明向正东方向走了______米.8.如图5,小明将一张长为20cm,宽为15cm 的长方形纸剪去了一角,量得AB=3cm,CD=4cm,则剪去的直角三角形的斜边长为_______.图2图3图5 图6 图79.王师傅在操场上安装一副单杠,要求单杠与地面平行,杠与两撑脚垂直,如图6所示,撑脚长A B.DC 为3m,两撑脚间的距离BC为4m,则AC=____m就符合要求.10.如图7,一架云梯长10米,斜靠在一面墙上,梯子顶端离地面6米,要使梯子顶端离地面8米,则梯子的底部在水平面方向要向左滑动_____米.11.如图8,是一长方形公园,如果某人从景点A走到景点C,则至少要走_____米.图8 图9 图1012.在一棵树上的10米高处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A处,另一只猴子爬到树顶D后直接跃到A处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树______米.13.如图10是一个三级台阶,它的每一级长、宽、高分别是2米、、, A.B是这个台阶上两个相对的端点,A点有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物,则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是______米.三、解答题(本题共计48分)14.如图,某人欲垂直横渡一条河,由于水流的影响,他实际上岸地点C偏离了想要达到的B点140米,(即BC=140米),其结果是他在水中实际游了500米(即AC=500米),求该河AB处的宽度.15.我们古代数学中有这样一道数学题:有一棵枯树直立在地上,树高2丈,粗3尺,有一根藤条从树根处缠绕而上,缠绕7周到达树顶,(如图)请问这根藤条有多长?(注:枯树可以看成圆柱;树粗3尺,DBA指的是:圆柱底面周长为3尺,1丈=10尺).16.如图,将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上,旗杆从旗顶到地面的高度为320cm, 在无风的天气里,彩旗自然下垂,如图. 求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h .彩旗完全展平时的尺寸如左图的长方形(单位:cm).17.如图,一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马,而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少?18.如图,在波平如镜的湖面上,有一朵盛开的美丽的红莲,它高出水面3尺.突然一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵刚好齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为6尺,请问水深多少?12090 AB 小河东北牧童 小屋2.6m4mAB 4219. 如图所示,某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆,下方是长方形的仿古通道,现有一辆卡车装满家具后,高4米,宽,请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道.、图2中的每个小正方形的边长都是1,在图1中画出一个面积是3的直角三角形;在图2中画出一个面积是5的四边形.21. 如图所示,某人到岛上去探宝,从A处登陆后先往东走4km,又往北走,遇到障碍后又往西走2km,再转向北走到处往东一拐,仅走就找到宝藏.问登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是多少?图1 图2北师大版八年级数学勾股定理单元测试1参考答案1 .答案:一、选择题:(每小题4分,共计20分)1.解析:坡面距离就是斜坡的长. 沿山坡走了10米,高度上升了6米, 则其水平距离为8(米);设斜坡上相邻两棵树之间的坡面距离是x 米, 则由题意知1084x=,所以x=5. 答案: C .2.解析:13米长的梯子可以达到建筑物的高度可设为x 米, 因梯子的底端离建筑物5米,由勾股定理得: x 2=132-52,x=12米. 答案:A .3.解析:因为平面展开图不唯一,故分情况分别计算,进行大、小比较,再从各个路线中确定最短的路线.(1)展开前面右面由勾股定理得AB 2=22(24)137++=;(2) 展开前面上面由勾股定理得AB 2=22(14)229++=;(3)展开左面上面由勾股定理得AB 2=22(21)425++=;所以最短路径的长为5cm . 答案:( ) A .4.解析:等腰三角形的高把等腰三角形分成两个直角三角形, 腰为斜边,高和底边长一半为直角边,因此由三角形三边关系及勾股定理可知( )A . 132≠122+62, B .122≠82+62, C .132=122+52, D .52≠42+42. 答案: C .ABC图45.解析:如图,此题可运用勾股定理解决,设这条木板的长度为x米,由勾股定理得:x222,解得x=3.9.答案: B.二、填空题(每小题4分,共计32分)6.解析:在长方体的盒子中,一角的顶点与斜对的不共面的顶点的距离最大.因此可设放入长方体盒子中的最大长度是x㎝,根据题意,得x2 =502+40 2 +3022 =4900,因为4900<5000,所以能放进去.答案:能.7.解析:如图4,把实际问题转化为数学模型,由题意可知AB=1200,AC=2000,由勾股定理得:BC2=AC2-AB2= 20002-12002=16002 ,所以BC=1600.李明向正东方向走了1600米.答案:1600.8.解析:延长A B.DC构成直角三角形,运用勾股定理得BC2=(15-3)2+(20-4)2=122+162=400,所以BC=20.答案:20cm.图5 图6 图79.解析:由题意可知A B.DC为3m,BC为4m,由勾股定理得:AC2=AB2+BC2=32+42=25=52,所以AC=5.答案:5.10.解析:由题意可知梯子的长是不变的,由云梯长10米 ,梯子顶端离地面6米,可由勾股定理求得梯子的底部距墙8米.当梯子顶端离地面8米时, 梯子的底部距墙为6米,则梯子的底部在水平面方向要向左滑动8-6=2(米).答案:2.11.解析:依据两点之间线段最短,确定最短路线为长方形公园的对角线长,可设长方形公园的对角线长为x 米,由勾股定理得:x 2=1202+3502,解得x=370. 答案:370.图8 图9 图1012.解析:如图9,把实际问题转化为数学模型,构造直角三角形,然后利用勾股定理解决.设树的高度为x 米, 因两只猴子所经过的距离相等都为30米.由勾股定理得:x 2+202=[30-(x-10)]2,解得x=15. 答案:15.13.解析:三级台阶平面展开图为长方形,长为2,宽为(0.2+0.3)×3则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长.可设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为x ,由勾股定理得:x 2=22+[(0.2+0.3)×3]22,x=2.5. 答案:2.5.三、解答题(本题共计48分)14.解析:如图,把实际问题转化为数学模型,构造直角三角形,然后利用勾股定理解决. 答案:在Rt△ABC 中,AB 2+BC 2=AC 2,所以AB 2+1402=5002,解得AB=480. 答:该河AB 处的宽度为480米.15.解析:本题是一道古代数学题,由于树可以近似看作圆柱,藤条绕树缠绕,我们可以按图的方法,转化为平面图形来解决.如图13,线段AB 的长就是古藤的长. 答案:如图13,在Rt△ABC 中,由勾股定理得 AB 2=BC 2+AC 2.因为BC=20,AC=3×7=21, 所以AB 2=202+212=841. 所以AB=29.所以这根藤条有29尺. 答:这根藤条有29尺.D B A120902.6m4m16.解析:如图14,彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h 也就是旗杆的高度减去彩旗的对角线的长,彩旗的对角线长为150,所以h=320-150=170cm. 答案:彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h 为170cm.. 17.解析:找最短路程,只需要找到A 点关于河岸的对称点和点B的距离就可以,借助勾股定理可以求出来. 答案:如图,作出A 点关于MN 的对称点A′,连接A′B 交MN 于点P,则A′B 就是最短路线. 在Rt△A′DB 中,由勾股定理求得A′B=17km.18.解析:本题关键是能将红莲移动后的图画出, 红莲被吹至一边,花朵刚好齐及水面即AC 为红莲的长.答案:设水深为h 尺.如图,Rt△ABC 中,AB=h,AC=h+3,BC=6, 由勾股定理得:AC 2=AB 2+BC 2,即(h+3)2=h 2+62. ∴h 2+6h+9=h 2+36,解得:h=4.5. 答:水深尺.19. 解析:如图,卡车能否通过,关键是车高4米与AC 的比较,BC 为,只需求AB,在直角三角形OAB 中,半径OA 为2米,车宽的一半为DC = OB =,运用勾股定理求出AB 即可.答案:过直径的中点O,作直径的垂线交下底边于点D, 如图所示,在Rt△ABO 中,由题意知OA=2,DC = OB =1.4, 所以2222 1.4 2.04AB =-=. 因为4-2.6=1.4,21.41.96=,2.04>1.96,所以卡车可以通过.答:卡车可以通过,但要小心.ABDPNA MABDC20. 解析:①只须画直角边为2和3的直角三角形即可.这时直角三角形的面积为:1232⨯⨯=3;②画面积为5的四边形,我们可画边长的平方为5的正方形即可. 答案:如图1和图2.21. 解析:本题需要把实际问题转化为数学模型,构造直角三角形,利用勾股定理完成. 答案:如图,过点B 作BC⊥AD 于C,则AC=2.5,BC=6, 由勾股定理求得AB=6.5(km) .所以登陆点A 与宝藏埋藏点B 之间的距离是6.5km.图2图1。

北师大版数学八年级上册第1章勾股定理 检测卷 (含答案)

北师大版数学八年级上册第1章勾股定理 检测卷 (含答案)

第1章检测卷勾股定理(时间:100分钟满分:120分)题号一二三总分得分一、选择题(每小题3分,共30分)1.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c,由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是 ( )A.∠A+∠B=∠CB.∠A:∠B:∠C=1:2:3C.a²=c²−b²D. a:b:c=3:4:62.下列各组数中,不能作直角三角形三边长的是 ( )A.3,4,5B.5,12,13C.7,24,25D.7,9,133.若直角三角形的三边长为6,8,m,则m²的值为 ( )A.10B.100C.25D.100 或284.如图,D为△ABC的边BC上一点,已知AB=13,AD=12,AC=15,BD=5,则BC的长为( )A.13B.14C.15D.165.将一根长为25 cm的筷子置于底面直径为5cm,高为12 cm的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外的长为h cm,则 h的取值范围是 ( )A.12≤h≤13B.11≤h≤12C.11≤h≤13D.10≤h≤126.如图,高速公路上有A,B两点相距10km,点 C,D 为两村庄,已知DA=4km,CB=6km. DA⊥AB于点A,CB ⊥AB于点B,现要在AB上建一个服务站E,使得C,D两村庄到E站的距离相等,则EA的长是( )A. 4kmB. 5kmC.6kmD.7 km7.如图,学校有一块长方形花圃,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”,他们仅仅少走了步路(假设2步为1米),却踩伤了花草( )A.1B.2C.3D.48.如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米,如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2米,则小巷的宽度为 ( )A.0.7 米B.1.5米C.2.2 米D.2.4米9.在我国古代数学著作《九章算术》的第九章《勾股》中记载了这样的一个问题:“今天有开门去阔(kǔn)一尺,不合二寸,问门广几何?”意思是:如图,推开两扇门(AD 和BC),门边缘 D,C 两点到门槛AB的距离是1 尺(1尺=10寸),两扇门的间隙CD为2寸,那么门的宽度(两扇门的宽度和)AB为 ( )A.101 寸B.100寸C.52寸D.96寸10.如图,圆柱形容器高为18 cm,底面周长为24 cm,在杯内壁离杯底4 cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿2cm 与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到达内壁B 处的最短距离为( )A.13cmB.12 cmC.16 cmD.20cm二、填空题(每小题3分,共15 分)11.三个正方形如图摆放,其中两个正方形的面积分别为S₁=25,S₂=144,则第三个正方形的面积为S₃=.12.如图,∠C=90°,AB=12,BC=3,CD=4,AD=13,则∠ABD=.13.一直角三角形的两边长分别为4和5,明明以第三边为正方形的一边,画了个正方形,则明明画的这个正方形的面积等于 .14.如图,每个小正方形的边长都为1,则△ABC的三边长a,b,c的大小关系是 .(用“>”连接)15.如图为一个三级台阶,每一级台阶的长、宽、高分别是50cm,30cm,10cm,A 和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只壁虎,它想到B点去吃可口的食物,请你想一想,这只壁虎从A点出发,沿着台阶面爬到 B 点,最短路线的长是 cm.三、解答题(本大题共8个小题,共75分)16.(8分)有一朵荷花,花朵高出水面1尺,一阵大风把它吹歪,使花朵刚好落在水面上,此时花朵离原位置的水平距离为3尺,此水池的水深有多少尺?17.(8分)如图所示的一块草坪,已知AD=12m,CD=9m,∠ADC=90°,AB=39m,BC=36m,求这块草坪的面积.18.(8 分)如图,在长方形ABCD 中,AB=3cm,AD=9cm,,将此长方形折叠,使点 B 与点 D 重合,折痕为 EF,求△ABE的面积.19.(9 分)如图,在△ABC中,D 是BC 上一点,若AB=10,BD=6,AD=8,AC=17.(1)求 DC 的长;(2)求△ABC的面积.20.(9分)如图,长方体中AB=BB′=2,AD=3,,一只蚂蚁从A点出发,在长方体表面爬到C′点,求蚂蚁怎样走最短,最短路径是多少.21.(10分)如图,牧童在A 处放羊,其家在B 处,A,B 到河岸的距离分别为AC=400m,BD=200m,C,D间的距离为800 m,牧童从A处把羊牵到河边饮水后再回家,试问:羊在何处饮水所走路程最短?在图中画出最短路径并求出最短路径的长度是多少.22.(11 分)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=5cm,BC=3cm..若点 P 从点 A出发,以每秒2cm的速度沿A→C→B→A运动,设运动时间为ts(t⟩0).(1)当点P在AC上,且满足.PA=PB时,求t的值;(2)若点 P 恰好在∠BAC的平分线上,求t的值.23.(12分)勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其中的巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪灵感,他惊喜地发现:当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时,都可以用“面积法”来证明勾股定理.下面是小聪利用图1 证明勾股定理的过程.将两个全等的直角三角形按图1所示的方式摆放,其中∠DAB=90°.试说明:a²+b²=c².解:连接DB,过点D作DF⊥BC,,交 BC的延长线点于点 F,则DF=EC=b−a.因为S四边形ADCB =SACD+SABC=12b2+12ab,S四边形ADCB =SABD+SDCB=12c2+12a(b−a).所以12b2+12ab=12c2+12a(b−a).所以a²+b²=c².请参照上述方法,回答下面的问题.将两个全等的直角三角形按图2所示的方式摆放,其中∠DAB=90°.试说明:a²+b²=c².第1章检测卷勾股定理1. D2. D3. D4. B5. A6. C7. D8. C9. A 10. D 11.16912.90° 13.41或9 14. c>a>b 1 5.13016.解:设水深x尺,那么荷花径的长为(x+1)尺.由勾股定理得x²+3²=(x+1)².解得x=4.答:水池的水深有4 尺.17.解:如图,连接AC,则在Rt△ADC中,AC²=AD²+CD²=12²+9²=225,所以AC=15.在△ABC中,.AB²=1521.因为AC²+BC²=15²+36²=1521,所以AB²=AC²+BC².所以△ABC是直角三角形,∠ACB=90°.所以SABC −SAcD=12AC⋅BC−12AD⋅CD=12×15×36−12×12×9=270-54=216(m²).答:这块草坪的面积是216平方米.18.解:因为四边形ABCD 是长方形,所以∠A=90°.设BE=x cm.由折叠的性质可得DE=BE=x cm.所以AE=AD-DE=(9-x) cm.在Rt△ABE中,BE²=AE²+AB²,所以x²=(9−x)²+3².解得x=5.所以DE=BE=5cm,AE=4 cm.所以SABE =12AB⋅AE=12×3×4=6(cm2).19.解:(1)因为在△ABD中,.AB=10,BD=6,AD=8,所以AB²=100,BD²+AD²=36+64=100.所以AB²=BD²+AD².所以△ABD是直角三角形.所以AD⊥BC,即∠ADC=90°.在Rt△ADC中,AD=8,AC=17,由勾股定理得DC²=17²−8²=225,所以DC=15.(2)SABC =12AD⋅BC=12AD⋅(BD+DC)=84.20.解:①如图1,把长方体沿.A→A′→D′→C′→C→D→A剪开,则成长方形ACC'A',宽为AA′=BB′=2,长为AD+DC=AD+AB=5.连接AC',则点A,C,C'构成直角三角形,由勾股定理得AC′²= (AD+DC)²+DD′²=5²+2²=29.②如图2,把长方体沿. A→A ′→B ′→C ′→D ′→D→A 剪开,则成长方形ADC'B',宽为AD=3,长为 DD ′+D ′C ′=BB ′+AB =4.连接AC',则点A,D,C'构成直角三角形,由勾股定理得 AC ′²=AD²+(DD ′+D ′C ′)=3²+4²=25.因为25<29,所以最短路径是5.21.解:作点 B 关于 CD 的对称点 B',连接AB'交 CD 于点 P,连接PB,此时PA+PB 的值最小,最小值为AB'的长.过点 A 作AE⊥B'B 交B'B 的延长线于点 E.在 Rt△AED'中,因为AE=CD=800 m,B'E=AC +B'D =AC +BD=400+200=600(m),所以 AB ′²=AE²+B ′E²=800²+600².所以 AB ′=1000m.即最短路程的长度是1 000 m.22.解:(1)因为AB=5cm,BC =3cm,∠C=90°,所以由勾股定理得 AC²=AB²−BC²=5²−3²=16,所以 A C=4 cm.当PA=PB =2t cm 时,PC=(4-2t) cm.在 Rt△PCB 中,由勾股定理得 PC²+BC²=PB².即 (4−2t )²+3²=(2t )².解得 t =2516.所以PA=PB 时,t 的值为 2516.(2)当点 P 在∠BAC 的平分线上时,如图,过点 P 作 PE⊥AB 于点 E.此时BP=(7-2t) cm,PE=PC=(2t-4) cm,BE=5-4=1(cm),其中0<t<3.5.在 Rt△BEP 中,由勾股定理得 PE²+BE²=BP².即 (2t−4)²+1²=(7−2t )²,解得 t =83.当t=6时,点P 与点A 重合,也符合条件.所以点 P 恰好在∠BAC 的平分线上时,t 的值为 83或6.23.解:连接BD,过点B 作BF⊥DE,交DE 的延长线于点 F,易知BF=b-a.因为S CBED =S ABC +S ABD +S BDE =12ab +12c 2+ 12a (b−a ),S ACBED =S ACBE +S ADE =12b (a +b )+12ab,所以12ab +12c 2+12a (b−a )=12b (a +b )+12ab.所以 a²+b²=c².。

北师大版数学八年级上册第一章勾股定理单元测试卷(含答案)

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八(上)第一章 勾股定理单元检测班级_______ 姓名_______ 分数________一、填空题(每题3分,共24分)1.三角形的三边长分别为 a 2+b 2、2ab 、a 2-b 2(a 、b 都是正整数),则这个三角形是( )A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定2.若△ABC 的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2十338=10a +24b +26c ,则△ABC 的面积是( )A.338B.24C.26D.303.若等腰△ABC 的腰长AB =2,顶角∠BAC =120°,以 BC 为边的正方形面积为( ) A.3 B.12 C.427 D.3164.△ABC 中,AB =15,AC =13,高AD =12,则△ABC 的周长为( ) A.42 B.32 C.42 或32 D.37 或 335.直角三角形三条边的比是3∶4∶5.则这个三角形三条边上的高的比是( )A.15∶12∶8B. 15∶20∶12C. 12∶15∶20D.20∶15∶126.在△ABC 中,∠C =90°,BC =3,AC =4.以斜边AB 为直径作半圆,则这个半圆的面积等于( )A.258π B. 254π C. 2516πD.25π 7.如图1,有一块直角三角形纸片,两直角边AC =6cm ,BC =8cm ,现将直角边AC 沿直线AD 折叠,使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,则CD 等于( )A.2cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm图1D 18cm图2B8.如图2,一个圆桶儿,底面直径为16cm,高为18cm,则一只小虫底部点A爬到上底B处,则小虫所爬的最短路径长是(π取3)()A.20cmB.30cmC.40cmD.50cm二、填空题(每小题3分,共24分)9.在△ABC中,若其三条边的长度分别为9、12、15,则以两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是___.10.一个长方体同一顶点的三条棱长分别是3、4、12,则这个长方体内能容下的最长的木棒为___.11.在△ABC中,∠C=90°,BC=60cm,CA=80cm,一只蜗牛从C点出发,以每分20cm的速度沿CA→AB→BC的路径再回到C点,需要___分的时间.12.如图3,一艘船由岛A正南30海里的B处向东以每小时20海里的速度航行2小时后到达C处.则AC间的距离是___.13.在△ABC中,∠B=90°,两直角边AB=7,BC=24,三角形内有一点P到各边的距离相等,则这个距离是___.14.已知两条线段长分别为5cm、12cm,当第三条线段长为___时,这三条线段可以组成一个直角三角形,其面积是___.15.观察下列一组数:列举:3、4、5,猜想:32=4+5;列举:5、12、13,猜想:52=12+13;图3 列举:7、24、25,猜想:72=24+25;…………列举:13、b、c,猜想:132=b+c;请你分析上述数据的规律,结合相关知识求得b=___,c=___.16.已知:正方形的边长为1.(1)如图4(a ),可以计算出正方形的对角线长为2;如图(b),两个并排成的矩形的对角线的长为___;n个并排成的矩形的对角线的长为___.(2)若把(c)(d)两图拼成如图5“L”形,过C作直线交DE于A,交DF于B .若DB =53,则 DA 的长度为___.三、解答题(共58分)17.如图6,折叠长方形一边AD ,点D 落在BC 边的点F 处,BC =10cm ,AB =8cm ,求:(1)FC 的长;(2)EF 的长.18.为了丰富少年儿童的业余生活,某社区要在如图7所示AB 所在的直线建一图书室,本社区有两所学校所在的位置在点C 和点D 处,CA ⊥AB 于A ,DB ⊥AB 于B ,已知AB =25km ,CA =15km ,DB =10km ,试问:图书室E 应该建在距点A 多少km 处,才能使它到两所学校的距离相等?19.一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追赶渔群,在A 处看见小岛C 在船北偏东 60°.40分钟后,渔船行至 B 处,此时看见小岛 C 在船的北偏东30°,已知小岛C 为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区,问这艘渔船继续航行(追赶鱼群),是否有进入危险区的可能?图5EF BCAD图4(a ) (b ) (c ) (d )图6图7E DCBA20.在Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°,P、Q在AB上,且∠PCQ=45°试猜想分别以线段AP、BQ、PQ为边能组成一个三角形吗?若能试判断这个三角形的形状.21.如图8,有一块塑料矩形模板ABCD,长为10cm,宽为4cm,将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合),在AD上适当移动三角板顶点P:图8①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C?若能,请你求出这时AP的长;若不能,请说明理由.②再次移动三角板位置,使三角板顶点P在AD上移动,直角边PH始终通过点B,另一直角边PF与DC的延长线交于点Q,与BC交于点E,能否使CE=2cm?若能,请你求出这时AP的长;若不能,请你说明理由.参考答案一、1.A 2.D 3.B 4.C 5.D.提示:由三角形面积公式,可得12·AB ·CD =12·BC ·AC .设BC =3k ,AC =4k ,AB =5k ,则5k ·CD =2k ·4k .所以CD =135k .所以AC ∶BC ∶CD =4k ∶3k ∶125k =20∶15∶12;6.A.提示:在Rt △ABC 中,由勾股定理可以得到AB 2=42+32=25,所以AB =5.所以半圆的面积S =12π252⎛⎫ ⎪⎝⎭=258π;7.B 8.B.二、9.108 10.13 11.12 12.由勾股定理,可以得到AB 2+BC 2=AC 2,因为AB=30,BC =20×2=40,所以302+202=AC 2,所以AC =50,即AC 间的距离为50海里;13.314.13cm ,30cm 2或522 15.84、85 16、52. 三、17.(1)在Rt △ABC 中,由勾股定理可以得到AF 2=AB 2+BF 2,也就是 102=82+BF 2.所以BF =6,FC =4(cm) (2)在Rt △ABC 中,由勾股定理,可以得到EF 2=FC 2+(8-EF )2.也就是EF 2=42+(8-EF )2.所以EF =5(cm)18.10米;19.设小岛C 与AB 的垂直距离为a ,则易求得a 2=300>102,所以这艘渔船继续航行不会进入危险区;20.能组成一个三角形,且是一个以PQ 为斜边的直角三角形.理由是:可将△CBQ 绕点C 顺时针旋转90°,则CB 与CA 重合,Q 点变换到Q ′点,此时,AQ ′=BQ ,△APQ ′是直角三角形,即AP 2+AQ ′2=PQ ′2,另一方面,可证得△CPQ ′≌△CPQ (SAS ),于是,PQ ′=PQ ,则AP 2+BQ 2=PQ 2.21.①能.设AP =x 米,由于BP 2=16+x 2,CP 2=16+(10-x )2,而在Rt △PBC 中,有BP 2+ CP 2=BC 2,即16+x 2+16+(10-x )2=100,所以x 2-10x +16=0,即(x -5)2=9,所以x -5=±3,所以x =8,x =2,即AP =8或2,②能.仿照①可求得AP =4.第一章勾股定理单元检测题班级_____ 姓名_____ 分数_____一、选择题(每小题3分,共30分)1.如果下列各组数是三角形的三边,那么不能组成直角三角形的一组数是( ) A .7,24,25 B .321,421,521 C .3,4,5 D .4,721,821 2.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍,那么斜边扩大到原来的( ) A .1倍 B .2倍 C .3倍 D .4倍 3.在下列说法中是错误的( )A .在△ABC 中,∠C =∠A 一∠B ,则△ABC 为直角三角形B .在△ABC 中,若∠A ∶∠B ∶∠C =5∶2∶3则△ABC 为直角三角形 C .在△ABC 中,若a =53c ,b =54c ,则△ABC 为直角三角形 D .在△ABC 中,若a ∶b ∶c =2∶2∶4,则△ABC 为直角三角形4.四组数:①9,12,15;②7,24,25;③32,42,52;④3a ,4a ,5a (a >0)中,可以构成直角三角形的边长的有( )A .4组B .3组C .2组D .1组5.三个正方形的面积如图1,正方形A 的面积为( ) A . 6 B . 36 C . 64 D . 86.一块木板如图2所示,已知AB =4,BC =3,DC =12,AD =13,∠B =90°,木板的面积为( )A .60B .30C .24D .127.直角三角形的两直角边分别为5cm ,12cm ,其中斜边上的高为( ) A .6cm B .8.5cm C .1330cm D .1360cm8.两只小鼹鼠在地下打洞,一只朝前方挖,每分钟挖8cm ,另一只朝左挖,每分钟挖6cm ,10分钟之后两只小鼹鼠相距( )A .50cmB .100cmC .140cmD .80cm9.小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m ,当它把绳子的下端拉开5m 后,发现下端刚好接触地面,则旗杆的高为 ( )A .8cmB .10cmC .12cmD .14cm10.在△ABC 中,∠ACB =90°,AC =40,CB =9,M 、N 在AB 上且AM =AC ,BN =BC ,则MN 的长为( )A .6B .7C .8D .9 二、填空题(每小题3分,共30分)A DBC图211.在△ABC中,∠C=90°,若a=5,b=12,则c=___.12.在△ABC中,∠C=90°,若c=10,a∶b=3∶4,则ab=.13.等腰△ABC的面积为12cm2,底上的高AD=3cm,则它的周长为___.14.等边△ABC的高为3cm,以AB为边的正方形面积为___.15.直角三角形三边是连续整数,则这三角形的各边分别为___.16.在Rt△ABC中,斜边AB=2,则AB2+BC2+CA2=___.17.有两棵树,一棵高6米,另一棵高3米,两树相距4米.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,至少飞了___米.18.一座桥横跨一江,桥长12m,一般小船自桥北头出发,向正南方驶去,因水流原因到达南岸以后,发现已偏离桥南头5m,则小船实际行驶___m.19.一个三角形的三边的比为5∶12∶13,它的周长为60cm,则它的面积是___.20.在Rt△ABC中,∠C=90°,中线BE=13,另一条中线AD2=331,则AB=___.三、解答题(每小题8分,共40分)21.某车间的人字形屋架为等腰△ABC,跨度AB=24m,上弦AC=13m.求中柱CD (D为底AB的中点).22.有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门,如果把竹竿竖放就比门高出1尺,斜放就恰好等于门的对角线长,已知门宽4尺.求竹竿高与门高.23.如图3,台风过后,一希望小学的旗杆在离地某处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部8m处,已知旗杆原长16m,你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗?请你试一试.图3OB′图4BAA′24.如图4所示,梯子AB靠在墙上,梯子的底端A到墙根O的距离为2m,梯子的顶端B到地面的距离为7m.现将梯子的底端A向外移动到A′,使梯子的底端A′到墙根O的距离为3m,同时梯子的顶端B下降到B′,那么BB′也等于1m吗?25.在△ABC中,三条边的长分别为a,b,c,a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n>1,且n 为整数),这个三角形是直角三角形吗?若是,哪个角是直角?与同伴一起研究.参考答案:A卷:一、1.B2.B3.D4.B5.B6.C7.D8.B9.C10.C二、11.1312.4813.1814.1215.3、4、516.817.518.1319.2400 20.20三、21.5米22.设门高为x尺,则竹杆长为(x+1)尺,依题意由勾股定理,得x2+42=(x+1)2,解得x=7.5,所以门高为7.5尺,则竹杆长为8.5尺.23.设旗杆在离底部x m位置断裂,则根据题意,得(x+1)2-x2=64,解得x=6,即旗杆在离底部6m位置断裂.cb a cba ED CBACABcb a24.在Rt △ABO 中,梯子AB 2=AO 2+BO 2=22+72=53.在Rt △A ′B ′O 中,梯子A ′B ′2=53=A ′O 2+B ′O 2=32+B ′O 2,所以,B ′O>2×3=6.所以BB ′=OB -OB ′<1.25.因为a 2=n 4-2n 2+1,b 2=4n ,c 2=n 4+2n 2+1,a 2+b 2=c 2,所以△ABC 是直角三角形,∠C 为直角.北师大版八年级数学上册第一章 勾股定理 提高培优讲义:勾股定理、逆定理及应用 基础知识梳理模块一:勾股定理及证明 1.勾股定理:如果直角三角形的两直角边分别是a ,b ,斜边为c ,那么222a b c +=. 即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方. 注:勾——较短的边、股——较长的直角边、弦——斜边. 2.勾股定理的证明: (1)弦图证明DC BAGF E H内弦图 外弦图221()42ABCD S a b c ab =-=+⨯正方形 221()42EFGH S c a b ab ==-+⨯正方形∴222a b c += ∴222a b c += (2)“总统”法(半弦图)如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形:2()()112222ABCD a b a b S ab c +-==⨯+梯形∴222a b c += 3.勾股数:满足222a b c +=的三个正整数,称为勾股数.(1)3、4、5;6、8、10;9、12、15;12、16、20;15、20、25等.(2)(,,)a b c 是组勾股数,则(,,)ka kb kc (k 为正整数)也是一组勾股数. (3)3、4、5;5、12、13;7、24、25;9、40、41;11、60、61等 (4)21a n =+,222b n n =+,2221c n n =++(n 为大于1的自然数) (5)22a m n =-,2b mn =,22c m n =+(m n >,且m 和n 均为正整数) 模块二:勾股定理逆定理及应用 1.勾股定理的逆定理:如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方,那么前两边的夹角一定是直角.即在ABC △中,如果222AC BC AC +=,那么ABC △是直角三角形.2.勾股定理的常见题型. 模块三:例题精讲(1)勾股证明的方法成百上千种,其中《几何原本》中的证法非常经典,是在一个我们非常熟悉的几何图形中实现的(如图所示),如果直角三角形ABC 的三边长为a ,b ,c (c 为斜边),以这三边向外作三个正方形,试利用此图证明222a b c +=.cbaNMHFE DCBAABCEFHMNP(2)如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm ,则正方形A ,B ,C ,D 的面积之和为__________.【解析】(1)如上图可知:ACF ADB △△≌,2ACED ADB S S =正方形△,2AFGP ACF S S =矩形△,∴2AFGP b S =矩形,同理2GHBP a S =矩形,∴222a b c +=. (2)49cm 2.(1)若把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍,则斜边扩大到原来的( ). A .1倍 B .2倍 C .3倍 D .4倍(2)若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数,则这个三角形的周长为________.(3)下面几组数:①7,8,9;②12,9,15;③22m n +,22m n -,2mn (m ,n 均为正整数,m n >);④2a ,21a +,22a +.其中能组成直角三角形的三边长的是( ).A .①②B .②③C .①③D .③④【解析】(1)B ;(2)可知三边为3,4,5,所以周长为12; (3)B ;容易知道①错误②正确,对于③,由2224224()2m n m m n n -=-+,222(2)4mn m n =,2224224()2m n m m n n +=++所以2222422422222()(2)(2)4()m n mn m m n n m n m n -+=-++=+. 所以,以这三条线段的长为边的三角形是直角三角形.答案选B .ABC △中,BC a =,AC b =,AB c =.若90C ∠=︒,如图3-1,根据勾股定理,则222a b c +=.若ABC △不是直角三角形,如图3-2,90C ∠<︒;如图3-3,90C ∠<︒.请你类比勾股定理,试猜想22a b +与2c 的关系,并证明你的结论.图1a b c a b c cb a A BCA B C C B Aa bca bcA ABC C Ba bcABC B图3-1 图3-2 图3-3【解析】图2猜想:222a b c +>.证明:过点A 作AD BC ⊥于D ,设CD x =,222AD b x =-, 22222222()()2c a x b x a ax x b x =-+-=-++-, 即22220a b c ax +-=>,故222a b c +>. 图3猜想:222a b c +<.证明:过B 作BD AC ⊥,交AC 的延长线于D . 设CD 为x ,则有222BD a x =-.根据勾股定理,得2222()b x a x c ++-=. 即2222a b bx c ++=,∵0b >,0x >,∴20bx >,∴222a b c +<.(1)如果直角三角形的两边长为4、5,则第三边长为________.(2)如果直角三角形的三边长为10、6、x ,则最短边上的高为________.(3)若|1|0a b --=,则以a 、b 为边的直角三角形的第三边为________.在ABC △中,15AB =,13AC =,高12AD =,则三角形的周长是_________.【解析】32或42.DabcACBDa bcABC【提示】题型:已知三角形的两边及第三边高求第三边,B 卷填空必考题,一般题目无图,为易错题,切记要分类讨论,分形内高和形外高.(1)如图6-1,四边形ABCD 中,AB BC ⊥,1AB =,2BC =,2CD =,3AD =,求四边形ABCD 的面积.(2)如图6-2,在四边形ABDC 中,BD CD ⊥,6BD =,8CD =,24AB =,26AC =,求该四边形面积.ABC DDCB A图6-1 图6-2(2)96.四边形ABDC 的面积为96. 连接BC ,根据勾股定理可得10BC =,因为222BC AB AC +=,所以ABC △为直角三角形,故四边形ABDC 的面积1202496ABC BCD S S S =-=-=△△.(1)如图,梯子AB 长2.5米,顶端A 靠在墙AC 上,这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米,梯子滑动后停在DE 位置,BD 长0.5米,则梯子顶端A 下落了________米.(2)梯子靠在墙上,梯子的底端A 到墙根O 的距离2米,梯子的顶端B 到地面的距离为7米,现将梯子的底端向外移动到C ,使梯子底端C 到墙根O 的距离等于3米,同时梯子的顶端B 下降至D ,那么BD ( )A .等于1米B .大于1米C .小于1米D .以上结果都不对(3)如图,梯子AB 斜靠在墙面上,AC BC ⊥,AC BC =,当梯子的顶端A 沿AC 方向下滑x 米时,梯子B 沿CB 方向滑动y 米,则x 与y 的大小关系是( ) A .x y = B .x y >C .x y <D .不确定【解析】(1)0.5;(2)C ;(3)选B ,设AC BC a==米,化简得222()0a x y x y -=+>,x y >.EAB CD(1)若直角三角形斜边长为4,周长为432+,则三角形面积等于________.(2)如图,ABC △中,90BAC ∠=︒,AD BC ⊥于点D ,若455AD =,25BC =,请求出ABC △的周长.【解析】(1)12; (2)222(25)45255AB AC AB AC ⎧+=⎪⎨⨯=⨯⎪⎩,解得6AB BC +=,625ABC C =+△.(1)已知9-1,如图所示,折叠长方形的一边AD ,使点D 落在BC 边的点F 处,如果8cm AB =,10cm BC =,求EC 的长.(2)如图9-2,已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠,使点C 落在'C 处,'BC 交AD 于E ,16AD =,8AB =,则DE 的长度为________.(3)如图9-3,矩形纸片ABCD 的长9cm AD =,宽3cm AB =,沿EF 将其折叠,使点D 与点B 重合,则折痕EF 的长为________cm .EDC'C BA图9-1 图9-2 图9-3【解析】(1)由题意得,10cm AF AD ==.在ABF △中,应用勾股定理得,6cm BF =. 所以1064FC BC BF cm =-=-=.在CEF △中,应用勾股定理,设cm EC x =, 得222(8)4x x -=+.解得3x =,即3cm EC =. (2)设ED x =,因为CBD EBD EDB ∠=∠=∠, 则EB ED x ==,16AE AD ED x =-=-, 在Rt E AB △中,由勾股定理可得:222(16)8x x +=-,∴10x =,即10DE =.(3)设AE x =,因为BEF DEF BFE ∠=∠=∠, 则9BE DE B x F ===-,根据勾股定理得:222AB AE BE +=,即222239(9)x x x +=+=-,解得:4x =;∴4AE =,∴5DE BF ==,∴4CF DM ==,∴1EM =,根据勾股定理得:EF ==;若0x >,0y >且12x y +=【解析】如下图,不妨设12AB =,AC AB ⊥,BD AB ⊥,2AC =,3BD =,y 2+9x 2+432y xPDC B AD CA P为线段AB 上的动点,AP x =,于是PB y =,PC,PD 问题转化为求点C ,D 之间距离的最小值.当P ,C ,D 三点不共线时,有PC PDCD +>;当P ,C ,D 共线时,PC PD CD +=. 于是点C ,D 13.【教提示】数形结合,几何构造,将军饮马.模块四:课后作业设计1、如图1-1,分别以直角三角形A 、B、C 三边为边向外作三个正方形,其面积分别用1S 、2S 、3S 表示,则不难证明123S S S =+.) (1)如图1-2,分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用1S 、2S 、3S 表示,那么1S 、2S 、3S 之间有什么关系?(不必证明)(2)如图1-3,分别以直角三角形A 、B 、C 三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用1S 、2S 、S 表示,请你确定S 、S 、S 之间的关系并加以证明.B C S 1S 2图图图1A B C S 1S 3S 2图图2A BCS 1S 3S 2图3图1-1图1-2图1-3【解析】(1)设BC 、CA 、AB 长分别为a 、b 、c ,则222c a b =+,123S S S =+;(2)123S S S =+.证明如下:显然,21S =,22S =,23S ,AB D C∴22223133()44S S a b c S +=+==. 【点评】分别以直角三角形ABC 三边为一边向外作“相似形”,其面积对应用1S 、2S 、3S 表示,则123S S S =+(设斜边所做图形面积为1S ).2、已知a ,b ,c 是三角形的三边长,222a n n =+,21b n =+,2221c n n =++(n 为大于1的自然数),试说明ABC △为直角三角形.【解析】因为222212221n n n n n ++>+>+,222222(221)(22)441(21)n n n n n n n ++-+=++=+.所以22222(21)(22)(221)n n n n n +++=++,所以ABC △为直角三角形.3、如图,四边形ABCD 中,6cm AB =,8cm BC =,24cm CD =,26cm DA =,且90ABC ∠=︒,则四边形ABCD 的面积是( )cm 2.A .336B .144C .102D .无法确定【解析】答案:B .连接AC ,运用勾股定理逆定理.4、如图,一根长5米的竹篙AB 斜靠在与地面垂直的墙上,顶端A 距离墙根4米,若竹篙顶端A 下滑1米,则底端B 向外滑行了多少米?【解析】设竹篙顶端下滑1米到1A 点,底端向外滑行到1B 点.由题意得AA 1=1m ,113m AC AC AA =-=, 在11Rt ACB △中:2211114m B C A B AC -, 在Rt ABC △中:223m BC AB AC =-=, 111BB B C BC m =-=,即竹篙顶端A 下滑1米,则底端B 向外滑行了1米.5、(1)(在ABC △中15AB =,13AC =,高12AD =,则ABC S =△_______.(2)如图,ABC △中,90BAC ∠=︒,AD BC ⊥于点D ,若3AD =,23BC =ABC △的周长为________.【解析】(1)24或84(分类讨论:行外高和行内高,对应例5)ABC(2)423+.(对应例8考查直角三角形与知二推二综合).6、(1)如图6-1,已知ABC △是直角边长为1的等腰直角三角形,以Rt ABC △的斜边AC 为直角边,画第二个等腰Rt ACD △,再以Rt ACD △的斜边AD 为直角边,画第三个等腰Rt ADE △,……,依此类推,第n 个等腰直角三角形的斜边长是________.(2)如图6-2,矩形ABCD 中,5cm AB =,3cm BC =,如图所示折叠矩形纸片ABCD ,使D 点落在边AB 上一点E 处,折痕端点G 、F 分别在边AD 、DC 上,则当折痕端点F 恰好与C 点重合时,AE 的长为________cm .GFED CB A图6-1 图6-2(3)若0x >,0y >且15x y +=2264144x y ++________.【解析】(1)由题意可得:第1个等腰直角三角形,ABC △中,斜边长1AB BC ==,22112AC+==; 第2个等腰直角三角形,ACD △中,斜边长2222(2)AD AC CD =+==; 第3个等腰直角三角形,ADE △中,斜边长22322(2)AE AD DE =+=; 依此类推,……第n 个等腰直角三角形中,斜边长为(2)n . (2)F 点与C 点重合时(如图),∵在矩形ABCD 中,5AB =,3BC =, ∴5CD AB ==,90B ∠=︒,由折叠的性质可得:5CE CD ==, ∴224CE BE BC -=, ∴1AE AB BE =-=.(3)答案:25(对应例题10,几何构造).北师大版八年级数学上册 第一章 勾股定理 章末培优卷一、选择题:(共30分)1、一个圆柱形铁桶的底面半径为12cm ,高为32cm ,则桶内所能容下的木棒最长为( )A .20cmB .50cmC .40cmD .45cm2、已知直角三角形的两条边长分别是3和5,那么这个三角形的第三条边的长为A. 4B. 16C.D. 4或3、如图,正方形ABCD 的边长为10,AG=CH=8,BG=DH=6,连接GH ,则线段GH 的平方为( )A 2524 B. 8 C. 25196 D.5 4、如图,一棵大树被大风刮断后,折断处离地面8m ,树的顶端离树根6m ,则这棵树在折断之前的高度是( ) A.18mB .10mC .14mD .24m5、如图,在4×4方格中作以AB 为一边的Rt △ABC ,要求点C 也在格点上,这样的Rt △ABC 能作出( ) A .2个 B .3个 C .4个D .6个二、填空题(共24分)11、ABC ∆的三边长c b a ,,满足:03018)602(2=-+-+-+c b b a ,则ABC ∆是 三角形;12、如图,在平行四边形A BCD 中,C A ⊥A B ,若A B=3,BC=5,则平行四边形A BCD 的面积为 。

第一章 勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-北师大版(含答案)

第一章 勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-北师大版(含答案)

第一章勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-北师大版(含答案)一、单选题(共15题,共计45分)1、△ABC中,如果两条直角边分别为3,4,则斜边上的高线是()A. B. C.5 D.不能确定2、如图是一个古代车轮的碎片,小明为求其外圆半径,连接外圆上的两点A、B,并使AB 与车轮内圆相切于点D,半径为OC⊥AB交外圆于点C.测得CD=10cm,AB=60cm,则这个车轮的外圆半径是()A.10cmB.30cmC.60cmD.50cm3、已知直角三角形两边长x、y满足,则第三边长为()A.5B.C.5或D. 或4、如图,将两个大小、形状完全相同的△ABC 和△A′B′C′拼在一起,其中点 A′与点A 重合,点 C′落在边 AB 上,连接 B′C.若∠ACB=∠AC′B′=90°,AC=BC=3,则 B′C 的长为( )A. B.6 C. D.5、已知圆锥的底面的半径为3cm,高为4cm,则它的侧面积为()A.15πcm 2B.16πcm 2C.19πcm 2D.24πcm 26、下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( )A.2,3,4B.4,6,8C.6,8,10D.5,11,127、如图,点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是()A.48B.60C.76D.808、如图,点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=3,BE=4,则阴影部分的面积是()A.12B.15C.19D.209、下列各组线段中,能够组成直角三角形的是().A.6,7,8B.5,6,7C.4,5,6D.3,4,510、如图所示,一场暴雨过后,垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断,树尖B 恰好碰到地面,经测量AB=2米,则树高为()A. 米B. 米C.( 米D.3 米11、平面直角坐标系中,直线y=(2m-3)x-2m+5与以坐标原点为圆心的⊙O交于A、B两点,⊙O的半径为3,则AB最小值为()A. B.3 C.4 D.12、在Rt中,∠B=90°,AC=5,AB=3,则的值为().A. B. C. D.13、如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E.若AB=8,AE=1,则弦CD的长是()A. B.2 C.6 D.814、如图所示,四边形ABCD是边长为1的正方形,以对角线AC为边作第二个正方形ACEF,再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH……,如此下去,则第2017个正方形的边长是()A. B. C. D.15、下列四组数据表示三角形的三边长,其中不能构成直角三角形的一组数据是( )A.1 cm, cm, 4cmB.5cm, 12cm, 13cm:C.3cm, 4cm,5cm: D.7cm, 24cm, 25 cm二、填空题(共10题,共计30分)16、如图,为正方形的对角线,延长到,使,以为一边作菱形,若菱形的面积为,则正方形边长________.17、⊙O的半径为1,弦AB= ,点C是圆上异于A、B的一动点,则∠ACB=________.18、如图为一个半径为5m的圆形广场,其中放有六个宽为m的长方形临时摊位,这些摊位均有两个顶点在广场边上,另两个顶点紧靠相邻摊位的顶点,则每个长方形摊位的长为________m.19、如图,等边△ABC的边长为8,D、E分别是BC、AC边的中点,过点D作DF⊥AB于F,连接EF,则EF的长为________.20、如图,已知两正方形的面积分别是25和169,则字母B所代表的正方形的边长是________。

北师大版八年级数学上册第一章勾股定理测试题(含答案)

北师大版八年级数学上册第一章勾股定理测试题(含答案)

八年级上北师大版第一章勾股定理测试题(一)一、选择题(每小题3分,共30分)1. 下列各组中,不能构成直角三角形的是 ( ).(A )9,12,15 (B )12,16,20 (C )16,30,32 (D )9,40,412. 如图1,直角三角形ABC 的周长为24,且AB :BC=5:3,则AC= ( ).(A )6 (B )8 (C )10 (D )123. 已知:如图2,以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边AB =3,则图中△ABE 的面积为( ). (A )9 (B )3 (C )49 (D )29 4. 如图3,在△ABC 中,AD ⊥BC 与D ,AB=17,BD=15,DC=6,则AC 的长为( ).(A )11 (B )10 (C )9 (D )85. 若三角形三边长为a 、b 、c ,且满足等式ab c b a 2)(22=-+,则此三角形是( ).(A )锐角三角形 (B )钝角三角形 (C )等腰直角三角形 (D )直角三角形6. 直角三角形两直角边分别为5、12,则这个直角三角形斜边上的高为 ( ).(A )6 (B )8.5 (C )1320 (D )1360 7. 高为3,底边长为8的等腰三角形腰长为 ( ).(A )3 (B )4 (C )5 (D )68. 一只蚂蚁沿直角三角形的边长爬行一周需2秒,如果将直角三角形的边长扩大1倍,那么这只蚂蚁再沿边长爬行一周需 ( ).(A )6秒 (B )5秒 (C )4秒 (D )3秒9. 我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图1所示),如果大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边分别是a 、b ,那么2)(b a + 的值为 ( ). (A )49 (B )25 (C )13 (D )110. 如图5所示,在长方形ABCD 中,E 、F 分别是AB 、BC 上的点,且BE=12,BF=16,则由点E 到F 的最短距离为 ( ).(A )20 (B )24 (C )28 (D )32二、填空题(每小题3分,共30分)11. 写出两组直角三角形的三边长.(要求都是勾股数)12. 如图6(1)、(2)中,(1)正方形A 的面积为.(2)斜边x=.13. 如图7,已知在Rt ABC △中,Rt ACB ∠=∠,4AB =,分别以AC ,BC 为直径作半圆,面积分别记为1S ,2S ,则1S +2S 的值等于.14. 四根小木棒的长分别为5cm ,8cm ,12cm ,13cm ,任选三根组成三角形,其中有个直角三角形.15. 如图8,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6cm ,BC=8cm ,现直角边沿直线AD 折叠,使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,则CD 的长为.三、简答题(50分)16.(8分)如图9,AB=4,BC=3,CD=13,AD=12,∠B=90°,求四边形ABCD 的面积.17.(8分)如图10,方格纸上每个小正方形的面积为1个单位.(1)在方格纸上,以线段AB 为边画正方形并计算所画正方形的面积,解释你的计算方法.(2)你能在图上画出面积依次为5个单位、10个单位、13个单位的正方形吗?18.(8分)如图12,飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一男孩子头顶上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米.飞机每小时飞行多少千米?21.(8分)如图14,一架云梯长25米,斜靠在一面墙上,梯子靠墙的一端距地面24米.(1)这个梯子底端离墙有多少米?(2)如果梯子的顶端下滑了4米,那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗?一、选择题1.C2.B3.C4.B5.D6.D7.C8.C9.A 10.A二、填空题11.略 12.(1)36,(2)13 13. 2π 14. 1 15. 3三、简答题16. 在Rt △ABC 中,AC=54322=+. 又因为22213125=+,即222CD AC AD =+.所以∠DAC=90°.所以125214321⨯⨯+⨯⨯=+=∆∆ABC Rt ACD Rt ABCD S S S 四边形=6+30=36. 17.略18. 如图12,在Rt △ABC 中,根据勾股定理可知,BC=30004000500022=-(米).3000÷20=150米/秒=540千米/小时.所以飞机每小时飞行540千米.20. (1)10;(2)4条21. (1)7米;(2)不是.设滑动后梯子的底端到墙的距离为x米,得方程,2)422=x,解得x=15,所以梯子向后滑动了8米.-24(25-。

初中数学北师大版八年级上册 第一章 勾股定理单元测试(含答案)

初中数学北师大版八年级上册 第一章 勾股定理单元测试(含答案)

第一章勾股定理一、选择题1. 若a,b,c为△ABC的三边长,则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是( )A.a=1.5,b=2,c=2.5B.a:b:c=3:4:5C.∠A+∠B=∠C D.∠A:∠B:∠C=3:4:52. 在Rt△ABC中,若∠C=90∘,AC=3,BC=4,则点C到直线AB的距离为( )A.3B.4C.5D.2.43. 如图,四边形ABCD中,∠B=90∘,且AB=BC=2,CD=3,DA=1,则∠DAB的度数为( )A.90∘B.120∘C.135∘D.150∘4. 如图,在高为5 m,坡面长为13 m的楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要( )A.17 m B.18 m C.25 m D.26 m5. 如图是一株美丽的勾股树,其中所有四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形A,B,C,D的面积分别为3,5,2,3,则最大正方形E的面积是( )A.47B.13C.11D.86. 如图,将一根长度为8 cm,自然伸直的弹性皮筋AB两端固定在水平的桌面上,然后把皮筋中点C竖直向上拉升3 cm到点D,则此时该弹性皮筋被拉长了( )A.6 cm B.5 cm C.4 cm D.2 cm7. 如图,为了测得湖两岸A点和B点之间的距离,一个观测者在C点设桩,使∠ABC=90∘,并测得BC长为16 m,若已知AC比AB长8 m,则A点和B点之间的距离为( )A.25 m B.12 m C.13 m D.43 m8. 如图,在三角形纸片ABC中,∠ACB=90∘,AC=4,BC=3,点D,E分别在AB,AC上,连接DE,将△ADE沿DE翻折,使点A的对应点F落在BC的延长线上.若FD平分∠EFB,则AD的长为( )A.259B.258C.157D.207二、填空题9. 在△ABC中,∠C=90∘.(1)已知a=10,b=24,那么c=.(2)已知b:c=4:5,a=9,那么b=,c=.10. 如图是“赵爽弦图”,△ABH,△BCG,△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形,四边形ABCD和EFGH都是正方形,如果AH=6,EF=2,那么AB等于.11. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去根六尺.问折高者几何?意思是:一根竹子,原高一丈(一丈=10尺),一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部6尺远,问折断处离地面的高度是多少?设折断处离地面的高度为x尺,则可列方程为.12. 如图,一个长方体长4 cm,宽3 cm,高12 cm,则它上下两底面的对角线MN的长为cm.13. 已知a,b,c为△ABC的三边,且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,则可以判断△ABC的形状为.14. 如图所示的网格是正方形网格,则∠PAB+∠PBA=∘(点A,B,P是网格线的交点).15. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形,现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角线AC,BD交于点O.若AD=2,BC=4,则AB2+CD2=.三、解答题16. 在Rt△ABC中,∠C=90∘.(1) 已知a=8,c=17,求b.(2) 已知b=40,c=41,求a.17. 如图,在四边形ABCD中,∠DBC=90∘,AB=9,AD=12,BC=8,DC=17,求四边形ABCD的面积.18. 如图,滑竿在机械槽内运动,∠C=90∘,AB=2.5 m,BC=1.5 m,当底端B向右移动0.5 m时,顶端A下滑了多少米?19. 假期中,王强和同学到某海岛上去旅游.他们按照如图所示路线.在点A登陆后租借了自行车,骑车往东走8千米,又往北走2千米;遇到障碍后往西走3千米,再折向北走到6千米处往东拐,走了1千米到达景点B.登陆点A到景点B的直线距离是多少千米?20. 若正整数a,b,c(a<b<c)满足a2+b2=c2,则称(a,b,c)为一组“勾股数”.观察下列两类“勾股数”:第一类(a是奇数):(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),⋯⋯第二类(a是偶数):(6,8,10),(8,15,17),(10,24,26),⋯⋯(1) 请再写出两组勾股数,每类各写一组;(2) 分别就a为奇数、偶数两种情形,用a表示b和c,并选择其中一种情形证明(a,b,c)是“勾股数”.答案一、选择题1. D2. D3. C4. A5. B6. D7. B8. D二、填空题9. 26;12;1510. 1011. x2+62=(10−x)212. 1313. 直角三角形14. 4515. 20三、解答题16.(1) 15.(2) 9.17. ∵∠DBC=90∘,DC=17,BC=8,∴BD2=CD2−BC2=172−82=225=152,∴BD=15.∵AD2+AB2=122+92=144+81=225,BD 2=225, ∴AD 2+AB 2=BD 2,∴△ABD 是直角三角形,且 ∠A =90∘,∴ 四边形 ABCD 的面积 =△ABD 的面积 +∠CBD 的面积 =12×9×12+12×15×8=54+60=114.18. 依题意得 AB =DE =2.5 m ,BC =1.5 m ,∠C =90∘,∴AC 2+BC 2=AB 2,即 AC 2+1.52=2.52,解得 AC =2 m . ∵BD =0.5 m , ∴CD =2 m .在 Rt △ECD 中,CE 2+CD 2=DE 2, ∴CE =1.5 m , ∴AE =0.5 m .答:顶端 A 下滑了 0.5 m .19. 10 千米.20.(1) 第一组(a 是奇数):9,40,41(答案不唯一);第二组(a 是偶数):12,35,37(答案不唯一).(2) 当 a 为奇数时,b =a 2−12,c =a 2+12;当 a 为偶数时,b =a 24−1,c =a 24+1.证明:当 a 为奇数时,a 2+b 2=a 2+(a 2−12)2=(a 2+12)2=c 2,∴(a,b,c ) 是“勾股数”.当 a 为偶数时,a 2+b 2=a 2+(a 24−1)2=(a 24+1)2=c 2,∴(a,b,c ) 是“勾股数”.。

北师大版八年级数学上《第一章勾股定理》单元测试题(含答案)

北师大版八年级数学上《第一章勾股定理》单元测试题(含答案)

第一章勾股定理一、选择题(每题3分,共30分)1.下列由线段a,b,c组成的三角形是直角三角形的是()A.a=1,b=2,c=3B.a=2,b=3,c=4C.a=3,b=4,c=5D.a=4,b=5,c=62.如图1所示,∠AOC=∠BOC,点P在OC上,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.若OD=8,OP=10,则PE的长为()图1A.5B.6C.7D.83.下列结论中,错误的有()①在Rt△ABC中,已知两边长分别为3和4,则第三边的长为5;②△ABC的三边长分别为a,b,c,若a2+b2=c2,则∠A=90°;③在△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=1∶5∶6,则△ABC是直角三角形;④若三角形的三边长之比为3∶4∶5,则该三角形是直角三角形.A.0个B.1个C.2个D.3个4.如图2,将长为8cm的橡皮筋放置在地面上,固定两端点A和B,然后把中点C向上拉升3cm至点D,则橡皮筋被拉长了()图2A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm5.将面积为8π的半圆与两个正方形按图3所示的方式摆放,则这两个正方形面积的和为()图3A.16B.32C.8πD.646.若△ABC 的三边长a ,b ,c 满足(a -b )2+|b -2|+(c 2-8)2=0,则下列对此三角形的形状描述最确切的是()A.等边三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形7.如图4所示,AC ⊥BD ,O 为垂足,设m =AB 2+CD 2,n =AD 2+BC 2,则m ,n 的大小关系为()图4A.m <n B.m =n C.m >nD.不确定8.如图5,点D 在△ABC 的边AC 上,将△ABC 沿BD 翻折后,点A 恰好与点C 重合.若BC =5,CD =3,则BD 的长为()图5A.1B.2C.3D.49.如图6,设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,黑甲壳虫从点A 出发,白甲壳虫从点C 1出发,它们以相同的速度分别沿棱向前爬行.黑甲壳虫爬行的路线是:AA 1→A 1D 1→D 1C 1→C 1C →CB →BA →AA 1→A 1D 1…,白甲壳虫爬行的路线是:C 1C →CB →BB 1→B 1C 1→C 1C →CB …,那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2018条棱分别停止在所到的正方体顶点处时,它们之间的最短路程的平方是()图6A.2B.3C.4D.510.如图7所示,在长方形纸片ABCD中,已知AD=8,折叠纸片使AB边与对角线AC 重合,点B落在点F处,折痕为AE,且EF=3,则AB的长为()图7A.3B.4C.5D.6二、填空题(每题3分,共18分)11.在△ABC中,若AC2+BC2=AB2,∠A∶∠B=1∶2,则∠B的度数是________.12.古希腊的哲学家柏拉图曾指出:如果m表示大于1的整数,a=2m,b=m2-1,c=m2+1,那么a,b,c为勾股数.请你利用这个结论得出一组勾股数是____________.13.木工师傅做了一个桌面,要求桌面为长方形,现量得桌面的长为60cm,宽为32cm,对角线的长为68cm,则这个桌面________.(填“合格”或“不合格”)14.一座垂直于两岸的桥长27米,一艘小船自桥北头出发,向正南方向驶去,因水流原因,到达南岸后,发现已偏离桥南头36米,则小船实际行驶了________米.15.如图8所示,把长方形纸片ABCD沿EF,GH同时折叠,B,C两点恰好都落在AD边上的点P处,若∠FPH=90°,PF=8,PH=6,则BC边的长为________.图816.我国数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”.如图9,它是用八个全等的直角三角形拼接而成的,记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT 的面积分别为S 1,S 2,S 3,若S 1+S 2+S 3=15,则S 2的值是________.图9三、解答题(共52分)17.(6分)如图10,△ABC 中,D 是BC 上的一点,AB=10,BD=6,AD=8,AC=17.(1)判断AD 与BC 的位置关系,并说明理由;(2)求△ABC 的面积.图1018.(6分)如图11所示,在长方形ABCD 中,AB=CD=24,AD=BC=50,E 是AD 上一点,且AE∶DE=9∶16,判断△BEC 的形状.图1119.(6分)如图12是某同学设计的机器人比赛时行走的路径,机器人从A处先往东走4 m,又往北走1.5m,遇到障碍后又往西走2m,再转向北走4.5m处往东一拐,仅走0.5m 就到达了B处,则点A,B之间的距离是多少?图1220.(6分)如图13所示,有两根长杆隔河相对,一杆高3m,另一杆高2m,两杆相距5m.两根长杆都与地面垂直,现两杆顶部各有一只鱼鹰,它们同时看到两杆之间的河面上E处浮出一条小鱼,于是同时以同样的速度飞下来夺鱼,结果两只鱼鹰同时叼住小鱼.求两杆底部距小鱼的距离各是多少米.(假设小鱼在此过程中保持不动)图1321.(6分)如图14,河边有A,B两个村庄,A村距河边10m,B村距河边30m,两村平行于河边方向的水平距离为30m,现要在河边建一抽水站,需铺设管道抽水到A村和B 村.(1)求铺设管道的最短长度是多少,请画图说明;(2)若铺设管道每米需要500元,则最低费用为多少?图1422.(6分)有一个如图15所示的长方体的透明鱼缸,假设其长AD=80cm,高AB=60cm,水深AE=40cm,在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵,G在水面线EF上,且EG=60cm.一小虫想从鱼缸外的点A处沿缸壁爬到鱼缸内G处吃鱼饵.(1)小虫应该走怎样的路线才可使爬行的路程最短?请画出它的爬行路线,并用箭头标注;(2)试求小虫爬行的最短路程.图1523.(8分)如图16,在由6个大小相同的小正方形组成的方格中,设每个小正方形的边长均为1.(1)如图①,A,B,C是三个格点(即小正方形的顶点),判断AB与BC的位置关系,并说明理由;(2)如图②,连接三格和两格的对角线,求∠α+∠β的度数(要求:画出示意图,并说明理由).图1624.(8分)八年级(3)班开展了手工制作竞赛,每名同学都需在规定时间内完成一件手工作品.陈莉同学在制作手工作品时的第一、二个步骤是:①如图17,先裁下一张长BC=20cm ,宽AB=16cm 的长方形纸片ABCD;②将纸片沿着直线AE 折叠,点D 恰好落在BC 边上的点F 处.请你根据步骤①②解答下列问题:(1)找出图中∠FEC 的余角;(2)求EC 的长.图17答案1.C2.B3.C4.A5.D6.C7.B8.D9.D10.D11.60°12.答案不唯一,如20,99,10113.合格14.4515.2416.517.解:(1)AD ⊥BC .理由如下:因为BD 2+AD 2=62+82=102=AB 2,所以△ABD 是直角三角形,且∠ADB =90°,所以AD ⊥BC .(2)在Rt△ACD 中,因为CD 2=AC 2-AD 2=172-82=152,所以CD =15,所以S △ABC =12BC ·AD =12(BD +CD )·AD =12×21×8=84.18.解:因为AD =50,AE ∶DE =9∶16,所以AE =18,DE =32.在Rt△ABE 中,由勾股定理,得BE 2=AB 2+AE 2=242+182=900.在Rt△CDE 中,由勾股定理,得CE 2=DE 2+CD 2=322+242=1600.在△BCE 中,因为BE 2+CE 2=900+1600=2500=502=BC 2,所以△BEC 是直角三角形.19.解:如图,过点B 作BC ⊥AD 于点C ,由图可知AC =4-2+0.5=2.5(m),BC =4.5+1.5=6(m).在Rt△ABC 中,AB 2=AC 2+BC 2=2.52+62=42.25,所以AB =6.5(m),即点A ,B 之间的距离是6.5m.20.解:由题意可知AB =2m,CD =3m,BC =5m,AE =DE .设BE=x m,则EC=(5-x)m.在Rt△ABE中,由勾股定理,得AE2=AB2+BE2.在Rt△DCE中,由勾股定理,得DE2=CD2+EC2.所以AB2+BE2=CD2+EC2,即22+x2=32+(5-x)2,解得x=3,则5-x=2.所以杆AB底部距小鱼3m,杆CD底部距小鱼2m.21.解:(1)如图,过点A作AC⊥CE于点C,延长AC至点D,使CD=AC,连接BD,交河边于点E,连接AE,则抽水站应建在点E处,可使铺设的管道最短,最短长度为AE+BE,即BD的长.过点B作BF⊥AC于点F,由题意得:AC=10m,CF=30m,BF=30m,所以CD=AC=10m,所以DF=10+30=40(m).在Rt△BDF中,BD2=302+402=502,所以BD=50(m).即铺设管道的最短长度是50m.(2)最低费用为50×500=25000(元).22.解:(1)如图所示,AQ→QG为最短路线.(2)因为AE=40cm,AA′=120cm,所以A′E=120-40=80(cm).因为EG=60cm,所以A′G2=A′E2+EG2=802+602=10000,所以A′G=100cm,所以AQ+QG=A′Q+QG=A′G=100cm,所以小虫爬行的最短路程为100cm.23.解:(1)AB⊥BC.理由:如图①,连接AC.由勾股定理可得AB2=12+22=5,BC2=12+22=5,AC2=12+32=10,所以AB2+BC2=AC2,所以△ABC是直角三角形且∠ABC=90°,所以AB⊥BC.(2)∠α+∠β=45°.理由:如图②,由勾股定理得AB2=12+22=5,BC2=12+22=5,AC2=12+32=10,所以AB2+BC2=AC2,所以△ABC是直角三角形且∠ABC=90°.又因为AB=BC,所以△ABC是等腰直角三角形,所以∠BAC=45°,即∠α+∠γ=45°.由图可知∠β=∠γ,所以∠α+∠β=45°.24.解:(1)∠CFE,∠BAF.(2)由折叠的性质,得AF=AD=20cm,EF=DE.设EC=x cm,则EF=DE=(16-x)cm.在Rt△ABF中,BF2=AF2-AB2=202-162=144,所以BF=12(cm),所以FC=BC-BF=20-12=8(cm).在Rt△EFC中,由勾股定理,得EF2=FC2+EC2,即(16-x)2=82+x2,解得x=6,所以EC的长为6cm.。

北师大版八年级数学上册 第1章 勾股定理 章节测试卷 (含解析)

北师大版八年级数学上册 第1章  勾股定理 章节测试卷 (含解析)

第1章《勾股定理》章节测试卷一.选择题(共10小题,满分30分,每小题3分)1.在我国古代,人们将直角三角形中短的直角边叫做勾,长的直角边叫做股,斜边叫做弦.古希腊哲学家柏拉图研究了勾为偶数,弦与股相差为2的一类勾股数,如:6,8,10;8,15,17…若此类勾股数的勾为2m(m≥3,m为正整数),则其弦(结果用含m的式子表示)是( )A.4m2−1B.4m2+1C.m2−1D.m2+12.如图,五个正方形放在直线MN上,正方形A、C、E的面积依次为3、5、4,则正方形B、D 的面积之和为()A.11B.14C.17D.203.观察下列各方格图中阴影部分所示的图形(每个方格的边长为1),如果将它们沿方格边线或对角线剪开后无缝拼接,不能拼成正方形的是()A.B.C.D.4.如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米,如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2米,则小巷的宽度为( )A.2.2米B.2.3米C.2.4米D.2.5米5.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,AC=5,AD为∠BAC的平分线,将△DAC沿AD向上翻折得到△DAE,使点E在射线AB上,则DE的长为()A.2B.52C.5D.2546.如图,三角形纸片ABC中,点D是BC边上一点,连接AD,把△ABD沿着直线AD翻折,得到△AED,DE交AC于点G,连接BE交AD于点F.若DG=EG,AF=4,AB=5,△AEG的面积为92,则BD2的值为()A.13B.12C.11D.107.图中不能证明勾股定理的是()A. B.C.D.8.如图,将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上,纸片上的点A表示的数是-2,AC=BC=BD=1,若以点A为圆心,AD的长为半径画弧,与数轴交于点E(点E位于点A右侧),则点E表示的数为()A.3B.−2+3C.−1+3D.−39.如图,一个底面周长为24cm,高为5cm的圆柱体,一只蚂蚁沿侧表面从点A到点B所经过的最短路线长为()A.12cm B.13cm C.25cm D.26cm10.勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,是数形结合的重要纽带.数学家欧几里得利用下图验证了勾股定理.以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACHI,正方形ABED,正方形BCGF,连接BI,CD,过点C作CJ⊥DE于点J,交AB于点K.设正方形ACHI 的面积为S1,正方形BCGF的面积为S2,矩形AKJD的面积为S3,矩形KJEB的面积为S4,下列结论中:①BI⊥CD;②S1∶S△ACD=2∶1;③S1-S4=S3-S2;④S1S4=S3S2,正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个二.填空题(共6小题,满分18分,每小题3分)11.小明将4个全等的直角三角形拼成如图所示的五边形,添加适当的辅助线后,用等面积法建立等式证明勾股定理.小明在证题中用两种方法表示五边形的面积,分别是S1= ,S2= .12.勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系,并标示了A,B,C三地的坐标,数据如图(单位:km).笔直铁路经过A,B两地.(1)A,B间的距离 km;(2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l,并在l上建一个维修站D,使CD=13,则AD 的长为 km.13.如图,图1是第七届国际数学教育大会(ICME−7)会徽图案、它是由一串有公共顶点O的直角三角形(如图2)演化而成的.如果图2中的OA1=A1A2=A2A3=⋅⋅⋅=A7A8=1,若S1代表△A1OA2的面积,S2代表△A2OA3的面积,以此类推,则S10的值为.14.把由5个小正方形组成的十字形纸板(如图1)剪开,以下剪法中能够将剪成的若干块拼成一个大正方形的有(填写序号).15.如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=16cm,AC=12cm,点E是BC的中点,动点P从A 点出发以每秒1cm的速度沿A→C→B运动,设点P运动的时间是t秒,那么当t=,△APE的面积等于12.16.已知△ABC中,AC=8,AB=41,BC边上的高AG=5,D为线段AC上的动点,在BC上截取CE=AD,连接AE,BD,则AE+BD的最小值为.三.解答题(共7小题,满分52分)17.(6分)如图,在△ABC中,AD为BC边上的中线,AB=3,AC=5,AD=2,求证:AD⊥AB.18.(6分)如图,∠AOB=90°,OA=8m,OB=3m,一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O,机器人立即从点B出发,沿直线匀速前进拦截小球,恰好在点C处截住了小球.如果小球滚动的路程与机器人行走的路程相等,那么机器人行走的路程BC是多少?19.(8分)以3,4,5为边长的三角形是直角三角形,称3,4,5为勾股数组,记为(3,4,5),类似地,还可得到下列勾股数组:(5,12,13),(7,24,25)等.(1)根据上述三组勾股数的规律,写出第四组勾股数组;(2)用含n(n为正整数)的数学等式描述上述勾股数组的规律,并证明.20.(8分)现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm的无盖长方体木箱(如图,AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm).(1) 求线段BG的长;(2) 现在箱外的点A处有一只蜘蛛,箱内的点C处有一只小虫正在午睡,保持不动.请你为蜘蛛设计一种捕虫方案,使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫.(木板的厚度忽略不计)21.(8分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8.(1)如图(1),把△ABC沿直线DE折叠,使点A与点B重合,求BE的长;(2)如图(2),把△ABC沿直线AF折叠,使点C落在AB边上G点处,请直接写出BF的长.22.(8分)如图1,纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸,我们可以把它剪开拼成一个正方形如图2.(1)你能在3×3方格图(图3)中,连接四个格点(网格线的交点)组成面积为5的正方形吗?若能,请用虚线画出.(2)你能把十个小正方形组成的图形纸(图4),剪开并拼成正方形吗?若能,请仿照图2的形式把它重新拼成一个正方形.(3)如图,是由两个边长不等的正方形纸片组成的一个图形,要将其剪拼成一个既不重叠也无空隙的大正方形,则剪出的块数最少为________块.请你在图中画出裁剪线,并说明拼接方法.23.(8分)公元3世纪初,我国学家赵爽证明勾定理的图形称为“弦图”.1876年美国总统Garfeild用图1(点C、点B、点C′三点共线)进行了勾股定理的证明.△ACB与△BC′B′是一样的直角三角板,两直角边长为a,b,斜边是c.请用此图1证明勾股定理.拓展应用l:如图2,以△ABC的边AB和边AC为边长分别向外作正方形ABFH和正方形ACED,过点F、E分别作BC的垂线段FM、EN,则FM、EN、BC的数量关系是怎样?直接写出结论 .拓展应用2:如图3,在两平行线m、n之间有一正方形ABCD,已知点A和点C分别在直线m、n 上,过点D作直线l∥n∥m,已知l、n之间距离为1,l、m之间距离为2.则正方形的面积是 .答案解析一.选择题1.D【分析】根据题意得2m为偶数,设其股是a,则弦为a+2,根据勾股定理列方程即可得到结论.【详解】解:∵m为正整数,∴2m为偶数,设其股是a,则弦为a+2,根据勾股定理得,(2m)2+a2=(a+2)2,解得a=m2−1,∴弦是a+2=m2−1+2=m2+1,故选:D.2.C【分析】如图:由题意可得∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°,S=AB2=3,S C=DE2=5,S B=AC2,AAC=CE,再根据全等三角形和勾股定理可得S B=S C+S A=5+3=8,同理可得S D=S C+ S E=5+4=9,最后求正方形B、D的面积之和即可.【详解】解:如图:由题意可得:∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°,S=AB2=3,S C=DE2=5,S B=AC2,AC=CEA∴∠BAC+∠ACB=90°,∠DCE+∠ACB=90°,∴∠BAC=∠DCE,∴△ABC≅△CDE,∴DE=BC,∵∠ABC=90°,∴AC2=BC2+AB2,∴AC2=DE2+AB2,即S B=S C+S A=5+3=8,同理:S=S C+S E=5+4=9;D∴S+S B=8+9=17.D故选C.3.C【分析】根据网格的特点分别计算阴影部分的面积即可求得拼接后的正方形的边长,根据网格的特点能否找到构成边长的格点即可求解.【详解】解:A. 阴影部分面积为4,则正方形的边长为2,故能拼成正方形,不符合题意;B.阴影部分面积为10,则正方形的边长为10,∵12+32=10,故能拼成正方形,不符合题意;C.阴影部分面积为11,则正方形的边长为11,根据网格的特点不能构造出11的边,故不能拼成正方形,符合题意D. 阴影部分面积为13,则正方形的边长为13,∵22+32=13,故能拼成正方形,不符合题意;故选C.4.A【分析】将梯子斜靠在墙上时,形成的图形看做直角三角形,根据勾股定理,直角边的平方和等于斜边的平方,可以求出梯子的长度,再次利用勾股定理即可求出梯子底端到右墙的距离,从而得出答案.【详解】如图,在Rt△ACB中,∵∠ACB=90°,BC=0.7米,AC=2.4米,AB2=AC2+BC2∴AB2=0.72+ 2.42= 6.25在Rt△A‘BD中,∵∠A’BD=90°,A’D=2米,BD2+A'D2=A'B2∴BD2+22= 6.25∴BD2= 2.25∵BD>0,∴BD=1.5米,∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米即小巷的宽度为2.2米,故答案选A5.B【分析】根据勾股定理求得BC,进而根据折叠的性质可得AE=AC,可得BE=2,设DE=x,表示出BD,DE,进而在Rt△BDE中,勾股定理列出方程,解方程即可求解.【详解】解:∵在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,AC=5,∴BC=AC2−A B2=52−32=4,∵将△DAC沿AD向上翻折得到△DAE,使点E在射线AB上,∴AE=AC,设DE=x,则DC=DE=x,BD=BC−CD=4−x,BE=AE−AB=5−3=2,在Rt△BDE中,BD2+BE2=DE2,即(4−x)2+22=x2,解得:x=52,即DE的长为52故选:B.6.A【分析】首先根据SAS证明△BAF≌△EAF可得AF⊥BE,根据三角形的面积公式求出AD,根据勾股定理求出BD即可.【详解】解:由折叠得,AB=AE,∠BAF=∠EAF,在△BAF和△EAF中,{AB=AE∠BAF=∠EAFAF=AF,∴△BAF≌△EAF(SAS),∴BF=EF,∴AF⊥BE,又∵AF=4,AB=5,∴BF=AB2−A F2=3,在△ADE中,EF⊥AD,DG=EG,设DE边上的高线长为h,∴S△ADE =12AD⋅EF=12DG⋅h+12EG⋅h,即S△ADG +S△AEG=12AD⋅EF,∵S△AEG =12⋅GE⋅h=92,S△ADG=S△AEG,∴S△ADG +S△AEG=92+92=9,∴9=12AD⋅3,∴AD=6,∴FD=AD−AF=6−4=2,在Rt△BDF中,BF=3,FD=2,∴BD2=BF2+FD2=32+22=13,故选:A.7.A【分析】根据各个图象,利用面积的不同表示方法,列式证明结论a2+b2=c2,找出不能证明的那个选项.【详解】解:A选项不能证明勾股定理;B选项,通过大正方形面积的不同表示方法,可以列式(a+b)2=4×12ab+c2,可得a2+b2 =c2;C选项,通过梯形的面积的不同表示方法,可以列式(a+b)22=2×12ab+12c2,可得a2+b2=c2;D选项,通过这个不规则图象的面积的不同表示方法,可以列式c2+2×12ab=a2+b2+2×12ab,可得a2+b2=c2.故选:A.8.B【详解】根据勾股定理得:AB=2,AD=3,∴AE=3,∴OE=2−3,∴点E表示的数为−2+3.故答案为:B.9.B【分析】先将圆柱圆的侧面沿着点A所在的棱线剪开,得到长方形,得到AC=5cm,BC=242=12 cm,由此即可以利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路线AB的长.【详解】如图,沿着点A所在的棱线剪开,此时AC=5cm,BC=242=12cm,∴蚂蚁爬行的最短路线AB=AC2+BC2=52+122=13cm,故选:B.10.D【分析】利用正方形的性质证明△ABI≌△ADC,得出∠AIB=∠ACD,即可得出∠CNI=∠NAI,即可判断①,利用△ABI≌△ADC,即可求出△ABI的面积,即可判断②,由勾股定理和S3+S4=S▱ABED,即可判断③,由③S1-S4=S3-S2,两边平方,根据勾股定理可得AC2−B C2=AK2−B K2,然后计算S12+S42−(S22+S32)=0,即可判断④.【详解】解:∵四边形ACHI和四边形ABED为正方形,∴AI=AC,AD=AB,∠CAI=∠BAD=90°,∵∠BAI=∠BAC+∠CAI,∠DAC=∠BAC+∠BAD,∴∠BAI=∠DAC,∴△ABI≌△ADC(SAS),∴∠AIB=∠ACD,∵∠CNI=∠CAI=90°,∴BI⊥CD,故①正确;∵S△ACD=S△AIB=12×AI×AC,S正方形ACHI=S1=AI×AC,∴S1:S△ACD=2:1,故②正确;∵S1=AC2,S2=BC2,S3+S4=S正方形ADEB=AB2,AC2+BC2=AB2,∴S1+S2=S3+S4,∴S1-S4=S3-S2,故③正确;∵ S1-S4=S3-S2,∴S12+S42−2S1S4=S22+S32−2S2S3,∵S1=AC2,S2=BC2,S3=AK•KJ= AK•AB,S4=BK•KJ=BK•AB,∴S12+S42=AC4+AB2BK2,S22+S32=BC4+AK2AB2,∵AB2=AC2+ BC2,AC2=AK2+CK2,BC2=BK2+CK2,∴AC2−A K2=BC2−B K2,即AC2−B C2=AK2−B K2,∴S12+S42−(S22+S32)=AC4+AB2BK2−(BC4+AK2AB2)=AC4−B C4+AB2(BK2−A K2)=(AC2+BC2)(AC2−B C2)−A B2(AC2−B C2) =AB2(AC2−B C2)−AB2(AC2−B C2)=0,∴S1•S4=S2•S3,故④正确,二.填空题11.c2+ab a2+b2+ab【详解】解:如图所示:S1=c2+12ab×2=c2+ab,S2=a2+b2+12ab×2=a2+b2+ab.故答案为c2+ab,a2+b2+ab.12. 20 13【分析】(1)根据两点的纵坐标相同即可得出AB的长度;(2)过C作AB的垂线交AB于点E,连接AD,构造方程解出即可.【详解】(1)根据A、B两点的纵坐标相同,得AB=12−(−8)=20故答案为:20(2)如图:设AD=a,根据点A、B的纵坐标相同,则AE=12,CE=1−(−17)=18由ΔADE是直角三角形,得:(CE−CD)2+AE2=a2∴52+122=a2故答案为:13 13.102【分析】利用勾股定理依次计算出OA2=2,OA3=3,OA4=4=2,.. OA n=n,然后依据计算出前几个三角形的面积,然后依据规律解答求得S10即可.【详解】由题意得:OA2=OA12+A1A22=12+12=2,OA3=OA22+A2A32=12+(2)2=3,OA4=OA32+A3A42=12+(3)2=4=2,∴OAn=n,∴OA10=10,∴S10=12OA10⋅A10A11=12×10×1=102,故答案为:102.14.①③【分析】设小正方形的边长为1,则5个小正方形的面积为5,进而可知拼成的大正方形的边长为5,再根据所画虚线逐项进行拼接,看哪种剪法能拼成边长为5的正方形即可.【详解】解:按照①中剪法,在外围四个小正方形上分别剪一刀然后放到相邻的空处,可拼接成边长为5的正方形,符合题意;如下图所示,按照③中剪法,通过拼接也可以得到边长为5的正方形,符合题意;按照②中剪法,无法拼接成边长为5的正方形,不符合题意;故选①③.故答案为:①③.15.3或18或22【分析】分当点P在线段AB上运动时,当点P在线段BC上运动且在点E的右边时和当点P在线段BC上运动且在点E的左边时三种情况讨论,即可求出t的值.【详解】解:∵∠C=90°,BC=16cm,AC=12cm,∴AB=AC2+BC2=162+122=20,∵点E是BC的中点,∴CE=BE=12BC=8cm,S△ACE=S△ABE=12S△ABC=12×12×12×16=48cm2.当点P在线段AC上运动时,∵△APE的面积等于12,即S△APE =14S△ACE,∴AP=14AC=3,∴t=3÷1=3秒;当点P在线段BC运动时上且在点E的右边时,,如图2所示,同理可知BP=14BE=2cm,∴t=(12+8+2)÷1=22秒;当点P在线段BC上运动且在点E的左边时,如图3所示,同理可知CP=12CE=2cm,∴t=(12+8−2)÷1=18秒;故答案为∶3或18或22.16.13【分析】通过过点A 作GC 的平行线AN ,并在AN 上截取AH =AC ,构造全等三角形,得到当B ,D ,H 三点共线时,可求得AE +BD 的最小值;再作垂线构造矩形,利用勾股定理求解即可.【详解】如图,过点A 作GC 的平行线AF ,并在AF 上截取AH =AC ,连接DH ,BH .则∠HAD =∠C .在△ADH 和△CEA 中,{AD =CE ,∠HAD =∠C ,AH =CA ,∴△ADH≌△CEA(SAS),∴DH =AE ,∴AE +BD =DH +BD ,∴当B ,D ,H 三点共线时,DH +BD 的值最小,即AE +BD 的值最小,为BH 的长.∵AG ⊥BG ,AB =41,AG =5,∴在Rt △ABG 中,由勾股定理,得BG =AB 2−A G 2=(41)2−52=4.如图,过点H 作HM ⊥GC ,交GC 的延长线于点M ,则四边形AGMH 为长方形,∴HM =AG =5,GM =AH =AC =8,∴在Rt △BMH 中,由勾股定理,得BH =BM 2+HM 2=(4+8)2+52=13.∴AE+BD的最小值为13.故答案为:13.三.解答题17.证明:如图,延长AD至点E,使得AD=DE,连接CE,∵AD为BC边上的中线,∴BD=DC,又∵AD=DE,∠ADB=∠EDC,∴△ABD≌△ECD,∴AB=EC=3,∠BAD=∠E,又∵AE=2AD=4,AC=5,∴AC2=AE2+CE2,∴∠E=90°∴∠BAD=∠E=90°∴AD⊥AB.18.解:∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等,∴BC=AC,设BC=AC=x m,则OC=(8-x)m,在Rt△BOC中,∵OB2+OC2=BC2,.∴32+(8-x)2=x2,解得x=7316∴机器人行走的路程BC为73m.1619.(1)解:第一组勾股数的第一个数为3=2×1+1,第二个数为4=2×1×(1+1),第三个数为4=2×(1+1)+1,第二组勾股数的第一个数为5=2×2+1,第二个数为12=2×2×(2+1),第三个数为12=2×2×(2+1)+1,第三组勾股数的第一个数为7=2×3+1,第二个数为24=2×3×(3+1),第三个数为25=2×3×(3+1)+1,所以第四组勾股数组的第一个数为2×4+1=9,第二个数为2×4×(4+1)=40,第三个数为2×4×(4+1)+1=41,∴第四组勾股数组为(9,40,41);(2)解:由(1)可知:第n组勾股数为(2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1),证明:∵(2n+1)2+(2n2+2n)2=4n2+4n+1+4n4+8n3+4n2=4n4+8n3+8n2+4n+1,(2n2+2n+1)2=(2n2+2n+1)(2n2+2n+1)=4n4+4n3+2n2+4n3+4n2+2n+2n2+2n+1=4n4+8n3+8n2+4n+1∴(2n+1)2+(2n2+2n)2=(2n2+2n+1)220.解:(1)如图,连接BG.在直角△BCG中,由勾股定理得到:BG=BC2+GC2=42+32=5(dm),即线段BG的长度为5dm;(2)①把ADEH展开,如图此时总路程为(3+3+5)2+42=137②把ABEF展开,如图此时的总路程为(3+3+4)2+52=125=55③如图所示,把BCFGF展开,此时的总路程为(3+3)2+(5+4)2=117由于117<125<137,所以第三种方案路程更短,最短路程为117.21.(1)解:∵直线DE是对称轴,∴AE=BE,∵AC=6,BC=8,设AE=BE=x,则CE=8−x在Rt△ACE中,∠C=90°,∴AC2+CE2=AE2,∴62+(8−x)2=x2,,解得x=254∴BE=254(2)解:∵直线AF是对称轴,∴AC=AG,CF=CG,∵AC=6,BC=8,设CF=CG=x,则BF=8−x,∴在Rt△ACB中,∠C=90°,AB=AC2+BC2=62+82=10,∴BG=AB−AG=4,在Rt△BGF中,∠BGF=90°,∴GF2+BG2=BF2,∴x2+42=(8−x)2,解得x=3,∴BF=8−3=5.22.解:(1)能,如图所示,正方形ABCD即为所求;(2)能,如图所示,正方形ABCD即为所求;(3)如图所示,在AB上截取AM=BE,连接DM、MF,DM、FM即为裁剪线,将△DAM拼接△DCH处,使DA与DC重合,将△MEF拼接至△HGF处,使ME和HG重合,EF与FG 重合,得到正方形DMFH,∴剪出的块数最少为5块,故答案为:5.23.如图:∵点C、点B、点B′三点共线,∠C=∠C′=90°,∴四边形ACC′B′是直角梯形,∵△ACB与△BC′B′是一样的直角三角板,∴Rt△ACB≌Rt△BC′B′,∴∠CAB=∠C′BB′,AB=BB′,∴∠CBA+∠C′BB’=90°∴△ABB′是等腰直角三角形,,所以S梯形ACC′B′=(AC+B′C′)•CC′÷2=(a+b)22S △ACB =12AC ⋅BC =12ab ,S △BC ′B ′=12ab ,S △ABB ′=12c 2,所以(a +b)22=12ab +12ab +12c 2,a 2+2ab+b 2=ab+ab+c 2,∴a 2+b 2=c 2;拓展1.过A 作AP ⊥BC 于点P ,如图2,则∠BMF =∠APB =90°,∵∠ABF =90°,∴∠BFM+∠MBF =∠MBF+∠ABP ,∴∠BFM =∠ABP ,在△BMF 和△ABP 中,{∠BFM =∠ABP ∠BMF =∠APB =900BF =AB,∴△BMF ≌△ABP (AAS ),∴FM =BP ,同理,EN =CP ,∴FM+EN =BP+CP ,即FM+EN =BC ,故答案为FM+EN =BC ;拓展2.过点D 作PQ ⊥m ,分别交m 于点P ,交n 于点Q ,如图3,则∠APD =∠ADC =∠CQD =90°,∴∠ADP+∠DAP =∠ADP+∠CDQ =90°,∴∠DAP =∠CDQ ,在△APD 和△DQC 中,{∠DAP =∠CDQ ∠APD =∠DQC AD =DC,∴△APD ≌△DQC (AAS ),∴AP =DQ =2,∵PD =1,∴AD 2=22+12=5,∴正方形的面积为 5,故答案为5.。

北师大版八年级上册数学第一章《勾股定理》测试卷(含答案)

北师大版八年级上册数学第一章《勾股定理》测试卷(含答案)

北师大版八年级上册数学第一章《勾股定理》测试卷(含答案)一.选择题1.下列线段不能构成直角三角形的是()A.5,12,13B.2,3,C.4,7,5D.1,,2.下列各组数中,能构成直角三角形的三边的长度是()A.3,5,7B.,,C.0.3,0.5,0.4D.5,22,233.如图,某公园处有一块长方形草坪,有极少数人为了避开拐角∠AOB走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”AB.他们踩伤草坪,仅仅少走了()A.4m B.6m C.8m D.10m4.放学以后,小红和小颖从学校分手,分别沿东南方向和西南方向回家,若小红和小颖行走的速度都是40米/分,小红用15分钟到家,小颖20分钟到家,小红和小颖家的直线距离为()A.600米B.800米C.1000米D.不能确定5.传说,古埃及人常用“拉绳”的方法画直角,有一根长为m的绳子,古埃及人用这根绳子拉出了一个斜边长为n的直角三角形,那么这个直角三角形的面积用含m和n的式子可表示为()A.B.C.D.6.如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,此图是由四个全等的直角三角形拼接而成,其中AE=5,BE=12,则EF的长是()A.7B.8C.7D.77.如图,圆柱形玻璃板,高为12cm,底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm与蜂蜜相对的A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离()cm.A.14B.15C.16D.178.有一个边长为1的正方形,经过一次“生长”后,在他的左右肩上生出两个小正方形,其中,三个正方形围成的三角形是直角三角形,再经过一次“生长”后,变成了如图,如果继续“生长”下去,它将变得“枝繁叶茂”,请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是()A.2022B.2021C.2020D.19.下列各组数中,不是勾股数的是()A.6,8,10B.9,41,40C.8,12,15D.5k,12k,13k(k为正整数)10.已知,如图长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠,使点B与点D 重合,折痕为EF,则△ABE的面积为()A.3cm2B.4cm2C.6cm2D.12cm2二.填空题11.勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,点D,E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的边上,则矩形KLMJ的面积为.12.如图,已知一根长8m的竹竿在离地3m处断裂,竹竿顶部抵着地面,此时,顶部距底部有m.13.如图,在△ABC中,AB=AC=10,BD是边AC上的高,CD=2,则BD=.14.将一副三角尺如图所示叠放在一起,如果AB=10cm,那么AF=cm.15.若△ABC的三边a、b、c,其中b=1,且(a﹣1)2+|c﹣|=0,则△ABC的形状为.16.如图,已知在Rt△ABC中,∠BCA=90°,AB=4,分别以AC、BC为直径作半圆,面积分别记为S1,S2,则S1+S2=.17.如图,已知∠ADC=90°,AD=8m,CD=6m,BC=24m,AB=26m,则图中阴影部分的面积为.18.请写出两组勾股数:、.19.如图,某开发区有一块四边形的空地ABCD,现计划在空地上种植草皮,经测量∠A=90°,AB=3m,BC=12m,CD=13m,DA=4m,若每平方米草皮需要200元,则要投入元.20.如图,三级台阶,每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm.A和B是这个台阶上两个相对的端点,点A处有一只蚂蚁,想到点B处去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为dm.三.解答题21.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AM是中线,MN⊥AB,垂足为点N,求证:AN2﹣BN2=AC2.22.如图,∠B=90°,AB=4,BC=3,CD=12,AD=13,点E是AD的中点,求CE的长.23.如图,将Rt△ABC绕其锐角顶点A旋转90°得到Rt△ADE,连接BE,延长DE、BC 相交于点F,则有∠BFE=90°,且四边形ACFD是一个正方形.(1)判断△ABE的形状,并证明你的结论;(2)用含b代数式表示四边形ABFE的面积;(3)求证:a2+b2=c2.24.如图,在正方形网格中,小正方形的边长为1,点A,B,C为网格的交点.(1)判断△ABC的形状,并说明理由;(2)求AB边上的高.25.如图,在数轴上作出表示的点(不写作法,要求保留作图痕迹).26.在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积.某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程.作AD⊥BC于D,设BD=x,用含x的代数式表示CD→根据勾股定理,利用AD作为“桥梁”,建立方程模型求出x→利用勾股定理求出AD的长,再计算三角形的面积.27.观察下列勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;…,a,b,c 根据你发现的规律,请写出(1)当a=19时,求b、c的值;(2)当a=2n+1(n为正整数)时,求b、c的值;(3)用(2)的结论判断15,111,112是否为一组勾股数,并说明理由.参考答案一.选择题1.解:A、52+122=169=132,故是直角三角形,不符合题意;B、22+()2=9=32,故是直角三角形,不符合题意;C、42+52=41≠72,故不是直角三角形,符合题意;C、12+()2=()2,故是直角三角形,不符合题意.故选:C.2.解:A、∵32+52=34≠72,∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形,故选项错误;B、∵()2+()2=7≠()2 ,∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形,故选项错误;C、∵(0.3)2+(0.4)2=0.25=(0.5)2,∴以这三个数为长度的线段,能构成直角三角形,故选项正确;D、∵52+222=509≠232,∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形,故选项错误.故选:C.3.解:在Rt△AOB中,AB==10m,∴AO+BO﹣AB=6+8﹣10=4m.即少走了4m.故选:A.4.解:根据题意得:如图:OA=40×20=800m.OB=40×15=600m.在直角△OAB中,AB==1000米.故选:C.5.解:设这个直角三角形的两直角边分别为a,b,由题意可得,,∴2ab=(a+b)2﹣(a2+b2)=(m﹣n)2﹣n2=m2﹣2mn,∴这个直角三角形的面积=ab=.故选:A.6.解:∵AE=5,BE=12,即12和5为两条直角边长时,小正方形的边长=12﹣5=7,∴EF=;故选:C.7.解:沿过A的圆柱的高剪开,得出矩形EFGH,过C作CQ⊥EF于Q,作A关于EH的对称点A′,连接A′C交EH于P,连接AP,则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离,∵AE=A′E,A′P=AP,∴AP+PC=A′P+PC=A′C,∵CQ=×18cm=9cm,A′Q=12cm﹣4cm+4cm=12cm,在Rt△A′QC中,由勾股定理得:A′C==15cm,故选:B.8.解:由题意得,正方形A的面积为1,由勾股定理得,正方形B的面积+正方形C的面积=1,∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2,同理可得,“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3,∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4,……∴“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2022.故选:A.9.解:A、62+82=102,能构成直角三角形,是正整数,故是勾股数;B、92+402=412,能构成直角三角形,是正整数,故是勾股数;C、82+122≠152,不能构成直角三角形,故不是勾股数;D、(5k)2+(12k)2=(13k)2,能构成直角三角形,是正整数,故是勾股数;故选:C.10.解:将此长方形折叠,使点B与点D重合,∴BE=ED.∵AD=9cm=AE+DE=AE+BE.∴BE=9﹣AE,根据勾股定理可知AB2+AE2=BE2.解得AE=4.∴△ABE的面积为3×4÷2=6.故选:C.二.填空题11.解:如图,延长AB交KF于点O,延长AC交GM于点P,所以,四边形AOLP是正方形,边长AO=AB+AC=3+4=7,所以,KL=3+7=10,LM=4+7=11,因此,矩形KLMJ的面积为10×11=110.故答案是:110.12.解:由图形及题意可知,AB2+BC2=AC2设旗杆顶部距离底部有x米,有32+x2=52,得x=4,故答案为4.13.解:由已知得:AD=AC﹣CD=8,AB=10,∵BD是高,∴△ADB是直角三角形,∴BD2+AD2=AB2,∴BD==6.14.解:在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠B=30°,∴AC=AB=5,∵FC∥DE,∴∠AFC=∠D=45°,由勾股定理得,AF==5(cm),故答案为:5.15.解:∵(a﹣1)2+|c﹣|=0,∴a﹣1=0,c﹣=0,解得a=1,c=,∵12+12=()2,∴△ABC的形状为等腰直角三角形.故答案为:等腰直角三角形.16.解:S1=π()2=πAC2,S2=πBC2,所以S1+S2=π(AC2+BC2)=πAB2=2π.故答案为:2π.17.解:在Rt△ADC中,∵CD=6m,AD=8m,∠ADC=90°,BC=24m,AB=26m,∴AC2=AD2+CD2=82+62=100,∴AC=10m,(取正值).在△ABC中,∵AC2+BC2=102+242=676,AB2=262=676.∴AC2+BC2=AB2,∴△ACB为直角三角形,∠ACB=90°.∴S=AC×BC﹣AD×CD=×10×24﹣×8×6=96(m2).阴影故答案是:96m218.解:两组勾股数是:3、4、5;6、8、10;故答案为:3、4、5;6、8、10.19.解:连接BD,在Rt△ABD中,BD2=AB2+AD2=32+42=52,在△CBD中,CD2=132BC2=122,而122+52=132,即BC2+BD2=CD2,S 四边形ABCD =S △BAD +S △DBC =,==36. 所以需费用36×200=7200(元).故答案为:720020.解:三级台阶平面展开图为长方形,长为8dm ,宽为(2+3)×3dm , 则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长.可设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为xdm ,由勾股定理得:x 2=82+[(2+3)×3]2=172,解得x =17.故答案为:17.三.解答题21.证明:∵MN ⊥AB 于N ,∴BN 2=BM 2﹣MN 2,AN 2=AM 2﹣MN 2∴BN 2﹣AN 2=BM 2﹣AM 2,又∵∠C =90°,∴AM 2=AC 2+CM 2∴BN 2﹣AN 2=BM 2﹣AC 2﹣CM 2,又∵BM =CM ,∴BN 2﹣AN 2=﹣AC 2,即AN 2﹣BN 2=AC 2.22.解:在Rt △ABC 中,∠B =90°,∴,∵CD =12,AD =13,∵AC 2+CD 2=52+122=169,AD 2=169,∴AC 2+CD 2=AD 2,∴∠C =90°,∴△ACD 是直角三角形,∵点E 是AD 的中点,∴CE =.23.(1)△ABE 是等腰直角三角形,证明:∵Rt △ABC 绕其锐角顶点A 旋转90°得到在Rt △ADE ,∴∠BAC =∠DAE ,∴∠BAE =∠BAC +∠CAE =∠CAE +∠DAE =90°,又∵AB =AE ,∴△ABE 是等腰直角三角形;(2)∵四边形ABFE 的面积等于正方形ACFD 面积,∴四边形ABFE 的面积等于:b 2.(3)∵S 正方形ACFD =S △BAE +S △BFE即:b 2=c 2+(b +a )(b ﹣a ),整理:2b 2=c 2+(b +a )(b ﹣a )∴a 2+b 2=c 2.24.解:(1)△ABC 为直角三角形,理由:由图可知,,BC =,AB ==5,∴AC 2+BC 2=AB 2,∴△ABC是直角三角形;(2)设AB边上的高为h,由(1)知,,BC=,AB=5,△ABC是直角三角形,∴=,即=h,解得,h=2,即AB边上的高为2.25.解:所画图形如下所示,其中点A即为所求;.26.解:如图,在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,设BD=x,则有CD=14﹣x,由勾股定理得:AD2=AB2﹣BD2=152﹣x2,AD2=AC2﹣CD2=132﹣(14﹣x)2,∴152﹣x2=132﹣(14﹣x)2,解之得:x=9,∴AD=12,∴S=BC•AD=×14×12=84.△ABC27.解:(1)观察得给出的勾股数中,斜边与较大直角边的差是1,即c﹣b=1∵a=19,a2+b2=c2,∴192+b2=(b+1)2,∴b=180,∴c=181;(2)通过观察知c﹣b=1,∵(2n+1)2+b2=c2,∴c2﹣b2=(2n+1)2,(b+c)(c﹣b)=(2n+1)2,∴b+c=(2n+1)2,又c=b+1,∴2b+1=(2n+1)2,∴b=2n2+2n,c=2n2+2n+1;(3)由(2)知,2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1为一组勾股数,当n=7时,2n+1=15,112﹣111=1,但2n2+2n=112≠111,∴15,111,112不是一组勾股数.。

第一章 勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-北师大版(含答案)

第一章 勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-北师大版(含答案)

第一章勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-北师大版(含答案)一、单选题(共15题,共计45分)1、如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,∠APC=30°,则CD的长为()A. B.2 C.2 D.82、满足下列条件的三角形是直角三角形的有()个.⑴在△ABC中,∠A=15°,∠B=75°;⑵在△ABC中,AB=12,BC=16,AC=20;⑶一个三角形三边长之比为5:12:13;⑷一个三角形三边长a、b、c满足a2﹣b2=c2.A.1B.2C.3D.43、以下各组数为边长的三角形中,能组成直角三角形的是()A.1,2,3B.2,3,4C.4,5,6D.5,12,134、在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,满足下列条件的△ABC 不是直角三角形的是()A.∠A∶∠B∶∠C = 1∶1∶2B.a∶b∶c =1∶1∶C.D.∠A+∠B=2∠C5、如图,四边形是菱形,对角线,相交于点O,,,点E是上一点,连接,若,则的长是()A.2B.C.3D.46、如图,△ABC中AD⊥BC于D,AB=3,BD=2,DC=1,则AC等于()A.6B.C.D.47、如图,将置于平面直角坐标系中的三角板AOB绕O点顺时针旋转90°得△A'OB'.已知∠AOB=30°,∠B=90°,AB=1,则B'点的坐标为 ( )A. B. C. D.8、如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB于E,若AB=6cm,则△DBE的周长是()A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm9、如图,矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,∠AOB=600, AB=5,则AD的长是()A.5B.5C.5D.1010、在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12,则点C到斜边AB的距离是()A. B. C.9 D.611、如图,把矩形ABCD绕点A顺时针旋转,使点B的对应点B落在DA的延长线上,若AB =2,BC=4,则点C与其对应点C的距离为()A.6B.8C.2D.212、如图,根据图中的标注和作图痕迹可知,在数轴上的点所表示的数为()A. B. C. D.13、下列各组数中,能作为直角三角形的三边长的是()A.1,2,3B. ,,C.3,3,5D.6,8,914、如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,点E、F分别为AC和AB的中点,则EF=()A.3B.4C.5D.615、如图所示,已知在三角形纸片中,,,,在边上取一点,以为折痕,使的一部分与重合,与延长线上的点重合,则的长度为()A. B. C. D.二、填空题(共10题,共计30分)16、如图所示,矩形纸片ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,现将其沿EF对折,使得点C与点A 重合,则EF长为________cm.17、如图,在周长为16,面积为6的矩形纸片中,是的中点. 是上一动点,将沿直线折叠,点落在点处.在上任取一点,连接,,则的最小值为________.18、如图,过圆外一点P作⊙O的切线PC,切点为B,连结OP交圆于点A.若AP=0A=1,则该切线长为________.19、如图,学校有一块长方形花铺,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花铺内走出了一条“路”.他们仅仅少走了________步路(假设2步为1米),却踩伤了花草.20、如图四边形中,,,,,则的长为________.21、如图,方格纸上有一个格点三角形和一条格点线段AB.在这个格点纸上找一点C,使得△ABC与这个格点三角形全等,这样的C点可以找到________个.22、如图,点A(2,a)在直线y=x上,AB⊥x轴于点B,若点C在△AOB的内部,到点O、B的距离相等且CA=AB,则点C的坐标为________.23、四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD,过各较长直角边的中点作垂线,围成面积为2的小正方形EFGH.已知AM为Rt△ABM较长直角边,AM=4 EF,则正方形ABCD的面积为________24、如图,在边长为4的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD边的中点,点N是AB边上一动点,将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN,连接A′C,则线段A′C长度的最小值是________.25、如图,矩形ABCD中,AB=12,AD=15,E是CD上的点,将△ADE沿折痕AE折叠,使点D落在BC边上点F处,点P是线段CB延长线上的动点,连接PA,若△PAF是等腰三角形,则PB的长为________.三、解答题(共5题,共计25分)26、已知,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB垂足为D,BC=6,AC=8,求AB与CD的长.27、如图,在梯形ABCD中, ,,求DC的长.28、如图在中,,点E,F分别在上,求证:.29、在右图的正方形网格中,每个小正方形的边长为1.请在图中画一个面积为10的正方形,并写出其边长.(要求:正方形的顶点都在格点上)30、生活表明,靠墙摆放梯子时,若梯子底端离墙距离为梯子长度的,则梯子比较稳定.现有一长度为6米的梯子,当梯子稳定摆放时,它的顶端能达到5.7米高的墙头吗?参考答案一、单选题(共15题,共计45分)1、C2、D3、D4、D5、B6、B7、A8、A9、A11、D12、A13、B14、A15、A二、填空题(共10题,共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、三、解答题(共5题,共计25分)26、27、28、29、30、。

第一章 勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-北师大版(含答案)

第一章 勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-北师大版(含答案)

第一章勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-北师大版(含答案)一、单选题(共15题,共计45分)1、一直角三角形的两直角边长为3和4,则第三边长为()A. B.5 C. 或5 D.72、如图,点A在双曲线y=上,且OA=4,过A作AC⊥x轴,垂足为C,OA的垂直平分线交OC于B,则△ABC的周长为()A.2B.4C.D.53、小明搬来一架 3.5 米长的木梯,准备把拉花挂在 2.8 米高的墙上,则梯脚与墙脚的距离为( )A.2.7 米B.2.5 米C.2.1 米D.1.5 米4、如图,在半径为4的⊙O中,弦AB=6,点C是优弧上一点(不与A,B重合),则cosC的值为()A. B. C. D.5、一艘轮船以16n mile/h的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12n mile/h 的速度从港口A出发向东南方向航行,则3h后两船相距()A.36n mileB.48n mileC.60n mileD.54n mile6、已知⊙O的直径AB=8cm,点C在⊙O上,且∠B0C=60°,则AC的长为()A.4cmB.4 cmC.5cmD.2.5cm7、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以点A为圆心,AC长为半径作圆弧交边AB于点D.若 AC=3,BC=4.则BD的长是()A.2B.3C.4D.58、已知下列三角形的各边长:①3、4、5,②5、12、13,③3、4、6,④5、11、12其中直角三角形有()A.4个B.3个C.2个D.1个9、以下列各组数作为三角形的三边长,其中不能构成直角三角形的是()A.1,1,B.12,16,20C.1,,D.1,2,210、下列各组数,可以作为直角三角形的三边长的是()A.8,12,20B.2,3,4C.8,10,6D.5,13,1511、图1为一个长方体,AD=AB=10,AE=6,M,N为所在棱的中点,图2为图1的表面展开图,则图2中MN的长度为()A.11B.10C.10D.812、如图,正方形ABCD的边长为1,E、F分别是BC,CD上的点,且△AEF是等边三角形,则BE的长为()A. B. C. D.13、如图有两棵树,一棵高6米,另一棵高3米,两树相距4米。

八年级(北师大)勾股定理单元测试(一)

八年级(北师大)勾股定理单元测试(一)

(第6题)A北师大数学八年级(上)《勾股定理》单元测试班级_________ 姓名__________ 得分__________(时间:约45分钟)一、填空题(每题3分,合计30分)1、在一个直角三角形中,两直角边分别为3和4,则这个三角形的斜边是____。

2、已知甲往西走了5m ,乙往南走了12m ,这时甲、乙相距_______。

3、如图,三个正方形围成一个直角三角形,81、144分别为所在正方形的面积,则图中字母A 所代表的正方形面积是_______。

4、若三角形三条边的长分别为7,24,25,则这个三角形的最大内角是 度.5、如果一个直角三角形的一条直角边和斜边分别是5cm 和13cm ,则另一条直角边长为______cm 。

6、如图,在等腰△ABC 中,AB=AC=10,BC=12,则高AD=________;7、直角三角形两直角边分别b 和c ,斜边为a ,那么三边满足 。

8、如图,从电线杆离地面6米处向地面拉一条 长10米的缆绳,这条缆绳在地面的固定点 距离电线杆底部为 米。

9、如图:一个圆柱高8cm,底面上圆的周长等于30cm,一只蚂蚁从A处到B处吃食,要爬行的最短路径是________。

10、如图中阴影部分是一个正方形,如果正方形的面积为64厘米2,则X的长为厘米。

二、选择题(每小题4分,共计24分)1、下列各组能组成直角三角形的是()A.2,3,4 B.10,8,4 C.7,25,24 D.7,15,122、下列各组数中,以a,b,c为边的三角形不是直角三角形的是()A、3,4,5B、5,9,12C、5,12,13D、8,15,173、将直角三角形三边长的长度都扩大相同的倍数后,得到的三角形( ).A. 仍是直角三角形B. 不可能是直角三角形C. 可能是锐角三角形D. 可能是钝角三角形4、在△ABC中,若a=6 ,b=8,c=10,则这个△ABC是()三角形A、直角 B 、锐角C、钝角D、无法确定5、已知一个Rt△的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是()A.25 B.14 C.7 D.7或256、如图,直角△ABC的周长为24,且AB:AC=5:3,则BC=()A.6 B.8C.10 D.12三、解答题(总分46)1、在Rt△ABC中,∠C=900,∠A、∠B、∠C 所对的边分别为a、b、c.若c=25,b=15,求a ;(8分)2、如图,某人欲横渡一条河,由于水流的影响,实际上岸地点C偏离欲到达点B 200m,结果他在水中实际游了520m,求该河流的宽度为多少?(10分)3、如图3-2,在△ABD中,∠A是直角,AB=3,AD=4,BC=12,DC=13,求四边形ABCD的面积.(13分)DCBA N OMAM ON B4、如图,一架长为5米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙ON 上,梯子底端距离墙ON 有3米。

北师大版八年级上册数学第一章勾股定理单元测试卷(一)(二)(两套含答案)

北师大版八年级上册数学第一章勾股定理单元测试卷(一)(二)(两套含答案)

北师大版八年级上册数学第一章勾股定理单元测试卷(一)一、选择题1.已知一个Rt△的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是()或252.下列各组数中,以a,b,c为边的三角形不是Rt△的是()=7,b=24,c=25 =7,b=24,c=24=6,b=8,c=10 =3,b=4,c=53.%4.若线段a,b,c组成Rt△,则它们的比可以是()∶3∶4 ∶4∶6∶12∶13 ∶6∶75.已知,一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口2小时后,则两船相距()海里海里海里海里6.如图,正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,则△ABC是()A.直角三角形B.锐角三角形【C.钝角三角形D.以上答案都不对7.如果Rt△的两直角边长分别为n2-1,2n(其中n >1),那么它的斜边长是()+1-1 +18.已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a+b=14cm,c=10cm,则Rt△ABC的面积是()A.24cm2B.36cm2C.48cm2D.60cm29.?10.等腰三角形底边长10 cm,腰长为13,则此三角形的面积为()11.三角形的三边长为(a+b)2=c2+2ab,则这个三角形是( )A.等边三角形;B.钝角三角形;C.直角三角形;D.锐角三角形12.已知,如图,长方形ABCD中,AB=3,AD=9,将此长方形折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则△ABE的面积为()*二、填空题13.在Rt△ABC中,∠C=90°,①若a=5,b=12,则c=___________;②若a=15,c=25,则b=___________;③若c=61,b=60,则a=__________;④若a∶b=3∶4,c=10则S Rt△ABC=________14.在△ABC中,AC=17 cm,BC= 10 cm,AB=9 cm,这是一个_________三角形(按角分)。

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一、选择题1. 已知一个Rt△的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是()A.25B.14C.7D.7或252. 下列各组数中,以a,b,c为边的三角形不是Rt△的是()A.a=7,b=24,c=25B.a=7,b=24,c=24C.a=6,b=8,c=10D.a=3,b=4,c=53. 若线段a,b,c组成Rt△,则它们的比可以是()A.2∶3∶4B.3∶4∶6C.5∶12∶13D.4∶6∶74. 已知,一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口2小时后,则两船相距()A.25海里B.30海里C.35海里D.40海里5. 如图,正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,则△ABC是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对6. 如果Rt△的两直角边长分别为n2-1,2n(其中n >1),那么它的斜边长是()A.2nB.n+1C.n2-1D.n2+17. 已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a+b=14cm,c=10cm,则Rt△ABC的面积是()A.24cm2B.36cm2C.48cm2D.60cm28. 等腰三角形底边长10 cm,腰长为13,则此三角形的面积为()A.40B.50C.60D.709. 三角形的三边长为(a+b)2=c2+2ab,则这个三角形是( )A.等边三角形;B.钝角三角形;C.直角三角形;D.锐角三角形10. 已知,如图,长方形ABCD中,AB=3,AD=9,将此长方形折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则△ABE的面积为()A.6B.8C.10D.12二、填空题11. 在Rt△ABC中,∠C=90°,①若a=5,b=12,则c=___________;②若a=15,c=25,则b=___________;③若c=61,b=60,则a=__________;④若a∶b=3∶4,c=10则SRt△ABC=________12. 在△ABC中,AC=17 cm,BC= 10 cm,AB=9 cm,这是一个_________三角形(按角分)。

13. 直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为__________14. 在平静的湖面上,有一支红莲,高出水面1米,阵风吹来,红莲被吹到一边,花朵齐及水面,已知红莲移动的水平距离为2米,问这里水深是________m。

15. 已知两条较短线段的长为5cm和12cm,当较长线段的长为___________cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.三、解答题16. 一个三角形三条边的比为5∶12∶13,且周长为60cm,求它的面积.17. 某镇为响应中央关于建设社会主义新农村的号召,决定公路相距25km的A,B两站之间E点修建一个土特产加工基地,如图,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知DA=15km,CB=10km,现在要使C、D两村到E点的距离相等,那么基地E应建在离A站多少km的地方?18. 小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后,发现下端刚好接触地面,求旗杆的高度。

19. 一辆汽车以16千米/时的速度离开甲城市,向东南方向行驶,另一辆汽车在同时同地以12千米/时的速度离开甲城市,向西南方向行驶,它们离开城市3个小时后相距多远?20. 如图,有一个长方体的长,宽,高分别是6, 4, 4,在底面A处有一只蚂蚁,它想吃到长方体上面B处的食物,需要爬行的最短路程是多少?21. 如图,已知: ABC中,CD AB于D, AC=4, BC=3, BD=(1) 求CD的长;(2) 求AD的长;(3) 求AB的长;(4) ABC是直角三角形22. 如图,折叠矩形纸片ABCD,先折出对角线BD,再折叠使AD边与BD重合,得到折痕DG,若AB=8. BC=6,求AG的长23. 如图,在四边形ABCD中,AB=BC=2,CD=3,AD=1,且∠ABC=900,试求∠A的度数。

第一章(一):参考答案一、选择题1.D2.B3.C4.D5.A6.D7.A8.C9.C 10.A二、填空题11.13 20 11 24 12.钝角13. 14.1.5 15.13三、解答题16.解:三角形的三边的长分别为:60×=10厘米60×=24厘米60×=26厘米∵102+242=676=262∴此三角形是直角三角形。

∴S= ×10×24=120厘米217、解:设AE= x千米,则BE=(25-x)千米,在Rt△DAE中,DA2+AE2=DE2在Rt△EBC中,BE2+BC2=CE∵CE=DE∴DA2+AE2 = BE2+BC2∴152+x2=102+(25-x)2解得:x=10千米∴基地应建在离A站10千米的地方。

18、解:设旗杆的高度是x米,由已知可知绳子的长度是(x+1)米,根据勾股定理可得:x2+52=(x+1)2解得:x=12所以,旗杆的高度为12米。

19、60km20、AB=1321、(1)(2)(3)522、AG=323、解:连接AC,在Rt△ABC中,AB=AC=2∴∠BAC=450,AC2=AB2+BC2=22+22=8在△DAC中,AD=1,DC=3∴AD2+AC2=8+12=9=32=CD2∴∠DAC=900∴∠DAB=∠BAC+∠DAC=450+900=1350北师大版八年级上册数学第一章勾股定理单元测试卷(二)一、选择题(每小题3分,共30分)1. 下列各组中,不能构成直角三角形的是().(A)9,12,15 (B)15,32,39 (C)16,30,32 (D)9,40,412. 如图1,直角三角形ABC的周长为24,且AB:BC=5:3,则AC= (). (A)6 (B)8 (C)10 (D)123. 已知:如图2,以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边AB=3,则图中阴影部分的面积为().(A)9 (B)3 (C)(D)4. 如图3,在△ABC中,AD⊥BC与D,AB=17,BD=15,DC=6,则AC的长为(). (A)11 (B)10 (C)9 (D)85. 若三角形三边长为a、b、c,且满足等式,则此三角形是().(A)锐角三角形(B)钝角三角形(C)等腰直角三角形(D)直角三角形6. 直角三角形两直角边分别为5、12,则这个直角三角形斜边上的高为(). (A)6 (B)8.5 (C)(D)7. 高为3,底边长为8的等腰三角形腰长为(). (A)3 (B)4 (C)5 (D)68. 一只蚂蚁沿直角三角形的边长爬行一周需2秒,如果将直角三角形的边长扩大1倍,那么这只蚂蚁再沿边长爬行一周需(). (A)6秒(B)5秒(C)4秒(D)3秒9. 我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图1所示),如果大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边分别是a、b,那么的值为().(A)49 (B)25 (C)13 (D)110. 如图5所示,在长方形ABCD中,E、F分别是AB、BC上的点,且BE=12,BF=16,则由点E到F的最短距离为().(A)20 (B)24 (C)28 (D)32二、填空题(每小题3分,共30分)11. 写出两组直角三角形的三边长.(要求都是勾股数)12. 如图6(1)、(2)中,(1)正方形A的面积为.(2)斜边x= .13. 如图7,已知在中,,,分别以,为直径作半圆,面积分别记为,,则+ 的值等于.14. 四根小木棒的长分别为5cm,8cm,12cm,13cm,任选三根组成三角形,其中有个直角三角形.15. 如图8,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现直角边沿直线AD 折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,则CD的长为.三、简答题(50分)16.(8分)如图9,AB=4,BC=3,CD=13,AD=12,∠B=90°,求四边形ABCD的面积.17.(8分)如图10,方格纸上每个小正方形的面积为1个单位.(1)在方格纸上,以线段AB为边画正方形并计算所画正方形的面积,解释你的计算方法. (2)你能在图上画出面积依次为5个单位、10个单位、13个单位的正方形吗?18.(8分)如图11,这是一个供滑板爱好者使用的U型池,该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成,中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆,其边缘AB=CD=20m,点E在CD上,CE=2m,一滑行爱好者从A点到E点,则他滑行的最短距离是多少?(边缘部分的厚度可以忽略不计,结果取整数)19.(8分)如图12,飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一男孩子头顶上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶50000米.飞机每小时飞行多少千米?20.(8分)如图13(1)所示为一个无盖的正方体纸盒,现将其展开成平面图,如图13(2)所示.已知展开图中每个正方形的边长为1.(1)求该展开图中可画出最长线段的长度,并求出这样的线段可画几条.(2)试比较立体图中∠ABC与平面展开图中的大小关系.21.(8分)如图14,一架云梯长25米,斜靠在一面墙上,梯子靠墙的一端距地面24米. (1)这个梯子底端离墙有多少米?(2)如果梯子的顶端下滑了4米,那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗?22.(8分)有一块直角三角形的绿地,量得两直角边长分别为现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以为直角边的直角三角形,求扩充后等腰三角形绿地的周长.第一章(二):答案提示:一、选择题1.C2.B3.C4.B5.D6.D7.C8.C9.A 10.A二、填空题11.略12.(1)36,(2)13 13. 2π14. 1 15.三、简答题16. 在Rt△ABC中,AC= .又因为,即 .所以∠DAC=90°.所以=6+30=36.17.略18. 约22米.根据半圆柱的展开图可计算得:AE= 米.19. 如图12,在Rt△ABC中,根据勾股定理可知,BC= (米).3000÷20=150米/秒=540千米/小时.所以飞机每小时飞行540千米.20. (1);(2)4条21. (1)7米;(2)不是.设滑动后梯子的底端到墙的距离为x米,得方程,,解得x=15,所以梯子向后滑动了8米.22.在中,由勾股定理有:,扩充部分为扩充成等腰应分以下三种情况:①如图1,当时,可求,得的周长为32m.②如图2,当时,可求,由勾股定理得:,得的周长为③如图3,当为底时,设则由勾股定理得:,得的周长为。

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