初三数学中考复习第五讲数与式
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初三数学复习 数与式 第一课时 实数的有关概念【知识要点】（一）实数的有关概念 （1）实数的分类当然还可以分为：正实数、零、负实数。
有理数还可以分为：正有理数，零，负有理数 （2）数轴：数轴是研究实数的重要工具，是在数与式的学习中，实现数形结合的载体，数轴的三要素：原点、正方向和单位长度，实数与数轴上的点是一一对应的，我们还可以利用这种一、一对应关系来比较两个实数的大小。
（3）绝对值绝对值的代数意义：||()()()a a a a a a =>=-<⎧⎨⎪⎩⎪0000 绝对值的几何意义：一个数的绝对值是这个数在数轴上的对应点到原点的距离。
（4）相反数、倒数实数的相反数记为－，非零实数的倒数记为，零没有倒数。
a a a 1a 若a 、b 两个数为互为相反数，则a+b=0。
若m 、n 两个数互为倒数，则m·n=1。
（5）三种非负数： ||()a a a a ，，都表示非负数。
20≥“几个非负数的和等于零，则必定每个非负数都同时为零”的结论常用于化简，求值。
（6）平方根、算术平方根、立方根的概念。
如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有 一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a(a≥0)的平方根记作．一个正数a 的正的平方根，⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧—无限不循环小数—无理数负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数叫做a 的算术平方根．a(a≥0)的算术平方根记作 ．（7）科学计数法、有效数字和近似值的概念。
1.近似数： 一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数精确到哪一位．2.有效数字： 一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．3.科学记数法： 把一个数用 (1≤ ＜10，n 为整数)的形式记数的方法叫科学记数法．【典型例题：】P2例1、(2012贵州六盘水，5，3分)，13，π，cos 45︒，0.32中无理数的个数是（ ▲ ）A ．1 B ．2C ．3D ．4点评：此题主要考查了无理数的定义，其中：（1）有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，例如5=5.0；分数都可以化为有限小数或无限循环小数．（2）无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数．（3）有限小数和无限循环小数都可以化为分数，也就是说，一切有理数都可以用分数来表示；而无限不环小数不能化为分数，它是无理数．P2例4、（2012·湖北省恩施市，题号16 分值 4）观察下表：根据表中数的排列规律，B+D=_________.例题补充、（2012河北省17,3分）17、某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序的倒数加1，第1位同学报⎪⎭⎫ ⎝⎛+111，第2位同学报⎪⎭⎫ ⎝⎛+121，…这样得到的20个数的积为_________________.第二课时：实数的运算及比较大小【知识要点】一、实数的运算1.加法： 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数．2.减法： 减去一个数等于加上这个数的相反数．3.乘法： 几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．4.除法： 除以一个数，等于乘上这个数的倒数．两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0．5.乘方与开方(1)a n所表示的意义是n个a相乘，正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数． (2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方． (3)零指数与负指数二、实数大小的比较 1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大. 2.正数都大于0，负数都小于0，两个正数，绝对值较大的那个正数大；两个负数；绝对值大的反而小. 3.对于实数a、b，若a-b＞0 a＞b； a-b=0 a=b； a-b＜0 a＜b. 4.对于实数a，b，c，若a＞b，b＞c，则a＞c. 5.无理数的比较大小： 利用平方转化为有理数：如果a＞b＞0，a2＞b2 则a＞b ； 或利用倒数转化：如比较与.三、实数运算顺序 加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算．四、实数的运算律 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 乘法分配律：(a+b)c=ac+bc【典型例题：】P3例3（2012山东省聊城，10，3分）如右图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数是3和-1，则点C所对应的实数是（）A. 1+3B. 2+3C. 23-1D. 23+1P4例 4(2012广东汕头，21，7分)观察下列等式：第1个等式：a1==×（1﹣）；第2个等式：a2==×（﹣）；第3个等式：a3==×（﹣）；第4个等式：a4==×（﹣）；…请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：a5= = ；（2）用含有n的代数式表示第n个等式：a n= = （n为正整数）；（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．分析：（1）（2）观察知，找第一个等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为序号的2倍减1和序号的2倍加1．（3）运用变化规律计算．第三课时：整式与因式分解（1）：【整式知识梳理】 代数式的分类幂的乘方，底数不变，指数相乘。
2020年九年级数学中考专题复习 数与式 教学设计
2020年九年级数学中考专题复习数与式教学设计1. 教学目标•熟练掌握数与式的基本概念和基本运算规则；•能够正确使用数与式解决实际问题；•培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
2. 教学内容•数与式的基本概念和基本运算规则；•数与式在实际问题中的应用。
3. 教学方法•教师讲解与学生互动；•数与式的例题分析与解答；•学生练习与作业。
4. 教学过程第一节：数与式的基本概念和基本运算规则（30分钟）1.教师简要介绍数与式的定义和基本概念，如数的分类（自然数、整数、有理数等）、变量与常数的概念等。
2.教师结合例题，讲解数的四则运算和数的公式运算规则，强调加减乘除法的优先级和运算顺序。
3.学生跟随教师的示范，通过课堂练习巩固数的运算规则。
第二节：数与式在实际问题中的应用（40分钟）1.教师给出一些实际问题，并引导学生将问题中的信息转化为数与式的形式。
2.学生分组讨论并解答问题，教师逐组点评并给予指导。
3.教师布置作业，要求学生用数与式解答实际问题，并在课下完成。
5. 教学评估1.教师根据学生的课堂表现和作业完成情况进行评估，评价学生的数与式的理解和运用能力。
2.可以通过课堂小测验、作业评分和个别讨论等方式进行针对性的评估和提升。
6. 教学资源•PowerPoint课件：包含数与式的基本概念和基本运算规则的示意图和例题；•作业习题：提供不同难度的实际问题，让学生运用数与式解答。
7. 拓展资源•在线数学学习网站：如Mathway、Khan Academy等，供学生继续巩固数与式的学习，并扩展数学知识。
8. 总结通过本节课的学习，学生能够熟练掌握数与式的基本概念和基本运算规则，并能够正确运用数与式解决实际问题。
在平时的学习中，学生可以通过多做题和实践，进一步提升数与式的理解和应用能力。
同时，学生也可以积极利用网络平台等资源，加深对数学知识的理解并提升自己的学习水平。
初三数学中考复习专题数与式
《数与式》考点1 有理数、实数的概念1、 把下列各数填入相应的集合内：51.0,25.0,,8,32,138,4,15,5.73 π- 有理数集{ }，无理数集{ }正实数集{ }2、 在实数271,27,64,12,0,23,43--中，共有___个无理数 3、 在4,45sin ,32,14.3,3︒--中，无理数的个数是_______ 4、 写出一个无理数________，使它与2的积是有理数 考点2 数轴、倒数、相反数、绝对值1、___________的倒数是211-；0.28的相反数是_________． 2、 如图1，数轴上的点M 所表示的数的相反数为_________ M3、 0|2|)1(2=++-n m ，则n m +的值为________4、 实数c b a ,,在数轴上对应点的位置如图2所示，下列式子中正确的有（ ） ①0>+c b ②c a b a +>+ ③ac bc > ④ac ab >A .1个B .2个C .3个D .4个5、 ①数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是______②数轴上表示x 和－1的两点A 和B 之间的距离是_______，如果|AB |＝2，那么____________=x考点3 平方根与算术平方根．1、下列说法中，正确的是（ ）A .3的平方根是3B .7的算术平方根是7C .15-的平方根是15-±D .2-的算术平方根是2- 2、 9的算术平方根是______3、 38-等于_____ 3图1 ∙-2 -1 a 图2 ∙∙b c4、 03|2|=-+-y x ，则______=xy考点4 近似数和科学计数法1、 据生物学统计，一个健康的成年女子体内每毫升血液中红细胞的数量约为420万个，用科学计算法可以表示为___________2、 由四舍五入得到的近似数0.5600的有效数字的个数是______，精确度是_______3、 用小数表示：5107-⨯＝_____________考点5 实数大小的比较1、 比较大小：0_____21_____|3|--；π． 2、 比较41,31,21---的大小关系：__________________ 3、 已知2,,1,10x x xx x ，那么在<<中，最大的数是___________ 考点6 实数的运算【知识要点】1、是正整数）；时，当n a a a n ______(_____00==≠-．2、 如图1，是一个简单的数值运算程序，当输入x 的值为－1时，则输出的数值为____________3、 计算（1）|21|)32004(21)2(02---+-（2）︒⋅+++-30cos 2)21()21(10考点7 乘法公式与整式的运算1、下列计算正确的是（ ）A .532x x x =+B .632x x x =⋅C .623)(x x =-D .236x x x =÷2、 下列不是同类项的是（ ）A .212与-B .n m 22与C .b a b a 2241与-D 222221y x y x 与- 3、 计算：)12)(12()12(2-+-+a a a4、 计算：)()2(42222y x y x-÷-考点8 因式分解 1、 分解因式______2=+mnmn ，______4422=++b ab a 2、 分解因式________12=-x考点9：分式 1、 当x _______时，分式52+-x x 有意义 2、 当x _______时，分式242--x x 的值为零 3、 下列分式是最简分式的是（ ）A .ab a a +22B .axy 36 C .112+-x x D 112++x x 4、 下列各式是分式的是（ ）A .a 1 B .3a C .21 D π65、 计算：x x ++-11116、 计算：112---a a a考点10 二次根式1、下列各式是最简二次根式的是（ ）A .12B .x 3C .32xD .352、 下列根式与8是同类二次根式的是（ ） A .2 B .3 C .5 D .63、 二次根式43-x 有意义，则x 的取值范围_________4、 计算：3322323--+5、 计算：)0(4522≥-a a a6、 计算：5120-7、 数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简：222)()1()1(b a b a ---++．(第7题)82得【 】 （A ） 2 （B ）4x 4-+ （C ）－2 （D ）4x 4-达标测试：1、实验中学初三年级12个班中共有团员a 人，则a 12表示的实际意义是 ▲ 2、先化简，再求值：2x 2x 11x 1x -⎛⎫⋅+ ⎪+⎝⎭，其中x=12. 3、已知， P=22x y x y x y---，Q=()2x y 2y(x y)+-+，小敏、小聪两人在x 2,y 1==-的条件下分别计算了P 和Q 的值，小敏说P 的值比Q 大，小聪说Q 的值比P 大，请你判断谁的结论正确，并说明理由。
初三数与式知识点归纳总结
初三数与式知识点归纳总结初三阶段，数与式是数学学科的重要内容之一，也是后续学习的基础。
本文将对初三数与式的知识点进行归纳总结，以帮助初三学生更好地掌握相关知识。
一、整数与分数1. 整数的基本概念：整数包括正整数、负整数和零。
正整数用正号表示，负整数用负号表示，零用0表示。
2. 整数的加法与减法：整数的加法满足结合律和交换律，减法是加法的逆运算。
3. 分数的基本概念：分数由分子和分母组成，分子表示份数，分母表示总份数。
4. 分数的四则运算：分数的加减乘除运算在初三中比较常见，可以通过化简分数、通分等方法进行运算。
5. 小数与分数的转化：小数可以转化为分数，分数也可以转化为小数，可以通过与10、100等的乘除法进行转化。
二、比例与百分数1. 比例的概念与性质：比例是两个或多个有对应关系的数的比较，比例的概念、性质及运算规律是初三数学的重要内容。
2. 百分数的概念与应用：百分数是以100为基数的比例，常用于表示比例关系或表示部分与整体的比例。
3. 比例与百分数的应用：在生活中，比例与百分数有广泛的应用，如购物打折、利润计算等。
三、两步算法与方程1. 两步算法的概念与应用：两步算法是指先进行加、减、乘、除等运算，再进行逆运算，求解未知数的过程。
2. 一元一次方程：一元一次方程是指未知数的最高次数为1的方程，可以通过移项、消元等方法求解。
3. 一元一次方程的应用：一元一次方程在实际问题中的应用较广泛，可以用于解决关于长度、面积、体积等问题。
四、图形与几何知识1. 图形的基本概念：初三的几何知识中包括了平面图形和立体图形的概念和性质，如点、线、面、体等。
2. 三角形与四边形：三角形和四边形作为平面图形的重要代表，其性质和特点需要掌握，如角的性质、边长的关系等。
3. 圆与圆的应用：圆的相关性质和圆的应用也是初三几何知识的重要内容，如圆的面积、周长计算等。
五、概率与统计1. 概率的基本概念与计算：概率是事件发生的可能性，可以通过频率和理论概率进行计算。
初三中考复习数式与
（3） 分母有理化：把分母中根号去掉叫分母有理化：
1 a a a a
，
1 a b
a b ( a b) 例题 1 （1）计算： (a 2b)(2a b) （2）下列式子中是完全平方式的是（ A． a 2 ab b 2 B． a 2 2a 2 ） C． a 2 2b b 2 D． a 2 2a 1 .
．
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【规范解答】∵P=3xy﹣8x+1，Q=x﹣2xy﹣2， ∴3P﹣2Q=3（3xy﹣8x+1）﹣2（x﹣2xy﹣2）=9xy﹣24x+3﹣2x+4xy+4=13xy﹣26x+7。 ∵3P﹣2Q=7 恒成立，∴13xy﹣26x+7=7，即 13x（y﹣2）=0。 ∵x≠0，∴y﹣2=0，∴y=2。 【总结与思考】因式分解的综合运用问题
【总结与思考】解题思路：分式混合运算法则口诀：分式四则运算，顺序乘除加减，乘除同级运算，除法符号须变 （乘） ：乘法进行化简，因式分解在先，分子分母相约，然后再行运算；加减分母需同．分母化积关键；找出最简公分 母，通分不是很难；变号必须两处．结 果要求最简．
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课程小结
一、实数的有关概念
整数 有理数 （有限小数或无限循环小数） 1、实数分类：实数 分数 无理数（无限不循环小数）
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【规范解答】∵x=1，代数式（2a-b）x2+（2b-c）x+2c-a 值为 10， ∴（2a-b）+（2b-c）+2c-a=10， ∴2a-b+2b-c+2c-a=10， ∴a+b+c=10． 【总结与思考】把 x=1 代入（2a-b）x2+（2b-c）x+2c-a，再根据代数式（2a-b）x2+（2b-c）x+2c-a 值为 10，然 后进行整理，即可得出答案
中考数学数与式知识点讲解
中考数学：数与式知识点讲解数与式是数学中的基本概念，对于中考数学而言，掌握数与式的知识点是非常重要的。
本文将从简单到复杂，逐步讲解数与式的相关内容，帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。
一、数的概念数是数量的表示，它可以用来计数、比较大小和进行运算等。
在数学中，我们常见的数有自然数、整数、有理数和实数等。
这些数的概念是理解数与式的基础。
1.自然数自然数是人们最早接触到的数，包括0和正整数。
自然数的集合记为N={0, 1, 2, 3, …}。
自然数可以用来计数物体的数量。
2.整数整数是自然数的扩展，包括负整数、0和正整数。
整数的集合记为Z={…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}。
整数可以用来表示欠债、海拔等具有正负关系的事物。
3.有理数有理数是可以表示为两个整数的比值的数。
有理数的集合记为Q。
有理数包括整数和分数。
例如，2、-5、1/3等都是有理数。
有理数可以进行加、减、乘、除等运算。
4.实数实数是可以用来表示现实世界中的量的数。
实数的集合记为R。
实数包括有理数和无理数。
例如，根号2、π等都是实数。
实数可以进行所有的运算。
二、式的概念式是数的集合，用运算符连接起来的表达式。
式可以包含数、变量、运算符和括号等。
理解式的概念对于解决数学问题和进行代数运算非常重要。
1.简单的式简单的式是由数和运算符组成的表达式。
例如，3+4、5-2等都是简单的式。
可以通过运算符的运算规则，计算出式的结果。
2.复杂的式复杂的式是由简单的式经过嵌套和运算符的组合而成的表达式。
例如，(3+4)×5、2(a+3)等都是复杂的式。
在计算复杂的式时，需要按照运算符的优先级和结合性进行计算。
三、数与式的关系数与式是密切相关的，数可以作为式的一部分，而式可以用来表示数的关系。
掌握数与式的关系有助于解决数学问题。
1.数到式数可以用来表示式中的常量。
例如，假设一个矩形的长度是3cm，宽度是2cm，那么它的面积可以表示为3×2=6，其中3和2就是数，6是式。
中考数学复习《数与式》考点及测试题(含答案)
中考数学复习《数与式》考点及测试题（含答案）【专题分析】本专题的主要考点有实数的有关概念，科学记数法，非负数的性质，实数的运算；幂的运算，整式的运算，因式分解；分式的概念，分式的加减，分式的混合运算；二次根式的有关概念，二次根式的性质，二次根式的运算等．中考中数与式的考查一般以客观张题为主，但分式的化简求值经常有开放型题目．数与式的考查常见题型以选择题或填空题为主，整式和分式的化简求值一般以解答题的形式进行考查．数与式在中考中所占比重约为20%～25%. 【解题方法】解决数与式问题的常用方法有数形结合法，特殊值法，分类讨论法，整体代入法，设参数法，逆向思维法等. 【知识结构】【典例精选】：计算：2－1－3tan 60°＋(π－2 015)0＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12.【思路点拨】根据负整数指数幂、特殊角的三角函数、零次幂以及绝对值的概念计算即可．【自主解答】解：原式＝12－3×3＋1＋12＝－1.把x 2y －2y 2x ＋y 3分解因式正确的是( )A．y(x2－2xy＋y2) B．x2y－y2(2x－y)C．y(x－y)2 D．y(x＋y)2【思路点拨】首先提取公因式y，再利用完全平方公式进行二次分解即可．答案：C规律方法：利用两种方法结合的分解因式题目，提公因式后不要忘记利用公式法二次分解，分解因式要在规定的范围内分解彻底.先化简，再求值：(x＋3)(x－3)＋2(x2＋4)，其中x＝ 2.【思路点拨】原式第一项利用平方差公式展开，第二项去括号，合并同类项得到最简结果，将x的值代入计算即可求出代数式的值．【自主解答】解：原式＝x2－9＋2x2＋8＝3x2－1.当x＝2时，原式＝3×(2)2－1＝5.规律方法：整式的计算，要根据算式的特点选择合适的方法，可先选择乘法公式展开，然后合并；或先因式分解，然后计算.先化简，再求值：m－33m2－6m÷⎝⎛⎭⎪⎫m＋2－5m－2，其中m是方程x2＋3x＋1＝0的根．【思路点拨】在化简时要先算括号里面的，再把除法变为乘法，然后分解因式并约分，最后相乘．【自主解答】解：原式＝m－33m m－2÷m2－9m－2＝m－33m m－2×m－2m＋3m－3＝13m m＋3.∵m是方程x2＋3x＋1＝0的根，∴m2＋3m＋1＝0，∴m2＋3m＝－1，即m(m＋3)＝－1，∴原式＝13×－1＝－13.规律方法：1.本题采用了整体代入法求解，这是求代数式的值常用的方法，体现了整体思路的应用.2.分式的化简求值是先化简，再求值；化简时一定要化到最简，结果是最简分式或整式.【能力评估检测】一、选择题1．已知空气的单位体积质量是0.001 239 g/cm 3，则用科学记数法表示该数为( A )A ．1.239×10－3g/cm 3B ．1.239×10－2 g/cm 3C ．0.123 9×10－2 g/cm 3D ．12.39×10－4 g/cm 3 2．下列运算错误的是( B )A. ⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝1 B ．x 2＋x 2＝2x 4C ．|a |＝|－a | D. ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 23＝b3a63．下列运算错误的是( D )A.a －b 2b －a2＝1 B.－a －ba ＋b＝－1 C. 0.5a ＋b 0.2a －0.3b ＝5a ＋10b 2a －3b D. a －b a ＋b ＝b －a b ＋a4．下列二次根式中，不能与2合并的是( C ) A.12B. 8C. 12D.18 5．若m ＝22×(－2)，则有( C )A ．0<m <1B ．－1<m <0C ．－2<m <－1D ．－3<m <－26．(2015·绍兴鲁迅中学模拟)下列三个分式12x 2，5x －14m －n ，3x的最简公分母是( D )A ．4(m －n )xB ．2(m －n )x 2C. 14x2m －nD ．4(m －n )x 27．已知x －1x ＝3，则4－12x 2＋32x 的值为( D )A ．1 B. 32 C. 52 D. 72【解析】把x －1x ＝3两边同乘x ，得x 2－1＝3x ，即x 2－3x ＝1，所以4－12x 2＋32x ＝4－12(x 2－3x )＝4－12×1＝72. 8．下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定x 的值为( )A ．135B ．170C ．209D ．252【解析】观察前四个表格中的数字，第1个表格中 9＝2×4＋1，第2个表格中20＝3×6＋2，第3个表格中35＝4×8＋3，第4个表格中54＝5×10＋4，且每个表格中左下角的数字是右上角数字的一半，左上角的数字比左下角数字小1，所以b ＝12×20＝10，a ＝b －1＝9，x ＝20×10＋9＝209.故选C.答案: C9.实数a ，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，计算|a －b |的结果为( C )A ．a ＋bB ．a －bC ．b －aD ．－a －b【解析】由图可知，a <0，b >0，所以a －b <0，所以 |a －b |＝－(a －b )，C 正确．10．如图，在边长为2a 的正方形中央剪去一边长为 (a ＋2)的小正方形(a ＞2)，将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为( C )第1个 第2个 第3个 第4个 … … …A ．a 2＋4B ．2a 2＋4aC ．3a 2－4a －4D ．4a 2－a －2【解析】平行四边形的面积为(2a )2－(a ＋2)2＝4a 2－(a 2＋4a ＋4)＝4a 2－a 2－4a －4＝3a 2－4a －4.故选C.11．张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x ＋1x(x >0)的最小值是2”，其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x ，则另一边的长为1x，矩形的周长为2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ；当矩形成为正方形时，就有x ＝1x (x >0)，解得x ＝1.这时矩形的周长2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝4最小， 因此x ＋1x (x >0)的最小值是2.模仿张华的推导，你求得式子x 2＋9x(x >0)的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．10【解析】∵x >0，∴在原式中分母分子同除以x ，即x 2＋9x ＝x ＋9x ，在面积是9的矩形中设矩形的一边长为x ，则另一边长为9x ，矩形的周长为2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋9x ；当矩形成为正方形时，就有x ＝9x (x >0)，解得x ＝3.这时矩形的周长2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋9x ＝12最小，因此x ＋9x(x >0)的最小值是6.故选C.答案: C 二、填空题12．分解因式：9x 3－18x 2＋9x ＝9x (x －1)2 . 13．若式子2－xx有意义，则实数x 的取值范围是x ≤2且x ≠0 .14．计算：－36＋214＋327＝－32. 15．已知(a ＋6)2＋b 2－2b －3＝0，则2b 2－4b －a 的值为12.【解析】由题意知，∵(a ＋6)2≥0，b 2－2b －3≥0.而(a ＋6)2＋b 2－2b －3＝0，∴(a ＋6)2＝0且b 2－2b －3＝0.整理，得a ＝－6，b 2－2b ＝3，∴2b 2－4b －a ＝2(b 2－2b )－a ＝2×3－(－6)＝12.三、解答题16．计算：||－3－12＋2sin 60°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1.解：原式＝3－23＋2×32＋3＝3. 17．先化简，再求值：(x ＋y )(x －y )－(4x 3y －8xy 3)÷2xy ，其中x ＝－1，y ＝33. 解：原式＝x 2－y 2－2x 2＋4y 2＝－x 2＋3y 2. 当x ＝－1，y ＝33时，原式＝－1＋1＝0. 18．先化简，再求值：⎝⎛⎭⎪⎫1－1x ＋2÷x 2＋2x ＋1x ＋2，其中x ＝3－1. 解：原式＝x ＋1x ＋2÷x ＋12x ＋2＝x ＋1x ＋2·x ＋2x ＋12＝1x ＋1. 当x ＝3－1时，原式＝13－1＋1＝13＝33.19．探究下面的问题：(1)在图甲中，阴影部分的面积和为a 2－b 2(写成两数平方差的形式)； (2)将图甲中的第①块割下来重新与第②块拼成如图乙所示的一个长方形，那么这个长方形的长是a ＋b ，宽是 a －b ，它的面积是(a ＋b )(a －b )(写成两个多项式的形式)；(3)由这两个图可以得到的乘法公式是(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2(用式子表示)；(4)运用这个公式计算：(x －2y ＋3z )(x ＋2y －3z )．(x －2y ＋3z )(x ＋2y －3z )＝[x －(2y －3z )]·[x ＋(2y －3z )]＝x 2－(2y －3z )2＝x 2－4y 2＋12yz －9z 2.20．如果10b ＝n ，那么b 为n 的劳格数，记为b ＝d (n )，由定义可知：10b＝n 与b ＝d (n )所表示的b ，n 两个量之间的同一关系．(1)根据劳格数的定义，填空：d (10)＝1，d (10－2)＝－2； (2)劳格数有如下运算性质：若m ，n 为正数，则d (mn )＝d (m )＋d (n )，d ⎝ ⎛⎭⎪⎫m n ＝d (m )－d (n )．根据运算性质，填空：d a 3d a＝3(a 为正数)，若d (2)＝0.301 0，则d (4)＝0.602 0，d (5)＝0.6990，d (0.08)＝－1.097.(3)如表中与数x 对应的劳格数d (x )有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正.x 1.5 3 5 6 8 9 12 27 d (x ) 3a －b ＋c 2a －ba ＋c1＋a －b －c3－3a －3c4a －2b3－b －2c6a －3b解：(1)1 －2(2)d a 3d a ＝3d a d a＝3.由运算性质可得，d (4)＝0.602 0，d (5)＝d (10)－d (2)＝ 1－0.301 0＝0.699 0，d (0.08)＝－1.097.(3)若d (3)≠2a －b ，则d (9)＝2d (3)≠4a －2b ，d (27)＝3d (3)≠6a －3b ，从而表中有三个劳格数是错误的，与题设矛盾，∴d (3)＝2a －b ；若d (5)≠a ＋c ，则d (2)＝1－d (5)≠1－a －c ， ∴d (8)＝3d (2)≠3－3a －3c ，d (6)＝d (3)＋d (2)≠1＋a －b －c ，表中也有三个劳格数是错误的，与题设矛盾．∴d(5)＝a＋c.∴表中只有d(1.5)和d(12)的值是错误的，应纠正为：d(1.5)＝d(3)＋d(5)－1＝3a－b＋c－1，d(12)＝d(3)＋2d(2)＝2－b－2c.。
初三数学复习_数与式(知识点讲解)
千里之行，始于足下。
初三数学复习_数与式(知识点讲解)数与式是初中数学中的一个重要知识点，也是数学学习的基础。
数与式的学习内容包括数的分类和表示，式的概念及运算。
下面将详细介绍数与式的知识点。
一、数的分类和表示数的分类是指根据数的性质和特点将其划分为不同的类别。
常见的数的分类有：自然数、整数、有理数和无理数等。
其中，1. 自然数是指从1开始，没有上限的整数集合。
2. 整数是指自然数、0和自然数的相反数所组成的集合。
3. 有理数是指可以表示为两个整数之商的数。
数的表示有多种方式，常用的表示方法有阿拉伯数字表示法和汉字表示法。
在阿拉伯数字表示法中，数是由10个数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9组成，可以通过位权法进行表示。
在汉字表示法中，一般使用整数个位和数位进行表示。
二、式的概念及运算1. 式是指由数、变量和运算符号组成的一种数学表达式。
式是数与数之间的关系的代数表示，可以用来表示数的运算和关系。
2. 式的运算包括算术运算和代数运算两种。
a. 算术运算包括加法、减法、乘法和除法四种基本运算。
其中，加法和乘法具有交换律和结合律，减法和除法不具有交换律和结合律。
b. 代数运算包括整式的加减和乘除运算，以及方程的运算。
三、数与式的应用第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
数与式在数学学习中是非常重要的基础知识，它们在实际生活中也有广泛的应用。
1. 在数与式的学习中，可以通过数的分类和表示，帮助我们更好地理解数的性质和特点，从而提高解决实际问题的能力。
2. 在数与式的运算中，可以通过代数运算的知识，更好地理解和应用数字运算的规律和方法，例如简化运算、解方程等。
3. 数与式的应用也广泛存在于实际生活中的问题中，例如计算、测量、金融等领域，通过数与式的运算，能够更好地解决实际生活中的各种问题。
综上所述，数与式是初中数学的重要知识点，通过学习数的分类和表示，能够更好地理解数的性质和特点；通过学习式的概念和运算，能够更好地应用数学知识解决实际问题。
初中中考数学复习数与式课件课件
数的估算与近似值
03
大数四舍五入法
小数位数判断法
近似值比较法
掌握大数的四舍五入估算方法，理解进一 法和去尾法的应用。
根据题目要求，判断小数应保留几位有效 数字。
比较两个近似值的大小，判断哪个更接近 真实值。
数的混合运算顺序
01
先乘除后加减
按照先乘除后加减的顺序进行 混合运算，注意括号内的优先
级。
代数式具有加法交换律、结合律 ，乘法交换律、结合律、分配律 等基本性质。
代数式的运算
代数式可以进行加、减、乘、除 等运算，运算时要注意运算顺序 和运算法则。
05
式的运算性质与技巧
整式的加减法
01
02
03
合并同类项
将整式中的同类项进行合 并，简化整式的形式。
去括号法则
根据括号前正负号，去掉 括号后，括号内各项的符 号发生变化。
初中中考数学复习数与式课 件课件
汇报人：
汇报时间：202X-01-02
目录
• 数的基础概念 • 数的运算性质 • 数的运算技巧 • 式的概念与表示 • 式的运算性质与技巧 • 数与式在实际问题中的应用
01
数的基础概念
数的定义与性质
有理数
包括整数和分数，具有稠密性和连续性 。
无理数
无限不循环小数，无法表示为分数。
在解决代数问题时，利用运算性质简化表达式。
在证明数学定理时，利用运算性质进行等式的变形。
在实际生活中，利用运算性质进行计算，提高计算效率 和准确性。
运算性质的注意事项
运算性质适用于实数、复数和矩阵等 数学对象。
对于一些特殊的运算性质，如乘法的 消去律（ab=ac→a=0或b=c）和加 法的消去律（a+b=a+c→b=c），需 要特别注意其适用条件。
中考数学总复习《数与式》
二次函数
二次函数定义
形如y=ax^2+bx+c（a≠0）的函 数，其中x和y为变量，a、b、c为
常数。
二次函数图像
抛物线，开口方向由a决定，a>0 时开口向上，a<0时开口向下。
二次函数性质
对称轴为x=-b/2a，顶点坐标为(b/2a, c-b^2/4a)。根据判别式 Δ=b^2-4ac的值判断与x轴的交点 个数。
详细描述
一元一次方程在实际生活中有着广泛的应 用，例如购物时计算找零、计算时间、速 度和距离等。
一元二次方程
总结词
高阶方程形式，解法相对复杂
详细描述
一元二次方程的一般形式为 ax^2+bx+c=0，解法相对复杂，需要使 用公式法或者因式分解法进行求解。
总结词
一元二次方程在数学中的重要性
详细描述
一元二次方程在数学中具有重要的地位，它是代数知识体系中的重要 组成部分，也是后续学习一元高次方程、多元方程的基础。
目录
• 数的概念与性质 • 数的运算 • 代数式 • 方程与不等式 • 函数及其图像
01
数的概念与性质
有理数
01 有理数定义
有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括整 数和分数。
02 有理数性质
有理数具有封闭性、传递性、稠密性和有序性等 性质。
整数乘法
掌握整数乘法的计算方法，理解乘法的交 换律、结合律和分配律。
整数减法
掌握整数减法的计算方法，理解减法的性 质。
整数除法
掌握整数除法的计算方法，理解除法的性 质。
分数运算
分数加法
九年级数学数与式知识点
九年级数学数与式知识点数与式是数学九年级的一个重要知识点，它涉及到数的基本运算和运算性质，以及常见的代数式的简化与运算。
本文将深入介绍九年级数学中数与式的相关知识，以帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
一、数的基本运算数的基本运算包括加法、减法、乘法和除法。
加法是将两个或多个数合并成一个数，减法是通过减去一个数来找到与其和相等的另一个数，乘法是将两个或多个数相乘得到一个数，除法是通过将一个数分成若干等份，每份的大小为另一个数来找到商。
在进行数的运算时，有一些基本运算性质需要牢记：1. 交换律：加法和乘法满足交换律，即a + b = b + a，a × b = b× a。
2. 结合律：加法和乘法满足结合律，即(a + b) + c = a + (b + c)，(a × b) × c = a × (b × c)。
3. 分配律：乘法对加法满足分配律，即a × (b + c) = a × b + a ×c。
二、代数式的定义与性质代数式是由数和运算符号构成的式子，其中可能包含变量。
代数式的求值是将变量用具体的数值代入，计算得到一个确定的数值结果。
代数式的一些重要性质如下：1. 对称性：代数式中的数和变量可以交换位置，结果不变。
例如，a + b = b + a。
2. 积的性质：两个数的积等于它们的乘积。
例如，a × b = b × a。
3. 幂的性质：乘积的幂等于各因子的幂的乘积。
例如，(a × b)²= a² × b²。
4. 分式的性质：除法可以转化为乘法，即a ÷ b = a × (1/b)。
三、代数式的简化与运算代数式的简化是将复杂的代数式通过各种运算性质化简成简单形式的过程。
代数式的运算包括整数指数幂的运算、代数式的加法、减法、乘法和除法运算等。
初中数学知识点数与式知识点
初中数学是每个学生必须学习的重要学科之一。
在初中数学中，数与式是一项基础而又重要的知识点。
本文将通过逐步思考的方式介绍数与式的相关知识点。
1. 数的基本概念在数学中，我们首先要了解数的概念。
数是用来计算和表示数量的工具。
数可以分为自然数、整数、有理数和实数等不同的类型。
自然数指的是从1开始的正整数，例如1、2、3等。
整数包括正整数、负整数和零，例如-3、0、5等。
有理数是可以表示为两个整数的比值，例如1/2、2/3等。
实数则包括有理数和无理数，例如根号2、π等。
2. 数的运算了解了数的概念后，我们需要学习数的运算。
数的运算包括加法、减法、乘法和除法。
加法是将两个数相加的操作，例如 2 + 3 = 5。
减法是将一个数减去另一个数的操作，例如 5 - 3 = 2。
乘法是将两个数相乘的操作，例如 2 × 3 = 6。
除法是将一个数除以另一个数的操作，例如 6 ÷ 2 = 3。
3. 式的概念在数与式的学习中，我们需要了解式的概念。
式是由数和运算符号组成的代数表达式。
在式中，我们可以使用字母来代表未知数，例如 x、y等。
通过代入具体数值，我们可以求解未知数的值。
4. 简单的代数式学习了式的概念后，我们可以开始学习一些简单的代数式。
例如，3x表示3乘以未知数x，2y表示2乘以未知数y。
我们可以对这些代数式进行加法、减法、乘法和除法运算。
例如，3x + 2y表示3x和2y的和。
5. 一元一次方程在代数式的基础上，我们可以进一步学习一元一次方程。
一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程。
例如，2x + 3 = 7就是一个一元一次方程。
我们可以通过移项和合并同类项的方式解方程，求出未知数的值。
6. 二元一次方程除了一元一次方程，我们还可以学习二元一次方程。
二元一次方程是指含有两个未知数的一次方程。
例如，2x + 3y = 7就是一个二元一次方程。
解二元一次方程需要使用联立方程的方法，通过消元或代入的方式求解出两个未知数的值。
初三数学复习_数与式(知识点讲解)
千里之行，始于足下。
初三数学复习_数与式(学问点讲解)数与式是数学中的重要概念，它们是数学运算的基础。
在初三数学复习中，复习数与式的学问点是格外重要的，下面是关于数与式的学问点的讲解。
一、数的概念数是人们用来计数、比较和度量的工具。
数可以分为整数、分数、小数和无理数等不同的类型。
整数包括正整数、负整数和零，分数是整数的比例形式，小数是分数的小数形式，无理数是不能被表示为分数或小数的数。
二、式的概念式是由数、运算符号和运算符组成的代数表达式。
式可以是简洁的数字、字母或它们的组合，也可以是包含了运算符的简单表达式。
一个式可以表示一个数、一种关系或一个命题。
三、代数式与方程式代数式是由系数、变量和运算符组成的表达式，它可以通过运算得到一个确定的结果。
代数式没有等号，它只是表示一个数或一个关系。
方程式是一个包含等号的代数式，它表示一个等式，左右两边的表达式是相等的。
方程式中一般会包含未知数，求解方程式就是找到未知数的值，使得方程式成立。
四、数与式的四则运算1. 加法：两个数或式相加，结果称为和。
例如：3 + 5 = 8。
2. 减法：一个数或式减去另一个数或式，结果称为差。
例如：8 - 5 = 3。
3. 乘法：两个数或式相乘，结果称为积。
例如：2 × 3 = 6。
4. 除法：一个数或式除以另一个数或式，结果称为商。
例如：6 ÷ 3 = 2。
第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
五、数与式的运算性质1. 交换律：加法和乘法满足交换律，即a + b = b + a，a × b = b ×a。
2. 结合律：加法和乘法满足结合律，即(a + b) + c = a + (b + c)，(a × b) × c = a × (b × c)。
3. 安排律：乘法对加法满足安排律，即a × (b + c) = a × b + a ×c。
中考数学复习要点：数与式
中考数学复习要点：数与式2018年中考数学复习要点：数与式数与式是数学的基础，也是中考的必考内容，以下是店铺搜索整理的关于中考数学复习要点：数与式，供参考复习，希望对大家有所帮助!想了解更多相关信息请持续关注我们店铺!初中数与式主要包括实数、整式、因式分解、分式和二次根式五块内容。
实数的概念及计算“数”是数学的基础，初中数学把“数”的范围扩展到实数，有关实数的概念、性质、运算是中考的必考内容。
本节课系统的复习了实数范围内数的分类、各类数的定义及相反数、倒数、科学记数法等概念，重点复习了绝对值的性质和有理数的运算。
实数的有关概念及运算不仅是历年中考的常考内容，也是学好其他数学知识(如方程、不等式、函数、几何等)的基础，因此，希望同学们能够通过本节课的学习，牢固掌握实数的有关概念，并能熟练的进行有理数的运算。
整式的概念及计算本节课主要复习整式的有关概念(如单项式、多项式、单项式的系数、多项式的次数等)及运算，其中代数式求值、整式的加减法和乘法、平方差公式和完全平方公式是重点，是每年中考必考的内容，也是学好中学数学的基础。
通过本节课的复习，同学们要能熟练地进行整式的有关计算，正确分析题目中的数量关系，进而列出代数式并求值。
因式分解因式分解是中学数学的重点和难点，不仅要会对一个多项式进行因式分解，还要求在综合题中会利用因式分解的知识对代数式进行变形，从而解决有关问题。
本节课中老师带领同学们系统地复习因式分解的概念、意义、方法及步骤，通过典型例题深入分析分类讨论、转化等数学思想在因式分解中的运用。
希望同学们通过这节课的学习，牢固掌握因式分解的知识，并深刻体会其中蕴含的.数学思想，举一反三。
分式分式是初中所学的三个代数式类型其中的一种，本节课全面系统地复习了分式的概念、性质和运算，主要掌握分式有意义的条件、分式值为0的条件和分式的运算。
学好分式，有助于更好的掌握分式方程的知识。
希望通过本节课的学习，同学们能够对知识有进一步的认识，解题能力得到提升。
九年级数与式知识点归纳总结
九年级数与式知识点归纳总结在九年级数学学习中，数与式是一个非常重要的知识点。
数与式的概念理解和运用，对于学生的数学学习和解题能力的提升具有至关重要的作用。
在本文中，我将对九年级数与式的知识点进行归纳总结，旨在帮助同学们更好地掌握数与式的相关知识。
一、数与式的基本概念1. 数：数是我们用来计数和度量的工具。
可以分为自然数、整数、有理数、无理数等等。
2. 代数式：由数字和运算符号组成的式子，可以包含变量。
3. 方程：由含有未知数的等式所组成的式子。
4. 不等式：由含有不等号的式子构成，表示数之间的大小关系。
5. 基本运算：数与式中的基本运算包括加法、减法、乘法和除法。
二、数与式的运算法则1. 加法法则：加法交换律、加法结合律和加法逆元等。
2. 减法法则：减法的性质和减法的计算规则。
3. 乘法法则：乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律等。
4. 除法法则：除法的计算规则和整数除法原则等。
三、整式的简化与展开1. 合并同类项：将含有相同字母和相同指数的代数式相加或相减。
2. 展开式的求解：通过乘法分配律将一个式子展开为多个项的和。
四、一元一次方程与不等式1. 一元一次方程：只含有一个未知数的一次方程。
2. 一元一次不等式：只含有一个未知数的一次不等式。
五、二元一次方程与不等式1. 二元一次方程：含有两个未知数的一次方程。
2. 二元一次不等式：含有两个未知数的一次不等式。
六、平方根与立方根1. 平方根：一个数的平方根是指另一个数的平方等于它。
2. 立方根：一个数的立方根是指另一个数的立方等于它。
七、根式的运算1. 同底数幂的运算：指数相同、底数相同的幂的运算。
2. 分式指数幂的运算：利用指数的运算规律进行运算。
3. 根式的加减法：将根式写为相同的底数，进行加减运算。
八、实数的性质1. 有理数和无理数的概念与区别。
2. 实数的比较大小：利用数轴和大小比较法则进行实数的大小比较。
九、函数与方程1. 函数的概念与函数图像：自变量和因变量之间的对应关系。
(完整word版)初三总复习---数与式复习
数与式复习北京第三十九中学商立群 2015.03.05数与式这部分内容是是初中数学的基础，内容包括实数、整式、分式和二次根式，是解方程（组）、不等式（组），解决概率和统计等有关计算问题的基础，还是许多图形问题中有关数量表达的基础，也是中考最直接得分的手段。
数与式这部分内容在2010、2011、2012、2013、2014年的北京市中考题中直接考查这部分知识的题目分别占了29分、34分、26分、26分、26分。
这部分内容的特点是概念多、性质多、运算法则多、技能性强.常见的考题类型，主要以“易”为主，中档问题主要有，配方和12题规律归纳。
但复习中不要忽视学生的代数分析能力和数学思想方法的培养，这些对综合问题的解决起着关键性作用。
主要考点：1．求实数的相反数，绝对值等有关的概念；2．科学计数法；3．分式与二次根式有无意义的条件与分式值为零的条件；4．简单的因式分解（提公因式法，公式法，不超过两次）；5．绝对值与平方数及二次根式的非负性；6．找规律及用代数式表示规律的问题。
7．二次多项式的配方变形。
8．实数的运算：含有整数指数幂（0次或负指数次）、特殊三角函数值、二次根式的化简（根号下仅限于数）绝对值在内的综合运算；9化简求值；整式与分式的运算---先化简再求值分式了解分式和最简分式的概念；(新增)会确定分式有意义或使分式的值为零条件（14年B）能利用分式的基本性质进行约分和通分；能进行简单的分式加、减、乘、除运算；能选用恰当方法解决与分式有关的问题二次根式了解二次根式和最简二次根式的概念；(新增)会确定二次根式有意义的条件能根据二次根式的性质对二次根式进行变形；会用二次根式的运算法则进行简单运算（根号下仅限于数）(新增)对比2014年考试说明的变化：（红色为变化的内容，蓝色为新增的内容）对比14年，15年考试说明：A级由24知识点变为12个，B级知识点由22个变为10个，C级知识点由6个变为2个，主要是基本知识进行了整合，内容没有大的变化。
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第5讲 数与式【典型例题1】 计算：()()20102101245sin 13132-+--︒+----解：原式=12122113+-+-+=122223+-+=13+ 【知识点】1．⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负无理数正无理数无理数分数负整数零正整数整数有理数实数2．数轴、相反数、倒数、绝对值的概念（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．（2）如果两个数的和为零，那么这两个数是互为相反数．a 的相反数为a -． （3）如果两个数的积为1，那么这两个数是互为倒数．零没有倒数．（4）绝对值：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,0,00,a a a a a a在数轴上，a 表示实数a 所对应的点到原点的距离．3．科学记数法：na N 10⨯=（101<≤a ，n 是整数）． 【基本习题限时训练】1．与数轴上的点是一一对应的是（ ）A ．有理数B ．实数C ．无理数D ．整数 答案：B ．2．下列语句正确的是（ ）A ．两个无理数的和不一定是无理数B ．两个无理数的商一定是无理数C ．正数的正的平方根一定比本身小D ．实数a 的负倒数是－a1 答案：A ．3．实数3,3.14,3,813,27,23π--中，有理数的个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5答案：C ．4．36的平方根是（ ） A ．6B ．±6C ．6D ．6±答案：D ．5．下面用科学记数法表示的四个数中，表示正确的是（ ） A ．20590000=2.059×104 B ．-20590000=2.059×10-7 C ．0.000123=1.23×10-2 D ．-0.000201=-2.01×10-4 答案：D ． 【压轴题1】数轴上表示实数a 、b 的点如图所示，化简b a b a +--．解：由图可知，0<-b a ，∴ a b b a -=-． 0<+b a ，∴ b a b a --=+ ∴ 原式=()()b a a b ----=b a a b ++-=b 2．【典型例题2】已知x ，y 均为实数，且()()22201221y x y x +-+=-，求22y x +的值． 解：令z y x =+22，则()0121=--z z ∴ 0122=--z z ()()034=+-z z∴ 41=z ，32-=z （不合题意，舍去）． 即 422=+y x ． 【知识点】1． 代数式：用运算符号把数或表示数的字母联结起来的式子叫做代数式． 2． 整式：单项式和多项式统称为整式． 3． 乘法公式：（1）()()22b a b a b a -=-+ （2）()2222b ab a b a +±=±4． 因式分解：（1）把一个多项式化为几个整式的积的运算叫做因式分解．（2）常用方法：提取公因式法、十字相乘法、运用公式法、分组分解法． 【基本习题限时训练】 1．下列计算正确的是（ ） A ．532523x x x =+ B ．933a a a =⋅C ．()232273-=-D ．()()235x x x -=-÷-答案：C ．2．已知a a 222-=，则()()()()()133312----++-a a a a a 的值是（ ）A ．-9B ．-8C ．-7D ．-6答案：A ．3．对多项式4423--+a a a 进行因式分解时，①可以把第一、三项结合，第二、四项结合进行因式分解；②可以把第一、二项结合，第三、四项结合进行因式分解；③可以把第一、四项结合，第二、三项结合进行因式分解；④不能分解，其中正确的是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案：B ． 【压轴题2】已知a 、b 、c 为△ABC 的三条边，且()()22223c b a c b a ++=++．试判断△ABC 的形状．解：∵ bc ac ab c b a c b a 222333222222+++++=++ ∴ 0222222222=---++bc ac ab c b a∴ 0222222222=+-++-++-c bc b c ac a b ab a ∴ ()()()0222=-+-+-c b c a b a∵ a 、b 、c 均为实数，∴ ()02≥-b a ，()02≥-c a ，()02≥-c b∴ 0=-b a 且0=-c a 且0=-c b ，∴ c b a == ∴ △ABC 是等边三角形．【典型例题3】计算：()x x x x x x x --+⋅-÷+--363446222解：原式=()()()()()x x x x x x -+-⋅+⋅--332312322=22--x ． 【知识点】1． 分式：分母中含有字母的代数式叫做分式．2． 最简分式：分子分母中不含公因式的分式叫做最简分式． 3． 分式的基本性质：NB N A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=，其中M 、N 为整式，且0≠B ,0≠M ,0≠N ． 4． 约分与通分约分：把一个分式的分子与分母中相同的因式约去的过程叫约分；通分：把几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同父母分式的过程叫通分． 【基本习题限时训练】1．已知分式112+-x x 的值为零，则x 为（ ）A ．1±=xB ．1=xC ．1-=xD ．不存在答案：B ．2．下列运算正确的是（ ） A ．xyxy y x 11212=-=- B ．10410622532--=--=-+x x x x xC ．aa a a a a 111111=--=--D ．∵83=-b b a ，∴883+=+-b b b a ，∴811=b a答案：D ．3．下列各式变号，正确的是（ ） A ．yx xy x y y x ---=-- B ．22x y xy x y y x --=--C ．xy yx x y y x +-=+---D ．xy yx x y y x -+-=---答案：D ． 【压轴题3】已知0≠++z y x ，a 、b 、c 均不为0，且a z y x =+，b z x y =+，c yx z =+，求：cc b b a a +++++111的值． 解：∵ 0≠a ，∴0≠=+a zy x，∴ a x z y 1=+． ∴xzy x x z y a a a ++=++=+=+1111．∵ 0≠++z y x ，∴x z y -≠+，∴1-≠=+a z y x ，∴ 01≠+a ，∴zy x xa a ++=+1． 同理z y x y b b ++=+1，zy x zc c ++=+1 ∴ 1111=++++=+++++zy x z y x c c b b a a ．【典型例题4】已知34+=a ，34-=b ．求：ba b aba a +--的值．解：原式=()()ba b b a a a +--2=ba b ba a +--=()()()()ba ba b a b b a a+---+=ba ba -+ ∵ 34+=a ，34-=b ，∴8=+b a ，32=-b a∴ 原式=328=334． 【知识点】1． 二次根式：代数式a （a ≥0）叫做二次根式．2． 二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于零． 3． 二次根式的性质：性质一 a a =2（a ≥0）性质二 ()a a =2（a ≥0）性质三b a ab ⋅=（a ≥0，b ≥0）性质四bab a =（a ≥0，b ＞0） 4． 最简二次根式在化简后的二次根式里：（1） 被开方数中各因式的指数都为1； （2） 被开方数不含分母． 5． 同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．6． 分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化．7． 有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个含有二次根式的代数式互为有理化因式． 【基本习题限时训练】1．要使x x -+-28有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．8>x B ．2<x C ．82<<x D ．不存在答案：D ．2．下列根式中，最简二次根式是（ ） A ．381 B ．3aC ．a 8D ．42+a答案：D ．3．32-的一个有理化因式为（ ） A ．3 B ．32-C ．32+D ．32+-答案：C ． 4．若0<x ，化简()x x -+-322的正确结果是（ ）A ．-1B ．1C ．52-xD ．x 25-答案：D ．5．下列计算中正确的是（ ） A ．523=+B ．562332=+C ．353233=+D ．383432=⨯答案：C ． 【压轴题4】先化简，后求值：y xy y y x yx x y x x y x y x ⋅++++-+++++22222222222，其中23-=x ，23+=y ．解：原式=222222222211y xy y x x y x x y x x y x +++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++⋅+ =()()()2222222222222yxy y x xyx x y x x y x x yx ++++-++++-⋅+=22222222y xy y x x y x y x +++-⋅+ =2222222yxyy x x y x x ++++-=yx∴ 当23-=x ，23+=y 时，原式=()62512323232-=-=+-．。