2005年高考文科数学(江西卷)试题及答案

2005江西卷试题及答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．第I 卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效3．考试结束，临考员将试题卷、答题卡一并收回． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 334R V π=次的概率k n k kn n P P C k P −−=)1()( 其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合⋃−−==∈<=A B A Z x x x I 则},2,1,2{},2,1{},,3|||{(I C B )= （ ）A ．{1}B ．{1，2}C ．{2}D ．{0，1，2} 2．已知==ααcos ,32tan 则（ ） A ．54B ．－54 C ．154 D ．－533．123)(x x +的展开式中，含x 的正整数次幂的项共有 （ ）A ．4项B ．3项C ．2项D ．1项 4．函数)34(log 1)(22−+−=x x x f 的定义域为（ ）A ．（1，2）∪（2，3）B ．),3()1,(+∞⋃−∞C ．（1，3）D ．[1，3]5．设函数)(|,3sin |3sin )(x f x x x f 则+=为（ ）A ．周期函数，最小正周期为32πB ．周期函数，最小正周期为3πC ．周期函数，数小正周期为π2D ．非周期函数6．已知向量的夹角为与则若c a c b a c b a ,25)(,5||),4,2(),2,1(=⋅+=−−= （ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°7．将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（ ） A ．70 B ．140 C ．280 D ．840 8．在△ABC 中，设命题,sin sin sin :AcC b B a p ==命题q:△ABC 是等边三角形，那么命题p 是命题q 的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件9．矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B —AC —D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为 （ ）A ．π12125B ．π9125 C ．π6125D ．π312510．已知实数a 、b 满足等式,)31()21(ba =下列五个关系式：①0<b <a ②a <b <0 ③0<a <b ④b <a <0 ⑤a =b 其中不可能成立的关系式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．在△OAB 中，O 为坐标原点，]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ，则当△OAB 的面积达最大值时，=θ（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π12．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则a , b 的值分别为（ ） A ．0,27,78B ．0,27,83C ．2.7,78D ．2.7,83第Ⅱ卷注意事项： 第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，请将答案填在答题卡上.13．若函数)2(log )(22a x x x f a ++=是奇函数，则a = .14．设实数x , y 满足的最大值是则x y y y x y x ,03204202⎪⎩⎪⎨⎧≤−>−+≤−− . 15．如图，在三棱锥P —ABC 中，PA=PB=PC=BC ，且2π=∠BAC ，则PA 与底面ABC 所成角为 .16．以下同个关于圆锥曲线的命题中 ①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，k =−||||，则动点P 的轨迹为双曲线；②过定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若),(21+=则动点P 的轨迹为椭圆；③方程02522=+−x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线13519252222=+=−y x y x 与椭圆有相同的焦点. 其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知函数bax x x f +=2)(（a ，b 为常数）且方程f (x )－x +12=0有两个实根为x 1=3, x 2=4.（1）求函数f (x )的解析式；（2）设k>1，解关于x 的不等式；xkx k x f −−+<2)1()(.已知向量x f x x x x ⋅=−+=+=)()),42tan(),42sin(2()),42tan(,2cos2(令πππ. 求函数f (x )的最大值，最小正周期，并写出f (x )在[0，π]上的单调区间.19．（本小题满分12分）A 、B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A 赢得B 一张卡片，否则B 赢得A 一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止.求掷硬币的次数不大于7次时游戏终止的概率. 20．（本小题满分12分）如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动. （1）证明：D 1E ⊥A 1D ；（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离； （3）AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为4π.1A C如图，M 是抛物线上y 2=x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB. （1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；（2）若M 为动点，且∠EMF=90°，求△EMF 的重心G 的轨迹方程.22．（本小题满分14分）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n －S n －2=3,23,1),3()21(211−==≥−−S S n n 且求数列{a n }的通项公式.2005江西卷试题及答案参考答案1-6: DBBAAC 7-10: ACCBDA13.214.32 15.3π 16. ③④17．解：（1）将0124,3221=+−+==x bax x x x 分别代入方程得).2(2)(,2184169392≠−=⎩⎨⎧=−=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=+−=+x x x x f b a ba ba 所以解得 （2）不等式即为02)1(,2)1(222<−++−−−+<−xkx k x x k x k x x 可化为 即.0))(1)(2(>−−−k x x x①当).,2(),1(,21+∞⋃∈<<k x k 解集为②当);,2()2,1(0)1()2(,22+∞⋃∈>−−=x x x k 解集为不等式为时 ③),()2,1(,2+∞⋃∈>k x k 解集为时当.18．解：)42tan()42tan()42sin(2cos 22)(πππ−+++=⋅=x x x x b a x f12cos 22cos 2sin 22tan112tan 2tan 12tan1)2cos 222sin 22(2cos 222−+=+−⋅−+++=x x x x xx x x x xsin cos ).4x x x π=+=+当4xπ=时，max ()|()4f x f π==最小正周期为2T π=()f x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦是单调增加，在,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是单调减少19．解：设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数，正面出现的次数为m ，反面出现的次数为n ，则||517m n m n ξξ−=⎧⎪+=⎨⎪≤≤⎩，可得： 5,00,5,5;m n m n ξ=====当或时6,11,6,7.m n m n ξ=====当或时 :5,7ξ所以的所有可能取值为51751115(7)(5)(7)2()2()22166464P P P C ξξξ≤==+==⨯+=+=20．解法（一）（1）证明：∵AE ⊥平面AA 1DD 1，A 1D ⊥AD 1，∴A 1D ⊥D 1E（2）设点E 到面ACD 1的距离为h ，在△ACD 1中，AC=CD 1=5，AD 1=2， 故.2121,232152211=⋅⋅==−⋅⋅=∆∆BC AE S S ACE C AD 而 .31,23121,3131111=∴⨯=⨯∴⋅=⋅=∴∆∆−h h h S DD S V C AD AEC AEC D（3）过D 作DH ⊥CE 于H ，连D 1H 、DE ，则D 1H ⊥CE ， ∴∠DHD 1为二面角D 1—EC —D 的平面角. 设AE=x ，则BE=2－x,,,1,.1,4,211x EH DHE Rt x DE ADE Rt DH DHD DH D Rt =∆∴+=∆=∴=∠∆中在中在中在 π.4,32.32543.54,3122π的大小为二面角时中在中在D EC D AE x x x x x x CE CBE Rt CH DHC Rt −−−=∴−=⇒+−=+∴+−=∆=∆解法（二）：以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，设AE=x ，则A 1（1，0，1），D 1（0，0，1），E （1，x ，0），A （1，0，0）C （0，2，0）（1）.,0)1,,1(),1,0,1(,1111E D DA x E D DA ⊥=−=所以因为1A（2）因为E 为AB 的中点，则E （1，1，0）， 从而)0,2,1(),1,1,1(1−=−=D ，)1,0,1(1−=AD ，设平面ACD 1的法向量为),,(c b a =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,01AD 也即⎩⎨⎧=+−=+−002c a b a ，得⎩⎨⎧==c a ba 2，从而)2,1,2(=，所以点E 到平面AD 1C 的距离为.313212||1=−+==n h （3）设平面D 1EC 的法向量),,(c b a =，∴),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1(11=−=−=DD D x由⎩⎨⎧=−+=−⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0)2(02,0,01x b a c b D 令b=1, ∴c=2,a =2－x ，∴).2,1,2(x −= 依题意.225)2(222||||4cos211=+−⇒=⋅=x DD n π∴321+=x （不合，舍去），322−=x . ∴AE=32−时，二面角D 1—EC —D 的大小为4π.。