1.2.3空间几何体的直观图
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高一数学必修二课件1.2.3空间几何体的直观图
y
A
B
F M E
N
O
D
C
x
扩 展
画水平放置的圆的直观图。
y′
O′
x′
接下来学习空间几何体的直观图的画法。
例二 画长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的长方 体的直观图。
z
y
y
C1
D1
A1
3
M
D
Q
B1 C N B
x
A P
o
x
4
基本步骤：
（1）画轴.画x轴，y轴，z轴，三轴交于点O，使 ∠ xoy=45°，∠ xoz=90°。
y
D A C B D C
x
A
B
4. 右图是ΔABC利用斜二测画法得到的水平 放置的直观图ΔA'B'C'，其中A'B'∥y'轴， B'C'∥x'轴，若ΔA'B'C'的面积是3，则 ΔABC的面积是（ 3 2 ）.
y
A’
B’
C'
x
5. 正棱锥的直观图的画法。
S z’
y’ D E A O’ B C x’
1．解： （Ⅰ）如图
（Ⅱ）所求多面体体积
V V长方体 V正三棱锥
284 1 1 (cm 2 ) 4 4 6 2 2 2 3 3 2
课堂练习
1. 下面的说法正确吗？ （1）水平放置的正方形的直观图可能是梯形。 （2）两条相交直线的直观图可能平行。 （3）互相垂直的两条直线的直观图仍互相垂直。
确定线段长度
高考链接
1.（2008 宁夏、海南）如下的三个图中，上面 的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观 图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位： cm）。（1）在正视图下面，按照画三视图的 要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出 的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直 观图中连结，证明： ∥面EFG BC
A
B
F M E
N
O
D
C
x
扩 展
画水平放置的圆的直观图。
y′
O′
x′
接下来学习空间几何体的直观图的画法。
例二 画长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的长方 体的直观图。
z
y
y
C1
D1
A1
3
M
D
Q
B1 C N B
x
A P
o
x
4
基本步骤：
（1）画轴.画x轴，y轴，z轴，三轴交于点O，使 ∠ xoy=45°，∠ xoz=90°。
y
D A C B D C
x
A
B
4. 右图是ΔABC利用斜二测画法得到的水平 放置的直观图ΔA'B'C'，其中A'B'∥y'轴， B'C'∥x'轴，若ΔA'B'C'的面积是3，则 ΔABC的面积是（ 3 2 ）.
y
A’
B’
C'
x
5. 正棱锥的直观图的画法。
S z’
y’ D E A O’ B C x’
1．解： （Ⅰ）如图
（Ⅱ）所求多面体体积
V V长方体 V正三棱锥
284 1 1 (cm 2 ) 4 4 6 2 2 2 3 3 2
课堂练习
1. 下面的说法正确吗？ （1）水平放置的正方形的直观图可能是梯形。 （2）两条相交直线的直观图可能平行。 （3）互相垂直的两条直线的直观图仍互相垂直。
确定线段长度
高考链接
1.（2008 宁夏、海南）如下的三个图中，上面 的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观 图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位： cm）。（1）在正视图下面，按照画三视图的 要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出 的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直 观图中连结，证明： ∥面EFG BC
1.2.3_空间几何体的直观图
A
B
O
x
O
x
N
注意：(1)建系时要尽量考虑图形的对称性 (2)画水平放置平面图形的关键是确定多边形顶点的位置．
例１．用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图
2以O为中心,在X上取AD=AD，在y轴上取
1 MN= MN . 以点N 为中心,画BC平行于x轴, 2 并且等于BC;再以M为中心,画EF平行于x轴, 并且等于EF.
画法：（ 1）画轴. .在 画 x轴， z'轴，使 xOz =90 ； （ 4）在 ）画圆锥的顶点 Oz 轴上截取点 ，使 PO 等于 3 Oz轴上取点 O '，使 OO 等于 P （ 2）画圆柱的下底面 轴上取 正视图中相应的高度 . .在xO 正视图中 OO '的长度，过点 ' 作平 A, B两点，使AB的长度 等于俯视图中圆的直径，且 'OB , 选择椭圆模板中适 （ 5）成图 . 连接 PA PB '，AA 'OA ，BB ，整理得到三 行于轴 的轴 O ' x '， ，类似圆柱下底 例3Ox 已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图 当的椭圆过 A, B两点，使它为圆柱的下底面 . 视图表示的几何体的直观图 面的作法作出圆柱的上底面 .
练习1、判断下列结论是否正确
√） （2）相等的角在直观图中仍然相等． （× ） （3）相等的线段在直观图中仍然相等． （× ） （4）若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段 仍然平行． （√ ）
（1）角的水平放置的直观图一定是角． （ （1）三角形的直观图是三角形 （2）平行四边行的直观图是平行四边形 （3）正方形的直观图是正方形 （4）菱形的直观图是菱形 以上结论，正确的是（ ） A （1）（2） B （1） C （3）（4） D （1）（2）（3）（4）
1.2.3空间几何体的直观图
第一章
空间几何体
栏目导引
• 正方形的水平直观图 • 正三角形的水平直观图
• 直角梯形的水平直观图
• 正六边形的水平直观图
• 斜二测画法
• 长方体的直观图
P19-20 练习 1，2，3，4，5 P21 习题1.2 A.4，5 B组1，2，3
侧视图
A′ o′
B′ y B x′
俯视图
A
o
x
AC
思考题：如图ΔA’B’C’是水平放置的ΔABC的直观 图，则在ΔABC的三边及中线AD中，最长的线段是 （ ）
3． 在如图 1.27 所示的直观图中， 四边形 O′A′B′C′为菱形且边长为 2 cm， 则在直角坐标系 xOy 中，四边形 ABCO 为________，面积为________cm2.
N
B
N
C
定义：上述画水平放置的平面图形的直观图的Leabharlann 方法叫做斜二测画法，有如下步骤和规则
（1）在原图形中建立平面直角坐标系xoy，同 0 x o y 45 o y ，确定水平面， 时建立直观图坐标系 x （2）与坐标轴平行的线段保持平行； （3）水平线段等长，竖直线段减半.
y y' 0 x o
栏目导引
题型三
直观图还原为平面图形 多维探究型
如图 1.32 是一梯形 OABC 的直观图，其直观图面积为 S，求梯形 OABC 的面 积．
第一章
空间几何体
栏目导引
解析：
设 O′C′＝h，则原梯形是一个直角梯形且高为 2 h.
C′B′＝CB，O′A′＝OA. 过 C′作 C′D⊥O′A′于 D(如答图 10)， 2 则 C′D＝ 2 h. 1 由题意知2C′D(C′B′＋O′A′)＝S， 2 即 4 h(C′B′＋O′A′)＝S. 所以原直角梯形面积为 1 4S S′＝2· 2h(CB＋OA)＝h(C′B′＋O′A′)＝ ＝2 2S. 2 所以梯形 OABC 的面积为 2 2S.
1.2.3 空间几何体的直观图
例3、已知几何体的三视图如下，用斜二测 画法画出它的直观图. p
p
. 正视图 . O
O′
. 侧视图 . O
O′
.
俯视图
. .
p
O′
z
y′
y
x′
o
x
.p . .
o
O′
直棱柱的直观图的画法
直 六 棱 柱
F’ A’ E’ z’ B’ y’ E F A O’ C x’ B D D’ C’
图
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ直观图
图
直观图
例2、用斜二测画法画长、宽、高分别为4cm、 3cm、2cm的长方体的直观图.
z
D1 C1
y
A1 D M A P Q
B1 C N B
o
x
规则：
（1）在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴ox、 在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴ox、 ox oy,再取oz轴 再取oz oy,再取oz轴，使∠xoy=900，∠xoz=900 ,∠yoz=900 ； （2）画直观图时，把它们画成对应的 o' x' , o' y ' , o' z ' 画直观图时， 轴，使 ∠x' o' y ' = 450 (或1350 ), ∠x' o' z ' = 900. x' o' y ' 所确定 的平面表示水平平面； 的平面表示水平平面； （3）已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在 已知图形中平行于x 轴或z轴的线段， 轴的线段； 直观图中分别画成平行于 x' 轴 y '轴或 z '轴的线段； （4）已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观 已知图形中平行于x轴和z轴的线段， 图中保持长度不变；平行于y轴的线段， 图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原 来的一半
1.2.3空间几何体的直观图
(4) 等腰三角形的水平放置的直观图仍 是等腰三角形. （×）
举例
例5 如图，直观图所示的平面图形是 ( B ) A.任意四边形 C.任意梯形 B.直角梯形 D.等腰梯形 y
A D
B
C
o
x
练习
2：如图，直观图所示的平面图形是( C ) A.任意三角形 C.直角三角形 B.锐角三角形 D.钝角三角形
(1) 画底面.
y A B G O E H x A’ B’ G’ C’ O’ F’ D’ y’
E’
x’ H’
C
F
D
举例 例3 画水平放置的正六边形 的直观图.
F A
y H E
y
F
/
/
H/
/ /
O
B G
D
x
A B A
/ /
/
E
D/
/
/
O / G C
F
/
x
/
C
E / D
/
/
B C 四个步骤：取轴、画轴、取点、画点.
举例 例4 画棱长为2 cm的正方体的直观图.
z
A
/
/
D
/
C
B
/
/
D A
/
/
C
B/
/
y/
D A B x/
C
A
D B
C
练习
1.下列说法是否正确？ (1)水平放置的正方形的直观图可能是梯形. （×） (2) 两条相交直线的直观图可能平行. （×） (3) 互相垂直的两条直线的直观图仍然互 相垂直. （×）
y
A
所示的平面图形是( D ) A.正三角形 C.钝角三角形
人教A版高中数学必修二课件1.2.3 空间几何体的直观图3
x′轴的平行线 l,在 l 上沿 x′轴正方向取点 C′使得 D′C′=DC.连接 B′C′,如图②. (3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图.如图③.
方法技能
在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的直角坐标系是关键, 一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上,以便于画点.原图 中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来完成.
(2)画底面.作水平放置的三角形(俯视图)的直观图△ABC. (3)画侧棱.过A,B,C各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截 取线段AA′,BB′,CC′,且AA′=BB′=CC′.(侧视图中矩形的高) (4)成图,顺次连接A′,B′,C′,并加以整理(擦去辅助线,将遮挡部分用虚线 表示),得到的图形就是所求的几何体的直观图.
即时训练1-1:用斜二测画法画如图所示边长为4 cm的水平放置的正三角 形的直观图.
解:(1)如图①所示,以BC边所在的直线为x轴,以BC边上的高线AO所在 的直线为y轴.建立平面直角坐标系.
解:(2)画对应的 x′轴、y′轴, 使∠x′O′y′=45°. 在 x′轴上截取 O′B′=O′C′=OB=OC=2 cm,
(2)画底面.按x′轴、y′轴画正五边形的直观图ABCDE. (3)画侧棱.过点A,B,C,D,E分别作z′轴的平行线,并在这些平行线上分别 截取AA′,BB′,CC′,DD′,EE′都等于正视图的高. (4)成图.顺次连接A′,B′,C′,D′,E′,去掉辅助线,改被挡部分为虚线,如图② 所示.
方法技能
(3)原图的面积 S 与直观图的面积 S′之间的关系为 S=2 2 S′.
即时训练 3-1:等腰梯形 ABCD 中,上底 CD=1,腰 AD=CB= 2 ,下底 AB=3,以下 底所在直线为 x 轴,则由斜二测画法画出的直观图 A′B′C′D′的面积
方法技能
在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的直角坐标系是关键, 一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上,以便于画点.原图 中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来完成.
(2)画底面.作水平放置的三角形(俯视图)的直观图△ABC. (3)画侧棱.过A,B,C各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截 取线段AA′,BB′,CC′,且AA′=BB′=CC′.(侧视图中矩形的高) (4)成图,顺次连接A′,B′,C′,并加以整理(擦去辅助线,将遮挡部分用虚线 表示),得到的图形就是所求的几何体的直观图.
即时训练1-1:用斜二测画法画如图所示边长为4 cm的水平放置的正三角 形的直观图.
解:(1)如图①所示,以BC边所在的直线为x轴,以BC边上的高线AO所在 的直线为y轴.建立平面直角坐标系.
解:(2)画对应的 x′轴、y′轴, 使∠x′O′y′=45°. 在 x′轴上截取 O′B′=O′C′=OB=OC=2 cm,
(2)画底面.按x′轴、y′轴画正五边形的直观图ABCDE. (3)画侧棱.过点A,B,C,D,E分别作z′轴的平行线,并在这些平行线上分别 截取AA′,BB′,CC′,DD′,EE′都等于正视图的高. (4)成图.顺次连接A′,B′,C′,D′,E′,去掉辅助线,改被挡部分为虚线,如图② 所示.
方法技能
(3)原图的面积 S 与直观图的面积 S′之间的关系为 S=2 2 S′.
即时训练 3-1:等腰梯形 ABCD 中,上底 CD=1,腰 AD=CB= 2 ,下底 AB=3,以下 底所在直线为 x 轴,则由斜二测画法画出的直观图 A′B′C′D′的面积
1.2.3空间几何体的的直观图
1.已知正三角形 ABC 的边长为 a， 那么△ABC 的 平面直观图△A′B′C′的面积为( 3 2 A. a 4 3 2 B. a 8 6 2 C. a 8 ) 6 2 D. a 16
D
[如图①②所示的实际图形和直观图，
1 3 由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝ OC＝ a， 2 4 在图②中作 C′D′⊥A′B′于 D′， 2 6 则 C′D′＝ O′C′＝ a， 2 8 1 1 6 6 2 所以 S△A′B′C′＝ A′B′· C′D′＝ ×a× a＝ a .] 2 2 8 16
A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝2 C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画 3 出原四边形的形状，并求出原图形的面积.
解
如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，
OC＝O′C1＝2. 在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1＝2. 在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A1B1＝2. 连结BC，即得到了原图形. 由作法可知，原四边形 ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为 AB＝ 2 ， CD＝3，直角腰的长度AD＝2，
y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.( × )
2.用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平
行，且长度不变.( × )
3.在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变.( × )
跟踪训练1：用斜二测画法画水平放置的等腰
梯形的直观图. 解画法：(1)如图①所示,取AB所在直线为x轴,AB的中 点 O 为原点 , 建立平面直角坐标系 , 画出对应的坐标系 x′o′y′,使∠x′o′y′＝45°. (2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB,在y′轴上 1 取O′E′＝ OE,以E′为中点画出C′D′∥x′轴, 2 并使C′D′＝CD.连结B′C′,D′A′，如图②所示. (3) 所得的四边形 A′B′C′D′ 就是水平放置的等腰梯形 ABCD的直观图,如图③所示.
D
[如图①②所示的实际图形和直观图，
1 3 由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝ OC＝ a， 2 4 在图②中作 C′D′⊥A′B′于 D′， 2 6 则 C′D′＝ O′C′＝ a， 2 8 1 1 6 6 2 所以 S△A′B′C′＝ A′B′· C′D′＝ ×a× a＝ a .] 2 2 8 16
A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝2 C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画 3 出原四边形的形状，并求出原图形的面积.
解
如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，
OC＝O′C1＝2. 在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1＝2. 在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A1B1＝2. 连结BC，即得到了原图形. 由作法可知，原四边形 ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为 AB＝ 2 ， CD＝3，直角腰的长度AD＝2，
y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.( × )
2.用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平
行，且长度不变.( × )
3.在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变.( × )
跟踪训练1：用斜二测画法画水平放置的等腰
梯形的直观图. 解画法：(1)如图①所示,取AB所在直线为x轴,AB的中 点 O 为原点 , 建立平面直角坐标系 , 画出对应的坐标系 x′o′y′,使∠x′o′y′＝45°. (2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB,在y′轴上 1 取O′E′＝ OE,以E′为中点画出C′D′∥x′轴, 2 并使C′D′＝CD.连结B′C′,D′A′，如图②所示. (3) 所得的四边形 A′B′C′D′ 就是水平放置的等腰梯形 ABCD的直观图,如图③所示.
1.2.3空间几何体的直观图
z y′ 正视图 侧视图 A′ o′ B′ y B x′
俯视图
A
o
x
理论迁移
如图, 例 如图,一个平面图形的水平放 置的斜二测直观图是一个等腰梯形, 置的斜二测直观图是一个等腰梯形,它 的底角为45 45° 两腰和上底边长均为1 的底角为45°,两腰和上底边长均为1, 求这个平面图形的面积. 求这个平面图形的面积.
y D C D′ A B x A′ y′ C′
B′
x′
思考4:你能用上述方法画水平放置的正 思考4:你能用上述方法画水平放置的正 4: 六边形的直观图吗? 六边形的直观图吗?
y F M E F′ M x A o B N C F′ A′ D′ B′ C′ E′ D B′ N A′ o′ C′ D′ x′ y′ E′
思考6:斜二测画法可以画任意多边形水 思考6:斜二测画法可以画任意多边形水 6: 平放置的直观图, 平放置的直观图,如果把一个圆水平放 看起来像什么图形? 置,看起来像什么图形?在实际画图时 有什么办法? 有什么办法?
知识探究( ):空间几何体的直观图的画法 知识探究(二):空间几何体的直观图的画法 探究
思考1:对于柱, 思考1:对于柱,锥,台等几何体的直观 1:对于柱 图,可用斜二测画法或椭圆模板画出一 个底面, 个底面,我们能否再用一个坐标确定底 面外的点的位置? 面外的点的位置?
z y
o
x
思考2:怎样画长, 思考2:怎样画长,宽,高分别为4cm, 2:怎样画长 高分别为4cm, 4cm 3cm,2cm的长方体ABCD-A′B′C′D′的 的长方体ABCD 3cm,2cm的长方体ABCD-A′B′C′D′的 直观图? 直观图?
知识探究( 知识探究(一):水平放置的平面图形的画法 水平放置的平面图形的画法
1.2.3 空间几何体的直观图
§1.2.3 空间几何体的直观图学习目标1. 掌握斜二测画法及其步骤；2. 能用斜二测画法画空间几何体的直观图.学习过程一、课前准备复习 1：中心投影的投影线_________；平行投影的投影线_______.平行投影又分___投影和____投影.复习 2：物体在正投影下的三视图是_____、______、_____；画三视图的要点是_____ ________________________________________________________________________. 二、新课导学探索新知探究 1：水平放置的平面图形的直观图画法问题：一个水平放置的正六边形，你看过去视觉效果是什么样子的?每条边还相等吗?该怎样把这种效果表示出来呢?典型例题例 1 用斜二测画法画水平放置正六边形的直观图.讨论：把一个圆水平放置，看起来象个什么图形?它的直观图如何画？探究 2：空间几何体的直观图画法问题：斜二测画法也能画空间几何体的直观图，和平面图形比较，空间几何体多了一个“高”，你知道画图时该怎么处理吗？例 2 用斜二测画法画长 4cm、宽 3cm、高 2cm的长方体的直观图.例 3 如下图，是一个空间几何体的三视图，请用斜二测画法画出它的直观图.练习：由三视图画出物体的直观图.※当堂检测1. 一个长方体的长、宽、高分别是4、8、4，则画其直观图时对应为（）.A. 4、8、4B. 4、4、4C. 2、4、4D.2、4、22. 利用斜二测画法得到的①三角形的直观图是三角形②平行四边形的直观图是平行四边形③正方形的直观图是正方形④菱形的直观图是菱形，其中正确的是（）.A.①②B.①C.③④D.①②③④3. 一个三角形的直观图是腰长为4 的等腰直角三角形，则它的原面积是（）.A. 8B. 16C.16 2D.32 24.下图是一个几何体的三视图请画出它的图形为_____________________.课后作业用斜二测画法画出下图中水平放置的四边形的直观图.。
1.2.3空间几何体的直观图(斜二侧画法)
例1
课本P16页
画水平放置边长为2cm的正六角形的直观图。 (1)画轴：在六边形ABCDEF中，取AD坐在的直线 为x轴，对称轴MN坐在直线为y轴，两轴交与点O.画对 应的x‘轴和y’轴，两轴交与点O'，使∠ x'o'y'=45°。
y
F
M
y
E
A
B
O
D
C
x
O'
x
N
例1 画直观图的方法叫做斜二测画法。 （1）画轴。
例3:由几何体的三视图可以得到几何体的直观图
y′
正视图
侧视图
A′ o′
B′ y B x′
俯视图
A
o
x
小结空间几何图形的直观图画法。
1. 画轴:先画x,y轴，增加z轴， xoz 90
2. 画底面（用斜二侧画法画平面图形）。 3. 画侧棱（直棱柱的侧棱和z轴平行，长度保持不变）。 4. 成图.注意:去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线。
试一试自己来画直六棱柱的直观图。
E’ F’ A’ z’ B’ y’ E F A O’ C x’ B D D’ C’
探 三视图与直视图的关系 究
可以由三视图得到直观图。
a
c
b
c 侧视图
正视图
b a
பைடு நூலகம்
俯视图
可以由直观图得到三视图。
正 视 图 俯 视 图
侧 视 图
课堂小结
空间几何体的直观图通常是在平行投影下画的 空间图形。 斜二测画法是一种特殊的平行投影画法，常用 它来画几何体的直观图。 画平面几何体的基本步骤： 1. 画轴 确定平行线段 2. 画底面 确定线段长度 3. 成图
1.2.3空间几何体的直观图
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保 持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原 来的一半．
(二) 空间几何体的直观图的画法
思考1:对于柱、锥、台等几何体的直观图，可用斜 二测画法或椭圆模板画出一个底面，我们能否再用 一个坐标确定底面外的点的位置？
y
o
x
例2.用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体的直观图.
y
F ME
A
O Dx
B NC
y
F M E
A
O
D x
B N C
y
F ME
A
O Dx
B NC
斜二测画法的步骤：
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴 相交于O点．画直观图时，把它画成对应的x′ 轴、y′轴，使∠x′O′y′=45°(或135°)， 它确定的平面表示水平平面。
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观 图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．
1.2.3空间几何体的直观图
新课导入
画在地面上的斑 马线怎么会产生出了 立体感觉？
上图是浙江省台州的斑 马线披上的“立体彩装”.
如何把立体图形 画在纸上？
这些图形给人以立体的感觉，怎么才能画出呢？
几何体的直观图
几何体的直观图
h'
h'
r' O'
l
rO
作图较复杂，又不易度量．
在中心投影中，水平线(或垂直线)仍保持水平 (或垂直)，但斜的平行线则会相交，交点称为消点．
思考2:把一个直角梯形水平放置，得其直观图如 图，比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、 数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？
我们通过下面的例题一起来分析.
(二) 空间几何体的直观图的画法
思考1:对于柱、锥、台等几何体的直观图，可用斜 二测画法或椭圆模板画出一个底面，我们能否再用 一个坐标确定底面外的点的位置？
y
o
x
例2.用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体的直观图.
y
F ME
A
O Dx
B NC
y
F M E
A
O
D x
B N C
y
F ME
A
O Dx
B NC
斜二测画法的步骤：
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴 相交于O点．画直观图时，把它画成对应的x′ 轴、y′轴，使∠x′O′y′=45°(或135°)， 它确定的平面表示水平平面。
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观 图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．
1.2.3空间几何体的直观图
新课导入
画在地面上的斑 马线怎么会产生出了 立体感觉？
上图是浙江省台州的斑 马线披上的“立体彩装”.
如何把立体图形 画在纸上？
这些图形给人以立体的感觉，怎么才能画出呢？
几何体的直观图
几何体的直观图
h'
h'
r' O'
l
rO
作图较复杂，又不易度量．
在中心投影中，水平线(或垂直线)仍保持水平 (或垂直)，但斜的平行线则会相交，交点称为消点．
思考2:把一个直角梯形水平放置，得其直观图如 图，比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、 数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？
我们通过下面的例题一起来分析.
1.2.3 空间几何体的直观图
变式练习： 变式练习
已知正三角形 ABC 的边长为 a，那么△ABC 的平面直观图 ( 3 2 a 8 C. 6 2 a 8 D. ) 6 2 a 16
△A′B′C′的面积为 A. 3 2 a 4 B.
解析：如图①、②所示的实际图形和直观图．
3 1 由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝ OC＝ a， 4 2 在图②中作 C′D′⊥A′B′于 D′，则 C′D′＝ 6 6 2 1 1 ∴S△A ′B′C′＝ A′B′· C′D′＝ ×a× a＝ a . 2 2 8 16 答案：D 2 6 O′C′＝ a. 2 8
注意！！！ 注意！！！
由直观图还原为平面图形时，注意平行 轴的线段 轴的线段， 由直观图还原为平面图形时，注意平行y′轴的线段， 要变为2倍长度．如例 要变为 倍长度．如例2. 倍长度
反思感悟：善于总结，养成习惯 对于直观图，除了了解其画图规则外，还要了解原图形面积 S 与其直观图面积 S′之间的关系 S′＝ 迁移发散 3．如图，矩形 O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的 直观图，其中 O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形 是 A．正方形 C．菱形 B．矩形 D．一般的平行四边形 ( ) 2 S，能进行相关问题的计算． 4
解析：将直观图还原得▱OABC，则 ∵O′D′＝ 2O′C′＝2 2(cm)， OD＝2O′D′＝4 2(cm)， C′D′＝O′C′＝2(cm)，∴CD＝2(cm)， OC＝ CD2＋OD2＝ 22＋(4 2)2＝6(cm)，
OA＝O′A′＝6 (cm)＝OC， 故原图形为菱形． 答案：C
将直观图还原为平面图 把一个水平放置的平面图形的直观图，通过逆向思维， 把一个水平放置的平面图形的直观图，通过逆向思维，逆 用斜二测画法规则可还原为原来的图形． 用斜二测画法规则可还原为原来的图形．
1.2.3 空间几何体的直观图
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(12分)画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面) 的直观图．
【思路点拨】 画轴 → 画底面 → 画侧棱 → 成图
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【 规 范 解 答 】 画 法 ： (1) 画 轴 ． 画 x′ 轴 、 y′ 轴 、 z′ 轴 ， 使
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解：画法：(1)如图①所示，在梯形ABCD中，以边AB所在 的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy.如图②所 示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′A′y′＝45°.
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(2)如图①所示，过 D 点作 DE⊥x 轴，垂足为 E.如图② 所示，在 x′轴上取 A′B′＝AB＝4 cm，A′E′＝AE＝32 3 cm；过 E′作 E′D′∥y′轴，使 E′D′＝12ED＝34cm，再 过点 D′作 D′C′∥x′轴，且使 D′C′＝CD＝2 cm.
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2．画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图． 画 法 ： (1) 画 轴 ： 画 O′x′ 轴 、 O′y′ 轴 、 O′z′ 轴 ， ∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，如图．
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【题后总结】由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴，y′ 轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平 行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此 确定图形的各个顶点，顺次连接即可．
1.2.3 空间几何体的直观图
角形 中，∠ 30º，则原图形中与线段 的长相等的线段有（ ）
A.0条
B.1条
C.2条
D.3条
●课堂精讲
1、已知 是正三角形，且它的边长为 ，那么 的平面直观图 的面积为（）
A. B. C. D.
2、如图， 为水平放置的 的直观图，其中 ，则
的面积为_________.
●课后反馈
1、若在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段（）
A.平行但不相等B.平行且相等
C.相等但不平行D.既不平行也不相等
2、如图甲为水平放置的等腰三角形 ，则乙图所示的四个图中，可能是 的直观图的
是（）
A.①②B.②③C.②④D.③④
3、如图，图①是图②所示几何体的________视图.
4、利用斜二测画法画直观图时，下列说法：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直
D.在画直观图时，由于选轴的不同，所得到的直观图可能不同
3、下列说法正确的是（ ）
A.互相垂直的两条直线的直观图一定是互相垂直的两条直线
B.梯形的直观图可能是平行四边形
C.矩形的直观图可能是梯形
D.正方形的直观图可能是平行四边形
4、如图，是一平面图形的直观图，则此平面图形可能是（ ）
5、如图是水平放置的三角形 在平面直角坐标系中的直观图，其中 是 的中点，在原三
A.原来相交的仍相交B.原来垂直的仍垂直
C.原来平行的仍平行D.原来共点的仍共点
2、关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是（）
A.原图形中平行于 轴的线段，其对应线段平行于 轴，长度不变
B.原图形中平行于 轴的线段，其对应线段平行于 轴，长度变为原来的
C.画与平面之间角坐标系 对应的坐标系 时，∠ 必须是45º
A.0条
B.1条
C.2条
D.3条
●课堂精讲
1、已知 是正三角形，且它的边长为 ，那么 的平面直观图 的面积为（）
A. B. C. D.
2、如图， 为水平放置的 的直观图，其中 ，则
的面积为_________.
●课后反馈
1、若在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段（）
A.平行但不相等B.平行且相等
C.相等但不平行D.既不平行也不相等
2、如图甲为水平放置的等腰三角形 ，则乙图所示的四个图中，可能是 的直观图的
是（）
A.①②B.②③C.②④D.③④
3、如图，图①是图②所示几何体的________视图.
4、利用斜二测画法画直观图时，下列说法：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直
D.在画直观图时，由于选轴的不同，所得到的直观图可能不同
3、下列说法正确的是（ ）
A.互相垂直的两条直线的直观图一定是互相垂直的两条直线
B.梯形的直观图可能是平行四边形
C.矩形的直观图可能是梯形
D.正方形的直观图可能是平行四边形
4、如图，是一平面图形的直观图，则此平面图形可能是（ ）
5、如图是水平放置的三角形 在平面直角坐标系中的直观图，其中 是 的中点，在原三
A.原来相交的仍相交B.原来垂直的仍垂直
C.原来平行的仍平行D.原来共点的仍共点
2、关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是（）
A.原图形中平行于 轴的线段，其对应线段平行于 轴，长度不变
B.原图形中平行于 轴的线段，其对应线段平行于 轴，长度变为原来的
C.画与平面之间角坐标系 对应的坐标系 时，∠ 必须是45º
1.2.3空间几何体的直观图
就可得到长方体的直观图.
D
C
B
C
A
D
A
练习:用斜二测画法画长、宽、高分别为4cm、 3cm、2cm的长方体的直观图
B
例3．已知几何体的三视图，用斜二测画法画出 它的直观图
• 由三视图可知：该几何 体是怎么的一个组合体 ？ • 如何画出一个圆柱的直 观图？ • 如何画出一个圆锥的直 观图？ • 思考三视图与直观图有 何关系？
4 cm;在
轴 上 取 线 段 P Q , 使 P Q = 1.5c m ; 分 别 过 点 M 和 N 作 y 轴 的 平 行 线 ,过 点 P和 Q作 x轴 的 平 行 线 ,设 它 们 的 交 点 分 别 为 A,B, C,D,四 边 形 ABCD就 是 长 方 形 的 底 面 ABCD
Z
y
D
3、如图Δ A‘B‘C’是水平放置的Δ ABC的 直观图，则在Δ ABC的三边及中线AD中， 最长的线段是（ ） AC
4、右图是Δ ABC利用斜二测画法得到的 水平放置的直观图Δ A‘B‘C’，其中 A‘B’∥y’轴，B‘C’∥x‘轴，若 3 2 Δ A‘B‘C’的面积是3，则Δ ABC的面积 是（ ）
1 画 轴 . 画 x 轴 , y 轴 , z 轴 , 三 轴 交 于 点 O , 使 x O y = 4 5
xO z 9 0 .
Z
,
y
O
x
例3.用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体 A B C D A B C D 的直观图
2 画 底 面 .以 O为 中 心 ,在 x轴 上 取 线 段 MN,使 MN=
x
②建立∠x’o’y’=45°的坐标系 ③平行于x、y轴的线段在斜二测坐标系中仍平行于x’、 y’轴，但横向长度不变，纵向长度减半
D
C
B
C
A
D
A
练习:用斜二测画法画长、宽、高分别为4cm、 3cm、2cm的长方体的直观图
B
例3．已知几何体的三视图，用斜二测画法画出 它的直观图
• 由三视图可知：该几何 体是怎么的一个组合体 ？ • 如何画出一个圆柱的直 观图？ • 如何画出一个圆锥的直 观图？ • 思考三视图与直观图有 何关系？
4 cm;在
轴 上 取 线 段 P Q , 使 P Q = 1.5c m ; 分 别 过 点 M 和 N 作 y 轴 的 平 行 线 ,过 点 P和 Q作 x轴 的 平 行 线 ,设 它 们 的 交 点 分 别 为 A,B, C,D,四 边 形 ABCD就 是 长 方 形 的 底 面 ABCD
Z
y
D
3、如图Δ A‘B‘C’是水平放置的Δ ABC的 直观图，则在Δ ABC的三边及中线AD中， 最长的线段是（ ） AC
4、右图是Δ ABC利用斜二测画法得到的 水平放置的直观图Δ A‘B‘C’，其中 A‘B’∥y’轴，B‘C’∥x‘轴，若 3 2 Δ A‘B‘C’的面积是3，则Δ ABC的面积 是（ ）
1 画 轴 . 画 x 轴 , y 轴 , z 轴 , 三 轴 交 于 点 O , 使 x O y = 4 5
xO z 9 0 .
Z
,
y
O
x
例3.用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体 A B C D A B C D 的直观图
2 画 底 面 .以 O为 中 心 ,在 x轴 上 取 线 段 MN,使 MN=
x
②建立∠x’o’y’=45°的坐标系 ③平行于x、y轴的线段在斜二测坐标系中仍平行于x’、 y’轴，但横向长度不变，纵向长度减半
1[1].2.3空间几何体的直观图
![1[1].2.3空间几何体的直观图](https://img.taocdn.com/s3/m/ee9f265b312b3169a451a448.png)
P
Ｏ` 侧视图 Ｏ
俯视图
2. 下列结论是否正确. 下列结论是否正确 (1)角的水平放置的直观图一定是角． 角的水平放置的直观图一定是角． 角的水平放置的直观图一定是角 (2)相等的角在直观图中仍相等． 相等的角在直观图中仍相等． 相等的角在直观图中仍相等 (3)相等的线段在直观图中仍相等． 相等的线段在直观图中仍相等． 相等的线段在直观图中仍相等 (4)若两条线段平行，则在直观图中 若两条线段平行， 若两条线段平行 对应的两条线段仍平行． 对应的两条线段仍平行． 3. 利用斜二测画法得到的 ①三角形的直观图是三角形 ②平行四边形的直观图是平行四边形 ③正方形的直观图是正方形 ④菱形的直观图是菱形 其中正确的是 ( ①② ) （ （ （ （ Ｔ） Ｆ ） Ｆ ） Ｔ）
正方体
圆柱
圆锥
棱柱
球
知识回顾: 知识回顾 1.空间几何体的三视图是指哪三种视图 空间几何体的三视图是指哪三种视图? 空间几何体的三视图是指哪三种视图 正视图——从正面看到的图 从正面看到的图 正视图 侧视图——从左面看到的图 侧视图 从左面看到的图 俯视图——从上面看到的图 俯视图 从上面看到的图 2.画物体的三视图时 要符合怎样的原则 画物体的三视图时,要符合怎样的原则 画物体的三视图时 要符合怎样的原则? 位置： 位置： 主视图 左视图 俯视图
大小： 大小： 长对正,高平齐 宽相等. 长对正 高平齐,宽相等 高平齐 宽相等
例 画出下列简单组合体的三视图
练习:课本第 页 练习 课本第17页 2,3 课本第
把平面图形画在纸上或黑板上，那很简单。 把平面图形画在纸上或黑板上，那很简单。要把立体图 形画在纸上或黑板上， 形画在纸上或黑板上，实际上是把本来不完全在同一个平面 内的点的集合，用同一个平面内的点来表示。 内的点的集合，用同一个平面内的点来表示。这时画在纸上 或黑板上的图形，已经不是普通地平面图形， 或黑板上的图形，已经不是普通地平面图形，而是立体图形 的直观图。 的直观图。 (1)右图看起来像什么？ 右图看起来像什么？ 右图看起来像什么 (2)正方体的各个面都是正方形，在此图 正方体的各个面都是正方形， 正方体的各个面都是正方形 形中各个面都画成正方形了吗？ 形中各个面都画成正方形了吗？ (3)立体图形的直观图要有立体感，即把 立体图形的直观图要有立体感， 立体图形的直观图要有立体感 不在同一平面内的点集在同一平面内表现出 来，为此，它往往与立体图形的真实形状不 为此， 相同，那么怎么画立体图形的直观图呢？ 相同，那么怎么画立体图形的直观图呢？
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由几何体的三视图如图所示，用斜二测画法画 出它的直观图．
[ 探究]
先根据该几何体的三视图得到该几何体的上部是
一个圆锥，下部是一个圆台，再利用“斜二测画法”画出该几 何体的直观图．
●误区警示
易错点 对斜二测画法理解不透，导致判断错误． 如 图 ① 所 示 ， △ABC 水 平 放 置 的 直 观 图 为
[答案] AD，DC
课堂小结：
1.斜二测画法的主要步骤 2.直观图与三视图的互化
作业：
小册子P111-P112
般通过过此点作与轴平行的线段，将其转化到与轴平行的线段上来
确定． 特别提醒：同一个图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图 可能不同．
水平放置的平面图形直观图的画法
画正五边形的直观图
1.画边长为1 cm的正三角形的水平放置的直观图．
2、画水平放置的圆的直观图.
y
C E G
y′
C'
E'
A
O
B
x
A'
②画法规则可简记为：两轴夹角为45°，已知图形中平行
于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线 段，长度为原来的一半
③画空间几何体的直观图，要注意选取适当的原点，建系
画轴．
用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm,3 cm,2 cm的长方 体ABCD－A′B′C′D′的直观图．
由三视图画直观图
画几何体的直观图 用斜二测画法画出六棱锥P－ABCDEF的直观图，其
中底面 ABCDEF 是正六边形，点 P 在底面的投影是正六边形的
中心O(尺寸自定)．
利用斜二测画法画空间图形的直观图应遵循的基本原则： ①画空间图形的直观图在要求不太严格的情况下，长度和 角度可适当选取．为了增强立体感，被挡住的部分通常用虚线 表示．
O′
D'
B'
x′
F'
D FH
(3)在几何体中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分 平行 于x′轴、y′轴或z′轴的线段，并使它们和所 别画成________ 画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位 置关系相同． (4)在几何体中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度 不变 ，平行于y轴的线段，长度为原来的________ 一半 ． ________ (5)擦除作为辅助线的坐标轴，就得到了空间几何体的直观图．
新知导学
C
D
C B
思考：如何画空间几何体的直观图呢？ 斜二测画法
A
例1 M E
y′
A' B' F' M'
O′
E'
D'
A
O
D
x
x′
N'
C'
B
N
C
规律总结：画平面图形的直观图的关键点
1.确定多边形的顶点位置．
顶点位置分为两类：一类是在轴上或与轴平行的线段上； 另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，遇到这类顶点一
1.2.3 空间几何体的直观图
郑州市实验高级中学 曲海胜
学习目标：
1.掌握斜二测画法的规则 2.能用斜二测法画出平面图形和空间几何体的直观图 3.会进行直观图和三视图的互化
• 什么叫直观图 ?
把空间图形画在平面内，使得既富有立体感，又 能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的 图形．
D
A B
△O′B′C′ ，∠B′O′C′ ＝ 30°，∠O′C′B′ ＝ 90°，请用作图法画
出原△ABC ，∠BAC 是否等于∠B′O′C′ 的 2 倍？∠BCA 是否等
于∠B′C′O′？
如图所示的是水平放置的三角形ABC在直角坐标系中的直
观图，其中D为AC的中点，原ABC中，∠ACB≠30°，则原图 形中与线段BD的长相等的线段有________.
[ 探究]
先根据该几何体的三视图得到该几何体的上部是
一个圆锥，下部是一个圆台，再利用“斜二测画法”画出该几 何体的直观图．
●误区警示
易错点 对斜二测画法理解不透，导致判断错误． 如 图 ① 所 示 ， △ABC 水 平 放 置 的 直 观 图 为
[答案] AD，DC
课堂小结：
1.斜二测画法的主要步骤 2.直观图与三视图的互化
作业：
小册子P111-P112
般通过过此点作与轴平行的线段，将其转化到与轴平行的线段上来
确定． 特别提醒：同一个图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图 可能不同．
水平放置的平面图形直观图的画法
画正五边形的直观图
1.画边长为1 cm的正三角形的水平放置的直观图．
2、画水平放置的圆的直观图.
y
C E G
y′
C'
E'
A
O
B
x
A'
②画法规则可简记为：两轴夹角为45°，已知图形中平行
于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线 段，长度为原来的一半
③画空间几何体的直观图，要注意选取适当的原点，建系
画轴．
用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm,3 cm,2 cm的长方 体ABCD－A′B′C′D′的直观图．
由三视图画直观图
画几何体的直观图 用斜二测画法画出六棱锥P－ABCDEF的直观图，其
中底面 ABCDEF 是正六边形，点 P 在底面的投影是正六边形的
中心O(尺寸自定)．
利用斜二测画法画空间图形的直观图应遵循的基本原则： ①画空间图形的直观图在要求不太严格的情况下，长度和 角度可适当选取．为了增强立体感，被挡住的部分通常用虚线 表示．
O′
D'
B'
x′
F'
D FH
(3)在几何体中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分 平行 于x′轴、y′轴或z′轴的线段，并使它们和所 别画成________ 画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位 置关系相同． (4)在几何体中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度 不变 ，平行于y轴的线段，长度为原来的________ 一半 ． ________ (5)擦除作为辅助线的坐标轴，就得到了空间几何体的直观图．
新知导学
C
D
C B
思考：如何画空间几何体的直观图呢？ 斜二测画法
A
例1 M E
y′
A' B' F' M'
O′
E'
D'
A
O
D
x
x′
N'
C'
B
N
C
规律总结：画平面图形的直观图的关键点
1.确定多边形的顶点位置．
顶点位置分为两类：一类是在轴上或与轴平行的线段上； 另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，遇到这类顶点一
1.2.3 空间几何体的直观图
郑州市实验高级中学 曲海胜
学习目标：
1.掌握斜二测画法的规则 2.能用斜二测法画出平面图形和空间几何体的直观图 3.会进行直观图和三视图的互化
• 什么叫直观图 ?
把空间图形画在平面内，使得既富有立体感，又 能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的 图形．
D
A B
△O′B′C′ ，∠B′O′C′ ＝ 30°，∠O′C′B′ ＝ 90°，请用作图法画
出原△ABC ，∠BAC 是否等于∠B′O′C′ 的 2 倍？∠BCA 是否等
于∠B′C′O′？
如图所示的是水平放置的三角形ABC在直角坐标系中的直
观图，其中D为AC的中点，原ABC中，∠ACB≠30°，则原图 形中与线段BD的长相等的线段有________.