层次分析模型
层次分析法与层次分析模型
b15
1b11 2b12 5b15
b25
1b21 2b22 5b25
b35
1b31 2b32 5b35
4 层次总排序的一致性检验
设 最下层对最上层中因素的层次单排序一致性指标为 CIj， 随机一致性指为 RIj，则层次总排序的一致性比率为：
CR
a1CI1 a1RI1
a2CI 2 a2 RI 2
amCI m am RI m
当 CR 0.1时，认为层次总排序通过一致性检验。到
此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。
三 层次分析法建模举例
(1)建模
一、旅游问题
Z
A1, A2 , A3, A4 , A5
分别分别表示景色、费用、
A1
A2 A3 A4 A5 居住、饮食、旅途。
B1
B2
计算 CR可k知 B1, B2 , B通3, 过B4一, B致5 性检验。
（4）计算层次总排序权值和一致性检验
B1 对总目标的权值为： 0.595 0.263 0.082 0.475 0.429 0.055 0.633 0.099 0.166 0.110 0.3
饮食 1/3 1/5 2 1 1
旅途 1/3 1/5 3 1 1
由上表，可得成对比较矩阵
1
1 2
4
3
3
2 1 7 5 5
A
1 4
1 7
1
1 1 2 3
1 3
1 3
1 5
1 5
2 3
1 1
1
1
问题：两两进行比较后，怎样才能定量求出到底去哪个地 方旅游最合理？
3 层次单排序
层次分析法用权值表示各个因素的优劣性，那 如何求权值呢？
层次分析模型(数学建模)
第k层nk个元素对于第k-1层上第j个元素为 准则的单排序向量 uj(k)=(u1j(k)，u2j(k)，…，un j(k))T j=1，2，…nk-1 其中不受第j个元素支配的元素权重取零，
于是可得到nk×nk-1阶矩阵
u (k ) u21 = ( ) unk1 k
(k ) 11
1 A = ( aij ) n×n , aij > 0, a ji = aij
1/ 2 1 1/ 7 1/ 5 1/ 5 4 7 1 2 3 3 5 1/ 2 1 1
3 成对比较阵 5 A~成对比较阵 1 / 3 是正互反阵 A是正互反阵 1 1
要由A确定 要由 确定C1,… , Cn对O的权向量 确定 的权向量
1. 正互反阵的最大特征根和特征向量的性质 正互反矩阵A 是正单根， 正互反矩阵 的最大特征根λ是正单根， Ak e T 对应正特征向量w， 对应正特征向量 ， lim T k = w, e = (1,1, L ,1) k →∞ e A e 定理1 定理1 正互反阵的最大特征根是正数， 正互反阵的最大特征根是正数， 特征向量是正向量。 特征向量是正向量。 定理2 定理2 n阶正互反阵 的最大特征根λ ≥ n , 阶正互反阵A的最大特征根 λ= n是A为一致阵的充要条件。 为一致阵的充要条件。 是 为一致阵的充要条件 一致性指标 CI =
“选择旅游地”思维过程的归 选择旅游地” 选择旅游地 纳 • 将决策问题分为 个层次：目标层 ，准则层 ， 将决策问题分为3个层次 目标层O，准则层C， 个层次： 方案层P；每层有若干元素， 方案层 ；每层有若干元素， 各层元素间的关系 用相连的直线表示。 用相连的直线表示。 • 通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方 通过相互比较确定各准则对目标的权重， 案对每一准则的权重。 案对每一准则的权重。 • 将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的 将上述两组权重进行综合， 权重。 权重。 层次分析法将定性分析与定量分析结合起来 完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。 完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。
层次分析法——精选推荐
一、层次分析模型和一般步骤1、定义：层次分析法是一种定性与定量分析相结合的多因素决策分析方法。
这种方法将决策者的经验判断给于数量化，在目标因素结构复杂且缺乏必要数据的情况下使用更为方便，因而在实践中得到广泛应用。
2、层次分析的四个基本步骤：（1）在确定决策的目标后，对影响目标决策的因素进行分类，建立一个多层次结构；（2）比较同一层次中各因素关于上一层次的同一个因素的相对重要性，构造成对比较矩阵；（3）通过计算，检验成对比较矩阵的一致性，必要时对成对比较矩阵进行修改，以达到可以接受的一致性；（4）在符合一致性检验的前提下，计算与成对比较矩阵最大特征值相对应的特征向量，确定每个因素对上一层次该因素的权重；计算各因素对于系统目标的总排序权重并决策。
二、建立层次结构模型将问题包含的因素分层：最高层——解决问题的目的；中间层——实现总目标而采取的各种措施、必须考虑的准则等。
也可称策略层、约束层、准则层等；最低层——用于解决问题的各种措施、方案等。
把各种所要考虑的因素放在适当的层次内。
用层次结构图清晰地表达这些因素的关系。
例1购物模型某一个顾客选购电视机时，对市场正在出售的四种电视机考虑了八项准则作为评估依据，建立层次分析模型如下：〔例2〕选拔干部模型练习：画出下列问题的层次模型评选优秀学校某地区有三个学校，现在要全面考察评出一个优秀学校。
主要考虑以下几个因素： （1）教师队伍（包括平均学历和年龄结构）（2）教学设施（3）教学工作（包括课堂教学，课外活动，统考成绩和教学管理） （4）文体活动三、构造成对比较矩阵比较第 i 个元素与第 j 个元素相对上一层某个因素的重要性时，使用数量化的相对权重aij来描述。
设共有 n 个元素参与比较，则称n n ij a A ⨯=)( 为成对比较矩阵。
成对比较矩阵中aij的取值可参考 Satty 的提议，aij按下述标度进行赋值。
在 1— 9及其倒数中间取值。
对例 2， 选拔干部考虑5个条件：品德x1，才能x2，资历 x3 ，年龄x4，群众关系x5。
完全层次结构模型
层次分析模型一、层次分析法讲解在现实世界中，往往会遇到决策的问题，比如如何选择旅游景点的问题，选择升学志愿的问题等等。
在决策者作出最后的决定以前，他必须考虑很多方面的因素或者判断准则，最终通过这些准则作出选择。
比如下面的问题：例1 选择旅游地国庆节即将来临，张鶇一家准备去旅游，他们想从黄山、桂林、北戴河三个旅游景点选出一个，请帮助他们作出最佳选择。
根据什么作出选择呢？为解决这个问题，我们需要作问题的分析，以便得到选择景点要考虑的因素.问题的分析：景点的选择大体上有两方面要考虑：1、是旅游者自身的情况；2、是对景点的评价。
首先分析旅游者的情况：如果经济条件宽绰、醉心旅游，自然特别看重景色条件，那么景色在他的心目中的比重就大。
如果平素俭朴，则会优先考虑费用，即费用的比重就大.中老年旅游者还会对居住条件，旅游条件，饮食比较关注。
因此，应该考虑景色、费用、居住、饮食、旅途条件等因素在张鶇一家心目中的重要程度.如何衡量这五个因素的重要程度呢？其次，如何评价景点呢？自然应该就上面的五个因素景色、费用、居住、饮食、旅途条件对景点进行评价。
最后，还要把旅游者的情况和对景点的评价进行综合，以便选定最佳的旅游景点.可是如何综合呢？下面我们用层次分析法解决上面提出的问题。
层次分析法的第一步：建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层，上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立，把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。
大体可以分成三个层次：（1）最高层（目标层）：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果；（2）中间层（准则层）：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它还可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则；（3）最低层（方案层）：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等。
就本例题而言，通过上面的分析，我们可以建立如下层次模型：层次分析法的第二步：构造成对比较矩阵建立好层次后，就可以进行各因素之间的比较了.首先考虑对于选择旅游地而言，景色、费用、居住、饮食、旅途条件等准则在张鶇一家心目中的影响，即：对于第一层目标来说，第二层各因素的权重。
层次分析法数学建模
在某些情况下，层次分析法可能无法合理地分配权重，导致决策结果 与实际情况存在较大偏差。
无法处理动态变化
层次分析法主要用于静态决策问题，对于动态变化的决策问题处理能 力较弱。
05 结论与展望
结论
层次分析法是一种有效的决策分析方法，能够将复杂问题 分解为多个层次和因素，通过比较和判断各因素之间的相 对重要性，为决策提供依据。
实例三：风险评估问题
总结词
层次分析法在风险评估问题中，能够综合考虑风险的多种来源和影响因素，确定各因素之间的权重关 系，为风险的有效控制提供科学的依据。
详细描述
风险评估问题涉及到如何识别、评估和控制各种潜在的风险。层次分析法可以将风险的多种来源和影 响因素进行比较和判断，确定各因素之间的权重关系，为风险的有效控制提供科学的依据。同时，层 次分析法还可以用于制定风险应对策略和预案，提高组织的抗风险能力。
层次单排序与一致性检验
层次单排序
根据判断矩阵的性质和计算方法，计 算出各组成元素的权重值，并按照权 重值的大小进行排序。
一致性检验
对判断矩阵的一致性进行检验，以确 保各组成元素之间的相对重要性关系 符合逻辑和实际情况。
层次总排序与一致性检验
层次总排序
根据各层次的权重值和组成元素的权重值，计算出整个层次结构模型的权重值， 并进行总排序。
确定层次
根据问题的复杂程度和组 成元素的性质，将层次结 构划分为不同的层次，以 便于分析和计算。
判断矩阵的建立
确定判断标准
根据问题的特点和要求，确定判 断各组成元素之间相对重要性的 标准和方法。
构造判断矩阵
根据判断标准，构造出一个判断 矩阵，用于表示各组成元素之间 的相对重要性关系。
层次分析法模型
二、模型的假设1、假设我们所统计和分析的数据，都是客观真实的；2、在考虑影响毕业生就业的因素时，假设我们所选取的样本为简单随机抽样，具有典型性和普遍性，基本上能够集中反映毕业生就业实际情况；3、在数据计算过程中，假设误差在合理范围之内，对数据结果的影响可以忽略.三、符号说明四、模型的分析与建立1、问题背景的理解随着我国改革开放的不断深入，经济转轨加速，社会转型加剧，受高校毕业生总量的增加，劳动用工管理与社会保障制度，劳动力市场的不尽完善，以及高校的毕业生部分择业期望过高等因素的影响，如今的毕业生就业形势较为严峻.为了更好地解决广大学生就业中的问题，就需要客观地、全面地分析和评价毕业生就业的若干主要因素，并将它们从主到次依秩排序.针对不同专业的毕业生评价其就业情况，并给出某一专业的毕业生具体的就业策略.2、方法模型的建立 （1）层次分析法层次分析法介绍：层次分析法是一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法，它用来帮助我们处理决策问题.特别是考虑的因素较多的决策问题，而且各个因素的重要性、影响力、或者优先程度难以量化的时候，层次分析法为我们提供了一种科学的决策方法.通过相互比较确定各准则对于目标的权重，及各方案对于每一准则的权重.这些权重在人的思维过程中通常是定性的，而在层次分析法中则要给出得到权重的定量方法.我们现在主要对各个因素分配合理的权重，而权重的计算一般用美国运筹学家T.L.Saaty 教授提出的AHP 法. （2）具体计算权重的AHP 法AHP 法是将各要素配对比较，根据各要素的相对重要程度进行判断，再根据计算成对比较矩阵的特征值获得权重向量k W .Step1. 构造成对比较矩阵 假设比较某一层k 个因素12,,,k C C C 对上一层因素ο的影响，每次两个因素i C 和j C ，用ij C 表示i C 和j C 对ο的影响之比，全部比较结果构成成对比较矩阵C ，也叫正互反矩阵.*()k k ij C C =， 0ij C >，1ij jiC C=， 1ii C =.若正互反矩阵C 元素成立等式：* ij jk ik C C C = ，则称C 一致性矩阵.标度ij C含义1i C 与j C 的影响相同 3 i C 比j C 的影响稍强 5i C 比j C 的影响强 7 i C 比j C 的影响明显地强 9i C 比j C 的影响绝对地强2,4,6,8i C 与j C 的影响之比在上述两个相邻等级之间11,,29i C 与j C 影响之比为上面ij a 的互反数Step2. 计算该矩阵的权重通过解正互反矩阵的特征值，可求得相应的特征向量，经归一化后即为权重向量12 = [ , ,..., ]T kkkkkQ q qq ，其中的ikq 就是i C 对ο的相对权重.由特征方程A-I=0λ，利用Mathematica 软件包可以求出最大的特征值max λ和相应的特征向量.Step3. 一致性检验1）为了度量判断的可靠程度，可计算此时的一致性度量指标CI ：max 1kCI k λ-=-其中maxλ表示矩阵C 的最大特征值，式中k 正互反矩阵的阶数，CI 越小，说明权重的可靠性越高.2）平均随机一致性指标RI ，下表给出了1－14阶正互反矩阵计算1000次得到的平均随机一致性指标:3）当0.1CR RI=<时，（CR 称为一致性比率，RI 是通过大量数据测出来的随机一致性指标，可查表找到）可认为判断是满意的，此时的正互反矩阵称之为一致性矩阵.进入Step4. 否则说明矛盾，应重新修正该正互反矩阵.转入Step2. Step4. 得到最终权值向量将该一致性矩阵任一列或任一行向量归一化就得到所需的权重向量.计算出来的准则层对目标层的权重即不同因素的最终权重，这样一来，我们就可以按权重大小将进行排序了.（3）组合权向量的计算成对比较矩阵显然非常好体现了我们研究对象——各个因素之间权重的比较状态，能够有效地全面而深刻地表现出有关的数据信息，显然也是矩阵数学模型的重要应用价值. 因素往往是有层次的，我们经常在进行决策分析时，要进行多方面、多角度、多层次的分析与研究，把我们的决策选择建立在深刻而广泛的分析研究基础之上的.一个总的指标下面可以有第一层次的各个方面的指标、因素、成份、特征性质、组成成分等等，而每个这种因素又有新的成份在里面.这就是决策分析的数学模型的真正的意义之所在.定理1：对于三决策问题，假设第一层只有一个因素，即这是总的目标，决策总是最后要集中在一个总目标基础之上的东西，然后才能进行最后的比较.又假设第二层和第三层因素各有n 、m 个，并且记第二层对第一层的权向量（即构成成份的数量大小、成份的比例、影响程度的大小的数量化指标的量化结果、所拥有的这种属性的程度大小等等多方面的事情的量化的结果）为：(2)(2)(2)(2)12(,,,)Tn w w w w =， 而第3层对第2层的全向量分别是：(3)(3)(3)(3)12(,,,)Tk k k km w w w w =，这表示第3层的权重大小，具体表示的是第2层中第k 个因素所拥有的面对下一层次的m 个同类因素进行分析对比所产生的数量指标.那么显然，第三层的因素相对于第一层的因素而言，其权重应当是：先构造矩阵，用 (3)k w 为列向量构造一个方阵 (3)(3)(3)(3)12(,,)nWw w w=，这个矩阵的第一行是第3层次的m 个因素中的第1个因素，通过第2层次的n 个因素传递给第1层次因素的权重，故第3层次的m 个因素中的第i 个因素对第1层次的权重为 (2)(3)1nkkik w w=∑，从而可以统一表示为：(1)(3)(2)wWw=，它的每一行表示的就是三层（一般是方案层）中每一个因素相对总目标的量化指标.定理2：一般公式如果共有s 层，则第k 层对第一层（设只有一个因素）的组合权向量为()()(1),3,4,k k k k s wWw-==，其中矩阵 ()k W的第i 行表示第k 层中的第i 个因素，相对于第1k -层中每个因素的权向量；而列向量 (1)k w-则表示的是第1k -层中每个因素关于第一层总目标的权重向量.于是，最下层对最上层的的组合权向量为：()()(1)(3)(2)s s s wWWW w-=，实际上这是一个从左向右的递推形式的向量运算.逐个得出每一层的各个因素关于第一层总目标因素的权重向量. （4）灰色关联度综合评价法灰色系统的关联分析主要是对系统动态发展过程的量化分析，它是根据因素之间发展态势的相似或相异程度，来衡量因素间接近的程度，实质上就是各评价对象与理想对象的接近程度，评价对象与理想对象越接近，其关联度就越大.关联序则反映了各评价对象对理想对象的接近次序，即评价对象与理想对象接近程度的先后次序，其中关联度最大的评价对象为最优.因此，可利用关联序对所要评价的对象进行排序比较.利用灰色关联度进行综合评价的步骤如下：1)用表格方式列出所有被评价对象的指标.2)由于指标序列间的数据不存在运算关系，因此必须对数据进行无量纲化处理.3)构造理想对象，即把无量纲化处理后评价对象中每一项指标的最佳值作为理想对象的指标值.4)计算指标关联系数.其计算公式为：min max imax()()ik k ρρξ+=+∆∆∆∆其中min()()minminiikk k x x =-∆，max()()maxmaxiikk k x x =-∆，()ik ∆=0()()ik k x x -，1,2,i n =，1,2,k m =.式中n 为评价对象的个数；m 为评价对象指标的个数；()ik ξ为第i 个对象第k 个指标对理想对象同一指标的关联系数；A 表示在各评价对象第k 个指标值与理想对象第k 个指标值的最小绝对差的基础上，再按1,2,,i n =找出所有最小绝对差中的最小值；max ∆表示在评价对象第k 个指标值与理想对象第k 个指标值的最大绝对差的基础上，再按1,2,,i n =找出所有最大绝对差中的最大值；min ∆为评价对象第k 个指标值与理想对象第k 个指标值的绝对差.ρ为分辨系数，ρ越小分辨力越大，一般ρ的取值区间[0,1]，更一般地取ρ=0.5.5)确立层次分析模型.6)确定判断矩阵，计算各层次加权系数及加权关联度，加权关联度的计算公式为：()mk iikk γξω=∑,式中7为第i 个评价对象对理想对象的加权关联度，kω为第k 个指标的权重.7)依加权关联度的大小，对各评价对象进行排序，建立评价对象的关联序，从而可以得出关联度较大的对象，关联度越大其综合评价结果也越好. （5）线性回归分析法假如对象（因变量）y 与p 个因素（自变量）12,,,p x x x 的关系是线性的，为研究他们之间定量关系式，做n 次抽样，每一次抽样可能发生的对象之值为12,,ny y y它们是在因素(1,2,,)i i p x =数值已经发生的条件下随机发生的.把第j 次观测的因素数值记为：12,,,jjpj x xx （1,2,j n =）那么可以假设有如下的结构表达式：1111011212201213011p pp pn nppy x x y x x y x xβββεβββεβββε⎧=++++⎪⎪=++++⎪⎨⎪⎪=++++⎪⎩其中，01,,,pβββ是1p +个待估计参数，12,,,n εεε是n 个相互独立且服从同一正态分布2(0,)N σ的随机变量.这就是多元线性回归的数学模型.若令12n y y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，111212122212111p p n n np x xx x x x x xxx ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，012p βββββ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，12n εεεε⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭则上面多元线性回归的数学模型可以写成矩阵形式：y x βε=+在实际问题中，我们得到的是实测容量为n 的样本，利用这组样本对上述回归模型中的参数进行估计，得到的估计方法称为多元线性回归方程，记为011p p y b b x b x =+++式中，012,,,,p b b b b 分别为01,,,pβββ的估计值.（6）主成分分析法 1）主成分的定义 设有p 个随机变量12,,,p x x x ，它们可能线性相关，通过某种线性变换，找到p 个线性无关的随机变量12,,,pz z z，称为初始向量的主成分.设12(,,,)Tp αααα=为p 维空间pR 中的单位向量，并记所有单位向量的集合为{}0|1T R ααα==，且记X ＝12(,,,)Tp X X X .2）用相关矩阵确定的主成分令*i E X -=，**(,),ij i j E r X X =1,2,,j p =.*X=***12(,,)Tp X X X ,则1212121211()1pp ij p p R r r r rr r r⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为*X 的协方程.类似地，我们可对R 进行相应的分析.3）主成分分析的一般步骤 第一步、选择主成分设X 的样本数据经过数据预处理后计算出的样本相关矩阵为121*21212111*()11()()pT p p p R ij n r rr rr X X r r⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭. 由特征方程0R I λ-=，求出p 个非负实根，并按值从大到小进行排列：120p λλλ≥≥≥≥.将iλ带入下列方程组，求出单位特征向量iα()0,1,2,,i i R I i m λα-==确定m 的方法是使前m 个主成分的累计贡献率达到85％左右. 第二步、利用主成分进行分析在实际分析时，通常把特征向量的各个分量的取值大小和符号（正负）进行对照比较，往往能对主成分的直观意义作出合理的解释.利用主成分可以进行以下分析：a)对原指标进行分类；b)对原指标进行选择；c)对样品进行分类；d)对样品进行排序；e)预测分析.。
层次分析法模型
二、模型的假设1、假设我们所统计与分析的数据,都就是客观真实的;2、在考虑影响毕业生就业的因素时,假设我们所选取的样本为简单随机抽样,具有典型性与普遍性,基本上能够集中反映毕业生就业实际情况;3、在数据计算过程中,假设误差在合理范围之内,对数据结果的影响可以忽略、三、符号说明四、模型的分析与建立1、问题背景的理解随着我国改革开放的不断深入,经济转轨加速,社会转型加剧,受高校毕业生总量的增加,劳动用工管理与社会保障制度,劳动力市场的不尽完善,以及高校的毕业生部分择业期望过高等因素的影响,如今的毕业生就业形势较为严峻、为了更好地解决广大学生就业中的问题,就需要客观地、全面地分析与评价毕业生就业的若干主要因素,并将它们从主到次依秩排序、针对不同专业的毕业生评价其就业情况,并给出某一专业的毕业生具体的就业策略、2、方法模型的建立(1)层次分析法层次分析法介绍:层次分析法就是一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法,它用来帮助我们处理决策问题、特别就是考虑的因素较多的决策问题,而且各个因素的重要性、影响力、或者优先程度难以量化的时候,层次分析法为我们提供了一种科学的决策方法、通过相互比较确定各准则对于目标的权重,及各方案对于每一准则的权重、这些权重在人的思维过程中通常就是定性的,而在层次分析法中则要给出得到权重的定量方法、我们现在主要对各个因素分配合理的权重,而权重的计算一般用美国运筹学家T、L、Saaty教授提出的AHP法、(2)具体计算权重的AHP 法AHP法就是将各要素配对比较,根据各要素的相对重要程度进行判断,再根据W、计算成对比较矩阵的特征值获得权重向量kStep1、 构造成对比较矩阵假设比较某一层k 个因素12,,,k C C C L 对上一层因素ο的影响,每次两个因素i C 与j C ,用ij C 表示i C 与j C 对ο的影响之比,全部比较结果构成成对比较矩阵C ,也叫正互反矩阵、*()k k ij C C =,0ij C >,1ij jiC C=, 1ii C =、若正互反矩阵C 元素成立等式:* ij jk ik C C C = ,则称C 一致性矩阵、标度ij C含义1i C 与j C 的影响相同 3 i C 比j C 的影响稍强 5 i C 比j C 的影响强 7 i C 比j C 的影响明显地强 9i C 比j C 的影响绝对地强2,4,6,8i C 与j C 的影响之比在上述两个相邻等级之间11,,29Li C 与j C 影响之比为上面ij a 的互反数 Step2、 计算该矩阵的权重通过解正互反矩阵的特征值,可求得相应的特征向量,经归一化后即为权重向量12 = [ , ,..., ]T kkkkkQ q qq ,其中的ikq 就就是i C 对ο的相对权重、由特征方程A-I=0λ,利用Mathematica 软件包可以求出最大的特征值max λ与相应的特征向量、Step3、 一致性检验1）为了度量判断的可靠程度,可计算此时的一致性度量指标CI :max1kCI k λ-=-其中maxλ表示矩阵C 的最大特征值,式中k 正互反矩阵的阶数,CI 越小,说明权重的可靠性越高、2)平均随机一致性指标RI ,下表给出了1－14阶正互反矩阵计算1000次得到3）当0.1CR RI=<时,(CR 称为一致性比率,RI 就是通过大量数据测出来的随机一致性指标,可查表找到)可认为判断就是满意的,此时的正互反矩阵称之为一致性矩阵、进入Step4、 否则说明矛盾,应重新修正该正互反矩阵、转入Step2、 Step4、 得到最终权值向量将该一致性矩阵任一列或任一行向量归一化就得到所需的权重向量、计算出来的准则层对目标层的权重即不同因素的最终权重,这样一来,我们就可以按权重大小将进行排序了、 (3)组合权向量的计算成对比较矩阵显然非常好体现了我们研究对象——各个因素之间权重的比较状态,能够有效地全面而深刻地表现出有关的数据信息,显然也就是矩阵数学模型的重要应用价值、 因素往往就是有层次的,我们经常在进行决策分析时,要进行多方面、多角度、多层次的分析与研究,把我们的决策选择建立在深刻而广泛的分析研究基础之上的、一个总的指标下面可以有第一层次的各个方面的指标、因素、成份、特征性质、组成成分等等,而每个这种因素又有新的成份在里面、这就就是决策分析的数学模型的真正的意义之所在、定理1:对于三决策问题,假设第一层只有一个因素,即这就是总的目标,决策总就是最后要集中在一个总目标基础之上的东西,然后才能进行最后的比较、又假设第二层与第三层因素各有n 、m 个,并且记第二层对第一层的权向量(即构成成份的数量大小、成份的比例、影响程度的大小的数量化指标的量化结果、所拥有的这种属性的程度大小等等多方面的事情的量化的结果)为:(2)(2)(2)(2)12(,,,)Tn w w w w =L , 而第3层对第2层的全向量分别就是:(3)(3)(3)(3)12(,,,)Tk k k km w w w w =L ,这表示第3层的权重大小,具体表示的就是第2层中第k 个因素所拥有的面对下一层次的m 个同类因素进行分析对比所产生的数量指标、那么显然,第三层的因素相对于第一层的因素而言,其权重应当就是:先构造矩阵,用 (3)k w 为列向量构造一个方阵 (3)(3)(3)(3)12(,,)nWw w w=L,这个矩阵的第一行就是第3层次的m 个因素中的第1个因素,通过第2层次的n 个因素传递给第1层次因素的权重,故第3层次的m 个因素中的第i 个因素对第1层次的权重为 (2)(3)1nkkik w w=∑,从而可以统一表示为:(1)(3)(2)wWw=,它的每一行表示的就就是三层(一般就是方案层)中每一个因素相对总目标的量化指标、定理2:一般公式如果共有s 层,则第k 层对第一层(设只有一个因素)的组合权向量为()()(1),3,4,k k k k s wWw-==L ,其中矩阵 ()k W的第i 行表示第k 层中的第i 个因素,相对于第1k -层中每个因素的权向量;而列向量 (1)k w-则表示的就是第1k -层中每个因素关于第一层总目标的权重向量、于就是,最下层对最上层的的组合权向量为:()()(1)(3)(2)s s s wWWWw-=L ,实际上这就是一个从左向右的递推形式的向量运算、逐个得出每一层的各个因素关于第一层总目标因素的权重向量、 (4)灰色关联度综合评价法灰色系统的关联分析主要就是对系统动态发展过程的量化分析,它就是根据因素之间发展态势的相似或相异程度,来衡量因素间接近的程度,实质上就就是各评价对象与理想对象的接近程度,评价对象与理想对象越接近,其关联度就越大、关联序则反映了各评价对象对理想对象的接近次序,即评价对象与理想对象接近程度的先后次序,其中关联度最大的评价对象为最优、因此,可利用关联序对所要评价的对象进行排序比较、利用灰色关联度进行综合评价的步骤如下:1)用表格方式列出所有被评价对象的指标、2)由于指标序列间的数据不存在运算关系,因此必须对数据进行无量纲化处理、3)构造理想对象,即把无量纲化处理后评价对象中每一项指标的最佳值作为理想对象的指标值、4)计算指标关联系数、其计算公式为:min max imax()()ik k ρρξ+=+∆∆∆∆其中min()()minminiikk k x x =-∆,max()()maxmaxiikk k x x =-∆,()ik ∆=()()ik k x x -,1,2,i n =L ,1,2,k m =L 、式中n 为评价对象的个数;m 为评价对象指标的个数;()ik ξ为第i 个对象第k 个指标对理想对象同一指标的关联系数;A 表示在各评价对象第k 个指标值与理想对象第k 个指标值的最小绝对差的基础上,再按1,2,,i n =L 找出所有最小绝对差中的最小值;max ∆表示在评价对象第k 个指标值与理想对象第k 个指标值的最大绝对差的基础上,再按1,2,,i n =L 找出所有最大绝对差中的最大值;min ∆为评价对象第k 个指标值与理想对象第k 个指标值的绝对差、ρ为分辨系数,ρ越小分辨力越大,一般ρ的取值区间[0,1],更一般地取ρ=0、5、5)确立层次分析模型、6)确定判断矩阵,计算各层次加权系数及加权关联度,加权关联度的计算公式为:()mk iikk γξω=∑,式中7为第i 个评价对象对理想对象的加权关联度,kω为第k 个指标的权重、7)依加权关联度的大小,对各评价对象进行排序,建立评价对象的关联序,从而可以得出关联度较大的对象,关联度越大其综合评价结果也越好、 (5)线性回归分析法假如对象(因变量)y 与p 个因素(自变量)12,,,p x x x L 的关系就是线性的,为研究她们之间定量关系式,做n 次抽样,每一次抽样可能发生的对象之值为12,,ny y yL它们就是在因素(1,2,,)i i p x =L 数值已经发生的条件下随机发生的、把第j 次观测的因素数值记为:12,,,jjpj x xx L (1,2,j n =L )那么可以假设有如下的结构表达式:1111011212201213011p p p p n np p y x x y x x y x x βββεβββεβββε⎧=++++⎪⎪=++++⎪⎨⎪⎪=++++⎪⎩L L L L L L L L L L L L L L L L L L 其中,01,,,pβββL 就是1p +个待估计参数,12,,,n εεεL 就是n 个相互独立且服从同一正态分布2(0,)N σ的随机变量、这就就是多元线性回归的数学模型、若令12n y y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M ,111212122212111p p n n np x xx x xx x xxx ⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪⎝⎭L L L LLL L L,012p βββββ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M ,12n εεεε⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M则上面多元线性回归的数学模型可以写成矩阵形式:y x βε=+在实际问题中,我们得到的就是实测容量为n 的样本,利用这组样本对上述回归模型中的参数进行估计,得到的估计方法称为多元线性回归方程,记为%011p p y b b x b x =+++L式中,012,,,,p b b b b L 分别为01,,,p βββL 的估计值、 (6)主成分分析法1)主成分的定义设有p 个随机变量12,,,p x x x L ,它们可能线性相关,通过某种线性变换,找到p 个线性无关的随机变量12,,,pz z zL ,称为初始向量的主成分、设12(,,,)Tp αααα=L为p 维空间pR 中的单位向量,并记所有单位向量的集合为{}0|1TR ααα==,且记X ＝12(,,,)Tp X X X L 、2)用相关矩阵确定的主成分令*i E X -=,**(,),ij i j E r X X =1,2,,j p =L 、*X=***12(,,)Tp X X X L ,则1212121211()1pp ij p p R r r r rr r r⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L LL L LLL 为*X 的协方程、类似地,我们可对R 进行相应的分析、3)主成分分析的一般步骤 第一步、选择主成分设X 的样本数据经过数据预处理后计算出的样本相关矩阵为121*21212111*()11()()pT p p p R ij n r r r rr XX r r⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭L LL L LLL %%、 由特征方程0R I λ-=,求出p 个非负实根,并按值从大到小进行排列:120p λλλ≥≥≥≥L 、将iλ带入下列方程组,求出单位特征向量iα()0,1,2,,i i R I i m λα-==L确定m的方法就是使前m个主成分的累计贡献率达到85％左右、第二步、利用主成分进行分析在实际分析时,通常把特征向量的各个分量的取值大小与符号(正负)进行对照比较,往往能对主成分的直观意义作出合理的解释、利用主成分可以进行以下分析:a)对原指标进行分类;b)对原指标进行选择;c)对样品进行分类;d)对样品进行排序;e)预测分析、。
层次分析法的原理
层次分析法的原理层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是一种用于多准则决策的数学模型。
它由美国数学家Thomas L. Saaty于20世纪70年代提出，被广泛应用于各个领域的决策分析中。
层次分析法基于人们在决策过程中常常需要考虑多个因素及其相对重要性的观点，通过对这些因素进行定量化和比较，帮助决策者做出理性决策。
层次分析法的原理主要包括层次结构、成对比较和权重计算三个部分。
一、层次结构：在层次分析法中，我们首先需要构建一个层次结构，将决策问题划分为不同的层次。
层次结构由目标层、准则层、子准则层和方案层组成。
目标层：决策问题的最终目标，通常只有一个。
准则层：实现目标所需的准则或评价指标，可以有多个。
子准则层：对每个准则进行细分或进一步评价的子指标，根据实际情况确定是否需要。
方案层：候选方案或决策选项，可以有多个。
二、成对比较：通过成对比较来确定各个层次之间的重要性或优先级。
成对比较是指将两个层次中的元素逐一配对，并根据它们之间的重要性进行比较。
在成对比较中，使用1-9的数值尺度，其中1表示相等重要，3表示略微重要，5表示中等重要，7表示强烈重要，9表示绝对重要。
通过比较各个元素对的重要性，可以建立一个判断矩阵。
例如，在准则层中，假设有三个准则A、B、C，那么我们需要进行三次成对比较，得到一个3x3的判断矩阵。
同样，在子准则层或方案层中，也需要进行成对比较，得到相应的判断矩阵。
三、权重计算：通过计算判断矩阵的特征向量，可以得到各个层次的权重，用于确定决策的最终结果。
特征向量是指矩阵的一个列向量，使得该矩阵与特征向量的乘积等于特征值乘特征向量。
通过对判断矩阵的特征向量进行归一化处理，可以得到各个层次的权重，用于计算总体权重或方案的优先级。
最后，根据权重计算的结果，可以得到最优的决策选择。
层次分析法的原理基于多个准则、多个层次的权重计算，旨在帮助决策者以合理的方式处理决策问题，并提供一种定量化的决策分析方法。
层次分析模型介绍
层次分析模型介绍
§ 1.2 层次分析法的基本原理和步骤
运用层次分析法解决问题，大体可以分为 四个步骤：
1. 建立问题的递阶层次结构； 2. 构造两两比较判断矩阵； 3. 由判断矩阵计算被比较元素相对权重； 4. 计算各层次元素的组合权重。
层次分析模型介绍
§ 1.2.2 构造两两比较判断矩阵
在建立递阶层次结构以后，上下层次之间元 素的隶属关系就被确定了。假定上一层次的元素 Ck 作为准则，对下一层次的元素 A1, …, An 有支配 关系，我们的目的是在准则 Ck 之下按它们相对重 要性赋予 A1, …, An 相应的权重。
层次分析法
层次分析模型介绍
第一讲 层次分析法
层次分析模型介绍
§ 1.1 引言与引例
层次分析法（Analytic Hierarchy Process， 简称 AHP）是美国运筹学家 T. L. Saaty 教授于 上世纪 70 年代初期提出的一种简便、灵活而又 实用的多准则决策方法。
层次分析模型介绍
人们在进行社会的、经济的以及科学管理 领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由 相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而 往往缺少定量数据的系统。
在这样的系统中，人们感兴趣的问题之一 是：就 n 个不同事物所共有的某一性质而言， 应该怎样对任一事物的所给性质表现出来的程 度（排序权重）赋值，使得这些数值能客观地 反映不同事物之间在该性质上的差异？
其中 x1 = 写作水平，x2 = 外语程度， x3 = 公关能力，x4 = 国内外政治经济时事， x5 =计算机操作知识，x6 = 容貌与风度， x7 = 体形高矮与肥瘦，x8 = 音色。
层次分析法
e1
1 4.511
0.778
0.172
,
3 0.665
0.4 6 7 e2 Ae1 0.565, e2 3.014,
1.9 9 1
01.55 0.471 e2 0.184, e3 0.559, e3 3.018,
0.661 1.988
0.156 0.473 e3 0.185, e4 0.561,
（4）定义未知参数 在这种问题中，运用层次分析法建立表达式 来表达未曾定义过的量。典型的例子是价值 工程，产品的价值V被定义为
VF C
其中F,C分别为产品的功能系数与成本系数， 它们可以用层次分析来定义。下面是一个 经济学例子。
例5 弹性系数的确定 经济学中有名的Cobb-Douglas生产函 数是
e (1,2,,n )T ,则权系数可取: wi i ,i 1,2,, n
在具体计算中,当
ek 与ek 1
接近到一定程度时,就取 e ek
例1 评价影视作品的水平, 用以下三个变量作评价指标 :
x1 教育性，x2 艺术性，x3 娱乐性
设有一名专家赋值:
x2 1, x3 5, x3 3
w1, w2 ,, wn
这 n 个常数便是权系数， 层次分析法给出了确定它们 的量化方法，其过程如下：
1.成对比较
从x1, x2,, xn中任取xi , xj ,比较它们
对y贡献的大小,给xi xj 赋值如下：
xi
xj
1,当认为“xi与x
贡献程度相同”时
j
xi
xj
3,当认为“xi比x
的贡献略大”时
x1
的概率估值为0.134+0.219+0.026=0.379,
层次分析法
层次分析法-061002116张西军—关于选拔干部的模型对三个干部候选人、、，按选拔干部的五个标准：品德、才能、资历、年龄和群众关系，构成如下层次分析模型：假设有三个干部候选人、、，按选拔干部的五个标准：品德，才能，资历，年龄和群众关系，构成如下层次分析模型二. 构造成对比较矩阵比较第 i 个元素与第 j 个元素相对上一层某个因素的重要性时，使用数量化的相对权重来描述。
设共有 n 个元素参与比较，则称为成对比较矩阵。
成对比较矩阵中的取值可参考 Satty 的提议，按下述标度进行赋值。
在 19 及其倒数中间取值。
∙元素 i 与元素 j 对上一层次因素的重要性相同；∙元素 i 比元素 j 略重要；∙元素 i 比元素 j 重要；∙元素 i 比元素 j 重要得多；∙元素 i 比元素 j 的极其重要；∙，元素 i 与 j 的重要性介于与之间；∙，当且仅当。
成对比较矩阵的特点：，，。
对例 2，选拔干部考虑5个条件：品德，才能，资历，年龄，群众关系。
某决策人用成对比较法，得到成对比较阵如下：=5 表示品德与年龄重要性之比为 5，即决策人认为品德比年龄重三. 作一致性检验从理论上分析得到：如果是完全一致的成对比较矩阵，应该有。
但实际上在构造成对比较矩阵时要求满足上述众多等式是不可能的。
因此退而要求成对比较矩阵有一定的一致性，即可以允许成对比较矩阵存在一定程度的不一致性。
由分析可知，对完全一致的成对比较矩阵，其绝对值最大的特征值等于该矩阵的维数。
对成对比较矩阵的一致性要求，转化为要求：的绝对值最大的特征值和该矩阵的维数相差不大。
检验成对比较矩阵 A 一致性的步骤如下：o计算衡量一个成对比矩阵 A （ >1 阶方阵）不一致程度的指标：其中是矩阵 A 的最大特征值。
注解o从有关资料查出检验成对比较矩阵 A 一致性的标准：称为平均随机一致性指标，它只与矩阵阶数有关。
o按下面公式计算成对比较阵 A 的随机一致性比率CR：。
层次分析模型
计算判断矩阵的最大特征 值和特征向量，得出各因 素的权重值，并进行一致 性检验。
计算组合权向量，得出各 因素的组合权重值，并进 行一致性检验。
02 建立层次结构
目标层
01
目标层是层次分析模型的最顶层，代表要解决的问题或要实现 的目标。
02
在目标层中，需要明确问题的最终目标，并将其作为层次分析
模型的输出。
特点
简单明了、系统性、灵活性、所需定量数据信息较少、广泛的应用领域。
层次分析模型的应用领域
资源分配
在资源有限的条件下，合理分配资源以达到 最优的效果。
综合评价
对某个事物进行全面的评价。
方案选择
从多个备选方案中选出最优方案。
决策分析
对决策问题进行分析，得出最优的决策方案。
层次分析模型的基本步骤
01
层次分析法软件
使用专门开发的层次分析法软件，如 yaahp、Analytic Hierarchy
Process等，可以方便地构造判断矩 阵
判断矩阵的一致性检验
一致性检验的步骤
先计算判断矩阵的最大特征值λmax，然后根据公式CI=(λmax-n)/(n-1)计算一致性 指标CI，其中n为判断矩阵的阶数。接着查找相应的平均随机一致性指标RI（常见的 RI值有0、0.58、0.90、1.12等），最后计算一致性比例CR=CI/RI。
一致性检验的标准
当CR<0.1时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的；当CR≥0.1时，需要对判断矩 阵进行调整。
04 层次单排序与层次总排序
层次单排序
确定比较判断矩阵
根据专家意见或数据，确定各因素之间的相对重 要性，构建比较判断矩阵。
计算权重向量
层次分析法模型
层次分析法模型层次分析法模型（AHP）是指采用多角度分析综合决策问题的决策模型。
层次分析法模型也常被称为“综合衡量决策法AHP”，它可以清楚地显示决策问题中各个因素和各种决策目标之间的变化关系，从而协助决策者进行决策分析，尤其是在复杂多样的环境下，可以提供较为准确的分析和决策结果。
一、层次分析法模型的原理及概念层次分析法模型是一种有着多样度的决策方法，它可以帮助决策者从多角度的结果进行综合性的分析，从而有助于提升决策的准确性和鲁棒性。
层次分析法模型的核心思想是将决策问题分解为一系列级联的小问题，在组织问题越来越复杂的情况下，层次分析法模型可以更有效地进行管理。
层次分析法模型主要包括三个层次：目标层、指标层和子指标层。
1.目标层：目标层即分析的主题，是实际分析的核心问题，是总体分析的指导原则。
2.指标层：指标层由各种相关指标组成，用以检测目标层的实现状况。
3.子指标层：子指标层是指标层的进一步分解，包括客观指标与主观指标，用以更加准确地衡量目标层在实现过程中的困难程度。
二、层次分析法模型的特征1.简单易操作：层次分析法模型具有很高的计算简便性，操作简洁，只要决策者能够合理地组织数据，就可以运用层次分析法模型得出准确的结果。
2.易于计算：采用层次分析法模型进行综合性分析时，需要计算一系列不同层面之间的相对权重，这一点使得计算成本较低。
3.考虑多项条件：采用层次分析法模型，进行决策分析的同时可以考虑多个条件，从而利用这些条件完成更加准确的决策。
4.表达性强：层次分析法模型擅长表达决策者的思路，通过具体的分析过程可以更清楚地了解决策者的想法，从而使决策者更容易接受最终的决策结果。
三、层次分析法模型的应用1.组织治理：组织治理是组织管理的重要部分，其中重要的指标也是关键因素，层次分析法分析法模型可以帮助组织管理者准确掌握各个指标的变化，从而进行有效的组织治理。
2.市场营销：市场营销是一项复杂的技术活动，需要分析多个指标，如客户偏好、价格影响因素等，考虑这些因素之间的关系，层次分析法模型可以有效帮助企业发掘潜在市场需求，从而更有效地实现市场营销计划。
层次分析模型
141层次分析模型T. L. Saaty 等人在20世纪70年代末提出了一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法，称为层次分析法（analytic hicrachy process, 简记成AHP ）。
层次分析法是将半定性、半定量的问题转化为定量问题的行之有效的方法，是分析多目标、多准则的复杂大系统的强有力的工具。
它通过逐层比较多种关联因素来为分析、决策、预测或控制事物的发展提供定量的依据。
层次分析法被广泛应用于经济计划和管理、能源分配、军事指挥、交通运输、农业、科学技术、医疗、环境等许多领域中。
层次分析法的基本步骤：1）建立层次结构模型。
在深入分析面临的问题后，将有关因素按照不同属性分成若干层次。
同一层次的因素从属于上一层的因素或对上一层因素有影响，同时又支配下一层因素或对下一层因素有影响。
最上层为目标层，一般只有一个因素；最下层为方案层，可以有多个因素；中间层为准则层，准则层又可以根据实际情况分成若干个子层。
2）构造成对比较矩阵。
对同一层（第一层除外）中的各个因素进行成对比较，利用1-9比较尺度，确定各层中的因素对于上一层中每一因素的影响值，构成若干个成对比较矩阵。
3）单层排序及一致性检验。
求各层次中成对比较矩阵的最大特征值和对应的特征向量，并进行一致性检验。
若检验通过，则可对特征向量归一化求出各层次中的因素对于上一层每一因素的权重向量；否则重新构造成对比较矩阵。
4）层次总排序及一致性检验。
将各层次中因素对于上一层次中各因素的权重向量及上一层次因素对于总目标的权重向量进行组合，确定该层次因素对于总目标的权重向量，并对总排序进行一致性检验，直至方案层。
下面通过实例说明层次分析法的具体实施过程。
例8.1 利润的合理使用。
某工厂有一笔企业留成利润，要由领导决定如何利用，可供选择的方案有三个：（1）以奖金名义发给职工；（2）扩建集体福利设施；（3）引进新技术、新设备等。
在制定方案时，主要考虑的因素有：调动企业员工的积极性；提高企业的技术水平；改善企业员工的生活条件。
层次分析法模型
例3 科研课题的选择 某研究所现有三个 科研课题，限于人力 及物力，只能研究一 个课题。有三个须考 虑的因素：(1)科研成 果贡献大小(包括实用 价值和科学意义)；(2) 人材的培养；(3)课题 的可行性(包括课题的 难易程度、研究周期 及资金)。在这些因素 的影响下，如何选择 课题?
层次分析法的思维过程的归纳
将决策问题分为3个或多个层次： 最高层：目标层。表示解决问题的目的，即层次分析 要达到的总目标。通常只有一个总目标。 中间层：准则层、指标层、…。表示采取某种措施、 政策、方案等实现预定总目标所涉及的中间环节； 一般又分为准则层、指标层、策略层、约束层等。 最低层：方案层。表示将选用的解决问题的各种措施、 政策、方案等。通常有几个方案可选。 每层有若干元素，层间元素的关系用相连直线表示。 层次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高层的相 对权重问题，按此相对权重可以对最低层中的各种方案、 措施进行排序，从而在不同的方案中作出选择或形成选择 方案的原则。
三、层次分析法的步骤和方法
运用层次分析法构造系统模型时，大体 可以分为以下四个步骤： 1. 建立层次结构模型 2. 构造判断(成对比较)矩阵 3. 层次单排序及其一致性检验 4. 层次总排序及其一致性检验
1. 建立层次结构模型
• 将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策 对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层 和最低层，绘出层次结构图。 最高层：决策的目的、要解决的问题。 最低层：决策时的备选方案。 中间层：考虑的因素、决策的准则。 对于相邻的两层，称高层为目标层，低层为因 素层。 下面举例说明。
因素i与j比较的判断aij，则因素j与i比较的判断aji=1/aij
目标层
O(选择旅游地)
准则层
层次分析法评价模型
层次分析法评价模型评价类数学模型是全国数学建模竞赛中经常出现的一类模型，如2005年全国赛A题长江水质的评价问题，2008年B题高校学费标准评价体系问题等。
主要介绍三种比较常用的评价模型：层次分析模型，模糊综合评价模型，灰色关联分析模型，以期帮助大家了解不同背景下不同评价方法的应用。
层次分析模型层次分析法(AHP)是根据问题的性质和要求，将所包含的因素进行分类，一般按目标层、准则层和子准则层排列，构成一个层次结构，对同层次内诸因素采用两两比较的方法确定出相对于上一层目标的权重，这样层层分析下去，直到最后一层，给出所有因素相对于总目标而言，按重要性程度的一个排序。
其主要特征是，它合理地将定性与定量决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。
运用层次分析法进行决策，可以分为以下四个步骤：步骤1 建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层(目标—准则或指标—方案或对象)，上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。
步骤2构造成对比较阵对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，借助1~9尺度，构造比较矩阵；步骤3计算权向量并作一致性检验由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验，若通过，则最大特征根对应的特征向量做为权向量。
步骤4计算组合权向量(作组合一致性检验)组合权向量可作为决策的定量依据通过一个具体的例子介绍层次分析模型的应用。
例(选择旅游地决策问题)如何在桂林、黄山、北戴河3个目的地中按照景色、费用、居住条件、饮食、旅途条件等因素进行选择。
步骤1 建立系统的递阶层次结构将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。
图1 选择旅游地的层次结构步骤2构造比较矩阵元素之间两两对比，对比采用美国运筹学家A.L.Saaty 教授提出的1~9比率标度法(表1)对不同指标进行两两比较，构造判断矩阵。
多层次模型分析的统计原理
多层次模型分析的统计原理多层次模型分析是一种统计方法，用于研究数据在不同层次结构下的变化规律和影响因素。
在实际研究中，我们经常会遇到数据存在多层次结构的情况，比如学生嵌套在班级中，班级嵌套在学校中，员工嵌套在部门中等。
为了更准确地分析这种数据，多层次模型分析应运而生。
本文将介绍多层次模型分析的统计原理，帮助读者更好地理解和运用这一方法。
1. 多层次模型的基本概念多层次模型又称为分层模型或层次线性模型，是一种多层次数据结构下的统计分析方法。
在多层次数据结构中，数据被分为不同的层次，每个层次都有其特定的特征和影响因素。
多层次模型分析旨在同时考虑不同层次的影响，从而更准确地评估变量之间的关系。
2. 多层次模型的建模过程多层次模型的建模过程包括以下几个步骤：（1）确定层次结构：首先需要确定数据的层次结构，即数据被分为哪些层次，每个层次包含哪些变量。
（2）建立空模型：空模型是不考虑任何解释变量的基础模型，用于评估不同层次的变异程度，即在不考虑解释变量的情况下，数据在不同层次之间的变异程度。
（3）引入解释变量：在空模型的基础上，逐步引入解释变量，分析解释变量对因变量的影响以及不同层次之间的交互效应。
（4）模型诊断：对建立的多层次模型进行诊断，检验模型的拟合度和假设是否成立，如模型的残差是否符合正态分布等。
（5）模型解释和预测：最后，根据建立的多层次模型进行参数估计和解释，预测不同层次下因变量的取值，并评估解释变量对因变量的影响程度。
3. 多层次模型的统计原理多层次模型的统计原理主要包括以下几个方面：（1）随机效应：多层次模型中通常包含随机效应，用于描述不同层次之间的随机变异。
随机效应可以帮助解释不同层次之间的差异，提高模型的拟合度。
（2）固定效应：除了随机效应外，多层次模型还包含固定效应，用于描述解释变量对因变量的影响。
固定效应可以帮助评估解释变量的显著性和影响程度。
（3）方差分解：多层次模型通过方差分解，将总变异分解为不同层次和误差的变异成分，从而评估不同层次对因变量的解释能力。
层次分析模型(高级运筹学)
渡船D3
第九章 层次分析
二、构造判断矩阵： 上、下层之间关系被确定之后，需确定 与上层某元素Z（目标A或某个准则Z） 相联系的下层元素（x1，x2，…，xn)各 在上层元素Z之中所占的比重。 方法：每次取2个元素，如xi，xj，以aij 表示 xi 和 xj 对Z的影响之比。这里得到 的A=(aij)n×n称为两两比较的判断矩阵。
第九章 层次分析
意义（理论价值，对某科技领域的推 动作用）； 在课题可行性方面考虑：难易程度 （难易程度与自身的科技力量的一致 性），研究周期（预计需要花费的时 间），财政支持（所需经费，设备及 经费来源，有关单位支持情况等）。
第九章 层次分析
目标层 准则层
合理选择科研课题A
成果贡献B1 应 用 价 值
第九章 层次分析
决策目标
准则1
子准则1
准则2
子准则2
…
准则m1
…
方案1
…
方案2
… 子准则m2 … … …
方案mr
第九章 层次分析
注：层次之间的支配关系不一定是完全 的，即可以有元素（非底层元素）并不 支配下一层次的所有元素而只支配其中 部分元素。这种自上而下的支配关系所 形成的层次结构，我们称之为递阶层次 结构。 递阶层次结构中的层次数与问题的复杂 程度及分析的详尽程度有关，一般可不 受限制。
2°A的每一行均为任意指定的另一行的正 数倍，从而A的秩为1。（即只有一个非零 特征值，其余n-1个为0特征值）； 考虑第ⅰ行元素ai1，ai2，…，ain 对于第k 行元素ak1，ak2，…，akn j=1，2，…，n， aij=aik·kj a 即第ⅰ行各元素分别为第k行各元素的aik倍。
3°A的最大特征根λmax= n，其余特征根皆 为零； 证明：因为秩（A）=1，于是A只有一个非 零特征根 max 0 ，其余的特征根均为零 由于 tr ( A) a
简述层次模型的特点
简述层次模型的特点
层次模型是一种用于描述和分析系统的模型，具有以下特点：
1. 分层结构：层次模型由多个层次组成，每个层次都是上一个层
次的子级。
每个层次分解系统的一个方面，使得分析和描述变得更加
简单。
2. 分类和组织：层次模型对系统进行分类和组织，使得复杂的系
统可以被分解成几个简单的部分。
这种组织方式使得分析和设计变得
更加有效和具有系统性。
3. 静态描述：层次模型集中于静态描述，强调系统中不同层次之
间的组织和关系。
这种描述方式使得层次模型适合于分析系统的结构
和组成。
4. 不够灵活：层次模型对系统进行了划分和分层，因此它不够灵活，不能适应某些复杂的系统。
可能会出现漏洞或失误，对于动态性
强的系统无法有效分析。
5. 易于理解：层次模型的层次结构和分类方式使其易于理解和使用，因此层次模型常被应用于各种领域，如工程、管理、决策制定等。
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1. 正互反阵的最大特征根和特征向量的性质 正矩阵A 的最大特征根是正单根，对应 Ak e 正特征向量w，且 lim T k w, e (1,1,,1)T k e A e 定理1 正互反阵的最大特征根是正数， 特征向量是正向量。 定理2 n阶正互反阵A的最大特征根 n ,
n
要由A确定C1,… , Cn对O的权向量
成对比较阵和权向量 成对比较的不一致情况
a12 1/ 2 (C1 : C2 )
a13 4 (C1 : C3 )
一致比较
1 A 2
1/ 2 1
4 7 不一致
a23 8 (C2 : C3 )
w1 w2 w2 w2 wn w2 w1 wn w2 wn wn wn
构造矩阵
W
( 3)
[ w ,, w ]
( 3) 1 ( 3) n
则第3层对第1层的组合权向量 第s层对第1层的组合权向量
w W w
( 3) ( 3)
( 2)
w W W
(s) (s)
( s 1)
W w
( 3)
( 2)
其中W(p)是由第p层对第 p-1层权向量组成的矩阵
层次分析法的基本步骤
2 1 例 A 1 / 2 1 1 / 6 1 / 4
6 列向量 4 归一化 1
0.6 0.615 0.545 算术 0.587 0.3 0.308 0.364 平均 0.324 w 0.089 0.1 0.077 0.091
n 1
= n是A为一致阵的充要条件。
一致性指标 CI 定义合理
2. 正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算
• 精确计算的复杂和不必要 • 简化计算的思路——一致阵的任一列向量都是特征向量， 一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，可取 其某种意义下的平均。 和法——取列向量的算术平均
技术 创新
效益
C11
水平
C21
C13
C22
C23
C24
待评价的科技成果
三. 层次分析法的若干问题
• 正互反阵的最大特征根是否为正数？特征向量 是否为正向量？一致性指标能否反映正互反阵接 近一致阵的程度？
• 怎样简化计算正互反阵的最大特征根和特征向量？
• 为什么用特征向量作为权向量？ • 当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用 层次分析法？
否则，k:=k+1, 转2 ~ ( k 1) 1 n w 5) 计算 i ( k ) n i 1 wi
3. 特征向量作为权向量——成对比较的多步累积效应 问题 一致阵A, 权向量w=(w1,…wn)T, aij=wi/wj
方案层对目标的组合权向量为 (0.300, 0.246, 0.456)T
组合 权向量
第2层对第1层的权向量
第 1层 O 第2层C1,…Cn 第3层P1, …Pm
w (w ,, w )
( 2) ( 2) 1
( 2) T n
第3层对第2层各元素的权向量
) ( 3) T wk( 3) (wk( 3 , , w ) , k 1,2,, n 1 km
Ci : C j aij
选 择 旅 游 地
1 2 A 1/ 4 1/ 3 1/ 3
1/ 2 1
1 A (aij ) nn , aij 0, a ji aij
4 3 7 1 2 3
1/ 7 1/ 5 1/ 5
3 5 5 A~成对比较阵 1 / 2 1 / 3 A是正互反阵 1 1 1 1
n RI 1 2 10 11 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 3 4 5 6 7 8 9
定义一致性比率 CR = CI/RI
当CR<0.1时，通过一致性检验
“选择旅游地”中 准则层对目标的权 向量及一致性检验 最大特征根=5.073
…Cn
…Bn … n
最大特征根 1
2
w2(3)
权向量
w1(3)
… wn(3)
组合权向量
k 1
第3层对第2层的计算结果 2 3 4 5
w
( 3) k
0.595 0.277 0.129
3.005 0.003
0.082 0.236 0.682
3.002 0.001
0.429 0.429 0.142
层次分析模型
背 景
• 日常工作、生活中的决策问题
• 涉及经济、社会等方面的因素 • 作比较判断时人的主观选择起相当 大的作用，各因素的重要性难以量化
• Saaty于1970年代提出层次分析法 AHP (Analytic Hierarchy Process) • AHP——一种定性与定量相结合的、 系统化、层次化的分析方法
• 通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方 案对每一准则的权重。 • 将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的 权重。 层次分析法将定性分析与定量分析结合起来 完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。
层次分析法的基本步骤 成对比较阵 和权向量
元素之间两两对比，对比采用相对尺度
设要比较各准则C1,C2,… , Cn对目标O的重要性
一致性指标 CI 5.073 5 0.018 5 1
随机一致性指标 RI=1.12 (查表) 一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1 通过一致 性检验
组合权向量
记第2层（准则）对第1层（目标） ( 2) ( 2) ( 2) T 的权向量为 w ( w1 ,, wn )
1.769 Aw 0.974 0.286
Aw w
(
1 1.769 0.974 0.268 ) 3.009 3 0.587 0.324 0.089
精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T, =3.010
简化 计算
根法——取列向量的几何平均
幂法——迭代算法
1）任取初始向量w(0), k:=0，设置精度
~ ( k 1) Aw( k ) 2) 计算 w
3）归一化 w
( k 1) ( k 1) ( k 1) ~ ~ w / wi i 1 n
( k 1) (k ) max w w ，停止； 4）若 i i i
方案层对C2(费用) 的成对比较阵
1 1/ 3 1/ 8 B2 3 1 1 / 3 1 8 3
同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量 方案层对C1(景色) 的成对比较阵
1 B1 1 / 2 1 / 5 2 1 1/ 2 5 2 1
交 通 拥 挤 C5
居 民 搬 迁 C6
汽 车 排 放 物 C7
对 水 的 污 染 C8
对 生 态 的 破 坏 C9
桥梁 D1
隧道 D2
渡船 D2
（2）过河代价层次结构
例4 科技成果 的综合评价
效益C1
科技成果评价
水平C2
规模C3
直接 经济
间接 经济 效益 C12
社会 效益
学识
学术 创新
技术 水平
例1 国家 实力分析
国家综合实力
国民 收入
军事 力量
科技 水平
社会 稳定
对外 贸易
美、俄、中、日、德等大国
例2 工作选择
贡 献 收 入
工作选择
发 展
声 誉
关 系
位 置
供选择的岗位
例3 横渡 江河、海峡 方案的抉择
节 省 时 间 C1
过河的效益 A
经济效益 B1 当 地 商 业 C4 建 筑 就 业 C5 社会效益 B2 安 全 可 靠 C6 交 往 沟 通 C7 环境效益 B3 舒 适 C9 进 出 方 便 C1
0
收 岸 入 间 C2 商 业 C3
自 豪 感 C8
美 化 C11
桥梁 D1
隧道 D2
渡船 D3
（1）过河效益层次结构
例3 横渡 江河、海峡 方案的抉择
投 入 资 金 C1
过河的代价 A 经济代价 B1 社会代价 B2 环境代价 B3
操 作 维 护 C2
冲 击 渡 船 业 C3
冲 击 生 活 方 式 C4
2 3 稍强 4 5 强 6 7 8 9 绝对强
• 便于定性到定量的转化：
尺度
a ij
1 相同
Ci : C j的重要性
明显强
aij = 1,1/2, ,…1/9 ~ Ci : C j 的重要性与上面相反
• 心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个 • 用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p (p=2,3,4,5), d+0.1~d+0.9 (d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较 阵，算出权向量，与实际对比发现， 1~9尺度较优。
1）建立层次分析结构模型
深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标— 准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内 各因素基本上相对独立。
2）构造成对比较阵
用成对比较法和1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的 成对比较阵。
3）计算权向量并作一致性检验
对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性 检验，若通过，则特征向量为权向量。
允许不一致，但要确定不一致的允许范围
w1 考察完全一致的情况 w 1 W ( 1) w1, w2 ,wn w2 A w1 令aij wi / w j T w (w1 , w2 ,wn ) ~ 权向量 wn w1
成对比较阵和权向量 成对比较完全一致的情况