2a-国家二等奖—轻院

承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：B甲2907所属学校（请填写完整的全名）：山东轻工业学院参赛队员(打印并签名) ：1. 侯佳2. 连玉红3. 徐有波指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：2009 年 09 月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：眼科病床的合理安排摘要：本文针对眼科病床的安排问题利用排队论建立随机服务优化模型。

确立了以队长、病床平均利用率、等待时间、不同病人之间等待时间的均衡程度等为指标的评价体系。

问题二基于医院公布的病人情况，利用SPSS软件对每天来院患者数进行统计分析，采用MATLAB程序建立了合理的病床安排仿真模型，并就问题一中建立的评价体系对模型作出了合理的评价，得出时间不同，患者优先级不同的等待制的排队规则优于FCFS规则；此外，通过设定等待时间上限T，得到不同类型患者等待时间相对均衡的仿真结果。

问题三中通过对仿真程序的改进，以青光眼病人为例，预测出病人的大致入院区间。

问题四中改变了排队规则和服务规则，根据白内障手术时间分别为周一、周三，周二、周四，周三、周五三种方案，通过对三种方案中患者的占用床数、等待队长、等待时间的比较，得到最佳方案为方案三。

问题五中构造出以平均逗留时间为优化目标的多目标非线性规划模型，利用计算机仿真求得其最优解：白内障，视网膜青光眼和外伤的病床数依次为31，39，9。

关键字：排队论计算机仿真优先权服务等待时间上限T 二次曲线拟合多目标非线性规划某医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。

该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。

白内障手术较简单，而且没有急症。

目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。

做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。

如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。

外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。

其他眼科疾病比较复杂，大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。

这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。

该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。

当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First come, First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。

二模型假设1. 该医院排队系统的规则：等待制，为患者服务的次序：有优先权服务；2. 无手术条件的限制，但白内障手术与其他手术不能安排在同一天进行；3. 患者的到来服从泊松分布，)(tPn ＝ntnt)^(*!expλλ）（-；4. 急症患者在就诊的第二天即可入院；5. 就诊患者只分为白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤四大类；6. 除外伤，其他手术都没有急症；7. 病人源是无限源，等待室容量为无限大，仿真时间为365天；8. 每次手术均成功，就诊时不会出现误诊情况；9. 随机产生以频率为概率的随机数；10. 白内障双眼患者的两眼手术间隔为一天。

本题为排队系统中的随机服务系统，包括三个组成部分：输入过程、排队规则和服务机构，输入过程为病人的到来，排队规则为有优先权的等待制，服务规则为单对多服务台并联式，服务机构为79张病床 。

首先通过用Excle 对2008年7月13日到2008年9月11日期间各类病人的情况处理，建立病床安排评价体系，问题二中外伤优先级最高，取一时间T 为标准，若病人的等待天数大于T ，优先级仅次于外伤，反之白内障双眼在星期六、日有较高优先权，白内障单眼在星期一、二、六、日有较高优先权，但在周六、日次于前者，其它情况下按照FCFS 原则安排患者住院。

问题四中，提出三种方案: (1) 手术时间不调整，改变服务方案; (2) 将白内障手术改到二、四; (3)将白内障手术改到三、五。

通过对计算机仿真结果的比较选择最优方案。

问题五的服务规则改为4个单对单服务台并联式。

计算机仿真得出各类型病床数和平均逗留时间的数据，运用二次曲线拟合得到其函数关系，最后用线性规划求得最优解。

四 名词解释及符号说明为了叙述方便，下面对本文中出现的名词及符号进行说明： 1. )(ηϕ：t 时刻病床的占用数 2. Lm :正在接受服务的患者 3. Ls :队长平均值 4. q :等待时间5. Wq :等待时间平均值6. m :服务时间7. Ws :逗留时间平均值 8. ρ:服务强度9. ν:有效的平均到达率 10. μ:平均服务率11. )(t P n :在t 时间内到达)(t n 个患者的概率12.)(t N :t 时间内患者的人数 13. cure:第二天拟出院病人数 14. lcustomer:占用床数15. line:队列长度（门诊人数） 16. date:模拟天数17.)(i k ：病床的比例数 i ＝1，2，3 18.)(i x ：白内障，视网膜青光眼和外伤分配的病床数 )(i T ：对应得平均逗留时间 i ＝1，2，3 19. )(i M ：得初始服务台的数量 i ＝1，2，3五 模型的建立及求解问题一：病床安排模型评价体系排队系统包括三个组成部分：输入过程、排队规则和服务机构。

研究排队系统问题的主要目的是研究其运行效率,考核服务质量,以便据此提出改进措施。

本模型我们采用5项数量指标来评价排队系统的优劣：1）病床平均利用率：∑==tc t R 0)(1ηϕ，其中，)(ηϕ为t 时刻病床的占用数；2）队长：系统中排队等待服务和正在接受服务的患者(Lm )总数，其平均值记为Ls ； 则 Lm Lq Ls +=3） 等待时间：患者从到达系统时起到开始接受服务时止这一段时间，其平均值记为Wq ，显然患者希望等待时间越短越好；4）逗留时间：患者在系统中的停留时间，包括等待时间q 和服务时间m ，其平均值记为Ws ；则 Wm Wq Ws ＋=5） 服务强度：系统为患者服务的能力，用ρ表示，其值为有效的平均到达率ν与平均服务率μ之比，即ρ＝μν/，当ν变大，则队长增加，排队等待服务得时间增加。

各种参数之间的关系由Little 公式给出：Ws Ls *ν= Wq Lq *ν=6） 不同病人之间的等待时间的均衡程度W ：令n 个病人的等待时间分别为t(i),i=1,2,…,n 。

∑=--=ni t i t W 12)^)((，W 越小表明均衡程度越好。

问题二：病床安排模型的建立与仿真本模型中，我们应用计算机仿真来求解医院排队系统问题，首先验证2008年7月13号到9月11号每天的患者数满足参数为λ=8.688的泊松分布（程序见附录一），有相关的函数分别产生某天患者数、治疗时间和等待时间的随机数。

将一个医院的病床服务作为一个服务机构, 住院排队系统的服务对象是门诊病人中需接受住院的治疗者。

排队系统的规则是有优先权服务的等待制。

2.1 随机变量的产生 2.1.1 当天患者数的产生将病人分为急症病人（外伤）和一般病人，利用MATLAB 程序验证得其到达服从参数为λ=8.688的泊松分布，在t 时间内到达)(t n 个患者的概率为:)(t P n ＝n t n t )^(*!exp λλ）（- （n ＝0，1，2，…… ） （1） 在t 时刻患者的人数为∑+∞==0)(*)(n n t P n t N （2）2.1.2 治疗时间的产生无论急诊病人还是一般病人，先用Excel 对原始数据进行初步处理，再利用SPSS 软件中的Frequencles 函数将处理好的数据进行频数统计（见图表一），得出其住院时间均服从在指定区间上，满足一定频率的随机分布。

例如： 白内障单眼患者 出院——手术（第一列为治疗时间，第二列为频数，第三列为频率）最后，计算机仿真，由Matlab 中的UNIDRND （）函数产生随机数。

2.1.3 等待时间的产生计算机仿真时，各类病人的等待时间同样由Matlab 中的UNIDRND （）函数产生。

2.2 仿真过程按照第二天的拟空床数来安排患者在第二天住院。

仿真系统的算法及流程图如下所示：（仿真程序见附录二）。

2.2.1 仿真模型的算法：Step1: 按照泊松分布产生患者到来的随机数; Step2: 将患者排入队中;Step3: 根据排队规则,对患者进行服务; Step4: 服务结束,患者出院。

具体分析如下：通过计算机仿真得出第二天拟出院病人数cure(也就是第二天的空床数，记占用床数为lcustomer)和队列长度（门诊人数）line，队列序号j（j=1,2,3……line），第j个人等待的天数为t(j) ，输入模拟天数date,通过MATLAB程序对t(j)由大到小进行排序。

定义等待天数上限为T，初始值d=1，lcustomer＝0；1.对于t(j)>=T的患者根据等待的天数依次安排入院（t(j)越大，优先级越高），每入院1人lcustome加1，当lcustomer<=79继续，否则转162. 用计算机仿真判断第i个患者是何种类型，记为customer(i)i＝1，2……cure3. 初始值i=1;当lcustomer<=79,且customer(i)为外伤患者，是转4,否则转54. lcustomer＝lcustomer+1，line＝line -1；5. i=i+1,判断i<=cure?是转3，否则继续6. 初始值i=1；当lcustomer<=79，i<=cure，customer(i)为白内障双眼患者且当天为周六、日；是转7，否则转87. lcustomer＝lcustomer+1，line＝line -1；8. i=i+1,判断i<=cure? 是转6，否则继续9. 初始值i=1；当lcustomer<=79，i<=cure，customer(i)为白内障单眼患者且当天为周一、二、六、日；是转10，否则转1110. lcustomer＝lcustomer+1，line＝line -1；11. i=i+1,判断i<=cure? 是转9，否则继续；12. 初始值i=1；当Lcustomer<=79，是转13，否则转14；13. lcustomer＝lcustomer+1，line＝line -1；14. i=i+1,判断i<=cure? 是转12，否则继续；15. 输出lcustomer、line；16. d＝d＋1，d<=date? 是转1，否则仿真结束。