2018版高中数学人教B版必修二学案：第一单元 章末复习课

学习目标　1.整合知识结构，形成知识网络、深化所学知识.2.会画几何体的直观图和三视图，并能计算几何体的表面积和体积.3.熟练掌握线线、线面、面面间的平行与垂直关系．1．空间几何体的结构特征(1)棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边互相平行．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形．棱台是棱锥被平行于底面的平面所截而成的．这三种几何体都是多面体．(2)圆柱、圆锥、圆台、球是由平面图形矩形、直角三角形、直角梯形、半圆面旋转而成的，它们都称为旋转体．在研究它们的结构特征以及解决应用问题时，常需作它们的轴截面或截面．(3)由柱、锥、台、球组成的简单组合体，研究它们的结构特征实质是将它们分解成多个基本几何体．2．空间几何体的三视图与直观图(1)三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；它包括主视图、左视图、俯视图三种．画图时要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则．注意三种视图的摆放顺序，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出．熟记常见几何体的三视图．画组合体的三视图时可先拆，后画，再检验．(2)斜二测画法为：主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法．它的主要步骤：①画轴；②画平行于x、y、z轴的线段分别为平行于x′、y′、z′轴的线段；③截线段：平行于x、z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半．三视图和直观图都是空间几何体的不同表示形式，两者之间可以互相转化，这也是高考考查的重点；根据三视图的画法规则理解三视图中数据表示的含义，从而可以确定几何体的形状和基本量．3．几何体的表面积和体积的有关计算(1)常见几何体的表面积和体积的计算公式面　积体　积圆柱S 侧＝2πrhV ＝Sh ＝πr 2h 圆锥S 侧＝πrlV ＝Sh ＝πr 2h1313＝πr 213l 2－r 2圆台V ＝(S 上＋S 下＋)h13S 上S 下＝πh (r ＋r ＋r 1r 2)13212直棱柱S 侧＝chV ＝Sh 正棱锥S 侧＝ch ′12V ＝Sh13正棱台S 侧＝(c ＋c ′)h ′12V ＝(S 上＋S 下＋)h13S 上S 下球S 球面＝4πR 2V ＝πR 343(2)求几何体体积常用技巧①等体积法；②割补法．4．平行关系(1)基本性质4平行于同一条直线的两条直线________．即如果直线a ∥b ，c ∥b ，那么________．(2)直线与平面平行的判定与性质定理条件结论符号语言判定如果________________的一条直线和________的一条直线平行这条直线和这个平面________________，m ⊂α，________⇒l ∥α性质如果一条直线和一个平面________，经过这条直线的平面和这个平面____________这条直线和____________l ∥α，________，______＝m ⇒l ∥m(3)平面与平面平行的判定①文字语言：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．②符号语言：a⊂β，b⊂β，________，a∥α，b∥α⇒β∥α.③图形语言：如图所示．(4)平面与平面平行的性质定理①文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．②符号语言：α∥β，α∩γ＝a，______⇒a∥b.③图形语言：如图所示．④作用：证明两直线平行．5．垂直关系(1)直线与平面垂直的判定定理定理：如果一条直线与平面内的________________直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．推论：如果在两条________________中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(2)直线与平面垂直的性质性质1：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的________一条直线垂直．符号表示：Error!⇒a⊥b.性质2：如果两条直线________________________，那么这两条直线平行．(3)面面垂直的判定定理如果一个平面过另一个平面的________________，则这两个平面互相垂直．(4)面面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么在________________垂直于________________的直线垂直于另一个平面．6．共面与异面直线(1)共面：空间中的________或________________，如果都在同一平面内，我们就说它们共面．(2)异面直线：既________又________的直线．类型一　三视图与表面积及体积的计算例1　(1)如图是一几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )33A．5＋B．5＋223C．4＋2D．4＋2(2)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.反思与感悟　此类题目是先将三视图还原成几何体，计算几何体的体积时，对于不规则的几何体可利用割补法求体积．跟踪训练1　(1)若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．类型二　空间中的平行问题例2　如图，E、F、G、H分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点．求证：(1)GE∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H.反思与感悟　(1)判断线线平行的方法①利用定义：证明线线共面且无公共点．②利用平行公理：证明两条直线同时平行于第三条直线．③利用线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.④利用面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.⑤利用线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.(2)判定线面平行的方法①利用定义：证明直线a与平面α没有公共点，往往借助反证法．②利用直线和平面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.③利用面面平行的性质的推广：α∥β，a⊂β⇒a∥α.(3)判定面面平行的方法①利用面面平行的定义：两个平面没有公共点．②利用面面平行的判定定理：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，a∥β，b∥β⇒α∥β.③垂直于同一条直线的两个平面平行，即a⊥α，a⊥β⇒α∥β.④平行于同一个平面的两个平面平行，即α∥γ，β∥γ⇒α∥β.跟踪训练2　如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN∥平面ABC.类型三　空间中的垂直关系例3　如图，已知直角梯形ABCD中，E为CD的中点，且AE⊥CD，又G，F分别为DA，EC的中点，将△ADE沿AE折起，使得DE⊥EC.(1)求证：AE⊥平面CDE；(2)求证：FG∥平面BCD；(3)在线段AE上找一点R，使得平面BDR⊥平面DCB，并说明理由．反思与感悟　空间中垂直关系的判定方法(1)判定线线垂直的方法①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角)．②线面垂直的性质(若a ⊥α，b ⊂α，则a ⊥b )．(2)判定线面垂直的方法①线面垂直定义(一般不易验证任意性)．②线面垂直的判定定理(a ⊥b ，a ⊥c ，b ⊂α，c ⊂α，b ∩c ＝M ⇒a ⊥α)．③平行线垂直平面的传递性质(a ∥b ，b ⊥α⇒a ⊥α)．④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂β，a ⊥l ⇒a ⊥α)．⑤面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)．(3)面面垂直的判定方法①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°)．②面面垂直的判定定理(a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β)．跟踪训练3　如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝AB ，四边形ABED 是边长为a 的正方形，平22面ABED ⊥平面ABC ，若G ，F 分别是EC ，BD 的中点．(1)求证：GF ∥平面ABC ；(2)求证：平面EBC ⊥平面ACD ；(3)求几何体A －DEBC 的体积V .1．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )A ．2＋B ．4＋55C ．2＋2D ．552．若l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3C ．l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面D ．l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面3．设有不同的直线m 、n 和不同的平面α、β，下列四个命题中，正确的是( )A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α4.如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD a3上，则PQ ＝________.5.如图，在棱锥P －ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知PA ⊥AC ，PA ＝6，BC ＝8，DF ＝5.求证：(1)直线PA ∥平面DEF ；(2)平面BDE ⊥平面ABC .1．研究空间几何体，需在平面上画出几何体的直观图或三视图，由几何体的直观图可画它的三视图，由三视图可得到其直观图，同时可以通过作截面把空间几何问题转化成平面几何问题来解决．另外，圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，我们都是通过展开图、化空间为平面的方法得到的，求球的切接问题通常也是由截面把空间问题转化为平面问题来解决．2．转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路，其关系为答案精析知识梳理4．(1)平行　a ∥c(2)不在一个平面　平面内　平行　l ⊄αl ∥m 平行　相交　两平面的交线平行l ⊂β　α∩β(3)②a ∩b ＝P (4)②β∩γ＝b5．(1)两条相交　平行直线(2)任意　垂直于同一个平面(3)一条垂线(4)一个平面内　它们交线6．(1)几个点　几条直线(2)不平行　不相交题型探究例1　(1)A [如图所示，该几何体的表面积S ＝1×1＋×1×1×2＋2××(1＋2)×1＋××＝5＋，故选A.]121212623(2)π83解析　由几何体的三视图可知，该几何体由相同底面的两圆锥和一个圆柱组成，底面半径为1m ，圆锥的高为1m ，圆柱的高为2m ，所以该几何体的体积V ＝2×π×12×1＋π×12×2＝π(m 3)．1383跟踪训练1　(1)π193解析　由主视图知，三棱柱的底面边长为2，高为1，外接球的球心在上下两个三角形中心连线的中点上，连接球心和任意一个顶点的线段长为球的半径，则R 2＝()2＋()2＝(其122331912中R 为球的半径)，则球的表面积S ＝4πR 2＝4π×＝π.1912193(2)24解析　由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由主视图和左视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的．在长方体中分析还原，如图(1)所示，故该几何体的直观图如图(2)所示．在图(1)中，＝S △111ABCA B C V 棱柱－ABC ·AA 1＝×4×3×5＝30， ＝·PB 1＝××4×3×3＝6.故几何体12111P A B C V 棱锥－13111A B C S A 1312ABC －PA 1C 1的体积为30－6＝24.例2　证明　(1)取B 1D 1中点O ，连接GO ，OB，易证OG 綊B 1C 1，12BE 綊B 1C 1，12∴OG 綊BE ，四边形BEGO 为平行四边形．∴OB ∥GE .∵OB ⊂平面BB 1D 1D ，GE ⊄平面BB 1D 1D ，∴GE ∥平面BB 1D 1D .(2)由正方体性质得B 1D 1∥BD ，∵B 1D 1⊄平面BDF ，BD ⊂平面BDF ，∴B 1D 1∥平面BDF .连接HB ，D 1F ，易证HBFD1是平行四边形，得HD1∥BF.∵HD1⊄平面BDF，BF⊂平面BDF，∴HD1∥平面BDF.∵B1D1∩HD1＝D1，∴平面BDF∥平面B1D1H.跟踪训练2　证明　∵M、N分别是EA与EC的中点，∴MN∥AC，又∵AC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，∴MN∥平面ABC，∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，∴BD∥EC，∵N为EC中点，EC＝2BD，∴NC綊BD，∴四边形BCND为矩形，∴DN∥BC，又∵DN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DN∥平面ABC，又∵MN∩DN＝N，∴平面DMN∥平面ABC.例3　(1)证明　由已知得DE⊥AE，AE⊥EC.∵DE∩EC＝E，DE，EC⊂平面DCE，∴AE⊥平面CDE.(2)证明　取AB的中点H，连接GH，FH，∴GH∥BD，FH∥BC.∵GH⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，∴GH∥平面BCD.同理，FH∥平面BCD，又GH∩FH＝H，∵GF ⊂平面FHG ，∴GF ∥平面BCD .(3)解　取线段AE 的中点R ，DC 的中点M ，DB 的中点S ，连接MS ，RS ，BR ，DR ，EM ，则MS 綊BC .12又RE 綊BC ，12∴MS 綊RE ，∴四边形MERS 是平行四边形，∴RS ∥ME .在△DEC 中，ED ＝EC ，M 是CD 的中点，∴EM ⊥DC .由(1)知AE ⊥平面CDE ，AE ∥BC ，∴BC ⊥平面CDE .∵EM ⊂平面CDE ，∴EM ⊥BC .∵BC ∩CD ＝C ，∴EM ⊥平面BCD .∵EM ∥RS ，∴RS ⊥平面BCD .∵RS ⊂平面BDR ，∴平面BDR ⊥平面DCB .跟踪训练3　(1)证明　如图，取BE 的中点H ，连接HF ，GH .因为G ，F 分别是EC 和BD 的中点，所以HG ∥BC ，HF ∥DE .又因为四边形ADEB 为正方形，所以DE ∥AB ，从而HF ∥AB .所以HF ∥平面ABC ，HG ∥平面ABC .又因为GH ∩HF ＝H ，所以GF ∥平面ABC .(2)证明　因为四边形ADEB 为正方形，所以EB ⊥AB .又因为平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ∩平面ABC ＝AB ，所以BE ⊥平面ABC ，所以BE ⊥AC .又因为CA 2＋CB 2＝AB 2，所以AC ⊥BC .又因为BE ∩BC ＝B ，所以AC ⊥平面BCE .又因为AC ⊂平面ACD ，从而平面EBC ⊥平面ACD .(3)解　取AB 的中点N ，连接CN ，因为AC ＝BC ，所以CN ⊥AB ，且CN ＝AB ＝a .1212又平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ∩平面ABC ＝AB ，所以CN ⊥平面ABED .因为C －ABED 是四棱锥，所以V C －ABED ＝S ABED ·CN ＝a 2·a ＝a 3.13131216即几何体A －DEBC 的体积V ＝a 3.16当堂训练1．C 2.B 3.D4.a 223解析　∵MN ∥平面AC ，平面PMN ∩平面AC ＝PQ ，∴MN ∥PQ ，易知DP ＝DQ ＝，2a 3故PQ ＝＝DP ＝.PD 2＋DQ 2222a35．证明　(1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，所以DE ∥PA .又因为PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以直线PA ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，PA ＝6，BC ＝8，所以DE ∥PA ，DE ＝PA ＝3，EF ＝BC ＝4.1212又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2，所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF .又PA ⊥AC ，DE ∥PA ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC .又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC .。